Tinh tong cac day so - BD HSG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (494.22 KB, 18 trang )
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
p
pp
ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n
s
ss
số
ốố
ố
h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c,
,,
,
đ
đđ
đạ
ạạ
ại
ii
i
s
ss
số
ốố
ố
Ngày soạn
Ngày soạn Ngày soạn
Ngày soạn
: 08/09/11
Ngày dạy
Ngày dạy Ngày dạy
Ngày dạy
: 13/09/11
Chủ đề
Chủ đề Chủ đề
Chủ đề 3
33
3
Tính tổng các dãy số
Buổi 1
tổng với các số hạng là số nguyên, lũy thừa, số thập phân, phân số
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh biết cách tính tổng các dãy số với các số hạng là số nguyên;
lũy thừa; số thập phân; phân số có thể cách đều hoặc không cách đều.
Kĩ năng
- Rèn kĩ năng tính toán, biến đổi, t duy khoa học
Thái độ
- Học sinh tích cực, chủ động trong học tập
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:
- HS:
C/Tiến trình bài dạy
I.
Tổ chức
Tổ chứcTổ chức
Tổ chức
sĩ số
sĩ số sĩ số
sĩ số
II.
Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ
III.
Bài mới
Bài mớiBài mới
Bài mới
(165 phút)
Dạng 1: Dãy số mà các số hạng cách đều
Dạng 1: Dãy số mà các số hạng cách đềuDạng 1: Dãy số mà các số hạng cách đều
Dạng 1: Dãy số mà các số hạng cách đều
I Lí thuyết chung:
- Số chẵn là số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8
- Số lẻ là số tự nhiên có chữ số tận cùng là 1, 3, 5, 7, 9
- Hai số chẵn (hoặc lẻ) liên tiếp thì hơn kém nhau 2 đơn vị
- Cho dy số cách đều u
1
, u
2
, u
3
, , u
n
(*), khoảng cách giữa hai số hạng liên
tiếp của dy là d, khi đó số các số hạng của dy (*) là:
(
)
1
: 1
= +
n
n u u d
(1)
Tổng các số hạng của dy (*) là :
1
( )
2
n
n
n u u
S
+
=
(2)
Đặc biệt từ công thức (1) ta có thể tính đợc số hạng thứ n của dy (*) là:
u
n
= u
1
+ (n - 1)d
Suy ra:
+ Tập hợp các số tự nhiên từ a đến b có b a + 1 phần tử
+ Tập hợp các số chẵn từ số chẵn a đến số chẵn b có (b - a) :2 + 1 phần tử
+ Tập hợp các số lẻ từ số lẻ m đến số chẵn n có (n - m) : 2 + 1 phần tử
II Bài tập:
Bài 1: Hãy tính tổng S các số tự nhiên từ 1 đến 100
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
Hớng dẫn:
Cách 1: Ta thấy tổng S có 100 số hạng, ta chia thành 50 nhóm, mỗi nhóm có
tổng là 101 nh sau:
S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + + (50 + 51)
= 101 + 101 + + 101 = 50.101 = 5050.
Cách 2:
S = 1 + 2 +
+ 99
+ 100
S = 100
+ 99
+
+ 2 + 1
2S
= 101
+ 101
+
+ 101
+ 101
(có 100 số hạng 101)
=> S = 101.100 : 2 = 5050
Bài 2: Tính A = 1 + 2 + 3 + + 98 + 99
Hớng dẫn:
Cách 1:
A = 1 + (2 + 3 + 4 + + 98 + 99). Ta thấy tổng trong ngoặc gồm 98 số hạng, nếu chia
thành các cặp ta có 49 cặp nên tổng đó là:
(2 + 99) + (3 + 98) + + (51 + 50) = 49.101 = 4949, khi đó A = 1 + 4949 = 4950
Cách 2:
A = 1 + 2 +
+ 98
+ 99
A = 99
+ 98
+
+ 2 + 1
2A
= 100
+ 100
+
+ 100
+ 100
(có 99 số hạng 100)
=> A = 100.99 : 2 = 4950
Bài 3: Tính C = 1 + 3 + 5 + + 997 + 999
Hớng dẫn:
Cách 1:
Từ 1 đến 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ nên tổng trên có 500 số lẻ,
á
p dụng
các bài trên ta có C = (1 + 999) + (3 + 997) + + (499 + 501) = 1000.250 =
250000 (tổng trên có 250 cặp số)
Cách 2:
C = 1 + 3 +
+ 997
+ 999
C = 999
+ 997
+
+ 3 + 1
2C
= 1000
+ 1000
+
+ 1000
+ 1000
(có 500 số hạng 1000)
=> C = 1000.500 : 2 = 250000
Bài 4: Tính D = 1 + 2 + 3 + . . . + n
Hớng dẫn: Làm theo cách thứ hai của các bài tập trên đợc kết quả:
n(n 1)
D
2
+
=
Bài 5: Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + + 98,99 + 99,10
Hớng dẫn: Nhân cả hai vế với 100 ta có:
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
p
pp
ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n
s
ss
số
ốố
ố
h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c,
,,
,
đ
đđ
đạ
ạạ
ại
ii
i
s
ss
số
ốố
ố
100E = 1011 + 1112 + 1213 + + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 +
+ 9899) + 9910
(1011 9899).89
9910
2
+
= +
= 485495 + 9910 = 495405
E = 4954,05 (ghi chú: Vì số các số hạng của dy là
(9899 1011)
1 89
101
+ =
)
Bài 6: Phân tích số 8030028 thành tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp.
Hớng dẫn:
Gọi a là số tự nhiên chẵn, ta có tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp là:
S = a + (a + 2) + + (a + 4006) =
( 4006)
.2004 ( 2003).2004
2
a a
a
+ +
= +
.
Khi đó ta có: (a + 2003).2004 = 8030028
a = 2004.
Vậy ta có: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + + 6010
Dạng 2
Dạng 2Dạng 2
Dạng 2: Dãy số mà các số hạng
: Dãy số mà các số hạng : Dãy số mà các số hạng
: Dãy số mà các số hạng không
không không
không cách đều
cách đềucách đều
cách đều
Bài 1: Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n + 1)
Hớng dẫn:
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + n(n + 1).3
= 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + . . . + n(n + 1)[(n + 2) - (n - 1)]
= 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) =
n(n + 1)(n + 2)
A =
( 1)( 2)
3
n n n
+ +
Bài 2: Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + . . . + (n - 1)n(n + 1)
Hớng dẫn:
4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + . . . + (n - 1)n(n + 1).4
= 1.2.3.(4 - 0) + 2.3.4 (5 - 1) + . . . + (n - 1)n(n + 1).
(
)
(
)
n 2 n 2
+
= 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - (n - 2)(n - 1)n(n +
1) = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)
B =
( 1) ( 1)( 2)
4
n n n n
+ +
Bài 3: Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + . . . + n(n + 3)
Hớng dẫn:
Ta thấy: 1.4 = 1.(1 + 3) = 1.(1 + 1 + 2) = 1.(1 + 1)+ 2.1
2.5 = 2.(2 + 3) = 2.(2 + 1 + 2) = 2.(2 + 1)+ 2.2
3.6 = 3.(3 + 3) = 3.(3 + 1 + 2) = 3.(3 + 1)+ 2.3
4.7 = 4.(4 + 3) = 4.(4 + 1 + 2) = 4.(4 + 1)+ 2.4
. . . . . . . . . . .
n(n + 3) = n(n + 1) + 2n
Vậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + . . . + n(n + 1) + 2n
= 1.2 + 2 +2.3 + 4 + 3.4 + 6 + . . . + n(n + 1) + 2n
= [1.2 +2.3 +3.4 + . . . + n(n + 1)] + (2 + 4 + 6 + . . . + 2n)
mà 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n + 1) =
( 1)( 2)
3
n n n
+ +
(kết quả bài tập 1)
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
và 2 + 4 + 6 + . . . + 2n =
(2n 2)n
2
+
C =
( 1)( 2) (2 2)
3 2
+ + +
+
n n n n n
=
( 1)( 5)
3
n n n
+ +
Bài 4: Tính D = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + n
2
Hớng dẫn:
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + . . . + n.(1 + n)
= 1
2
+ 1.1 + 2
2
+ 2.1 + 3
2
+ 3.1 + . . . + n
2
+ n.1 = (1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + n
2
) + (1
+ 2 + 3 + . . . + n). Mặt khác theo bài tập 1 ta có:
A =
( 1)( 2)
3
n n n
+ +
và 1 + 2 + 3 + . . . + n =
( 1)
2
n n
+
D = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + n
2
=
( 1)( 2)
3
n n n
+ +
-
( 1)
2
n n
+
=
( 1)(2 1)
6
n n n
+ +
Bài 5: Tính A = 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ . . . + n
3
Hớng dẫn:
Cách 1:
B = 1.2.3 + 2.3.4 + . . . + (n - 1)n(n + 1)
= (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 - 1).3.(3 + 1) + . . . + (n - 1)n(n + 1)
= (2
3
- 2) + (3
3
- 3) + . . . + (n
3
- n)
= (2
3
+ 3
3
+ . . . + n
3
) - (2 + 3 + . . . + n)
= (1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ . . . + n
3
) - (1 + 2 + 3 + . . . + n)
= (1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ . . . + n
3
) -
( 1)
2
n n
+
1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ . . . + n
3
= B +
( 1)
2
n n
+
Mà ta đ biết B =
( 1) ( 1)( 2)
4
n n n n
+ +
A = 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ . . . + n
3
=
( 1) ( 1)( 2)
4
n n n n
+ +
+
( 1)
2
n n
+
=
2
( 1)
2
n n +
Cách 2: Phơng pháp quy nạp toán học
*) Kiến thức : Để chứng minh một đẳng thức hoặc một bất đẳng thức đúng
với n
n
0
bằng phơng pháp quy nạp toán học, ta tiến hành :
+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = n
0
+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (k
n
0
)
+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1
+ Kết luận bất đẳng thức đúng với n
n
0
Chứng minh A = 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ . . . + n
3
= (1 + 2 + 3 + + n)
2
=
2
( 1)
2
n n +
(Với
*
n N
)
Ta có:
A
1
= 1
3
= 1
2
A
2
= 1
3
+ 2
3
= 9 = (1 + 2)
2
A
3
= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
= 36 = (1 + 2 + 3)
2
Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là ta luôn có:
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
p
pp
ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n
s
ss
số
ốố
ố
h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c,
,,
,
đ
đđ
đạ
ạạ
ại
ii
i
s
ss
số
ốố
ố
A
k
= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ . . . + k
3
= (1 + 2 + 3 + . . . + k)
2
(1)
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là:
A
k+1
= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ . . . + (k + 1)
3
= [1 + 2 + 3 + . . . + (k + 1)]
2
(2)
Thật vậy, ta đ biết: 1 + 2 + 3 + . . . + k =
( 1)
2
k k
+
A
k
= [
( 1)
2
k k
+
]
2
(1')
Cộng vào hai vế của (1') với (k + 1)
3
ta có:
A
k
+ (k + 1)
3
= [
( 1)
2
k k
+
]
2
+ (k + 1)
3
A
k+1
= [
( 1)
2
k k
+
]
2
+ (k + 1)
3
=
2
( 1)( 2)
2
k k+ +
Do đó: A
k+1
= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ . . . + (k + 1)
3
= [1 + 2 + 3 + . . . + (k + 1)]
2
=
=
2
( 1)( 2)
2
k k+ +
=> đẳng thức đúng với n = k + 1. Vậy khi đó ta có:
A = 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ . . . + n
3
= (1 + 2 + 3 + . . . + n)
2
=
2
( 1)
2
n n +
Bài 6: Bài 6 (trang 23/SGK toán 7- tập 1)
Biết rằng 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + 10
2
= 385, đố em tính nhanh đợc tổng
S = 2
2
+ 4
2
+ 6
2
+ . . . + 20
2
Hớng dẫn:
Ta có: S = 2
2
+ 4
2
+ 6
2
+ . . . + 20
2
= (2.1)
2
+ (2.2)
2
+ . . . + (2.10)
2
= 1
2
.2
2
+ 2
2
.2
2
+ 2
2
.3
2
+ . . .+ 2
2
.10
2
= 2
2
.(1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . + 10
2
) = 4. (1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + 10
2
)
= 4.385 = 1540.
Nhận xét: Nếu đặt P = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + 10
2
thì ta có: S = 4.P. Do đó, nếu
cho S thì ta sẽ tính đợc P và ngợc lại. Tổng quát hóa ta có:
P = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + n
2
=
( 1)(2 1)
6
n n n
+ +
(theo kết quả bài tập 4 ở trên)
Khi đó S = 2
2
+ 4
2
+ 6
2
+ . . . + (2n)
2
đợc tính tơng tự nh bài trên, ta có:
S = (2.1)
2
+ (2.2)
2
+ . . . + (2.n)
2
= 4.( 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + n
2
) =
=
4 ( 1)(2 1)
6
n n n
+ +
=
2 ( 1)(2 1)
3
n n n
+ +
Còn: P = 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ . + n
3
=
2
( 1)
2
n n +
. (theo kết quả bài tập 5 ở trên)
Ta tính S = 2
3
+ 4
3
+ 6
3
+ . . .+ (2n)
3
nh sau:
S = (2.1)
3
+ (2.2)
3
+ (2.3)
3
+ . . . + (2.n)
3
= 8.(1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ . + n
3
)
=> S = 8P. Vậy ta có:
S = 2
3
+ 4
3
+ 6
3
+ . . .+ (2n)
3
=
2
2 2
2 2
( 1) 8. ( 1)
8 2 ( 1)
2 4
n n n n
n n
+ +
= = +
Bài 7: a) Tính A = 1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ . . . + (2n -1)
2
b) Tính B = 1
3
+ 3
3
+ 5
3
+ . . . + (2n-1)
3
Hớng dẫn:
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
a) Theo kết quả bài 4 ở trên, ta có:
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + (2n)
2
=
2 (2 1)(4 1) (2 1)(4 1)
6 3
n n n n n n
+ + + +
=
Mà ta thấy:
1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ + (2n -1)
2
= 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + (2n - 1)
2
+ (2n)
2
- [2
2
+ 4
2
+ 6
2
+ . . . + (2n)
2
]
=
(2 1)(4 1)
3
n n n
+ +
-
2 ( 1)(2 1)
3
n n n
+ +
=
2
(4 1)
3
n n
b) Ta có:
1
3
+ 3
3
+ 5
3
+ + (2n-1)
3
= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ . . . + (2n)
3
- [2
3
+ 4
3
+ 6
3
+ . . . + (2n)
3
]
á
p dụng kết quả bài tập 5 ở trên ta có:
1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ . . . + (2n)
3
= n
2
(2n + 1)
2
.
Vậy: B = 1
3
+ 3
3
+ 5
3
+ . . . + (2n-1)
3
= n
2
(2n + 1)
2
- 2n
2
(n + 1)
2
= 2n
4
- n
2
Bài 8: Tính S
1
= 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ . . . + 2
63
Hớng dẫn:
Cách 1:
Ta thấy: S
1
= 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ . . . + 2
63
(1)
2S
1
= 2 + 2
2
+ 2
3
+ . . . + 2
63
+ 2
64
(2)
Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có:
2S
1
- S
1
= 2 + 2
2
+ 2
3
+ . . . + 2
63
+ 2
64
- (1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ . . . + 2
63
)
= 2
64
- 1. Hay S
1
= 2
64
- 1
Cách 2:
Ta có: S
1
= 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ . . . + 2
63
= 1 + 2(1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ . . . + 2
62
)
= 1 + 2(S
1
- 2
63
) = 1 + 2S
1
- 2
64
S
1
= 2
64
- 1
Bài 9: Tính giá trị của biểu thức S = 1 +3 + 3
2
+ 3
3
+ . . . + 3
2000
(1)
Hớng dẫn:
Cách 1:
á
p dụng cách làm của bài tập trên
Ta có: 3S = 3 + 3
2
+ 3
3
+ . + 3
2001
(2)
Trừ từng vế của (2) cho (1) ta đợc:
3S - S = (3 + 3
2
+ 3
3
+ . . . + 3
2001
) - (1 +3 + 3
2
+ 3
3
+ . . . + 3
2000
)
Hay: 2S = 3
2001
- 1
S =
2001
3 1
2
Cách 2: Tơng tự nh cách 2 của bài trên:
Ta có: S = 1 + 3(1 +3 + 3
2
+ 3
3
+ . . . + 3
1999
) = 1 + 3(S - 3
2000
) = 1 + 3S - 3
2001
2S = 3
2001
- 1
S =
2001
3 1
2
*) Tổng quát hoá ta có: S
n
= 1 + q + q
2
+ q
3
+ . . . + q
n
(1)
Khi đó ta có:
Cách 1: qS
n
= q + q
2
+ q
3
+ . . . + q
n+1
(2)
Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có: (q - 1)S = q
n+1
- 1
S =
1
1
1
n
q
q
+
Cách 2: S
n
= 1 + q(1 + q + q
2
+ q
3
+ . . . + q
n-1
) = 1 + q(S
n
- q
n
)
= 1 + qS
n
- q
n+1
qS
n
- S
n
= q
n+1
- 1 hay:
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
p
pp
ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n
s
ss
số
ốố
ố
h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c,
,,
,
đ
đđ
đạ
ạạ
ại
ii
i
s
ss
số
ốố
ố
S
n
(q - 1) = q
n+1
1
S =
1
1
1
n
q
q
+
Bài 10: Cho A = 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ . . . + 2
9
; B = 5.2
8
. Hy so sánh A và B
Hớng dẫn:
Ta có: A = 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ . . . + 2
9
(1)
2A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ . . . + 2
9
+ 2
10
(2)
Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có:
2A - A = (2 + 2
2
+ 2
3
+ + 2
9
+ 2
10
) - (1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ . . . + 2
9
)
= 2
10
- 1 hay A = 2
10
- 1
Còn: B = 5.2
8
= (2
2
+ 1).2
8
= 2
10
+ 2
8
Vậy B > A
Bài 11:
Tính giá trị của biểu thức S = 1 + 2.6 + 3.6
2
+ 4.6
3
+ . . . + 100.6
99
(1)
Hớng dẫn:
Ta có: 6S = 6 + 2.6
2
+ 3.6
3
+ + 99.6
99
+ 100.6
100
(2)
Trừ từng vế của (2) cho (1) ta đợc:
5S = 6 - 2.6 + (2.6
2
- 3.6
2
) + (3.6
3
- 4.6
3
) + . . . + (99.6
99
- 100.6
99
) +
+ 100.6
100
- 1 = 100.6
100
- 1 - (6 + 6
2
+ 6
3
+ . . . + 6
99
) (*)
Đặt S' = 6 + 6
2
+ 6
3
+ . . . + 6
99
6S' = 6
2
+ 6
3
+ . . . + 6
99
+ 6
100
S' =
100
6 6
5
thay vào (*) ta có:
5S = 100.6
100
- 1 -
100
6 6
5
=
100
499.6 1
5
+
S =
100
499.6 1
25
+
tổng với các số hạng là phân số
1. Lí thuyết chung:
Nếu số hạng có dạng
( )
+
m
b b m
thì ta phân tích thành hiệu nh sau:
1 1
( )
m
b b m b b m
=
+ +
(hiệu hai thừa số ở mẫu luôn bằng giá trị ở tử thì phân số đó
luôn viết đợc dới dạng hiệu của hai phân số khác với các mẫu tơng ứng).
Nên ta có một tổng với các đặc điểm: Các số hạng liên tiếp luôn đối nhau (số
trừ của nhóm trớc bằng số bị trừ của nhóm sau liên tiếp), cứ nh vậy các số
hạng trong tổng đều đợc khử liên tiếp, đến khi trong tổng chỉ còn số hạng
đầu và số hạng cuối, lúc đó ta thực hiện phép tính sẽ đơn giản hơn.
2. Bài tập:
Bài 1. Tính giá trị của biểu thức A =
1 1 1 1
1.2 2.3 3.4 ( 1).
n n
+ + + +
Lời giải
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
Ta có: A =
1 1 1 1 1 1
1 2 2 3 1
n n
+ + +
A =
1 1
1
n
n n
=
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức B =
4 4 4 4
3.7 7.11 11.15 95.99
+ + + +
Hớng dẫn: Ta có: 7 - 3 = 4 (đúng bằng tử) nên ta có:
B =
1 1 1 1 1 1 1 1
3 7 7 11 11 15 95 99
+ + + +
=
1 1 32
3 99 99
=
Bài 3. Tính giá trị của biểu thức C =
2 2 2 2
7 7 7 7
2.9 9.16 16.23 65.72
+ + + +
Hớng dẫn: Ta thấy: 9 - 2 = 7 7
2
ở tử nên ta không thể áp dụng cách làm
của các bài trên (ở tử đều chứa 7
2
), nếu giữ nguyên các phân số đó thì ta
không thể tách đợc thành hiệu các phân số khác để rút gọn tổng trên đợc.
Mặt khác ta thấy:
7 1 1
2.9 2 9
=
, vì vậy để giải quyết đợc vấn đề ta phải đặt 7 làm
thừa số chung ra ngoài dấu ngoặc, khi đó thực hiện bên trong ngoặc sẽ đơn
giản. Vậy ta có thể biến đổi:
C =
7 7 7 7
7.
2.9 9.16 16.23 65.72
+ + + +
=
1 1 1 1 1 1 1 1
7.
2 9 9 16 16 23 65 72
+ + + +
=
1 1 35 29
7. 7. 3
2 72 72 72
= =
Bài 4. Tính giá trị của biểu thức D =
3 3 3 3
1.3 3.5 5.7 49.51
+ + + +
Hớng dẫn: Ta lại thấy: 3 - 1 = 2 3 ở tử của mỗi phân số trong tổng nên
bằng cách nào đó ta đa 3 ra ngoài và đa 2 vào trong thay thế.
Ta có: D =
2 3 3 3 3
2 1.3 3.5 5.7 49.51
+ + + +
=
3 2 2 2 2
2 1.3 3.5 5.7 49.51
+ + + +
=
3 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 3 3 5 5 7 49 51
+ + + +
=
3 1 1 3 50 25
2 1 51 2 51 17
= =
Bài 5. Tính giá trị của biểu thức E =
1 1 1 1 1 1
7 91 247 475 775 1147
+ + + + +
Hớng dẫn: Ta thấy: 7 = 1.7 ; 91 = 13.7 ; 247 = 13.19 ;
475 = 19.25; 775 = 25.31 ; 1147 = 31.37
Tơng tự bài tập trên ta có:
E =
1 6 6 6 6 6 6
6 1.7 7.13 13.19 19.25 25.31 31.37
+ + + + +
=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
6 1 7 7 13 13 19 19 25 25 31 31 37
+ + + + +
=
1 1 1 36 6
1
6 37 6 37 37
= =
Bài 6.
So sánh: A =
2 2 2 2
60.63 63.66 117.120 2003
+ + + +
và B =
5 5 5 5
40.44 44.48 76.80 2003
+ + + +
Lời giải
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
p
pp
ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n
s
ss
số
ốố
ố
h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c,
,,
,
đ
đđ
đạ
ạạ
ại
ii
i
s
ss
số
ốố
ố
A =
2 3 3 3 2
3 60.63 63.66 117.120 2003
+ + + +
=
2 1 1 1 1 1 1 2
3 60 63 63 66 117 200 2003
+ + + +
=
2 1 1 2 2 1 2
3 60 120 2003 3 120 2003
+ = +
=
1 2
180 2003
+
Tơng tự cách làm trên ta có: B =
5 1 1 5 5 1 5 1 5
4 40 80 2003 4 80 2003 64 2003
+ = + = +
Ta lại có: 2A =
1 2 2 4 1 4
2
180 2003 180 2003 90 2003
+ = + = +
Từ đây ta thấy ngay
B > 2A thì hiển nhiên B > A
IV.
Hớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhàHớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhà
(5 phút)
- Xem lại các bài tập đã chữa
- Giải tiếp các bài tập sau:
Bài 1. Tính D = 10 + 12 + 14 + + 994 + 996 + 998
Kết quả: D = 249480
Bài 2. Tính: A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + . . + (n - 2)(n - 1)n(n + 1)
Kết quả: A =
2 2
n(n 1)(n 4)
5
Bài 3. Tính: B = 1.2.4 + 2.3.5 + . + n(n + 1)(n + 3)
Hớng dẫn: Phân tích
B 1.2(3 1) 2.3(4 1) n(n 1)(n 2 1)
1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2) 1.2 2.3 3.4 n(n 1)
= + + + + + + + +
= + + + + + + + + + + +
Kết quả: B =
n(n 1)(n 2)(3n 13)
12
+ + +
Bài 4. E = 7 + 7
4
+ 7
7
+ 7
10
+ . . . + 7
3001
Kết quả: E =
3003
7
342
Bài 5. F = 8 + 8
3
+ 8
5
+ . . . + 8
801
Kết quả: F =
802
8
63
Bài 6. Tính: A =
1 1 1 1
5.6 6.7 7.8 24.25
+ + + +
Kết quả: A =
4
25
Bài 7. Tính: B =
2 2 2 2
5 5 5 5
1.6 6.11 11.16 26.31
+ + + +
Kết quả: B =
150
31
D/Bổ sung
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
*******************************
Ngày soạn
Ngày soạn Ngày soạn
Ngày soạn
: 19/09/11
Ngày dạy
Ngày dạy Ngày dạy
Ngày dạy
: 23/09/11
Ch
ChCh
Chủ đề
ủ đề ủ đề
ủ đề 3
33
3
Tính tổng các dãy số
Buổi 2
luyện tập
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Tiếp tục áp dụng cách tính tổng để giải các bài toán chứng minh, tính
giá trị biểu thức, so sánh hai biểu thức, . . . , giải đề thi
Kĩ năng
- Rèn kĩ năng tính toán, biến đổi, t duy khoa học
Thái độ
- Học sinh tích cực, chủ động trong học tập
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:
- HS:
C/Tiến trình bài dạy
I.
Tổ chức
Tổ chức Tổ chức
Tổ chức sĩ số
sĩ số sĩ số
sĩ số
II.
Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ
(15 phút)
- HS1:
Giải bài tập 1 đã cho ở buổi học trớc
- HS2:
Giải bài tập 3 đã cho ở buổi học trớc
- HS3:
Giải bài tập 7 đã cho ở buổi học trớc
III.
Bài mới
Bài mớiBài mới
Bài mới
(164 phút)
Bài 1. So sánh hai biểu thức A và B:
A =
1 1 1 1
124
1.1985 2.1986 3.1987 16.2000
+ + + +
B =
1 1 1 1
1.17 2.18 3.19 1984.2000
+ + + +
Lời giải
Ta có: A =
124 1 1 1 1 1 1 1
. 1
1984 1985 2 1986 3 1987 16 2000
+ + + +
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
p
pp
ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n
s
ss
số
ốố
ố
h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c,
,,
,
đ
đđ
đạ
ạạ
ại
ii
i
s
ss
số
ốố
ố
=
1 1 1 1 1 1
. 1
16 2 16 1985 1986 2000
+ + + + + +
Còn B =
1 1 1 1 1 1
. 1
16 17 2 18 1984 2000
+ + +
=
1 1 1 1 1 1
. 1
16 2 1984 17 18 2000
+ + + + + +
=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
. 1
16 2 16 17 18 1984 17 18 1984 1985 2000
+ + + + + + + + +
=
1 1 1 1 1 1
1
16 2 16 1985 1986 2000
+ + + + + +
Vậy A = B
Bài 2. Chứng tỏ rằng:
( )
2
2
1 1 1 1 1
5 13 25 2
1n n
+ + + + <
+ +
với mọi n
N
Lời giải
Ta có:
1 2 1 2 1 2
; ;
5 2.4 13 4.6 25 6.8
< < <
ta phải so sánh:
2 2
1
( 1)
n n+ +
với:
2
2 (2 2)
+
n n
Thật vậy:
2 2
1
( 1)
n n+ +
=
2 2 2
1 1
( 1) 2 2 1
n n n n
=
+ + + +
còn
2
2 1 1
2 (2 2) (2 2) 2 2
n n n n n n
= =
+ + +
nên hiển nhiên
2 2
1
( 1)
n n+ +
<
2
2 (2 2)
+
n n
,
n N
.
Vậy ta có:
( )
2
2
1 1 1 1 2 2 2 2
5 13 25 2.4 4.6 6.8 2 (2 2)
1
n n
n n
+ + + + < + + + +
+
+ +
Mà:
2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1
; ;
2.4 2 4 4.6 4 6 6.8 6 8 2 (2 2) 2 2 2
n n n n
= = = =
+ +
nên:
2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1
2.4 4.6 6.8 2 (2 2) 2 4 4 6 6 8 2 2 2
n n n n
+ + + + = + + +
+ +
=
1 1 1
2 2 2 2
n
<
+
là hiển nhiên với mọi số tự nhiên n
Vậy:
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
5 13 25 ( 1) 2 4 4 6 6 8 2 2 2
n n n n
+ + + + < + + +
+ + +
=
1 1 1
2 2 2 2
n
<
+
hay:
2 2
1 1 1 1 1
5 13 25 ( 1) 2
n n
+ + + + <
+ +
Bài 3. Tính giá trị của biểu thức M =
[ ]
2
2 2
3 5 2 1
(1.2) (2.3)
( 1)
n
n n
+
+ + +
+
Lời giải: Ta có ngay: M =
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 3 ( 1) ( 1)
n n n n
+ + + +
+
Vậy M =
2
2 2
1 ( 1) 1
1
( 1) ( 1)
n
n n
+
=
+ +
=
2 2
2 2 2 2
( 1)( 1) 1 2 1 1 2 ( 2)
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
n n n n n n n n
n n n n
+ + + + + +
= = =
+ + + +
Bài 4. Tính giá trị của biểu thức N =
1 1 1 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2)
n n n
+ + + +
+ +
Lời giải
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
Ta có: N =
1 2 2 2 2
2 1.2.3 2.3.4 3.4.5 .( 1)( 2)
n n n
+ + + +
+ +
=
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 .( 1) ( 1)( 2)
n n n n
+ + + +
+ + +
=
1 1 1
2 2 ( 1)( 2)
+ +
n n
Bài 5. Tính giá trị của biểu thức: H =
1 1 1
1.2.3.4 2.3.4.5 ( 1). ( 1)( 2)
n n n n
+ + +
+ +
Lời giải: Ta có: H =
1 3 3 3
3 1.2.3.4 2.3.4.5 ( 1). .( 1).( 2)
+ + +
+ +
n n n n
=
1 1 1 1 1 1 1
.
3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 ( 1). .( 1) .( 1).( 2)
+ + +
+ + +
n n n n n n
=
1 1 1
.
3 6 ( 1)( 2)
+ +
n n n
Bài 6. Chứng minh rằng P =
12 12 12 12 1
1.4.7 4.7.10 7.10.12 54.57.60 2
+ + + + <
Lời giải: Ta có: P =
6 6 6 6
2.
1.4.7 4.7.10 7.10.13 54.57.60
+ + + +
=
1 1 1 1 1 1 1 1
2.
1.4 4.7 4.7 7.10 7.10 10.13 54.57 57.60
+ + + +
=
1 1 854 427 427 1
2 2
4 57.60 3420 855 854 2
= = < =
. Vậy P <
1
2
Bài 7. Chứng minh rằng S =
2 2 2 2
1 1 1 1
1 2
2 3 4 100
+ + + + + <
Lời giải
Ta thấy:
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
; ;
2 1.2 3 2.3 4 3.4 100 99.100
< < < <
=> S <
1 1 1 1 1
1 1 1 2
1.2 2.3 3.4 99.100 100
+ + + + + < + <
hay S < 2
Bài 8. Đặt
1 1 1
1.2 3.4 2005.2006
+ + +
A =
và
1 1 1
1004.2006 1005.2006 2006.2006
+ + +
B =
.
Chứng minh rằng
A
B
Z
Lời giải
1 1 1
1.2 3.4 2005.2006
+ + +
A =
=
1 1 1 1 1
1
2 3 4 2005 2006
+ + +
=
1 1 1 1 1 1 1
1
3 5 2005 2 4 6 2006
+ + + + + + + +
=
1 1 1 1
1
2 3 4 2006
+ + + + +
-
1 1 1
2
2 4 2006
+ + +
=
1 1 1 1
1
2 3 4 2006
+ + + + +
-
1 1 1 1
1
2 3 4 1003
+ + + + +
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
p
pp
ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n
s
ss
số
ốố
ố
h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c,
,,
,
đ
đđ
đạ
ạạ
ại
ii
i
s
ss
số
ốố
ố
=
1 1 1
1004 1005 2006
+ + +
Còn B =
1 1 1 1
2006 1004 1005 2006
+ + +
2006
=
A
Z
B
Bài 9.
Đề thi
Đề thi Đề thi
Đề thi khảo sát chọn HSG đợt I huyện Gia Lộc
khảo sát chọn HSG đợt I huyện Gia Lộckhảo sát chọn HSG đợt I huyện Gia Lộc
khảo sát chọn HSG đợt I huyện Gia Lộc năm học 2
năm học 2 năm học 2
năm học 2009
009009
009
-
- 201
201 201
2010
00
0
a) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn
( )( )
3 n 4
1 1 1
1.2 2.3
n 1 n 2
3 n 5
+
+ + + =
+ +
+
b) Rút gọn: P =
2 2
1 1 1
1 2 2 3
2009 2 2009 1
+ + +
+ +
+
Hớng dẫn:
a) Rút gọn vế phải bằng
1
1
n 2
+
, vế phải bằng
1
1
3 n 5
+
do đó ta có:
n 2 3 n 5 3 n (1 3 n ) 0
+ = + <=> + =
Đáp số: n = 3
b) Có:
k 1 k
k 1 k
k 1 k
+
+ =
+ +
. Do đó
2
P 2009 1 1
=
Bài 10.
Đề thi
Đề thi Đề thi
Đề thi khảo sát chọn H
khảo sát chọn Hkhảo sát chọn H
khảo sát chọn HSG đợt II huyện Gia Lộc
SG đợt II huyện Gia LộcSG đợt II huyện Gia Lộc
SG đợt II huyện Gia Lộc năm học 2
năm học 2 năm học 2
năm học 2009
009009
009
-
- 201
201 201
2010
00
0
a) Chứng minh rằng
(
)
2 2
4016
1 1 1 1
2009
1 2 2 3 3 4
2009 1 2009
+ + + + >
b) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn :
y 25;2x y 12;z 3y 2009
+ +
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x + 2y + 3z
Hớng dẫn:
(
)
k 1
1 1
a) k 1
k(k 1) k k 1
k 1
1 1 1 1
1 2 k 1;2;3;
k k 1 k k k 1
+
= +
+ +
+
= + > =
+ +
(
)
2
2 2
2008
1 1 1 1 1 1
2 2.
1 2009
1 2 2 3 3 4 2009
2009 1 2009
+ + + + > =
b) Từ giả thiết có:
12 y
x ;z 2009 3y
2
Do đó:
12 y 15y
15.25 11691
M 2y 3(2009 3y) 6033 6033
2 2 2 2
+ + = =
M nhỏ nhất bằng
11691
2
13
y 25;x ;z 1934
2
= = =
Bài 11. Đề thi khảo sát chọn HSG đợt II năm học 2010
Đề thi khảo sát chọn HSG đợt II năm học 2010 Đề thi khảo sát chọn HSG đợt II năm học 2010
Đề thi khảo sát chọn HSG đợt II năm học 2010 -
- 2011
2011 2011
2011
1. Cho y =
2 2
x 4x 4 x 4x 4
+ + + +
a) Rút gọn y
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
b) Tính giá trị nhỏ nhất của y
2. So sánh
1 1 1 1 1 1
A 1
2 3 4 5 99 100
= + + + + + + +
với 20
3. Cho a, b, c , x, y là các số thực thỏa mãn các đẳng thức sau:
3 3 3 5 5 5
x y a;x y b ;x y c
+ = + = + =
Tìm đẳng thức liên hệ giữa a, b, c không phụ thuộc vào x, y
Hớng dẫn:
1. a) y =
x 2 x 2
+ +
Nếu x < - 2 thì y = - 2x
Nếu
2 x 2
thì y = 4
Nếu x > 2 thì y = 2x
b) Nếu x < - 2 thì y = - 2x > 4
Nếu
2 x 2
thì y = 4
Nếu x > 2 thì y = 2x > 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của y bằng 4 khi
2 x 2
*) Cách khác : áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối, ta có:
y =
x 2 x 2
+ +
=
x 2 2 x x 2 2 x 4
+ + + + =
Dấu "=" xảy ra (x + 2)(2 - x)
0
.
Giải bất phơng trình này ta đợc :
2 x 2
2. So sánh
1 1 1 1 1 1
A 1
2 3 4 5 99 100
= + + + + + + +
với 20
Trớc hết chứng minh bất đẳng thức:
Với n là số tự nhiên thì
1
2( n 1 n )
n 1
< +
+
Có:
1 1
n n 1 n n 1 2 n 1
n n 1 2 n 1
< + <=> + + < + <=> >
+ + +
1
n 1 n
2 n 1
+ >
+
1
2( n 1 n )
n 1
< +
+
A < 2
(1 2 1 3 2 4 3 99 98 100 99 ) 2. 100
+ + + + + + =
Vậy A < 2.10 = 20
*) Cách khác: Phơng pháp làm tăng
1 1 1 1 1 1
A 1
2 3 4 5 99 100
2 2 2 2
1
2 2 3 3 4 4 100 100
= + + + + + + +
= + + + + +
+ + + +
1 1 1 1
1 2
1 2 2 3 3 4 99 100
< + + + + +
+ + + +
(
)
( )
1 2 2 1 3 2 100 99 1 2 10 1 19 20
= + + + + = + = <
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
p
pp
ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n
s
ss
số
ốố
ố
h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c,
,,
,
đ
đđ
đạ
ạạ
ại
ii
i
s
ss
số
ốố
ố
3.
( )
2
3 3 3 3 3 3 2 2
x y b b x y (x y)(x xy y ) (x y) x y 3xy
+ = <=> = + = + + = + +
b
3
=
3
a 3axy
Nếu x + y = 0 thì a = b = c = 0
Nếu x + y = a 0 => xy =
3 3
a b
3a
5 5 3 3 2 2 2 2
x y (x y )(x y ) x y ( x y)
+ = + + +
Thay vào ta đợc hệ thức :
5 3 3 6 6
9ac 5a b 5b a 0
+ =
Bài 12. Cho đa thức
(
)
(
)
1.2 2.3 3.4 . 1
f x x x
= + + + + +
. Tìm x để
(
)
8
f x
=
Hớng dẫn:
Ta có
(
)
(
)
1.2 2.3 3.4 . 1
f x x x
= + + + + +
(
)
(
)
3. 1.2.3 2.3.3 3.4.3 . 1 .3
f x x x= + + + + +
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1.2. 3 0 2.3. 4 1 3.4. 5 2 . 1 . 2 1
x x x x= + + + + + +
(
)
(
)
(
)
(
)
0 1.2.3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 1 . 1 . 1 2
x x x x x x
= + + + + + +
(
)
(
)
. 1 2
x x x
= + +
( ) ( )( )
1
. 1 2
3
f x x x x
= + +
Để
(
)
8
f x
=
( ) ( )
1
. 1 2 8
3
x x x
+ + =
(
)
(
)
. 1 2 24
x x x
+ + =
3 2
3 2 24 0
x x x
+ + =
(
)
(
)
(
)
3 2 2
2 5 10 12 24 0
x x x x x
+ + =
(
)
(
)
2
2 5 12 0
x x x
+ + =
2
2 0
5 12 0
x
x x
=
+ + =
(
)
( )
1
2
Giải phơng trình
(
)
1
ta đợc x = 2
Giải phơng trình
(
)
2
2
5 12 0
+ + =
x x
. Vô nghiệm
Vậy với x = 2 thì
(
)
8
f x
=
.
Bài 13.
Cho các số
1 2 2008
, a , . . . ,a
a
đợc xác định theo công thức sau:
=
+ + +
n
2
a
(2n 1)( n n 1)
với n = 1, 2, . . . , 2008.
Chứng minh rằng:
1 2 2008
2008
a + a + . . . + a
2010
<
Hớng dẫn:
=
+ + +
n
2
a
(2n 1)( n n 1)
+ +
= < =
+ +
+ +
2( n 1 n) 2( n 1 n) 1 1
n 1 n
2 n(n 1) n n 1
Do đó
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
1 2 2009
1 1 1 1 1 1
a a a
1 2 2 3 2008 2009
+ + + < + + +
1
1
2009
=
Mặt khác:
+
=
2008 1 2008 2009 2010 2009 2010
1
2010
2009 2010 2009
(
)
2
2009 1
2010 2 2009
0
2010 2009 2010 2009
= = >
nên
<
1 2008
1
2010
2009
.
Vậy
1 2 2008
2008
a + a + . . . + a
2010
<
Bài 14.
R
ú
t g
ọ
n
1009999100
1
99989899
1
4334
1
3223
1
2112
1
+
+
+
++
+
+
+
+
+
=S
Hớng dẫn: V
ớ
i k
N
*
ta c
ó
:
(
)
1 1
(k 1) k k k 1
k 1 . k k 1 k
=
+ + +
+ + +
=
)1)(1(.1
1
kkkkkk
kk
++++
+
=
1
11
.1
1
+
=
+
+
kkkk
kk
- Thay k = 1; 2; 3; . . . ; 98; 99 v
à
o t
ổ
ng S ta c
ó
S =
1
1
-
100
1
99
1
99
1
98
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
+++++
=> S=
10
9
10
1
1
100
1
1
1
==
=> S =
10
9
IV.
Hớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhàHớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhà
(1 phút)
- Xem lại các bài đã chữa, giải tiếp các bài tập sau:
Bài 1.
a. Chứng minh v
ớ
i mọi s
ố
d
ơ
ng a th
ì
( )
2
2
2
1 1 1 1
1 1
1
1
a a a
a
+ = + +
+
+
b. T
í
nh S =
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 2 2 3 2008 2009
+ + + + + + + + +
Hớng dẫn:
a/ Ta c
ó
:
( )
( )
2
2
2
1 1 1 1 1 1 1
1 1 2
1 1 1
1
a a a a a a a
a
+ = + + +
+ + +
+
M
à
( )
1 1 1 1 1 1 1
0
1 1 1 1a a a a a a a a
= + =
+ + + +
. Do
đó
( )
2
2
2
1 1 1 1
1 1
1
1
a a a
a
+ = + +
+
+
b/
á
p d
ụ
ng c/m c
â
u a ta c
ó
:
S =
1 1 1 1 1
1 1 1 1
2 2 3 2008 2009
+ + + + + +
=
1
2009
2009
Bài 2.
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
p
pp
ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n
s
ss
số
ốố
ố
h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c,
,,
,
đ
đđ
đạ
ạạ
ại
ii
i
s
ss
số
ốố
ố
a, Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng : 5
210
50
1
3
1
2
1
12 <++++<
b, T
ì
m GTNN c
ủ
a P = x
2
+ y
2
+ z
2
. Bi
ế
t x + y + z = 2007
Hớng dẫn:
a, 5
2
< 1 +
2
1
+
3
1
+ +
50
1
< 10
2
. Đ
ặ
t S = 1 +
2
1
+
3
1
+ +
50
1
Ta c
ó
S >
50
1
+
50
1
+ +
50
1
=
50
1
.50 = 5
2
M
ặ
t kh
á
c c
ó
: 1 =
12
2
<
01
2
+
12
2
22
2
2
1
+
<=
50
1
=
4950
2
502
2
+
<
C
ộ
ng 2 v
ế
ta
đợ
c :
S <
4950
2
12
2
01
2
+
++
+
+
+
= 2{(
)4950( )12()01 +++
}
= 2
50
= 10
2
(2). T
ừ
(1) v
à
(2)
5
2
< S < 10
2
(
đ
pcm).
b, T
ì
m GTNN P = x
2
+ y
2
+ z
2
bi
ế
t x + y + z =
2007
áp d
ụ
ng B
Đ
T Bu Nhiac
ố
pxki ta c
ó
:
(x + y + z)
2
(x
2
+ y
2
+z
2
) .(1
2
+1
2
+1
2
)
x
2
+ y
2
+ z
2
3
2007
3
)(
2
=
++
zyx
= 669
V
ậ
y GTNN c
ủ
a P l
à
: 669
Bài 3.
G
ọ
i
n
S
=
1 1 1
1 2 2 3 n n 1
+ + +
+ + + +
,
n
N, n 1
.
T
ì
m t
ấ
t c
ả
c
á
c gi
á
tr
ị
c
ủ
a
n
sao cho
n
100
v
à
n
S
c
ó
gi
á
tr
ị
nguy
ê
n
Hớng dẫn:
Ch
ú
ý
r
ằ
ng:
( )( )
1 k 1 k
k 1 k
k k 1
k k 1 k 1 k
+
= = +
+ +
+ + +
,
k N, k 1
Suy ra
n
S
=
(
)
(
)
(
)
(
)
2 1 3 2 n n 1 n 1 n
+ + + + +
=
n 1 1
+
n
S
nh
ậ
n gi
á
tr
ị
nguy
ê
n , khi
n 1
+
l
à
m
ộ
t s
ố
ch
í
nh ph
ơ
ng . D
ạ
ng
2
n k 1
=
K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n
n N,1 n 100
, suy ra t
ậ
p c
á
c gi
á
tr
ị
c
ủ
a n th
ỏ
a m
n
c
á
c y
ê
u c
ầ
u c
ủ
a b
à
i to
á
n l
à
:
{
}
3,8,15, 24,35,48,63,80,99
Bài 4.
Hớng dẫn:
Bài 5.
Hớng dẫn:
Bài 6.
Hớng dẫn:
Bài 7.
Hớng dẫn:
Bài 8.
Tr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ng
Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu
H−íng dÉn:
Bµi 9.
H−íng dÉn:
Bµi 10.
H−íng dÉn:
Bµi 11.
H−íng dÉn:
Bµi 12.
H−íng dÉn:
Bµi 13.
H−íng dÉn:
D/Bæ sung
*******************************
