Hàm đa thức và các ứng dụng trong chương trình toán phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐINH THỊ NGỌC HẠNH

HÀM ĐA THỨC VÀ CÁC ỨNG DỤNG
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐINH THỊ NGỌC HẠNH

HÀM ĐA THỨC VÀ CÁC ỨNG DỤNG
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG

Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp
Mã số: 60. 46. 40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Trần Đạo Dõng

ĐÀ NẴNG - NĂM 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết
quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép
và chưa từng được công bố trong bất kỳ một cơng trình nào.

Tác giả luận văn

ĐINH THỊ NGỌC HẠNH


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU. ...................................................................................................... 1
1. L do chọn đ tài. ................................................................................ 1
2.

ục ti u nghi n cứu. ........................................................................... 1

3. ối tượng và phạm vi nghi n cứu. ....................................................... 2
4. hương pháp nghi n cứu. .................................................................... 2
5. Ý ngh a khoa học và th c tiễn của đ tài. ............................................. 2
6. Cấu tr c của luận văn........................................................................... 3
CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VỀ HÀM ĐA THỨC. ..................................... 4
1.1. HÀ

A THỨC

ỘT BIẾN. ................................................................ 4

1.1.1. Các định ngh a. .............................................................................. 4

1.1.2. Các phép tính tr n đa thức. ............................................................ 8
1.1.3. Các tính chất cơ ản của đa thức một iến. .................................... 9
1.2. HÀ

A THỨC NHIỀU BIẾN. ........................................................... 15

1.2.1. Các định ngh a. ............................................................................ 15
1.2.2. Các phép tính tr n đa thức nhi u iến. ......................................... 17
1.2.3. Các tính chất cơ ản.. ................................................................... 17
1.3. A THỨC ỐI XỨN . ....................................................................... 18
1.3.1. ịnh ngh a. .................................................................................. 18
1.3.2.

ột số tính chất cơ ản. ............................................................... 18

CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG HÀM ĐA THỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TỐN PHỔ THƠNG. ................................................................................ 22
2.1.

A THỨC KHẢ QUY, BẤT KHẢ QUY.

HÂN TÍCH

A THỨC

THÀNH NHÂN TỬ. .................................................................................... 22
2.1.1. Xác định đa thức khả quy, ất khả quy. ....................................... 22
2.1.2. Bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử. .................................... 27
2.2. TÌ

N HIỆ

N UYÊN CỦA A THỨC. ......................................... 34


2.2.1.

ột số phương pháp tìm nghiệm nguy n của đa thức. ................. 35

2.2.2.

ột số ài toán khác li n quan đến nghiệm nguy n đa thức. ....... 39

2.3. CÁC BÀI TOÁN XÁC ỊNH A THỨC. ........................................... 42
2.3.1. Xác định thương, dư trong phép chia đa thức. .............................. 42
2.3.2. Tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức. ..................................... 45
2.3.3. Bài toán ác định đa thức sử dụng phương pháp nội suy. ............. 47
2.4. IẢI HƯƠN TRÌNH ẠI Ố BẬC CAO. ....................................... 50
2.4.1. iải phương trình ậc a. ............................................................. 50
2.4.2. iải phương trình ậc ốn. .......................................................... 54
2.4.3. iải phương trình ậc cao. ........................................................... 57
2.5. IẢI HỆ HƯƠN TRÌNH.................................................................. 60
2.5.1. Hệ phương trình đối ứng. ........................................................... 61
2.5.2.
2.6.

ột số hệ phương trình khác. ...................................................... 64

ỘT Ố ẠN TOÁN KHÁC Á

ỤN

A THỨC Ể IẢI. ....... 69

KẾT LUẬN. ................................................................................................ 81
TÀI LIỆU THAM KHẢO. ......................................................................... 82
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (BẢN SAO).


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình tốn phổ thơng, có thể nói hàm đa thức chiếm một vị
trí khá quan trọng trong việc ứng dụng để giải toán. Hàm đa thức là một trong
những khái niệm trung tâm của toán học, là lớp hàm số quan trọng trong đại
số sơ cấp.

ột trong các cấu tr c đại số cơ ản có nhi u ứng dụng trong các

l nh v c li n quan là vành đa thức một iến và nhi u iến, đ c iệt là vành
con các đa thức đối ứng.
ới mong muốn tìm hiểu th m v cấu tr c, ứng dụng của vành đa thức
và được s gợi

của

. T . Tr n

ạo

ng, tôi đ chọn đ tài Hàm đa

thức và các ứng dụng trong chương trình tốn phổ thơng làm đ tài nghi n
cứu cho luận văn của mình.
Luận văn giới thiệu cơ sở l thuyết của vành đa thức, hàm đa thức, các
tính chất của hàm đa thức một iến, nhi u iến, đa thức đối ứng, từ đó ứng
dụng để giải các dạng toán đại số sơ cấp thường g p trong chương trình phổ
thơng. Những dạng tốn phức tạp như phân tích các đa thức ậc cao nhi u
iến thành tích các đa thức ất khả quy, ác định các đa thức, giải phương
trình ậc cao,… đ u có thể được giải quyết nhờ vận dụng l thuyết hàm đa
thức. Các ài toán minh họa đa dạng v thể loại và nội dung, được trình ày
từ đơn giản đến phức tạp, đa số là những ài tốn khó được trích từ các
chuy n đ

ồi dưỡng học sinh giỏi, toán Olympic.

2. Mục tiêu nghiên cứu
ục ti u của đ tài nh m nghi n cứu cấu tr c và các tính chất của hàm
đa thức một iến và nhi u iến, đa thức đối ứng. Từ đó ứng dụng để hệ
thống và phân loại một số dạng tốn trong chương trình tốn phổ thơng d a
vào các kiến thức v đa thức như đa thức khả quy, tính chất nghiệm đa thức,


2

phép chia đa thức, các thuật tốn, định lí.

iới thiệu một số ài toán li n quan

đến đa thức trong toán Olympic, các chuy n đ

ồi dưỡng học sinh giỏi.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Chương trình tốn trung học phổ thơng.
Nghi n cứu các dạng tốn, các phương pháp từ các tài tiệu, các chuy n
đ li n quan đến đa thức nh m hệ thống các dạng toán v đa thức.
Các ài toán v đa thức trong ph n chương trình tốn phổ thơng, các
dạng tốn trong chuy n đ

ồi dưỡng học sinh giỏi, toán Olympic.

4. Phương pháp nghiên cứu
Nghi n cứu l thuyết trong các tài liệu v đa thức như đại số đại cương,
đại số sơ cấp, đại số và số học, đa thức và nhân tử hóa, các chuy n đ

ỗi

dưỡng học sinh giỏi tốn, tuyển tập các ài thi vơ địch tốn, Olympic. Nghi n
cứu vấn đ v đa thức trong chương trình phổ thông, các trang we li n quan.
Nghi n cứu th c tiễn thông qua việc giảng dạy, học hỏi kinh nghiệm của
các đồng nghiệp và th y cô, tổng hợp các kiến thức để hệ thống và đưa ra các
dạng toán, các phương pháp vận dụng l thuyết đa thức.
Tổng quan tài liệu và thể hiện tường minh các kết quả đạt được trong
luận văn. Hệ thống sắp ếp các dạng ài tập từ dễ đến khó. H u hết các dạng
toán được giải quyết đ u sử dụng các kiến thức thuộc l nh v c đại số.
Trao đổi, thảo luận các kết quả nghi n cứu với giáo vi n hướng dẫn.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Hệ thống các kiến thức một cách cô đọng, đ y đủ và khoa học.

Ứng dụng l thuyết đa thức để giải các ài toán li n quan.
Luận văn có thể sử dụng như một tài liệu tham khảo để các giáo vi n,
học sinh phổ thông nghi n cứu, ồi dưỡng chuy n môn, nâng cao kiến thức.
Luận văn góp ph n thiết th c cho việc dạy và học các vấn đ li n quan
đến đa thức, đem lại ni m đam m , sáng tạo từ những ài toán cơ ản nhất.


3

6. Cấu trúc của luận văn
Cấu tr c luận văn ao gồm:
 ởđ u
 Chương 1. iới thiệu v hàm đa thức
Chương này trình ày các khái niệm, các kiến thức cơ ản v đa thức
một iến, đa thức nhi u iến, đa thức đối ứng như định lí Bezout và các hệ
quả quan trọng của nó, định lí

iète đối với đa thức ậc n, định lí v nghiệm

hữu tỉ của đa thức với hệ số nguy n và các hệ quả của nó, sơ đồ Horner, các
ti u chuẩn ất khả quy ất khả quy của đa thức tr n trường ác định,…
Chương này cung cấp những kiến thức cơ sở để d a vào đó tiếp tục th c hiện
chương 2 của luận văn.
 Chương 2. Ứng dụng hàm đa thức trong chương trình tốn phổ thơng
ây là nội dung chính của luận văn, phân loại và hệ thống các dạng tốn
thường g p trong lí thuyết đa thức cũng như phương pháp giải. Các ài tốn
v tính khả quy, ất khả quy của đa thức, các ài tốn tìm nghiệm, tính chia
hết của đa thức, các ài tốn giải các phương trình hệ phương trình ậc cao,
hệ phương trình đối ứng. Ngồi ra, ph n cuối chương cịn tổng hợp một số
ài tốn trong các chuy n đ

ồi dưỡng học sinh giỏi, các ài toán Olympic

li n quan đến đa thức.
 Kết luận
 anh mục các tài liệu tham khảo
 Quyết định v việc giao đ tài luận văn thạc s ( ản sao)


4

CHƯƠNG 1
GIỚI THIỆU VỀ HÀM ĐA THỨC
Trong chương này, chúng tơi trình bày các kiến thức cơ bản về hàm đa
thức một biến, nhiều biến, đa thức đối xứng. Các kiến thức này có thể tham
khảo ở một số tài liệu [5], [6], [8], [9], [10], [14], [16], [18].
1.1. HÀM ĐA THỨC MỘT BIẾN
1.1.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1. (Vành đa thức một biến).
iả sử  là một vành giao hốn, có đơn vị kí hiệu là 1. Xét tập P là tập
hợp các d y vô hạn (a0 , a1,..., an ,...) trong đó ai  A (i  ) và ai  0 tất cả trừ
một số hữu hạn.

ọi (a0 , a1,..., an ,...) và (b0 , b1,..., bn ,...) là hai ph n tử trong P .

Hai ph n tử (a0 , a1,..., an ,...) và (b0 , b1,..., bn ,...) của P được em là

ng nhau

nếu và chỉ nếu ai  bi , i  .

Trong P ta ác định hai phép toán như sau.
hép cộng (a0 , a1,..., an ,...)  (b0 , b1,..., bn ,...)  (a0  b0 , a1  b1 ,..., an  bn ,...).
hép nhân (a0 , a1,..., an ,...)(b0 , b1,..., bn ,...)  (c0 , c1,..., cn ,...), ck 

 ab , k

i  j k

i j

.

Tập P cùng với hai phép toán tr n làm thành vành giao hốn có đơn vị
(xem [16]).
Xét một ánh ạ f : A  P

a

f (a)   a,0,0,...,0,....

Ánh ạ này là một đơn cấu vành. Do vậy, đồng nhất hóa ph n tử a  A
với f (a)  P ta có thể em A là vành con của P.

t x   0, 1, 0,...,0,.... Ta



2
0
có x   0,0, 1,...,0,... ,…, x n   0,...,0, 1,0,... . Quy ước x  1,0,...,0,....



 n


ỗi ph n tử của P được viết dưới dạng (a0 , a1,..., an ,0,...), ak  0, k  n.


5

Lấy một ph n tử ất kì thuộc P, ta có
(a0 ,..., an ,0,...)  (a0 ,0,...)  (a1,0,...)(0,1,0,...)  ...  (an ,0,...)(0,...,0,1,0,..)
n

 a0  a1x  ...  an x .
n

ành P được ác định như tr n được gọi là vành đa thức của ẩn x tr n

A. Kí hiệu A x.
tử trong A .

ỗi ph n tử của vành A x  gọi là đa thức của ẩn x lấy hệ

ỗi đa thức được kí hiệu ởi f ( x), g ( x), ...

Một đa thức f ( x)  A x có dạng f ( x)  ao  a1x  ...  an1x n1  an x n
n

hay f ( x)   ai xi , trong đó ai  , i  0,1,..., n được gọi là hệ số của f ( x),

i 0

ai xi được gọi là hạng tử hay số hạng, a0 được gọi là hạng tử t do của f ( x),
x là một kí hiệu được gọi là một ẩn ( iến).

Nếu an  0 thì an được gọi là hệ số cao nhất của đa thức f ( x), an x n gọi
là hạng tử cao nhất của đa thức f ( x), n  n  0  gọi là ậc của đa thức f ( x)
được kí hiệu là deg f ( x).
Nếu A  K là một trường thì K  x là một vành giao hốn, có đơn vị.
Tập các đa thức ẩn x với các hệ số thuộc trường số hữu tỉ
ho c trường số phức

đ u là những vành giao hốn có đơn vị.

Thông thường khi ét  là vành số nguy n
trường số th c
là

, trường số th c

ho c trường số phức

, trường số hữu tỷ

,

ta có các vành đa thức tương ứng

 x ,  x ,  x ,  x  .

Định nghĩa 1.1.2. (Hàm đa thức). (Xem [5]).
iả sử đa thức f ( x)  A x , f ( x)  ao  a1x  ...  an1xn1  an x n , ai .
Cho ánh ạ f được ác định


6

f : A A
s

f (s)  ao  a1s  ...  an1s n1  an s n .

Ánh ạ như thế được gọi là một ánh ạ đa thức hay hàm đa thức.
Theo định ngh a, mỗi đa thức ác định một hàm đa thức và có thể có
nhi u đa thức cùng ác định một hàm đa thức.
Định nghĩa 1.1.3. (Nghiệm của đa thức). (Xem [18]).
iả sử  là một ph n tử tùy

của , f ( x)  ao  a1x  ...  an x n là một

đa thức tùy của vành [ x] .
h n tử f ( )  ao  a1  ...  an1 n1  an n  được gọi là giá trị của

f ( x) tại x   . Nếu f ( )  0 thì  gọi là nghiệm của đa thức f ( x) .
Tìm nghiệm của đa thức f ( x) trong  được gọi là giải phương trình đại
số an xn  ...  a1x  a0  0 ậc n, an  0 trong .
Định nghĩa 1.1.4. (Hai đa thức bằng nhau).
Tr n vành A x  . Cho hai đa thức f ( x)  ao  a1x  ...  an1x n1  an x n và

g ( x)  bo  b1x  ...  bm1x m1  bm x m , với an  0, bm  0.

Hai đa thức f ( x) và g ( x ) được gọi là
tương ứng của ch ng

ng nhau khi và chỉ khi các hệ số

a  b , i  0,1,..., n
ng nhau. Hay f ( x)  g ( x)   i i
n  m.

Định nghĩa 1.1.5. (Đa thức không).
a thức không là đa thức mà tất cả các hệ số
ột đa thức

ng khơng. Kí hiệu 0.

ng đa thức 0 khi và chỉ khi mọi hệ số của nó đ u

Ngh a là f ( x)  0  ai  0, i  0,1,..., n.
a thức khơng khơng có ậc.

ng 0.


7

Định nghĩa 1.1.6. (Phép chia đa thức).
Trong vành đa thức A x 

ất kì. Nếu đa thức f ( x)  g ( x)h( x) thì đa

thức f ( x) chia hết cho đa thức g ( x ) hay f ( x) là

ội của g ( x). Kí hiệu

f ( x) g ( x). Nói cách khác g ( x) chia hết f ( x) hay g ( x ) là ước của f ( x) kí
hiệu g ( x) | f ( x).
Trong vành đa thức A x  với hai ph n tử f ( x) và g ( x)  0 ất kì, khơng
phải ao giờ f ( x) cũng chia hết cho g ( x), ngh a là khơng thể tìm được đa thức

h( x) để f ( x)  g ( x)h( x), chỉ tìm được hai đa thức q( x) và r ( x ) để
f ( x)  g ( x)q( x)  r ( x). Ta gọi phép chia f ( x) cho g ( x ) là phép chia có dư.
Có thể r t ra định ngh a tổng quát như sau. Trong vành đa thức A x , với mọi
đa thức f ( x) và g ( x)  0 ao giờ cũng tìm được hai đa thức duy nhất q( x)
và r ( x), deg r ( x)  deg g ( x) ho c r ( x)  0 sao cho f ( x)  g ( x)q( x)  r ( x).
Ngh a là luôn th c hiện được phép chia có dư f ( x) cho g ( x)  0.
Định nghĩa 1.1.7. (Ước chung, ước chung lớn nhất của hai đa thức).
Xét đa thức tr n một trường K .
không đồng thời

ng 0 tr n trường K .

iả sử f ( x) và g ( x ) là hai đa thức
a thức h( x) được gọi là ước chung

của f ( x) và g ( x ) nếu f ( x) và g ( x ) đ u chia hết cho h( x).
a thức d ( x)  K [ x] gọi là ước chung lớn nhất của f ( x) và g ( x ) nếu
 d ( x ) là ước chung của f ( x) và g ( x).
 d ( x ) chia hết cho mọi ước chung của f ( x) và g ( x).
 Hệ số cao nhất của d ( x )

ng 1.

Kí hiệu d ( x)  ( f ( x), g ( x)).
Hai đa thức f ( x) và g ( x ) được gọi là nguy n tố cùng nhau nếu

( f ( x), g ( x))  1, ngh a là f ( x) và g ( x ) khơng có các ước chung nào ngoài


8

các h ng số khác không. Nhắc đến ước chung lớn nhất của hai đa thức thì hai
đa thức đó phải là hai đa thức khác không.
Định nghĩa 1.1.8. (Đa thức bất khả quy).
iả sử K là một trường, f ( x)  K  x .

iả sử f ( x)  K [ x] là một đa

thức có ậc lớn hơn 0. Ta nói f ( x) ất khả quy tr n K  x nếu nó khơng thể
phân tích được thành tích của hai đa thức ậc dương khác 0 và nhỏ hơn ậc
của f ( x). Ngược lại f ( x) gọi là khả quy ho c phân tích được tr n   x . Ngh a
là f ( x)  g ( x)h( x), với 0  deg g ( x)  deg f ( x) và 0  deg h( x)  deg f ( x).
Tính chất ất khả quy của đa thức ln phụ thuộc trường cơ sở.
1.1.2. Các phép tính trên đa thức
iả sử cho hai đa thức f ( x)  ao  a1x  ...  an1x n1  an x n [x] và

g ( x)  bo  b1x  ...  bm1x m1  bm x m [x] với n  m và m, n  .
o các tính chất của các phép tốn trong vành  x ta có tổng, hiệu,
tích của f ( x) và g ( x ) như sau.
Tổng của f ( x) và g ( x), kí hiệu f ( x)  g ( x), là đa thức h( x) với

h( x)  (a0  b0 )  (a1  b1 ) x  ...  (am  bm ) x m  am1x m1  ...  an x n .
Hiệu của f ( x) và g ( x), kí hiệu f ( x)  g ( x), là đa thức k ( x) với
h( x)  (a0  b0 )  (a1  b1 ) x  ...  (am  bm ) x m  am1x m1  ...  an x n .

Tích của f ( x) và g ( x), kí hiệu f ( x) g ( x), là đa thức l ( x ) với

l ( x)  a0b0  (a1b0  a0b1 ) x  ...  (anbm1  an1bm ) x nm1  (anbm ) x nm .


9

1.1.3. Các tính chất cơ bản của đa thức một biến
au đây là một số tính chất cơ ản của đa thức một iến (khơng chứng
minh).
Định lí 1.1.1. (Bậc của đa thức). (Xem [8], [16], [18]).
Cho A x  là vành các đa thức iến x. Giả sử f ( x) và g ( x ) là hai đa
thức tùy khác 0 của vành A x. Khi đó
i. Nếu deg f ( x)  deg g ( x) thì

f ( x)  g ( x)  0 và deg( f ( x)  g ( x))  max(deg f ( x),deg g ( x)).
Nếu deg f ( x)  deg g ( x) và f ( x)  g ( x)  0 thì

deg( f ( x)  g ( x))  max(deg f ( x),deg g ( x)).
ii. Nếu f ( x) g ( x)  0 thì deg( f ( x) g ( x))  deg f ( x)  deg g ( x) .
Ví dụ. Trong

 x ,

cho f ( x)  1  4 x  2 x2  x3 , g ( x)  2  x 2  5x3 và

h( x)  1  x  4 x2  5x3 . Ta có deg  f ( x)  g ( x)   3, deg  g ( x)  h( x)   2 
 max  deg f ( x), deg g ( x)  , deg  g ( x)h( x)   6  3  3  deg f ( x)  deg g ( x).
Định lí 1.1.2. (Phép chia có dư). (Xem [16]).
iả sử  là một trường.

ới mọi đa thức f ( x) và g ( x ) khác 0 thuộc

[x] , ao giờ cũng tồn tại duy nhất hai đa thức q( x) và r ( x) thuộc [x] với
deg r ( x)  deg g ( x), ho c r ( x)  0 sao cho f ( x)  g ( x)q( x)  r ( x), trong đó
q( x) là thương, r ( x ) là dư.
Định lí 1.1.3. (Định lí Bezout).
iả sử  là một trường,  , f ( x)  [x]. Khi đó f ( ) là dư của
phép chia f ( x) cho đa thức x   .


10

Hệ quả 1.1.1.

iả sử  là một trường, f ( x)  [x] . h n tử   là nghiệm

của f ( x) khi và chỉ khi f ( x) chia hết cho đa thức x   , tức tồn tại đa thức

h( x) sao cho f ( x)  ( x   )h( x).
Hệ quả 1.1.2.

ọi đa thức f ( x) ậc n (n  1) tr n trường  đ u khơng thể có

q n nghiệm phân iệt tr n  .
Lưu ý. Từ hệ quả 1.1.2, ta có hai kết quả tương đương sau.

Nếu đa thức f ( x) ậc khơng q n có n  1 nghiệm thì tất cả các hệ số
của nó đ u

ng khơng, tức là đa thức ấy đồng nhất

ng 0 ( f ( x)  0 ).

Nếu hai đa thức f ( x) và g ( x ) ậc không quá n lại trùng nhau tại n  1
điểm khác nhau thì hai đa thức đó

ng nhau.

Định lí 1.1.4. (Định lí cơ bản của đại số học).
ọi đa thức ậc n  1 tr n trường số phức có ít nhất một nghiệm phức.
Lưu ý.

ây là định lí cơ ản vì định lí tr n trường số phức

nghiệm của đa thức thuộc

 x , không c

n mở rộng

chứa đủ các

thành trường khác.

Định lí 1.1.5. (Định lí Viète).
Cho A là một trường.

n
nk
iả sử f ( x)  an x  ...  ank x  ...  a0  A x ,

ai  A , an  0 có n nghiệm x1, x2 ,..., xn tr n A . Khi đó ta có các đẳng thức
x1  x2  ...  xn  

an1
a
a
, x1 x2  x2 x3  ...  xn1 xn  n2 ,…, x1 x2 ...xn  (1)n 0 .
an
an
an

Định lí 1.1.6. (Định lí Viète đảo).
Nếu các số x1, x2 ,..., xn thuộc trường

Sk   1

k

A

ất kì thỏa m n hệ

ank
, k  1,..., n . Khi đó x1, x2 ,..., xn là n nghiệm của đa thức
an

f ( x)  an xn  an1x n1  ...  ank x nk  ...  a1x  a0 với ai  A, an  0.


11

Định lí 1.1.7. (Định lí về nghiệm hữu tỉ của đa thức với hệ số nguyên).
Cho đa thức f ( x)  an xn  an1x n1  ...  a1x  a0 với các hệ số nguy n,

an  0, n  1 . Nếu f ( x) có nghiệm hữu tỉ dạng

p
(tối giản) thì p là ước của
q

a0 , q là ước của an .
Từ định lí tr n ta có hệ quả sau.
Hệ quả 1.1.3.

ọi nghiệm hữu tỉ của một đa thức với hệ số nguy n và hệ số

cao nhất an  1 đ u là nghiệm nguy n.
Hệ quả 1.1.4.

ột nghiệm nguy n của đa thức f ( x) với hệ số nguy n, nếu có,

phải là những ước của số hạng t do a0 .
Như vậy muốn tìm các nghiệm nguy n của f ( x) ta ét các ước của số
hạng t do a0 , sau đó thử các ước có phải là nghiệm của f ( x). Tuy nhi n số
l n thử đôi khi rất nhi u, để hạn chế số l n thử ta sử dụng định lí sau.

Định lí 1.1.8. (Xem [16]).
n
n 1
Nếu   1 là nghiệm nguy n của f ( x)  an x  an1x  ...  a0 

thì

 x

f (1)
f ( 1)
và
là các số nguy n.
1
1

n
n 1
Định lí 1.1.9. Cho đa thức f ( x)  an x  an1x  ...  a0 

 x  . Nếu phân số

p
tối giản là nghiệm của đa thức f ( x) thì p  mq là ước của f (m), m .
q

Lưu ý. Ứng với m  1, m  1 thì ta sẽ thu được kết quả sau. Nếu phân số tối
giản

p

là nghiệm của đa thức f ( x)  an xn  an1x n1  ...  a1x  a0 với hệ số
q

nguy n thì p  q là ước của f (1) và p  q là ước của f (1) . (Xem [14]).


12

Định lí 1.1.10. (Xem [18]).
Cho đa thức f ( x)  an x n  ...  a1x  a0 với hệ số nguy n, an  0, y  an x .
Khi đó ann1 f ( x)  g ( y)  y n  an1 y n1  ...  a1ann2 y  a0ann1. Nếu  là nghiệm
hữu tỉ của f ( x) thì an là một nghiệm nguy n của g ( y ) .
Lưu ý. Như đ nói ở tr n, để tìm nghiệm của đa thức, ta chỉ c n kiểm nghiệm
các ước của a0 .

hương pháp đơn giản để kiểm nghiệm là sử dụng sơ đồ

Horner, mà cơ sở của nó là định lí 1.1.3 (định lí Bezout).
ơ đồ Horner là một thuật tốn cho phép tìm nhanh thương và dư trong
phép chia một đa thức f ( x) ất kì cho x   .
iả sử khi chia f ( x)  an xn  an1x n1  ...  a1x  a0 cho x   ta được
thương q( x)  bn xn1  bn1xn2  ...  b1 có ậc n  1, dư là h ng số r, tức

f ( x)  an xn  an1x n1  ...  a1x  a0  ( x   )(bn x n1  bn1x n2  ...  b1 )  r .
ùng phương pháp hệ số ất định ta có

an  bn
bn  an
a  b   b
b   b  a

n
n
n 1
 n1 n1
 n1
an2  bn2   bn1 bn2   bn1  an2


...

...
a1  b1   b2
b1   b2  a1


a

r


b
1
 0
r   b1  a0 .
Ta có thể trình ày

ng sơ đồ sau theo quy tắc mỗi ph n tử ở hàng dưới

ng tích của  với ph n tử đứng trước nó cộng với ph n tử tương ứng ở
hàng tr n. ơ đồ này được gọi là sơ đồ Horner.



an

an1

…

ak

… a0

bn  an

bn1   bn  an1

…

bk  bk 1  ak … r   b1  a0


13

Ta có r  f ( ) . Nếu r  0 có ngh a f ( )  0 . Theo định lí Bezout, do  là
nghiệm của đa thức f ( x) n n f ( x) ( x   ) . L c này, sơ đồ Horner có dạng



an

an1

…

ak

…

a0

bn

bn1

…

bk

…

0

Khi ấy, f ( x)  ( x   )(bn x n1  bn1x n2  ...  b2 x  b1 ) .
Định lí 1.1.11. (Ước chung lớn nhất của hai đa thức).
Xét các đa thức tr n trường ất kì. Nếu d ( x)  ( f ( x), g ( x)) thì tồn tại
các đa thức u ( x) và v ( x ) sao cho f ( x)u ( x)  g ( x)v( x)  d ( x).
Hệ quả 1.1.5. Hai đa thức f ( x) và g ( x ) là hai nguy n tố cùng nhau khi và
chỉ khi tồn tại hai đa thức u( x) và v ( x ) sao cho f ( x)u ( x)  g ( x)v( x)  1 .
Định lí 1.1.12. (Tiêu chuẩn bất khả quy trên trường tùy ý).

Trong vành A x , với  là một trường tùy . Khi đó, mọi đa thức

ax  b  x với a  0 đ u là đa thức ất khả quy tr n .
Định lí 1.1.13. (Tiêu chuẩn bất khả quy trên trường số thực, số phức).
Trong vành

 x ,

với

là trường số phức, đa thức f ( x) là ất khả quy

khi và chỉ khi nó có dạng f ( x)  ax  b, a  0.
Trong vành

 x , với

là trường số th c f ( x) ất khả quy khi và chỉ

khi f ( x)  ax  b, a  0 ho c f ( x)  ax 2  bx  c với iệt thức   0.
Lưu ý. Trong vành

 x việc thiết lập một ti

u chuẩn để một đa thức là ất

khả quy khá phức tạp. Tuy nhi n, từ một đa thức với hệ số hữu tỉ ao giờ
cũng đi tới một đa thức với hệ số nguy n.

ối với đa thức với hệ số nguy n,

hữu tỉ ta có nhận ét sau.
Nếu đa thức f ( x) 
cũng ất khả quy tr n

 x có

ậc lớn hơn 0 ất khả quy trong

 x. (Xem [10]).

 x thì nó


14

ì vậy, trong vấn đ v tính khả quy của đa thức trong
ở đa thức trong

 x. Ti

một đa thức f ( x) 

 x ta giới hạn

u chuẩn sau sẽ cho ta dấu hiệu đủ để kết luận r ng

 x

ất khả quy tr n

 x.

Định lí 1.1.14. (Tiêu chuẩn Eisenstein về đa thức bất khả quy trên

).

Cho đa thức với hệ số nguy n f ( x)  ao  a1x  ...  an1x n1  an x n ,

an  0, n  1. Nếu tồn tại một số nguy n tố p sao cho p không phải là ước
của an , p là ước của các hệ số còn lại ai (i  0,1,..., n  1) và p 2 không phải là
ước của a0 thì f ( x) ất khả quy trong

 x. Có ngh a

f ( x) khơng phân tích

được thành tích các đa thức nhân tử với ậc thấp hơn, với các hệ số hữu tỉ.
Định lí 1.1.15. (Xem [8]).
Cho đa thức với hệ số nguy n f ( x)  ao  a1x  ...  an1x n1  an x n ,

an  0, n  1. iả sử tồn tại số nguy n tố p thỏa p không phải là ước của an ,
p là ước của các hệ số a1, a2 ,..., ak (0  k  n) , p 2 không là ước của a0 .
Nếu f ( x) có thể iểu diễn được thành tích của hai đa thức với hệ số
nguy n thì ậc của một trong hai đa thức đó khơng nhỏ hơn k  1.
Định lí 1.1.16. (Xem[18]).
iả sử A là một trường.

ỗi đa thức f ( x)  A x có ậc n  1 đ u phân

tích được thành tích các đa thức ất khả quy.

phân tích đó là duy nhất, sai

khác thứ t các nhân tử và các nhân tử ậc không.
Hệ quả 1.1.6.

iả sử

là một trường số phức.

ọi đa thức f ( x) 

 x

ậc

 x

ậc

n  1 đ u phân tích được thành tích những nhị thức ậc nhất.
Hệ quả 1.1.7.

iả sử

là một trường số th c.

ọi đa thức f ( x) 

n  1 đ u phân tích được thành tích những nhị thức ậc nhất và những tam
thức ậc hai với iệt thức   0.


15

Lưu ý. ối với vành đa thức tr n trường số hữu tỉ
mạnh như các hệ quả tr n vì đa thức tr n

, ta không thể khẳng định

 x rất phức tạp. Tuy nhi

n, nếu

một đa thức f ( x) ậc n  1 có nghiệm hữu tỉ  thì theo hệ quả 1.1.1, nó có thể
phân tích được thành tích f ( x)  ( x   )q( x) .

ì vậy, để phân tích đa thức

thành nhân tử, ta có thể sử dụng cách tìm nghiệm của đa thức.
1.2. HÀM ĐA THỨC NHIỀU BIẾN
1.2.1. Các định nghĩa
Ở mục 1.1. từ các hạng tử trong một vành A , ta đ

ây d ng được vành

đa thức một ẩn A x. Ở mục này, ta sẽ đưa ra định ngh a vành đa thức n ẩn
lấy từ các hạng tử trong vành A như sau.
Định nghĩa 1.2.1. (Đa thức nhiều biến). (Xem [16]).

iả sử A là vành giao hoán có đơn vị. Ta ây d ng vành đa thức n ẩn
ng phương pháp quy nạp sau A1  A x1  , … , An  An1  xn .

tr n vành A

ành An  An1  xn  , kí hiệu là A x1 , x2 ,..., xn  được gọi là vành đa thức
của n ẩn x1 , x2 ,..., xn lấy hệ tử trong vành A.
ột ph n tử của A x1, x2 , ..., xn  được gọi là một đa thức của n ẩn

x1 , x2 ,..., xn lấy hệ tử trong vành A.
Kí hiệu f ( x1 , x2 ,..., xn ), g ( x1 , x2 ,..., xn ),...
ột đa thức nhi u iến tr n A x1 , x2 ,..., xn  đ u được viết dưới dạng

f ( x1, x2 ,..., xn )  a1x1k11 x2k12 ...xnk1n  ...  am x1km1 x2km 2 ...xnkmn với ai  A được gọi là hệ





tử, x1,..., xn được gọi là iến số lấy giá trị tr n A,  ki1,..., kin   k j1,..., k jn khi

i  j, ai x1k x2k ...xnk (ki1,..., kin  ) được gọi là hạng tử của f ( x1 , x2 ,..., xn ) hay
i1

i2

in

còn gọi là đơn thức. Nếu hệ số ai của đa thức
đa thức không hay f ( x1, x2 ,..., xn )  0 .

ng 0 thì đa thức được gọi là


16

Định nghĩa 1.2.2. (Hàm đa thức nhiều biến). (Xem [5]).
ọi S  Ar  A  A  ...  A là tập

Cho A là vành giao hốn có đơn vị.
hợp tích escartes.

ọi phép chiếu

ui : Ar  A
s

ui (s)  ui  s1,..., sr   si ,

với mọi i  1,..., r và s  (s1,..., sr )  Ar . Vành các hàm tử S  Ar vào A chứa
vành con Au1 , u2 ,..., ur  với mỗi ph n tử có dạng f   ai1...ir u1i1 ...urir gọi là
một hàm đa thức (có hệ tử trong A theo các iến u1 , u2 ,..., ur ) từ Ar vào A .
Định nghĩa 1.2.3. (Hai đa thức bằng nhau).
Trong vành A x1 , x2 ,..., xn  . Cho hai đa thức
m

f ( x1 , x2 ,..., xn )   a x x ...x
i 1

ki 1 ki 2

i 1
2

kin
n

m

và g ( x1 , x2 ,..., xn )   bi x1ki1 x2ki 2 ...xnkin .
i 1

Hai đa thức f ( x1, x2 ,..., xn ) và g ( x1, x2 ,..., xn ) được gọi là

ng nhau khi

và chỉ khi ch ng có các hạng tử như nhau.
Định nghĩa 1.2.4. (Bậc của đa thức nhiều biến). (Xem [16]).
Cho f ( x1, x2 ,..., xn )   x1, x2 ,..., xn  là một đa thức khác 0.

f ( x1, x2 ,..., xn )  a1x1k11 x2k12 ...xnk1n  ...  am x1km1 x2km 2 ...xnkmn , với ai  0, i  1,..., m và
(ki1,..., kin )  (k j1,..., k jn ) khi i  j. Ta gọi ậc của đa thức f ( x1, x2 ,..., xn ) đối
với iến xi là số mũ cao nhất mà xi có được trong các hạng tử của đa thức.
Nếu ẩn xi khơng có m t trong f ( x1,..., xn ) thì ậc của f ( x1,..., xn ) là 0.
Bậc của đa thức ( ậc đối với toàn thể các ẩn) là số lớn nhất trong các ậc
của các hạng tử của nó. Kí hiệu deg f ( x1, x2 ,..., xn ).
a thức 0 là đa thức khơng có ậc.


17

ể sắp ếp các hạng tử của một đa thức f ( x1,..., xn ) khác 0, ta có thể sắp
ếp theo thứ t tăng hay giảm đối với một ẩn nào đó. Ngồi ra, có thể sắp ếp
theo lối từ điển như sau.
Cho hai hạng tử x1k1 ...xnkn và x1l1 ...xnln ta có  k1, k2 , ..., kn    l1, l2 , ..., ln  khi
và chỉ khi có một chỉ số i  1,2,..., n sao cho k1  l1,..., ki1  li1, ki  li . B ng
cách này ta có thể sắp ếp các hạng tử của một đa thức f ( x1,..., xn ) từ cao
uống thấp. Hạng tử tương ứng với ph n tử lớn nhất được gọi là hạng tử cao
nhất của f ( x1,..., xn ).
1.2.2. Các phép tính trên đa thức nhiều biến
Trong vành A x1 , x2 ,..., xn  . Cho hai đa thức
m

m

f ( x1 , x2 ,..., xn )   a x x ...x
i 1

ki 1 ki 2
i 1
2

và g ( x1 , x2 ,..., xn )   bi x1ki1 x2ki 2 ...xnkin .

kin
n

i 1

o các tính chất của các phép tốn trong vành  x1, x2 ,..., xn  ta có tổng,
hiệu, tích của f ( x1, x2 ,..., xn ) và g ( x1, x2 ,..., xn ) như sau

m

f ( x1 , x2 ,..., xn )  g ( x1, x2 ,..., xn )   (ai  bi )x1ki1 x2ki 2 ...xnkin
i 1
m

f ( x1 , x2 ,..., xn )  g ( x1 , x2 ,..., xn )   (ai  bi )x1ki1 x2ki 2 ...xnkin
i 1

f ( x1 , x2 ,..., xn ) g ( x1 , x2 ,..., xn )   aib j x1 i1

k k j1

k  k jn

...xnin

, i  1,..., m và j  1,..., m.

i, j

1.2.3. Các tính chất cơ bản
Có thể tham khảo các tài liệu [5], [6], [16].
Định lí 1.2.1. iả sử đa thức f ( x1, x2 ,..., xn ) có hạng tử cao nhất là ax1k1 x2k2 ...xnkn
và đa thức g ( x1, x2 ,..., xn ) có hạng tử cao nhất là bx1l1 x2l2 ...xnln .
iả sử (k1,..., kn )  (l1,..., ln ) . L c này, hạng tử cao nhất của đa thức tổng

f ( x1, x2 ,..., xn )  g ( x1, x2 ,..., xn ) là ax1k1 x2k2 ...xnkn .

18

Hệ quả 1.2.1.

iả sử f1 ( x1,..., xn ),..., f h ( x1,..., xn ) là những đa thức có hạng tử

cao nhất theo thứ t là a1x1k11 ...xnk1n ,..., a1x1kh1 ...xnkhn .
Giả sử (k11, ..., k1n )  (k21, ..., k2n )  ...  (kh1, ..., khn ). Thế thì a1x1k11 ...xnk1n là
hạng tử cao nhất của đa thức tổng f1 ( x1,..., xn )  ...  f h ( x1,..., xn ).
Định lí 1.2.2. Cho hai đa thức khác không f ( x1, x2 ,..., xn ) và g ( x1, x2 ,..., xn )
của vành  x1,..., xn  có hạng tử cao nhất l n lượt là a1x1k11 x2k12 ...xnk1n và
b1x1l11 x2l12 ...xnl1n . Nếu a1b1  0 thì hạng tử cao nhất của đa thức tích

f ( x1,..., xn ) g ( x1,..., xn ) là a1b1x1k11 l11 ...xnk1n l1n .
1.3. ĐA THỨC ĐỐI XỨNG
Có thể tham khảo tr n các tài liệu [5], [6], [10], [16].
1.3.1. Định nghĩa
iả sử A là vành giao hốn có đơn vị. Xét vành đa thức  x1,..., xn  theo
các ẩn x1,..., xn độc lập đại số.

ột đa thức f ( x1,..., xn )  x1,..., xn  được gọi

là đa thức đối ứng của n ẩn x1,..., xn nếu f ( x1,..., xn )  f ( xi1 ,..., xin ) , với mọi
1 2 ... n 
phép thế 
 đa thức f ( xi1 ,..., xin ) suy ra từ f ( x1,..., xn )
i
i
...
i

n
1 2

ng cách thay

x1 ởi xi1 ,…, xn ởi xin . Nói cách khác, đa thức f ( x1,..., xn )  x1,..., xn  là đa
thức đối ứng nếu f ( x1,..., xn ) khơng thay đổi khi hốn vị các iến.
Trong lí thuyết các đa thức đối ứng của n ẩn x1,..., xn . Các đa thức đối
ứng sau đóng vai trị khá quan trọng 1  x1  ...  xn ,  2  x1x2  ...  xn1xn
,…,  n  x1x2 ...xn . Những đa thức này gọi là các đa thức đối ứng cơ ản.
1.3.2. Một số tính chất cơ bản
Định lí 1.3.1. Bộ phận gồm các đa thức đối ứng của vành  x1,..., xn  là
vành con của vành  x1,..., xn .


19

Bổ đề 1.3.1. iả sử f ( x1,..., xn ) là một đa thức đối ứng khác 0 và  x1k1 x2k2 ...xnkn
là hạng tử cao nhất của nó. Thế thì k1  k2  ...  kn .
Chứng minh. Ta phải chứng minh ki1  ki với i  2,..., n.

ì f ( x1,..., xn ) là đa

thức đối ứng n n ngoài hạng tử cao nhất  x1k1 ...xiki11 xiki ...xnkn , f ( x1,..., xn ) phải
chứa tất cả các hạng tử  x1k1 ...xiki 1 xiki1...xnkn suy ra từ hạng tử cao nhất đó

ng

cách thay xi1 ởi xi và xi ởi xi1.
Nếu ki  ki1 thì (k1,..., ki2 , ki , ki1,..., kn )  (k1,..., ki2 , ki1, ki ,..., kn ).

o đó

 x1k ...xik1 xik ...xnk không phải là hạng tử cao nhất, mâu thuẫn giả thiết.
1

i 1

i

Bổ đề 1.3.2.

n

iả sử k1,..., kn là những số t nhi n sao cho k1  k2  ...  kn . Thế

thì đa thức f ( x1,..., xn )  1k1 k2 2k2 k3 ... nkn11 kn nkn trong đó 1,..., n là các đa
thức đối ứng cơ ản, có hạng tử cao nhất là x1k1 x2k2 ...xnkn .
Chứng minh. Các hạng tử cao nhất của 1, 2 ,..., n1, n theo thứ t

là

x1, x1x2 , ..., x1x2 ...xn1, x1x2 ...xn . Áp dụng định lí 1.2.2, ta có hạng tử cao nhất
của f ( x1,..., xn ) là x1k1 k2 ( x1x2 )k2 k3 ...( x1x2 ...xn1 )kn1 kn ( x1x2 ...xn )kn  x1k1 x2k2 ...xnkn .
Bổ đề 1.3.3.

iả sử k1 là một số t nhi n. Bộ phận M của

n

, với

là tập

hợp các số t nhi n, gồm các ph n tử (t1, t2 ,..., tn ) sao cho k1  t1  t2  ...  tn
là hữu hạn.
Chứng minh.

ọi L là tập hợp hữu hạn gồm các số t nhi n 0,1,..., k1. Hiển

nhi n Ln hữu hạn và M  Ln , do đó M hữu hạn.
Bổ đề 1.3.4.

iả sử g (1,..., n ) là một đa thức của các đa thức đối ứng cơ

ản g (1,..., n )  a11k11 ... nk1n  ...  am1km1 ... nkmn , trong đó ai  0  i  1,..., m





và  ki1,..., kin   k j1,..., k jn khi i  j. Thế thì g (1,..., n )  0 .


20

Chứng minh. Thay  1

ng x1  x2  ...  xn ,..., n

ng x1x2 ...xn trong

g (1,..., n ), ta được một đa thức của các ẩn x1, x2 ,..., xn
m

g ( x1  x2  ...  xn ,..., x1 x2 ...xn )  f ( x1 , x2 ,..., xn )   fi (x1 , x2 ,..., xn ), với
i 1

fi ( x1,..., xn )  a1 ( x1  x2  ...  xn )ki1 ...( x1x2 ...xn )kin , i  1,2,...,m.
Hạng tử cao nhất của đa thức fi ( x1,..., xn ) theo định lí 1.2.2 là
ai x1ki1 ( x1x2 )ki 2 ...( x1x2 ...xn )kin  ai x1ti1 x2ti 2 ...xntin , trong đó ki1  ki 2  ...  kin  ti1,

ki 2  ...  kin  ti 2 , …, kin  tin . Hạng tử cao nhất của mỗi đa thức fi ( x1,..., xn )
cho ta ph n tử (ti1, ti 2 ,..., tin ) 

n

. Ta có (ti1, ti 2 ,..., tin )  (t j1, t j 2 ,..., t jn ) khi i  j

ì nếu (ti1, ti 2 ,..., tin )  (t j1, t j 2 ,..., t jn ) với i  j thì ki1  ti1  ti 2  t j1  t j 2  k j1 ,

ki 2  ti 2  ti 3  t j 2  t j 3  k j 2 ,…, kin  tin  t jn  k jn với i  j, mâu thuẫn.
ì

n

sắp thứ t tồn ph n n n ộ phận hữu hạn gồm các ph n tử

(ti1, ti 2 ,..., tin ) , i  1,..., m , có ph n tử lớn nhất. Theo hệ quả 1.2.1 a1x1ti1 ...xntin là
hạng tử cao nhất của f ( x1,..., xn ).

ậy g (1,..., n )  f ( x1,..., xn ) là khác 0.

Hệ quả 1.3.1. Cho hai đa thức h( x1,..., xn )  a1x1k11 ...xnk1n  ...  am x1km1 ...xnkmn và

h '( x1,..., xn )  a '1 x1k11 ...xnk1n  ...  a 'm x1km1 ...xnkmn trong đó (ki1,..., kin )  (k j1,..., k jn ) ,

i  j sao cho h(1,..., n )  h '(1,..., n ) . Thế thì ai  a 'i , i  1,2,..., m.
Chứng minh.

iả sử ai  a 'i .

t g (1,..., n )  h(1,..., n )  h '(1,..., n )

 (a1  a '1 )1k11 ... nk1n  ...  (am  a 'm )1km1 ... nkmn .

ì ai  a 'i n n ai  a 'i  0.

Theo ổ đ 1.3.4 ta có g (1 , . . ., n ) . 0Trái với giả thiết g (1,..., n )  0.
Mâu thuẫn.