SKKN PT Da thuc thanh nhan tu t 8doc

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

A. Phần mở đầu
<b>I/ Lí do chọn đề tài</b>

Cùng với sự phát triển của đất nớc, sự nghiệp giáo dục cũng không ngừng đổi
mới. Các nhà trờng đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lợng giáo dục tồn diện bên
cạnh sự đầu t thích đáng cho giáo dục mũi nhọn. Với vai trị là mơn học cơng cụ, bộ
mơn tốn đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các bộ môn khoa học tự
nhiên khác.

Dạy nh thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách
có hệ thống mà phải đợc nâng cao để các em có hứng thú, say mê học tập là một câu
hỏi mà mỗi thầy cơ chúng ta ln đặt ra cho mình.

Để đáp ứng đợc yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của học
sinh đặc biệt là học sinh khá, giỏi. Điều đó địi hỏi trong giảng dạy chúng ta phải biết
chắt lọc kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tợng và phát triển thành
tổng quát giúp học sinh có thể phát triển tốt t duy toán học.

Với đối tợng học sinh khá, giỏi, các em có t duy nhạy bén, có nhu cầu hiểu biết
ngày càng cao, làm thế nào để các học sinh này phát huy hết khả năng của mình, đó
là trách nhiệm của các giáo viên chúng ta. Bản thân tôi, trong năm học 2010 – 2011
ddợc nhà trợng phân cơng giảng dạy bộ mơn tốn 8 tơi nhận thấy “<i><b>Các phơng pháp</b></i>

<i><b>phân tích đa thức thành nhân tử</b></i> " là đề tài lí thú, phong phú và đa dạng của mơn

®ai sè líp 8 và không thể thiếu khi bồi dỡng học sinh khá giỏi môn toán 8 cũng nh
môn toán THCS. Với bài viết này, tôi không tham vọng lớn bàn về việc dạy <i><b>Các </b></i>

<i><b>ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử</b></i> "và ứng dụng của nó trong chơng tr×nh

tốn học phổ thơng, tơi chỉ xin đa ra một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 8 giải

các bài tập về “<i><b>Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử</b></i> ". Tơi hy vọng nó
sẽ có ích cho các đồng nghiệp khi bồi dỡng học sinh khá, giỏi

<b>II. Nhiệm vụ của đề tài </b>

Trong khn khổ đề tài này bản thân tơi sẽ trình bày “Một vài kinh nghiệm
giúp học sinh lớp 8 giải các bài tập về Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân
tử ". Cụ thể là :

+ Đặt nhân tử chung.
+ Dùng hằng đẳng thức.
+ Nhóm nhiều hạng t.

+ Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
+ Thêm bớt cùng một hạng tử

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>III. Đối t ợng nghiên cứu</b>

Đề tài nghiên cứu qua các tiết dạy về <i><b>Các phơng pháp phân tích đa thức</b></i>

<i><b>thnh nhõn t</b></i> "trong SGK Toán 8 tập 1, qua định hớng đổi mới phơng phỏp dy

toán 8.

Đối tợng khảo sát : Học sinh lớp 8
<b>IV. Ph ơng pháp nghiên cứu</b>

- Phơng pháp nghiên cứu tài liệu
- Phơng pháp thực hành

- ỳc rỳt 1 phần kinh nghiện qua các đồng nghiệp và bản thân khi dy phn <i><b>p</b></i>

phân tích đa thức thành nhân tử

. Nội dung

<b>* Tr ớc hết học sinh cần nắm vững một số ph ơng pháp phân tích cơ bản</b>
<i><b>Ph</b></i>

<i><b> ơng pháp 1</b><b> : Phơng pháp đặt nhân tử chung (thừa số)</b></i>
<b>1. Các ví dụ:</b> Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a. 12x2_{y - 18y}3

b. 3x2_{(y - 2z) - 15x(y - 2z)}2

<b>Giải</b>
a. Các dạng tử có nhân tử chung là 6y, do đó:
12x2_{y - 18y}3_{= 6y.2x}2_{- 6y.3y}2_{= 6y(2x}2_{- 3y}2₎
b. Các hạng tử có nhân tử chung là 3x(y - 2z)
Do đó ta có: 3x2_{(y - 2z) - 15x(y - 2z)}2

= 3x(y - 2z) [x -5(y - 2z)]
= 3x(y - 3z)(x - 5y + 10z)

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Cã thĨ viÕt lµ: 2x2_{(3y - z) - (3y - z)(x + y) vµ xuÊt hiện nhân tử chung là (3y - z).}
<i><b>Ph</b></i>

<i><b> ơng pháp 2</b><b> : Phơng pháp dùng hằng đẳng thức.</b></i>
<b>1. Các ví dụ:</b> Phân tích đa thức sau thành nhâ tử

a. 4x2_{- 12x + 9 c. 16x}2_{- 9(x + y)}2
b. 27 - 27x + 9x2_{- x}3_{b. 1 - 27x}3_y6

<b>Gi¶i</b>
a. 4x2_{- 12x + 9 = (2x)}2_{- 2.2x.3 + 3}2_{= (2x - 3)}2

b. 27 - 27x + 9x2_{- x}3_{= 3}3_{- 3.3}2_x_{+ 3.3x}2_{- x}3_{= (3 -x)}3
c. 16x2_{- 9(x + y)}2_{= (4x)}2_{- [3(x + y)]}2

= (x - 3y)(7x + y)

d. 1 - 27x3_y6_{= 1}3_{- (3xy}2₎3_{= (1- 3xy}2_{)(1 + 3xy}2_{+ 9x}2_y4₎

<b>2. Chú ý:</b> Đôi khi phải đổi dấu mới áp dụng đợc hằng đẳng thức, chẳng hạn:
- x4_y2_{- 8x}2_{y - 16 = -(x}4_y2_{+ 8x}2_{y + 16) = - (x}2_{y + 4)}2

<i><b>Ph</b></i>

<i><b> ¬ng pháp 3</b><b> : Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử</b></i>

<b>1. Các ví dụ:</b> Phân tích các đa thức sau thành nhân tö:
a. xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10) = y(x - 5) + 2(x - 5)

= (x - 5)(y + 2)
b. 2xy + z +2x +yz = (2xy + 2x) + (z + yz)

= 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z)
c. x2_{+ 2x + 1 - y}2_{= (x}2_{+ 2x + 1) - y}2

= (x + 1)2_{- y}2_{= (x + y +1)(x - y + 1)}

<b>2. Chú ý:</b> Đối với một đa thức có thể có nhiều cách nhóm những hạng tử. Chẳng hạn ở ví
dụ a có thể phân tích nh sau:

xy - 5y + 2x - 10 = (xy + 2x) - (5y + 10)
= x(y + 2) - 5(y + 2) = (y + 2)(x - 5)

<b>3. Nhận xét:</b> Khi phân tích đa thức thành nhân tử thờng phối hợp 3 phơng pháp kể trên.
Nếu đa thức có nhân tử chung thì đầu tiên nên đặt nhân tử chung ra ngoài hoặc đa thức
trong ngoặc đơn giản hơn đa thức đã cho. Do đó tiếp tục phân tích sẽ n gin hn.

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư
5x5_y2_{- 10x}4_y2_{- 5x}3_y4_{- 10x}3_y3_{z - 5x}3_y2_z2_{+ 5x}3_y2
= 5x3_y2_(x2_{- 2x - y}2_{- 2yz - z}2_{+ 1)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>* Khi học sinh đã nắm chắc các ph ơng pháp phân tích cơ bản giáo viên đ a ra</b>
<b>một vài ph ơng pháp th ờng dùng phân tích đa thức thành nhân tử</b>

<b>i. Ph¬ng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử</b>

<b>Tam thức bËc hai: F(x) = ax2 + bx + c</b>

Ph

ơng pháp 1 : Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

<b>Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tư ®a thøc sau: N = a2_{- 6a + 8.}</b>

<i><b>* Nhận xét: Đa thức trên khơng có thừa số chung, cũng khơng có dạng của một hằng</b></i>
<i><b>đẳng thức đáng nhớ nào và cũng khơng thể nhóm các hạng tử. Ta biến đổi đa thức ấy</b></i>

<i><b>thành đa thức có nhiều hạng tử hơn bằng cách tách một hạng tử thành 2 hay nhiều</b></i>
<i><b>hạng tử.</b></i>

LG:
C¸ch 1: a2_{- 4a - 2a + 8 (T¸ch - 6a = (- 4a) + (-2a)}

= (a2_{- 4a) - (2a - 8) (Nhãm h¹ng tö)}
= a (a - 4) - 2 (a - 4) (Đặt nhân tử chung)
= (a - 4) (a - 2) (Đặt nhân tử chung)
Cách 2: N = a2_{- 6a + 9 - 1 (T¸ch 8 = 9 - 1)}

= (a2_{- 6a + 9) - 1 (nhóm hạng tử - xuất hiện hằng đẳng thức)}
= (a - 3)2_{- 1 (Sử dụng hằng đẳng thức)}

= (a - 2) (a + 2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC)

C¸ch 3: N = a2_{- 4a + 4 - 2a + 4 (T¸ch 8 = 4 + 4, - 6x = - 4a + ( - 2a)}
= ( a2_{- 4a + 4) - ( 2a - 4) (Nhãm h¹ng tö)}

= (a - 2)2_{- 2(a -2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)}
= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC - biến thàng 2 nhân t)

<b>Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau nhân tử: x2_{- 6x + 8}</b>

<b>Giải</b>
Cách 1: x2_{- 6x + 8 = x}2_{- 2x - 4x + 8}

= x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4)

C¸ch 2: x2_{- 6x + 8 = x}2_{- 6x + 9 - 1}

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

= (x - 2)2_{- 2(x - 2) = (x - 2)(x - 4)}
C¸ch 4: x2_{- 6x + 8 = x}2_{- 4 - 6x + 12}

= (x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
C¸ch 5: x2_{- 6x + 8 = x}2_{- 16 - 6x + 24}

= (x - 4)(x + 4) - 6(x - 4) = (x - 4)(x - 2)
C¸ch 6: x2_{- 6x + 8 = 3x}2_{- 6x - 2x}2_{+ 8}

= 3x(x - 2) - 2(x2_{- 4) = (x - 2)[3x - 2(x + 2)]}
= (x - 2)(x - 4)

<b>Tổng quát: Để phân tích đa thức dạng tam thức bËc hai ax2_{+ bx + c ta lµm nh sau}</b>

+ Bớc 1: Tìm tích a.c

+ Bớc 2: Phân tích a.c thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi cách.
+ Bớc 3: Chẳng hạn thừa số mà có tổng b»ng b.

Trong vÝ dơ trªn x2_{- 6x + 8 cã a = 1; b = - 6 vµ c = 8.}

Tích a.c = 8, ta phân tích 8 thành tích của 2 thừa số, hai thừa số này cùng dấu nhau
(vì tích của chúng bằng 8) và cùng âm (để tổng của chúng bằng - 6); ví dụ: (- 4, - 2).

Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 9x2_{+ 6x - 8}
<b>Giải</b>

Cách 1: Cách hạng tử thứ 2

9x2_{+ 6x - 8 = 9x}2_{- 6x + 12x - 8 = 3x(3x - 2) + 4(3x - 2)}
= (3x - 2)(3x + 4)

Chú ý hệ số 6 đợc phân tích thành - 6 và 12, vì có tích bằng 72 bằng 9.(- 8).
Cách 2: Tách hạng tử thứ 3

9x2_{+ 6x - 8 = (9x}2_{+ 6x + 1) - 9 = (3x + 1)}2_{- 9}
= (3x + 1 + 3)(3x + 1 - 3) = (3x + 4)(3x - 2)
<b>*Chú ý:</b>

Đa thức dạng ax2_{+ bxy + cy}2_{khi phân tích cách làm tơng tự nh đa thức bậc 2 một}
biến

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x2_{- 7xy + 3y}2
<b>Giải</b>

Cách 1: 4x2_{- 7xy + 3y}2_{= 4x}2_{- 4xy - 3xy + 3y}2_{= 4x(x - y) - 3y(x - y)}
= (x - y)(4x - 3y)

C¸ch 2: 4x2_{- 7xy + 3y}2_{= 4x}2_{- 8xy + 4y}2_{+ xy - y}2
= 4(x2_{- 2xy + y}2_{) + y(x - y)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>Tam thøc bËc ba: ax3_{+ bx}2_{+ cx + d}</b>

*Tríc tiªn häc sinh phải năm vững một số kiến thức về nghiệm của đa thức
a. Định nghĩa nghiệm của đa thức

S a c gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0, nh vậy nếu đa thức f(x) có
nghiệm x = a thì nó chứa thừa số x - a.

* Khi xét nghiệm của đa thức ta cần nhớ các nh lý sau:

b. Định lý 1: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức.

c. Định lý 2: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số
của các số hạng bậc lẽ thì - 1 là nghiệm của đa thức.

d. nh lý 3: Nếu đa thức f(x) với các hệ số ngun có nghiệm ngun thì nghiệm ngun
đó sẽ là ớc ca h s t do.

Chú ý: Để nhanh chóng loại trừ các ớc của hệ số tự do, không là nghiƯm cđa ®a thøc
cã thĨ dïng nhËn xÐt sau:

NÕu a lµ nghiƯm nguyên của đa thức f(x) vµ f(1), f(-1) kh¸c 0 thì <i>f</i>(1)

<i>a</i>1 và

<i>f</i>(<i></i>1)

<i>a</i>+1 u l s nguyờn.

<b>Ví dụ 1:</b> <b>phân tích đa thức thành nhân tử : f(x) = x3</b><b>_x2_{- 4}</b>

<b>Giải</b>

Lần lỵt kiĨm tra víi x = _1;_2;_{4, ta thÊy f(2) =}<b>₂3</b> _–<b>₂2_{- 4 = 0}</b>

Đa thức có nghiệm x =2, do đó chứa nhâ tử x - 2
Cách 1: x3_{– x}2_{- 4 = x}3_{– 2x}2_{+ x}2 _{– 2x + 2x - 4}

= x2_{(x – 2) + x(x – 2) + 2(x – 2) = (x – 2)(x}2_{+ x+ 2)}
C¸ch 2: x3_{– x}2_{- 4 = x}3_{– 8 – x}2_{+ 4}

= (x – 2)(x2_{+ 2x + 2) - (x + 2) (x – 2)}

= (x – 2)( x2_{+ 2x + 4 –x – 2) = (x – 2)(x}2_{+ x+ 2)}
VÝ dô 2: f(x) = 4x3_{- 13x}2_{+ 9x - 18}

Cã c¸c íc cđa 18 lµ:  1;  2;  3;  6;  9;  18.
f(1) = 4 - 13 + 9 - 18 = - 18

f(-1) = - 4 - 13 - 9 - 18 = - 44

HiĨn nhiªn 1 không là nghiƯm cđa f(x), ta thÊy: <i>−</i>18

(<i>−</i>3<i>−</i>1) ;

<i></i>18

(<i></i>6<i></i>1) ;

<i></i>18

(<i></i>9<i></i>1) ;

<i></i>18

(<i></i>18<i></i>1) không nguyên nên - 3;  6;  9; 18 không là nghiệm của f(x);

<i></i>44

(2+1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

e. Định lý 4: Đa thức f(x) với các hệ số nguyên nếu có nghiệm hữu tỷ x = <i>p</i>

<i>q</i> thì p là ớc

của hệ số tự do, q là ớc dơng của hệ số cao nhất.
<b>* Các bài tập</b>

Phân tích đa thức thành nhân tử
a, x3_{- 5x}2_{+ 8x 4}

b, x3_{- 5x}2_{+ 3x + 9}
c, 2x3 _{- x}2_{+ 5x + 3}
Đáp án

a, x3_{- 5x}2_{+ 8x - 4}

Ta thấy đa thức đã cho có tổng các hệ số là 1 - 5 + 8 - 4 = 0, nên 1 là nghiệm của đa thức. Đa
thức đã cho chứa thừa số là x - 1; ta tách các hạng tử nh sau:

x3_{- 5x}2_{+ 8x - 4 = x}3_{- x}2_{- 4x}2_{+ 4x + 4x - 4}
= x2_{(x - 1) - 4x(x - 1) + 4(x - 1)}

= (x - 1)(x2_{- 4x + 4) = (x - 1)(x - 2)}2
b, x3_{- 5x}2_{+ 3x + 9}

Ta thấy các hệ số của đa thức 1 + 3 = - 5 + 9, nên đa thức đã cho có nghiệm là -1, đa thức

chứa thừa số x + 1

Ta t¸ch nh sau: x3_{- 5x}2_{+ 3x + 9 = x}3_{- 6x}2_{+ x}2_{- 6x + 9x + 9}
= x2_{(x + 1) - 6x(x + 1) + 9(x + 1)}

= (x + 1)(x2 _{- 6x + 9) = (x + 1)(x - 3)}2
c, 2x3 _{- x}2_{+ 5x + 3}

Ta thấy 1; 3 không phải là nghiệm của đa thức, xét các số hữu tỷ dạng p/q vứi p là Ư(2)
và q là Ư(3) gồm 1

2 ; 

3

2 . Ta cã -
1

2 lµ nghiệm của đa thức nên nó chứa thừa số
2x + 1.

VËy: 2x3 _{- x}2_{+ 5x + 3 = 2x}3 _{+ x}2_{- 2x}2 _{+ 6x - x + 3}
= x2_{(2x + 1) - x(2x + 1) + 3(2x + 1) = (2x + 1)(x}2_{- x + 3}

<b>II. ph¬ng pháp thêm bớt cùng một hạng tử</b>
<b>1. Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện củ hai bình phơng</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Ta nhận thấy đa thức đã cho là tổng của 2 bình phơng (2x2₎2_{+ 9}2_{tơng ứng với 2 số}
hạng A2 _{+ B}2_{của hằng đẳng thức A}2 _{+ 2AB + B}2_{còn thiếu 2AB. Vậy cần thêm bớt 2.2x}2_.9
để làm xuất hiện hằng đẳng thức:

Ta cã: 4x4_{+ 81 = (2x}2₎2 _{+ 9}2_{+ 2.2x}2_{.9 - 2.2x}2_.9
= (2x2_{+ 9)}2_{- (6x)}2_{= (2x}2_{- 6x + 9)(2x}2_{+6x + 9).}
<b>VÝ dơ2</b> Ph©n tÝch đa thức thành nhân tử : 64x4_{+ y}4

<b>LG</b>
Thêm bớt 16 x2_y2

64x4_{+ y}4_{= 64x}4_{+ 16 x}2_y2_{+ y}4_{- 16 x}2_y2_{= (8x}2_{+ y}2₎2_{– (4xy)}2
= (8x2_{+ y}2_{+ 4xy) (8x}2_{+ y}2_{- 4xy)}

<b>Chú ý:</b> Nh vây việc thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức rất tiện lợi,
song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào? để xuất hiện hằng đẳng thức nào? bình phơng
của 1 tổng hay hiệu hai bình phơng... thì mới phân tích triệt để c.

<b>* Các bài tập</b>

Phân tích đa thức thành nhân tử
a, 4x4_{+ 1}

b, 4x4_{+ y}4
c, x4_{+ 324}
d, x4_{+ 4}
e, a4_{+ 64}

<b>* Híng dÉn gi¶i </b>
a, 4x4_{+ 1 Thªm bít 4x}2
b, 4x4_{+ y}4_{Thªm bít 4x}2_y2
c, x4_{+ 324 Thªm bít 36x}2
d, x4_{+ 4 Thªm bít 4x}2

e, a4_{+ 64 Thªm bít 16a}2

<b>2. Thêm và bớt cùng một số hạng để làm xuất hiện thừa số chung</b>
<b>Ví dụ1 </b> Phân tích đa thức thành nhân tử : x5_{+ x - 1}

<b>LG</b>

C¸ch 1: x5_{+ x – 1 = x}5_{– x}4_{+ x}3_{+ x}4_{– x}3_{+ x}2_{– x} 2_{+ x - 1}
= x3_(x 2_{- x + 1) + x}2_(x 2_{- x + 1) - (x} 2_{- x + 1)}

= (x 2_{- x + 1) (x} 3_{+ x}2_{- 1)}
Cách 2: Thêm bít x2

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

= x2_(x3_{+1) - (x} 2_{- x + 1)}
= (x 2_{- x + 1)[x}2_(x 2_{+ 1) – 1]}
=(x 2_{- x + 1) (x} 3_{+ x}2_{- 1)}

<b>VÝ dơ 2:</b> Ph©n tÝch đa thức thành nhân tử : x2_{+ x}2_{+ 1}
<b>LG</b>

x2_{+ x}2_{+ 1 = x}2_{- x + x}2_{+ x + 1}
= x(x3_{+ 1)(x}3_{- 1) + (x}2_{+ x + 1)}

= x(x3_{+ 1)(x - 1)(x}2_{+ x + 1) + (x}2_{+ x + 1)}
= (x2_{+ x + 1)[x(x}3_{+ 1)(x - 1) + 1)]}

= (x2_{+ x + 1)(x}5_{- x}4_{+ x}2_{- x + 1).}

<b>III. phơng pháp biến đổi</b>

<b>VÝ dụ 1:</b> Phân tích đa thức thành nhân tử : x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
<b>LG</b>

x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2_{+ 10x)( x}2_{+ 10x + 24) + 128}
Đặt

x2_{+ 10x + 12 = t thì đa thức đã cho có dạng}
(t – 12)(t + 12) + 128 = t2_{– 16 = (t + 4)(t – 4)}

= (x2_{+ 10x + 16)(x}2_{+ 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x}2_{+ 10x + 8)}
<b>NhËn xÐt: </b>

Trong ví dụ trên, nhờ phơng pháp biến đổi, ta đã đa đa thức bậc bốn đối với x thành a thc
bc hai i vi t

<b>* Các bài tập </b>

Phân tích đa thức thành nhân tử
a, (x2_{+ x)}2_{+ 4x}2_{+ 4x - 12}

b, (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24
<b>* Híng dÉn gi¶i</b>

a, Ta thấy nếu đặt (x2_{+ x) = y thì đa thức có dạng y}2_{+ 4y - 12.}
Ta có: y2_{+ 4y - 12 = y}2_{+ 6y - 2y - 12}

= y(y + 6) - 2(y + 6) = (y + 6)(y - 2)
Tơng đơng với: (x2_{+ x +6)(x}2_{+ x - 2)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

= (x2_{+ x +6)(x + 2)(x - 1)}

b, (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 = [(x + 2)(x + 3)][(x + 4)(x + 5)] - 24
= (x3_{+ 7x + 10)(x}3_{+ 7x - 12) - 24 (*)}

Đặt x3_{+ 7x + 11 = y thì (*) = (y - 1)(y + 1) - 24}
= y2_{- 1 - 24 = y}2_{- 25 = (y + 5)(y - 5)}
Tơng đơng với (x3_{+ 7x + 6)(x}3_{+ 7x + 16)}

= (x + 1)(x + 6)(x3_{+ 7x + 16)}

<b>Iv Phơng pháp hệ số bất định</b>

<b>VÝ dơ1 </b>: Ph©n tích đa thức sau thành nhân tử : x4_{- 6x}3_{+ 12x}2_{+ 14x + 3}
<b>LG</b>

C¸c hƯ sè  1; 3 là Ư(3) nhng không phải là nghiệm của đa thức nên đa thức không có
nghiệm hữu tỷ.

Nh vậy, đa thức trên khi phân tích sẽ cã d¹ng (x2 _{+ ax + b)(x}2_{+ cx + d)}
Phép nhân này cho kết quả:

x4_{+ (b + c)x}3_{+ (ac + b + d)x}2_{+ (ad + bc)x + bd}
Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta đợc

a + b = 6

ac + b + d = 12
ad + bc = - 14
bd = 3

XÐt bd = 3 víi b, d  z; b  { 1;  3}; víi b = 3 th× d = 1.
Hệ trên thành:

a + b = - 6
ac = 8
a + bc = -14

 2c = -14 -(-6) = 8 do đó c = - 4; a = - 2

Vậy đa thức đã cho phân tích thành: (x2_{- 2x + 3)(x}2 _{- 4x + 1)}

<b>Chó ý:</b> Khi biết kết quả ta có thể trình bày lời giải trên bằng cách hạng tử:
x4_{- 6x}3_{+ 12x}2_{+ 14x + 3}

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>V Phơng pháp xét giá trị tuyệt đối</b>

Trong phơng pháp này trớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức rồi gán
cho các biến giá trị cụ thể để xác nh tha s cũn li.

<b>Ví dụ1:</b> Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2_{(y - z) + y}2_{(z - x) + z}2_{(x - y)}
<b>LG</b>

Nªn thay x b»ng y th× P = y2_{(y - z) + y}2_{(z - y).}

Nh vËy P chøa thõa sè x - y. Do vai trß cđa x, y, z nh nhau trong P nªn P chøa x - y thì cũng
chứa y - z và z - x.

Vậy dạng cđa P lµ k(x - y)(y - z)(z - x)

Ta thấy k phải là hằng số vì có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x - y)(y - z)(z

- x) cũng có bậc 3 đối với các biến x, y, z

Ta cã: x2_{(y - z) + y}2_{(z - x) + z}2_{(x - y)}

= k(x - y)(y - z)(z - x) đúng với  x, y, z.

Nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng x = 1, y = 0, z = -1
Ta cã: 1.1 + 0 + 1.1 = k.1.1.(-2)

2 = - 2k => k = - 1

VËy P = x2_{(y - z) + y}2_{(z - x) + z}2_{(x - y)}

= x2_{(y - z) + y}2_{(z - y + y- x) + z}2_{(x - y)}
= x2_{(y - z) - y}2_{(y - z) - y}2_{(x - y) + z}2_{(x - y)}
= (y - z)(x - y)(x + y) + (x - y)(z - y)(z + y)
= (x - y)(y - z)(x + y - z - y)

= (x - y)(y - z)(x - z)

c. c¸c øng dơng cđa

phân tích đa thức thành nhân tử

<b>1. Chứng minh quan hƯ chia hÕt</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>VÝ dơ:</b> Chøng minh r»ng

A = n4_{+ 6n}3_{+ 11n}2_{+ 6n chia hÕt cho 24 víi mäi sè tù nhiªn n}
Ta cã 24 = 8.3

A = n(n3_{+ 6n}2_{+ 11n + 6)}
= n(n3_{+ n}2_{+ 5n}2_{+ 5n + 6)}

= n[n2_{(n + 1) + 5n(n + 1) + 6(n + 1)]}
= n(n + 1)(n2_{+ 5n + 6)}

= n(n + 1)(n + 2)(n + 3)

Trong 4 số tự nhiên liên tiếp n; n + 1; n + 2; n + 3 có một thừa số chia hết cho 2, một số
chia hết cho 4, do đó A chia hết cho 8.

MỈt khác trong 3 số tự nhiên liên tiếp tồn tại mét sè chia hÕt nªn n(n + 1)(n + 2) chia hết
cho 3.

Vì ƯSCNN (3,8) = 1 nên A chia hÕt cho 8

VËy A = n(n3_{+ 6n}2_{+ 11n + 6) chia hÕt cho 8 víi}__n.
<b>2. Gi¶i phơng trình bậc cao</b>

F(x) = 0 nu cú nghim thng đợc giải bằng cách phân tích f(x) thành nhân tử rồi
giải các phơng trình bậc nhất một ẩn.

<b>VÝ dơ 1:</b> Giải phơng trình

(x2_{- 1)(x}2_{+ 4x + 3) = 192}

 (x - 1)(x + 1)2_{(x + 3) = 192}

 (x + 1)2_{[(x - 1)(x + 3)] = 192}

 (x2_{+ 2x + 1)(x}2_{+ 2x + 3) = 192}
Đặt x2_{+ 2x - 1 = y ta cã:}

(y + 2)(y - 2) = 192  y2_{- 4 = 192}_y2 _{= 196}_{y =}_₁₄
* Víi y = 14 ta cã x2_{+ 2x - 1 = 14}

 x2_{+ 2x - 15 = 0}_{(x - 3)(x + 5) = 0}_{x = 3 vµ x = - 5}
* Víi y = - 14 ta cã x2_{+ 2x - 1 = - 14}

 x2_{+ 2x + 13 = 0}_{(x + 1)}2_{+ 12 = 0 (lo¹i)}
VËy nghiƯm cđa phơng trình là x = 3 và x = - 5
<b>Ví dụ 2:</b> Giải phơng trình (x - 6)4_{+ (x - 8)}4_{= 16}

Đặt x - 7 = y, phơng trình đã cho là (y + 1)4_{+ (y - 1)}4_{= 16}

 2y4_{+ 12y}2 _{+ 2 = 16}_y4_+6y2_{+ 1 = 8}_y4_+6y2_{- 7 = 0}

 (y2_{- 1)(y}2_{+ 7) = 0}

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Vậy x = 6 và x = 8 là nghiệm của phơng trình.
<b>3. Tìm tập xác định và rút gọn một phân thức</b>

Muốn tìm tập xác định và rút gọn một phân thức đại số bao giờ ta cũng phải phân
tích mẫu thức và tử thức thành nhân tử.

Ví dụ 1: Tìm tập xác định và rút gọn phân thức sau

A = x

3_{- 5x}2_{- 2x + 24}
x3_{- x}2_{- 10x - 8}

Ph©n tÝch tö thøc: x3_{- 5x}2_{- 2x + 24}

= x3_{+ 2x}2 _{- 7x}2_{- 14x + 12x + 24}_x2_{(x + 2) - 7x(x +2) + 12(x + 2)}

 (x + 2)(x2_{- 7x + 12) = (x + 2)(x - 3)(x + 4)}
Ph©n tÝch mÉu thøc: x3_{- x}2_{- 10x - 8}

= x3_{+ 2x}2_{- 3x}2_{- 6x - 4x - 8}_x2_{(x + 2) - 3x(x + 2) - 4(x + 2)}
= (x + 2)(x2_{- 3x - 4)}_{(x + 2)(x + 1)(x - 4)}

Tập xác định của phân thức là x  -1; x  -2; x  4
Phân thức đợc rút gọn là

A = (x + 2)(x - 3)(x + 4) = x - 3
(x + 2)(x + 1)(x - 4) x + 1
<b>4. Giải bất phơng trình</b>

<b>Ví dụ 1:</b> Gải bất phơng trình sau: x2_{- 2x - 8 < 0}

 x2_{- 4x + 2x - 8 < 0}

 x(x - 4) + 2(x - 4) < 0

 (x - 4)(x + 2) < 0
LËp b¶ng xÐt dÊu:

x - 2 4

x +2 - 0 + +

x - 4 - - 0 +

(x - 4)(x + 2) + 0 - 0 +

Nghiệm của bất phơng trình - 2 < x < 4
<b>Ví dụ 2:</b> Giải bất phơng tr×nh

x3_{- 3x + 2}

 0
x2_{- 5x + 6}

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

- Tập xác định là x  2, x  3

- Biến đổi tử thức: x3_{- 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)}

- Bất phơng trình đã cho tơng đơng với bất phơng trình sau:
x - 1

 0
x - 3

- LËp b¶ng xÐt dÊu

x 1 3

x - 1 - 0 + +

x - 3 - - 0 +

<i>x −</i>1

<i>x</i>+3 + 0 - 0 +

- NghiÖm của bất phơng trình là x 1và x 3

d. KÕt luËn

Với những kinh nghiệm nh đã trình bày, sau nhiều năm bồi dỡng học sinh giỏi toán
lớp 8, bản thân tơi thấy trình độ học sinh đợc nâng lên rõ rệt. Hầu hết học sinh đã phân tích
thành thạo các tam thức bậc 2 thành nhân tử. Học sinh khá giỏi đã sử dụng linh hoạt các
phơng pháp nh đặt ẩn phụ, thêm bớt, hệ số bất định vào các đa thức phức tạp thành nhân tử.
Học sinh tỏ ra sáng tạo hơn trong quá trình giải bài tập, một bài tập các em có thể giải theo
nhiều cách, sau đó các em lựa chọn cách giải dễ hiểu nhất để trình bày.

e Bµi häc kinh nghiƯm

Phần “phân tích đa thức thành nhân tử” ở lớp 8 là một nội dung quan trọng, bởi kiến
thức này có liên quan chặt chẽ, là tiền đề để học sinh học tốt các kiến thức về sau. Do vậy
trớc tiên giáo viên nên cho học sinh nắm thật vững phơng pháp phân tích đã nêu trong
SGK, tiếp đến là phơng pháp tách hạng tử, đặc biệt là tách tam thức bậc 2 bởi phơng pháp
này rất hay sử dụng. Với học sinh khá giỏi cần hớng dẫn thêm cho các em phơng pháp
thêm bớt, đặt ẩn phụ, phơng pháp hệ số bất định. Để học sinh nắm vững và hứng thú học
tập, giáo viên cần chọn lọc hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó, tạo sự tìm
tịi cho các em.

Trong khn khổ đề tài này, tôi hy vọng giúp các em học sinh tự tin hơn khi làm các

bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử. Tuy nhiên, trong khi trình bày đề tài của mình
khơng tránh khỏi những khiếm khuyết, mong bạn đọc và đồng nghiệp đóng góp ý kiến bổ
sung để đề tài hoàn chỉnh và đạt hiệu quả cao./.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15></div>

<!--links-->