BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1 Th.S NGUYỄN HÒANG ANH KHOA

BỘ CƠNG THƯƠNG
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CƠNG NGHIỆP HUẾ


BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP A1

Th.S. NGUYỄN HOÀNG ANH KHOA

Huế, tháng 09 năm 2014


Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa

CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
1.1 Giới hạn của dãy số
1.1.1 Ánh xạ, dãy số
Cho X, Y là hai tập khác rỗng một quy tắc f đặt tương ứng mỗi phần tử x  X với
một và chỉ một phần tử y  Y gọi là một ánh xạ.
Ký hiệu
f : X  Y, x  y  f (x)
Hay
f :X  Y
x  y  f (x)

Ánh xạ u : N*  R , n  u(n) gọi là một dãy số
Để đơn giản ta ký hiệu un = u(n).
Dãy số có thể viết theo thứ tự tăng dần của chỉ số n chẳng hạn: u1; u2; u3;...; un; ...
Ký hiệu dãy số u là (un)n N * hoặc gọn hơn là (un)n hay (un).
1.1.2 Giới hạn của dãy số
Định nghĩa
Dãy số (un) gọi là dần về a (hay có giới hạn a) nếu   > 0,  n0  N sao cho

n>n0 thì |un – a| < . Kí hiệu: lim u n  a , limun = a hay un  a.
n 

Một số giới hạn cần nhớ
 limC = C (C là hằng số)
1
 lim  = 0 (với  > 0)
n
 limqn = 0 (với |q| < 1)
Định lí 1 Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất
Định lí 2 Mọi dãy hội tụ đều bị chặn
Định lí 3
Nếu (an)n là dãy tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ.
Nếu (an)n là dãy giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ.
Định lí 4 Cho (an)n và (bn)n là hai dãy hội tụ. Khi đó, ta có:
i) lim(an  bn) = liman  limbn
ii) lim(anbn) = liman.limbn
a
lima n
iii) Nếu limbn  0 thì lim n 
b n lim b n
iv) Nếu an ≤ bn với mọi n > n0 thì liman ≤ limbn
Hệ quả: Nếu an ≤ bn  cn và liman = limcn = L thì limbn = L
1


Th.S. Nguyễn Hồng Anh Khoa

1.1.3. Giới hạn vơ hạn:
Cho dãy số (an)n .

– Nếu với mọi M > 0 lớn tuỳ ý, tồn tại n0  N sao cho an > M  n > n0 thì ta nói
dãy (an)n có giới hạn cộng vơ cùng. Ký hiệu: liman = +  hay an + .
– Nếu với mọi M > 0 lớn tuỳ ý, tồn tại n0  N sao cho an < – M  n > n0 thì ta nói
dãy (an)n có giới hạn trừ vơ cùng. Ký hiệu: liman = –  hay an – .
1
Chú ý: limun =  thì lim  0
un
1.2 Giới hạn của hàm số
1.2.1 Hàm số
a. Định nghĩa
Cho X, Y là tập con khác rỗng của R. Ánh xạ f : X  Y, x  y = f(x) được gọi
là hàm số.
x được gọi là biến độc lập
y = f(x) được gọi là giá trị của hàm f tại x
X được gọi là tập xác định của hàm f.
Quy ước
Người ta thường viết gọn hàm số bởi đẳng thức y = f(x).
Tập xác định D là tập các giá trị x sao cho f(x) có nghĩa
Tập giá trị T = f(D) = {f(x) | x  D}
b. Hàm số ngược
Cho hàm số f : X  Y, x  y = f(x)
Nếu mỗi y thuộc Y đều tồn tại duy nhất x thuộc x sao cho f(x) = y. Khi đó hám số
g:YX
y  x = g(y)
gọi là hàm số ngược của hàm f, kí hiệu g = f –1
Chú ý: Nếu f có hàm ngược thì:
 f(x) = y  f – 1(y) = x
 f – 1(f(x)) = x và f(f – 1(x))= x
Định lí:
Nếu f : D  T = f(D) đơn điệu trên D thì f có ánh xạ ngược f – 1 : T  D

c. Các hàm số sơ cấp cơ bản
1) Hàm lũy thừa y = x (  R*)
2) Hàm mũ y = ax (a > 0, a  1)
3) Hàm logarit y = logax (a > 0, a  1)
4) Các hàm lượng giác
2


Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa

5) Các hàm lượng giác ngược
 

a) Hàm số sin :  ;   [–1; 1] tăng nên có hàm số ngược.
 2 2
Ký hiệu là y = arcsin x.
Vậy hàm
  
arcsin: [  1;1]    ; 
 2 2
x  y  arcsinx

trong đó siny = x, gọi là hàm ắc-sin.
b) Hàm số y = cos x
Hàm ắc-cô-sin là hàm
arccos: [  1;1]   0; 
x

 y  arccosx

trong đó cosy = x
c) Hàm số y = tanx
Hàm ắc-tang là hàm
  
arctan: R    ; 
 2 2
x  y  arctan x

trong đó tany = x
d) Hàm số y = cotx
Hàm ắc-cô-tang là hàm
arccot: R   0; 
x  y  arccotx

trong đó coty = x
Ví dụ:

3

arcsin  

3
 2 

arctan1 



4
 1  2

arccos    
 2 3

3


Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa

1.2.2. Giới hạn của hàm số
a. Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0 (có thể trừ điểm x0). Số L
được gọi là giới hạn của hàm số y = f(x) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn)n ,
xn  x0 sao cho khi limxn = x0 thì limf(xn) = L. Khi đó, ta viết lim f (x)  L
xx0

b. Một số giới hạn cần nhớ
lim C  C

lim x  x 0

xx0

lim arctan x  

x 

xx0


2

x

sinx
e 1
ln(1  x)
1 ;
lim
1;
lim
1
x 0
x 0
x 0
x
x
x
c. Tính chất
Định lí 1: Giới hạn của hàm số y = f(x) khi x  x0 (nếu có) là duy nhất.
Định lí 2: Nếu f(x)  g(x) x  U0 và lim f (x)  L , lim g(x)  L' thì L  L'.
lim

xx0

xx0

Định lí 3: (ngun lý kẹp)
Nếu h(x)  f(x)  g(x) x  U0 và lim h(x)  lim g(x)  L thì lim f (x)  L
xx0

x x 0

xx0

Định lí 4: Giả sử lim f (x)  a ; lim g(x)  b . Khi đó:
xx0

xx0

i) lim  f (x)  g(x)  a  b
xx0

ii) lim  f (x).g(x)  a.b
xx0

f (x) a

x  x 0 g(x)
b

iii) Nếu b  0 thì lim

1.2.3 vơ cùng bé
Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0. Hàm f gọi là một vô cùng
bé (VCB) khi x  x0 nếu lim f (x)  0 .
xx0

Giả sử f(x) và g(x) là các VCB khi x  x0, khi đó:
f (x)

– Nếu lim
 0 thì ta nói f(x) là VCB bậc cao hơn so với g(x) hay g(x) là
x  x 0 g(x)
VCB bậc thấp hơn so với f(x) khi x  x0. Kí hiệu f(x) = o(g(x))
f (x)
 1 thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB tương đương khi xx0 và
– Nếu lim
x  x 0 g(x)
ký hiệu là f(x) ~ g(x).
f (x)
 A  R* thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc khi xx0
– Nếu lim
x  x 0 g(x)
4


Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa

0
Ứng dụng VCB tương đương để khử dạng vô định   .
0
i) Nếu f(x) là VCB khi xx0 thì f(x) + o(f(x)) ~ f(x) khi xx0.
f (x)
F(x)
 lim
ii) Nếu f(x) ~ F(x) và g(x) ~ G(x) khi x  x0 thì lim
.
x  x 0 g(x)
x  x 0 G(x)

1.2.4. Vô cùng lớn
Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0. Hàm f gọi là một vô cùng
lơn (VCL) khi x  x0 nếu lim | f (x) |  .
xx0

Giả sử f(x) và g(x) là các VCL khi x  x0, khi đó:
– Nếu lim

xx0

f (x)
  thì ta nói f(x) là VCL bậc cao hơn so với g(x) hay g(x) là
g(x)

VCL bậc thấp hơn so với f(x) khi x  x0. Kí hiệu f(x) >> g(x)
– Nếu lim

xx0

f (x)
 1 ta nói f(x) và g(x) là hai VCL tương đương khi xx0 và ký
g(x)

hiệu là f(x) ~ g(x).

Ứng dụng VCL tương đương để khử dạng vô định   .

i) Nếu f(x) >> g(x) khi xx0 thì f(x) + g(x) ~ f(x) khi xx0.
f (x)

F(x)
ii) Nếu f(x) ~ F(x) và g(x) ~ G(x) khi x  x0 thì lim
.
 lim
x  x 0 g(x)
x  x 0 G(x)

Chú ý: Khi x  +∞ ta có: ax >> xn >> lnx với a > 1, n > 0.
1.3 Hàm số liên tục
1.3.1 Định nghĩa
f liên tục tại x0  lim f (x)  f (x 0 )
xx0

f liên tục trên (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x  (a;b)
f liên tục trên [a;b] nếu nó liên tục trên (a;b) và lim f (x)  f (a); lim f (x)  f (b)
x a

x b

1.3.2 Tính chất
Định lí: Mọi hàm số sơ cấp đều liên trên từng khoảng xác định của nó.
Định lí: Nếu f là hàm liên tục trên [a; b] thì f nhận mọi giá trị trung gian giữa giá
trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của nó trên [a; b].

5


Th.S. Nguyễn Hồng Anh Khoa

Bài tập chương 1

1.1. Tính giới hạn của dãy (un) biết
a) lim

(n  1) n  3

n 3  3n 2  10
1.2. Tính các giới hạn:

x2  3 x6
x 2
x2
1.3. Xét tính liên tục các của hàm số:
1  cosx
,x  0
 x 2
a) f (x)  
 1
,x  0
 2

a) A = lim

u1  0
b) 
u n 1  2  u n

sinx  t anx
x 0
x3

b) B = lim

1

 x.sin , x  0
b) f (x)  
x
0
,x  0

6


Th.S. Nguyễn Hồng Anh Khoa

CHƯƠNG 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ
2.1. Đạo hàm của hàm một biến
2.1.1. Định nghĩa đạo hàm
Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a; b) ta nói rằng hàm số f(x) khả vi tại
f (x)  f (x 0 )
điểm x0  (a, b) nếu tồn tại giới hạn lim
 A.
xx0
x  x0
Số A nói trên được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0. Ký hiệu f’(x0).
Nếu hàm số f(x) khả vi tại mọi điểm x (a, b) thì ta nói rằng f(x) khả vi trong
khoảng (a; b).
Nhận xét: Nếu đặt  x = x – x0 thì biểu thức định nghĩa trở thành
f (x 0  x)  f (x 0 )
f '(x 0 )  lim

x 0
x
2.1.2. Các quy tắc tính đạo hàm
a. (u + v) = u + v
b. (u – v) = u – v
c. (uv) = uv + vu
 u  uv  vu
d.   
với v  0.
v2
v

e. [f(u(x))]  = f (u(x)).u(x)
2.1.3. Đạo hàm của hàm số ngược
Định lí: Giả sử f: (a; b)  (c; d) là một song ánh liên tục, g = f 1 : (c; d)  (a; b) là
hàm số ngược của nó, đặt y0 = f 1 (x0). Nếu f có đạo hàm tại y0  (a; b) và f’(y0)  0
thì f 1 có đạo hàm tại x0 và

f 1 (x 0 ) 
(a)

1
.
f '(y 0 )

y = arcsinx là hàm số ngược của x=siny, –

y’(x) =



2



2

. Vì x’(y) = cosy, nên

1
1
1


cos y
1  sin 2 y
1  x2

Tương tự như vậy, ta có
(b)
(c)
(d)

y = arccosx có đạo hàm y’ =

1

1  x2
1
y = arctanx có đạo hàm y’ =

1  x2
1
y = arctanx có đạo hàm y’ =
1  x2
7


Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa

2.1.3. Đạo hàm của các hàm cơ bản

 x  '  α.x
e '  e
 a  '  a ln a
α

α 1

x

x

x

x

 ln x  '



1
x

 log x  '  x.ln1 a
a

 sin x  '  cos x
 cos x  '   sin x

 u  '  α.u '.u
 e  '  u '.e
 a  '  u '.a .ln a
α

α 1

u

u

u

u

u'
u
u'
 log a u  '  u.ln
a
 sin u  '  u '.cos u

 ln u  '



 cos u  '  u '.sin u

1
u'
 1  tan 2 x
 tan u  '  2  u '.1  tan 2 u 
2
cos x
cos u
1
u '
 cot u  '  2  u '.1  cot 2 u 
 cot x  '  2   1  cot 2 x 
sin u
sin x
u'
1
arcsin u  ' 

 arcsin x  ' 
1  u2
1  x2
u '
1
arccos u  ' 


 arccos x  ' 
1  u2
1  x2
1
u'
 arc tan x  ' 
 arc tan u  ' 
2
1 x
1  u2
1
u '
arccot
u
'

 arccot x  ' 


1  x2
1  u2
2.1.4. Đạo hàm cấp cao
Cho hàm số f(x) xác định, liên tục trong khoảng (a, b), giả sử f(x) khả vi tại mọi
điểm x  (a, b); khi đó, hàm đạo hàm f’(x) cũng có thể khả vi và đạo hàm của
f’(x) được gọi là đạo hàm cấp hai của f(x), kí hiệu f’’(x), cứ tiếp tục suy diễn như
thế chúng ta có thể định nghĩa đạo hàm cấp n.
Định nghĩa
Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a; b), f(x) được gọi là khả vi n lần trong
(a, b) nếu f là khả vi (n–1) lần trong (a; b) và đạo hàm cấp (n–1) của f cũng khả vi.

Khi đó đạo hàm cấp n của f được định nghĩa bởi hệ thức:

 tan x  ' 

f (n ) (x)  f (n 1) (x)  '

Ví dụ 1: Tính đạo hầm cấp 3 của các hàm số sau tại điểm x = 0.
a) y = arctanx
b) y = arcsinx
c) y = ln(1 + x)

d) y =

3

3x  1
8


Th.S. Nguyễn Hồng Anh Khoa

Ví dụ 3: Chứng minh
a)  e x 

(n)

(n )

b)  ln(1  x)

 ex



(1)n 1.(n  1)!
(1  x) n



(n )


 sin  x  n 
d)  cosx   cos  x  n 
2
2


2.2. Vi phân
2.2.1. Định nghĩa, ý nghĩa hình học quan hệ với đạo hàm
Từ định nghĩa, một hàm số f(x) khả vi tại x, ta có
f(x+x) – f(x) = f’(x) x + o(x)
Tích số f’(x) x được gọi là vi phân của f tại điểm x, ký hiệu là df(x).
Vậy df (x)=f’(x) x
Đặc biệt, nếu xét hàm số f(x) = x thì dx=(1).x, nghĩa là dx=x. Do vậy cơng thức
vi phân có thể viết dạng
df(x) =f’(x)dx
2.2.2. Vi phân cấp cao
Định nghĩa vi phân cấp cao
Vi phân cấp hai của hàm số f(x) tại một điểm nào đó (nếu có) là vi phân của df (vi

phân df bây giờ được gọi là vi phân cấp một), nếu ký hiệu vi phân cấp hai là d 2 f,
thì theo định nghĩa
d2f(x) = d(df(x))
Tổng quát, vi phân cấp n của y=f(x), kí hiệu là dny hay dnf(x) là vi phân của vi
phân cấp (n –1):
dny = d(d dn–1y)
2.3. Công thức TayLor
Nếu hàm số f(x) có đạo hàm đến cấp n trên [a;b] và có đạo hàm đến cấp (n+1) trên
(a;b) thì x, x0  (a;b) tồn tại c = x0 + t(x–x0) với 0 < t < 1 sao cho

c)  sinx 

(n )

f (x)  f (x 0 ) 

f (x 0 )
f (n) (x 0 )
f (n 1) (c)
(x  x 0 )  ... 
(x  x 0 ) n 
(x  x 0 ) n 1
1!
n!
(n  1)!

Đặc biệt, khi x0 = 0 ta có
f (0)
f (n ) (0) n f (n 1) (c) n 1
f (x)  f (0) 

x  ... 
x 
x
1!
n!
(n  1)!

công thức trên gọi là công thức Mac Laurin
Hơn nữa, nếu M sao cho |f(n+1)(x)| < M, x(a,b). Khi x  0, ta có
f (0)
f (n ) (0) n
f (x)  f (0) 
x  ... 
x  o(x n )
1!
n!

9


Th.S. Nguyễn Hồng Anh Khoa

Ví dụ 3: Chứng minh. Khi x  0 ta có
x2 x3
xn
  ... 
 o(x n )
a) e  1  x 
2! 3!
n!

x

n
x 2 x3 x 4
n 1 x
b) ln(1  x)  x     ...  (1) .  o(x n )
2
3
4
n

c) sinx  x 

x3 x5 x 7
x 2n 1
 
 ...  (1) n .
 o(x 2n 1 )
3! 5! 7!
(2n  1)!

2n
x2 x4 x6
n x
d) cosx  1  
  ...  (1) .
 o(x 2n )
2! 4! 6!
(2n)!

0

và )
0

f (x)
f (x)
 A  R thì lim
A
Nếu limf (x)  lim g(x)  0 ( hoặc ∞ ) và lim
x a g(x)
x a g(x)
x a
x a

2.4 Quy tắc L’Hospital (Khử dạng vô định

Chú ý: Phương pháp khử dạng vô định 00; 0; 1
lim v(x ).ln u (x )

lim u(x) v(x)  e x a
x a

10


Th.S. Nguyễn Hồng Anh Khoa

Bài tập chương 2
2.1. Tính các giới hạn sau:

arctan(x  1)

a) lim

x2 1

x 1

x 0

e 2x  e x
d) lim
x  0 ln(1  x )

ln x 2  2
c) lim
x e x  e
e) lim

x 

sin x
2

 x



g) lim cos x
x 0



f)

2
1
sin x

 2
2x
 x  2 
h) lim 

x   x 2  1 

1  2x  1
sin 3x

b) lim

lim x

1
x

x 



h) lim 1  x
x 0

2

3

cot3 x



 2 3x
 x 
k) lim 

x   x 2  1

2

2.2. Tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm x0 = 0 (nếu có).


arctan x
e 2x  cos x

,x 0

,

a) f (x )   2x

b) f (x )  
x


1

,
,x 0
2


2
1  cos x
e 2x  e x

, x

2
, x 0


x
c) f (x )   x
d) f (x )  

 1
, x 0
, x
1


 2

x 0
x 0
0
0

11


Th.S. Nguyễn Hồng Anh Khoa

CHƯƠNG 3. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN
3.1. Nguyên hàm, tích phân bất định
3.1.1. Nguyên hàm
Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b), hàm số F(x) xác định trong (a, b) gọi
là một nguyên hàm của f(x) nếu F’(x) = f(x) với mọi x  (a, b).
Ví dụ.
'

 x4 
x4
3
là nguyên hàm của x với mọi x  R vì    x 3 .
4
 4 
'

 x4


x4
3
+ 10 là nguyên hàm của x , với mọi x  R vì   10   x 3 .
4
 4

'

 x4

x4
 C là nguyên hàm của x3, C là hằng số bất kỳ vì   C   x 3
4
 4

Định lí sau đây tổng qt hóa các ví dụ trước.
Định lí 1.
Giả sử F(x) khả vi trong (a, b) và F(x) là nguyên hàm của f(x) với mọi x (a, b).
Khi đó:
i) Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là nguyên hàm của f(x) với mọi x  (a, b).
ii) Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) với mọi x  (a, b) đều có dạng F(x) + C .
3.1.2. Tích phân bất định
a. Định nghĩa
Từ Định lí trên ta thấy rằng nếu biết F(x) là một nguyên hàm của f(x), x (a, b), thì
biết vơ số ngun hàm khác của f(x) và các nguyên hàm đó có dạng F(x) + C với C
là hằng số tùy ý; họ vơ số ngun hàm của f(x) đó, x  (a, b) được gọi là tích phân

bất định của f(x), x (a, b) và ký hiệu là  f (x)dx : = F(x) + C.
Ký hiệu



gọi là dấu tích phân; x gọi là biến lấy tích phân; f(x) là hàm số lấy tích

phân; f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân.
Trở lại ví dụ trên ta có:
x4
 x dx  4  C
3

b. Tính chất
Nếu F(x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của f(x) và g(x), x (a, b) thì

  Af (x)  Bg(x)  dx = A  f (x)dx  B g(x)dx
= AF(x) + BG(x) + C.
với A, B là hai hằng số tùy ý.
12


Th.S. Nguyễn Hồng Anh Khoa

3.1.3. Bảng tích phân các hàm số thông dụng
Từ bảng đạo hàm các hàm số thông dụng ta suy ra bảng tích phân, gọi là bảng tích
phân cơ bản.
x 1
 x dx    1  C ,   1
dx
 x  ln x  C


x

 e dx  e

x

C

ax
 a dx  ln a  C
x

 sin x.dx   cos x  C
 cos x.dx  sin x  C
1

 sin

2

x

dx   (1  cot 2 x)dx   cotgx  C

x

dx   (1  tan 2 x)dx  tan x  C

1

 cos

2

dx
 x 2  1  arctan x  C
dx
 1  x 2  arcsin x  C
dx
1
x

arctan
C
 x2  a2 a
a
dx
x

arcsin
C
 a2  x2
a



dx

 ln x  x 2  a 2  C

x2  a2
3.1.4. Các phương pháp tính tích phân bất định
a. Phương pháp phân tích dẫn đến tích phân cơ bản
Ví dụ:
x 1
2
dx =  (x.x 1 2  x 1 2 )dx   x1 2dx   x 1 2dx  x x  2 x  C .
i) I = 
3
x
x2
1  x2  1
1

ii) I = 
dx  
dx   1 
2
2
2
1 x
1 x
 1 x


dx  x  arctan x  C


13

Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa

b. Phương pháp đổi biến số
Trong nhiều trường hợp, khi tính

 f ( x)dx ; nếu để biến tích phân là x thì khơng

thấy được tích phân cần tính đó gần với dạng tích phân cơ bản nào (để có thể áp
dụng được tích phân cơ bản), khi đó ta tìm cách đổi sang biến mới, để hy vọng với
biến mới thì tích phân cần tính gần với tích phân cơ bản hơn. Khơng có một quy
tắc cụ thể nào giúp ta thực hiện phép đổi biến thích hợp được, tuy nhiên cũng có
thể phát biểu một cách tổng quát về quy tắc của phép đổi biến, đó là mệnh đề:
Mệnh đề
Nếu biết rằng  g(t)dt = G(t) + C thì  g(w(x))w ' (x)dx = G(w(x)) + C
(trong đó các hàm số g(t), w(x), w’(x) đều được giả thiết là những hàm số liên tục).
Trong nhiều trường hợp, để tiện lợi, ta thường thực hiện phép đổi biến t: = w(x), và
khi đó biểu thức dưới dấu tích phân trở thành
f(x)dx = g(w(x))w’(x)dx
Khi đó tìm được nguyên hàm G(t), chỉ cần thay t bởi w(x) và ta có:

 f (x)dx =  g(t)dt = G(w(x)) + C.
c. Phương pháp tích phân từng phần

 udv  uv   vdu
Ví dụ:
i) Tính I =  ln xdx .
Đặt u = lnx; dv = dx, khi đó: du =

1

dx ; v = x.
x

I =  ln xdx = xlnx –  dx = x(lnx–1) + C
ii) Tính I =  arctan xdx .
Đặt u = arctanx; dv = dx và có: du =
I = x.arctanx –

1
dx; v = x.
1  x2

xdx
1
2
 1  x 2 = x.arctanx – 2 ln(x +1) + C.

iii) Tính I =  x cos xdx
Đặt u = x, dv = cosxdx; ta có: du = dx; v = sinx và được:
I = xsinx –  sin xdx = xsinx + cosx + C
iv) Tính I =  (3x  1)e x dx
Đặt u = 3x +1, dv = exdx; ta có: du = 3dx; v = ex.
I = (3x+1)ex –  3e x dx = (3x+1)ex – 3ex + C = (3x – 2)ex + C
14


Th.S. Nguyễn Hồng Anh Khoa

3.1.5. Tích phân của một số hàm thường gặp
a. Tích phân của hàm hữu tỷ

- Tích phân của các phân thức đơn giản
I.
III.

A

 x  a dx

x

Mx  N
dx
 px  q

2

A

II.

 ( x  a)

IV.

 (x

2

k

dx

Mx  N
dx
 px  q )m

trong đó A, M, N, a, p, q  R; k, m nguyên dương, ngoài ra ta giả thiết q 

p2
> 0.
4

Trước hết, ta thấy rằng hai dạng I và II đã quen thuộc:
A

 x  a dx
A

 ( x  a)

k

=A

dx

 xa

dx = A 

= Aln x  a + C

dx
A
1
=
+ C (k  1)
.
k
( x  a)
k  1 ( x  a) k 1

Muốn tính các tích phân dạng III và IV, chúng ta biểu diễn x2 + px + q dưới dạng
2


p
p2 
x2 + px + q =  x     q   .
2
4


Theo giả thiết, q –







p2
p2
> 0 nên ta đặt a2 = q –
, với a =
4
4

Bây giờ thực hiện phép đổi biến x +

q

p2
.
4

p
= t; dx = dt
2

Mp 
x2 + px + q = t2 + a2, Mx + N = Mt +  N 
.


2 

Khi đó tích phân dạng III sẽ là
Mp 


Mt   N 

Mx  N
M
2tdt 
Mp 
dt
2 

 x 2  px  q dx =  t 2  a 2 dt = 2  t 2  a 2   N  2   t 2  a 2

=

M
1
Mp 
t
ln(t 2  a 2 )   N 
 arctg + C
2
a
2 
a

Cùng với phép đổi biến như trên, tích phân dạng IV sẽ là:
Mp 

Mt   N 

Mx  N

M
2 

dx
=
 (t 2  a 2 )m dt = = 2
 ( x 2  px  q)m

 (t

2

2tdt
Mp 
dt

N 
 2
2 m
a )
2  (t  a 2 ) m


Có thể tính tích phân thứ nhất của vế phải bằng cách đổi biến
đặt u = t2 + a2  2tdt = du

 (t
và

2

2tdt
du
1
1
1
1
+C
 m 
. m 1 + C = 
. 2
2 m
a )
u
m 1 u
m  1 (t  a 2 ) m 1

 (t

2

dt
đặt t = a.tanu
 a 2 )m
15


Th.S. Nguyễn Hồng Anh Khoa

Định lí

Mọi đa thức bậc n, với hệ số thực:
Q(x) = a0  a1 x  ...  an x n ; an  0
đều có thể phân tích thành tích các thừa số là nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai
khơng có nghiệm thực trong đó có thể có những thừa số trùng nhau:
Q(x) = an ( x  a) ( x  b)  ...( x 2  px  q)  ...( x 2  lx  s)
Trong đó a, b,… R: p 2 – 4q < 0, ..., l2 – 4s < 0 và     ...  2(   ...  )  n .
Khi đó phân thức thực sự tương ứng

P(x)
có thể phân tích thành tổng các phân
Q(x)

thức tối giản:
P(x)
A
A2
A
 1 
 ... 

2
Q(x) x  a (x  a)
(x  a)
B
B
B2
 1 

...


 ... 
x  b (x  b) 2
(x  b)
M x  N
M x  N1
M x  N2
 21
 2 2
 ...  2 

2
x  px  q (x  px  q)
(x  px  q)
P x  Q1
P x  Q2
P x  Q
 21
 22
 ...  2 
 .....
2
x  lx  s (x  lx  s)
(x  lx  s)
trong đó A1, ..., A  , B1, ..., B , ..., M1, N1, ..., M  , N  , P1, Q1, ..., P , Q là các
hằng số được xác định theo phương pháp hệ số bất định mà chúng ta sẽ giới thiệu
qua các ví dụ dưới đây.
(a) Phân tích

x2  2 x  6
thành tổng các phân thức tối giản.

( x  1)( x  2)( x  4)

Từ Định lí đại số trên ta có:
A
B
C
x2  2 x  6



x 1 x  2 x  4
( x  1)( x  2)( x  4)

Đs:

3
7
5
x2  2 x  6


=
x 1 x  2 x  4
( x  1)( x  2)( x  4)

x2  1
(b) Phân tích
thành tổng các phân thức tối giản.
( x  1)3 ( x  3)

Dùng Định lí đại số trên ta có:
x2  1
A
B
B1
B
=


 2
3
2
3
( x  1) ( x  3)
x  3 ( x  1) ( x  1)
x 1

16


Th.S. Nguyễn Hồng Anh Khoa

b. Tích phân các biểu thức lượng giác
Giả sử cần tính tích phân I =  R(sin x, cos x)dx trong đó R(u, v) là một biểu thức hữu
tỷ đối với u và v, nghĩa là khi tính giá trị của R(u, v) chỉ cần thực hiện các phép
tính cộng, trừ, nhân và chia đối với các biến:
x
2dt
2t
1 t2

t = tan , –  < x <   x = 2arctant; dx =
(chú ý: sinx=
; cosx=
)
2
1 t2
1 t 2
1 t2

Do đó, có thể đưa tích phân I về dạng
 2t

1  t 2  2dt

,
I =  R
2
2 
2
 1 t 1 t  1 t

và rõ ràng đây là biểu thức dưới dấu tích phân là hữu tỷ đối với t.
c. Tích phân các biểu thức dạng  R( x,  2  x 2 )dx và  R( x, x 2   2 )dx .
Ta để ý rằng hàm dưới dấu các tích phân trong cả hai tích phân  R( x,  2  x 2 )dx và

 R ( x,

x 2   2 )dx không hữu tỷ đối với biến x (vì x cịn chứa trong dấu căn thức),

nhưng R(u, v) thì lại hữu tỷ đối với u và v, do vậy muốn tính các loại tích phân đó

người ta tìm cách đổi biến hoặc đồng thời đổi biến và tích phân từng phần với hy
vọng, với biến mới thì biểu thức dưới dấu tích phân trở nên hữu tỷ đối với biến
mới; trong trường hợp này, người ta tìm cách khử căn thức. Chẳng hạn: với tích
phân

 R ( x,

x 2   2 )dx

người ta thường dùng phép biến đổi x:=  tgt.
Với tích phân  R( x,  2  x 2 )dx người ta thường dùng phép đổi biến x:=  sint, hay
x:=  cost.
Với tích phân  R( x, x 2   2 )dx người ta thường dùng phép đổi biến x:=
Ví dụ: Tính I =




cos t

a 2  x2
dx , a > 0.
x

Thực hiện phép đổi biến x:= asint; –


2

 t 


2

, khi đó dx = acostdt;

a 2  x 2  a cos t  a cos t , vì cost  0.

Vậy: I =  a
= a ln tg
= a ln

cos 2 t
1  sin 2 t
dt
dt  a 
dt  a 
 a  sin t.dt =
sin t
sin t
sin t

t
1
cos t
+ acost + C = a ln
+ acost + C

2
sin t sin t

a  a2  x2
+
x

a 2  x 2 + C.

17


Th.S. Nguyễn Hồng Anh Khoa

3.2. Định nghĩa tích phân xác định
3.2.1. Định nghĩa tích phân xác định và tính chất
a. Định nghĩa
Cho hàm số f(x) và bị chặn trong khoảng đóng [a, b], chia [a, b] thành những
khoảng nhỏ bởi các điểm a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b, trong mỗi khoảng [xi–1;xi]
lấy một điểm i tùy ý sao cho:
xi 1  i  xi (i = 1, 2, ..., n)
n

và lập tổng

 :=

 f ( )x
i

i

i 1

với

xi : xi  xi 1 ( i = 1, n )

Dĩ nhiên tổng  là một số xác định; số đó phụ thuộc i và phụ thuộc cách chọn
phân điểm a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b.
Nếu khi n tăng vô hạn (n   ) sao cho max i :  ,   0 ; với i : xi ( i = 1, n ), 
1 i  n

có giới hạn (hữu hạn) I, và giới hạn I này không phụ thuộc cách chọn điểm i , và
không phụ thuộc cách chọn phân điểm a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b.
lim   I

 0
( n  )

thì I được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) lấy trên khoảng đóng [a, b] và
b

ký hiệu là I =  f (x)dx
a

Khi đó ta cũng nói rằng hàm số f(x) khả tích trên [a, b], [a, b] là khoảng lấy tích
phân, a là cận dưới, b là cận trên của tích phân, x là biến số lấy tích phân và f(x)dx
là biểu thức dưới dấu tích phân.
b. Một số lớp hàm khả tích
Định lí 1. Nếu f(x) liên tục trong [a, b] thì f(x) khả tích trên [a, b].
Định lí 2. Nếu f(x) bị chặn trong [a, b] và có một số hữu hạn điểm gián đoạn trong

[a, b] thì f(x) khả tích trên [a, b].
Định lí 3. Nếu f(x) bị chặn và đơn điệu trong [a, b] thì khả tích trong [a, b].
c. Tính chất của tích phân xác định
Tính chất 1.
(i) Có thể đưa thừa số là hằng số ra ngồi dấu tích phân:
b

 C. f ( x)dx
a

b

= C  f ( x)dx
a

(ii) Tích phân của tổng hai hàm số bằng tổng hai tích phân:
b

b

  f ( x)  g ( x) dx =  f (x)dx
a

a

b

+  g ( x)dx
a

18


Th.S. Nguyễn Hồng Anh Khoa

Tính chất 2.
Cho ba khoảng đóng [a, b], [a, c] và [c, b], nếu f(x) khả tích trên khoảng có độ dài
lớn nhất thì cũng khả tích trên hai khoảng cịn lại và:
b

 f (x)dx =
a

c


a

b

f ( x)dx +

 f ( x)dx .
c

Tính chất 3. (trong tính chất này: a < b)
b

(i) Nếu f(x)  0, x  [a, b] 

 f (x)dx  0
a

(ii) Nếu f(x)  g(x), , x  [a, b] 

b

b

 f (x)dx 

 g ( x)dx

a

a

b

(iii) Nếu f(x) khả tích trên [a, b]  f ( x) khả tích trên [a, b] và


a

b

f ( x)dx   f ( x) dx
a

b

(iv) Nếu m  f(x)  M, x  [a, b]  m(b–a) 

 f (x)dx  M(b–a)
a

Tính chất 4.
(i) Định lí trung bình thứ nhất.
Giả sử f(x) khả tích trên [a, b], (a < b) và giả sử m  f(x)  M, với x  [a, b], khi
đó tồn tại  :
b

 f (x)dx =  (b–a), m    M.
a

Đặc biệt nếu f(x) liên tục trong [a, b], tồn tại c  [a, b]
b

 f (x)dx = f(c)(b–a).
a

(ii) Định lý trung bình thứ hai.
Giả sử:
(1) f(x) và tích f(x).g(x) khả tích trên [a, b].
(2) m  f(x)  M.
(3) g(x) không đổi dấu trong [a, b]: g(x)  0 (g(x)  0).
Khi đó:
b



a

b

f ( x) g ( x)dx = 

 g ( x)dx , m    M.
a

Đặc biệt nếu f(x) liên tục trong [a, b], có:
b


a

b

f ( x) g ( x)dx = f(c)  g ( x)dx , a  c  b.
a

19


Th.S. Nguyễn Hồng Anh Khoa

3.2.2. Các phương pháp tính tích phân xác định
a. Công thức Newton–Leibnitz
Nếu f(x) liên tục và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a, b] thì
b

 f (x)dx = F(b) – F(a)
a

b. Phương pháp đổi biến số trong tích phân xác định
Định lí. (Đổi biến x:= (t)
b

Xét tích phân  f (x)dx , với f(x) liên tục trong [a, b].
a

Giả sử thực hiện phép đổi biến x = (t) thỏa:
(1)  (t) có đạo hàm liên tục trong  ,  
(2)  (t) = a,  (t) = b
(3) Khi t biến thiên trong  ,   thì x biến thiên nhưng khơng ra ngồi khoảng liên
tục của hàm số f(x). Khi đó
b



 f (x)dx =

 f  (t ) (t )dt
'

a

2

Ví dụ. Tính I: =



4  x 2 dx (Hd: Đặt x:= 2sint)

0

Định lí. (Đổi biến t:=  (x)).
b

Xét tích phân  f (x)dx , với f(x) liên tục trong [a, b].
a

Nếu phép đổi biến t:=  (x) thỏa:
(1)  (x) biến thiên đơn điệu ngặt và có đạo hàm liên tục trên [a, b]
(2) f(x)dx trở thành g(t)dt, trong đó g(t) là một hàm số liên tục trong khoảng đóng
[  (a),  (b)] thì:
b

 (b )

 f (x)dx = 

g (t )dt

 (a)

a


2

Ví dụ. Tính I =

cos x

 1  sin
0

2

x

dx .
1


dt

1
Đổi biến t = sinx, hàm số t = sinx đơn điệu trên 0,  . I = 
= arctgt 0 
2
4
1 t
 2
0

c. Phương pháp tích phân từng phần
b

b

b

 d (uv) =

 udv +

 vdu

a

a

a

20


Th.S. Nguyễn Hồng Anh Khoa

3.3. Tích phân suy rộng
3.3.1. Trường hợp cận lấy tích phân là vơ hạn
a. Định nghĩa
Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng [a, +  ) và khả tích trên [a, t] với mọi t > a
t

Nếu tồn tại lim  f (x)dx thì giới hạn đó được gọi là tích phân suy rộng của hàm số
t 

a



f(x) trong khoảng [a, +  ) và ký hiệu

 f (x)dx
a



Khi đó, ta cũng nói rằng tích phân hội tụ và viết

 f (x)dx := lim  f (x)dx
a

a

Tương tự

t
t 

a

a

 f (x)dx



= lim  f (x)dx
t 



t

a



 f (x)dx =  f (x)dx +  f (x)dx ,  a




Ví dụ: Tính I 

dx

x





a

(a  0,   R) (Hd:  > 1 hội tụ;   1 phân kỳ)

a

b. Sự hội tụ của tích phân suy rộng có cận là vơ cùng
Định lí. (tiêu chuẩn so sánh).
Cho hai hàm số f(x) và g(x) không âm và khả tích trên [a, t] với mọi t > a. Giả sử
tồn tại số M sao cho f(x ) ≤ c.g(x) với mọi x ≥ M. Khi đó,


Nếu



 g(x)dx hội tụ thì  f (x)dx hội tụ.
a

a



Nếu



 f (x)dx phân kỳ thì  g(x)dx phân kỳ.
a

a

Hệ quả: Cho f(x) và g(x) là hai hàm số dương khả tích trên [a;t],t > a. Giả sử

f (x)
lim
k
x  g(x)


i) Nếu 0 < k < + thì

 f (x)dx
a



và

 g(x)dx sẽ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
a

ii) Nếu k = 0 thì tồn tại M sao cho f(x)  c.g(x) x ≥ M (kết luận như định lí)
iii) Nếu k = + thì tồn tại M sao cho f(x) ≥ c.g(x) x ≥ M (đổi vài trò của f và g)


Định lí: Nếu



 f (x) dx hội tụ thì  f (x)dx hội tụ.
a

a

21


Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa

3.3.2. Trường hợp hàm số lấy tích phân khơng bị chặn
a. Định nghĩa:
Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng [a;b) và khả tích trên [a, t] với mọi a< t < b
t

Nếu tồn tại lim  f (x)dx thì giới hạn đó được gọi là tích phân suy rộng của hàm số
t b

a

b

f(x) trong khoảng [a, b] và ký hiệu

 f (x)dx
a

b

t

Khi đó, ta cũng nói rằng tích phân hội tụ và viết  f (x)dx := lim  f (x)dx
t b

a

b

Tương tự, nếu f(a)=+∞ ta có:

a

b

 f (x)dx := lim  f (x)dx
t a 

a

b

Nếu f(c)=+∞ ( c (a;b)) ta định nghĩa

t

c

b

 f (x)dx =  f (x)dx +  f (x)dx
a

a

c

b

dx
(x  a)
a

Ví dụ: Tính I  

(Hd:  < 1 hội tụ;  ≥ 1 phân kỳ)

b. Định lí. (tiêu chuẩn so sánh).
Cho f(x) và g(x) là hai hàm số không âm, khả tích trên [t;b] với mọi t  (a;b] (a là
điểm bất thường). Giả sử tồn tại c  (a;b] sao cho f(x)  k.g(x), x(a;c]. Khi đó,
b

b

Nếu  g(x)dx hội tụ thì  f (x)dx hội tụ;
a

a

b

b

Nếu  f (x)dx phân kỳ thì  g(x)dx phân kỳ.
a

a

Hệ quả:
Cho f(x) và g(x) là hai hàm số khơng âm, khả tích trên [t;b] với mọi t  (a;b] (a là
điểm bất thường). Giả sử
f (x)
lim
k
x a g(x)
b

b

i) Nếu 0 < k < + thì  f (x)dx và  g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
a

a

ii) Nếu k=0 thì tồn tại c(a;b] sao cho f(x) k.g(x),x(a;c] (kết luận như định lí)
iii) Nếu k=+ thì tồn tại c(a;b] sao cho f(x)≥ k.g(x),x(a;c] (ngược với định lí)

22


Th.S. Nguyễn Hồng Anh Khoa

Bài tập chương 3
3.1 Tính các tích phân suy rộng sau:


a)

c)

e)



1 x


2





e dx

3 (x  2)(x

x
ln 2 e


4


i)

 2x  5

(4x  2)dx

2x



g)



dx



2

4
dx

(x  4) x
x 2dx
6

 1)



b)

1

dx
x 2  4x  5



d)

f)



2 (x




e2
1

k)..

2

 1)(x 2  2)

xdx

2


h)

xdx

x4  4
dx
x (ln2 x  4)

x2



2

dx

0 1 x
x 1
3.2. Xét sự hội tụ phân kì của tích phân suy rộng sau:


ln(1  x)
dx
dx
a) 
b)


x2
1
1
1  x 3 1  x2

1

1

x3 dx
c) 
x  ln(1  x)
0

1

x 3 dx
d)  x
e 1  x
0

23


Th.S. Nguyễn Hồng Anh Khoa

CHƯƠNG 4. ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
4.1. Ma trận
4.1.1. Khái niệm ma trận

a. Định nghĩa
Một bảng số có m hàng n cột dạng
 a11 a12
a
a 22
A =  21
 ...
...

a m1 a m2

... a1n 
... a 2n 

... ... 

... a mn 

gọi là một ma trận cỡ mn.
aij là phần tử của ma trận A nằm ở giao điểm của hàng i cột j. Để ký hiệu ma trận
người ta dùng hai dấu ngoặc vuông như ở trên hay hai dấu ngoặc trịn
Ta có thể viết rút gọn ma trân trên thành A = a ij  .
mn
1 2 4 
Ví dụ. Bảng số A = 
 là một ma trận cỡ 2  3 với các phần tử
3
6
5



a11 = 1, a12 = 2, a13 = 4, a21 = 3, a22 = 6, a23 = 5.
b. Một số ma trận đặc biệt
i) Ma trận không
Ma trận không là ma trận mà tất cả các phần tử đều bằng không.
Ma trận không ký hiệu là Omn hay O khi cấp của ma trận đã được chỉ rõ.

ii) Ma trận vng
Khi m = n, ta gọi nó là ma trận vuông cấp n. Khi ấy, thay cho A = a ij  ta sẽ viết
mn
A = a ij  .
n
Đối với mỗi ma trận vuông A = a ij  , các phần tử có hai chỉ số bằng nhau a11,
n
a22,…, ann nằm trên một đường chéo của hình vng mà ta gọi là đường chéo chính
của A. Đường chéo cịn lại của hình vng gọi là đường chéo phụ của A.
iii) Ma trận chéo
Ma trận chéo cấp n là ma trận vuông cấp n mà tất cả các phần tử nằm ngồi đường
chéo chính đều bằng khơng. Như vậy nếu D là một ma trận chéo cấp n thì D có
dạng:
d1 0
0 d
2
D= 
 ... ...

0 0

...

0
... 0 
.
... ... 

... d n 
24