Giới thiệu về đồ thị:

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.19 MB, 58 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Giảng viên: ThS. Trần Quang Khải

TOÁN RỜI RẠC

Chương 6:

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Toán rời rạc: 2011-2012

Nội dung (phần 2)

1. Sự đẳng cấu của đồ thị.

2. Đồ thị liên thơng.

3. Chu trình và Đường đi Euler.

4. Chu trình và đường đi Hamilton.

5. Bài tốn tơ màu đồ thị.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Toán rời rạc: 2011-2012

Giảng viên: ThS. Trần Quang Khải

Sự đẳng cấu của đồ thị

Đồ thị liên thông

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Toán rời rạc: 2011-2012

Sự đẳng cấu của đồ thị



Isomorphism: sự đẳng cấu, sự đồng hình.



Có thể vẽ được 2 đồ thị theo cùng 1 cách?



Example:



Trong hóa học: 2 hợp chất khác nhau có thể có cùng

cơng thức phân tử, nhưng khác cấu trúc.



Thiết kế vi mạch: vẽ lại mạch để tối ưu hóa các

đường nối.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Toán rời rạc: 2011-2012

Sự đẳng cấu của đồ thị

Chương 6: Đồ thị 5

Hai đ

ồ

th

ị

đ

ượ

c g

ọ

i là đ

ẳ

ng c

ấ

u (isomorphic)

n

ế

u có m

ộ

t

song ánh

gi

ữ

a t

ậ

p đ

ỉ

nh c

ủ

a hai đ

ồ

th

ị

đ

ả

m b

ả

o

quan hệ

liền kề.

Cho 2 đồ thị đơn

G

1

=

(V

1

, E

1

)

và

G

2

=

(V

2

, E

2

)

.

G

1

và

G

2

là đẳng cấu nếu tồn tại song ánh

f

sao cho:



Hai đỉnh

a

và

b

là liên thơng trong

G

1

.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Tốn rời rạc: 2011-2012

Example

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Toán rời rạc: 2011-2012

Chứng minh sự đẳng cấu



Việc xác định 2 đồ thị đẳng cấu:



Rất khó khăn.



Có

n

!

phép tương đương

một-một

giữa 2 tập

đỉnh của 2 đồ thị có

n

đỉnh.



Thơng thường:

chứng minh 2 đồ thị khơng

đẳng cấu.



Chỉ ra chúng khơng có 1 tính chất chung.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Tốn rời rạc: 2011-2012

Chứng minh sự

khơng

đẳng cấu



Các tính chất chung (sự bất biến) của 2 đơn đồ

thị đẳng cấu:



Cùng số đỉnh.



Cùng số cạnh.



Bậc của các đỉnh tương ứng của các đơn đồ

thị đẳng cấu phải giống nhau.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Toán rời rạc: 2011-2012

Example



Xác định 2 đồ thị sau có đẳng cấu khơng?

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Tốn rời rạc: 2011-2012

Chứng minh đồ thị đẳng cấu



Sử dụng ma trận kề:



Hai ma trận liền kề phải giống nhau.



Gán nhãn lại theo hàm

f

.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Tốn rời rạc: 2011-2012

Đồ thị liên thơng



Câu hỏi:



Có thể gửi thơng điệp giữa 2 máy tính thơng

qua đường truyền trung gian?



Có thể đi xe bus từ Barcelona sang

Manchester?

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Toán rời rạc: 2011-2012

Khái niệm: Đường đi

Chương 6: Đồ thị 12

PATH

:

Cho

G

=

(V, E)

là đ

ồ

th

ị

vơ hướng

ho

ặ

c

có hướng.

Đ

ườ

ng đi

độ

dài

n

(nguyên d

ươ

ng) t

ừ

u

t

ớ

i

v

là

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Toán rời rạc: 2011-2012

Đường đi



Đường đi trên đồ thị đơn:



Có thể k{ hiệu bằng dãy các đỉnh x

0

,

x

1,…,

x

n

.



Đường đi

đơn

(

simple path

): không chứa 1 cạnh

quá 1 lần.



Đường đi là chu trình (circuit):



Bắt đầu tại

u

, kết thúc tại

u

(quay trở lại).



Chu trình đơn

: khơng chứa 1 cạnh quá 1 lần.



Khi không quan tâm cạnh bội:

có thể k{ hiệu bằng dãy các đỉnh

x

0

,

x

1,…,

x

n

.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14></div>
(15)<div class='page_container' data-page=15></div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Toán rời rạc: 2011-2012

Đồ thị liên thông

Chương 6: Đồ thị 16

Connected Graph

:

M

ộ

t đ

ồ

th

ị

vô hướng

là liên thông n

ế

u t

ồ

n t

ạ

i

đ

ườ

ng đi gi

ữ

a

mọi cặp đỉnh

c

ủ

a đ

ồ

th

ị

.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Toán rời rạc: 2011-2012

Example

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Toán rời rạc: 2011-2012

Đồ thị (có hướng) liên thơng



Tính liên thơng mạnh

(strong connectivity):

Nếu tồn tại đường đi giữa mọi cặp đỉnh

u

,

v

(

2 chiều

).



Tính liên thơng yếu (weak connectivity):

Nếu tồn tại đường đi giữa 2 đỉnh bất kz trên đồ thị vơ

hướng cơ sở (

underlying undirected graph

).

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Tốn rời rạc: 2011-2012

Example

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Toán rời rạc: 2011-2012

Đường đi và sự đẳng cấu



Có thể xác định 2 đồ thị đẳng cấu bằng:



Đường đi.



Chu trình.



Sử dụng các bất biến (invariant):



Chu trình đơn có độ dài đặc biệt

k

nào đó (

k

> 2).

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Tốn rời rạc: 2011-2012

Example



H

có chu trình đơn độ dài 3 (

v

1

,

v

2

,

v

3

,

v

1

).



G

có chu trình đơn độ dài 3?

Chương 6: Đồ thị 21

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Toán rời rạc: 2011-2012

Đồ thị

phân đơi

?

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Tốn rời rạc: 2011-2012

Đồ thị

đẳng cấu

?

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Toán rời rạc: 2011-2012

Giảng viên: ThS. Trần Quang Khải

Đường đi Euler

Đường đi Hamilton

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Toán rời rạc: 2011-2012

Bài tốn Kӧnigsberg

Chương 6: Đồ thị 25

Challenge: có th

ể

đi qua 7 cây c

ầ

u và quay về

ch

ỗ

cũ, m

ỗ

i cây c

ầ

u ch

ỉ

đi qua đúng một l

ầ

n?

Question: Có m

ộ

t chu trình đơn

trên đa

đ

ồ

th

ị

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Tốn rời rạc: 2011-2012

Bài toán Kӧnigsberg

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Toán rời rạc: 2011-2012

Bài tốn Kӧnigsberg



Lời giải:



Leonard Euler

.



Cơng bố: 1736.



Có thể coi là ứng dụng

đầu tiên của LTĐT.

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Toán rời rạc: 2011-2012

Chu trình và Đường đi Euler

Chương 6: Đồ thị 28

Euler circuit

: chu trình đ

ơ

n đi qua t

ấ

t c

ả

các

c

ạ

nh

c

ủ

a đ

ồ

th

ị

G

đúng m

ộ

t l

ầ

n

.

Euler path

: đ

ườ

ng đi đ

ơ

n đi qua t

ấ

t c

ả

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Toán rời rạc: 2011-2012

Example

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Toán rời rạc: 2011-2012

Điều kiện cần và đủ

Định l{ 1:

Một đa đồ thị liên thơng

có chu trình Euler nếu

và chỉ nếu

mỗi đỉnh của nó đều có bậc chẵn.

Định l{ 2:

Một đa đồ thị liên thơng có đường đi Euler

nhưng khơng có chu trình Euler nếu và chỉ nếu

nó có đúng hai đỉnh bậc lẻ.

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Toán rời rạc: 2011-2012

Quay lại bài toán Kӧnigsberg

Chương 6: Đồ thị 31

Challenge: có th

ể

đi qua 7 cây c

ầ

u và quay về

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Toán rời rạc: 2011-2012

Xây dựng chu trình Euler

Input:

G

: đa đồ thị liên thơng với tất cả các đỉnh bậc chẵn.

Output:

C

: chu trình Euler.

Khởi tạo:

C

là một chu trình nào đó trong

G

.

Đồ thị

H = G

bỏ đi các cạnh thuộc

C

và các đỉnh cơ lập.

while

(

H vẫn cịn cạnh

)

do

C’

= một chu trình nào đó trong

H

mà đỉnh cuối thuộc

C

.

H

=

H

bỏ đi các cạnh thuộc

C’

và các đỉnh cô lập.

C

=

C

ghép với

C’

ở 1 đỉnh nào đó thích hợp.

end

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Tốn rời rạc: 2011-2012

Thanh đao của Mohammed



Có thể vẽ hình dưới chỉ bằng 1 nét bút?



Không được nhấc bút lên.



Mỗi cạnh chỉ được vẽ đúng 1 lần.

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Toán rời rạc: 2011-2012

Thanh đao của Mohammed

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Toán rời rạc: 2011-2012

Thanh đao của Mohammed

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Toán rời rạc: 2011-2012

Thanh đao của Mohammed

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Toán rời rạc: 2011-2012

Thanh đao của Mohammed

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Tốn rời rạc: 2011-2012

Chu trình và Đường đi Hamilton



Euler: chu trình và đường đi qua mọi cạnh đúng

một lần.



Câu hỏi: có thể tạo chu trình

và đường đi qua mọi đỉnh

đúng một lần?

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Tốn rời rạc: 2011-2012

Chu trình và Đường đi Hamilton

Chương 6: Đồ thị 39

Hamilton circuit

: chu trình đ

ơ

n đi qua t

ấ

t

c

ả

các

đ

ỉ

nh

c

ủ

a đ

ồ

th

ị

G

đúng m

ộ

t l

ầ

n

.

Hamilton path

: đ

ườ

ng đi đ

ơ

n đi qua t

ấ

t c

ả

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Toán rời rạc: 2011-2012

Example

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Toán rời rạc: 2011-2012

Example

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Tốn rời rạc: 2011-2012

Chu trình và Đường đi Hamilton

Chương 6: Đồ thị 42

Khơng có

đi

ề

u ki

ệ

n c

ầ

n và đ

ủ

đ

ể

xác đ

ị

nh

s

ự

t

ồ

n t

ạ

i c

ủ

a đ

ườ

ng đi hay chu trình

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Tốn rời rạc: 2011-2012

Chu trình và Đường đi Hamilton



Khơng có chu trình Hamilton nếu:

∃

v

∈

V

:

deg

(

v

) = 1



Định l{ DIRAC: Đồ thị đơn G với

n

đỉnh (

n

≥3

) có

một chu trình Hamilton nếu

deg

(

v

) ≥

n

/2,

∀

v

∈

V



Định l{ ORE: Đồ thị đơn G với

n

đỉnh (

n

≥3

) có

một chu trình Hamilton nếu

deg(u) + deg(v) ≥ n,

∀

u,v

∈

V

và

(u, v)



E

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Toán rời rạc: 2011-2012

Example – Gray Code



Được nêu ra bởi Frank Gray (1940s).



Phát biểu: gán nhãn các cung trên đường tròn

sao cho 2 cung cạnh nhau khác nhau đúng 1

bit.

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Toán rời rạc: 2011-2012

Example – Gray Code



Giải quyết:



Mơ hình bài tốn thành đồ thị

n

-cube

Q

n

.



Tìm chu trình Hamilton trong

Q

n

.



Q

3

.

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Toán rời rạc: 2011-2012

Giảng viên: ThS. Trần Quang Khải

Bài tốn tơ màu đồ thị

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Toán rời rạc: 2011-2012

Khái niệm: Đồ thị phẳng

Chương 6: Đồ thị 47

Planar graph

Đ

ồ

th

ị

có th

ể

v

ẽ

trên

m

ặ

t ph

ẳ

ng

sao cho

khơng

có 2 c

ạ

nh b

ấ

t kỳ nào

c

ắ

t nhau

(không ph

ả

i t

ạ

i đi

ể

m đ

ầ

u mút).



Phép vẽ như vậy gọi là

biểu diễn phẳng

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Toán rời rạc: 2011-2012

Đồ thị phẳng

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

Tốn rời rạc: 2011-2012

Tơ màu bản đồ



Vấn đề:

Tô màu các quốc gia trên bản đồ sao cho 2 nước

láng giềng

bất kz ln có màu khác nhau?



Giải pháp:



Mỗi nước tô 1 màu



Cần q nhiều màu.



Dùng ít màu hơn



Ít nhất là bao nhiêu?



Biểu diễn bản đồ thành đồ thị



Áp dụng LTĐT.

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Tốn rời rạc: 2011-2012

Tơ màu đồ thị



Mơ hình bản đồ thành đồ thị:



Các quốc gia



các đỉnh.



Hai quốc gia kề nhau



cạnh nối 2 đỉnh tương ứng.



Lưu {: Hai quốc gia “chạm” nhau chỉ ở 1 điểm không

được coi là kề nhau.



Đồ thị có được là đồ thị

phẳng

.

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Tốn rời rạc: 2011-2012

Tơ màu đồ thị

Chương 6: Đồ thị 51

Graph coloring

Tô màu các đ

ỉ

nh c

ủ

a đ

ồ

th

ị

ph

ẳ

ng sao cho 2 đ

ỉ

nh

b

ấ

t kỳ k

ề

nhau ln có màu khác nhau.



S

ố

màu (

s

ắ

c s

ố

: chromatic number

) c

ủ

a m

ộ

t

đ

ồ

th

ị

là s

ố

màu

ít nhất

c

ầ

n đ

ể

tơ màu đ

ồ

th

ị

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

Tốn rời rạc: 2011-2012

Tô màu đồ thị

Chương 6: Đồ thị 52

Định lý bốn màu

“S

ố

màu c

ủ

a m

ộ

t đ

ồ

th

ị

ph

ẳ

ng luôn nh

ỏ

h

ơ

n

ho

ặ

c

b

ằ

ng 4”

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

Toán rời rạc: 2011-2012

Example

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

Toán rời rạc: 2011-2012

Example

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Toán rời rạc: 2011-2012

Tô màu đồ thị



Lưu {:



Định l{ bốn màu chỉ đúng với đồ thị phẳng.



Đối với đồ thị không phẳng: có thể cần nhiều hơn 4

màu.

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

Toán rời rạc: 2011-2012

Example

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

Toán rời rạc: 2011-2012

Example

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

Tốn rời rạc: 2011-2012

Tơ màu đồ thị - Ứng dụng



Các bài toán xếp lịch:



Lịch thi.



Thời khóa biểu.



Lịch cơng tác.



Các bài tốn về phân cơng công việc.



Lập chỉ mục thanh ghi (CPU).

</div>

Giới thiệu về đồ thị:

Giảng viên: ThS. Trần Quang Khải

<b>TOÁN RỜI RẠC</b>

<b>Chương 6:</b>

<b>Nội dung (phần 2)</b>

<b>1. Sự đẳng cấu của đồ thị.</b>

<b>2. Đồ thị liên thơng.</b>

<b>3. Chu trình và Đường đi Euler.</b>

<b>4. Chu trình và đường đi Hamilton.</b>

<b>5. Bài tốn tơ màu đồ thị.</b>

Giảng viên: ThS. Trần Quang Khải

<b>Sự đẳng cấu của đồ thị</b>

<b>Đồ thị liên thông</b>

<b>Sự đẳng cấu của đồ thị</b>



<b><sub>Isomorphism: sự đẳng cấu, sự đồng hình.</sub></b>



<b>Có thể vẽ được 2 đồ thị theo cùng 1 cách?</b>



<b>Example: </b>



<b>Trong hóa học: 2 hợp chất khác nhau có thể có cùng </b>

<b>cơng thức phân tử, nhưng khác cấu trúc.</b>



<b>Thiết kế vi mạch: vẽ lại mạch để tối ưu hóa các </b>

<b>đường nối.</b>

<b>Sự đẳng cấu của đồ thị</b>

<b>Hai đ</b>

<b>ồ</b>

<b>th</b>

<b>ị</b>

<b>đ</b>

<b>ượ</b>

<b>c g</b>

<b>ọ</b>

<b>i là đ</b>

<b>ẳ</b>

<b>ng c</b>

<b>ấ</b>

<b>u (isomorphic)</b>

<b>n</b>

<b>ế</b>

<b>u có m</b>

<b>ộ</b>

<b>t</b>

<b>song ánh</b>

<b>gi</b>

<b>ữ</b>

<b>a t</b>

<b>ậ</b>

<b>p đ</b>

<b>ỉ</b>

<b>nh c</b>

<b>ủ</b>

<b>a hai đ</b>

<b>ồ</b>

<b>th</b>

<b>ị</b>

<b>đ</b>

<b>ả</b>

<b>m b</b>

<b>ả</b>

<b>o</b>

<b>quan hệ</b>

<b>liền kề.</b>

<b>Cho 2 đồ thị đơn </b>

<i>G</i>

=

<i>(V</i>

<i>, E</i>

<i>)</i>

<b>và </b>

<i>G</i>

=

<i>(V</i>

<i>, E</i>

<i>)</i>

<b>.</b>

<i>G</i>

<b>và </b>