Tinh tong cac so tao thanh day so co quy luat

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Kinh nghiệm dạy học</b>

<b>trong dạy và học toán THCS </b>

<b>Một vài phơng pháp tính tổng các số </b>

<b>tạo thành d y số có quy luật</b>

Ã

<b>A/ t vn đề</b>

T

rong nhà trờng THCS , tất cả các em học sinh đều đợc rèn kỹ năng tính giá
trị biểu thức, thờng xuyên bồi dỡng kỹ năng tính nhanh , tính hợp lý. Tuy nhiên
khi gặp các bài tốn tính tổng hữu hạn các số lập thành dãy số có quy luật , thì
hầu hết các em , kể cả học sinh giỏi , có năng khiếu về mơn tốn cũng thờng tỏ
ra rất lúng túng , rất bối rối , bởi lẽ các em cha có phơng pháp giải loại tốn này .
điều đó cũng dễ hiểu vì trong chơng trình THCS rất ít tài liệu đề cập đến vấn đề
này , các em học sinh cha có ý thức tìm tịi , phân tích , lựa chọn cách giải .
Trong nhiều kỳ thi học sinh giỏi mơn tốn , tìm tịi , phân tích , lựa chọn cách
giải .Trong nhiều kỳ thi học sinh giỏi mơn , đặc biệt là mơn tốn 6 , các em học
sinh thờng để mất điểm ở các bài toán loại này . Để bổ xung kiến thức cho các
em học sinh khá giỏi , và nâng cao chất lợng học sinh giỏi ,tơi đã đi sâu và tìm
hiểu kỹ một số phơng pháp cơ bản để tính các tổng hữu hạn .

<b>B/ Giải quyết vấn đề :</b>
I > Phơng pháp dự đoán và quy nạp :

Trong một số trờng hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn
Sn = a1 + a2 + .... an (1)

Bằng cách nào đó ta biết đợc kết quả (dự đoán , hoặc bài toán chứng minh khi đã
cho biết kết quả). Thì ta nên sử dụng phơng pháp này và hầu nh thế nào cũng
chứng minh đợc .

<b>VÝ dơ 1</b> : TÝnh tỉng Sn =1+3+5 +... + (2n -1 )

Thö trùc tiÕp ta thÊy : S1 = 1

S2 = 1 + 3 =22

S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32

... ... ...
Ta dự đoán Sn = n2

Với n = 1;2;3 ta thấy kết quả đúng

gi¶ sư víi n= k ( k 1) ta cã Sk = k 2 (2)

ta cần phải chứng minh Sk + 1 = ( k +1 ) 2 ( 3)

ThËt vËy céng 2 vÕ cđa ( 2) víi 2k +1 ta cã
1+3+5 +... + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2_{+ (2k +1)}

v× k2_{+ ( 2k +1) = ( k +1)}2_{nªn ta cã (3) tøc lµ S}

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

theo nguyên lý quy nạp bài toán đợc chứng minh
vậy Sn = 1+3=5 + ... + ( 2n -1) = n2

Tơng tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phơng pháp quy nạp
toán học .

1, 1 + 2+3 + .... + n = <i>n</i>(<i>n</i>+1)

2

2, 12_{+ 2} 2_{+ ... + n}2₌ <i>n</i>(<i>n</i>+1)(2<i>n</i>+1)

6

3, 13₊₂3_{+ ... + n}3₌

[

<i>n</i>(<i>n</i>+1)

2

]

2

4, 15 _{+ 2}5_{+ .... + n}5 ₌ 1

12 .n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – 1 )

<b>II > Ph ¬ng pháp khử liên tiếp :</b>

Giả sử ta cần tính tỉng (1) mµ ta cã thĨ biĨu diƠn ai , i = 1,2,3...,n , qua hiệu hai

số hạng liên tiếp của 1 dÃy số khác , chính xác hơn , gi¶ sư : a1 = b1 - b2

a2 = b2 - b3

.... .... ...
an = bn – bn+ 1

khi đó ta có ngay :

Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + ... + ( bn – bn + 1 )

= b1 – bn + 1

VÝ dơ 2 : tÝnh tỉng :
S = _{10 .11}1 + 1

11.12+
1

12 .13 +.. .. . ..+
1
99 . 100

Ta cã : 1

10 .11=
1
10<i>−</i>

1

11 ,
1
11.12=

1
11 <i>−</i>

1

12 ,
1
99 .100=

1
99 <i>−</i>

1
100

Do đó :
S = 1

10 <i>−</i>
1
11+
1
11 <i>−</i>
1

12+. .. .. . .+
1
99 <i></i>
1
100=
1
10 <i></i>
1

100=
9
100

Dạng tổng quát
Sn =

1
1 . 2+

1

2. 3+.. . .. .+
1

<i>n</i>(<i>n</i>+1) ( n > 1 )

= 1- 1

<i>n</i>+1=

<i>n</i>
<i>n</i>+1

VÝ dơ 3 : tÝnh tỉng
Sn =

1
1 . 2. 3+

1
2 .3 . 4+

1

3 . 4 . 5+. . .. ..+

1

<i>n</i>(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)

Ta cã Sn =

1
2

(

1
1. 2<i>−</i>

1
2 .3

)

+

1
2

(

1
2. 3<i>−</i>

1

3 . 4

)

+. .. .. . ..+
1
2

(

1

<i>n</i>(<i>n</i>+1)<i>−</i>

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Sn =

1
2

(

1
1. 2<i>−</i>

1
2 .3+

1
2. 3<i>−</i>

1

3 . 4+. . .. ..+
1

<i>n</i>(<i>n</i>+1)<i>−</i>

1

(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)

)

Sn = 1

2

(

1
1. 2<i>−</i>

1

(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)

)

=

<i>n</i>(<i>n</i>+3)

4(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)

VÝ dơ 4 : tÝnh tỉng

Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ... + n .n! ( n! = 1.2.3 ....n )

Ta cã : 1! = 2! -1!
2.2! = 3 ! -2!
3.3! = 4! -3!

... ... ...

n.n! = (n + 1) –n!

VËy Sn = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +... + ( n+1) ! – n!

= ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1
VÝ dô 5 : tÝnh tæng

Sn =

1. 2¿2
¿

2. 3¿2
¿
¿
¿

3

¿

Ta cã :

<i>i</i>+1¿2
¿
¿
2<i>i</i>+1

[<i>i</i>(<i>i</i>+1)]2=

1

<i>i</i>2<i>−</i>

1
¿

i = 1 ; 2 ; 3; ....; n

Do đó Sn = ( 1-

<i>n</i>+1¿2

(¿¿)

1

<i>n</i>2<i>−</i>

1

¿

1
22¿+

(

1
22<i>−</i>

1

32

)

+. .. . .+¿

= 1-

<i>n</i>+1¿2
¿

<i>n</i>+1¿2
¿
¿

1

¿

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

S = 1+2+22_{+... + 2}100 _{( 4)}

ta viÕt l¹i S nh sau :

S = 1+2 (1+2+22_{+... + 2}99 ₎

S = 1+2 ( 1 +2+22_{+ ... + 2}99 _{+ 2} 100 _{- 2}100 ₎

=> S= 1+2 ( S -2 100 _{) ( 5)}

Tõ (5) suy ra S = 1+ 2S -2101
 S = 2101_-1

VÝ dơ 7 : tÝnh tỉng

Sn = 1+ p + p 2 + p3 + ... + pn ( p 1)

Ta viÕt l¹i Sn díi d¹ng sau :

Sn = 1+p ( 1+p+p2 +.... + pn-1 )

Sn = 1 + p ( 1+p +p2 +... + p n-1 + p n –p n )
 Sn = 1+p ( Sn –pn )

 Sn = 1 +p.Sn –p n+1
 Sn ( p -1 ) = pn+1 -1
 Sn = <i>P</i>

<i>n+</i>1

<i>−</i>1

<i>p −</i>1

VÝ dô 8 : TÝnh tæng

Sn = 1+ 2p +3p 2 + .... + ( n+1 ) pn , ( p 1)

Ta cã : p.Sn = p + 2p 2 + 3p3 + ... + ( n+ 1) p n +1

= 2p –p +3p 2_–p2_{+ 4p}3_–p3_{+ ... + (n+1) p}n _{- p}n_{+ (n+1)p}n_–pn_{+ ( n+1)}

pn+1

= ( 2p + 3p2_+4p3_{+ ... +(n+1) p}n_{) – ( p +p + p + .... p}n_{) + ( n+1) p}n+1

= ( 1+ 2p+ 3p2_+4p3_{+ ... + ( n+1) p}n _{) – ( 1 + p+ p}2_{+ .... + p} n_{) + ( n +1 )}

pn+1

p.Sn=Sn- <i>P</i>

<i>n+</i>1<i>₋</i>₁

<i>P −</i>1 +(<i>n</i>+1)<i>P</i>

<i>n</i>+1 _{( theo VD 7 )}

L¹i cã (p-1)Sn = (n+1)pn+1 - <i>p</i>

<i>n+</i>1

<i>−</i>1

<i>P −</i>1

 Sn =

<i>P −</i>1¿2
¿

(<i>n</i>+1)<i>Pn+</i>1
<i>p −</i>1 <i>−</i>

<i>pn+</i>1<i>−</i>1

¿

<b>IV > Ph ơng pháp tính qua các tổng đã biết </b>

 C¸c kÝ hiÖu :

_∑

<i>i=</i>1
<i>n</i>

<i>a_i</i>=<i>a</i>₁+<i>a</i>₂+<i>a</i>₃+. .. .. .+<i>a_n</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

1,

_∑

<i>i=</i>1
<i>n</i>

(<i>a_i</i>+<i>b_i</i>)=

∑

<i>i=</i>1
<i>n</i>

<i>a_i</i>+

∑

<i>i=</i>1
<i>n</i>

<i>b_i</i>

2,

_∑

<i>i=</i>1
<i>n</i>

<i>a</i>.<i>a_i</i>=<i>a</i>

∑

<i>i=</i>1
<i>n</i>

<i>a_i</i>

VÝ dô 9 : TÝnh tæng :

Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n( n+1)

Ta cã : Sn =

∑

<i>i=</i>1
<i>n</i>

<i>i</i>(<i>i</i>+1)=

∑

<i>i=</i>1
<i>n</i>

(<i>i</i>2+<i>i</i>)=

∑

<i>i=</i>1
<i>n</i>

<i>i</i>2+

∑

<i>i=</i>1
<i>n</i>

<i>i</i>

V× :

∑

<i>i=</i>1
<i>n</i>

<i>i</i>=1+2+3+. . ..+<i>n</i>=<i>n</i>(<i>n</i>+1)

2

∑

<i>i=</i>1
<i>n</i>

<i>i</i>2=<i>n</i>(<i>n</i>+1)(2<i>n</i>+1)

6

(Theo I )

cho nªn : Sn = <i>n</i>(<i>n</i>+1)

2 +

<i>n</i>(<i>n</i>+1)(2<i>n</i>+1)

6 =

<i>n</i>(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)

3

VÝ dơ 10 : TÝnh tỉng :

Sn =1.2+2.5+3.8+...+n(3n-1)

ta cã : Sn =

∑

<i>i=</i>1
<i>n</i>

<i>i</i>(3<i>i−</i>1)=

∑

<i>i=</i>1
<i>n</i>

(3<i>i</i>2<i>− i</i>)

= 3

_∑

<i>i=</i>1
<i>n</i>

<i>i</i>2<i>₋</i>

∑

<i>i</i>== 1

<i>n</i>

<i>i</i>

Theo (I) ta cã :
Sn = 3<i>n</i>(<i>n</i>+1)(2<i>n</i>+1)

6 <i>−</i>

<i>n</i>(<i>n</i>+1)

2 =<i>n</i>

2

(<i>n</i>+1)

VÝ dơ 11 . TÝnh tỉng

Sn = 13+ +23 +53 +... + (2n +1 )3

ta cã :

Sn = [( 13 +2 3 +33 +43 +....+(2n+1)3 ] –[23+43 +63 +....+(2n)3]

= [13₊₂3₊₃3₊₄3 _{+ ... + (2n +1 )}3_{] -8 (1}3₊₂3₊₃3₊₄3_{+...+ n}3₎

Sn =

2<i>n</i>+2¿2

¿

<i>n</i>+1¿2
¿

8<i>n</i>2¿

2<i>n</i>+1¿2¿
¿
¿

( theo (I) – 3 )

=( n+1) 2_(2n+1)2_{– 2n}2_(n+1)2

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

V/ Vận dụng trực tiếp cơng thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều ( Học
sinh lớp 6 )

 C¬ së lý thuyÕt :

+ để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1
số đơn vị , ta dùng công thức:

Sè sè h¹ng = ( sè cuối số đầu 0 : ( khoảng cách ) + 1

+ Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau
cùng 1 số đơn vị , ta dùng công thức:

Tổng = ( số đầu – sè cuèi ) .( sè sè h¹ng ) :2
VÝ dơ 12 :

TÝnh tỉng A = 19 +20 +21 +.... + 132

Số số hạng của A là : ( 132 – 19 ) : 1 +1 = 114 ( sè h¹ng )m
A = 114 ( 132 +19 ) : 2 = 8607

VÝ dơ 13 : TÝnh tỉng

B = 1 +5 +9 +...+ 2005 +2009

sè sè hạng của B là ( 2009 1 ) : 4 + 1 = 503
B = ( 2009 +1 ) .503 :2 = 505515

VI / Vân dụng 1 số công thức chứng minh đợc vào làm tốn

Ví dụ 14 : Chứng minh rằng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 )
Từ đó tính tổng S = 1..2+2.3 + 3.4 +... + n (n + 1)

Chøng minh : c¸ch 1 : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1)
= k( k+1) [(<i>k</i>+2)<i>−</i>(<i>k −</i>1)]

= k (k+1) .3
= 3k(k+1)

C¸ch 2 : Ta cã k ( k +1) = k(k+1). (<i>k</i>+2)<i>−</i>(<i>k −</i>1)

3

= <i>k</i>(<i>k</i>+1)(<i>k</i>+2)

3 <i>−</i>

<i>k</i>(<i>k</i>+1)(<i>k −</i>1)

3 *

 3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1)
=> 1.2 =

1.2.3 0.1.2

3  3

2.3.4 1.2.3
2.3

3 3

...

( 1)( 2) ( 1) ( 1)

( 1)

3 3

<i>n n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n n</i>

<i>n n</i>

 

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

S =

1.2.0 ( 2) ( 1) ( 1) ( 2)

3 3 3

<i>n</i> <i>n n</i> <i>n</i> <i>n n</i>

    

 

VÝ dô 15 : Chøng minh r»ng :

k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2)
từ đó tính tổng S = 1.2 .3 + 2.3 .4 +3.4.5 +.... + n(n+1) (n+2)

Chøng minh : VT = k( k+1) (k+2) [(<i>k</i>+3)<i>−</i>(<i>k −</i>1)]

= k( k+1) ( k +2 ) .4
Rót ra : k(k+1) (k+2) = <i>k</i>(<i>k</i>+1)(<i>k</i>+2)(<i>k</i>+3)

4 <i>−</i>

(<i>k −</i>1)<i>k</i>(<i>k</i>+1)(<i>k</i>+2)

4

¸p dơng : 1.2.3 = 1 . 2. 3 . 4

4 <i>−</i>

0. 1 .2 .3
4

2.3.4 = 2 . 3. 4 .5

4 <i>−</i>

1. 2. 3 . 4
4

...
n(n+1) (n+2) = <i>n</i>(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)(<i>n</i>+3)

4 <i>−</i>

(<i>n −</i>1)<i>n</i>(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)

4

Cộng vế với vế ta đợc S = <i>n</i>(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)(<i>n</i>+3)

4

<b>* Bài tập đề nghị :</b>
Tính các tổng sau

1, B = 2+ 6 +10 + 14 + ... + 202
2, a, A = 1+2 +22₊₂3_{+...+ 2}6.2 _{+ 2} 6 3

b, S = 5 + 52_{+ 5}3 _{+ ... + 5} 99 _{+ 5}100
_{c, C = 7 + 10 + 13 + .... + 76}

3, D = 49 +64 + 81+ .... + 169

4, S = 1.4 + 2 .5 + 3.6 + 4.7 +.... + n( n +3 ) , n = 1,2,3 ,....
5, S = 1

1 . 2+
1
2. 3+

1

3 . 4+. . .. .. . .+
1
99. 100

6, S = 4

5 . 7+
4

7 . 9+.. . .+
4
59 . 61

7, A = 5

11.16+
5
16 .21+

5

21. 26+. .. . ..+
5
61 .66

8, M = 1

30+

1
31+

1

32+.. .. .+

1
32005
9, Sn =

1
1 . 2. 3 .+

1

2. 3 . 4+. .. ..+

1

<i>n</i>(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)

10, Sn = 2

1 . 2. 3+
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

11, Sn =

1
1 . 2. 3 . 4+

1

2 . 3. 4 .5+. .. .. .+

1

<i>n</i>(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)(<i>n</i>+3)

12, M = 9 + 99 + 999 +... + 99... ...9

50 ch÷ sè 9
13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9

S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14

TÝnh S100 =?

Trong q trình bồi dỡng học sinh giỏi , tơi đã kết hợp các dạng tốn có liên
quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho các em , chẳng hạn dạng tốn tìm x :
14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) +... + ( x+100 ) = 5070

b, 1 + 2 + 3 + 4 +...+ x = 820
c, 1 + 1₃+1

6+
1

10+. .. .. .+
2

<i>x</i>(<i>x</i>+1)=1

1989
1991

Hay các bài toán chứng minh sù chia hÕt liªn quan

15, Chøng minh : a, A = 4+ 22₊₂3₊₂4 _{+... + 2}20_{lµ l thõa cđa 2}

b, B =2 + 22_{+ 2} 3_{+ ... + 2} 60 ⋮ _{3 ; 7; 15}

c, C = 3 + 33₊₃5_{+ ....+ 3}1991 ⋮ _{13 ; 41}

d, D = 119_{+ 11}8₊₁₁7_{+...+ 11 +1} ⋮ ₅

<b>C/ Kết thúc vấn đề: </b>

Sau khi lĩnh hội đợc các phơng pháp trên, các em học sinh đã tự tin hơn khi
gặp các bài tốn tính tổng. Tuy nhiên, do thời gian công tác cha nhiều, vốn kinh
nghiệm cịn ít, tơi rất mong đợc học hỏi thật nhiều, nhất là từ phía các đồng
nghiệp đã có nhiều năm kinh nghiệm trong nghề, bổ sung thêm các phơng pháp
tính tổng khác, để tơi hồn thiện hơn về nội dung này .

<b> T«i xin chân thành cảm ơn !</b>

Thụy Duyên<i> ngày 27 tháng 5 năm 2007 </i>

Ngêi viÕt:

Trần Thị Tuyết

</div>

<!--links-->