HD de thi Toan KHTN 20102011

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (183.06 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2010

MÔN THI: TỐN (Vịng 1)

Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng kể thời gian phát đề)
Câu I

1) Giải hệ phương trình
¿

3x2+8y2+12 xy=23
x2

+y2=2.

¿{

¿
2) Giải phương trình

√2x+1+3

√

4x2−2x+1=3+

√

8x3+1.
Câu II

1) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức

(1+x2)(1

+y2)+4 xy+2(x+y) (1+xy)=25 .

2) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất

không vượt quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n ngun
dương ta ln có.

[

3
1 .2+

7
2 . 3+. . .

n2+n+1
n(n+1)

]

=n
Câu III

Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc
với đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc ACB=300 . Gọi H là giao

điểm thứ hai của đường thăng BC với đường trịn (O).

1) Tính độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC
theo R.

2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại
điểm N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một
đường trịn và tâm đường trịn đó ln chạy trên một đường thẳng cố định
khi M thay đổi trên đoạn thẳng AC.

Câu IV

Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức (1+a)(1+b)=9

4 , hãy tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức P=

√

1+a4+

√

1+b4 .

_____________________________
Cán bộ coi thi khơng giải thich gì thêm.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

MÔN THI: TỐN (Vịng 2)

Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian phát đề)
Câu I

3) Giải phương trình
√x+3+√3x+1=4

4) Giải hệ phương trình
¿

5x2+2y2+2 xy=26
3x+(2x+y) (x − y)=11.

¿{

Câu II

3) Tìm tất cả các số nguyên dương n để n2+391 là số chính phương.

4) Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện x+y+z=1 .

Chứng minh rằng

√xy+z+

√

2x2+2y2
1+√xy ≥1.
Câu III

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là điểm nằm trong tam giác. Kí
hiệu H là hình chiếu của M trên cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hình chiếu
của H trên các đường thẳng MB, MC, AB, AC. Giả sử bốn điểm P, Q, E, F
thẳng hàng.

1) Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác ABC.
2) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp.

Câu IV

Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự

a1, a2,. . ., a2010 , ta đánh dấu tất cả các số d¬ng và tất cả các số mà tổng của 
nó với một số sè liên tiếp liền ngay sau nó là một số dương. (Ví dụ với dãy
số -8,-4,4,-1,2,-1,2,-3,...,-2005 thì các số được đánh dấu là

a2=−4, a3=4, a4=−1, a5=2 ).

Chứng minh rằng nếu trong dãy số đã cho có ít nhất một số dương thì tổng
của tất cả các số được đánh dấu là một số dương.

_____________________________
Cán bộ coi thi khơng giải thich gì thêm.

Ghi chó : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh...số báo danh

I HC QUC GIA H NI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2010

MƠN THI: TỐN (Vịng 1)

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3x2+8y2+12 xy=23
x2

+y2=2.

¿{

¿
6) Giải phương trình

√2x+1+3

√

4x2−2x+1=3+

√

8x3+1.

H

íng dÉn

1) Cộng cả hai phơng trình ta đợc

3x2+8y2+12 xy=23
x2

+y2=2.
⇔

¿4x2+9y2+12 xy=25

¿
x2+y2=2.

⇔
2x+3y¿2=25

¿
x2+y2=2.

¿
¿ ¿
Ta cã hai hƯ

2x+3y=5
x2+y2=2

¿{

Vµ

2x+3y=−5
x2+y2=2

¿{

¿
Giai ra ta đợc Hệ PT có 4 nghiệm

(x ; y)∈

{

(1;1);

(

7
13 ;

)

;(−1;−1);

(

−7
13 ;

−17
13

)

}

§KX§ x ≥−1

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

a=3

¿
b=1

¿
√2x+1=3

√

4x2−2x+1=1

2x+1=3

4x2−2x+1=1

2x+1=3

2x(2x −1)=0

¿
x=1

¿
x=0

¿
x=1

¿
¿
¿

⇔¿

¿
¿ 2x+1+3

4x

2x+1=3+

8x3+1 .()

()a+3b=3+abaab3+3b(a3)(1 b)=0

Phơng trình có 3 nghiệm x1=1; x2=0; x3=1
2
Câu II

5) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức

(1+x2)(1

+y2)+4 xy+2(x+y) (1+xy)=25 .

6) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất
không vượt quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n ngun
dương ta ln có.

[

3
1 .2+

7
2 . 3+. . .

n2+n+1

n(n+1)

]

=n

H

íng dẫn

1)Phá ngoặc

(1+x2)(1+y2)+4 xy+2(x+y) (1+xy)=251+y2+x2+x2y2+4 xy+2(x+y) (1+xy)=25
y+12=25

x+12

xy+1+x+y2=25

x+y2=25

xy+12+2(x+y) (1+xy)+

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

vì x,y không âm nên (x+1)(y+1)=5 ta có

x+1 1 5

y+1 5 1

x 0 4

y 4 0

(x;y) {(0;4);(4;0)}
2) xÐt kk2+k+1

(k+1)=
k2
k(k+1)+

k+1
k(k+1)=

k
(k+1)+

1
k=1−

1
k+1+

k(k∈N)
Thay k lần lợt từ 1 đến n ta có

[

3
1 .2+

7
2 . 3+. . .

n2+n+1

n(n+1)

]

[

1−
1

2+1+1−
1
3+

2+. .. . .. .. ++ 1−
1
n+

1
n−1+1−

1
n+1+

1
n

]

[

n+1− 1

n+1

]

[

n+
n

n+1

]

=n(dpcm);vi:0<

n
n+1<1

Câu III

Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc
với đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc ACB=300 . Gọi H là giao

điểm thứ hai của đường thăng BC với đường trịn (O).

3) Tính độ dài đưêng thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC
theo R.

4) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại
điểm N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một
đường trịn và tâm đường trịn đó ln chạy trên một đường thẳng cố định
khi M thay đổi trên đoạn thẳng AC.

H

íng dÉn

N
C

A B

1)XÐt tam giác vuông ABC ( vuông tại A)có AB=2R;gúc ACB=300 . Nên

BC=4R;

áp dụng Pi-Ta-Go AC=

BC2AB2

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

áp dụng hệ thức lợng AH . BC=AB. AC⇒AH=AB. AC

BC =

2R. 2√3R

4R =R√3 vËy AH=
R√3

2) Ta cã Do ∠ACB =∠HAB=300 suy ra ∠HNB=∠HAB=300 nªn

∠C+∠MNH=1800 nên tứ giác CMNH nội tiếp tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác

này thuộc trung trực HC cố định

Câu IV

Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức (1+a)(1+b)=9

4 , hãy tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức P=

√

1+a4+

√

1+b4 .

H

ớng dẫn

áp dụng BBĐT Bu nhi acópky cho 2 dÃy
a2;1 vµ 1; 4 ta cã a

+4¿2⇔

√

a4+1≥a

√17 (1);Dau :=⇔a=
1
2
17(a4+1)≥¿

b2;1 vµ 1; 4 ta cã b
2

+4¿2⇔

√

b4+1≥b

√17 (2);Dau :=⇔b=
1
2
17(b4+1)≥¿

Tõ (1)&(2) ta cã P≥a

+b2+8

√17 (∗) MỈt kh¸c Tõ GT ta cã a+b+ab=
5
4

Lại áp dụng bất đẳng thức Cơ-Si cho 2 ta có
¿

a2+1
4≥ a
b2+1

4≥ b
a2+b2

2 ab

3

2(a

+b2)+1

2(a+b+ab)=
5
4a

+b21

2;Dau:=a=b=
1
2

{ {

Thay Vào (*) ta có P

1
2+8

17=

17
2

Vây Min(P)=√17

2 ⇔a=b=
1
2

_____________________________

MƠN THI: TỐN (Vịng 2)

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu I

7) Giải phương tr×nh
√x+3+√3x+1=4

8) Giải hệ phương trình
¿

5x2+2y2+2 xy=26
3x+(2x+y) (x − y)=11.

¿{

H

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

1) §KX§ x ≥−1

3 ; x=1 Thảo mÃn. xét x< 1 thì VT<4 (loại); x>1 thìVT>4

(loại)

Cách khác

x+3+3x+1=4x+3=43x+1;(3x+14x 5)
x+3=1683x+1+3x+1;83x+1=2x+1443x+1=x+7

48x+16=x2+14x+49x234x+33=0(x 1)(x 33)=0
x=1(t/m)

x=33;(loai)

5x2+2y2+2 xy=26
3x+(2x+y) (x y)=11.

⇔

¿5x2+2y2+2 xy=26

3x+2x2−xy− y2=11
⇔

¿5x2+2y2+2 xy=26

6x+4x2−2 xy−2y2=22

⇔

¿5x2+2y2+2 xy=26

9x2+6x+1=49
⇔

¿5x2+2y2+2 xy=26

3x+1¿2=49

⇔

¿
¿
¿

5x2+2y2+2 xy=26

3x+1=7

¿
¿
¿
¿
¿
¿

5x2+2y2+2 xy=26

3x+1=−7

¿
¿
¿
¿
¿

⇔

¿
Víi x=8

3 thay vào PT(1) vô nghiệm

Vi x=2 thay vào PT(1) ta đợc y=1 hoặc y=-3

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Câu II

1)Tìm tất cả các số nguyên dương n để n2

+391 là số chính phương.

2)Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện x+y+z=1 .

Chứng minh rằng

√xy+z+

√

2x2+2y2
1+√xy ≥1.

H

íng dÉn

1)ta cã n2

+391 là số chính phơng nên n2+391=k2 (kN)
n2

+391=k2(n k)(n+k)=391 mà 391=-1.391=1.(-391)=-17.23=17.(-23)

Ta có n-k<n+k nên

n-k -391 -1 -23 -17

n+k 1 391 17 23

n -195( loại) 195 -3(loai) 3

Vậy n =3 hoặc n=195
2) xy+z+

2x

+2y2

1+xy 1.xy+z+

2x

2+2y21+

áp dơng B§T Bunhiacopsky cho 2 d·y x ; y và 1; 1 ta có
x+y2

2(x2+y2) x+y

2(x2+y2)

Nên xy+z+

2x2+2y2xy+z+x+y ta ph¶i chøng minh

√xy+z+x+y ≥1+√xy⇔√xy+z+1− z ≥1+√xy⇔√xy+z ≥ z+√xy
⇔xy+z ≥ z2

+2z√xy+xy⇔z − z2≥2z

√xy⇔1− z ≥2√xy⇔x+y ≥2√xy(dung)

DÊu “=” x¶y ra khi x=y=1− z
2 =

1
3

C¸ch kh¸c ta cã

x+y 2xyx+y+z z+2xy1 z+2xyz z2+2zxy

xy+z2xy+z xy+z(1)
xy+z xy+z2+2zxy=

áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho 2 d·y x ; y vµ 1; 1 ta cã
x+y¿2⇒

√

2(x2+y2)≥ x+y

2(x2+y2)≥¿ (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã √xy+z+

√

2x2+2y2≥1+√xy⇔√xy+z+

√

2x2+2y2
1+√xy ≥1 .

DÊu “=” X¶y ra khi x=y=1− z
2 =

1
3
Câu III

3) Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác ABC.
4) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tip.

H

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Q
E

F
M

H
B

C
A

1)Vì t giác BEPH nội tiếp nên EHB =EPB (1) vì E;P;Q thẳng hàng nên

MPQ =EPB (2). Vỡ t giỏc MQHP nội tiếp nên ∠MPQ =∠MHQ (3) Ta có
ΔMHC vng tại H có HQ⊥MC suy ra ∠MCH=∠MHQ (4) từ (1); (2) ; (3) ;
(4) ta có ∠EHB =∠MCH ở vị trí đồng vị nờn HE//CM m

HEABCMAB()

Tơng tự BMAC(**)

từ (*) và (**) ta có M là trực Tâm tam giác ABC

2)Vì M là trực tâm tam giác ABC nên A,M,H thẳng hàng ta cã

∠AEH=900;∠AFH=900 nên tứ giác AEHF nội tiếp đờng kính AH nên
∠AFE=∠AHE ( nội tiếp chắn cung AE) mà ∠EBH =∠AHE ( cùng phụ

∠BHE )

VËy ∠AFE =∠EBH mà AFE+EFC=1800EBH +EFC=1800

Nên tứ giác BEFC nội tiếp

Câu IV

Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự

a1, a2,. . ., a2010 , ta đánh dấu tất cả các số âm và tất cả các số mà tổng của nó 
với một sè số liên tiếp liền ngay sau nó là một số dương. (Ví dụ với dãy số
-8,-4,4,-1,2,-1,2,-3,...,-2005 thì các số được đánh dấu là

a2=−4, a3=4, a4=−1, a5=2 ).

Chứng minh rằng nếu trong dãy số đã cho có ít nhất một số dương thì tổng
của tất cả các số được đánh dấu là một số dương.

H

íng dÉn

Xét các số đợc đánh dấu a1;a2;a3... an (n N ;n<2010

-Nếu dÃy có tất cả các số dơng thì ta có đpcm

-Nu cú s õm c đánh dấu thi các liền sau số âm phải là số dơng sao cho tổng
của số âm này với các số liền sau nó ln dơng ( Giá trị tuyệt đối số số tổng các
d-ơng lớn hơn GTTĐ số âm) suy ra số liền sau số âm đó cũng đợc đánh dấu . Tổng
của các số đợc đánh dấu bằng các tổng luôn dơng nên Tổng các số đợc đánh dấu
luôn dơng ( đpcm)

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10></div>