Tong hop mot so dang toan on thi vao lop 10 THPT

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>PHẦN ĐẠI SỐ</b>

<b>A. RÚT GỌN BIỂU THỨC</b>

<b>Bài 1. Cho biểu thức </b>

x

1

x

x

x

x

A =

2

2 x

x 1

x 1



 

_

_









 





 

_

_





 



a) Rút gọn biểu thức A;

b) Tìm giá trị của x để A > - 6.
<b>Bài 2. Cho biểu thức A =</b>

1 1

4 2 2

<i>x</i>

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i> _{, với x ≥ 0 và x ≠ 4.}
1/ Rút gọn biểu thức A.

2/ Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25.
3/ Tìm giá trị của x để A = -1/3.

<b>Bài 3. Cho biểu thức: </b>

<i>P</i>=

(

<i>x</i>

√

<i>x</i>

√

<i>x</i>+1+

<i>x</i>2

<i>x</i>

√

<i>x</i>+<i>x</i>

)(

2<i>−</i>

1

√

<i>x</i>

)

với x >0

1.Rút gọn biểu thức P
2.Tìm giá trị của x để P = 0
<b>Bài 4. Cho biểu thức A = </b>

1 1

1 1

<i>x x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 



 

1. Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
2. Tính giá trị biểu thức A khi x = 9/4.

3. Tìm tất cả các giá trị của x để A <1.
<b>Bài 5. Rút gọn các biểu thức sau :</b>

a) 2 3 3 27  300
b)

1 1 1

:

1 ( 1)

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 



 

  

 

<b>Bài 6. Cho biểu thức : </b>

1 1 x 3 x 2

A :

x 3 x x 2 x 3

 _ _ 

 

_  _{ }  _

  

 _{ } _

a) Với những điều kiện được xác định của x hãy rút gọn A .
b) Tìm tất cả các giá trị của x để A nhỏ hơn 1 .

<b>Bài 7. 1/.Khơng dùng máy tính, hãy tính giá trị biểu thức sau :</b>

 

 

 

 

<b>14 - 7</b> <b>15 - 5</b> <b>1</b>

<b>A =</b> <b>+</b> <b>:</b>

<b>2 -1</b> <b>3 -1</b> <b>7 - 5</b>

2/.Hãy rút gọn biểu thức:

<b>x</b> <b>2x - x</b>

<b>B =</b> <b></b>

<b>-x -1 -x - -x</b> _{, điều kiện x > 0 và x}₁

a

1

1

2

K

:

a 1

a 1 a

a

a 1



_{ }

_



_



_{ }



_













</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2

2

c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0.

<b>Bài 9. Rút gọn biểu thức: P = </b>

(

1

√

<i>a−</i>1<i>−</i>

1

√

<i>a</i>

)

:

(

√

<i>a</i>+1

√

<i>a −</i>2<i>−</i>

√

<i>a</i>+2

√

<i>a −</i>1

)

với a > 0, a 1<i>, a≠</i>4 .

<b>Bài 10. Rút gọn biểu thức:</b>

1

1

x

1

A

:

x

x

x

1

x

2 x

1









_



_













_{với x > 0 và x}

_

₁

<b>Bài 11. Rút gọn biểu thức: A = </b>

2( x 2)

x

x 4

x 2









_{với x}_{0 và x}₄
<b>Bài 12. Cho biểu thức : M = </b>

1 1 1

1

1 <i>a</i> 1 <i>a</i> <i>a</i>

   

 

   

 

   

a, Rút gọn biểu thức M.
b, Tính giá trị của M khi a =

1
9

<b>Bài 13. Cho biểu thức </b>

1

1

a 1

M =

:

a

a

a 1

a 2 a 1

























a) Rút gọn biểu thức M;
b) So sánh M với 1.

<b>Bài 14. Cho biểu thức : </b>

x 2

x 3

x 2

x

P =

: 2

x 5 x 6 2

x

x 3

x 1



_

_

_

 











 





_

_

_

_

 

_





 



a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm x để

1

5

P



2

_.

<b>Bài 15. Cho </b>

a

a

a

a

P

1

1

; a 0, a 1

a 1

1

a



_

 

_





_



_{ }



_







 



 



a) Rút gọn P.

b) Tìm a biết P >



2

.
c) Tìm a biết P =

a

.

<b>Bài 16. Cho biểu thức K = </b>













































a

1

2

1

a

1

:

a

a

1

1

a

a

a. Rút gọn biểu thức K

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Bài 17. Cho biểu thức: </b>

)

x

2

x

2

x

1

x

(

:

)

x

4

x

8

x

2

x

4

(

P















a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị của x để P = –1.
<b>Bài 18. Cho A = </b>2(1 x 2 )

1



 ₊

2

(

1

x

2

)

1





a. Tìm x để A có nghĩa
b. Rút gọn A

c. Tìm các giá trị của x để A có giá trị dương

<b>Bài 19. Cho biểu thứcA = </b>















































1

x

x

x

:

1

x

1

x

1

x

1

x

x

với x > 0 và x  1

a) Rút gọn A.

b) Tìm giá trị của x để A = 3.
<b>Bài 20. Cho biểu thức A = </b>

2 2

1

1 1

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>  <i>x</i>   _.

1. Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
2. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ.</b>
<b>Bài 1 : Cho hàm số y = (m + 5)x+ 2m – 10 </b>

<b>a)</b> Với giá trị nào của m thì y là hàm số bậc nhất
<b>b)</b> Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến.
<b>c)</b> Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 3)

<b>d)</b> Tìm m để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9.
<b>e)</b> Tìm m để đồ thị đi qua điểm 10 trên trục hồnh .

<b>f)</b> Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1
<b>g)</b> Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m.
<b>h)</b> Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số là lớn nhất.

<b>Bài 2: Cho đường thẳng y=2mx +3 - m (d) . Xác định m để:</b>
a) Đường thẳng d qua gốc toạ độ

b) Đường thẳng d song song với đường thẳng 2y- x =5
c) Đường thẳng d tạo với Ox một góc nhọn

d) Đường thẳng d tạo với Ox một góc tù

e) Đường thẳng d cắt Ox tại điểm có hồnh độ 2

f) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x – 3 tại một điểm có hồnh độ là 2
g) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 tại một điểm có tung độ y = 4

h) Đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thảng 2x -3y=-8 và y= -x+1
<b>Bài 3: Cho hàm số y=( 2m-3).x+m-5.</b>

a) Vẽ đồ thị với m=6.

b) Chứng minh họ đường thẳng luôn đi qua điểm cố định khi m thay đổi.
c) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với 2 trục toạ độ một tam giác vng cân.
d) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hồnh một góc 45o.

e) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hồnh một góc 135o
f) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hồnh một góc 30o_{, 60}o

g) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x-4 tại một điểm trên 0y.

Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -x-3 tại một điểm trên 0x

<b>Bài 4. Cho hàm số y = ax</b>2_{có đồ thị (P) và đường thẳng (d): y = 2x - 3}

a, Tìm a, biết đồ thị hàm số (P) đi qua điểm A(-2;4). Vẽ đồ thị (d) và (P) với a vừa tìm
được.

b, Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.

c, Viết phương trình đường thẳng (d’) song song với (d) và tiếp xúc với (P).
<b>Bài 5. Cho hàm số y = </b> 1

2<i>x</i>
2

có đồ thị (P) và đường thẳng (d): y = -2x + m.
a, Vẽ đồ thị (P) và (d) khi m = 4. Tìm tọa độ giao điểm bằng phép tính.
b, Tìm m để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P).

<b>Bài 6. Cho hàm số y = x</b>2_{có đồ thị (P) và hai điểm A(1;5) và điểm B(-1;1).}
a, Viết phương trình đường thẳng AB.

b, Vẽ đồ thị (P) và đường thẳng AB trên cùng một hệ trục tọa độ. Tìm tọa độ giao điểm
của (P) và AB bằng phép tính.

c, Viết phương trình đường thẳng qua C(0; -4) và tiếp xúc với (P).
d, Viết phương trình đường thẳng song song với AB và tiếp xúc với (P).
<b>Bài 7: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hàm số y = ax</b>2_{có đồ thị (P).}

1. Tìm a, biết rằng (P) cắt đờng thẳng (d) có phơng trình y = -x -

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

2. Tìm toạ độ giao điểm thứ hai B (B khác A) của (P) và (d).
<b>Bài 8.</b>

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y =

2

2

<i>x</i>

và đuờng thẳng (d): y = x + 4 trên cùng một hệ trục
toạ độ.

b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
<b>Bài 9.</b>

Cho Parabol (P) : y = x2_{và đường thẳng (d): y = mx – 2 (m là tham số, m ≠ 0 )}
a. Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng Oxy.

b. Khi m = 3, tìm tọa độ giao điểm của (p) và (d).

c. Gọi A(xA; yA), B(xB; yB) là hai giao điểm phân biệt của (P) và (d). tìm các giá trị của m
sao cho yA + yB = 2(xA + xB) – 1

<b>Bài 10</b>

1. Cho hàm số y = ax + b. tìm a, b biết đồ thị hàm số đẫ cho đi qua hai điểm A(-2; 5)

và B(1; -4).

2. Cho hàm số y = (2m – 1)x + m + 2

a. tìm điều kiện của m để hàm số ln nghịch biến.

b. Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hồnh độ bằng
2
3



<b>Bài 11. </b>

Cho hàm số y = x2 _{và y = x + 2}

a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy
b) Tìm tọa độ các giao điểm A,B của đồ thị hai hàm số trên bằng phép tính
c) Tính diện tích tam giác OAB

<b>Bài 12</b>

a) Cho hàm số y = -x2 _{và hàm số y = x – 2. Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục tọa độ.}
Tìm tọa độ giao điểm của hai đô thị trên bằng phương pháp đại số .

b) Cho parabol (P) :

2

x

y

4


và đường thẳng (D) : y = mx -

3

2_{m – 1. Tìm m để (D) tiếp}

xúc với (P) . Chứng minh rằng hai đường thẳng (D1) và (D2) tiếp xúc với (P) và hai
đường thẳng ấy vng góc với nhau .

<b>Bài 13,</b>

1/. Cho hai đường thẳng <b>d1</b>: y = (m+1) x + 5 ; <b>d2</b>: y = 2x + n. Với giá trị nào của m, n
thì <b>d1</b> trùng với<b>d2</b>?

2/.Trên cùng mặt phẳng tọa độ , cho hai đồ thị (P): y 
<b>2</b>
<b>x</b>

<b>3</b> _{; d: y = 6} x . Tìm tọa độ
giao điểm của (P) và d bằng phép toán .

<b>Bài 14. Cho Parabol (P) : y= x</b>2_{và đường thẳng (d): y = mx-2 (m là tham số m}_<i>₀₎</i>
a/ Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng toạ độ xOy.

b/ Khi m = 3, hãy tìm toạ độ giao điểm (P) và (d) .

c/ Gọi A(xA; yA), B(xA; yB) là hai giao điểm phân biệt của (P) và ( d). Tìm các giá trị của
m sao cho : yA + yB = 2(xA + xB ) -1 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y



k 1 x 4



 (k là tham số) và
parabol (P): y x 2.

1. Khi k2_{, hãy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P);}

2. Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) ln cắt parabol (P) tại
hai điểm phân biệt;

3. Gọi y1; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm k sao
cho: y1y2 y y1 2_.

<b>Bài 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x</b>2_{và điểm B(0;1)}
1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm B(0;1) và có hệ số k.

2. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt E và F
với mọi k.

3. Gọi hoành độ của E và F lần lượt là x1 và x2. Chứng minh rằng x1 ._{x2 = - 1, từ đó suy}
ra tam giác EOF là tam giác vuông.

<b>Bài 17</b>

Cho hai hàm số y = x – 1 và y = –2x + 5

<b>1/ Vẽ trên cùng một mặt phẳng toạ độ đồ thị của hai hàm số đã cho.</b>
<b>2/ Bằng phép tính hãy tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị trên.</b>

<i><b>Bài 18.</b></i>

Cho ba đờng thẳng (d1): -x + y = 2; (d2): 3x - y = 4 và (d3): nx - y = n - 1;
n là tham số.

a) Tìm tọa độ giao điểm N của hai đờng thẳng (d1) và (d2).
b) Tìm n để đờng thẳng (d3) đi qua N.

<i><b>Bài 19.</b></i>

Cho hàm số : yx2 có đồ thị (P) và hàm số y = 2x + m có đồ thị (d) .
1/ Khi m = 1. Vẽ đồ thị (P) và (d) trên cùng một hệ trục toạ độ.

2/ Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) toạ độ và bằng phép tốn khi m = 1.

3/ Tìm các giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A(x ; y )A A _và

B(x ; y )B B sao cho

2 2
A B

1 1

6

x x 

<b>Bài tập 20.</b>

cho parabol y= 2x2_{. (p)}

a. tìm hồnh độ giao điểm của (p) với đường thẳng y= 3x-1.
b. tìm toạ độ giao điểm của (p) với đường thẳng y=6x-9/2.

c. tìm giá trị của a,b sao cho đường thẳng y=ax+b tiếp xúc với (p) và đi qua A(0;-2).
d. tìm phương trình đường thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2).

e. biện luận số giao điểm của (p) với đường thẳng y=2m+1. ( bằng hai phương pháp
đồ thị và đại số).

f. cho đường thẳng (d): y=mx-2. Tìm m để
+(p) khơng cắt (d).

+(p)tiếp xúc với (d). tìm toạ độ điểm tiếp xúc đó?
+ (p) cắt (d) tại hai điểm phân biệt.

+(p) cắt (d).
Bài tập 21.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

a. viết phương trình đường thẳng AB. tìm toạ độ giao điểm AB với (P) đã cho.
b. viết phương trình đường thẳng d song song với AB và tiếp xúc với (P).
c. viết phương trình đường thẳng d1 vng góc với AB và tiếp xúc với (P).

d. chứng tỏ rằng qua điểm A chỉ có duy nhất một đường thẳng cắt (P) tại hai điểm
phân biệt C,D sao cho CD=2.

Bài tập 22.

cho hàm số <i>y</i> 2 <i>x</i>
1



(P)
a. vẽ đồ thị hàm số (P).

b. với giá trị nào của m thì đường thẳng y=2x+m (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân
biệt A,B. khi đó hãy tìm toạ độ hai điểm A và B.

c. tính tổng tung độ của các hồnh độ giao điểm của (P) và (d) theo m.
Bài tập 23.

cho hàm số y=2x2_{(P) và y=3x+m (d)}

a. khi m=1, tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (d).

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH</b>
<b>Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:</b>

a.
2 3
3 7
<i>x y</i>
<i>x y</i>
 


 

 _b.

2 3 2

5 2 6

<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
 


 
 
. c,
2 3
1
1
2 5
1
1
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>

 
 


 _ _
 



<b>Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:</b>
3

)

3 4 2

<i>x y</i>
<i>a</i>
<i>x</i> <i>y</i>
 


 
 

7 3 5

)
4 2
<i>x</i> <i>y</i>
<i>b</i>
<i>x y</i>
 


 


<b>Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:</b>

3 3
)
2 7
<i>x y</i>
<i>a</i>
<i>x y</i>
 


 
 

4 3 6

)
2 4
<i>x</i> <i>y</i>
<i>b</i>
<i>x y</i>
 


 
 

3 2 10

) ₂ ₁

3
3 3
<i>x</i> <i>y</i>
<i>c</i>
<i>x</i> <i>y</i>
 



 


<b>Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:</b>

<b> </b>
2 4
3 1
<i>x y</i>
<i>x y</i>
 


 
 _;
1

3 2 3

<i>x y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
 


 
 _;
2 5
3 1
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x y</i>
 


 
 _;

3 5 0

3 0
<i>x y</i>
<i>x y</i>
  


  
 _;

0, 2 3 2
15 10

<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
 


 
 _;
3 2
2 4 2007

<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
 


 
 _;
3 2

3 9 6

<i>x y</i>
<i>y</i> <i>x</i>
 


  
 _;
5
2

2 6
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x y</i>

 


 _ _
 _;

2 3 6

5 5
5
3 2
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
 



 

 _;
2 5

3 3 15

2 4 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 VÀ HỆ THỨC VI-ÉT.</b>
<b>Bài 1. Cho phương trình: x</b>2_{– 4x + m-1 = 0 (1)}

1, Giải phương trình khi m = 4; m= -4.
2, Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
3, Tìm m để phương trình có nghiệm

4, Tim để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
5, Tìm m để phương trình vơ nghiệm.

6, Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
7, Tìm m để phương trình có một nghiệm x = -2. Tìm nghiệm cịn lại.
8, Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

9, Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương.

10, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thảo mãn các hệ thức:
a, x1 = 2x2

b, x12_{+ x2}2_{= 8}
c, <i>_x</i>1

1
+ 1

<i>x</i>₂=2

d, x1 – x2 = 2.
<b>BÀI 2. Cho phương trình: x</b>2_{+ 3x - m + 2 = 0 (1)}

1, Giải phương trình khi m = 6; m= -2.
2, Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
3, Tìm m để phương trình có nghiệm

4, Tim để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
5, Tìm m để phương trình vơ nghiệm.

6, Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
7, Tìm m để phương trình có một nghiệm x = 2. Tìm nghiệm cịn lại.
8, Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

9, Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương.

10, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thảo mãn các hệ thức:
a, x1 = 2x2

b, x12_{+ x2}2_{= 10}
c, <i>_x</i>1

1
+ 1

<i>x</i>₂=3

d, x1 – x2 = -2.
<b>BÀI 3. Cho phương trình: x</b>2_{– 2(m-1)x + m}2_{-3 = 0 (1)}

1, Giải phương trình khi m = 0; m= -6.
2, Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

3, Tìm m để phương trình có nghiệm

4, Tim để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
5, Tìm m để phương trình vơ nghiệm.

6, Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
7, Tìm m để phương trình có một nghiệm x = 3. Tìm nghiệm cịn lại.
8, Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

9, Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương.

10. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm x1 và x2 khơng phụ thuộc vào m.
11, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thảo mãn các hệ thức:

a, x1 = 2x2

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

c, <i>_x</i>1
1

+ 1

<i>x</i>₂=2

d, x1 – x2 = 2.

<b>BÀI 4. Cho phương trình: </b> (1)

1, Giải phương trình khi m = 0; m= 3.

2, Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

3. Chứng minh rằng phương trình (1) ln ln có 2 nghiệm phân biệt.

4. Gọi là 2 nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
5. Tìm hệ thức giữa và khơng phụ thuộc vào m.

6. Tìm m để phương trình có một nghiệm x = 2. Tìm nghiệm cịn lại.
<b>BÀI 5. Cho phương trình x</b>2_{– 4x – m}2_{+ 6m – 5 = 0 với m là tham số}

a) Giải phương trình với m = 2

b) Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm

c) Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 , hãy tìm giá trị bé nhất của biểu thức

3 3

1 2

<i>P x</i> <i>x</i>

<b>BÀI 6. Cho phương trình bậc hai ẩn số x:</b>
x2_{- 2(m + 1)x + m - 4 = 0. (1)}
a, Giải phương trình khi m = 0; m= 3.

b/ Chứng minh phương trình (1) ln ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của
m.

c/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1).
Tìm m để 3( x1 + x2 ) = 5x1x2.

d. Tìm hệ thức giữa và không phụ thuộc vào m.

e. Tìm m để phương trình có một nghiệm x = 2. Tìm nghiệm cịn lại.
<b>BÀI 7. Cho phơng trình x</b>2 _{- (5m - 1)x + 6m}2 _{- 2m = 0 (m là tham số)}

a, Giải phương trình khi m = 2 và m = -1.

b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với mọi m.
c) Gọi x1, x2 là nghiệm của phơng trình. Tìm m để x12_{+ x2}2 _=1.
<b>BÀI 8. Cho phương trình: x</b>2 _{- 2(m-3)x - 2(m-1) = 0 (1)}

a) Chứng minh rằng phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m;
b) Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của x12 _{+ x2}2_.
<b>BÀI 9. Cho phương trình bậc hai sau, với tham số m.</b>

x2_{– (m + 1)x + 2m – 2 = 0 (1)}
1. Giải phương trình (1) khi m = 2.

2. Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi m.

3. Tìm giá trị của tham số m để x = -2 là một nghiệm của phương trình (1).
<b>BAI 10. Cho phương trình: x</b>2_{- (2a- 1)x - 4a - 3 = 0}

a) Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của a
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm khơng phụ thuộc vào a

c) Tìm giá trị nhỏ nhật của biểu thức A = x12_{+ x2}2
<b>BÀI 11. Cho phương trình: x</b>2_{- 2(m+4)x + m}2_{- 8 = 0}

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>BÀI 12. Cho phơng trình bậc hai, với tham số m: 2x2 – (m+3)x + m = 0 (1).</b>
1. Giải phơng trình (1) khi m = 2.

2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:
x1 + x2 = 5

2 x1x2.

3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = <i>x</i>1 <i>x</i>2

<b>BÀI 13. Cho phương trình bậc hai ẩn số x:</b>
x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0. (1)

a/ Chứng minh phương trình (1) ln ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị
của m.

b/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1).
Tìm m để 3( x1 + x2 ) = 5x1x2.

<b>BÀI 14. Cho phơng trình: (n + 1)x2 - 2(n - 1)x + n - 3 = 0 (1), với n là tham số.</b>
a, Tìm n để phơng trình (1) có một nghiệm x = 3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH</b>
<b>DẠNG TỐN LÀM CHUNG.</b>

<b>BÀI 1. Hai tổ cùng làm chung một cơng việc hồn thành sau 15 giờ. nếu tổ một làm trong 5</b>
giờ, tổ hai làm trong 3 giờ thì được 30% cơng việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ hồn thành
trong bao lâu.

<b>BÀI 2. Hai máy ủi làm việc trong vòng 12 giờ thì san lấp đợc </b> 1

10 khu đất. Nừu máy ủi thứ

nhất làm một mình trong 42 giờ rồi nghỉ và sau đó máy ủi thứ hai làm một mình trong 22 giờ
thì cả hai máy ủi san lấp đợc 25% khu đất đó. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy ủi san lấp
xong khu đất đã cho trong bao lâu.

<b>BÀI 3. Hai vòi nước cùng chảy vào 1 cái bể khơng có nước trong 6 giờ thì đầy bể. Nếu để </b>
riêng vịi thứ nhất chảy trong 2 giờ, sau đó đóng lại và mở vịi thứ hai chảy tiếp trong 3 giờ
nữa thì được 2/5 bể. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vịi chảy đầy bể trong bao lâu?

<b>BÀI 4. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể khơng có nước sau 2 giờ 55 phút thì đầy bể. Nếu </b>
chảy riêng thì vịi thứ nhất cần ít thời gian hơn vịi thứ hai là 2 giờ. Tính thời gian để mỗi vịi
chảy riêng thì đầy bể.

<b>BÀI 5. Hai vịi nước cùng chảy vào một bể chứa khơng có nước thì sau 1 giờ 30 phút đầy bể.</b>
Nếu mở vòi thứ nhất chảy 15 phút rồi khố lại, rồi mở tiếp vịi thứ hai chảy 20 phút thì được
20% bể. Hỏi nếu để từng vịi chảy một thì sau bao lâu bể đầy.

<b>Bài 6: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể chứa khơng có nước thì sau 2 giờ 40 phút đầy bể.</b>
Tính xem nếu để từng vịi chảy thì mỗi vòi cần bao lâu, biết rằng để chảy đầy bể thì vịi thứ
nhất cần nhiều hơn vịi thứ hai là 4 giờ.

<b>Bài 7: Hai công nhân cùng làm một công việc sau 4 ngày hoàn thành . Biết rằng nếu làm một</b>
mình xong việc thì người thứ nhất làm nhanh hơn người thứ hai là 6 ngày .Tính thời gian mỗi
người làm một mình xong cơng việc trên.

<b>BÀI 8. Để hồn thành một cơng việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung</b>
thì tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một đó hồn thành cụng việc cũn lại trong 10 giờ. Hỏi

nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ làm xong cụng việc đó ?

<b>DẠNG TỐN CHUYỂN ĐỘNG.</b>

<b>Bài 1: Hai xe ô tô cùng khởi hành một lúc từ Hà Nội vào Thanh Hoá .Xe thứ nhất mỗi giờ đi</b>
nhanh hơn xe thứ hai 10km nên đến Thanh Hoá sớm hơn xe thứ hai 30 phút.Tính vận tốc
mỗi xe,biết quãng đường Hà Nội –Thanh Hoá dài 150 km

BÀI 2. Một người đi xe đạp dự định đi hết quãng đường AB dài 20km trong thời gian đã
định. Nhưng thực tế , sau khi đi được 1 giờ với vận tốc dự định, người đó đã giảm vận tốc đi
2km/h trên qng đường cịn lại. Vì vậy đã đến B chậm hơn dự kiến 15 phút.Tính vận tốc dự
định và thời gian lăn bánh trên đường.

BÀI 3. Một ô tô dự định đi hết quãng đường AB dài 150 km trong thời gian đã định. Sau khi đi
được 2 giờ , người lái xe quyết định tăng tốc thêm 2km/h trên qng đường cịn lại .Do đó đã
đến B sớm hơn dự kiến 30 phút. Tính vận tốc ơ tơ đi ở đoạn đường đầu ?

BÀI 4. Một người đi xe máy khởi hành từ Đồng Hới đi Quảng Trị. Sau đó 75 phút, trên cùng
tuyến đường đó một ơtơ khởi hành từ Quảng Trị đi Đồng Hới với vận tốc lớn hơn vận tốc của
xe máy là 20 km/giờ. Hai xe gặp nhau tại Đơng Hà. Tính vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng
Đồng Hới cách Quảng Trị 100 km và Quảng Trị cách Đồng Hà 30 km.

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

.BÀI 6. Một ca nơ xi dịng 90km , rồi ngược dịng 36 km. Biết thời gian xi dòng nhiều
hơn ngược dòng là 2 giờ và vận tốc xi dịng lớn hơn ngược dịng là 6km/h. Tính thời gian
mỗi ca nô đi hết quãng đường AB.

<b>BÀI 7. Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 54km. Cả đi lẫn về mất 5 giờ 15 phút .Tính</b>
vận tốc của dòng nước , biết vận tốc riêng của tàu khi nước n lặng là 21km/h.

<b>DẠNG TỐN HÌNH HỌC. </b>

<b>BÀI 1. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45m. Tính diện tích</b>
thửa ruộng, biết rằng nếu chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng 3 lần thì chu vi thửa
ruộng khơng thay đổi.

<b>BÀI 2. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 720m</b>2_{, nếu tăng chiều dài thêm 6m và}
giảm chiều rộng đi 4m thì diện tích mảnh vườn khơng đổi. Tính kích thước (chiều dài và
chiều rộng) của mảnh vườn

<b>BÀI 3. Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 2 cm và diện tích của nó là 15 cm</b>2_.
Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó.

<b>BÀI 4. Một hình chữ nhật có chu vi là 160m và diện tích là 1500m</b>2_{. Tính chiều dài và chiều}
rộng hình chữ nhật ấy .

.BÀI 5. Một tam giác vng có hai cạnh góc vng hơn kém nhau 8m . Nếu tăng một cạnh
góc vng của tam giác lên 2 lần và giảm cạnh góc vng cịn lại xuống 3 lần thì được một
tam giác vng mới có diện tích là 51m2_{. Tính độ dài hai cạnh góc vng của tam giác}
vng ban đầu.

<b>BÀI 6. Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6(m) và bình phương độ dài</b>
đường chéo gấp 5 lần chu vi. Xác định chiều dài và chiều rộng mảnh đất đó.

<b>BÀI 7. Một thửa ruộng có chu vi 200m . nếu tăng chiều dài thêm 5m, giảm chiều rộng đi 5m</b>
thì diện tích giảm đi 75 <i>m</i>2. Tính diện tích thửa ruộng đó.

<b>BÀI 8. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m . Người ta làm một lối đi xung quanh</b>
vườn thuộc đất của vườn rộng 2m , diện tích đất cịn lại để trồng trọt là 4256m2_{. Tính kích}
thước của vườn

<b>BÀI 9: Trên một miếng đất hình thang cân chiều cao 35m, hai đáy lần lượt bằng 30m, 50m</b>
người ta làm hai đoạn đường có cùng chiều rộng. Các tim đường lần lượt là đường trung
bình của hình thang và các đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai đáy.Tính chiều rộng các
đoạn đường đó biết rằng diện tích làm đường chiếm 0,25 diện tích hình thang.

<b>TỐN KHÁC.</b>

<b>BÀI 1. Trong một buổi liên hoan, một lớp học sinh mời 15 khách tới dự . Vì lớp đã có 40 học</b>
sinh nên phải kê thêm 1 dãy ghế nữa và mỗi dãy ghế phải xếp thêm 1 người nữa mới đủ chỗ
ngồi.Hỏi ban đầu lớp học có bao nhiêu dãy ghế, biết mỗi dãy có số người ngồi như nhau và
không quá 5 người.

<b>BÀI 2. Trong một trang sách nếu thêm 2 dòng và mỗi dòng bớt đi 1chữ thì số chữ trong</b>
trang tăng thêm 4 chữ. Nhưng nếu bớt đi 3 dòng và mỗi dòng thêm 2 chữ thì số chữ trong
trang vẫn khơng thay đổi. Tính số chữ , số dịng trong trang sách lúc đầu.

<b>BÀI 3. Theo dự kiến, một đội xe đự định điều động một số lượng xe để chuyên chở 420 tấn</b>
hàng . Nhưng thực tế đội đã điêù động thêm 5 xe nữa . Do vậy mỗi xe chuyên chở ít hơn ban
đầu 7 tấn so với dự kiến. Tính số lượng xe mà đội đã điều động chuyên chở.

<b>BÀI 4. Tổng của chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục của một số có hai chữ số là</b>
10. Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì sẽ được số mới nhỏ hơn số
ban đầu 18 đơn vị. Tìm số có hai chữ số.

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

gian quy định họ đó hồn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của
mỗi tổ theo kế hoạch ?

<b>BÀI 6. Theo dự kiến , một công nhân dự định làm 70 sản phẩm trong thời gian đã định.</b>
Nhưng thực tế , do áp dụng khoa học kỹ thuật nên đã tăng năng suất 5 sản phẩm mỗi giờ
.Do đó khơng những hồn thành trước thời hạn 40 phút mà cịn vượt mức 10 sản phẩm.

Tính năng suất dự kiến.

<b>BÀI 7. Một công nhân dự định làm 33 sản phẩm trong thời gian đã định . Trước khi làm việc</b>
xí nghiệp giao thêm cho 29 sản phẩm nữa . Do vậy mặc dù người đó đã làm tăng mỗi giờ 3
sản phẩm song vẫn hoàn thành chậm hơn dự kiến 1 giờ 30 phút. Tính năng suất dự kiến.
<b>BÀI 8. Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào một bể chứa trong thời gian đã định thì mỗi</b>
giờ phải bơm được 10 m3_{. Sau khi bơm được 1/3 thể tích bể chứa , người cơng nhân vận}
hành cho máy hoạt động với công suất lớn hơn 5m3_{mỗi giờ so với ban đầu. Do vậy , so với}
qui định bể chứa được bơm đầy trước 48 phút . Tính thể tích bể chứa .

<b>BÀI 9. Một xí nghiệp giao cho một cơng nhân làm 120 sản phẩm trong thời gian qui định. Sau</b>
khi làm được 2 giờ , người đó cải tiến kỹ thuật nên đã tăng được 4sản phẩm/ giờ so với dự
kiến . Vì vậy trong thời gian qui định khơng những hồn thành kế hoạch mà cịn vượt mức 16
sản phẩm. Tính năng suất làm lúc đầu.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>PHẦN HÌNH HỌC</b>

<b>Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, </b>
CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P.

Chứng minh rằng:

1. Tứ giác CEHD, nội tiếp .

2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.

4. H và M đối xứng nhau qua BC.

5. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

<b>Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là</b>
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.

1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .

2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
3. Chứng minh ED = 2

1
BC.

4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường trịn (O).
5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.

<b>Bài 3 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua</b>
điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và
D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.

1. Chứng minh AC + BD = CD.
2. Chứng minh COD = 900.
3. Chứng minh AC. BD = 4

2
<i>AB</i>

.
4. Chứng minh OC // BM

5. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường trịn đường kính CD.

6. Chứng minh MN  AB.

7. Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất.

<b>Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường trịn</b>
bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK.

<b>1.</b> Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.
<b>2.</b> Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường trịn (O).

<b>3.</b> Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.

<b>Bài 5 Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường</b>
thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ
tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC  MB, BD  MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là
giao điểm của OM và AB.

1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.

2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn .
3. Chứng minh OI.OM = R2_{; OI. IM = IA}2_.

4. Chứng minh OAHB là hình thoi.

5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.

6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

1. Chứng minh tam giác BEC cân.

2. Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH.
3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH).
4. Chứng minh BE = BH + DE.

<b>Bài 7 Cho đường trịn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một</b>
điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.

1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn.
2. Chứng minh BM // OP.

3. Đường thẳng vng góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là
hình bình hành.

4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I,
J, K thẳng hàng.

<b>Bài 8 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M</b>
khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax
tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H,
cắt AM tại K.

1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh rằng: AI2_{= IM . IB.}

3) Chứng minh BAF là tam giác cân.

4) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi.

5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.

<b>Bài 9 Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường trịn sao </b>
cho AM < MB. Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, M’A.
Gọi P là chân đương vng góc từ S đến AB.

1. Chứng minh bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đường tròn

2. Gọi S’ là giao điểm của MA và SP. Chứng minh rằng tam giác PS’M cân.
3. Chứng minh PM là tiếp tuyến của đường tròn .

<b>Bài 12 Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB và CD vng góc với nhau.</b>
Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O). CM cắt (O) tại N. Đường thẳng vng góc với
AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở P. Chứng minh :

1. Tứ giác OMNP nội tiếp.

2. Tứ giác CMPO là hình bình hành.

3. CM. CN khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

4. Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định nào.

<b>Bài 13 Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC</b>
chứa điển A , Vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB tại E, Nửa đường tròn đường kính
HC cắt AC tại F.

1. Chứng minh AFHE là hình chữ nhật.
2. BEFC là tứ giác nội tiếp.

3. AE. AB = AF. AC.

4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn .

<b>Bài 14 Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường trịn (O) có</b>
đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại D. đường thẳng AD cắt đường
tròn (O) tại S.

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

3. Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng
BA, EM, CD đồng quy.

4. Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE.

5. Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.

<b>Bài 15 Cho tam giác ABC vuông ở A.và một điểm D nằm giữa A và B. Đường trịn đường</b>
kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại F, G. Chứng
minh :

1. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD.
2. Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp .

3. AC // FG.

4. Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy.

<b>Bài 16. Cho đường trịn (O; R) và (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc ngoài nhau tại C. Gọi AC và BC</b>
là hai đường kính đi qua điểm C của (O) và (O’). DE là dây cung của (O) vuông góc với AB
tại trung điểm M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của DC với (O’) là F, BD cắt (O’) tại G. Chứng
minh rằng:

1. Tứ giác MDGC nội tiếp .

2. Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đường tròn
3. Tứ giác ADBE là hình thoi.

4. B, E, F thẳng hàng
5. DF, EG, AB đồng quy.
6. MF = 1/2 DE.

7. MF là tiếp tuyến của (O’).

<b>Bài 17. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi I là trung điểm của OA . Vẽ đường tron</b>
tâm I đi qua A, trên (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) tại Q.

1. Chứng minh rằng các đường tròn (I) và (O) tiếp xúc nhau tại A.
2. Chứng minh IP // OQ.

3. Chứng minh rằng AP = PQ.

4. Xác định vị trí của P để tam giác AQB có diện tích lớn nhất.

<b>Bài 18. Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vng góc</b>
với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K.

1. Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp .
2. Tính góc CHK.

3. Chứng minh KC. KD = KH.KB

4. Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đường nào?

<b>Bài 19. Cho tam giác ABC vng ở A. Dựng ở miền ngồi tam giác ABC các hình vng</b>
ABHK, ACDE.

1. Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng.

2. Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F, chứng minh FBC là
tam giác vuông cân.

3. Cho biết ABC > 450 ; gọi M là giao điểm của BF và ED, Chứng minh 5 điểm B, K, E,
M, C cùng nằm trên một đường tròn.

4. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

<b>Câu 20</b> Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm bên ngồi đờng trịn. Kẻ tiếp tuyến AB,
AC với đờng tròn (B, C là các tiếp điểm).

1/ Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

3/ Trên cung nhỏ BC của đờng tròn (O;R) lấy điểm K bất kỳ (K khác B và C). Tiếp tuyến tại K
của đờng tròn (O;R) cắt AB, AC theo thứ tự tại P, Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi
khơng đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.

4/ Đờng thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đờng thẳng AB, AC theo thứ tự tại các
điểm M, N. Chứng minh PM + QN ≥ MN.

<b>Câu 21 Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 14, BC = 50. Đờng phân giác của góc ABC và</b>
đờng trung trực của cạnh AC cắt nhau tại E.

1. Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp đợc trong một đờng tròn. Xác định tâm O của
đ-ờng trịn này.

2. Tính BE.

3. Vẽ đờng kính EF của đờng tròn tâm (O). AE và BF cắt nhau tại P. Chứng minh các
đờng thẳng BE, PO, AF đồng quy.

4. Tính diện tích phần hình trịn tâm (O) nằm ngồi ngũ giác ABFCE.
<b>Bài 22 (2,75đ) hue</b>

Cho đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R. Vẽ tiếp tuyến d với đờng tròn (O) tại B. Gọi C và D là
hai điểm tuỳ ý trên tiếp tuyến d sao cho B nằm giữa C và D. Các tia AC và AD cắt (O) lần lợt
tại E và F (E, F khác A).

1. Chứng minh: CB2_{= CA.CE}

2. Chứng minh: tứ giác CEFD nội tiếp trong đờng tròn tâm (O’_).

3. Chứng minh: các tích AC.AE và AD.AF cùng bằng một số không đổi. Tiếp tuyến của (O’₎
kẻ từ A tiếp xúc với (O’_{) tại T. Khi C hoặc D di động trên d thì điểm T chạy trên đờng thẳng cố}
định nào?

<b>Câu 23: HCM Cho tam giác ABC (AB<AC) có ba góc nhọn nội tiếp đờng trịn (O) có tâm O,</b>
bán kính R. Gọi H là giao điểm của ba đờng cao AD, BE, CF của tam giác ABC. Gọi S là diện
tích tam giác ABC.

a) Chúng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác nội tiếp đờng tròn.

b) Vẽ đờng kính AK của đờng trịn (O). Chứng minh tam giác ABD và tam giác AKC
đồng dạng với nhau. Suy ra AB.AC = 2R.AD và S =

. .
4
<i>AB BC CA</i>

<i>R</i> _.

c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh EFDM là tứ giác nội tiếp đờng tròn.
d) Chứngminh rằng OC vng góc với DE và (DE + EF + FD).R = 2 S.

<b>Bài 24 (4,00 điểm) KH</b>

Cho đường trịn (O; R). Từ một điểm M nằm ngồi (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB (A, B là
hai tiếp điểm). Lấy điểm C bất kì trên cung nhỏ AB (Ckhác với A và B). Gọi D, E, F lần lượt là
hình chiếu vng góc của C trên AB, AM, BM.

a. Chứng minh AECD là một tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh: <i>CDE CBA</i> 

c. Gọi I là giao điểm của AC và ED, K là giao điểm của CB và DF. Chứng minh IK//AB.
d. Xác định vị trí điểm C trên cung nhỏ AB để (AC2_{+ CB}2_{) nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất}

đó khi OM = 2R.

<b>Bài 25: Cho đường trịn tâm O có các đường kính CD, IK (IK khơng trùng CD)</b>
1. Chứng minh tứ giác CIDK là hình chữ nhật

2. Các tia DI, DK cắt tiếp tuyến tại C của đường tròn tâm O thứ tự ở G; H
a. Chứng minh 4 điểm G, H, I, K cùng thuộc một đường tròn.

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<b>Bài 26: (3 điểm) BÌNH ĐỊNH</b>

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), I là trung điểm của BC, M là 1 điểm trên
đoạn CI (M khác C và I). Đường thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
tam giác AIM tại M cắt BD tại P và cắt DC tại Q.

a. Chứng minh DM . AI = MP . IB
b. Tính tỉ số

<b>Bài 27: (3,0 điểm) BÌNH ĐỊNH</b> Đề chính thức

Cho tam giác vng ABC nội tiếp trong đường trịn tâm O đường kính AB. Kéo dài AC
(về phía C) đoạn CD sao cho CD = AC.

1. Chứng minh Tam giác ABD cân.

2. Đường thẳng vng góc với AC tại A cắt đường trịn (O) tại E. Kéo dài AE (về phía
E) đoạn EF sao cho EF = AE. Chứng minh rằng ba điểm D, B, F cùng nằm trên
một đường thẳng.

3. Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn (O).
<b>Bài 28 (4.0 điểm ) QUẢNG NAM</b>

Cho đường trịn tâm (O) ,đường kính AC .Vẽ dây BD vng góc với AC tại K ( K nằm
giữa A và O).Lấy điểm E trên cung nhỏ CD ( E không trùng C và D), AE cắt BD tại H.

a) Chứng minh rằng tam giác CBD cân và tứ giác CEHK nội tiếp.
b) Chứng minh rằng AD2 _{= AH . AE.}

c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm .Tính chu vi của hình trịn (O).

d) Cho góc BCD bằng α . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ tam
giác MBC cân tại M .Tính góc MBC theo α để M thuộc đường tròn (O).

<b>Bài 29</b>.<b> NAM ĐỊNH</b> ( 3,0 điểm) Cho đờng trịn (O; R) Và điểmA nằm ngồi (O; R) .Đờng trịn

đờng kính AO cắt đờng trịn (O; R) Tại M và N. Đờng thẳng d qua A cắt (O; R) tại B và C ( d
không đi qua O; điểm B nằm giữa A và C). Gọi H nlà trung điểm của BC.

1) Chứng minh: AM là tiếp tuyến của (O; R) và H thuộc đờng tròn đờng kính AO.

2) Đờng thẳng qua B vng góc với OM cắt MN ở D. Chứng minh rằng:

a) Góc AHN = góc BDN

b) Đờng thẳng DH song song với đờng thẳng MC.

c) HB + HD > CD

<b>Câu 30: (3,0đ). NGHỆ AN</b> Cho đờng trịn (O;R), đờng kính AB cố định và CD là một đờng
kính thay đổi khơng trùng với AB. Tiếp tuyến của đờng tròn (O;R) tại B cắt các đờng thẳng
AC và AD lần lợt tại E và F.

1. Chứng minh rằng BE.BF = 4R2_.

2. Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đờng tròn.

3. Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD. Chứng minh rằng tâm I luôn nằm
trên một đờng thẳng cố định.

<b>Bài 31. (3,0 điểm)</b> QUẢNG NINH

Cho điểm M nằm ngồi đờng trịn (O;R). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA , MB đến đờng tròn
(O;R) ( A; B là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh MAOB là tứ giác nội tiếp.

b) Tính diện tích tam giác AMB nếu cho OM = 5cm và R = 3 cm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<b>Bài 32 : (3 điểm) HẢI PHỊNG</b>

Cho tam giác ABC vng tại A .Một đường tròn (O) đi qua B và C cắt các cạnh AB , AC
của tam giác ABC lần lượt tại D và E ( BC khơng là đường kính của đường tròn tâm
O).Đường cao AH của tam giác ABC cắt DE tại K .

1.Chứng minh ADE ACB  _.

2.Chứng minh K là trung điểm của DE.

3.Trường hợp K là trung điểm của AH .Chứng minh rằng đường thẳng DE là tiếp tuyến
chung ngồi của đường trịn đường kính BH và đường trịn đường kính CH.

<b>Bài 33: (3,5 điểm) KIÊN GIANG</b>

Cho đường trịn (O) có đường kính AB = 2R. Trên tia đối của AB lấy điểm C sao cho BC
= R, trên đường tròn lấy điểm D sao cho BD = R, đường thẳng vng góc với BC tại C cắt
tia AD ở M.

a) Chứng minh tứ giác BCMD là tứ giác nội tiếp .
b) Chứng minh tam giác ABM là tam giác cân .
c) Tính tích AM.AD theo R .

d) Cung BD của (O) chia tam giác ABM thành hai hần. Tính diện tích phần của tam giác
ABM nằm ngoài (O) .

<b>Bài 34 : (3,5 điểm) AN GIANG</b>

Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB và dây CD vng góc với nhau (CA <
CB). Hai tia BC và DA cắt nhau tại E. Từ E kẻ EH vng góc với AB tại H ; EH cắt CA ở F.
Chứng minh rằng :

1/ Tứ giác CDFE nội tiếp được trong một đường tròn.
2/ Ba điểm B , D , F thẳng hàng.

3/ HC là tiếp tuyến của đường trịn (O).

<b>Bài 35 (3,5 điểm) THÁI BÌNH</b> Cho đường tròn (O; R) và A là một điểm nằm bên ngồi đường
trịn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).

1)Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.

2)Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vng góc với OA
và OE.OA=R2_.

3)Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O; R) lấy điểm K bất kì (K khác B và C). Tiếp tuyến
tại K của đường tròn (O; R) cắt AB, AC theo thứ tự tại các điểm P và Q. Chứng minh
tam giác APQ có chu vi khơng đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.

4)Đường thẳng qua O, vng góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại
các điểm M, N. Chứng minh PM + QN ≥ MN.

<b>Bài 36. (3,5 điểm) </b>THÁI BÌNH

Cho hình vng ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C). Qua B kẻ đường thẳng
vng góc với DM, đường thẳng này cắt các đường thẳng DM và DC theo thứ tự tại H và
K.

1. Chứng minh: Các tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường trịn;
2. Tính CHK ;

3. Chứng minh KH.KB = KC.KD;

4. Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại N. Chứng minh 2 2 2

1 1 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Trên đoạn thẳng AB cho điểm C nằm giữa A và B. Trên cùng một nửa mặt phẳng có
bờ là AB kẻ hai tia Ax và By cùng vng góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I, tia vng góc với
CI tại C cắt tia By tại K. Đường trịn đường kính IC cắt IK tại P ( P khác I)

a, Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp một đường tròn, chỉ rõ đường tròn này.
b, Chứng minh <i>CIP PBK</i>  _.

c, Giả sử A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho diện tích tứ giác ABKI lớn
nhất.

<b>Bài 38 (3,5 điểm) THANH HĨA</b>

Cho nửa đương trịn tâm O đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia BA lấy điểm G
(khác với điểm B) . Từ các điểm G; A; B kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) . Tiếp
tuyến kẻ từ G cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A avf B lần lượt tại C và D.

1. Gọi N là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ G tới nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ
giác BDNO nội tiếp được.

2. Chứng minh tam giác BGD đồng dạng với tam giác AGC, từ đó suy ra

<i>CN</i> <i>DN</i>
<i>CG</i> <i>DG</i> _.
3. Đặt <i>BOD</i> _{Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BD theo R và}__{. Chứng tỏ rằng tích}
AC.BD chỉ phụ thuộc R, không phụ thuộc .

<b>Bài 39</b>. ( 3,5 điểm )<b> ĐÀ NẲNG</b> Cho đường trịn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa

A và O sao cho AI =

2

3

_{AO. Kẻ dây MN vng góc với AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung}

lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Chứng minh ∆AME ∆ACM và AM2_{= AE.AC.}

c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2_.

d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.

<b>Câu 40 : PHÚ YÊN</b> ( 2,5 điểm ) Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường trịn
đường kính AB = 2R . Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC

a) Chứng minh tứ giác : CBMD nội tiếp được
b) Chứng minh rằng : DB.DC = DN.AC

c) Xác định vị trí của điểm D để diện tích hình bình hành ABCD có diện tích lớn nhất
và tính diện tích trong trường hợp này

<b>Bài 41: (3,0 điểm) HƯNG YÊN</b>

Cho A là một điểm trên đờng trịn tâm O, bán kính R. Gọi B là điểm đối xứng với O
qua A. Kẻ đờng thẳng d đi qua B cắt đờng tròn (O) tại C và D (d không đi qua O, BC < BD).
Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại C và D cắt nhau tại E. Gọi M là giao điểm của OE và
CD. Kẻ EH vng góc với OB (H thuộc OB). Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm B, H,M, E cùng thuộc một đờng tròn.
b) OM.OE = R2

c) H là trung điểm của OA.
<b>Bài 42 (3,5 điểm). QUẢNG TRỊ</b>

Cho tam giác ABC có góc A bằng 600_{, các góc B, C nhọn. vẽ các đường cao BD và CE}
của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của BD và CE.

a/ Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

c/ Tính tỉ số DE

BC .

d/ Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh OA vng góc với

DE.

<b>Câu 43 </b><i><b>(3,5 điểm)</b></i><b> QUẢNG TRỊ</b>

Cho điểm A nằm ngồi đường trịn tâm O bán kính R. Từ A kẻ đường thẳng (d) khơng đi
qua tâm O, cắt đường trịn (O) tại B và C ( B nằm giữa A và C). Các tiếp tuyến với đường
tròn (O) tại B và C cắt nhau tại D. Từ D kẻ DH vng góc với AO (H nằm trên AO), DH cắt
cung nhỏ BC tại M. Gọi I là giao điểm của DO và BC.

1. Chứng minh OHDC là tứ giác nội tiếp được.
2. Chứng minh OH.OA = OI.OD.

3. Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường trịn (O).

4. Cho OA = 2R. Tính theo R diện tích của phần tam giác OAM nằm ngồi đường tròn
(O).

<b>Câu 44 : (3,0 điểm) HẢI DƯƠNG</b>

Cho đờng tròn (O), dây AB không đi qua tâm. Trên cung nhỏ AB lấy điểm M (M
không trùng với A, B). Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H. Kẻ MK vng góc với AN



K



AN



.

1) Chứng minh: Bốn điểm A, M, H, K thuộc một đờng tròn.
2) Chứng minh: MN là phân giác của góc BMK.

3) Khi M di chuyển trên cung nhỏ AB. Gọi E là giao điểm của HK và BN.

Xác định vị trí của điểm M để (MK.AN + ME.NB) có giá tr ln nht.
<b>Cõu 45:(3 im)</b> Hải Dơng chính thức

Cho tam giác MNP cân tại M có cậnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường
tròn ( O;R). Tiếp tuyến tại N và P của đường tròn lần lượt cắt tia MP và tia MN tại E
và D.

a) Chứng minh: NE2_{= EP.EM}

a) Chứng minh tứ giác DEPN kà tứ giác nội tiếp.

b) Qua P kẻ đường thẳng vng góc với MN cắt đường trịn (O) tại K
( K không trùng với P). Chứng minh rằng: MN2_{+ NK}2_{= 4R}2_.

<b>Bài 46: HÀ GIANG</b> (3,0 điểm ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đờng tròn
tâm O, ba đờng cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau ở H. Kéo dài AO cắt đờng tròn
tại M, AD cắt đờng tròn O ở K ( K khác A, M khác A). Chứng minh rằng :

a, MK song song BC.
b, DH = DK.

c, HM đi qua trung điểm I của BC.
<b>Bài 47: (3 điểm)</b> BÌNH THUẬN

Cho tam giác ABC vng tại A có các cạnh AB = 4,5 cm; AC = 6 cm.
<b>1/ Tính độ dài đường cao AH và diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giác ABC.</b>

<b>2/ Trên cạnh AC lấy điểm M và vẽ đường trịn (O) đường kính MC, BM cắt (O) tại D; DA cắt </b>
(O) tại S; (O) cắt BC tại N. Chứng minh:

<b>a/ Các tứ giác ABCD, ABNM nội tiếp.</b>
<b>b/ CA là phân giác góc SCB.</b>

<i><b>Câu 48</b>: (3đ)</i><b> Long An</b>

Cho đường trịn (O) đường kính AB, C là một điểm nằm giữa O và A Đường thẳng qua C
vuông góc với AB cắt (O) tại P,Q.Tiếp tuyến tại D trên cung nhỏ BP, cắt PQ ở E; AD cắt PQ
tại F .Chứng minh:

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

b/ED=EF
c/ED2_=EP.EQ

<b>Câu 49: (</b><i><b>3,0 điểm</b></i><b>)</b> BẮC NINH

Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB. Từ điểm M trên tiếp tuyến Ax của nửa đờng
tròn vẽ tuyếp tuyến thứ hai MC(C là tiếp điểm). Hạ CH vng góc với AB, đ ờng thẳng MB cắt
đờng tròn (O) tại Q và cắt CH tại N. Gọi giao điểm của MO và AC là I. Chứng minh rằng:

a/ Tứ giác AMQI nội tiếp.
b/ <i>AQI</i> <i>ACO</i>

c/ CN = NH.

<b>Câu 50:(3,0 điểm)</b> BẮC GIANG

1/ Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O. Các đờng cao BH và CK tam giác
ABC cắt nhau tại điểm I. Kẻ đờng kính AD của đờng tròn tâm O, các đoạn thẳng DI và BC cắt
nhau tại M.Chứng minh rằng.

a/Tứ giác AHIK nội tiếp đợc trong một đờng tròn.

b/OM_BC.

2/Cho tam giác ABC vuông tại A,các đờng phân giác trong của gốc B và góc C cắt các
cạnh AC và AB lần lợt tại D và E. Gọi H là giao điểm của BD và CE, biết AD=2cm, DC= 4
cm tính độ dài đoạn thẳng HB.

<b>Câu 51:(3,0 điểm)</b> BẮC GIANG

Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB cố định. H thuộc đoạn thẳng OA( H khác A;O và trung
điểm của OA). Kẻ dây MN vng góc với AB tại H. MN cắt AK tại E.

1. Chứng minh tứ giác HEKB nội tiếp.

2. Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác AKM.

3. Cho điểm H cố định, xác định vị trí của K để khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại
tiếp tam giác MKE nhỏ nhất.

<i><b>Bài 52:</b></i> (3,5 điểm)<b> ĐĂK LĂK</b> Cho tam giác vuông cân ADB ( DA = DB) nội tiếp trong đường

trịn tâm O. Dựng hình bình hành ABCD ; Gọi H là chân đường vng góc kẻ từ D đến AC ;
K là giao điểm của AC với đường tròn (O). Chứng minh rằng:

1/ HBCD là một tứ giác nội tiếp.
2/ DOK 2.BDH

3/ CK CA<b>.</b> 2.BD2

<b>Bài 53 (3,5điểm) BÌNH DƯƠNG</b>

Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB có bán kính R, tiếp tuyến Ax. Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm
F sao cho BF cắt đờng trịn tại C, tia phân giác của góc ABF cắt Ax tại E và cắt đờng tròn tại
D .

a) Chứng minh OD // BC .

b) Chứng minh hệ thức : BD.BE = BC.BF .
c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp.

d) Xác định số đo của góc ABC để tứ giác AOCD là hình thoi. Tính diện tích hình thoi
AOCD theo R .

<i><b>Bài 54 (3,0 điểm): quảng bình</b></i> Cho tam giác PQR vng cân tại P. Trong góc PQR kẻ tia Qx

bất kỳ cắt PR tại D (D không trùng với P và D không trùng với R). Qua R kẻ đờng thẳng
vng góc với Qx tại E. Gọi F là giao điểm của PQ và RE.

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24></div>

<!--links-->