Một số phương pháp giải dạng toán dãy số có quy luật thường gặp ở chương trình toán 6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP. THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TỐN
DÃY SỐ CĨ QUY LUẬT THƯỜNG GẶP
Ở CHƯƠNG TRÌNH TỐN 6

Người thực hiện : Nguyễn Thị Quế
Chức vụ

: Phó hiệu trưởng

Đơn vị cơng tác

: Trường THCS Quảng Hưng

SKKN thuộc mơn:

Tốn

THANH HĨA, NĂM 2021


MỤC LỤC


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:

Tốn học là mơn học có vị trí quan trọng trong chương trình giáo dục ở
mọi cấp học. Tư duy Toán học giúp cho mỗi học sinh học tốt các môn học khác
đặc biệt là các môn khoa học tự nhiên. Mặc dù có vai trị quan trọng như vậy
song khơng phải học sinh nào cũng học tốt mơn Tốn.
Chương trình Tốn THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo
viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng. Mặt
khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho
học sinh những kiến thức cơ bản, tìm tịi đủ cách giải bài tốn để phát huy tính
tích cực của học sinh, mở rộng tư duy linh hoạt, sáng tạo.
Từ vị trí và nhiệm vụ vơ cùng quan trọng của mơn Tốn vấn đề đặt ra cho
người dạy là làm thế nào để giờ dạy - học Tốn có hiệu quả cao, học sinh được
phát triển tính tích cực, chủ động sáng tạo trong việc chiếm lĩnh kiến thức toán
học.
Chuyên đề "Dãy số có quy luật" là một trong những chuyên đề cơ bản của
chương trình số học lớp 6 nói riêng và chương trình tốn THCS nói chung. Là
dạng tốn có nhiều ứng dụng trong việc giải các dạng bài tập khác nhau không
chỉ trong phạm vi số học mà cịn sử dụng trong đại số. Do đó có thể nói đây là
dạng tốn có thể phát triển được tính sáng tạo và tư duy nhiều nhất của học sinh.
Vì vậy yêu cầu học sinh phải nắm chắc, vận dụng được các quy tắc, phương
pháp tìm quy luật số, giải các bài toán về dãy số là điều rất quan trọng. Trong
quá trình giảng dạy trực tiếp trên lớp, qua trao đổi với các bạn đồng nghiệp,
thơng qua tìm hiểu các loại tài liệu tham khảo tôi thấy rằng đối với các bài toán
về dãy số, đặc biệt là tính tổng dãy số chưa có phương pháp giải một cách rõ
ràng, tường minh, cho nên học sinh khi gặp dạng tốn này cịn lúng túng, thậm
chí bế tắc trong việc tìm hướng giải. Vì những lí do trên tơi mạnh dạn chọn đề tài
“Một số phương pháp giải dạng tốn dãy số có quy luật thường gặp ở chương
trình tốn 6” để nghiên cứu với mục đích giúp cho học sinh học tốt dạng tốn
này, cũng như đóng góp tài liệu giúp giáo viên trong việc dạy chủ đề về dãy số
có quy luật trong chương trình số học.
1.2. Mục đích nghiên cứu:

- Chỉ ra những dãy số có quy luật thường gặp và hướng dẫn học sinh cách tìm
quy luật, từ đó đưa ra phương pháp giải.
- Nâng cao chất lượng dạy học đại trà và đặc biệt là chất lượng mũi nhọn.
- Đổi mới phương pháp dạy học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
- Đối tượng: Phương pháp giải dạng tốn dãy số có quy luật, cụ thể là:
Tính tổng của một dãy số và một số ứng dụng vào các dạng khác.
- Phạm vi: Học sinh khối lớp 6,7 - trường THCS Quảng Hưng, TP Thanh
Hóa.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
1


- Phương pháp đọc sách và tài liệu.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
- Phương pháp thực nghiệm.
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu.
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận:
Trong thời điểm hiện nay khi cả nước đang bước vào thời kì cơng nghiệp
hóa, hiện đại hóa thì yêu cầu về nhân lực, nhân tài ngày càng cao, do đó nhiệm
vụ trọng tâm của dạy học là phải giúp người học củng cố được những kiến thức
phổ thông, đặc biệt là kiến thức của bộ mơn tốn. Bởi vì mơn tốn là mơn học có
tính ứng dụng cao trong thực tế, là tiền đề cho nhiều môn học khác. Tuy nhiên có
thể nói đây là mơn học khó, kiến thức rộng, cho nên học sinh phần lớn có tư
tưởng ngại học bộ mơn này.
Việc học tốn khơng đơn thuần chỉ máy móc làm lại những bài tập được
cho sẵn mà phải nghiên cứu, phân tích, tổng qt hóa vấn đề và rút ra được
những phương pháp giải phù hợp với từng dạng tốn, từ đó có thể vận dụng cho

các loại toán khác nhau. Dạng toán về dãy số có quy luật ở chương trình số học 6
có thể nói là dạng đáp ứng được yêu cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để học sinh
học tốt chương trình số học cũng như nhiều kiến thức đại số ở các lớp 8, 9. Vấn
đề đặt ra là làm thế nào để học sinh có thể tìm được quy luật của dãy số, để rồi
tính tổng cho dãy số đó một cách nhanh chóng nhất, chính xác nhất.
Để có thể làm được điều này, yêu cầu giáo viên phải đưa ra được những
dãy số cơ bản nhất, chỉ rõ để học sinh thấy được quy luật dãy số, và từ đó hướng
dẫn học sinh tính được tổng của dãy số.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến:
Trong nhiều năm dạy mơn Tốn tơi nhận thấy kiến thức về dãy số có quy
luật khơng được gặp nhiều trong chương trình sách giáo khoa tốn 6, 7 nhưng lại
xuất hiện nhiều trong các sách nâng cao, trong các loại sách phát triển, cũng như
trong các kì thi học sinh giỏi từ lớp 6 đến lớp 9.
Vì được tiếp cận khơng nhiều nên có thể nói học sinh khá vất vả để làm
dạng toán này, các em lúng túng trong việc tìm quy luật của dãy số, kể cả đã tìm
được quy luật nhưng khơng biết tính tổng theo cách nào. Các dạng bài tập của
loại này lại đa dạng và phong phú đòi hỏi khả năng vận dụng nhiều kiến thức
liên quan.
Trước khi nghiên cứu và ứng dụng đề tài tôi đã tiến hành khảo sát học sinh
khối 6, trường THCS Quảng Hưng, TP Thanh Hóa làm bài kiểm tra dạng tính
tổng dãy số có quy luật tôi thu được kết quả sau:
Giỏi
SL
%

Lớp

Tổng số
học sinh

6A

35

1

6B

34

3

Khá
TB
Yếu
SL % SL
%
SL %
11.
34.
2.9 4
6 17.1 12
4
3
8.8 3 8.8 6 17.7 10 29.

Kém
SL
%
34.

12
3
12 35.

2


4
3
11.
35.
35.
6C
34
2
5.8 4
4 11.8 12
12
8
3
3
Như vậy có thể thấy kiến thức và kỹ năng vận dụng của học sinh khi làm
dạng tốn dãy số có quy luật là chưa tốt. Qua nghiên cứu tơi nhận thấy có các
ngun nhân sau:
- Học sinh chưa nắm chắc các khái niệm cơ bản.
- Học sinh thường chỉ học vẹt các định lí, quy tắc, hệ quả.
- Học sinh không phát hiện thấy mối liên quan giữa các bài toán cơ bản ở
sgk và bài toán tổng hợp.
- Học sinh giải bài toán xong coi như đã hồn thành chứ chưa có thói quen
tư duy, khai thác, phát triển bài toán ở dạng tổng quát.

Trước thực trạng trên tôi mạnh dạn nghiên cứu và áp dụng các giải pháp
trong quá trình giảng dạy học sinh về dạng tốn dãy số có quy luật thường gặp
trong chương trình Tốn 6.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
- Đưa ra các dãy số có quy luật gồm hữu hạn số, phương pháp giải cho
từng dãy, hình thành bài tốn tổng qt và cách giải bài toán tổng quát này.
- Lồng ghép trong tiết luyện tập dạy chính khóa. Soạn thành chun đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, dạy đối tượng học sinh đại trà.
2.3.1. Các kiến thức cơ bản để giải dạng tốn “tính tổng dãy số có quy luật”
* Cơng thức đếm các số tự nhiên từ a đến b( a < b), hai số kế tiếp cách nhau
d đơn vị:

b-a
+ 1 (trong đó b là số cuối, a là số đầu, d là khoảng cách giữa hai số
d

liên tiếp)
* Các phép toán về cộng, trừ, nhân phân số. Các tính chất cơ bản của phép
cộng, phép nhân phân số.
* Các bước giải bài toán theo phương pháp qui nạp: Để chứng minh một
mệnh đề Sk(k=1;2;3…) nào đó mà ta thấy mệnh đề đó đúng với 1; 2; 3 giá trị đầu
tiên của k thì ta có thể dùng phương pháp quy nạp tốn học để tính hoặc chứng
minh mệnh đề đó.
Bước 1: Thử một vài giá trị đầu tiên xem tính đúng đắn của mệnh đề
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n=k. Nghĩa là Sk đúng .
Bước 3: Ta phải chứng minh mệnh đề đó đúng với n=k+1, tức là Sk+1 đúng
Bước 4: Kết luận bài toán.
* Các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức:
- Tính chất bắc cầu: Nếu a > b, b > c thì a > c
- Tính chất đơn điệu của phép cộng: Nếu a > b thì a + c > b + c

- Tính chất đơn điệu của phép nhân: Nếu a > b thì a . c > b . c (c > 0)
2.3.2. Phương pháp tính tổng dãy số viết theo quy luật:
Với nội dung đề tài này tơi trình bày từ những ví dụ đơn giản với hữu hạn
số, hướng dẫn cách tìm lời giải, trình bày lời giải, và hình thành bài tốn tổng
qt, cũng như cách giải cho bài toán tổng quát.
3


a. Tính tổng bằng phương pháp nhóm số hạng thành từng tổng bằng nhau.
Đây là dãy số cơ bản nhất mà học sinh đã gặp trong chương trình có thể em
chưa biết của tốn 6.
Ví dụ 1: Tính tổng sau: S = 1 + 2 + 3 + .... + 2019 + 2020
* Hướng dẫn cách tìm lời giải:
Ở bài toán này các số được viết theo thứ tự liên tiếp số sau hơn số trước 1
đơn vị, và nhận xét thấy 1 + 2020 = 2 + 2019 = 3 + 2018= .......= 1010 + 1011 =
2021 do đó để tính tổng này ta có thể sử dụng nhóm các căp số hạng có tổng =
2021. Và sử dụng cơng thức tính số các số hạng liên tiếp từ 1 đến 2020 để tính
số cặp số.
* Cách giải:
S = 1 + 2 + 3 + .... + 2019 + 2020 = (1 + 2020 ) +(2 + 2019 ) + (3 + 2018) + .......+
(1010+1011)
Số các số hạng từ 1 đến 2020 là:

2020 - 1
+ 1 = 2020 số nên số nhóm là 1010
1

Vậy S = 1010.2021 = 2041210.
* Bài tốn tổng qt:
Tính tổng: S = 1 + 2 + 3 + ..... + n = ( 1 + n ) + ( 2 + n − 1) + ( 3 + n − 2 ) + ... + ( )

1  n −1 
n(n + 1)
= 
+ 1÷(n + 1) =
2 1
2

Ví dụ 2: Tính tổng sau: S = 2020 − 2019 + 2018 − 2017 + ... + 4 − 3 + 2 − 1

* Hướng dẫn cách tìm lời giải:
Trong tổng ta thấy trước hết số hạng thứ nhất hơn số hạng thứ hai 1 đơn vị
cho nên hiệu hai số hạng liên tiếp bằng 1. Do đó để tính tổng này ta có thể sử
dụng nhóm các căp số có hiệu bằng 1. Và sử dụng cơng thức tính số các số hạng
liên tiếp từ 1 đến 2020( tương tự ví dụ 1) để tính số cặp số.
* Cách giải:
S = 2020 − 2019 + 2018 − 2017 + ... + 4 − 3 + 2 − 1
= (2020 − 2019) + (2018 − 2017) + .... + (4 − 3) + (2 − 1)
= 1 + 1 + ... + 1 + 1
= 1010.1 = 1010

b. Tính tổng bằng phương pháp đưa về giải bài tốn tìm thành phần chưa biết
trong đẳng thức.
Ví dụ 3: Tính tổng sau: S = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 2020
* Hướng dẫn cách tìm lời giải:
Tổng đã cho có dạng lũy thừa với cơ số 2, cịn số mũ thì tăng liên tiếp, để
triệt tiêu được các lũy thừa có thể nhân thêm tổng với 2 như vậy sẽ chỉ có thêm
số hạng 22021. Khi đó 2S = S + 22021 -1 lúc này ta tính được S.
* Cách giải:
S = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2020 ⇒ 2S = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + .... + 2 2020 + 2 2021
= (1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + .... + 2 2020 ) + 2 2021 − 1 = S + 2 2021 − 1 ⇒ S = 2 2021 − 1

* Bài toán tổng quát:
4


S = 1 + a + a 2 + a 3 + ... + a n ⇒ a.S = 1 + a + a 2 + a 3 + ... + a n +1 − 1
a n +1 − 1
aS = S + a − 1 ⇒ S (a − 1) = a − 1 ⇒ S =
a −1
1 1 1 1
1
1
1
1
Ví dụ 4: Tính tổng sau: S = 2 − 4 + 6 − 8 + ... + 4 n− 2 − 4 n + ... + 2002 − 2004
2 2 2 2
2
2
2
2
n +1

n +1

* Hướng dẫn cách tìm lời giải:
1
2

Tổng đã cho có dạng lũy thừa với cơ số , còn số mũ là các số chẵn liên tiếp,
để triệt tiêu được các lũy thừa có thể nhân thêm tổng với 22 , áp dụng cách làm

tương tự ví dụ trên, ta tìm được S.
* Cách giải:
1 1 1 1
1
1
1
1
− 4 + 6 − 8 + ... + 4 n − 2 − 4 n + ... + 2002 − 2004
2
2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2 2
2
2
2
22
22. S = 2 − 4 + 6 − 8 + ... + 4 n −2 − 4 n + ... + 2002 − 2004
2 2 2 2
2
2

2
2
1 1 1
1
1
1
1
22. S = 1 − 2 + 4 − 6 + ... + 4 n −4 − 4 n−2 + ... + 2000 − 2002
2 2 2
2
2
2
2
1
1
1
1
1 
1
 1 1 1
22. S = 1 −  2 − 4 + 6 − ... − 4 n −4 + 4 n −2 − ... − 2000 + 2002 − 2004 ÷− 2004
2
2
2
2
2  2
2 2 2
1
1 
1 

1
22. S = 1 − S − 2004 ⇒ 3S = 1 − 2004 ⇒ S = . 1 − 2004 ÷
2
3  2 
2

S=

c. Phương pháp tính tổng bằng cách đưa tổng về dạng hiệu khử liên tiếp các
số.
Dạng 1: Tổng dãy số với số hạng có dạng tích liên tiếp khơng chứa mẫu.
Ví dụ 5: Tính tổng sau: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ..... + 9.10
* Hướng dẫn cách tìm lời giải:
Trong tổng có các tích của hai số liên tiếp và số cuối của tích này là số đầu
của tích liền sau, nên có thể sử dụng nhân thêm tổng với số thích hợp (nhân thêm
vào số 3) để viết dưới dạng (3 - 0) ở số hạng thứ nhất, (4 - 1) ở số hạng thứ hai,
(5 - 2) ở số hạng thứ 3... và (11 - 8) ở số hạng cuối cùng, như vậy sẽ tạo ra tích
thứ hai thành một hiệu với số trừ là tích thứ nhất, lúc này có thể triệt tiêu được
tích liền trước cụ thể:
* Cách giải:
S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ..... + 9.10 ⇒ 3S = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ..... + 9.10.3
⇒ 3S = 1.2.(3 − 0) + 2.3.(4 − 1) + 3.4.(5 − 2) + ..... + 9.10.(11 − 8)
= 1.2.3 + 2.3.4 − 1.2.3 + 3.4.5 − 2.3.4 + ..... + 9.10.11 − 8.9.10 = 9.10.11 = 990 ⇒ S = 330

* Bài toán tổng quát:
Tính tổng: S = 1.2 +2.3 +3.4 +..... +n.( n +1)

⇒ 3S = 1.2.(3 − 0) + 2.3.(4 − 1) + 3.4.(5 − 2) + ..... + n.( n + 1)[ (n + 2) − (n − 1)]
n(n + 1)( n + 2)
= 1.2.3 − 1.2.3 + 2.3.4 − 2.3.4 + ..... + n( n + 1)( n + 2) = n( n + 1)( n + 2) ⇒ S =

3
1.2.3
+
2.3.4
+
3.4.5
+
.....
+
9.10.11
Ví dụ 6: Tính tổng sau: S =

5


* Hướng dẫn cách tìm lời giải:
Cũng tương tự như ở ví dụ trên, các số hạng của tổng là tích của 3 số liên
tiếp nhau, hai số cuối của số hạng thứ nhất là hai số đầu của số hạng thứ hai, nên
ta nhân thêm vào tổng với 4 để viết dưới dạng (4 - 0) ở số hạng thứ nhất, (5 - 1)
ở số hạng thứ hai, (6 - 2) ở số hạng thứ 3... và (12 - 8) ở số hạng cuối cùng, từ đó
khử liên tiếp các hiệu.
* Cách giải:
S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ..... + 9.10.11
⇒ 4S = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + ..... + 9.10.11.4
⇒ 4S = 1.2.3.(4 − 0) + 2.3.4.(5 − 1) + 3.4.5.(6 − 2) + ..... + 9.10.11.(12 − 8)
=1.2.3.4 + 2.3.4.5 − 1.2.3.4 + 3.4.5.6 − 2.3.4.5 + ..... + 9.10.11.12 − 8.9.10.11
⇒ 4S = 9.10.11.12 = 11880 ⇒ S = 2970

* Bài toán tổng quát:
Tính tổng: S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ..... + 9.10.11 + .... + n.(n + 1)(n + 2)

⇒ 4S = 1.2..3(4 − 0) + 2.3.4.(5 − 1) + 3.4.5.(6 − 2) + ..... + n.( n + 1).(n + 2) [ (n + 3) − (n − 1) ]

= 1.2.3.4 − 1.2.3.4 + 2.3.4.5 − 2.3.4.5 + ..... + n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
⇒S=
4

* Nhận xét: Số nhân thêm vào tổng được tính bằng số các thừa số trong một
tích cộng 1.
Dạng 2: Tổng dãy số với tử là hằng số khơng đổi, mẫu là tích các số liên tiếp.
Ví dụ 7: Tính tổng sau:

S=

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
2020.2021

* Hướng dẫn cách tìm lời giải:
Các phân số trong tổng có tử bằng nhau bằng 1 và mẫu là tích của hai số tự
1

1

1

nhiên liên tiếp nên ta có thể sử dụng công thức n(n + 1) = n − n + 1 biến dãy tính
cộng thành dãy tính cộng và trừ để triệt tiêu các số hạng đối nhau.
* Cách giải:
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1 .2 2 .3 3 .4
2020.2021
1
1
1
1
1
1
1  1
1
2020

 
 
 1
−
=

= −
=  −  +  −  +  −  + ... + 
1 2   2 3   3 4 
 2020 2021  1 2021 2021

S=

* Bài tốn tổng qt:
1

1

1

1

Tính tổng: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1)
1  1
1
n
1 1   1 1   1 1 
1
=
= −
=  −  +  −  +  −  + ... +  −
1

2 2

3 3

4

n

n + 1

1

n +1

n +1

6


Ví dụ 8: Tính tổng: S =

3
3
3
3
+
+
+ ... +
1.4 4.7 7.10
2018.2021

* Phương pháp tìm lời giải:
Ta thấy S là tổng của các phân số có tử là 3, cịn mẫu của các phân số là tích

của 2 chữ số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 3 đơn vị, do đó ta có thể viết mỗi phân số
đó là hiệu của 2 phân số, phân số bị trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ nhất,
phân số trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ 2.
Nên ta dễ dàng tính được tổng đã cho
* Cách giải:
3
3
3
3
1 1 1 1 1 1
1
1
+
+
+ ... +
−
= − + − + − + ... +
1.4 4.7 7.10
2018.2021 1 4 4 7 7 10
2018 2021
1
2020
=
=1 −
2021 2021

S=

* Bài toán tổng quát:
Tính tổng:

a

a

a

a

S= 1.(a + 1) + (a + 1).(2 a + 1) + (2 a + 1).(3a + 1) + ... + ( n a + 1).[ ( n + 1) a + 1]

=

1
1
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+
−
+ ... +
−
1 a + 1 a + 1 2a + 1 2a + 1 3a + 1
na + 1 (n + 1) a + 1
( n + 1) a

1
= 1−
=
( n + 1) a + 1 ( n + 1) a + 1

Dạng 3: Tổng dãy số với tử của từng phân số bằng hiệu hai thừa số của
mẫu, mẫu là bình phương tích các số liên tiếp.
Ví dụ 9: Tính tổng: S =

7
9
11
29
+ 2 2 + 2 2 + ... + 2 2
2
3 .4 4 .5 5 .6
14 .15
2

* Phương pháp tìm lời giải:
Ở từng số hạng của tổng ta nhận thấy tử bằng hiệu hai bình phương của mẫu:
7 = 42 - 32, 9 = 52 - 42 , .... do đó có thể thay tử bằng hiệu hai bình phương của
mẫu, để đưa bài toán về dạng hiệu và khử liên tiếp các phân số.
* Cách giải:
7
9
11
29
42 − 32 52 − 42 62 − 52
152 − 142

+
+
+
...
+
S= 2 2 2 2 2 2
= 2 2 + 2 2 + 2 2 + ..... + 2 2
3 .4 4 .5 5 .6
142.152
4 .3
5 .4
5 .6
15 .14
1 1 1 1 1 1
1
1
= 2 − 2 + 2 − 2 + 2 − 2 + ... + 2 − 2
3 4 4 5 5 6
14 15
1
1
8
= 2− 2 =
3 15
75

* Bài tốn tổng qt:
Tính tổng:
2n + 1

2n + 3

2n + 5

2n + (2n + 1)

S= n 2 .(n + 1)2 + (n + 1) 2 .(n + 2) 2 + (n + 2) 2 .(n + 3) 2 + ... + (2n) 2 .(2n + 1) 2

7


1
1
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+
−
+ ... +
−
2
2
2
2

2
2
2
n (n + 1) (n + 1) (n + 2) ( n + 2) (n + 3)
(2n) (2n + 1) 2
1
1
(n + 1)(3n + 1)
= 2−
= 2
2
n (2n + 1)
n .(2n + 1) 2
=

Dạng 4: Tổng dãy số với tử bằng 1, các mẫu là tích các thừa số hơn kém
nhau a đơn vị.
Ví dụ 10: Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy sau:
1 1
1
1
;
;
;
; ...
6 66 176 336

* Hướng dẫn tìm lời giải:
Ta thấy các số hạng trong dãy số trên có tử là 1 còn mẫu là:
6 = 1.6;

66 = 11.6
176 = 11.16 ;
336 = 16.21
Ta thấy mẫu của các phân số này có quy luật là:
Tích của hai số có số tận cùng là 1 và một số tận cùng là 6.
Trong 2 thừa số của mẫu số có một thừa số hơn thừa số còn lại là 5 đơn vị.
Vậy mẫu số của số thứ n của dãy số có dạng: (5n - 4)(5n + 1).
=> Mẫu của số thứ 100 của dãy số: (5.100 - 4)(5.100 + 1) = 496.501
Ta cần tính tổng S =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.6 6.11 11 .16
496.501

Tương tự như bài trên ta tách từng phân số thành hiệu của 2 phân số, ta thấy :
1 1
5
1 1
5
− =
Tương tự như vậy − =
......
1 6 1.6
6 11 6.11

1
1
5
−
=
Từ đó ta tính được tổng S
496 501 496.501

* Cách giải:
1 1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+ ... +
+
+ ... +
= +
6 66 176 336
2484966 1.6 6.11 11 .16
496.501
1 1 1 1 1 1
1
1

−
5.S = − + − + − +…+
1 6 6 11 11 16
496 501
1
1 500
100
⇒S= .
5.S = 1 −
=
501
5 501
501

S=

* Bài toán tổng quát:
1

1

1

1

S = 1.6 + 6.11 + 11 .16 + ... + (5n − 4)(5n + 1)
1
1
1 1 1 1
1

1
−
+ − +…+
+......+ (5n − 4 − (5n + 1)
6 11 11 16
496 501
1
1 5n
n
⇒S= .
5.S = 1 −
=
5n + 1
5 5n + 1 5n + 1
1 1
1 6

5.S = − + −

8


Ví dụ 11: Tính tổng A =

1
1
1
1
+
+

+ ... +
1 .2 .3 2 .3 .4 3 .4 .5
37.38.39

* Hướng dẫn tìm lời giải: Ta thấy các phân số trong tổng A đều có tử là 1
cịn mẫu của các phân số là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp. Ta viết mỗi số hạng
của tổng thành hiệu của hai phân số sao cho số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ
của nhóm sau. Ta tách phân số bị trừ có tử là 1 cịn mẫu là 2 số tự nhiên liên tiếp
đầu, phân số trừ có tử cũng là 1 cịn mẫu gồm có 2 số tự nhiên liên tiếp sau ( có 1
số giữa trùng nhau).
1
1
2
1 1
1 
1
−
=
=> 
−
=
,
1.2 2.3 1.2.3
2  1.2 2.3  1.2.3
1
1
2
1 1
1 
1

−
=
=> 
−
=
…
23 3.4 2.3.4
2  2.3 3.4  2.3.4
1
1
2
1 1
1 
1
−
=
=> 
−
=
37.38 38.39 37.38.39
2  37.38 38.39  37.38.39
1
1
2
Tổng quát ta có thể áp dụng: n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)

Cụ thể:

* Cách giải:
1

1
1
1
+
+
+ ... +
1.2.3 2.3.4 3.4.5
37.38.39
1 1
1  1 1
1 
1 1
1 
−

=  −  +  −  +…+ 
2  1.2 2.3  2  2.3 3.4 
2  37.38 38.39 
1 1
1
1
1
1
1 
+
−
+ ... +
−

=  −

2  1 .2 2 .3 2 .3 3 .4
37.38 38.39 
1 1
1  11
1  1 741 − 1 1 740 1 370 185
=  −
= .
=  −
= .
= .
=
2  1.2 38.39  2  2 38.39  2 38.39 2 38.39 2 741 741

A=

* Bài toán tổng quát:
1

1 1
1
1
1
1
. −
+
+
+ ... +
=
n(n + 1)(n + 2) 2  2 (n + 1).(n + 2) 
1.2.3 2.3.4 3.4.5

1  (n + 1).(n + 2) − 2  (n + 1).(n + 2) − 2
= .
= 4(n + 1).(n + 2)
2  2(n + 1).(n + 2) 
1
1
1
1
Ví dụ 12: Tính tổng C = + + + ... +
10 15 21
120

A=

* Hướng dẫn tìm lời giải:
Ta thấy mẫu các số hạng trong tổng viết về dạng tích thì khơng có quy
luật, tuy nhiên nếu nhân thêm 2 vào mỗi mẫu thì có thể viết mẫu thành tích có
quy luật.
* Cách giải:
1
1
1 
1
1
1 
 1
 1
+
+
+ ... +

+
+
+ ... +
 = 2

240 
15.16 
 20 30 42
 4.5 5.6 6.7

C = 2

9


1 1
1 1 1 1
1 1  3
= 2 − + − + ... + −  = 2. −  =
15 16 
4 5 5 6
 4 16  8

d. Phương pháp tính tổng thơng qua các tổng đã biết.
Ví dụ 13: Tính tổng sau: S = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + 1002
* Hướng dẫn cách tìm lời giải:
Ở tổng trên cơ số là các số liên tiếp cịn số mũ khơng đổi bằng 2, nên có thể
sử dụng tổng S = 1.2 +2.3 +3.4 +..... +n.( n +1) và S = 1 + 2 + 3 + ..... + n bằng
cách tách một thừa số ở từng tích dưới dạng hiệu của số lớn hơn liền sau với 1.
* Cách giải:

S = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + 1002 = 1.(2 − 1) + 2.(3 − 1) + 3.(4 − 1) + ..... + 100.(101 − 1)
= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ..... + 100.101 − 1 − 2 − 3 − ... − 100
= [1.2 + 2.3 + 3.4 + ..... + 100.101] − (1 + 2 + 3 + .. + 100)
100.101.102 100.101
=
−
= 335335
3
2

* Bài toán tổng quát:
S= 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n 2 = 1.(2 − 1) + 2.(3 − 1) + 3.(4 − 1) + ..... + n.[ (n + 1) − 1]
= 1.2 − 1 + 2.3 − 2 + 3.4 − 3 + ..... + n.( n + 1) − n
= [1.2 + 2.3 + 3.4 + ..... + n.(n + 1)] - ( 1 + 2 + 3 + ..... + n )
n(n + 1)(2n + 1)
n(n + 1)(n + 2) n(n + 1)
=
=
3
2
6

Ví dụ 14: Tính tổng sau: (Bài tốn tổng qt ).
S = 22 + 42 + 62 + …+ (2n)2
* Hướng dẫn cách tìm lời giải:
So với ví dụ 4, trong tổng các cơ số là các số chẵn liên tiếp, để có thể giải
được các số hạng trong tổng cần tách các số hạng thành dạng tích các số tự nhiên
liên tiếp như ở dạng S = 1.2 +2.3 +3.4 +..... +n.( n +1) . Muốn vậy trước hết
sử dụng cách tách như ở ví dụ 4, ta được các tích gồm các số tự nhiên liên tiếp
2.3 + 4.5 + 6.7 + ....do đó cần phải có thêm các tích 1.2 + 3.4 + 5.6 +...

cho nên tách một thừa số ở từng lũy thừa ban đầu về dạng tổng của số nhỏ liền
trước với 1.
* Cách giải: S = 22 + 42 + 62 + …+ (2n)2
⇒ S = 2.(3 − 1) + 4.(5 − 1) + 6.(7 − 1) + ..... + 2n.[ (2n + 1) − 1]
= 2.3 + 4.5 + 6.7 + .... + 2n(2n + 1) − 2 − 4 − 6 − ... − 2n
S = 2.(1 + 1) + 4.(3 + 1) + 6.(5 + 1) + ..... + 2n.[ (2n − 1) + 1]
= 1.2 + 3.4 + 5.6 + ... + 2n(2n − 1) + 2 + 4 + 6 + ... + 2n
⇒ 2 S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ..... + 2n(2n − 1) + 2n(2n + 1)
2n(2n + 1)(2n + 2)
2n(2n + 1)(2n + 2)
Vậy 2.S =
Nên S =
3
6

Ví dụ 15: Tính tổng sau:
S = 1.99 + 2.98 + 3.97 + ...+ 98.2 + 99.1
* Hướng dẫn cách tìm lời giải:
10


Trong bài toán ta thấy các số hạng được lặp lại hai lần, nhưng cách viết thừa số
trong từng tích lại theo thứ tự là các số liên tiếp, do đó có thể tách các tích về
dạng có thừa số chung để sử dụng tổng S = 1.2 +2.3 +3.4 +..... +n.( n +1)
và S = 1 + 2 + 3 + ..... + n
* Cách giải:
S = 1.99 + 2.98 + 3.97 + ...+ 98.2 + 99.1
= 1.99 + 2.(99 - 1) + 3.(99 - 2) + ...+ 98.(99 - 97) + 99.(99 - 98)
= (1.99 + 2.99 + 3.99 + ...+ 98.99 + 99.99) - (1.2 + 2.3 + ....+ 97.98 + 98.99)
98.(98 + 1)(98 + 2)

3
99.100 98.99.100 101.99.100
= 166650
= 99.
=
2
3
6

= 99.( 1 + 2 + 3 + ..... + 99 ) -

* Bài toán tổng quát:
S = 1.n + 2.(n − 1) + 3.(n − 2) + ....(n − 1).2 + n.1

= 1.n + 2.(n − 1) + 3.(n − 2) + ....( n − 1).[ n − (n − 2) ] + n.[ n − (n − 1) ]

= n(1 + 2 + 3 + .... + n) − [ 1.2 + 2.3 + 3.4 + ..... + n.( n − 1) ] - ( 1 + 2 + 3 + ..... + n )

=

n(n + 1) n(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)(n + 2)
=
2
3
6

e. Tính tổng bằng phương pháp qui nạp tốn học.
Phương pháp này dễ dàng thực hiện được phép tính tổng, tuy nhiên việc vân
dụng phương pháp này chỉ giải quyết một số ít bài tốn ở dạng tính tổng của dãy

số. Lí do là một số bài tốn việc tìm ra giả thiết quy nạp cịn gặp nhiều khó khăn.
Ví dụ 16: Tính tổng sau: Sn = 13 + 23 + 33 +…+ n3 (Bài toán tổng quát ).
* Cách giải:
 n ( n + 1) 
Dự đoán kết quả: Sn = 
÷
2 


2

 1. ( 1 + 1) 
Với n = 1thì S1 = 
÷ =1
2


2

(đúng)

 2 ( 2 + 1) 
Với n = 2 thì S2 = 1 +2 = 
÷ = 9 (đúng)
2 

2

3

3

 3 ( 3 + 1) 
Với n = 3 thì S3 = 1 +2 + 3 = 
÷ = 36
 2 
2

3

3

3

(đúng)
 k ( k + 1) 
=
÷
2



2

3

3

3

Giả sử kết quả trên đúng với n = k tức là Sk=1 + 2 + 3 +…+ k

3

Ta phải chứng minh kết quả trên đúng với n = k+1
 ( k + 1) ( k + 2 ) 
Tức là phải chứng minh Sk+1= 
÷
2



2

Thật vậy Sk+1 = 13 + 23 + 33 +…+ k3 + (k + 1)3

11


2
2
 k ( k + 1) 
 ( k + 1) ( k + 2 ) 
2 k
2 k + 4k + 4
3
k
+
1
(

+
k
+
1)
=
k
+
1
.
=
= 
)
(
)
÷ + (k+1) = (
÷
2
4
4
2




2

2

Suy ra dự đoán trên là đúng
 n ( n + 1) 

Vậy Sn = 13 + 23 + 33 +…+ n3 = 
÷
2 


2

2.3.3. Một số dạng bài tập có sử dụng tính tổng dãy số có quy luật:
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức:
Ví dụ 1. Tính giá trị biểu thức:
 1

1

1

1

 1 − 3 − 5 − 7 − .... − 49

+
+ .... +
A=  +
÷.
44.49 
89
 4.9 9.14 14.19
* Hướng dẫn giải: Dãy số trong ngoặc có quy luật là tử các phân số bằng nhau
và bằng 1, mẫu là tích các thừa số có hiệu bằng 5 nên sử dụng phương pháp giải
khử liên tiếp các số hạng. Còn 1 − 3 − 5 − 7 − .... − 49 = 1 − ( 3 + 5 + 7 + .... + 49 ) có quy

luật là tổng các số lẻ liên tiếp nên sử dụng phương pháp nhóm các số hạng của
tổng thành từng nhóm có tổng bằng nhau.
* Lời giải:
 1 − 3 − 5 − 7 − .... − 49
89
1  9 − 4 14 − 9 19 − 14
49 − 44  1 − (3 + 5 + 7 + .... + 49)
+
+
+ .... +
A= 
÷.
5  4.9
9.14 14.19
44.49 
89
11 1 1 1 1 1
1
1  1 − [ (3 + 49) + (5 + 47) + ...(25 + 27) ]
A =  − + − + − + .... + − ÷.
5  4 9 9 14 14 19
44 49 
89
1  1 1  1 − 52.12 −9
=
A =  − ÷.
5  4 49 
89
28
 1

1

1

1

+
+ .... +
A=  +
÷.
44.49 
 4.9 9.14 14.19

Ví dụ 2. Tính giá trị biểu thức:
B=

1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + .... + (1 + 2 + 3 + .... + 98)
1.98 + 2.97 + 3.96 + .... + 98.1

* Hướng dẫn giải:
Trong bài có thể sử dụng cơng thức tính tổng ở tử,
mẫu rồi rút gọn, tuy nhiên việc tính tốn lặp lại nhiều lần, và phức tạp, do đó để
làm nhanh bài tốn có thể sử dụng tách mẫu thành tử, rồi rút gọn.
* Lời giải:
Ta thấy số bị chia gồm 98 tổng, số 1 có mặt ở 98 tổng, số 2 có mặt ở 97 tổng, số
3 có mặt ở 96 tổng...., số 97 có mặt ở 2 tổng, số 98 có mặt ở 1 tổng. Nên số bị
chia được tính bằng 1.98 + 2.97 + 3.96 + .... + 98.1 do đó B = 1.
Ví dụ 3. Tính giá trị biểu thức:
1 1

1
1 + + + ... +
3 5
99
C= 1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.99 3.97 5.95
99.1

12


* Hướng dẫn giải: Trước hết ta ghép các phân số ở số bị chia thành từng cặp để
làm xuất hiện mẫu chung giống với mẫu của các phân số tương ứng ở số chia
* Lời giải:
1  1 1 

 1 1
100 100
100
+
+ ... +
1 + ÷+  + ÷+ ... +  + ÷
99   3 97 
 49 51  =

99 3.97
49.51
C=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+
+
+
+ ... +
+
1.99 3.97 5.95
97.3 99.1 1.99 3.97 5.95
97.3 99.1
1
1
1 
 1
100
+

+
+ ... +

49.51  100
 1.99 3.97 5.95
=
=
= 50
1
1
1 
2
 1
2
+
+
+ ... +

49.51 
 1.99 3.97 5.95

Dạng 2: Dạng toán chứng minh bất đẳng thức:
Ví dụ 4: Chứng minh rằng:

1
1
1
1
<1
2 + 2 + 2 +...+

2
3
4
100 2

* Hướng dẫn giải:
Ta thấy các phân số trong tổng ở vế trái là các phân số có tử là 1 cịn mẫu là
bình phương của một số tự nhiên n (n ≥ 2 ) nên có thể đánh giá mỗi phân số với
phân số mới mà mẫu là hai số tự nhiên liên tiếp để có thể sử dụng phương pháp
khử liên tiếp số hạng.
1
1 1 1
= −
2 <
1.2 1 2
2

1
1 1 1
1
1 1 1
1
1
1
1
= − ; 2 < = − ; ...
= −
2 <
2 <
2.3 2 3 4

3.4 3 4
99.100 99 100
3
100
a < b
Sau đó áp dụng tính chất:
 => a+c < b+d
c < d

* Lời giải:
1
1 1 1
1
1 1 1 1
1 1 1
1
1
1
1
= − ; 2 < = − ; 2 < = − ; ...
= −
2 <
2 <
1.2 1 2 3
2.3 2 3 4
3.4 3 4
99.100 99 100
2
100
1

1
1
1
1
1
1
1
Vậy 2 + 2 + 2 +...+ 2 < + + +...+
99.100
2
3
4
100 1.2 2.3 3.4
1
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
1 − + − + − +...+ −
2 + 2 + 2 +...+
2 <
2 2 3 3 4
99 100
2
3
4
100
1

1
1
1
1
99
+ + +...+ 2 <1 −
=
<1
100 100
2 2 32 4 2
100
1
1
1
1
Hay 2 + 2 + 2 +...+ 2 < 1
2
3
4
100

Dạng 3: Dạng toán chứng minh chia hết.


Chứng minh rằng: A =  + + + .... + ÷.2.3.4.....98 chia hết cho 99.
98 
1 2 3
* Hướng dẫn giải:

Ví dụ 5:

1 1

1

1

13


Trong tổng dãy số ta thấy các phân số đều có tử là 1, mẫu là các số tự nhiên liên
tiếp, và 1 + 98 = 2 + 97 = .....= 49 + 50 = 99 do đó có thể nhóm phân số đầu với
phân số cuối để được kết quả là phân số chia hết cho 99
* Lời giải:
 1 1   1 1 
1 
1 
1 1 1
 1
A =  + + + .... + ÷.2.3.4.....98 =  + ÷+  + ÷+ ... +  + ÷ .2.3.4.....98
98 
1 2 3
 49 50  
 1 98   2 97 
99
99 
 99
=
+
+ .... +

÷.2.3.4.....98
49.50 
 1.98 2.97

Chọn MSC là 2.3....97.98, gọi các thừa số phụ là k1, k2, ....k49 . Khi đó:
A=

99.(k1 + k 2 + .... + k 49 )
.2.3.4.....98 = 99.(k1 + k 2 + .... + k 49 ) . Do đó A chia hết cho 99.
2.3.4.....98

Dạng 4: Dạng tốn tìm x
Ví dụ 6: Tìm x biết rằng:

1
1
1
1
101
+
+
+…+ x( x + 3) =
5.8 8.11 11 .14
1540

* Hướng dẫn giải:
Ta thấy vế bên trái của đẳng thức là các phân số có cùng tử số là 1 cịn mẫu
số là tích của 2 số hơn kém nhau 3 đơn vị, nên có thể sử dụng phương pháp khử
liên tiếp các số hạng :
1 1

3
1 1 1
1
− =
=>  −  =
;
5 8 5.8
3  5 8  5.8
1 1
3
1 1 1 
1
− =
=>  −  =
8 11 8.11
3  8 11  8.11
1 1
3
11 1
1
− =
=>  −  =
11 14 11 .14
3  11 14  11 .14
3
1
1 
1
1
1 1

−
=
= x( x + 3) =>  −
x x +1
3  x x + 3  x.( x + 3)

*Lời giải:
Ta có:
1  101
1 1 1 1 1 1  1  1 1 
1 1
 −  +  −  +  −  +…+  −
=
3  5 8  3  8 11  3  11 14 
3  x x + 3  1540
1
1  101
1 1 1 1 1 1 1
=
.  − + − + − + ... + −
x x + 3  1540
3  5 8 8 11 11 14
1  101
1 1
=
. −
3  5 x + 3  1540
1
1
101

−
=
.3
5 x + 3 1540
1
1
303
−
=
5 x + 3 1540
1
1 303
5
= −
=
x + 3 5 1540 1540

14


1
1
=
nên x + 3 = 308 => x = 308 - 3 = 305
x + 3 308

2.3.4. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tính tổng: với n là số tự nhiên khác 0.
a. 1 + 3 + 5 + ....+ (2n - 1)
b. 2 + 4 + 6 + ....+ 2n

Bài 2: Tính tổng: với n là số tự nhiên khác 0.
a. 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ....+ n(n+1)(n+2)
b. 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + 3.4.5.6 + ....+ n(n+1)(n+2)(n +3)
Bài 3: Tính tổng:
6
6
6
6
+
+
+ ... +
;
15.18 18.21 21.24
87.90
32
32
32
32
b.
+
+
+ ... +
8.11 11 .14 14.17
197.200
1
1
1
1
c.
+

+
+ ...+
25.27 27.29 29.31
73.75
15
15
15
15
d.
+
+
+ ... +
90.94 94.98 98.102
146.150
a.

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức
1.2004 + 2.2003 + 3.2002 + .... + 2004.1
1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + 2004.2005
1 1 1
1
+ + + ... +
2 3 4
100
b. B = 99 98 97
1
+
+
+ ... +
1

2
3
99
1 1
1
1 + + + ... +
3 5
99
c. P = 1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.99 3.97 5.95
99.1

a. A =

Bài 5: Chứng minh rằng: Với mọi n ∈ N ta ln có:
1 1
1
1
n +1
+
+
+ ... +
=
6 66 176

(5n + 1)(5n + 6) 5n + 6
Bài 6: Tìm x ∈ N biết:
1

1

1

1

49

a. x + 2x + 3x + ....+ 2011x = 2012.2011 b. 1.3 + 3.5 + 5.7 + ... + (2 x − 1)(2 x + 1) = 99

15


c.

1
1
1
2
2
=
+
+
+ ... +
21 28 36
x( x + 1) 9

1006

d. 1 − 3 + 32 − 33 + .... + (−3) x = 9

+1

4

Bài 7: Chứng minh rằng:
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
<
1.2.3 2.3.4 3.4.5
18.19.20
4

a.

1 1 1
1
1
+ 2 + 3 + ... + 2005 <
3 3 3

3
2

c.

b.

1
1
1
1
+
+
+ ... +
<1
1.2 2.3 3.4
99.100

d.

Bài 8: Chứng minh rằng:
1
1
1
1
a. 2 + 2 + 2 + ... + 2 < 1
2
3
4
n

b.

c.

1
42

+

1
62

+

1
82

+ ... +

1
( 2n ) 2

36
36
36
36
+
+
+ ... +
<3

1 .3 .5 3 .5 .7 5 .7 .9
25.27.29

(n∈ N; n ≥ 2)

<4

(n∈ N; n ≥ 2)

2! 2! 2!
2!
+ + + ... + < 1
3! 4! 5!
n!

(n∈ N; n ≥ 3)

2.4. Kết quả đạt được:
Năm học vừa qua, sau một thời gian lồng ghép dạy các phương pháp
tính tổng dãy số có quy luật trong q trình giảng dạy tơi thấy kết quả học tập
của học sinh được nâng lên rõ rệt qua các giờ học, qua mỗi kỳ thi. Đa số các em
có thể nắm vững cách giải và giải được những dạng toán cơ bản nhất liên quan
đến tổng dãy số có quy luật. Cụ thể tơi đã cho kiểm tra chất lượng khối 6 với
mức độ đề tương đương, kết quả đạt được như sau:
Lớp

Tổng số
học sinh

Giỏi

SL

6A

35

4

6B

34

6

6C

34

5

%
11.
5
17.
6
14.
7

Khá
SL

%
31.
11
4
35.
12
3
29.
10
4

Trung
bình
SL %
25.
9
7
20.
7
6
26.
9
5

Yếu
SL
6
5
6

%
17.
1
14.
7
17.
6

Kém
SL
5
4
4

%
14.
3
11.
8
11.
8

3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận :

16


Qua so sánh kết quả giảng dạy trước và sau khi áp dụng sáng kiến kinh

nghiệm tôi nhận thấy việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đã góp phần
nâng cao rõ rệt hiệu quả dạy của giáo viên, và học của học sinh. Các em học sinh
khơng cịn lúng túng khi gặp dạng tốn tính tổng dãy số. Bản thân nhiều em đã
tự suy luận để khai thác, phát triển bài tốn.
Tuy nhiên đối với bản thân tơi cũng như với mỗi giáo viên nói chung cần
phải hiểu rõ khả năng tiếp thu bài của các đối tượng học sinh để từ đó đưa ra
những bài tập và phương pháp giải toán cho phù hợp hơn nữa.
Các kinh nghiệm về dạng tốn tính tổng dãy số mà tơi viết trên đây sẽ cịn
rất nhiều hạn chế và thiếu sót. Do đó mong các bạn đồng nghiệp góp ý chân
thành để tơi có thể hồn thiện tốt hơn đề tài này, góp phần tích cực cho việc
giảng dạy nhằm thực hiện tốt chương trình mới THCS.
3.2. Kiến nghị và đề xuất:
- Đối với đồng nghiệp: Khi dạy học sinh về dạng tốn dãy số có quy luật
ngồi việc rèn cho học sinh kỹ năng sử dụng các phương pháp cơ bản ở sách
giáo khoa mà cần phải nghiên cứu hệ thống các phương pháp và vận dụng phù
hợp với các đối tượng học sinh.
- Đối với nhà trường: Cần tạo điều kiện thuận lợi về thời gian và kinh phí
để thực hiện các chuyên đề trong tổ để từ đó giáo viên học hỏi kinh nghiệm lẫn
nhau và thống nhất về phương pháp giảng dạy. Đặc biệt các chuyên đề có vai trị
quan trọng trong suốt q trình học tốn của học sinh.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG
Hiệu trưởng

Lê Ngọc Thành

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 3 năm 2021
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép của người khác.
Người thực hiện

Nguyễn Thị Quế

17


TÀI LIỆU THAM KHẢO
TT
1
2
3
4
5
6
7

Tên tài liệu
Sách giáo khoa Toán
lớp 6, 7
Sách giáo viên Toán
lớp 6, 7
Sách bài tập Toán
lớp 6, 7
Nâng cao và phát triển toán
lớp 6, 7.
Bài tập nâng cao và một số
chuyên đề toán 6
Toán nâng cao và các
chuyên đề đại số 7.
Bài tập nâng cao và một số

chun đề tốn 7

Tác giả
Phan Đức Chính
Tơn Thân
Phan Đức Chính
Tơn Thân
Tôn Thân
Phạm Gia Đức

Nhà xuất bản
Nhà xuất bản giáo dục
Nhà xuất bản giáo dục
Nhà xuất bản giáo dục

Vũ Hữu Bình

Nhà xuất bản giáo dục

Bùi Văn Tuyên

Nhà xuất bản giáo dục

Vũ Dương Thụy
Nguyễn Ngọc Đạm

Nhà xuất bản giáo dục

Bùi Văn Tuyên

Nhà xuất bản giáo dục

18