Nghiên cứu trường trọng lực bình thường của trái đất ở gần đúng bậc hai bằng phương pháp thế

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA VẬT LÝ
----------

NGUYỄN THANH PHÁP

NGHIÊN CỨU TRƯỜNG TRỌNG LỰC
BÌNH THƯỜNG CỦA TRÁI ĐẤT Ở
GẦN ĐÚNG BẬC HAI BẰNG PHƯƠNG
PHÁP THẾ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

1


A – MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
Mọi vật rơi về phía Trái Đất dưới tác dụng của trọng lực. Theo định nghĩa,
trọng lực là tổng hợp lực hấp dẫn của Trái Đất và lực ly tâm hay ly trục (sinh ra do
sự quay hằng ngày của Trái Đất quanh trục của nó). Chính xác hơn phải kế đến tác
dụng của các lực như lực hấp dẫn của khối khơng khí dày đặc trong khí quyển, Mặt
Trời, Mặt Trăng và các hàng tinh khác v.v… Vì những lực này rất nhỏ so với lực
hấp dẫn của Trái Đất và lực ly tâm nên ta bỏ qua chúng trong định nghĩa của trọng
lực và xem chúng như là những biến thiên nhỏ của trọng lực theo thời gian, thường
gọi là nhiễu. Trường trọng lực được hiểu theo nghĩa rộng bao gồm trọng lực, thế và
đạo hàm các bậc của thế theo tọa độ. Trường trọng lực của Trái Đất là một trong các
đối tượng nghiên cứu, phân tích để giải đoán cấu tạo của Trái Đất, thuộc các ngành
khoa hoc của Trái Đất. Ngày nay phương pháp trọng lực vệ tinh phát triển mạnh, đã
tách ra thành nhiều phương pháp nghiên cứu khác nhau: phương pháp quan sát

nhiễu trong đường bay của vệ tinh, phương pháp trắc đạc độ cao của vệ tinh,
phương pháp vệ tinh – vệ tinh (hai vệ tinh) theo phương thẳng đứng, phương pháp
vệ tinh – vệ tinh phương ngang được áp dụng để xây dựng mạng lưới giá trị trường
trọng lực bình thường của Trái đất khắp toàn cầu.
Xác định mạng lưới giá trị trường trọng lực bình thường của Trái đất mơ
hình được xem như là các lớp đồng nhất hoặc bất đồng nhất chồng chất lên nhau.
Giá trị trường trọng lực bình thường ở gần đúng bậc một đã được nhiều nước trên
thế giới nghiên cứu và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực đặc biệt là trong
các ngành khoa học về Trái Đất. Tuy nhiên để tăng độ chính xác giá trị trọng lực thì
trường trọng lực ở gần đúng bậc hai đang được nghiên cứu ở một số quốc gia.
Là một sinh viên nghành Vật lý ngoài những kiến thức bổ ích mà em đã
được các thầy, cơ truyền đạt khi còn ngồi trên ghế nhà trường, em còn muốn tìm
hiểu và trang bị thêm cho mình những kiến thức Vật lý liên quan đến nhiều lĩnh vực
mới, tiếp cận với những thành tựu mới của khoa học và cơng nghệ hiện đại…. Đó là
lí do em chọn đề tài “ Nghiên cứu trường trọng lực bình thường của Trái đất ở

2


gần đúng bậc hai bằng phương pháp thế” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn tốt
nghiệp của mình.
2. Mục đích của đề tài.
-

Bằng phương pháp thế tìm ra được cơng thức trường trọng lực ở gần đúng bậc
hai.

-

Tìm ra mối quan hệ giữa công thức trường trọng lực bậc hai cổ điển và trường

trọng lực bậc hai xác định qua số liệu vệ tinh.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Đối tượng

: Trường trọng lực bình thường ở gần đúng bậc hai.

Phạm vi nghiên cứu : Thế của trọng lực, xác định bán kính geoid ở bậc một
và bậc hai dưới dạng chuỗi hàm cầu, xác định thế bình thường từ một cơng thức
trọng lực bình thường.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Thiết lập được cơng thức bán kính geoid ở gần đúng bậc một và bậc hai. Xây
dựng được công thức trường trọng lực và thế trọng lực bình thường dưới dạng chuỗi
hàm cầu, đồng thời xác định được thế trọng lực bình thường từ một cơng thức trọng
lực bình thường.
5. Phương pháp nghiên cứu.
Sử dụng phương pháp thế.
Nghiên cứu lí thuyết.
6. Những đóng góp của luận văn.
Đối với các nước đang sử dụng cơng thức trọng lực bình thường cổ điển như
nước ta đang sử dụng công thức Helmert, thì cơng thức thế bình thường đồng bộ với
cơng thức trọng lực bình thường cổ điển, cho khơng gian ngồi và trên bề mặt của
spheoid là một đóng góp thiết thực cho việc tính độ lệch dây dọi hoặc độ cao geoid
bằng dị thường.
Tìm ra cơng thức trường trọng lực bình thường ở gần đúng bậc hai qua đó
xây dựng mạng lưới giá trị trường trọng lực bình thường của Trái đất trên tồn cầu
để áp dụng tính dị thường trên Trái Đất ứng dụng trong thăm dò địa vật lí và tìm tài
ngun khống sản cũng như nghiên cứu về cấu tạo trong lòng đất…
7. Cấu trúc của luận văn.
3

A – Mở đầu
B- Nội dung
Chương I – Tổng quan về trường trọng lực Trái đất.
Chương II – Thế của trọng lực biểu diễn dưới dạng chuỗi hàm cầu.
Chương III – Phương trình bán kính của mặt Geoid ở gần đúng bậc một và bậc hai
biễu diễn dưới dạng chuỗi hàm cầu.
Chương IV – Xác định thế bình thường và các tham số từ một cơng thức trọng lực
bình thường.
C – Kết luận
Tài liệu tham khảo

4


B – NỘI DUNG
CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ TRƯỜNG TRỌNG LỰC TRÁI ĐẤT
1.1 Cơ sở lý thuyết về trường trọng lực Trái đất và thế của nó.
Trọng lực 𝑃⃗ tại mỗi điểm ở trên mặt đất là tổng hợp của:
+ Lực hấp dẫn Newton 𝐹 do khối lượng của trái đất gây nên. 𝐹 hướng về tâm
Trái đất và có độ lớn thay đổi theo độ dẹt α, trung bình 981 Gal.
+ Lực ly tâm 𝐿⃗ hướng từ M’ đến M thẳng góc với trục quay Bắc – Nam của
Trái đất. Đại lượng này không phụ thuộc vào thời gian mà chỉ phụ thuộc vào vĩ độ.
Lực hấp dẫn của các vật thể trong vũ trụ ngoài Trái đất, chủ yếu là Mặt
Trăng và Mặt Trời, các hành tinh trong hệ mặt trời, bề dày lớp khí quyển .v..v.. Số
hạng này thay đổi theo thời gian và rất nhỏ khoảng

1
10

mGal (có thể bỏ qua) gọi là

nhiễu của trường trọng lực, đây là hiện tượng gây nên hiện tượng thủy triều mà
chúng ta thường thấy.
Trọng lực hiểu theo nghĩa rộng gồm: Trọng lực, thế của trọng lực và đạo
hàm các bậc thế của trọng lực theo vị trí điểm quan sát.
Do đó:
⃗P = F
⃗ +L
⃗ , với: P = m1.g

(m1 = 1 đơn vị khối lượng (đvkl))

 ⃗g = ⃗F + ⃗L

(1.1)
Z
M

O

⃗F

⃗
L

⃗g

X

Y
Hình 1.1 Cho thấy ⃗g của Trái đất khơng hướng về tâm
Trái đất

5


1.2 Lực hấp dẫn Newton và thế của nó.
Theo định luật Vạn vật hấp dẫn Newton, hai chất điểm có khối lượng m1 và
m2 ở cách nhau một khoảng r, hút nhau với một lực có trị số :
F= G

m1 m2

(1.2)

r2

Trong đó :
-

m1 , m2 là khối lượng của hai chất điểm đặt cách nhau một khoảng r.

-

G = (6,673±0,003)10−11

m3
kg.s2

: là hằng số hấp dẫn.

Trường hợp tương tác giữa Trái đất và một chất điểm khối lượng đơn vị
m1 = 1(đvkl) đặt tại vị trí quan sát P, ta chia Trái đất thành nhiều khối lượng vi
phân dm.
Chọn hệ trục tọa độ x,y,z gắn chặt với Trái đất. Chọn gốc tại khối tâm Trái
đất, mặt phẳng tọa độ xoy chọn trùng với mặt phẳng xích đạo của Trái đất, chọn
trục oz trùng với trục quay của Trái đất.
Gọi: ( x,y,z ) là tọa độ của điểm P, còn ( ξ,η,ζ ) là tọa độ của điểm M
Z
m1

• P (x,y,z))

⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝐹
𝑟

dm

O

m

M (ξ,η,ζ)
X

Y
Hình 1.2. ⃗⃗⃗⃗⃗

𝑑𝐹 lực tương tác giữa dm và m1=1(đvkl)
r =MP: Khoảng cách từ khối lượng vi phân dm tại điểm M đến khối lượng
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , dấu trừ thể hiện ⃗⃗⃗⃗
đơn vị m1 tại điểm P. Vector r=MP
dF ngược chiều với r.

6


Lực tương tác giữa một khối lượng dm và m1 theo định luật Newton (1.2) là:
⃗r
⃗⃗⃗⃗
dF = - G 3 dm

(1.3)

r

Lực hấp dẫn của cả Trái đất đối với một khối lượng thử m1 đặt tại điểm
quan sát P chính là tích phân khối:

⃗r

Với : τ⃗ = ,

=> |F| = G ∫Ω

r

Trong đó:

⃗r

→

r

r2

𝒯

dm = - G ∫Ω
3

F = - G ∫Ω

dm = -|F|τ⃗

(1.4)

dm
r2

r =√(x − ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2

⃗⃗⃗⃗ (hướng về phía dm) do đó các cosin
Vector 𝑟 ngược chiều với lực vi phân dF
chỉ hướng của hai vector ⃗⃗⃗⃗
dF và r có dấu trái nhau.
Ta có:

Cos(dF,x) = -cos (r,x) = Cos(dF,y) = -cos (r,y) = Cos(dF,y) = -cos (r,z) = -

x−ξ
r
y−η

(1.5)

r
z−ζ
r

Đồng thời ta cũng có:
∂

1
r

∂x
∂

1
r

∂y
∂

1
r

∂y

===-

1 ∂r
r2

∂x

1 ∂r
r2

∂y

=-

r2

=-

1 ∂r
r2

1 x−ξ

∂z

=-

r

1 y−η
r2

r

1 z−ζ
r2

r

=
=
=

1 ξ−x
r2 r
1 η−y
r2

(1.6)

r

1 ζ−z
r2 r

Kết hợp (1.5) và (1.6), hình chiếu của ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝐹 lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz:

dFx= G
dFy= G
dFz= G

dm
r2
dm
r2

dm
r2

Cos(dF,x) = -G

x−ξ

Cos(dF,y) = -G
Cos(dF,z) = -G

r3

dm = G

y−η
r3
z−ζ
r3

7

ξ−x

dm = G
dm = G

r3

dm =

η−y
r3
ζ−z
r3

∂
∂x

dm =

dm =

G

∂
∂y
∂

∂z

dm

r

G

G

dm
r

dm
r

(1.7)


Thành phần của lực hấp dẫn của toàn bộ Trái Đất có thể tích Ω tác dụng lên
một đơn vị khối lượng đặt tại P:
ξ−x

Fx = G ∫Ω

r3
η−y

Fy = G ∫Ω

r3
ζ−z

Fx = G ∫Ω

Với:

r3

dm =

∂

G∫Ω

dm

∂x

∂

dm =

∂y

G∫Ω

∂

dm =

∂y

r
dm

G ∫Ω

r

(1.8)

dm
r

dm = δdΩ


V = G∫Ω

δ
r

dΩ

(1.9)

Thành phần lực hấp dẫn của Trái đất theo tọa độ tương ứng:
Fx =
Fy =
Fz =

∂V
∂x
∂V

( 1.10)

∂y
∂V
∂z

Theo định nghĩa chúng ta gọi hàm số V này là thế của lực hấp dẫn của Trái
Đất đối với khối lượng đơn vị đặt tại P có tọa độ ( x,y,z ). Hàm thế là hàm cùng trị
số, nhưng ngược dấu với thế năng.
2.3 Lực ly tâm và thế của nó.
Ngồi lực hấp dẫn ⃗F tác dụng vào một đơn vị khối lượng m1(đvkl) đặt tại
⃗ do sự tự quay quanh một trục có cường
P(x, y, z) cịn chịu tác dụng của lực ly tâm L
độ tỉ lệ với bán kính quay ρ0 ( là khoảng cách từ m1 đến trục quay OZ (trục quay của
Trái Đất)) và với bình phương vận tốc góc.
2

2ρ

ρ0

ρ0

v
(ω
⃗⃗⃗⃗⃗ht | = |L
⃗ | = m1|⃗⃗⃗⃗⃗
Ta có: |F
aht | = m1 = m1

=> L = ρ0ω2m1 = ρ0ω2
Với:

2
0)

( m1=1 đvkl)

ρ0 = √𝑥 2 + 𝑦 2 = ρcosφ
ω = 0,00007292115 s −1
ω2 = 5,3174941.10-9 s −1

8

(1.11)


z

ρ0


O

P

𝐿⃗

φ



y

x
Hình 1.3

Từ hình 1.3 các thành phần hình chiếu của vector ⃗L trên các trục tọa độ:
Lx = Lcos( ρ0,x )= ω2x , cos( ρ0,x ) =
Ly = Lcos( ρ0,y )= ω2y , cos( ρ0,y ) =

x
ρ0
y

(1.12)

ρ0

Lz = 0
Thành phần lực ly tâm ⃗L trên một trục tọa độ bằng đạo hàm của hàm số:
Q=

ω2
2

ρ0 2

1

=

2

ω2 ρ2 cos 2 φ =

ω2
2

(x 2 + y 2 )

(1.13)
Trong đó:
Q: Thế của lực ly tâm tác dụng lên khối lượng đơn vị dặt tại điểm
P(x,y,z)
ω: Là vận tốc góc của Trái Đất quay quanh trục của mình,
ω=

2π
86164

s-1
86164 là số giây trung bình mà Trái Đất quay hết một vòng quanh

trục so với các ngôi sao, được coi là hệ quy chiếu cố định.
Kết hợp (1.8) và (1.13) trọng lực ⃗g theo định nghĩa (1.1) có các hình chiếu
trên ba trục tọa độ bằng:
gx = G ∫Ω
gy = G ∫Ω

ξ−x
r3
η−y
r3

dm + ω2x
dm + ω2y

9

(1.14)


ζ−z

gz = G ∫Ω
Trị số toàn phần:

dm

r3

g = √g x 2 + g y 2 + g z 2

Thế trọng lực W bằng tổng thế hấp dẫn V và thế ly tâm L:
δ

W(x, y, z) = V(x, y, z) + L(x, y, z) = G∫Ω

r

dΩ +

ω2
2

(x 2 + y 2 )

(1.15)

Trên mặt đẳng thế, trọng lực hướng theo phương pháp tuyến của mặt đó. Vì
vậy để xác định trọng lực g, người ta lấy đạo hàm của hàm số thế theo phương pháp
tuyến.
g=g =√(

Hay:

∂W
∂n

∂W 2
)
∂x

+(

∂W 2
)
∂y

+(

∂W 2
)
∂z

(1.16)

Như vậy:

gx =
Hay:

∂W
∂x

; gy =
g⃗=

∂W
∂y

∂W
∂x

i+

; gz =
∂W

∂y

10

j+

∂W

(1.17)

∂z
∂W
∂z

⃗k

(1.18)


CHƯƠNG II: THẾ CỦA TRỌNG LỰC BIỂU DIỄN THEO CHUỖI HÀM
CẦU
Biểu thức (1.15) chỉ có tính lý thuyết. Chúng ta khơng thể xác định chính xác
giá trị của W vì khơng biết được hình dạng Trái Đất cũng như sự phân bố của mật
độ vật chất trong lịng nó.
Để giải quyết vấn đề này người ta khai triển biểu thức của thế trọng lực
thành chuỗi hàm cầu và trên cơ sở hàm số thế W thu được, ta sẽ tính được giá trị
trọng lực ⃗g.
2.1 Hàm cầu.
Xét phương trình Laplace được viết trong tọa độ cầu.
1 ∂

ΔU =

(r 2

∂U

r2 ∂r

∂r

)+

1

1

∂

r2 sinθ ∂θ

1

∂2 U

∂U

1

∂θ

r2 sin2 θ ∂φ2

(sinθ ) +

=0,

(2.1)

trong đó U = U(r, θ, φ).
Dùng phương pháp tách biến đặt:
U(r, θ, φ) = R(r)Y(θ, φ)

(2.2)

Thay (2.1) vào phương trình (2.2) ta có:
Y(θ, φ)

∂

(r 2

∂R(r)

∂r

)+

∂r

R(r) ∂

∂Y(θ,φ)

(sinθ

sinθ ∂θ

)+

∂θ

R(r) ∂2 Y(θ,φ)
sin2 θ

∂φ2

= 0.

Chia hai vế của phương trình cho R(r)Y(θ, φ) ta có:
1

∂

(r 2

∂R(r)

R(r) ∂r

∂r

) +

1

Y(θ,φ)

[

1

∂

∂Y(θ,φ)

(sinθ

sinθ ∂θ

∂θ

) +

1

∂2 Y(θ,φ)

sin2 θ

∂φ2

]=

0.
Vì hai số hạng của phương trình trên là hai hàm theo các biến độc lập, nên
tổng bằng 0. Vì vậy hai hàm này có giá trị cùng bằng một số nhưng trái dấu.
Do đó ta đặt:
1

{

∂

R(r) ∂r
1

Y(θ,φ)

[

1

∂

sinθ ∂θ

(sinθ

(r 2

∂R(r)

∂Y(θ,φ)
∂θ

∂r

) = λ

) +

1

∂2 Y(θ,φ)

sin2 θ

∂φ2

] = −λ

(2.3)
Bằng cách chọn λ cho các biểu thức trên ta có các phương trình sau:
11


1

d

R(r) dr

(r 2

dR(r)
dr

)=λ 

r2 d2 R(r)
R(r)

dr2

2r dR(r)

+

R(r)

dr

=λ

và
1

∂

sinθ ∂θ

∂Y(θ,φ)

(sinθ

)+

∂θ

1

∂2 Y(θ,φ)

sin2 θ

∂φ2

+ λY(θ, φ) = 0

Hàm R thỏa mãn phương trình:
r 2 R” + 2rR’- λR = 0

(2.5)

Nghiệm của hàm R có dạng
R(r) = Anrn +
trong đó n thỏa mãn phương trình:

Bn

rn+1

,

λ=n(n+1)

Xét bài tốn ngồi, do n ngun, An = 0
Suy ra:

R=

Bn
rn+1

Phương trình cho Y có dạng:
Δθ,φY + λY =

1

∂

∂Y(θ,φ)

(sinθ

sinθ ∂θ

∂θ

)+

1

∂2 Y(θ,φ)

sin2 θ

∂φ2

+ λY(θ, φ) = 0

(2.6)
Hàm Y thỏa mãn điều kiện:
{

Y(θ, φ) = Y(θ, φ + 2π)
|Y(0, φ)| < ∞, |Y(π, φ)| < ∞

(2.7)
Nghiệm của phương trình Laplace có dạng:
U(r, θ, φ) =

Yn (θ,φ)
Rn+1

Người ta định nghĩa hình cầu là nghiệm của phương trình:

1

∂

(sinθ

∂Yn

) +

1

∂2 Yn

+ n(n + 1)Yn = 0
sinθ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2
{
Yn (θ, φ + 2π) = Yn (θ, φ); |Yn (0, φ)| < ∞; |Yn (π, φ)| < ∞

(2.8)

Phương trình trên cịn gọi là phương trình xác định hàm cầu. Để giải phương
trình hàm cầu ta sử dụng phương pháp tách biến một lần nữa:
Ta đặt:
12


Yn(θ, φ) = Pn(θ).Ln(φ).

(2.9)

Thay (2.9) vào phương trình (2.8) ta có:
Ln

d

dPn

(sinθ

sinθ dθ

dθ

)+

Pn d2 Ln

+ n(n + 1)Pn Ln = 0

sin2 θ dφ2

(2.10)

Chia cả hai vế của phương trình (2.10) cho Pn Ln ta được:
1

1

d

dPn

(sinθ

Pn sinθ dθ

dθ

)+

1

d2 Ln

1

Ln sin2 θ dφ2

+ n(n + 1) = 0

Chọn:
1 d2 Ln

= - m2, hàm L thỏa mãn phương trình:

Ln dφ2

{

L" + m2 L = 0

L(φ + 2π) = L(φ)

(2.11)

Và:
1

d

(sinθ

dPn

sinθ dθ

dθ

) + [n(n + 1) −

m2

]Pn = 0

(2.12)

sin2 θ

Đặt: x = cosθ => dx = - sinθdθ phương trình (2.12) được đổi sang biến mới:


(2.12)

d
dx

[(1 − x 2 )

dP
dx

]+[n(n + 1) −

m2
1−x2

]

P

=0

(2.13)
Đây là phương trình xác định đa thức Lengendre liên kết. Nghiệm của
phương trình này là:
m

P = Pnm(x) = (1 − x 2 ) 2

dxm

P = Pnm(cosθ) = (sinθ)m

Hay
Khi:

dm Pn (x)

,m
(2.14)

dm Pn (cosθ)
d(cosθ)m

,

(2.15)

m=0
Pn0(x) = Pn(x)

Pn(x) : Là đa thức Lengendre
Pn(x) =

1

dn

2n n! dxn

(x 2 − 1)n

Phương trình (2.16) là nghiệm của phương trình (2.13) khi m = 0.
Ví dụ:
P0(x) = 1
P1(x) = x = cosθ
13

(2.16)


3

1

2

2

P2(x) = x 2 −

1

= (3cos2 θ − 1)
2

……….

2.2 Thế hấp dẫn và thế ly tâm biễu diễn dưới dạng hàm cầu.
Thế trọng lực của Trái Đất, theo định nghĩa:

W(x, y, z)  G 

d 1



  2 (x 2  y 2 )
r
2

(2.17)

Đây là biểu thức chính xác của thế trọng lực Trái Đất. Trong thực nghiệm
chúng ta không sử dụng cơng thức này, vì khơng biết sự phân bố của đất đá trong
Trái Đất (tức không biết được δ(x,y,z)) và khơng biết được hình dạng chính xác của
Trái Đất (tức khơng biết được Ω). Nhưng ta có thể nhận được dạng gần đúng của nó
bằng cách biểu diễn (2.17) thành chuỗi các hàm cầu. Các hệ số của chuỗi này được
xác định từ thực nghiệm.
Muốn vậy, ta khai triển

1
r

trong (2.17) thành chuỗi các hàm cầu. Để đơn

giản ta xét vịng trịn xích đạo của Trái Đất, như Hình 2.1. Trong đó M ( ξ,η,ζ ) là

điểm chạy trên Trái Đất, P ( x,y,z ), là điểm quan sát, Ψ là góc hợp giữa vectơ  1 và


 , gốc tọa độ O đặt ở tâm Trái Đất.

14



r

M


1 

P




O

Hình 2.1: Thế do điểm chạy M gây ra tại P, nhìn trong mặt phẳng.

N


R

1 1 M

O


P
  
1
1

Hình 2.2: Thế do hai điểm chạy N,M gây ra tại P, trong hệ toạ độ cầu.
Khi đó:
r =√(x − ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2
r  1   2  21  cos
2

Với,

ρ1 = √ξ2 + η2 + ζ2
ρ = √x 2 + y 2 + z 2

Ở khơng gian ngồi ρ > ρ1, khi đó:
15

( trong hệ toạ độ vng góc)

(trong hệ toạ độ cực)


1

r

1


 
 1   1   2 1 cos


2

Nếu ký hiệu  



1  1 
T 
   

(2.18)

1
 1 , lúc đó:


T ( ) 

1

(2.19)

1    2 cos
2

Thực hiện khai triển Mac-Laurin (2.19) như sau:
T ( )  T (0) 


1!

T ' (0) 

2
2!

T '' (0)  ....

n
n!

T ( n) (0)

(2.20)

Bây giờ ta tính:
T(0)= 1
T ' (0)  cos ,
T '' (0)  3cos2   1
T ''' (0)  3(5 cos3   3cos)

….
Thay các giá trị vừa tính vào (2.20), ta được:
3

3 cos2   1
3 5 cos   3 cos
T ( )  1   cos  

 ....
2!
3!
2

Suy ra:
T ( )  1  P1 (cos)   2 P2 (cos)  ...

Hoặc:


T ( )    n Pn (cos)

(2.21)

n 0

1 dn 2
Trong đó, Pn (cos)  Pn ( x)  n
( x  1) n là đa thức Legendre
n
2 n! dx

Cuối cùng ta viết lại (2.18) dưới dạng chuỗi các hàm cầu, như sau :
1 1   1 
    Pn (cos)

r  n0   
n

(2.22)

Giống như chuỗi MacLaurin, chuỗi (2.22) hội tụ với bán kính 1   , do đó
ta chỉ sử dụng công thức này khi quan sát ở khơng gian ngồi.
16




.

S






1

d



d



1

 d 

.
S

Hình 2.3

Hình 2.4

Theo Hình 2.1. Nếu vẽ quả cầu S có bán kính  , thì Trái Đất sẽ nằm gọn
trong quả cầu đó theo Hình 2.3.
Khi điểm quan sát nằm trong Trái Đất, thì quả cầu bán kính  sẽ cắt Trái
Đất, ta chia Trái Đất làm 3 phần, như Hình 2.4:
+ Phần nằm ngồi quả cầu có 1   là khối lượng “dư”.
+ Phần nằm trong quả cầu 1   , có dạng hình cầu.
+ Phần nằm trong lớp cầu mỏng có độ dày  d là mặt cầu S
- Thế của phần nằm trong lớp cầu ta có thể sử dụng chuỗi (2.22 ).
- Thế của phần nằm ngồi lớp cầu, khi đó   1 nên ta thay bằng
khai triển hàm

1
và


1
theo chuỗi như sau:
r
n

1 1  
    Pn (cos)
r 1 n0  1 

(2.23)

Chuỗi ( 2.23 ) hội tụ với bán kính   1 như Hình 2.4. Cịn thế do lớp cầu,
khi cho d  0 thì thế hấp dẫn của lớp này sẽ không đáng kể.
Như vậy thế hấp dẫn của Trái Đất đối với điểm quan sát ở bên trong thể tích
thì do phần bên trong và bên ngồi lớp cầu gây ra, lúc đó chuỗi (2.22) và (2.23)
được sử dụng. Cịn quan sát ở khơng gian ngồi Trái Đất thì chuỗi (2.22) được sử
dụng.

17


Mặt khác ta biết đa thức Legendre quan hệ với hàm liên kết Legendre qua
biểu thức sau, gọi là công thức cộng hàm cầu.
(n  m)!
cos(m) cos(m1 )  sin(m) sin(m1 )Pnm (sin )Pnm (sin1 )
m1 (n  m)!
n

Pn (cos )  Pn (sin ) Pn (sin 1 )  2

(2.24)
Các hàm Pnm (sin), Pnm (sin1 ) là các hàm liên kết Legendre. Thay (2.24),
(2.22) vào (2.17), thực hiện vài phép biến đổi ta thu được biểu thức chính xác cho
thế của trọng lực dưới dạng chuỗi các hàm cầu phụ thuộc kinh, vĩ độ quan sát và 

theo Hình 2.2. Ta có:
W( ,  ,  ) 


G



 1 

n 0   

   



   





 1 

n 0   


G



n

n

n


(n  m)!
 Pn (sin  ) Pn (sin1)  2 (n  m)! Pnm (sin  ) cos(m ) Pnm (sin 1 ) cos(m1 )d
m 1



 n (n  m)!

1 2 2
2
2 (n  m)! Pnm (sin  ) sin(m ) Pnm (sin 1 ) sin(m1 ) d  2   cos 
m

1



(2.25)
n

1 
(n  m)!
n

n
P
(sin

)

ρ
P
(sin

)dΩ

2
Pnm (sin )cos(m1 ) ρ1 Pn (sin1 )cos(mλ1 )dΩ


n
1
n
1
n 1

n 0 ρ
m 1 (n  m)!
Ω
Ω



n

 1
1 
(n  m)!
n
 G n 1 2
Pnm (sin )sin(m ) ρ1 Pn (sin1 )sin(mλ1 )dΩ  ω2ρ2cos2
n 0 ρ
Ω
 m1 (n  m)!
 2


W(ρ, ,  )  G

(2.26)
Đặt:
Cn0 
Cnm 

S nm 

1
MRn

 

1

n

Pn (sin 1 )d



2(n  m)! 1
(n  m)! MRn

 

n

Pnm (sin1 )cos(m1 )d

2(n  m)! 1
(n  m)! MRn

 

n

Pnm (sin1 ) sin(m1 )d ,

1

(2.27)



1



Với:
- M, R: Là khối lượng và bán kính xích đạo trung bình của Trái Đất.
- Thể tích vi phân d  12 cos1d1d1d1 , theo Hình 2.6.
- Cn0 , Cnm , Snm là các hằng số Stokes.
Các hằng số Stokes không phụ thuộc vào tọa độ điểm quan sát mà chỉ phụ
thuộc vào mật độ đất đá  và thể tích  của Trái Đất và là những đại lượng không
thứ nguyên. Chúng ta không thể xác định được chúng bằng các tích phân trên vì
18


khơng biết σ (mật độ) và Ω (thể tích). Do đó các hằng số Stokes được xác định bằng
thực nghiệm. Khi n=0, m=0 thì P00 = C00 = 1.
Hệ tọa độ cầu được chọn sao cho gốc O của hệ trùng với khối tâm Trái Đất
khi đó C10=C11=0. Theo (2.27) thì C00=1.
Nên ta có thể viết (2.26) lại như sau:
n
 2 2
GM   n  R 
1  P2 (sin)
W(, , ) 
1     Cnm cos(m)  S nm sin(m)Pnm (sin  ) 
  n2 m0   
3


(2.28)
Số hạng thứ hai vế phải của biểu thức (2.28) là thế ly tâm được biễu diễn qua đa
thức Legendre P2 (sinφ) trong tọa độ cầu như Hình 2.5.

z


O



P

d1
M ( ,,  )
1

φ

y

1d1

.
d

1 cos1 d1

x
Hình 2.6

Hình 2.5

Thật vậy, ta có quan hệ giữa toạ độ vng góc và toạ độ cầu theo
Hình 2.5:
x   cos cos
y   cos sin 

z   sin 

Do đó,

19

(2.29)


1 2 2
1
2 2 3
2 2
 x  y 2   2  2 cos2  
1  sin 2  
2
2
3 2
3







Mặt khác theo biểu thức Legendre: Pn(x) =



1

dn

2n n! dxn

 3 2
1 
1   2 sin   2 

 

(x 2 − 1)n thay: x= sinφ

và xét với n = 2 ta có:
1
3
P2 (sin )  P20 (sin )   sin 2    , vì Pno (sin)  Pn (sin) .
2
2

Cho nên:
1 2 2
2 2
1  P2 (sin )

 x  y2 
2
3





(2.30)

Nếu ký hiệu:
q

 2 R3

(2.31)

GM

Thì thế ly tâm được viết lại như sau:
3

3

1 GM  R 
1 GM  R 
Q
q  1  P20  
q  1  sin 2 
3  

2  





(2.32)

Vậy thế trọng lực được biễu diễn dưới dạng chuỗi cầu:
n
 1 GM  R  3
GM   n  R 
W( , ,  ) 
q  1  sin 2 
1     Cnm cos(m )  S nm sin(m )Pnm (sin ) 
  n2 m0   
 2    





(2.33)

20


CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH BÁN KÍNH CỦA MẶT GEOID Ở GẦN
ĐÚNG BẬC MỘT VÀ BẬC HAI BIỄU DIỄN DƯỚI DẠNG CHUỖI HÀM
CẦU.

3.1 Khái niệm về mặt đẳng thế và mặt Geoid.
Nếu buộc hàm thế (2.33) bằng một hằng số bất kỳ C, thì ta có phương trình
của mặt đẳng thế:
W( ,  ,  )  C

(3.1)

Cho C những giá trị khác nhau C1 , C2 , C3 ,..... ta sẽ nhận được một họ các mặt
đẳng thế khác nhau của trọng lực. Các mặt đẳng thế này không cắt nhau.Trọng lực
bao giờ cũng hướng vng góc với mặt đẳng thế, tức là có cùng phương với pháp

tuyến ngồi n của mặt đẳng thế, nhưng ngược chiều.

n,

Do đó, trọng lực có giá trị bằng đạo hàm của thế W theo phương pháp tuyến

g 

W
n

(3.2)

Dấu trừ cho thấy trọng lực ngược hướng với pháp tuyến ngoài của mặt đẳng
thế và trục chiều cao h hướng từ mặt đất lên. Ta thấy khoảng cách n giữa hai mặt
đẳng thế trong (3.2) thay đổi tỷ lệ nghịch với gia tốc trọng trường g. Giá trị g đạt
21

lớn nhất ở cực Bắc và cực Nam của Trái Đất, do vậy ở đó khoảng cách giữa hai mặt
đẳng thế là nhỏ nhất, các mặt phân bố gần nhau. Mặt đẳng thế có hình dạng rất phức
tạp.
Chúng ta có thể tìm được một hằng số C0 nào đó, sao cho mặt đẳng thế xác
định tương ứng trùng với mặt đại dương, thì mặt đẳng thế trùng với mặt đại dương
được gọi là Geoid. Geoid trùng với mặt đại dương khơng có sóng, dịng chảy và kéo
dài liên tục vào trong lục địa, đó là một mặt kín có dạng hình học rất phức tạp chứ
khơng đơn giản như ellipsoid, yếu tố đó do sự bất đồng nhất của cấu trúc bên trong
Trái Đất và địa hình phức tạp của bề mặt Trái Đất gây nên. Geoid được xác định
qua thế của nó hoặc qua dị thường trọng lực. Bài tốn xác định mặt geiod, chính là
nhiệm vụ xác định bề mặt Trái Đất trong cơng tác trắc địa tồn cầu (hay trắc địa cao
cấp). Tuy nhiên, việc giải bài tốn trên mặt geoid khác phức tạp, do hình dạng phức
tạp của nó. Nên trong trắc địa cao cấp, người ta còn xem Trái Đất là một ellipsoid
đều đặn, và chọn mặt ellipsoid làm mặt chuẩn để giải các bài tốn trắc địa. Trái Đất
có dạng hình học đơn giản như vậy gọi là Trái Đất bình thường, khái niệm geoid
được nhà vật lý người Đức tên Listing đưa ra năm 1873.
Phương trình của geoid có dạng:
W (,, )  C0

(3.3)

Những tọa độ  ,  ,  thoả mãn (3.3) là các tọa độ của những điểm nằm trên mặt
geiod. Xét một điểm P(i ,i , i ) nằm trên mặt geiod. Thay các tọa độ này vào (3.3)
và dùng (2.33), ta có:
n
 2 2
GM   n  R 
1     Cnm cos(mi )  S nm sin(mi )Pnm (sin i ) 
1 P20 (sini )  C0
 i  n  2 m0   i 

3




(3.4)

Đẳng thức bên trái tính được khi thay các tọa độ cụ thể vào, và ký hiệu W0 ,
là một hằng số. Do đó, ta tìm được hằng số C0  W0 _thế trọng lực của điểm nằm
trên mặt geoid. Tương tự, ta thay tọa độ của nhiều điểm nằm trên mặt biển (hoặc tọa
các điểm đã quy về mặt biển) vào (3.4), ta sẽ xác định được nhiều giá trị W0 , sau đó
lấy trung bình. Giá trị trung bình W0 của các tọa độ đã quy về mặt geoid của 13 trạm
quan sát vệ tinh bằng:
22


W0  62637,23.103 m2 s 2  0,08.103 m2 s 2

(3.5)

  180


R

  270

  90

O

 0
Hình 3.1 là dạng geoid cường điệu theo lát cắt qua xích
đạo.

3.2 Phương trình bán kính Geoid ở gần đúng bậc một.
Từ chuỗi:
n
 2 2
GM   n  R 
1     Cnm cos(mi )  Snm sin(mi )Pnm (sin i ) 
1  P20 (sin i )  C0
i  n2 m0  i 
3




Ta xét với n=2, thay vào chuỗi (3.6) và giữ lại thành phần

R2

2

(3.6)

C 20 P20 trong số

hạng đầu tiên cùng với thế ly tâm. Khi đó ta được:
W

 2 2
GM  R 2
1  P20   C0
1

C
P

   2 20 20 
3

(3.7)

3
1
Trong đó: P20  sin 2   , thay vào (3.7) ta được:
2
2
GM  R2  3 2 1   2  2
1  sin2   C0
1  2 C20  sin    
  
2  2
2





(3.8)

Để xác định C 0 của mặt này, ta thay tọa độ của một điểm trên mặt đại dương,
chẳng hạn: thay (  0,   0,   R) vào (3.7) và dùng (2.31), ta thu được biểu thức:
C0 

GM  C20 1 
 q
1 
R 
2 2 
23

(3.9)


Thay vào (3.8) ta được:
 GM  C20 1 
GM  R 2
1 1
3
 q
1 
1  2 C20  sin 2     q 1  sin 2   

R 
2 2 
  
2 2
2







(3.10)

Suy ra:


R

1




1 1
3
C20  sin 2     q 1  sin 2 
2 2

2
C
1
1  20  q
2 2
R2
2


(3.11)

n
n(n  1) 2
Áp dụng gần đúng 1   n  1    .
  ...  1  n , (.  1) , và xem
1!
2!

R



 1 . Ta khai triển (3.11) thành chuỗi:









1 1
3
 1  C20  sin 2     q 1  sin 2 
R 
2 2

2






1 1
3
 1  C20  sin 2     q 1  sin 2 
R 
2 2
2



1  12 C

1 
q
20 
2 

1  12 C

1 
 q
2 





20

1

2
 3
C20 q q 2
C20 3 2 2
C20 q 
2
1  C sin  
  sin  
 C20 sin  
 C20 
  2 20
2 2 2
2 4
4 4 

R  q

q 3
q
q2 q2 2
2
2


C
sin



qC
sin


C

 sin 


20
20
20
2 4
4
4 4
 4


(3.12)

Chỉ giữ lại các số hạng bậc nhất theo q, C20 , ta được:


R

 1

1
3C20  qsin 2 
2

(3.13)

Biểu thức (3.13) là phương trình bán kính Geoid ở gần đúng bậc một gọi là
phương trình gần đúng ellipsoid hay spheoid.
2
1
3
1
Sử dụng: P20  sin 2   => sin 2  = ( P20  ) , thay vào (3.13) ta được:
3
2
2
2


R




R

 1

1
3C20  q 2 (P20  1 )
2
3
2

 1

1
3C20  q P20  1 
3
2


3.3 Phương trình bán kính Geoid ở gần đúng bậc hai.
24

(3.14)


Ta xét với n=4 thay vào chuỗi (3.6) .Ta giữ lại trong chuỗi (3.6) hai thành
phần

R2

2

C 20 P20 , và

W

R4

4

C 40 P40 trong số hạng đầu tiên cùng với thế ly tâm. Khi đó:

 2 2
GM  R 2
R4
1  P20   C0 '
1

C
P

C
P

   2 20 20  4 40 40 
3

(3.15)

35
3
15
1
3
Trong đó: P20  sin 2   , và P40  sin 4   sin 2   , thay vào

8
2
4
2
8

(3.15), ta được:
GM  R 2
1  R4
15 2
3   2  2
3 2
 35 4
1  2 C20  sin     4 C40  sin   sin    
1  sin 2   C0 '

  
2 
4
8 
2
2
8
(3.16)





Để xác định C0 ' của mặt này, ta thay tọa độ của một điểm trên mặt đại

dương, chẳng hạn: thay (  0,   0,   R) vào (3.16) và dùng (2.31), ta thu được
biểu thức:
W0 

GM  C20 3
1 
 C40  q   C0 '
1 
R 
2 8
2 

(3.17)

Thay vào (3.16), ta được:
 GM  C20 3
GM  R2  3 2
1  R4  35 4 15 2
3 1
1 
2
1

C
sin


 C40  q 

  4 C40  sin   sin     q 1  sin   

1 

2 20
  
2 
4
8 2
2 8
2 
2
8
 R 





(3.18)
Suy ra:


R

1


1  R4
15 2
3 1
3 2

 35 4
2
C
sin



  4 C40  sin   sin     q1  sin  
20
2
2
2
8
4
8
2






C
3
1 

1  20  C40  q 
2 8
2 


R2

(3.19)
n
n(n  1) 2
Từ công thức gần đúng: 1   n  1    .
  ...  1  n , (.  1) , và
1!
2!

xem

R



 1 . Ta khai triển (3.19) thành chuỗi:

 1
 
1
15
3 1
3
1 
3
 35
 1  C20  sin 2     C40  sin 4   sin 2     q1  sin 2  1  C20  C40  q 
R 

2
4
8 2
8
2 
2
8
 2
25

1