Bài giảng xử lý số liệu và tín hiệu đo lường

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KĨ THUẬT
HƯNG YÊN
KHOA ĐIỆN -ĐIỆN TỬ

XỬ LÝ SỐ LIỆU VÀ TÍN HIỆU
ĐO LƢỜNG

HƢNG YÊN 2014
1


PHẠM THƯỢNG HÀN – NGUYỄN NGỌC MINH
CHU THỊ THANH THƠ

XỬ LÝ SỐ LIỆU VÀ TÍN HIỆU
ĐO LƯỜNG

HƢNG YÊN 2014

2


LỜI NÓI ĐẦU
Trong sự phát triển của khoa học kỹ thuật việc ứng dụng toán học và
lƣu học ngày càng trở nên cấp thiết và hiệu quả.
Kỹ thuật xử lý tín hiệu là lĩnh vực sử dụng các phƣơng pháp toán học
và tin học để giải quyết những bài toán phức tạp mà trƣớc đây không thực
hiện đƣợc.
Nhƣ ta đã biết “ Tín hiệu “ đƣợc coi là phƣơng tiện vật lý ( tín hiệu
điện ,tín hiệu quang…) dùng để mang thơng tin. Cịn tín hiệu đo lƣờng là
loại tín hiệu mang đặc tính thơng tin về giá trị của đại lƣợng đo lƣờng.

Trong kỹ thuật, tín hiệu đo lƣờng đƣợc lấy ra từ các bộ phận cảm
biến, đó là tín hiệu điện dƣới dạng tƣơng tự để xử lý chúng ngƣời ta phải
số hóa nó và đƣa vào máy tính để xử lý, từ đó mà xuất hiện các phƣơng
pháp xử lý số các tín hiệu trên máy tính.
Các phƣơng pháp xử lý số tín hiệu nhằm tìm ra các thơng số bổ ích
cho các q trình thiết kế những hệ cơ điện tử, cũng nhƣ các dây chuyển
sản xuất cơng nghiệp.
Thơng thƣờng tín hiệu đo lƣờng nhận đƣợc là một hàm thƣờng gian
x(t), nhƣng cũng có một cách biểu diễn khác là tín hiệu biểu diễn trong
miền tần số x(t). Các hàm này liên hệ với nhau qua phép biến đổi Furie.
Từ đó mà xuất hiện 2 phƣơng pháp xử lý tín hiệu bằng phép phân tích
tƣơng quan (xử lý tín hiệu trong miền thời gian) và xử lý tín hiệu bằng
phép nhân tích phổ (xử lý tín hiệu trong miền tần số).
Cùng với phép biến đổi Furie ta sẽ để cập đến các biến đổi Furie ta sẽ
để cập đến các pháp biến đổi khác là: Biến đổi LapLace, biến đổi “Z”,
biến đổi WaveLetl. Cũng đƣợc ứng dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu. Xử
lý tín hiệu còn bao gồm cả các phép lọc (lọc tƣơng tự và lọc số) là
phƣơng pháp khử nhiệm, lấy lại tín hiệu ban đầu khi truyền qua một hệ
thống thơng tin từ xa khơng dây.
Các phƣơng pháp tốn học cịn đƣợc ứng dụng trong việc xử lý số
liệu đo . Đó là phƣơng pháp xác định giá trị thực của đại lƣợng đo và độ
biến động của nó khi tiến hành một phép đo.
Trong thực tế khi làm thực nghiệm để xác định mối liên hệ giữa hai
đại lƣợng x và y nào đó, ta cần phải xử lý các số liệu đo từ đó mà tìm ra
biểu thức giải thích thể hiện mối quan hệ giữa hai đại lƣợng , đó là nội
dung của phép xây dựng biểu thức giải tích của đƣờng cong thực nghiệm
đƣợc đề cập trong giáo trình này.
Giáo trình này đƣợc viết ra trƣớc hết cho sinh viên ngành Đo lƣờng –
Điều khiển – Tự động hóa làm cơ sở cho nhƣng mơn chun ngành. Nó
cũng đƣợc dung cho những ngành khác nhƣ Điện tử, Tin học, Viễn thông,

Vật lý, Cơ học, Y học… và những ai quan tâm.
Giáo trình này đƣợc biên soạn chủ yếu dựa trên cơ sở hai cuốn sách
“Xử lý số tín hiệu và ứng dụng” và “Kỹ thuật đo lƣờng các đại lƣợng vật
lý” NXBGD , của tác giả Phạm Thƣợng Hàn để làm tài liệu giảng dạy ở
3


trƣờng ĐH Sƣ Phạm Kỹ Thuật Hƣng Yên. Mọi ý kiến đóng góp có thể
gửi về Khoa Điện – Điện Tử trƣờng ĐH Sƣ Phạm Kỹ Thuật Hƣng Yên.
Các tác giả xin chân thành cảm ơn!
Các tác giả

4


Phần I
XỬ LÝ TÍN HIỆU ĐO LƯỜNG
CHƯƠNG 1
KHÁI NIỆM VỀ TÍN HIỆU
1.1 ĐỊNH NGHĨA VỀ TÍN HIỆU
“TÍN HIỆU” đƣợc coi là một phƣơng tiện vật lý (tín hiệu điện, tín
hiệu quang v.v…) dùng để mang thơng tin.
Định nghĩa tín hiệu đo lƣờng
Tín hiệu đo lƣờng là loại tín hiệu mang đặc tính thơng tin về giá trị của
đại lƣợng đo.
Tín hiệu đo nhằm mục đích nối liền các khâu trong hệ thống điều khiển,
đo lƣờng, tự động kiểm tra v.v…của cả q trình sản xuất.
Trong q trình đo thì thơng tin cần phải đƣợc đƣa ra từ tín hiệu ở
đầu vào bằng cách tối ƣu nhất - Để làm điều đó ta phải xét đến các đặc
tính của tín hiệu và các thơng số của nó, để quyết định phƣơng pháp xử lý

tốt nhất.
Trƣớc tiên ta nên hệ thống các loại tín hiệu theo các q trình vật lý
cơ bản hoặc là có thể phân loại theo các đặc tính thay đổi theo thời gian
(điện một chiều hay điện xoay chiều).
Các thơng số của tín hiệu có thể thay đổi theo thời gian và nhiều
đại lƣợng khắc nữa. Nhƣng trong kỹ thuật đo phần lớn tín hiệu thay đổi
theo thời gian.
1.2. PHÂN LOẠI TÍN HIỆU
1.2.1. Phân loại tín hiệu theo sự thay đổi phụ thuộc thời gian
Tín hiệu thay đổi phụ thuộc thời gian có thể chia làm hai loại là tín
hiệu khơng ngẫu nhiên và tín hiệu ngẫu nhiên.
Tín hiệu khơng ngẫu nhiên có thể chia làm hai loại là: tín hiệu tiền
định và gần tiền định.
Tín hiệu tiền định là tín hiệu mà quy luật thay đổi của nó đã biết và
biết trƣớc giá trị cũng nhƣ tất cả các thơng số của nó.

5


Để đo tín hiệu này ngƣời ta chế tạo các thiết bị đo để đo các giá trị
nhƣ hiệu dụng, trung bình hay cực đại phù hợp với quy luật thay đổi theo
thời gian của tín hiệu.
Tín hiệu tiền định có thể sử dụng để khắc độ, kiểm tra (nhƣ là một
tín hiệu chuẩn) hay dùng để làm tín hiệu mang khi phải truyền tín hiệu đi
xa.
Tín hiệu gần tiền định là loại tín hiệu mà đã biết trƣớc quy luật thay
đổi theo thời gian, nhƣng lại không biết một hay nhiều thơng số, ta cần
phải đo.
Ví dụ: Tín hiệu xoay chiều biết trƣớc tần số nhƣng không biết độ
lớn của biên độ.

Tín hiệu ngẫu nhiên là tín hiệu tiền định sự thay đổi của nó theo
thời gian khơng theo một quy luật nào cả, mọi giá trị của nó tại mọi thời
điểm là đại lƣợng ngẫu nhiên. Tín hiệu ngẫu nhiên là một hàm ngẫu nhiên
theo thời gian hay cịn gọi là q trình ngẫu nhiên (QTNN).
Tín hiệu đo tuỳ thuộc vào đặc tính thay đổi theo thời gian trong
khơng gian mà có thể chia thành hai loại.
Tín hiệu liên tục hay là tín hiệu analog là loại tín hiệu mà sự thay
đổi theo thời gian của nó liên tục. Đa số trƣờng hợp tín hiệu là liên tục.
Tín hiệu rời rạc là tín hiệu mà thơng số của nó có khi chỉ khác 0
trong một khoảng thời gian nhất định hay là trong những điểm nhất định
của không gian.
Ví dụ: Các dãy xung điện, các thơng số mang thông tin của chúng
là: biên độ, tần số, chu kỳ lặp lại, độ rộng xung…
1.2.2. Phân loại tín hiệu theo sự biến đổi
Các tín hiệu vật lý tác dụng lên đầu vào và đầu ra của thiết bị đo,
tuỳ thuộc vào sự biến đổi có thể chia thành 4 dạng:
- Tín hiệu liên tục theo thời gian x(t) (h.1-1a).
- Tín hiệu liên tục theo thời gian nhƣng lƣợng tử theo mức x l(t)
(h.1-1b).
- Tín hiệu rời rạc theo thời gian nhƣng liên tục theo mức xr(t) (h.11c).

6


- Tín hiệu rời rạc theo thời gian và lƣợng tử theo mức x rl(t) (h.11d).

Hình 1-1. Bốn dạng tín hiệu
- Khi đo các thơng số của tín hiệu liên tục x(t) sai số xuất hiện khi
xác định các giá trị tức thời x(ti), và các thời điểm chúng tồn tại.
- Khi đo các thơng số của tín hiệu rời rạc biết thời điểm chúng xuất

hiện nhƣng việc xác định giá trị thƣờng mắc phải sai số.
- Khi đo các thơng số của tín hiệu rời rạc lƣợng tử x rl(t) cần phải
xác định giá trị lƣợng tử x trong thời điểm đã chọn và giá trị của nó.
Nói chung một tín hiệu đo có thể viết dƣới dạng một hàm: f(t, a, b,
c…) trong đó t là thời gian, cịn a, b, c…các thơng số khác của tín hiệu.
Thực tế hầu hết các tín hiệu là ngẫu nhiên. Để xác định các thông
số thống kê, thời gian đo phải lớn hơn nhiều lần khoảng tƣơng quan của
nó.
Khi đo một tín hiệu gần tiền định cần xác định ngay đặc tính tiền
định của sự thay đổi tín hiệu phụ thuộc thời gian, và nhất thiết phải sử
dụng nó để nâng cao tính chất của phép đo. Khi đo tín hiệu ngẫu nhiên
thƣờng ta phải xác định mơ hình tín hiệu, cần phải biết và kiểm tra tính
dừng và tính êrgơđic, biết về luật phân bố của tín hiệu. Tức là ta phải xác
định đƣợc độ lệch giữa mơ hình và quá trình thực.

7


Để đảm bảo độ chính xác của phép đo thì khối lƣợng thơng tin để
lấy trung bình phải đủ lớn.
1.3. TÍN HIỆU GẦN TIỀN ĐỊNH VÀ CÁC ĐẶC TRƢNG CỦA NĨ
Tín hiệu gần tiền định có thể là tín hiệu cơ bản và tín hiệu phức tạp.
1.3.1 Tín hiệu cơ bản đó là những tín hiệu có thể biểu diễn đơn
giản, để tạo ra số lƣợng các thông số cũng ít nhất và phản ứng của các
khâu cũng đơn giản.
Đó là các loại tín hiệu:
- Tín hiệu một chiều

 (t  tu )

x  const

x(t )

t

t

Hình 1-2. a) Tín hiệu một chiều.
b) Xung đơn vị lý tƣởng.
- Xung đơn vị lý tƣởng.
- Tín hiệu hình sin.
1) Tín hiệu một chiều khơng thay đổi theo thời gian, phƣơng trình
của nó
x(t) = x = const
x: là thơng số duy nhất có thể mang thơng tin
2) Xung đơn vị lý tƣởng (h. 1-2b)
Đó là hàm delta tính chất của nó:

 (t  t u ) 

0


Khi t≠tu
Khi t≠tu

Trong đó δ(t-tu) - hàm delta;
t - thời gian chạy;
tu - thời điểm tác động của xung.

Nhƣ vậy một xung đơn vị lý tƣởng có 3 thông số: độ rộng xung η =
0, biên độ xung Xm =  và thời điểm xuất hiện xung tu là thơng số duy
nhất đặc trƣng cho tín hiệu có thể mang thông tin.
8


Lấy tích phân của hàm delta ta có
t

  (t  t

u

)

0

dt = 1(t-tu)

(1-2)

x(t )



tu

tu

t

tu

t

x(t )
d
dt

Hình 1.3
Tức là khi qua bộ tích phân thì ta nhận đƣợc hàm đơn vị 1(t-tu), (h.1-3a).
Còn khi đem vi phân một hàm đơn vị thì ta lại nhận đƣợc hàm
delta (h.1-3b).
d1(t  t u )
  (t  t u )
dt

(1-3)
Bây giờ nếu ta lấy tích phân của tích hàm delta và một hàm x(t)
nào đó ta sẽ nhận đƣợc giá trị hàm đó tại thời điểm tu, tức là:
t 

 x(t ) (t  t

u

)dt  x(t u )

(1-4)
Điều này chứng tỏ hàm delta có tính lọc, tính chất này đƣợc sử

dụng để thể hiện sự rời rạc hoá theo thời gian của hàm số với chu kỳ rời
rạc Te
0

N


i 1

x(iTe ) (t  iTe )

Xr(t) =
3) Tín hiệu xoay chiều hình sin

x(t )  X sin(2ft   )  X sin(t   )

(1-5)

Đƣợc xác định bởi ba thông số:
- Biên độ X
- Chu kỳ T hay tần số ω = 2π/T = 2f
9


- Góc pha θ
Bất kỳ thơng số nào trong số đó cũng có thể mang thơng tin.
Tín hiệu hình sin là tín hiệu phổ biến, là hàm số tiện nhất và đơn
giản cho việc phân tích chúng (h.1-4a).
x(t )

xm1

s ( )

t
T1 

1



2

1

Hình 1-4. a) Tín hiệu hình sin.
b) Phổ của tín hiệu hình sin.
Mật độ phổ của tín hiệu hình sin là một hàm delta (h.1-4b)
1.3.2. Tín hiệu gần tiền định phức tạp
Đó là tín hiệu đa hài, tín hiệu xung vng, xung tam giác, tín hiệu
expanen và nhiều dạng khác. Ta lần lƣợt xét các loại chính.
1. Tín hiệu đa hài cịn gọi là tín hiệu có chu kỳ đƣợc viết dƣới dạng
x(t) = x(t  kT) (1-6)
k = 1, 2, 3…
Tín hiệu này lặp lại giá trị của nó sau khoảng thời gian T gọi là chu
kỳ.
Số chu kỳ nhắc lại trong một đơn vị thời gian gọi là tần số cơ bản
f1 

1

T.

Nói chung tín hiệu đa hài có thể viết dƣới dạng một dãy Furiê
(Fourier).


Hay

x(t) = x0 +


n 1

10

C n cos(2nf1t   n )

(1-8)


S ( )

 0 2 0 3 0

k 0



Hình 1 – 5. Phổ vạch của tín hiệu đa hài
Nhƣ vậy tín hiệu đa hài có chu kỳ bao gồm thành phần khơng đổi

x0, số sóng hài Cn (vơ hạn) và dịch pha ban đầu θn. Nếu nhƣ pha ban đầu
không tính đến tín hiệu đa hài sẽ có dạng phổ vạch (h.1-5) (phổ rời rạc).
Ví dụ: Tín hiệu ở đầu ra của máy phát xoay chiều là tín hiệu đa hài.
Bất kỳ thơng số nào của tín hiệu đều có thể mang thơng tin.
2. Tín hiệu xung có chu kỳ là tín hiệu có dạng (h.1-6)

X m Khi 0 

t 

0 Khi   t  T
x(t) =
(1-9)

x(t )

Xm







T

T

T

t

Hình 1- 6. Tín hiệu xung vng
Các thơng số của tín hiệu xung:
- Biên độ xung Xm;
- Chu kỳ nhắc lại T;
- Độ rộng xung η.
Bất kỳ thơng số nào của tín hiệu đều mang thông tin.

11


Ngồi ra đối với từng dạng xung cịn có một thơng số nữa đó là độ
rộng các xung:
Q

T



(1-10)
Hoặc là đại lƣợng nghịch đảo của nó gọi là hệ số lấp đầy các xung.
q


T

(1-11)
Đối với một tín hiệu có chu kỳ hình dáng bất kỳ thì các thơng số
mang thơng tin thƣờng là:

- Thành phần một chiều (giá trị trung bình)
t T

_

1
x tb 
T
_

x tb 

 x(t )dt

(1-12)

t
T

1
x(t )dt
T 0

(1-13)

- Giá trị trung bình chỉnh lƣu
_

t T

x c.1  4  x(t ) dt

(1-14)

t

- Giá trị hiệu dụng bình quân phƣơng
_

x hd 

1
T

t T

x

2

(t )dt

(1-15)
Các thông số mang thông tin của tín hiệu có chu kỳ và hình dáng
phức tạp cũng có thể là:
- Độ lệch cực đại của tín hiệu về phía giá trị lớn so với thành phần
một chiều
t

 x(t )  x 

 max
tT 


_

xmax

(1-16)

- Độ lệch cực đại của tín hiệu về phía giá trị nhỏ so với thành phần
một chiều

 x(t )  x 
xmax  max
tT 


_

- Độ lớn cực đại của tín hiệu có chu kỳ
xP = x+max + x-max (1-18)

12

(1-17)


- Hệ số biên độ

Ka 

xm

(1-19)

_

x h.d
3. Tín hiệu tuần hồn phức tạp
Một q trình tuần hồn phức tạp đƣợc cấu tạo bằng cách cộng hai
hay nhiều sóng hài hình sin với tỷ số tần số của các cặp sóng hài bất kỳ là
những số hữu tỷ.
Ví dụ:
X(t) = x1sin(2t + θ1) + x2sin(5t + θ2) + x3sin(7t + θ3) (1-20)
Các tỷ số 2/5, 2/7, 5/7 là những số hữu tỷ.
Ví dụ: dao động của vỏ máy bay khi các động cơ làm việc khơng
đồng bộ chẳng hạn.
Giả sử có tín hiệu x(t) là tổng của các sóng hài thành phần.
*

x(t) = x (t ).

(1-21)
D

X k (t )
X k (t )

k (t )   k

A

X k ( t )  X k cos(  k t   k )

t

Hình 1-7. Các vectơ thành phần của Xk(t)
Mỗi một thành phần có thể coi nhƣ là một hình chiếu của vectơ
Xk(t) lên trục hồnh dƣới một góc (ωkt + θk), hình chiếu đó là xk(t) =
Xkcos(ωkt + θk), tức là bằng thành phần tín hiệu. Cịn hình chiếu của Xk(t)
lên trục tung sẽ là


xk (t )  X k sin(k t   k )


xk (t )

Tín hiệu
gọi là tín hiệu liên hợp của xk(t).
Khi đó tín hiệu phức tạp x(t) có thể viết dƣới dạng

13


X(t) =
xu(t)cos

 Ax(t )  V (t ) x(t )dt  x

 i
i

0

N
 B( x 0 , x 1 ,..., x n )   x i W i (t )  x * (t )

i0
T

i  0,1, 2..., N (t)

(1-22)
2

xk2 (t )  x k (t )

trong đó xu(t) =
(1-23)
là véc tơ tổng hợp gọi là tín hiệu uốn của xk(t).
Cịn góc lệch pha tổng


x k (t )
 (t )  arctg
xk (t )

(1-24)
Nếu tần số của các thành phần tín hiệu ở dãy (1-21) phân bố trong dải hẹp

N

k
k
ωmin, ωmax với tần số trung bình là Vi (t )   (1) CN (ti  ti  kT0 ) ,
k 0

thì góc lệch pha tổng  t sẽ có dạng:
 (t )  0t  0 (t )

ở đây θ0(t) -là hàm thay đổi chậm theo thời gian.
Ví dụ: xét một tín hiệu phức tạp gồm tổng hai tín hiệu:
 x1  X 1m cos t

 x2  X 2 m cos(   )t

(1-25)

Khi đó tín hiệu tổng sẽ là:
x(t) = x1 + x2 = xu(t)sin  (t) =
X 12m  X 12m  2 X 1m X 2 m cos t sin(t   )

(1-26)

X 1m  X 2 mcos t
Trong đó: θ = arctg( X 2 m sin t )

Nếu X1m > X2m lúc đó sóng hài x1 gọi là thành phần chính hay là
sóng hài chính.
Hình 1-8 chỉ rõ hai trƣờng hợp:

a) Khi hai tín hiệu x1, x2 có tần số gần bằng nhau.
b) Khi hai tín hiệu x1, x2 có tần số khác nhau nhiều.
14


Hình 1-8. Tín hiệu tuần hồn phức tạp
Kết quả ta thấy tín hiệu tổng x(t) ở hai trƣờng hợp là khác nhau.
4. Tín hiệu quá độ
Tín hiệu quá độ là loại tín hiệu phụ thuộc vào thời gian rất phổ
biến, chúng khác so với tín hiệu tuần hồn ở chỗ ta khơng thể biểu diễn
dƣới dạng tổng các sóng hài đƣợc. Tức là khơng có phổ vạch, ở đây qua
biến đổi Furiê thì ta nhận đƣợc dạng phổ đặc (phổ liên tục).
Tín hiệu q độ có nhiều dạng khác nhau:
- Tín hiệu dạng exp. (hình 1.9a)
 X m e  at

x(t) = 0

t0
to

(1-27)

Hình 1-9. Tín hiệu q độ và phổ của nó:
a) Hàm exp; b) Hàm dao động tắt dần; c) Hàm xung vuông.
15


- Tín hiệu dạng hàm dao động tắt dần (hình 1.9.b)
 X m e  at cos bt t  0


to
x(t) = 0

(1-28)

- Tín hiệu dạng xung vng (hình 1.9.c)
X m

0

0  t  tc

t  o, t  t c
x(t) =
(1-29)
Ví dụ: Tín hiệu dạng hàm exp là quá trình phóng một tụ điện hoặc
là sự nguội của bếp lò. Dao động tắt dần: nhƣ la giao động của khung dao
động cơ cấu từ điện dƣới tác dụng của một xung ngắn; cịn tín hiệu hình
vng nhƣ là lực căng của một sợi dây đến thời điểm tc thì đứt.
1.4. TÍN HIỆU NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TÍNH THỐNG KÊ CƠ
BẢN CỦA CHÚNG
Tín hiệu ngẫu nhiên là loại tín hiệu mà giá trị của các thơng số (có
thể là một hay tất cả thông) là các đại lƣợng ngẫu nhiên.
Ở phần lớn các q trình khảo sát, các tín hiệu đều có các thơng số
là hàm ngẫu nhiêu theo thời gian. Vì thế đa số các tín hiệu đo X(t) đều là
tín hiệu ngãu nhiên. Đối với các tín hiệu tiền định thì ngƣời ta có thể xác
định giá trị của nó ở các thời điểm đã cho, nhƣng đối với tín hiệu ngẫu
nhiên thì điều này hồn tồn không thực hiện đƣợc. Duy chỉ xác định
đƣợc trƣớc một xác suất nào thì tín hiệu sẽ có giá tri tƣơng ứng nào đó.

1.4.1. Phân loại tín hiệu ngẫu nhiên
Tín hiệu ngẫu nhiên (THNN) theo thời gian có thể chia làm 4 loại:
-Tín hiệu dừng, êrgơđic
-Tín hiệu dừng, khơng êrgơđic
- Tín hiệu khơng dừng, êrgơđic
- Tín hiệu khơng dừng, khơng êrgôđic
Trong thực tế kỹ thuật đo lƣờng và điều khiển tự động ta thƣờng
nhận đƣợc tín hiệu đo dƣới dạng tín hiệu ngẫu nhên (THNN).
Ví dụ: Trong q trình đo dao động, biến dạng, áp suất và các
thông số khác của máy bay ta thu đƣợc tín hiệu ngẫu nhiên do sự tác động
của nhiều tác nhân không biết trƣớc cũng nhƣ khơng kiểm sốt đƣợc.
Sự ghi nhận (ghi lại, quan sát đƣợc) THNN khi làm thực nghiệm
và điều kiện thí nghiệm khơng thay đổi sẽ cho ra các hàm x(t) khác nhau

16


gọi các thể hiển THNN X(t). Ta không thể biết trƣớc một thể hiện nào
của THNN cả mà mỗi lần thí nghiệm lại nhận đƣợc một thể hiện khác
nhau. THNN chỉ có thể nhận đƣợc các dữ kiện thống kê đặc trƣng cho
các thể hiện THNN, xảy ra khi điều kiện thí nghiệm khơng đổi.
Phụ thuộc vào đối số thời gian t là liên tục hay rời rạc (suốt trong
khoảng thời gian T quan sát) mà ta có thể phân biệt các THNN nhƣ sau:
-THNN lƣợng tử liên tục là các giá trị lƣợng tử của một hàm có đối
số liên tục.
-THNN rời rạc: là hàm liên tục của hàm có đối số rời rạc.
-THNN lƣợng tử - rời rạc là giá trị lƣợng tử của hàm có đối số rời
rạc.
Dƣới đây ta sẽ xét các đặc tính của một tín hiệu ngẫu nhiên X(t)
1.4.2. Các đặc tính thống kê cơ bản của THNN

Một tín hiệu ngẫu nhiên đƣợc ký hiệu là X(t), ta hãy xét N thể hiện
x(t).
Đối với mỗi thời điểm t (ví dụ t = t 1 ) giá trị x i (t 1 ) (i = 1,2, ….;N) là đại
lƣợng ngẫu nhiên đặc trƣng bởi luật phân bố của nó P i1 (X) (h.110).

Hình 1-10. Tín hiệu ngẫu nhiên và luật phân bố của nó
tại các thời điểm khác nhau
Những luật phân bố này đƣợc gọi là luật phân bố cấp một, nó phụ
thuộc và các thời điểm của đối số t.
Giả sử ở thời điểm t = t1 (h.1-11) xác suất giá trị x nằm trong
khoảng giữa x1 và x1 + dx1 mà bằng w1 (x1, t1)dx1, trong đó w1 (x1, t1) là

17


mật độ xác suất đối với các giá trị x khi t = t 1. Hàm w1 (x1, t1) đƣợc gọi là
hàm mật độ xác suất bậc một của THNN X(t).
P x1  X (t1 )  x1  dx1  = w1(x1,t1)dx
(1-30)
Còn xác suất của các giá trị tức thời của X(t) ở thời điểm t = t1
không vƣợt quá x1, đƣợc gọi là hàm phân bố xác suất bậc một của THNN
X(t) (h.1-12)



F1(x1,t1)=P X (t1 )  x1 

(1-31)

Hình 1-11. Tính hàm mật độ xác suất

Hình 1-12. Tính hàm phân bố xác suất
Nhƣ vậy từ lý thuyêt xác suất có thể biết về mối quan hệ giữa hàm
phân bố xác suất và hàm mật độ xác suất nhƣ sau:
F1 ( x1 , t1 )
 w1 ( x1 , t1 )
x1

(1-32)



w1 ( x1 , t1 )dx1
F1 ( x1 , t1 )  

(1-33)

Các hàm F1 ( x1 , t1 ) và w1(x1,t1) là các đặc tính thống kê đơn giản
nhất của THNN và phụ thuộc và thời gian. Các đặc tính này cho ta khái
niệm về THNN chỉ ở tại các thời điểm cố định riêng biệt nhƣng khơng
hồn hảo bởi vì chúng khơng cho biết về sự biến thiên của THNN X(t).

18


Đặc tính thống kê của THNN sẽ hồn hảo khi mà nó cho phép
đánh giá xác suất suất hiện của các thể hiện khác nhau của THNN X(t).
Một đặc tính nhƣ vậy có thể tìm ra theo cách sau:
Xét n thời điểm: t1, t2…..tn (h.1-13). Ở các thời điểm này xác suất
các giá trị của X(t) nằm trong các khoảng:

x1, x1 + dx1
x2, x2 + dx2
xn, xn + dxn
sẽ bằng :
wn(x1,t1, x2,t2…….. xn,tn).dx1 dx2….dxn.

Hình 1-13. Tính hàm mật độ xác suất bậc n
Hàm số wn(x1,t1, x2,t2…….. xn,tn) gọi là mật độ xác suất bậc n.
Nó là phép xác định xác suất của hàm X(t) đi qua các khoảng dx 1
dx2….dxn
Nói cách khác wn (x1,t1, x2,t2…….. xn,tn) cho phép xét về mối quan hệ
giữa các giá trị xác suất của giá trị của THNN X(t) ở n thời điểm bất kỳ.
Tuy nhiên, nếu số các khoảng n là hữu hạn thì hàm w n chỉ đặc
trƣng cho sự phân bố xác suất của n giá trị của THNN X(t) tại các thời
điểm t1, t2, …, tn mà thôi, tức là chƣa đủ để hoàn toàn xác định cả THNN
X(t).
Trong thực tế thì có một số loại THNN mà đặc tính xác suất của nó
có thể hồn tàn đƣợc xác định bởi hàm wn ngay cả khi n hữu hạn.
Ví dụ: Nếu các giá trị của THNN X(t) ở các thời điểm t 1, t2…..tn
là những đại lƣợng ngẫu nhiên độc lập với nhau, thì lúc đó mật độ xác
suất w1(x1,t1) hồn tồn đặc trƣng cho THNN đó. Thật vậy, theo lý thuyết

19


xác suất thì xác suất của các sự kiện độc lập nhau, bằng tích của các xác
suất của từng sự kiện độc lập nhau, từ đó ta có:
wn(x1,t1; x2,t2;…….. ; xn,tn) = wn(x1, t1). w1(x2, t2)…w1(xn, tn) (1-34)

Hình 1-14. Hàm phân bố xác suất

Ta xét các tính chất của hàm mật độ xác suất và hàm phân bố xác
xuất của THNN các tính chất này cũng gần giống tính chất của các hàm
này đối với đại lƣợng ngẫu nhiên. Chúng ta sẽ xét một số tính chất cơ
bản. Ví dụ, của hàm phân bố xác suất bậc hai F2(x1, t1; x2, t2) nhƣ sau:
- Hàm phân bố xác xuất bậc hai luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1
(h.1-14).
0  F2 (x1, t1; x2, t2)  1
- Từ hàm phân bố xác suất bậc hai có thể nhận đƣợc hàm phân bố
xác suất bậc một nhƣng không ngƣợc lại.
F2 (x1, t1;  , t2) = F1 (x1, t1)
F2 (  , t1; x2, t2) = F1 (x2, t2)
F2 (-  , t1; x2, t2) = 0
F2 (x1, t1; -  , t2) = 0
- Tính chất đối xứng
F2 (x1, t1;x2, t2) = F2 (x2, t2; x1, t1)
- Tính chất khơng giảm theo đối số x1 và x2.
F2 (x1 + dx1, t1; x2 + dx2, t2)  F2(x2, t1; x2, t2), khi dx1 ≥0; dx2 ≥0
Cịn tính chất của hàm mật độ xác suất bậc n nhƣ sau:
- wn(x1, t1; x2, t2;…; xn, tn)  0 (h.1-15)
 



  ... 

 w (x , t ; x , t ; …; x , t )dx dx …dx = 1
n 1 1
2 2
n n
1

2
n
- Tính chất đối xứng thể hiện ở chỗ hàm mật độ xác xuất không đổi
khi đổi chỗ các đối số x1, x2, …, xn bất kỳ.


20


- Từ hàm mật độ xác xuất bậc n có thể tìm đƣợc tất cả các hàm mật
độ khác có bậc nhỏ hơn bằng cách lấy tích phân nó theo các đối số thừa.

Hình 1-15. Hàm mật độ xác suất
Thật vậy
Wm(x1, t1; x2; t2;…; xm, tm) =
 



  ... 

=   ωn(x1, t1; x2, t2; …; xm, tm; xm+1, tm+1; …; xm+2, tm+2; …;
xn, tn) dxm+1 dxm+2 , dxn
1.5. BỐN ĐẶC TÍNH SỐ CỦA THNN
Trong thực tế, việc sử dụng các hàm phân bố cao (bậc n) rất khó
khăn. Vì thế thƣờng chỉ hạn chế trong việc xét các đặc tính số của THNN
nó đủ giải quyết một số lớn các bài tốn thực tế. Các đặc tính số đó là:
- Kỳ vọng tốn học
- Phƣơng sai
- Hàm tƣơng quan

- Mật độ phổ năng lƣợng
Ta sẽ lần lƣợt xét các đặc tính đó.
1.5.1. Kỳ vọng tốn học
Bây giờ ta thử xét một số thể hiện của THNN X(t) (h.1-16). Nếu ta
cố định một thời điểm nào đó t = t1 thì có thể coi giá trị của THNN tại
thời điểm ấy là một đại lƣợng ngẫu nhiên bình thƣờng. Đối với đại lƣợng
ngẫu nhiên ấy có thể xác định kỳ vọng toán học mx(t) tại t1.

21


Hình 1-16. Kỳ vọng tốn học của THNN
Trong trƣờng hợp tổng quát kỳ vọng toán học là một đại lƣợng phụ
thuộc thời gian t. Nếu cho tất cả các thời điểm có thể thì ta nhận đƣợc
một hàm số mx(t) đƣợc gọi là kỳ vọng toán học của THNN X(t). Nó đƣợc
viết theo cơng thức.




mx(t) = M[X(t)] =  x.w1(x,t)dx
(1-35)
Ký hiệu M [X(t)] là lấy trung bình thống kê THNN X(t) và w1(x,t)
là hàm mật độ xác xuất bậc 1.
Nhƣ thế kỳ vọng toán học là một đƣờng cong trung bình nào đó mà
xung quanh nó bao phủ các thể hiện của THNN X(t) dao động.
Rõ ràng là nếu ta chỉ xét kỳ vọng tốn học khơng thơi thì chƣa đủ
vì rằng nó khơng thể hiện đƣợc độ lệch ngẫu nhiên của các thể hiện của
X(t) xung quanh giá trị trung bình của chúng.
1.5.2. Phƣơng sai

Để có đặc trƣng tốt hơn cho THNN, ta xét một đặc tính nữa đó là
phƣơng sai của THNN nó đặc trƣng cho độ lệch của các thể hiện X(t)
xung quanh kỳ vọng toán học của nó.
Phƣơng sai của THNN là một hàm số mà giá trị của nó ở tại mỗi
giá trị cho trƣớc của đối số bằng phƣơng sai của các thể hiện của THNN
ở tại giá trị của đối số. Phƣơng sai của THNN có thể viết thơng qua hàm
mật độ bậc 1 nhƣ sau:




Dx(t) = M[{X(t) - mx (t)}2] =  {x - mx(t)}2w1(x,t)dx
(1-36)
Độ lệch bình quân phƣơng của THNN cũng là một hàm thời gian:
 x (t )  Dx (t )

(1-37)

1.5.3. Hàm tƣơng quan
22


Kỳ vọng toán học và phƣơng sai của THNN xác định nhƣ một
“hành lang” trong đó xếp đặt các thể hiện của THNN; tuy nhiên nó khơng
làm rõ mức độ thay đổi của THNN bên trong hành lang đó.
Ví dụ: Ta có hai THNN X1(t) và X2(t) có cùng mx(t) và Dx(t)
nhƣng đặc tính thay đổi của các thể hiện hồn tồn khác nhau (h.1-17 a,
b).

Hình 1-17. a) THNN thay đổi nhanh

b) THNN thay đổi chậm
Nếu nhƣ trong các angôrit đo cùng các phép biến đổi các THNN
X1(t) và X2(t) có chứa các phép tính vi phân và tích phân, thì dẫu rằng
chúng có cùng mx và Dx thì kết quả của các biến đổi ấy vẫn khác nhau.
Nhƣ thế để đặc trƣng tốt hơn cho THNN cần thiết phải biết đến mức độ
thay đổi của THNN ấy tại những thời điểm khác nhau của đối số t.
Mức độ thay đổi của THNN theo đối số t đƣợc xác định bởi hàm
tƣơng quan của THNN theo công thức sau:
Rx(t1, t2) = M[{X(t1) - mx(t1)}{X(t2) - mx(t2)}]
0

0

= M[ X (t1 ) X (t 2 ) ]
0

Ở đây X (t) = X(t) - mx(t) đƣợc gọi là THNN quy tâm.
Hàm tƣơng quan (HTQ) của HTNN X(t) có thể đƣợc thể hiện qua
mật độ xác suất bậc hai của HTNN ấy:




 

Rx(t1,t2) =   {x1 - mx(t1)}{x2 - mx(t2)}.w2(x1,t1; x2, t2)dx1 dx2
Hàm Rx(t1, t2) đƣợc gọi là hàm tƣơng quan.
Cũng có khi ngƣời ta định nghĩa hàm tƣơng quan nhƣ sau:
Bx(t1, t2) = M[X(t1)X(t2)] =









 

23

x1. x2.w2(x1, t1; x2, t2)dx1dx2


Và mối liên hệ giữa Bx(t1, t2) và Rx(t1, t2)dx1dx2 nhƣ sau:
0

0

BX(t1, t2) = M[X(t1)X(t2)] = M[{ X (t1) + mx(t1)}{ X (t2) + mx(t2)}]
0

0

0

0

= M[ X (t1) X (t2) + X (t1)mx(t2) + X (t2)mx(t1) + mx(t2)]

0

0

Vì M[ X (t1)mx(t2)] = M[{ X (t1) + mx(t1)}mx(t2)]
M[X(t1).mx(t2) - mx(t2) - mx(t1)mx(t2)] = 0
Tƣơng tự ta có:
0

M[ X (t2).mx(t1)] = 0,
0

0

vậy Bx(t1, t2) = M[ X (t1) X (t2)] + mx(t1)mx(t2)
= Rx(t1, t2) + mx(t1)mx(t2)
(1-40)
Các tính chất của hàm tƣơng quan
Chúng ta sẽ khảo sát tính chất của hàm tƣơng quan.
1. Từ định nghĩa của HTQ ta có thể suy ra tính chất của HTQ,
HTQ là một hàm đối xứng: Rx(t1, t2) = Rx(t2, t1). Đối với THNN dừng (ta
có xét sau ở 1.5.4).
Thì Rx(t1 - t2) = Rx(t1 - t2)
hay
Rx(  ) = Rx(-  )
(1-41)
  t 2  t1

Ở đây

Tức là hàm tƣơng quan của THNN dừng là một hàm chẵn.
2. Từ tính chất của mơmen tƣơng quan rút ra:
Rx (t1 , t 2 )  Dx (t1 ) Dx (t 2 )  Rx (t1 , t1 ) Rx (t 2 , t 2 )

(1- 42)

*Chứng minh:
Xét hàm số:


(t1 )  mx (t1 )
Dx (t1 )



(t 2 )  mx (t 2 )
Dx (t 2 )

2
Nếu ta lấy kỳ vọng của hàm  (hàm dƣơng) thì kỳ vọng đó phải là
số khơng âm.

 

  2  0 ta có:
2





(
t
)

m
(
t
)

(
t
)

m
(
t
)


x 1
2
x 2
   1

 

Dx (t1 )
Dx (t 2 ) 
 


24

=


2
2







(
t
)

m
(
t
)

(
t
)

m
(

t
)




 (t1 )  mx (t1 ) (t 2 )  mx (t 2 ) 

1
x
1
2
x
2
 


2
.
 




Dx (t1 ) 
Dx (t 2 ) 
Dx (t1 )
Dx (t 2 ) 











11 2

=

R(t1 , t 2 )
Dx (t1 ) Dx (t 2 )

=

0

Từ đó ta có:
1

R(t1 , t 2 )
Dx (t1 ) Dx (t 2 )

Hay
Rx (t1 , t 2 )  Dx (t1 ) Dx (t 2 )

3. Hàm tƣơng quan sẽ không thay đổi khi ta thêm vào THNN X(t) một
hàm tiền định bất kỳ  (t )

*Chứng minh:
Xét THNN
Y(t) = X(t) + θ(t)
Khi đó:
My(t) = mx(t) + θ(t)
0

Y (t )  Y (t )  my (t )  X (t )   (t )  mx (t )   (t )
0

= X(t) - mx(t) = X (t)
0

0

0

0

Ry(t1, t2) = M[ Y (t1) Y (t2)] = M[ X (t1) X (t2)] = Rx(t1, t2)
4. Khi nhân một THNN X(t) với một hàm tiền định S(t), hàm
tƣơng quan của nó sẽ đƣợc nhân với S(t1). S(t2).
* Chứng minh:
Xét THNN
Y(t) = X(t).S(t)
Khi đó
Và

my(t) = mx(t).S(t);
0

Y

(t) = X(t).S(t) - mx(t).S(t)
= [X(t) - mx(t)]S(t)
=

0

X

(t).S(t)

Do đó mà:

25

0

Y

(t) = Y(t)- my