BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Giảng viênThS. Lê Trường Giang

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING
KHOA CƠ BẢN
BỘ MƠN TỐN – THỐNG KÊ

BÀI GIẢNG
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN

Giảng viên

ThS. Lê Trường Giang


PHẦN I. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
(Probability theory)
Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất
Chương 2: Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất
Chương 3: Vecto ngẫu nhiên

PHẦN II. LÝ THUYẾT THỐNG KÊ
(Statistical theory)
Chương 4: Lý thuyết mẫu và Ước lượng tham số
Chương 5: Kiểm định Giả thuyết Thống kê


Tài liệu tham khảo
1. Trần Lộc Hùng (2015)- Hướng dẫn ôn tập xác suất
thống kê - Trường ĐH Tài Chính Marketing.
2. Lê Sĩ Đồng (2013)- Giáo trình Xác suất - Thống kê –
NXB Giáo dục Việt Nam.
3. Lê Khánh Luận, Nguyễn Thanh Sơn (2011)-Lý thuyết
xác suất và thống kê-NXBĐHQG TpHCM.

4. Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, Ngô Văn Thứ
(2012) –Giáo trình Lý thuyết xác suất và Thống kê –
NXB Đại học Kinh Tế Quốc Dân.


ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH MARKETING
KHOA CƠ BẢN

Chương 0
Bổ túc kiến thức dùng trong Xác suất

Cán bộ giảng dạy:
ThS Lê Trường Giang


Bài 1. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

1. Tập hợp
1.1 Khái niệm
1.2. Quan hệ giữa các tập hợp

2. Các phép toán trên tập hợp


Bài 1. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
1. Tập hợp
1.1 Khái niệm
Tập hợp trong Tốn học khơng được định nghĩa, ta hiểu tập hợp
bao gồm một hay nhiều cá thể phân biệt, mỗi cá thể của tập hợp
được gọi là phần tử của tập hợp.

Tập hợp thường được kí hiệu bởi các chữ in hoa A, B,…
,

Phần tử a thuộc tập hợp A được kí hiệu là a  A
Một tập hợp khơng có phần tử nào gọi là tập hợp rỗng kí hiệu là



Để biểu thị tập hợp ta có thể liệt kê tất cả các phần tử, biểu đồ, nêu
tính chất


Bài 1. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
1. Tập hợp
1.1 Khái niệm
1.2. Quan hệ giữa các tập hợp
a. Tập hợp con (subset)
B  A khi và chỉ khi x  B suy ra x  A .

b. Hai tập hợp bằng nhau (equal)
A  B khi và chỉ khi A  B và A  B.

c. Hai tập hợp rời nhau (disjoint)

AB  


Bài 1. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
2. Các phép toán trên tập hợp
a. Phép toán hợp (union)

A  B   x : x  A hoặc x  B .
b. Phép tốn giao (intersection)

A  B   x : x  A vaø x  B .
c. Phép toán hiệu (set difference)

A \ B   x : x  A vaø x  B .
d. Lấy phần bù (complement)

A   x : x   vaø x  A .


Bài 1. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
2. Các phép tốn trên tập hợp
e. Tính chất của các phép tốn
i. Tính chất giao hốn
A  B  B  A; A  B  B  A.

ii. Tính chất kết hợp

 A  B   C  A   B  C ;  A  B   C  A   B  C  .
iii. Tính chất phân phối
A   B  C    A  B    A  C ; A   B  C    A  B    A  C  .

iv. Luật Đề - Morgan
A  B  A  B; A  B  A  B .


Bài 2. Giải tích tổ hợp

1. Hai quy tắc giải toán tổ hợp
2. hoán vị
3. Chỉnh hợp
4. Tổ hợp
5. Nhị thức Newton


Bài 2. Giải tích tổ hợp
1. Hai quy tắc giải tốn tổ hợp
a. Quy tắc nhân
 Một công việc phải thực hiện qua k giai đoạn.
- Giai đoạn 1 có n1 cách thực hiện
- Giai đoạn 2 có n2 cách thực hiện
…
- Giai đoạn k có nk cách thực hiện
Khi đó công việc có n1.n2.….nk cách thực hiện.
Ví dụ 1. Có 3 sinh viên nhóm A và 8 sinh viên nhóm B. Chọn ngẫu
nhiên 3 sinh viên để kiểm tra bài cũ, trong đó yêu cầu phải có 2
sinh viên thuộc nhóm A và 1 sinh viên thuộc nhóm B. Hỏi có bao
nhiêu cách thực hiện.
ĐS: 3.8 = 24 cách chọn


Bài 2. Giải tích tổ hợp
1. Hai quy tắc giải tốn tổ hợp
b. Quy tắc cộng
 Một công việc có thể thực hiện theo k phương án.
- Phương án 1 có n1 cách thực hiện
- Phương án 2 có n2 cách thực hiện
…

- Phương án k có nk cách thực hiện
Khi đó công việc có n1+n2+…+nk cách thực hiện.
Ví dụ 2. Có 2 sinh viên nhóm A và 3 sinh viên nhóm B. Chọn
ngẫu nhiên 2 sinh viên để kiểm tra bài cũ. Tính số cách chọn
được ít nhất 1 sinh viên thuộc nhóm B.
ĐS: 2.3 + 3 = 9


Bài 2. Giải tích tổ hợp
2. hốn vị
 Cho tập hợp A có n phần tử, một hoán vị n phần tử của
A là một dãy các phần tử của A sắp xếp theo một thứ tự
nào đó.
 Số hoán vị n phần tử: Pn = n!

Số cách sắp xếp n phần tử khác nhau vào n vị trí
trên đường trịn khơng đánh số là Pn 1   n  1!
Ví dụ 3. Có bao nhiêu cách xếp 5 quyển sách lên một giá sách?


Bài 2. Giải tích tổ hợp
3. Chỉnh hợp
a. Chỉnh hợp (không lặp)

Một chỉnh hợp chập k của n phần tử  k  n là một nhóm (bộ)
có thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho.
k
n

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử kí hiệu là A .

n!
A  n.(n 1)....(n k 1) 
 n  k !
k
n

n
A
Lưu ý: n  Pn .


Bài 2. Giải tích tổ hợp
3. Chỉnh hợp
a. Chỉnh hợp (khơng lặp)

Ví dụ 4A. Trong lớp học có 45 sinh viên. Có bao nhiêu
cách chọn ngẫu nhiên 3 bạn sinh viên để bầu vào ban cán
sự lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 bí thư.
ĐS: 85140.
Ví dụ 4B: Có bao nhiêu cách xếp ngẫu nhiên 3 bạn sinh
viên nữ vào 5 phòng trọ, sao cho mỗi phòng có tối đa
một bạn?
ĐS: 60.


Bài 2. Giải tích tổ hợp
3. Chỉnh hợp
b. Chỉnh hợp lặp
Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm

có thứ tự gồm k phần tử khơng nhất thiết khác nhau chọn từ n phần
k
tử đã cho. Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử kí hiệu là Bn .

Bnk  n k
Lưu ý:số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử có thể được tính bằng
cách áp dụng quy tắc nhân, trong đó có k giai đoạn, mỗi giai đoạn có
n cách.


Bài 2. Giải tích tổ hợp
3. Chỉnh hợp
b. Chỉnh hợp lặp
Ví dụ 5: Có bao nhiêu cách xếp ngẫu nhiên 3 bạn sinh

viên nữ vào 5 phòng trọ?
ĐS: 125.


Bài 2. Giải tích tổ hợp
4. Tổ hợp

Một tổ hợp chập k của n phần tử  k  n  là một nhóm (bộ)
khơng phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau được chọn
k
từ n phần tử đã cho. Số tổ hợp chập k của n phần tử kí hiệu là Cn .

n!
C 
k ! n  k  !

k
n

Ví dụ 6. Lớp học có 30 sinh viên nam, 25 sinh viên nữ.
Hỏi có bao nhiêu cách thành lập nhóm 5 sinh viên bao gồm
3 nam, 2 nữ.
ĐS: 1218000


Bài 2. Giải tích tổ hợp
5. Nhị thức Newton

a  b

n

n
k
n

k

  C .a .b
k 0

nk


Bài tập chương 1
Bài 1.1. Một ngày học 3 môn học trong số 7 mơn học.

Hỏi có bao nhiêu cách xếp thời khố biểu trong một
ngày?
Bài 1.2. Một lơ hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 8 sản
phẩm tốt và 2 phế phẩm. Có bao nhiêu cách:
a. Lấy ngẫu nhiên ra 4 sản phẩm.
b. Lấy ra ngẫu nhiên 4 sản phẩm, trong đó có 3 sản
phẩm tốt.
c. Lấy ra ngẫu nhiên 4 sản phẩm, trong đó có ít nhất 1
phế phẩm


Bài tập chương 1
Bài 1.3. Một hộp có 5 bi trắng, 3 bi xanh. Lấy từ hộp ra 2
bi. Có 3 cách lấy:
Lấy ngẫu nhiên 2 bi.
Có bao nhiêu cách lấy được 2 bi?
Có bao nhiêu cách lấy được 2 bi trắng?
Có bao nhiêu cách lấy được 1 bi trắng, 1 bi xanh?
Lấy lần lượt 2 bi. Hỏi như câu 1.
Lấy có hồn lại 2 bi (chọn lặp). Hỏi như câu 1.
Bài 1.4. Có mấy cách phân phối 15 sản phẩm cho 3 người
sao cho người thứ nhất có 2 sản phẩm, người thứ hai có 3
sản phẩm và người thứ ba có 10 sản phẩm.


Bài tập chương 1
Bài 1.5. Một lớp học có 30 sinh viên trong đó có 20 nam.
Có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán sự gồm 4 sinh viên
nếu:
a. Có đúng 2 nam.

b. Khơng có nam.
c. Nhiều nhất 2 Nam.
d. Có ít nhất 1 Nam.


XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!