BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Giảng viên ThS. Lê Trƣờng Giang

TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING
KHOA CƠ BẢN
BỘ MƠN TỐN – THỐNG KÊ

BÀI GIẢNG
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN

Giảng viên

ThS. Lê Trƣờng Giang



LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
& THỐNG KÊ TOÁN

Chƣơng 3
MẪU NGẪU NHIÊN VÀ BÀI TOÁN ƢỚC LƢỢNG

Bài 3
ƢỚC LƢỢNG KHOẢNG CHO TỈ LỆ TỔNG THỂ


Bài 3. Ước lượng khoảng cho tỉ lệ tổng thể
3.1.1. Xây dựng khoảng
ƣớc lƣợng
3.1. Ƣớc lƣợng
khoảng cho tỷ lệ
tổng thể

3.1.2. Ví dụ minh họa

3.1.3. Bài tập nhóm
3.2.1. Tối đa

3.2.Khoảng ƣớc lƣợng một phía
3.2.2.Tối thiểu


Tài liệu tham khảo
1.

Bài giảng Lý thuyết Xác suất và Thống kê tốn,
Trƣờng Đại học Tài Chính - Marketing.

2. Tập bài giảng Xác suất và Thống kê Toán – Lê Trường Giang.
3. Lê Sĩ Đồng (2013)- Giáo trình Xác suất - Thống kê –NXB GDVN.

4. Lê Khánh Luận, Nguyễn Thanh Sơn (2011)-Lý thuyết xác suất và
thống kê-NXBĐHQG TpHCM.
5. Trần Lộc Hùng (2005)- Giáo trình Xác suất Thống kê –NXB GDVN.
6. Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, Ngô Văn Thứ (2012) – Giáo trình
Lý thuyết xác suất và Thống kê – NXB Đại học Kinh Tế Quốc Dân, HN.


Bài 3.
Ước lượng khoảng tham số tỉ lệ tổng thể
Giả sử trong tổng thể ta quan tâm những phần tử có
tính chất A với tỷ lệ là p chưa biết. Từ tổng thể, ta
chọn ra một mẫu gồm n phần tử, kiểm tra mẫu này ta
có tỷ lệ phần tử có tính chất A là f. Với một mẫu
chọn được, cùng với độ tin cậy1   cho trước , nhiệm

vụ của bài toán ƯLTL là cần xác định khoảng  p1 , p2 
sao cho

P  p1  p  p2   1  


3.1. Ước lượng khoảng của tỷ lệ tổng thể
Cho  X 1 , X 2 ,..., X n  là mẫu ngẫu nhiên của tổng
thể X có tỉ lệ p,

F là tỉ lệ mẫu ngẫu nhiên,
f là tỉ lệ mẫu cụ thể,

n là kích thước mẫu,

1   là độ tin cậy của ước lượng.
Ta xây dựng khoảng ước lượng (đối xứng) cho p:


XÂY DỰNG KHOẢNG ƢỚC LƢỢNG

Theo đlghtt, ta có G 

Fp
p 1  p 

d

Z

N  0,1

n

Với 1  
 z1
ta cần xác định  2
  z1
 2

Khi đó


P   z1  G  z1

2
2


 
 
 P  G  z1   ;
2
 
2 
thỏa mãn 
P  G  z   1   .
1 
 
2

2 
 


  P  G  z1
2





  P  G   z1
2




  1  



XÂY DỰNG KHOẢNG ƢỚC LƢỢNG

Suy ra



P   z1 

2





Fp
p 1  p 
n

 z1
2



  1





 *

Khi n đủ lớn, theo đlghtt ta có thể thay
X 

p 1  p   s X  F 1  F 

Khi đó, từ (*) ta suy ra

F 1  F 
F 1  F  

  1
P  F  z1
 p  F  z1
n
n


2
2




Vậy , trên mẫu cụ thể ta thay F bởi f, ta đƣợc khoảng ƣớc
lƣợng của p với độ tin cậy 1  

 f  , f   ;

  z .
2

1  

 /2

 /2

 z1
2

0

z1
2

f 1  f 
n
 n  30

 nf  5
n 1  f  5

 


Ví dụ 1

Trƣớc ngày bầu cử tổng thống, một cuộc thăm
dò dƣ luận đã tiến hành. Ngƣời ta chọn ngẫu
nhiên 100 ngƣời để hỏi ý kiến thì có 60 ngƣời
nói rằng họ sẽ bỏ phiếu cho ông A. Hãy ƣớc
lƣợng (khoảng đối xứng) tỉ lệ cử tri bỏ phiếu
cho ông A với độ tin cậy 95%.


Hướng dẫn tra bảng

Bảng giá trị tích phân Laplace (hàm phân phối xs Gauss)
x

 t2 
0  x  
exp    dt

2 0
 2
1

X
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0

2,1

1.9

.00
0.0000
0389
0793
1179
1554
1915
2257
2580
2881
3159
3413
3643
3849
4032
1492
4332
4452
4554
4641
4713
4772
4821

.01
0.0040

0438
0832
1217
1591
1950
2291
2611
2910
3186
3438
3665
3869
4049
4207
4345
4463
4564
4649
4719
4778
4826




.02
0.0080
0478
0871
1255

1628
1985
2324
2642
2939
3212
3461
3686
3888
4066
4222
4357
4474
4573
4656
4726
4783
4830







2

  0.95;  0  z  
.03
0.0120

0517
0910
1293
1664
2019
2357
2673
2967
3238
3485
3708
3907
4082
4236
4370
4484
4582
4664
4732
4788
4834

2

.04
0.0160
0557
0948
1331
1700

2054
2389
2703
2995
3264
3508
3729
3925
4099
4251
4382
4495
4591
4671
4738
4793
4838

.05
0.0199
0396
0987
1368
1736
2088
2422
2734
3023
3289
3531

3749
3944
4115
4265
4394
4505
4599
4678
4744
4793
4838

 0,475

z  z0,475  1,96
2

.06
.06
0.0239
0636
1026
1406
1772
2123
2454
2764
3051
3315
3554

3770
3962
4131
4279
4406
4515
4608
4686
4750
4803
4846

4750

.07
0.0279
0675
1064
1443
1808
2157
2486
2794
3078
3340
3577
3790
3980
4147
4292

4418
4525
4616
4693
4756
4808
4850

.08
0.0319
0714
1103
1480
1844
2190
2517
2823
3106
3365
3599
3810
3997
4162
4306
4429
4535
4625
4699
4761
4812

4854

.09
0.0359
0753
1141
1517
1879
2224
2549
2852
3133
3389
3621
3830
4015
4177
4319
4441
4545
4633
4706
4767
4817
4857


Ví dụ 1

Hƣớng dẫn

+ Ta nhận thấy

 n  100  30

 nf  60  5
 n 1  f  40  5

 

+ Sai số (độ chính xác) của ước lượng
  z
2

f 1  f 
n

 1,96.

+ Khoảng ước lượng tỉ lệ

0,6. 1  0,6 
100

 0,096

 f   ; f      0, 504; 0, 696  .


Ví dụ 2

Trƣớc ngày bầu cử tổng thống, một cuộc thăm dò dƣ
luận đã tiến hành. Ngƣời ta chọn ngẫu nhiên 100 ngƣời

để hỏi ý kiến thì có 60 ngƣời nói rằng họ sẽ bỏ phiếu
cho ơng A. Để ƣớc lƣợng tỷ lệ ngƣời dân bỏ phiếu cho
ông A với độ tin cậy 90% và sai số không vƣợt quá 2%
thì cần phải điều tra thêm ít nhất bao nhiêu ngƣời nữa.


Ví dụ 2

Hướng dẫn

f 1  f 

Độ chính xác của ước lượng được xác định   z

n

2

Theo giả thiết ta có

f 1  f 

  0, 02  z

n

2

 n  1, 645

2

0, 6.0, 4

 0, 02 

2

 0, 02  n  z

2
0,45

f 1  f 
0, 02 2

 n  1623, 615

Vậy cần phải điều tra thêm ít nhất là 1524 người.


Các bƣớc giải bài toán ƣớc lƣợng tỷ lệ
Bƣớc 1

Xác định các tham số
(n, f, 1   )

Tính độ chính xác (mức sai số)

Bƣớc 2

  z
2

f 1  f 
n

 n  z

2
2

Kết luận
Bƣớc 3

p  f  ; f   

f 1  f 

2


3.2. Khoảng ước lượng một phía
Khoảng tin cậy tối đa của p với độ tin cậy 1  

p f z

1

2

.

f 1  f 
n

Khoảng tin cậy tối thiểu của p với độ tin cậy 1  

f z

1

2

.

f 1  f 
n

p


Ví dụ 3

Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm do một máy
sản xuất thấy có 20 phế phẩm. Với mức ý nghĩa
5%,

a) Hãy ƣớc lƣợng tỷ lệ phế phẩm tối đa của máy
đó.
b) Hãy ƣớc lƣợng tỷ lệ phế phẩm tối thiểu của
nhà máy đó.


Hướng dẫn tra bảng

Bảng giá trị tích phân Laplace (hàm phân phối xs Gauss)
 t 2    0,05    z
0
0,5    0,5    0,45  z0,45  1,645
0  x  
exp

dt


  2
2 0
1

X
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6

0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2,1

1.6

x

.00
0.0000
0389
0793
1179
1554
1915
2257
2580
2881

3159
3413
3643
3849
4032
1492
4332
4452
4554
4641
4713
4772
4821

.01
0.0040
0438
0832
1217
1591
1950
2291
2611
2910
3186
3438
3665
3869
4049
4207

4345
4463
4564
4649
4719
4778
4826

.02
0.0080
0478
0871
1255
1628
1985
2324
2642
2939
3212
3461
3686
3888
4066
4222
4357
4474
4573
4656
4726
4783

4830

.03
0.0120
0517
0910
1293
1664
2019
2357
2673
2967
3238
3485
3708
3907
4082
4236
4370
4484
4582
4664
4732
4788
4834

.04
0.0160
0557
0948

1331
1700
2054
2389
2703
2995
3264
3508
3729
3925
4099
4251
4382
4495
4591
4671
4738
4793
4838

.05 .05
0.0199
0396
0987
1368
1736
2088
2422
2734
3023

3289
3531
3749
3944
4115
4265
4394
4505
4599
4678
4744
4793
4838

4505

.06
0.0239
0636
1026
1406
1772
2123
2454
2764
3051
3315
3554
3770
3962

4131
4279
4406
4515
4608
4686
4750
4803
4846

.07
0.0279
0675
1064
1443
1808
2157
2486
2794
3078
3340
3577
3790
3980
4147
4292
4418
4525
4616
4693

4756
4808
4850

.08
0.0319
0714
1103
1480
1844
2190
2517
2823
3106
3365
3599
3810
3997
4162
4306
4429
4535
4625
4699
4761
4812
4854

.09
0.0359

0753
1141
1517
1879
2224
2549
2852
3133
3389
3621
3830
4015
4177
4319
4441
4545
4633
4706
4767
4817
4857


Ví dụ 3

Ta có

20
f
 0,05

400

 z



f 1  f 

1
2

n

0,05.0,95
 1,645.
 0,0179
400

a) Khoảng tin cậy tối đa

p  f    0,0679

b) Khoảng tin cậy tối thiểu

p  f    0,0321


Các bƣớc giải bài toán ƣớc lƣợng tỷ lệ

Bước 1: Xác định

Bước 2: Tính độ chính xác

 Kích thước mẫu: n I. Đối xứng   z
2
 Tỉ lệ mẫu: f
 Độ tin cậy:1     II. Một phía   z
1


2

Bước 3: Kết luận
i. Khoảng tin cậy đối xứng p   f   ; f   
ii. Khoảng tin cậy tối đa
p  f 
iii. Khoảng tin cậy tối thiểu p  f  

f 1  f



n

f 1  f 
n


Bài 1. Một vùng có 3000 hộ gia đình. Để điều tra nhu cầu
tiêu dùng một loại hàng hóa tại vùng đó ngƣời ta nghiên

cứu ngẫu nhiên 100 gia đình và thấy có 74 gia đình có nhu
cầu về loại hàng hóa trên. Với độ tin cậy 95% hãy ƣớc
lƣợng số gia đình trong vùng có nhu cầu về loại hàng hóa
đó.
Bài 2. Để ƣớc lƣợng tỷ lệ ngƣời dân có mức thu nhập trên
10 triệu đồng ở TP. HCM với độ tin cậy 95%, sai số không
vƣợt quá 2% thì cần phải điều tra với số lƣợng bao nhiêu
ngƣời, biết rằng tỉ lệ thực nghiệm là 0,8.


Bài 1

Hƣớng dẫn Bài 1

M
+ Gọi M …, suy ra p 
3000

+ Ta nhận

+ Độ chính xác của ước lượng
  z
2

f 1  f 
n

 1,96.

+ Khoảng ước lượng tỉ lệ

+ Kết luận (1962; 2478)

 n  100  30

thấy nf  74  5
 n 1  f  26  5

 

0,74. 1  0,74 
100

 0, 654; 0,826 .

 0,086


Bài 2

Hướng dẫn Bài 2

Độ chính xác của ước lượng được xác định   z1
2

Theo giả thiết ta có
  0, 02  z
2

 n  1, 96 

2

f 1  f 
n

0,8.0, 2

 0, 02 

2

2

f 1  f 

2

0, 02 2

 0, 02  n  z

 n  1536, 64

Vậy cần phải điều tra ít nhất là 1537 người

f 1  f 
n


Bài 3. Từ một lô hàng gồm 5000 sản phẩm, ngƣời ta chọn

ngẫu nhiên ra 500 sản phẩm để kiểm tra thì thấy có 450
sản phẩm loại A.
a) Hãy ƣớc lƣợng số sản phẩm loại A có trong lơ hàng với
độ tin cậy 95%?
b) Nếu muốn ƣớc lƣợng số sản phẩm loại A của lơ hàng đạt
độ chính xác nhƣ câu a) và độ tin cậy 99% thì cần kiểm tra
thêm bao nhiêu sản phẩm nữa?
c) Nếu muốn ƣớc lƣợng tỷ lệ sản phẩm loại A của lô hàng
đạt độ chính xác ε = 2, 5% thì độ tin cậy là bao nhiêu %?
Đáp số
a) (4369; 4632) sản phẩm.
b) cần phải điều tra 364 sản phẩm nữa.
c) độ tin cậy là 93.72%.