Đề kiểm tra học kỳ i toán 12 đề 14

ĐỀ 14

ĐỀ THI HỌC KÌ I
Mơn: TỐN 12
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian
phát đề)

A. PHẦN CHUNG (80%, gồm 40 câu)
Câu 1: Tìm khoảng nghịch biến của hàm số y = x 3 + 3x 2 + 2
A. ( 2; +∞ )

B. ( 0; 2 )

C. ( −2;0 )

D. ( −∞; 2 ) ∪ ( 0; +∞ )

Câu 2: Hình đa diện đều nào dưới đây khơng có tâm đối xứng?

A. Hình bát diện đều.

B. Hình lập phương.

C. Hình tứ diện đều.

D. Hình lăng trụ lục giác đều.

Câu 3: Cho tam giác đều ABC có đường cao AI. Khi tam giác ABC quay quanh trục là đường
thẳng AI một góc 3600 thì các cạnh của tam giác ABC sinh ra hình gì?
A. Hai hình nón.

B. Một hình nón.

C. Một mặt nón.

D. Một hình trụ.

C. x = 4

D. x = 2

Câu 4: Giải phương trình log 2 ( 2 + x ) = 2
A. x = 6

B. x = −2

Câu 5: Tìm giá trị cực tiểu y CT của hàm số y = − x 4 + 2x 2 + 2
A. y CT = 2

B. y CT = 1

C. y CT = −2

D. y CT = −1

Câu 6: Cho tấm tơn hình chữ nhật quay quanh trục là đường thẳng chứa một cạnh của tấm tơn
một góc 3600 ta được một vật tròn xoay nào dưới đây?
A. Mặt trụ.

B. Hình trụ.

C. Khối trụ.

D. Khối lăng trụ.

1

Câu 7: Tìm tập xác định D của hàm số y = ( 1 + x ) 3
A. D = ( −1; +∞ )
Câu 8: Phương trình 22x
A. 0

B. D = ( −∞; −1)
2

−3x +1

C. D = ( −∞;1)

D. D = ¡ \ { −1}

= 1 có bao nhiêu nghiệm?

B. 2

C. 3

D. 1

Câu 9: Tính đạo hàm của hàm số y = 53x +1
Trang 1

A. y ' =

3.53x +1
ln 5

B. y ' = 33x +1

C. y ' = 3.53x +1

D. y ' = 3.53x +1 ln 5

Câu 10: Tính giá trị nhỏ nhất M của hàm số y = − x 3 + 3x 2 + 2 trên đoạn [ 1;3]
A. M = 6

B. M = 2

D. M = −6

C. M = 4

Câu 11: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong
bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi
hàm số đó là hàm số nào?
A. y = x 3 − 3x 2 + 2

B. y = − x 3 − 3x 2 + 2

C. y = x 4 − 2x 2 + 2

D. y = x 3 + 3x 2 + 2

Câu 12: Cho đường tròn quay quanh một đường thẳng đi qua tâm đường trịn đó một góc 3600 ta
được hình gì?
A. Một mặt cầu.

B. Một khối cầu.

C. Hai mặt cầu.

Câu 13: Biết đường thẳng y = x − 1 cắt đồ thị hàm số y =

D. Hai khối cầu.

3x + 1
tại hai điểm phân biệt A, B có
x −1

hoành độ lần lượt là x A , x B , x A < x B . Hãy tính tổng 2x A + 3x B
A. 2x A + 3x B = 10

B. 2x A + 3x B = 15

C. 2x A + 3x B = 1

D. 2x A + 3x B = 3

Câu 14: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. x = 1; y = 2

B. y = 1; x = 2

C. x = −1; y = 2

2x + 1
x +1
D. x = 1; y = −2

Câu 15: Hình đa diện bên có bao nhiêu mặt?
A. 6
B. 10
C. 11
D. 12
Câu 16: Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của hàm số y = sin 2x − cos 2 2x + 1
A. M = 3; m = 1

B. M = 2; m =

3
4

C. M = 2; m = −

1
4

D. M = 3; m = −

3

4

Câu 17: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm
số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D
dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. y = x −2
B. y = x 4
C. y = x

2

Trang 2


D. y = 2x
Câu 18: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ¡ \ { ±1} , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có
bảng biến thiên hình bên. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình
f ( x ) = m + 1 vơ nghiệm.
x
y’

−∞

-1
-

+∞

-2
−∞

y

A. [ −3;0 )

B. ( 1; +∞ )

-

0
0

+∞

1
+

+

+∞

1

-2
−∞

C. ( −∞; −3)

D. ( −2; +∞ )

Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A, biết
SA ⊥ ( ABC ) , SA = a, AB = 2a, AC = 3a . Tính bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABC.
A. r =

13
a
13

B. r =

3
a
2

D. r =

C. r = a 14

14
a
2

Câu 20: Tính diện tích xung quanh Sxq của hình trụ có đường cao h = 2a và thể tích V = 8πa 3
2
A. Sxq = 48πa

2
B. Sxq = 36πa

2
C. Sxq = 8πa

2
D. Sxq = 16πa

Câu 21: Phương trình 92x +3 = 27 4+ x tương đương với phương trình nào sau đây?
A. 7x + 6 = 0

B. 7x − 6 = 0

C. x − 6 = 0

Câu 22: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số y =

D. x + 6 = 0
1
log 2 ( x − 2x + 2m )
2

có tập xác

định là R.
A. ( 1; +∞ )

B. ( −∞;1)

C. ( −∞;1]

Câu 23: Số tuổi của An và Bình là các nghiệm của phương trình

D. [ 1; +∞ )
1
2
+
= 1 . Tính
5 − log 3 x 1 + log 3 x

tổng số tuổi của An và Bình.
A. 36

B. 21

C. 12

D. 23

Câu 24: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a 3 , góc ASB = 600 . Tính thể
tích của khối nón đỉnh S có đáy là đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABCD.
Trang 3


A.

πa 3 6
8

B.

πa 3 6

4

C.

πa 3 6
12

D.

πa 3 6
2

Câu 25: Tính thể tích khối chóp S.MNP biết SM = a 3 , ∆MNP đều, ∆SMN vuông cân tại S và
nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy.
A.

2a 3
3

B.

Câu 26: Cho hàm số y =

3 2a 3
4

2a 3
6

C.

D.

3 2a 3
2

3x − 4
. Khẳng định nào sau đây sai?
x +1

A. Hàm số khơng có cực trị.
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( −1; +∞ )
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1 và tiệm cận ngang là đường thẳng
y=4
4 
D. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm  ;0 ÷ và cắt trục tung tại điểm ( 0; −4 )
3 
Câu 27: Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' . Gọi M là trung điểm của AA' . Mặt phẳng ( BCM ) chia
khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành hai khối. Tính tỉ số thể tích (số lớn chia số bé) của hai khối đó.
A. 6

B. 3

C. 4

D. 5

Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x 2 ( x − 1)

3

( x + 1) . Hỏi hàm số có bao nhiêu

điểm cực trị?
A. 1

B. 4

C. 3

D. 2

Câu 29: Cho a, b là hai số dương khác 1. Đặt log a b = m . Tính theo m giá trị của biểu thức
P = log a b − log
A. P =

b

a3

m 2 − 12
2m

B. P =

m2 − 6
m

C. P =

Câu 30: Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
A. 1

B. 4

m 2 − 12
m

D. P =

4m 2 − 3
2m

5x + 11
3x 2 + 2017

C. 2

D. 3

Câu 31: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có thể tích bằng a 3 . Biết tam giác ABC vuông tại A,
AB = a, AC = 2a . Tính độ dài đường cao của khối lăng trụ.
A. 3a

B. 2a

C.

a
3

D. a

Câu 32: Cho a, b, x, y là các số thực dương khác 1. Khẳng định nào sau đây đúng?
Trang 4


A. log y x =

log a x
log a y

B. log a

C. log a ( x + y ) = log a x + log a y

1
1
=
x log a x

D. log x b = log b a.log a x

Câu 33: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ và có đồ thị hàm số
đường cong trong hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m để phương trình f ( x ) = m có 4 nghiệm phân biệt.
A. m ∈ ( 0;3)
B. −3 < m < 1
C. Khơng có giá trị nào của m.
D. 1 < m < 3

Câu 34: Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ
A. a, b, d < 0; c > 0

B. a, b, c < 0; d > 0

C. a, c, d < 0; b > 0

D. a, d > 0; b, c < 0

Câu 35: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y =

m2x − 4
có tiệm cận đi
mx − 1

qua điểm A ( 1; 4 )
A. m = 4

B. m = 1

D. m = 3

C. m = 2

Câu 36: Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m − 2 . Với giá trị nào của m thì hàm số có 2 điểm cực trị
nằm về 2 phía trục tung.
A. m < 0

B. m > 0

D. m = 0

C. m = 1

Câu 37: Tìm tập nghiệm của bất phương trình log x 125x + log 24 x >

(

)

(

A. S = − 5; −1

)

(

B. S = − 5;1

C. S = −1; 5

Câu 38: Tìm số nghiệm dương của phương trình 2 x
A. 3
Câu

39:

B. 1
Tìm

tất

cả

các

2

+x

− 4.2 x

2

−x

3
+ log 52 x
2

)

(

D. S = 1; 5

− 22x + 4 = 0

C. 2

giá

trị

thực

)

D. 0
của

tham

số

m

để

phương

trình

log 2 ( 5x − 1) .log 4 ( 2.5x ) − 2 = m có nghiệm x ≥ 1
A. m ∈ ( −∞; 2 )

B. m ∈ ( 2; +∞ )

C. m ∈ ( 3; +∞ )

D. m ∈ ( −∞;3)

Câu 40: Tính tích các nghiệm của phương trình log 2 x.log 4 x.log 8 x.log16 x =

81
24

Trang 5


A. 1

B. 2

C.

1
2

D. 3

B. PHẦN RIÊNG (20%, gồm 10 câu)
1. Phần dành cho học sinh không chuyên
Câu 41: Số lượng của một số loài vi khuẩn sau t (giờ) được tính xấp xỉ bởi đẳng thức
Q = Q0 .e 0,195t , trong đó Q0 là số lượng vi khuẩn ban đầu. Nếu số lượng vi khuẩn ban đầu là 5000
con thì sau bao lâu có 100 000 con.
A. 24 giờ.

B. 20 giờ.

C. 3,55 giờ.

Câu 42: Cho các số thực a, b, x > 0 và b, x ≠ 1 thỏa mãn log x
2
2
giá trị của biểu thức P = ( 2a + 3ab + b ) ( a + 2b )

A. 2

B.

2
3

−2

D. 15,36 giờ.
a + 2b
= log x a + log x b . Tính
3

khi a > b

C.

10
27

D.

5
4

Câu 43: Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có AB = 2a; AA ' = a 3 . Tính thể tích khối lăng trụ
ABC.A'B'C' .
a3
A.
4

B. 3a

3

3a 3
C.
4

D. a 3

Câu 44: Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều. Thể tích của hình lăng trụ là . Để
diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ là bao nhiêu? V
A. 3 6V

B.

3

2V

C.

3

4V

D.

3

V

2
2x
Câu 45: Hàm số y = ( x − 2x + 1) e nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. ( 0;1)

B. ( 0; +∞ )

C. ( −∞;0 )

D. ( −∞; +∞ )

Câu 46: Cho hàm số y = ln x có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây ?

A. y = ln x + 1

B. y = ln ( x + 1)

C. y = ln x

D. y = ln x

Trang 6


Câu 47: Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a . Một hình nón có đỉnh là ở trên mặt cầu và đáy là
đường tròn giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vng góc với đường thẳng SO tại H sao cho
SH =

3a
. Độ dài đường sinh l của hình nón bằng:
2

A. l = a

B. l = a 3

D. l = 2a

C. l = a 2

Câu 48: Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và 2a sao cho
các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và
khối cầu lớn tiếp xúc với đáy của hình nón. Tính bán kính đáy r của hình nón đã cho.
A. r =

8a
3

B. r = 2 2a

C. r =

4a
3

D. r = 2a

Câu 49: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên với đáy bằng 450 .
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Tính thể tích của khối tứ diện AMNP.
A.

a3
48

B.

a3
16

C.

a3
6

D.

a3
24

Câu 50: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vng
có cạnh bằng 3a. Tính diện tích toàn phần của khối trụ.
A.

a 2π 3
2

B.

27 πa 2
2

C. a 2 π 3

D.

13πa 2
6

2. Phần dành cho học sinh chuyên
Câu 41: Cho hai số thực dương a, b khác 1. Biết rằng bất kì
đường thẳng nào song song với trục hoành mà cắt các đường
y = a x , y = b x và trục tung lần lượt tại M, N, A thì 2AN = 5AM
(hình vẽ bên). Hỏi khẳng định nào sau đây đúng?
A. a 5 b2 = 1

B. 25a

C. 2a + 5b = 1

D. a 2 b5 = 1
x 3 + 3mx 2 + 3mx +10

2
Câu 42: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y =  ÷
π

nghịch biến trên

khoảng ( 0; +∞ )
A. [ 0; +∞ )

B. ( 0;1)

C. ( 0; +∞ )

D. [ 0;1]

Câu 43: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) . Biết đồ thị hàm số y = f ' ( x ) là hình bên. Đặt
g ( x ) = f ( x ) − x . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trang 7


A. g ( 2 ) < g ( −1) < g ( 1)
B. g ( −1) < g ( 1) < g ( 2 )
C. g ( −1) < g ( 1) < g ( 2 )
D. g ( 1) < g ( −1) < g ( 2 )
Câu 44: Ông A vay ngân hàng 300 triệu đồng để mua nhà theo phương thức trả góp với lãi suất

0,5% mỗi tháng. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất ông hoàn nợ cho ngân hàng
4.500.000 đồng và chịu lãi số tiền chưa trả. Hỏi sau bao nhiêu tháng ông A sẽ trả hết số tiền vay?
A. 80 tháng.

B. 82 tháng.

C. 81 tháng.

D. 83 tháng.

Câu 45: Từ một tấm tơn hình chữ nhất có chiều dài và rộng là 60cm, 40cm. Người ta cắt đi 6 hình
vng cạnh x ( cm ) rồi gấp tấm tơn cịn lại để được một cái hộp có nắp như hình vẽ dưới đây. Tìm
x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

A.

20
( cm )
3

B.

10
( cm )
3

C. 4 ( cm )

D. 5 ( cm )

 1 − ab 
Câu 46: Xét các số thực a, b thỏa mãn log 3 
÷ = 3ab + a + 2b − 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
 a + 2b 
biểu thức P = a + b
9 11 − 19
9
Câu 47: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = −mx cắt đồ thị hàm số
A.

9 11 + 19
9

B.

2 11 − 3
3

C.

18 11 − 29
21

D.

y = x 3 − 3x 2 − m + 2 tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho AB = BC .
A. m ∈ ( −∞;3)

B. m ∈ ( −∞; −1)

C. m ∈ ( −∞; +∞ )

D. m ∈ ( 1; +∞ )

Câu 48: Đồ thị hàm số y = x 3 + 3x 2 − 9x + 1 có hai điểm cực trị A, B. Điểm nào dưới đây thuộc
đường thẳng AB.
A. Q ( −3;3)

B. N ( 3; −3)

C. P ( 1; −4 )

D. M ( −2;1)

Trang 8


Câu 49: Cho khối tứ diện có thể tích V. Gọi V’ là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các
trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đó. Tính tỉ số
A.

V' 1
=
V 4

B.

V' 2
=
V 3

C.

V'
V

V' 5
=
V 8

D.

V' 1
=
V 2

Câu 50: Cho tứ diện đều ABC có cạnh 3a. Hình nón ( N ) có đỉnh A và đường tròn đáy là đường
tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính diện tích xung quanh của hình nón ( N )
A. 6πa 2

B. 3 3πa 2

C. 12πa 2

D. 6 3πa 2

Đáp án
Phần riêng
Không chuyên
Chuyên

41-D
41-D
42-D
42-A
43-B
43-C
44-C
44-B
45-A
45-A
46-D
46-A
47-B
47-A
48-B
48-C
49-A
49-C
50-B
50-B

Phần chung
1- C
2- C
3- B
4- D
5- A
6-C
7-A
8-B

9-D
10-B

11-A
12-A
13-B
14-C
15-C
16-C
17-A
18-A
19-D
20-C

21-C
22-A
23-A
24-B
25-B
26-C
27-D
28-D
29-B
30-C

31-D
32-A
33-D
34-D
35-B

36-A
37-D
38-B
39-C
40-A
LỜI GIẢI CHI TIẾT

A. PHẦN CHUNG (80%, gồm 40 câu)
Câu 1: Đáp án C
Phương pháp:
Xác định khoảng mà tại đó y ' ≤ 0 , dấu “=” xảy ra ở hữu hạn điểm.
Cách giải:
y = x 3 + 3x 2 + 2 ⇒ y ' = 3x 2 + 6x
x = 0
y' = 0 ⇔ 
 x = −2
Bảng xét dấu y’:
−∞
x
-2
y’
+
0
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −2;0 ) 2

-

0
0

+∞
+

Trang 9


Câu 2: Đáp án C
Phương pháp:
Dựa vào khái niệm tâm đối xứng của khối đa diện.
Cách giải:
Hình tứ diện đều khơng có tâm đối xứng.
Câu 3: Đáp án B
Phương pháp:
Dựa vào khái niệm khối nón.
Cách giải:
Khi tam giác ABC quay quanh trục là đường thẳng AI một góc 3600 thì các cạnh của tam giác
ABC sinh ra một hình nón.
Câu 4: Đáp án D
b
Phương pháp: log a x = b ⇔ x = a ( 0 < a ≠ 1; x > 0 )
2
Cách giải: log 2 ( 2 + x ) = 2 ⇔ 2 + x = 2 ⇔ x = 2

Câu 5: Đáp án A
Phương pháp:
+) Tính y’ và giải phương trình y ' = 0
+) Lập bảng xét dấu của y’ và rút ra kết luận.
+) Điểm x = x 0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số khi và chỉ khi qua điểm đó y’ đổi dấu từ âm
sang dương.
x = 0

4
2
3
Cách giải: y = − x + 2x + 2 ⇒ y ' = −4x + 4x = 0 ⇔ 
 x = ±1
Bảng xét dấu y’:
−∞
x
-1
0
y’
+
0
0
+
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 , giá trị cực tiểu y CT = y ( 0 ) = 2

1
0

+∞
-

Câu 6: Đáp án C
Phương pháp:
Dựa vào khái niệm khối trụ.
Cách giải:
Cho tấm tôn hình chữ nhật quay quanh trục là đường thẳng chứa một cạnh của tấm tơn một góc 0
360 ta được một
khối trụ.

Câu 7: Đáp án A
Trang 10


Phương pháp:
Tập xác định của hàm số y = x α :
+) Nếu α là số nguyên dương thì TXĐ: D = ¡
+) Nếu α là số nguyên âm hoặc bằng 0 thì TXĐ: D = ¡ \ { 0}
+) Nếu α là số khơng ngun thì TXĐ: D = ( 0; +∞ )
Cách giải:
1

y = ( 1 + x ) 3 : Điều kiện xác định: x + 1 > 0 ⇔ x > −1
TXĐ: D = ( −1; +∞ )
Câu 8: Đáp án B
x
Phương pháp: a = b ⇔ x = log a b ( 0 < a ≠ 1; b > 0 )

Cách giải: 2

2x 2 −3x +1

x = 1
= 1 ⇔ 2x − 3x + 1 = 0 ⇔ 
x = 1

2
2

Vậy, phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Câu 9: Đáp án D
u.x
u.x
Phương pháp: y = a ⇒ y ' = a .ln a. ( u.x ) '

Cách giải: y = 53x +1 ⇒ y ' = 53x +1.ln 5.3 = 3.53x +1 ln 5
Câu 10: Đáp án B
Phương pháp:
- Tìm TXĐ
- Tìm nghiệm và các điểm khơng xác định của y’.
- Tính giá trị của hàm số tại các điểm trên, từ đó đánh giá giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

[ 1;3]
Cách giải:
x = 0 ( L)
y = − x 3 + 3x 2 + 2 ⇒ y ' = −3x 2 + 6x = 0 ⇔ 
x = 2
=2
Ta có: y ( 1) = 4, y ( 2 ) = 6, y ( 3) = 2 ⇒ min
[ 1;3]
Câu 11: Đáp án A
Phương pháp:
Nhận biết dạng của hàm số bậc ba và hàm số bậc 4 trùng phương.
Cách giải:
Trang 11


Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy: đồ thị hàm số không phải đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương
⇒ Loại phương án C
Khi x → +∞ thì nên a > 0 ⇒ Loại phương án B

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị, trong đó 1 cực trị tại x = 0 , 1 cực trị tại x = x 0 > 0
x = 0
3
2
2
⇒ Loại phương án D
Xét y = x + 3x + 2 ⇒ y ' = 3x + 6x, y ' = 0 ⇔ 
 x = −2 < 0
Câu 12: Đáp án A
Phương pháp:
Dựa vào khái niệm khối cầu.
Cách giải:
Cho đường tròn quay quanh một đường thẳng đi qua tâm đường trịn đó một góc 3600 ta được
hình là một mặt cầu.
Câu 13: Đáp án B
Phương pháp:
Giải phương trình hoành độ giao điểm, từ đó tính tổng 2x A + 3x B
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = x − 1 và đồ thị hàm số y =

3x + 1
x −1

x = 0
3x + 1
2
= x − 1, x ≠ 1 ⇔ 3x + 1 = ( x − 1) ⇔ x 2 − 5x = 0 ⇔ 
x −1
x = 5
Do x A < x B nên x A = 0, x B = 5 ⇒ 2x A + 3x B = 15

Câu 14: Đáp án C
Phương pháp:
Hàm số bậc nhất trên bậc nhất y =

ax + b
−d
a
có 1 TCĐ là x =
và 1 TCN là y =
cx + d
c
c

Cách giải:
Đồ thị hàm số y =

2x + 1
có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là x = −1; y = 2
x +1

Câu 15: Đáp án C
Phương pháp:
Đếm các mặt của đa diện.
Cách giải:
Hình đa diện bên có 11 mặt.
Câu 16: Đáp án C
Trang 12


Phương pháp:

Đặt sin 2x = t, t ∈ [ −1;1] , khảo sát, tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số với ẩn là t.
Cách giải: y = sin 2x − cos 2 2x + 1 = sin 2 2x + sin 2x
2
Đặt sin 2x = t, t ∈ [ −1;1] , ta có: y = t + t = f ( t ) , y ' = 2 t + 1, y' = 0 ⇔ t = −

1
2

1
1
1
 1
y = − , max y = 2 hay M = 2; m = −
Ta có: f ( −1) = 0, f  − ÷ = − , f ( 1) = 2 ⇒ min
−
1;1
−
1;1
[
]
[
]
4
4
4
 2
Câu 17: Đáp án A
Phương pháp:
Loại trừ từng đáp án.
Cách giải:

+) Đồ thị hàm số y = x 4 có dạng là hình parabol ⇒ Loại phương án B
+) y = x

2

cos TXDD: D = ( 0; +∞ ) ⇒ Loại phương án C

+) Đồ thị hàm số y = 2x luôn đồng biến trên R ⇒ Loại phương án D
Câu 18: Đáp án A
Phương pháp:
Số nghiệm của phương trình f ( x ) = m + 1 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và
đường thẳng y = m + 1
Cách giải:
Phương trình f ( x ) = m + 1 vô nghiệm ⇔ −2 ≤ m + 1 < 1 ⇔ −3 ≤ m < 0
Câu 19: Đáp án D
Phương pháp:
S.ABC là tứ diện vng là một phần của hình hộp chữ nhật
SB’D’C’.ABCD (như hình vẽ bên), có tâm mặt cầu ngoại tiếp
trùng với tâm của hình hộp chữ nhật, có bán kính bằng nửa đường
chéo của hình hộp chữ nhật (độ dài các cạnh là a, b, c) bằng
r=

a 2 + b 2 + c2
2

Cách giải:

Trang 13

Bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC :
a 2 + ( 2a ) + ( 3a )
SA 2 + BA 2 + CA 2
a 14
r=
=
=
2
2
2
2

2

Câu 20: Đáp án C
Phương pháp:
Diện tích xung quanh Sxq của hình trụ: Sxq = 2πrh
Thể tích của hình trụ: V = πr 2 h
Cách giải:
Hình trụ có V = 8πa 3 ⇔ πr 2 h = 8πa 3 ⇔ πr 2 .2a = 8πa 3 ⇔ r 2 = 4a 2 ⇔ r = 2a
2
Diện tích xung quanh Sxq của hình trụ: Sxq = 2πrh = 2πrh = 2π.2a.2a = 8πa

Câu 21: Đáp án C
Câu 21:
Phương pháp:
Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiệm.
Cách giải:
92x +3 = 27 4+ x ⇔ 32( 2x +3) = 33( 4+ x ) ⇔ 4x + 6 = 12 + 3x ⇔ x − 6 = 0
Câu 22: Đáp án A

Phương pháp:
log a x xác định ⇔ x > 0
A xác định ⇔ A ≥ 0
1
xác định ⇔ A ≠ 0
A
Cách giải:
log 2 ( x 2 − 2x + 2m ) > 0
⇔ x 2 − 2x + 2m > 1 ⇔ x 2 − 2x + 2m − 1 > 0
Điều kiện xác định:  2
 x − 2x + 2m > 0
Để hàm số có tập xác định là R thì
x 2 − 2x + 2m − 1 > 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ ' < 0 ⇔ 1 − 2m + 1 < 0 ⇔ m > 1
Câu 23: Đáp án A
Phương pháp:
+) Tìm TXĐ.
+) Đặt log 3 x = t , quy đồng, giải phương trình ẩn t, từ đó suy ra nghiệm x.
Cách giải:
Trang 14



x > 0
x
>
0



5

ĐKXĐ: log 3 x ≠ 5 ⇔  x ≠ 3
log ≠ −1

1
 3
x ≠
3

Đặt log 3 x = t ( t ≠ 5, t ≠ −1) . Khi đó, phương trình

1
2
+
= 1 trở thành:
5 − log 3 x 1 + log 3 x

t = 2
1
2
+
= 1 ⇔ 1 + t + 10 − 2t = 5 + 5t − t − t 2 ⇔ t 2 − 5t + 6 = 0 ⇔ 
( tm )
5 − t 1+ t
t = 3
t = 2 ⇒ log 3 x = 2 ⇔ x = 9
t = 3 ⇒ log 3 x = 3 ⇔ x = 27
Tổng số tuổi của An và Bình là: 9 + 27 = 36 (tuổi)
Câu 24: Đáp án B
1 2
Phương pháp: Vnón = πR h

3
Cách giải:
S.ABCD là chóp tứ giác đều ⇒ ABCD là hình vng
BD = AB 2 = a 3. 2 = a 6 ⇒ r = OB =

BD a 6
=
2
2

Tam giác SAB có: SA = AB, ASB = 600 ⇒ ∆ASB đều ⇒ SA = SB = a 3
⇒ SB = SD = AD = AB = a 3
⇒ ∆SBD = ABD ( c.c.c ) ⇒ SO = OA = OB = OD =

a 6
2

Thể tích của khối nón đỉnh S có đáy là đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABCD:
3

1
1
1  a 6  πa 3 6
V = πR 2 h = π.OA 2 .SO = π. 
÷ =
3
3
3  2 ÷
4


Câu 25: Đáp án B
Phương pháp:
+) Gọi I là trung điểm của MN ⇒ SI ⊥ ( MNP )
+) Tính diện tích tam giác MNP.
1
+) VS.MNP = SI.SMNP
3
Cách giải:

Trang 15


∆SMN vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy, gọi I là trung điểm
của MN ⇒ SI ⊥ ( ABC ) và SI =
MN = 2SI = 2.a

SM a 3
=
2
2

3
=a 6
2

∆MNP đều ⇒ S
MNP

(

)

2

a 6 . 3 3 3a 2
MN 2 . 3
=
=
=
4
4
2

1
1 3 3a 2 3a 3 2a 3
.
=
Thể tích khối chóp S.MNP là: V = .SMNP .SI = .
3
3
2
4
2
Câu 26: Đáp án C
Phương pháp:
Dựa vào các đường tiệm cận của đồ thị hàm số và tính đơn điệu của đồ thị hàm số.
Cách giải:
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 4 là
khẳng định sai. (do Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1 và tiệm cận ngang là
đường thẳng y = 3 ).

Câu 27: Đáp án D
Phương pháp:
Lập tỉ lệ thể tích của hai khối trên với thể tích của khối lăng trụ
ABC.A'B'C' .
Cách giải:
Đặt VABC.A 'B'C' = V . Khi đó:

⇒ VMBC.A 'B'C' = V −

VM.ABC 1 1 1
V
= . = ⇒ VM.ABC =
V
3 2 6
6

V
V 5V
=
⇒ MBC.A 'B'C '
6
6
VM.ABC

5V
= 6 =5
V
6

Câu 28: Đáp án D

Phương pháp:
Xác định số điểm mà tại đó f ' ( x ) đổi dấu
Cách giải:

Trang 16


x = 0
f ' ( x ) = x ( x − 1) ( x + 1) ⇔  x = 1 ⇐ f ' ( x ) đổi dấu tại 2 điểm x = 1, x = −1 . Do đó, hàm số có 2
 x = −1
2

3

điểm cực trị.
Câu 29: Đáp án B
1
c
Phương pháp: log a c b = log a b; log a b = c log a b
c
Cách giải:
3
6
6 m2 − 6
P = log a b − log b a = log a b − log b a = log a b − 6 log b a = log a b −
=m− =
1
log a b
m
m

2
3

Câu 30: Đáp án C
Phương pháp:
* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x )
f ( x ) = a hoặc lim f ( x ) = a ⇒ y = a là TCN của đồ thị hàm số.
Nếu xlim
→+∞
x →−∞
* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x )
f ( x ) = −∞ hoặc lim− f ( x ) = +∞ hoặc lim− f ( x ) = −∞ thì x = a là TCĐ của đồ thị hàm
Nếu xlim
→a +
x →a
x →a
số.
Cách giải:
TXĐ: D = R
lim

x →+∞

5x + 11
3x 2 + 2017

= lim

Đồ thị hàm số y =

x →+∞

11
11
5+
5
5x + 11
5
x
x
=
; lim
= lim
=−
2
x
→−∞
x
→−∞
2017
3
2017
3
3x + 2017
3+ 2
− 3+ 2
x
x
5+

5x + 1
3x + 2017
2

có 2 đường tiệm cận là y =

5
5
, y=−
3
3

Câu 31: Đáp án D
Phương pháp:
Thể tích khối lăng trụ: V = Sđáy .h
Cách giải:
Diện tích đáy: SABC =

1
1
AB.AC = .a.2a = a 2
2
2

2
3
Thể tích khối lăng trụ: V = SABC .h = a .h = a ⇒ h = a

Câu 32: Đáp án A
Trang 17

Phương pháp:
Dựa vào các công thức liên quan đến logarit.
Cách giải:
Khẳng định đúng là: log y x =

log a x
, với a,b, x, y là các số thực dương khác 1.
log a y

Câu 33: Đáp án D
Phương pháp:
Số nghiệm của phương trình f ( x ) = m bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường
thẳng y = m
Cách giải:
Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có đồ thị hàm số y = f ( x ) như hình bên:
Số nghiệm của phương trình f ( x ) = m bằng số giao điểm của đồ thị
hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = m
⇒ Để phương trình f ( x ) = m có 4 nghiệm phân biệt thì 1 < m < 3
Câu 34: Đáp án D
Phương pháp:
Nhận dạng hàm số bậc ba.
Cách giải:
Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy: khi x → +∞ thì y → +∞ nê a > 0 ⇒ Loại các đáp án A, B, C.
Chọn D.
Câu 35: Đáp án B
Phương pháp:
Xác định các trường hợp của m, trong mỗi trường hợp, tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
và cho các đường tiệm cận đi qua điểm A ( 1; 4 )

Cách giải:
+) Với m = 0 ⇒ y = 4 : Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận.
m = 0
2
⇔ m = 4 thì y = 4 : Đồ thị hàm số khơng có tiệm
+) Với m ≠ 0, m . ( −1) − ( −4 ) .m = 0 ⇔ 
m = 4
cận.
+) Với m ≠ 0, m ≠ 4 ⇒ y =

1
m2 x − 4
có tiệm cận đứng x = , tiệm cận ngang y = m
m
mx − 1

Trang 18


Giả sử x =

1
1
đi qua A ( 1; 4 ) ⇒ = 1 ⇔ m = 1
m
m

Giả sử y = m đi qua A ( 1; 4 ) ⇒ m = 4 (loại)
Kết luận: m = 1
Câu 36: Đáp án A

Câu 36:
Phương pháp:
Hàm số bậc ba có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục tung khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 có hai
nghiệm trái dấu.
Cách giải:
y = x 3 + 3x 2 + mx + m − 2 ⇒ y ' = 3x 2 + 6x + m
Hàm số bậc ba có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục tung khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 có hai
nghiệm trái dấu ⇔ ac = 0
⇔ 3.m < 0 ⇔ m < 0
Câu 37: Đáp án D
Phương pháp:
+) Tìm TXĐ.
+) Đưa phương trình về ẩn log 5 x
Cách giải:
ĐKXĐ: x > 0, x ≠ 1
log x ( 125x ) .log 25 x >

3
+ log 52 x
2

⇔ log x 125 + 1.log 25 x >

3
+ log 52 x
2

1
3
⇔ 3log x 5 + 1. log 5 x > + log 52 x

2
2
 3

⇔
+ 1÷log 5 x > 3 + 2 log 52 x
 log 5 x 
⇔ 3 + log 5 x > 3 + 2 log 52 x ⇔ 2 log 52 x − log5 x < 0
⇔ 0 < log 5 x <

1
⇔1< x < 5
2

(

Vậy, bất phương trình có tập nghiệm S = 1; 5

)

Câu 38: Đáp án B
Trang 19


Phương pháp:
Nhóm nhân tử chung, đưa về phương trình mũ cơ bản để giải.
Cách giải:
2x

2

+x

⇔ 2x

− 4.2 x
2

−x

(2

2

−x

2x

− 22x + 4 = 0

− 4 ) − 22x − 4 = 0

(

⇔ ( 22x − 4 ) 2x

2

−x

)

−1 = 0

 22x − 4 = 0
 2 2x = 4
⇔ 2
⇔ 2
x −x
x −x
−1 = 0
=1
 2
 2
 2x = 2
x = 0
⇔ 2
⇔
x = 1
x − x = 0
Số nghiệm dương của phương trình đã cho là 1.
Câu 39: Đáp án C
Phương pháp:
x
Biến đổi, đặt log 2 ( 5 − 1) = t, t ≥ 2

Cách giải:
log 2 ( 5x − 1) .log 4 ( 2.5x ) − 2 = m
⇔ log 2 ( 5x − 1) .log 22 ( 2.5x ) − 1 = m
⇔

1
log 2 ( 5x − 1) .1 + log 2 ( 5x − 1) = m
2

⇔ log 22 ( 5x − 1) + log 2 ( 5x − 1) − 2m = 0
x
2
2
Đặt log 2 ( 5 − 1) = t, t ≥ 2 , phương trình trở thành: t + t = 2m = 0, t ≥ 2 ⇔ t + t = 2m, t ≥ 2 ( *)
2
Xét hàm số f ( t ) = t + t, t ≥ 2 có: f ' ( t ) = 2t + 1 > 0, ∀t ≥ 2 ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng

[ 2; +∞ )
x
f '( t )

+∞

2

f ( t)

+
+∞

6
Để phương trình (*) có nghiệm thì 2m ≥ 6 ⇔ m ≥ 3
Câu 40: Đáp án A
1

Phương pháp: log a c = log a b ( 0 < a ≠ 1; b > 0 )
c
Trang 20


Cách giải:
log 2 x.log 4 x.log8 x.log16 x =

81
1
1
1
81
1
81
⇔ log 2 x. log 2 x. log 2 x. log 2 x =
⇔
log 2 x 4 =
24
2
3
4
24
24
24

x = 8
log 2 x = 3
⇔ log 2 x = 81 ⇔ 
⇔

x = 1
log
x
=
−
3
 2
8

4

1
Tích hai nghiệm là: 8. = 1
8
B. PHẦN RIÊNG (20%, gồm 10 câu)
1. Phần dành cho học sinh không chuyên
Câu 41: Đáp án D
Phương pháp:
Giải phương trình mũ cơ bản.
Cách giải:
Q = Q0 .e 0,195t ⇒ 100 000 = 5000.e0,195t ⇔ 0,195t = ln 20 ⇔ t =

ln 20
≈ 15,36 (giờ)
0,195

Câu 42: Đáp án D
Phương pháp:
log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) ( 0 < a ≠ 1; f ( x ) > 0; g ( x ) > 0 )
Tính tỉ số

a
b

Cách giải:
log x
⇔ log x
⇔

a + 2b
= log x a + log x b
3
a + 2b
= log x ab
3

a + 2b
a
a
= ab ⇔ a + 2b = 3 ab ⇔ − 3.
+2=0
3
b
b



⇔





a
=1
b

a
b =1
⇔
a
a = 4
=2
 b
b

Do a > b > 0 nên

a
=4
b

Trang 21


2

P = ( 2a 2 + 3ab + b 2 ) ( a + 2b )

P=

−2

a
a
2  ÷ + 2. + 1
2
2
2
2
2a + 3ab + b
2a + 3ab + b
b
b
=
= 2
=  2
2
2
a + 4ab + 4b
a
( a + 2b )
a
 ÷ + 4. + 4
b
b

2.42 + 3.4 + 1 45 5
=
=
42 + 4.4 + 4 36 4

Câu 43: Đáp án B
Phương pháp: VABC.A 'B'C' = AA '.SABC
Cách giải:
2
2a . 3
ABC.A'B'C' là lăng trụ đều ⇒ ∆ABC đều ⇒ SABC = AB 3 = ( )
= 3a 2
4
4
2

Thể tích ABC.A'B'C': V = SABC .AA ' = 3a 2 .a 3 = 3a 3
Câu 44: Đáp án C
Phương pháp:
Thể tích hình lăng trụ V = Sh
Diện tích toàn phần của lăng trụ: Stp = Sxq + 2.Sđáy
Cách giải:
Giả sử hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh a, có chiều cao h.
Diện tích đáy: S =
Thể tích V =

a2 3
4

a2 3
4V
.h ⇒ h =
4
3a 2

Diện tích toàn phần:
Stp = 3a.h + 2.
=

a2 3
4V a 2 3
= 3a.
+
4
2
3a 2

4 3V a 2 3 2 3V 2 3V a 2 3
2 3V 2 3V a 2 3
+
=
+
+
≥3
.
.
a
2
a
a
2
a
a
2

= 3 3. 3 2V 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2 3V a 2 3
=
⇒ a 3 = 4V ⇔ a = 3 4V
a
2

Câu 45: Đáp án A
Phương pháp:
Phương pháp xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
Trang 22


- Bước 1: Tìm tập xác định, tính f ' ( x )
- Bước 2: Tìm các điểm tại đó f ' ( x ) = 0 hoặc f ' ( x ) không xác định
- Bước 3: Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên
- Bước 4: Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Cách giải:
y = ( x 2 − 2x + 1) e 2x ⇒ y ' = ( 2x − 2 ) e 2x + ( x 2 − 2x + 1) 2e 2x = 2. ( x 2 − x ) .e 2x
x = 0
y' = 0 ⇔ 
x = 1
Bảng xét dấu y’:
−∞
x
0
1

y’
+
0
0
2
2x
Hàm số y = ( x − 2x + 1) e nghịch biến trên khoảng ( 0;1)

+∞
+

Câu 46: Đáp án D
Phương pháp:
Dựa vào cách vẽ đồ thị hàm số các hàm có chứa trị tuyệt đối.
Cách giải:
Đồ thị hình 2 là của hàm số y = ln x được dựng từ đồ thị ở Hình 1, bằng cách: giữ nguyên phần
đồ thị nằm phía trên trục hoành, lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành qua trục
hoành.
Câu 47: Đáp án B
Phương pháp: l = h 2 + r 2
Cách giải:
SH =

3a
3a
a
> r ⇒ OH = SH − r = − a =
2
2
2

2

a
a 3
∆AOH vuông tại H ⇒ AH = OA 2 − OH 2 = a 2 −  ÷ =
2
2
2

2
3a   a 3 

∆SAH vng tại H ⇒ SA = SH + AH =  ÷ + 
÷ =a 3
 2   2 ÷

2

2

⇒l=a 3
Câu 48: Đáp án B
Cách giải:

Trang 23


Ta có: O1E ⊥ SB, O 2 E ⊥ SB ⇒ O1E / /O 2 E
1
Mà O1E = O 2 E ⇒ O1E là đường trung bình của tam giác SO2 F ⇒ SO1 = O1O 2 = a + 2a = 3a

2
∆SEO1 vuông tại E ⇒ SE = SO12 − O1E 2 =

( 3a )

2

− a 2 = 2 2a

Đoạn SH = SO1 + O1O 2 + O2 H = 3a + 3a + 2a = 8a
∆SEO1 đồng dạng ∆SHB ⇒ SE = O1E ⇔ 2 2a = a ⇒ HB = 2 2a
SH HB
8a
HB
Câu 49: Đáp án A
Phương pháp:
- Lập tỉ lệ thể tích khối tứ diện AMNP với khối chóp S.ABCD
- Tính thể tích khối chóp S.ABCD
- Tính thể tích khối tứ diện AMNP .
Cách giải:
1
1
M là trung điểm của SA ⇒ SAMP = SSAP ⇒ VAMNP = VN.SMP
2
2
N là trung điểm của SB ⇒ VN.SMP =

1
VS.ABP
2

1
1
P là trung điểm của CD ⇒ SABP = SABCD ⇒ VS.ABP = VS.ABCD
2
2
3

⇒ VAMNP

V
1
=  ÷ .VS.ABCD = S.ABCD
8
2

OP ⊥ CD
⇒ CD ⊥ ( SOP ) ⇒ ( ( SCD ) ; ( ABCD ) ) = SPO = 450 ⇒ ∆SOP vng cân tại O
Ta có: 
SO ⊥ CD
⇒ SO = OP =

a
2

1
1 a
a3
Thể tích khối chóp S.ABCD: VS.ABCD = .SO.SABCD = . .a 2 =
3

3 2
6
Trang 24


⇒ VAMNP =

VS.ABCD a 3
=
8
48

Câu 50: Đáp án B
Phương pháp:
Diện tích xung quanh của khối trụ Sxq = 2πrh
Diện tích toàn phần của khối trụ: Stp = Sxq + S2 đáy
Cách giải:
Khối trụ có đường cao h = 3a , bán kính đáy r =
Diện tích xung quanh của khối trụ Sxq = 2π.3a.

3a
2

3a
= 9πa 2
2
2

Diện tích toàn phần của khối trụ: Stp = Sxq + S2đáy

9
27 2
 3a 
= 9πa + 2π  ÷ = 9πa 2 + πa 2 =
πa
2
2
 2
2

2. Phần dành cho học sinh chuyên
Câu 41: Đáp án D
Phương pháp:

(

(

)

x
x
+) Gọi M x M ;a M ; N x N ;a N

)

+) Từ 2AN = 5BM ⇒ mối liên hệ giữa x M ; x N từ đó suy ra mối liên hệ giữa a và b.
Cách giải:
Theo đề bài: 2AN = 5AM ⇔ 2 x N = 5 x M ⇔ 2x N = −5x M (do M, N nằm khác phía so với trục
Oy)

−5
xM
2

⇔ xN =

Tung độ các điểm M, N a
5

xM

=b

xN

⇔a

xM

=b

−5
xM
2

xM

 −25 
= b ÷




5

Do M tùy ý nên a = b − 2 ⇔ ab 2 = 1 ⇔ a 2 b5 = 1
Câu 42: Đáp án
Phương pháp:
Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên ( 0; +∞ ) ⇒ f ' ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ ( 0; +∞ )
Cách giải:
x 3 + 3mx 2 + 3mx +10

2
y= ÷
π

Trang 25