Bat dang thuc co nhieu cach giai

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (132.45 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN

MỘT SỐ BÀI TỐN THCS VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
 I. Cơ sở lí thuyết:

BĐT Côsi và Bunhiacopsky, cụ thể BĐT đơn giản sau: “ (a+b)

(

1
a+

b

)

≥4,∀a , b>0 , dấu = xảy
ra khi a = b”

II. Khai thác và phát triển bất đẳng thức:
 1. Chứng minh: “ (a+b)

(

a+

b

)

≥4,∀a , b>0 , dấu = xảy ra khi a = b”
Chú ý: Các cách giải dưới đây đều thoả mãn dấu “=” xảy ra khi a = b
Cách 01: Kỹ thuật nhân BĐT cơsi

* Ta có: a+b ≥2

√

ab (1) và 1
a+

b≥2

√

a.

b (2)
Lấy (1) nhân (2) về theo vế ta được (a+b)

(

a+

b

)

≥4,∀a , b>0 (ĐPCM)
Bình luận: Lời giải q đơn giản phải khơng?

Cách 02: Kỹ thuật Bunhiacơpsky
* Ta có (a+b)

(

a+

b

)

=¿

[

(

√

a)

√

b)2

]

[

(

√

a

)

(

√

b

)

]

≥

(

√

a. 1

√

a+

√

b.

√

b

)

=4
Bình luận: sao lại phải tạo bình phương thế nhỉ ?

Cách 03: Kỹ thuật 01 tạo bình phương đúng
* Ta có (a  b)2 0⇔(a+b)2≥4 ab⇔(a+b)

(a+b) ≥

4 ab

(a+b)
(vì a, b > 0) ⇔(a+b)≥

(a+b)

⇔(a+b)≥ 4

a+

b

⇔(a+b)

(

1
a+

b

)

≥4 (ĐPCM)
Bình luận :

+ Tại sao lại chia hai vế cho (a + b) > 0?
+ Nhân cả tử và mẫu cho tích ab để làm gì ?

Cách 04: Kỹ thuật 02 tạo bình phương đúng
* Khơng mất tính tổng quát giả sử:

a ≥ b⇔a − b ≥0⇔(a −b)2≥0⇔a2+b2−2 ab≥0⇔

(

a2+b2

)

≥2 ab

(

a2+b2

)

ab ≥2⇔

a
b+

b

a≥2⇔2+
a
b+

b

a≥2+2⇔

(

1+
a
b

)

(

b
a

)

≥4

(

aa+

a
b

)

(

b
b+

b

a

)

≥4⇔a

(

a+

b

)

+b

(

a+

b

)

≥4⇔(a+b)

(

a+

b

)

≥4 (ĐPCM)
Bình luận:

+ Tại sao lại cộng hai vế với 2 nhỉ?
+ Tách 2 = 1 + 1 để làm gì?

Cách 05: Kỹ thuật 03 tạo bình phương đúng
* Ta có ( a – b )2

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

⇔ a
b+

b
a≥2⇔

a
b+

b

a+2≥2+2⇔

(

a
b+

b

a+2

)

≥4 ⇔

(

a
b+

b
a+2

)

≥42⇔

(

ab+
b
a

)

(

a
b+

b

a

)

+4≥16
⇔a2

b2+
b2

a2+

4a
b +

4b

a +6≥16
⇔a2

b2+

b2
a2+

2a
b +
2a
b +
2b
a +
2b

a +4+2≥16
⇔

(

a2

b2+1+

2a
b

)

(

2b
a +

2a
b +4

)

(

b2
a2+1+

2b
a

)

≥16
⇔

(

a

b2+

a2
a2+

2a2

)

(

2 ab

a2 +

2 ab

b2 +

4 ab .
ab

)

(

b2

a2+

b2
b2+

2b2

)

≥16

⇔a2

(

1
b2+

a2+

)

+2 ab

(

a2+

b2+

2.
ab

)

+b

(

a12+

b2+

2
ab

)

≥16

⇔

(

a2+2 ab+b2

)

(

1
a2+

2
ab+

b2

)

≥16⇔(a+b)
2

(

1a+

b

)

≥42⇔(a+b)

(

1
a+

b

)

≥4 ( ĐPCM)
Bình luận: Lời giải thật phức tạp, tại sao lại biến đổi được như vậy nhỉ?

Cách 06: Kỹ thuật 04 tạo lập phương đúng .
* Theo Ta có ( a – b )2

0⇔a2+b2≥2 ab

⇔ a

b+
b
a≥2⇔

a
b+

b

a+2≥2+2⇔

(

a
b+

b

a+2

)

≥4
⇔

(

a

b+
b
a+2

)

=43⇔

(

a
b+

b
a

)

(

a
b+

b
a

)

+12

(

a
b+

b

a

)

+8≥64
⇔

(

a

b+
b
a

)

(

a

b2+
b2

a2

)

+12

(

a
b+

b

a

)

+20≥64
⇔

(

a

b+
b
a

)

−3

(

a

b+
b
a

)

(

a
b+

b
a

)

(

a
b+

b
a

)

(

a2
b2+

b2

a2

)

+20≥64

⇔

(

a
b+

b

a

)

−3

(

a

b2.
b
a+

a
b.

b2
a2

)

(

a
b+

b
a

)

(

a
b+

b
a

)

(

a2
b2+

b2

a2

)

+20≥64
⇔a3

b3+
b3

a3+6

(

a
b+

b
a

)

(

a
b+

b
a

)

(

a2

b2+
b2

a2

)

+20≥64

⇔a3

b3+
b3

a3+

3a
b +
3a
b +
3b
a +
3b
a +
9a
b +
9b
a +

3a2

b2 +

3a2

b2 +

3b2

a2 +

3b2

a2 +20≥64
⇔

(

1+a

b3+

3a
b +

3a2

b2

)

(

3b
a +

3a2

b2 +9+

9a
b

)

(

3b2

a2 +

3a
b +

9b
a +9

)

(

b3

a3+1+

3b2

a2 +

3b
a

)

64⇔

(

a3
a3+

a3
b3+

3a3
a2.b+

3a3
a.b2

)

(

3a2b
a3 +

3a2b
b3 +

3a2b. 3

a2b +

3a2b. 3

ab2

)

+¿

(

3 ab

a3 +

3 ab2

b3 +

3 ab2. 3

a2b +

3a2b.3

a2b

)

(

b3
a3+

b3
b3+

3b3
a2b+

3b3

ab2

)

≥64

a3

(

1
a3+

b3+

a2b+

3
ab2

)

+3a

b

(

1
a3+

b3+

a2b+

ab2

)

+3 ab

(

a13+

b3+

a2b+

3
ab2

)

+¿

+ b3

(

1
a3+

b3+
3

a2b+
3

ab2

)

≥64⇔(a
3

+3a2b+3 ab2+b3)

(

a3+
3

a2b+
3
ab2+

b3

)

≥4
3

(a+b)3

(

a+

b

)

≥43⇔(a+b)

(

1a+

b

)

≥4 ( ĐPCM)
Bình luận:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

+ Liệu có cách tạo được 4; 5;6; … ; n tương tự như trên 1 không?
Cách 07: Kỹ thuật gắn Hình học.

* Xét tứ giác ABCD có AB = 2

√

ab (đvđd); CD = 2

√

ab (đvđd).

Một điểm M thuộc miền trong tứ giác sao cho MA = a (đvđd); MB = b (đvđd);
MC = 1b (đvđd); MD = 1a (đvđd) (a; b >0)

Xét tam giác MAB có: MA+MA≥AB⇔a+b ≥2

√

ab (*)
Xét tam giác MCD có: MC+MD≥CD⇔1

a+

b≥

√

ab (**)

Lấy (*) nhân (**) vế theo vế ta có: (a+b)

(

1
a+

b

)

≥4 (ĐPCM );
dấu “=” khi a = b hay MA = MB và MC = MD

(tam giác MAB cân tại M và tam giác MCD cân tại M )

Bình luận: Khá táo bạo, ngược dịng nước chuyển từ đại số sang Hình học.
Cách 08: Kỹ thuật biến đổi tương đương.

* Ta có: (a+b)

(

1
a+

b

)

≥4⇔2+
a

b+

b

a−4≥0⇔
a
b−2

√

a

√

b.

√

b

√

a+
b

a≥0⇔(

√

a −

√

b)

≥ 0
(ln đúng) (ĐPCM)

Bình luận: Lời giải thật giản đơn phải không bạn .
Cách 09: Kỹ thuật lượng giác

* Đặt a = Sin2x > 0 ; b = Cos2x > 0 nên a + b = 1

Mà: (a+b)

(

a+

b

)

≥4⇔
(a+b)2

ab ≥4⇔4 ab≤1⇔4 cos

x. sin2x ≤1⇔(sin 2x)2≤1
(ln đúng) vì a + b =1 (ĐPCM)

Bình luận: Các bạn thấy sao ?
Cách 10: Kỹ thuật đổi biến .
* Đặt a = xy>0 ; b = y

x>0⇒a.b=1
Ta có: (a+b)

(

a+

b

)

≥4⇔
(a+b)2

ab ≥4⇔

(

x
y+

y
x

)

≥4⇔

(

x
y−

y
x

)

≥0 (đúng) (ĐPCM)
Bình luận: Cũng có thể đặt a =

(

xy

)

n

; b =

(

xy

)

n

; n∈N❑

Cách 11: Kỹ thuật chuẩn hố (biểu thức đối xứng đồng bậc)
Khơng mất tổng quát ta giả sử a + b = k > 0

Ta có (a+b)

(

1
a+

b

)

≥4⇔
(a+b)2

ab ≥4⇒k

≥4a(k − a)⇔(k −2a)2≥0 (đúng)
Cách 12: Kỹ thuật 01 thêm biến .

* Không mất tính tổng ta giả sử 0 a ≤ b⇒ tồn tại số K 0 sao cho a + K = b
(a+b)

(

a+

b

)

≥4⇒(2a+K)

(

2a+K

a(a+K)

)

≥4⇔(2a+K)

≥4a(a+K)⇔K2≥0 (đúng)
Cách 13: Kỹ thuật 02 thêm biến.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

(a+b)

(

1
a+

b

)

≥4⇒(a+Ka)

(

a+

)

≥4⇔(a+Ka)

≥4 ka2⇔(K −1)2≥0 (Đúng)
Cách 14: Kỹ thuật 03 thêm biến.

* Khơng mất tính tổng qt ta giả sử ab = K > 0
(a+b)

(

a+

b

)

≥4⇒

(

a+
K
a

)

(

a+K
a

K

)

≥4⇔

(

a+
K

a

)

≥4K⇔

(

a − K
a

)

≥0 (Đúng)

Cách 15: Kỹ thuật đánh giá.

* Không mất tính tổng quát ta giả sử

a ≥ b>0⇒
a+b ≥2b>0
ab≥ b2

⇔

¿(a+b)2≥4b2>0

ab≥ b2

>0
(∗)

¿{
Mặt khác: (a+b)

(

a+

b

)

≥4⇔
(a+b)2

ab ≥4⇒

4b2

b2 ≥4⇒4≥4 (luôn đúng)
Cách 16: Kỹ thuật Bunhia ngược dấu.

* Ta có:

(

1
a+

b

)

≥
(1+1)2

a+b ⇔(a+b)

(

a+

b

)

≥4 (vì a+b > 0)
Bình luận: Đơn giản quá phải không?

Cách 17: Kỹ thuật 01 đổi biến .

* Không mất tính tổng quát ta giả sử a + b = K và tồn tại t > 0 sao cho: a = t.x >0 và b = t.y > 0.
Suy ra a+ b = t.x + t.y suy ra x+ y = Kt

Mà (a+b)

(

1
a+

b

)

≥4⇔
(a+b)2

ab ≥4⇒

t2

(x+y)2

t2.x.y ≥4⇔(x − y)

2≥0

(đúng)
Bình luận: Thật không đơn giản chút nào.

Cách 18: Kỹ thuật 02 đổi biến

Đặt a = t.x > 0 và b = K.y > 0 ( k ; t ; x ;y > 0 )
Do đó từ (a+b)

(

a+

b

)

≥4⇔
(a+b)2

ab ≥4⇒

(t.x+Ky)2

t.K.x.y ≥4⇔(tx−Ky)

≥0 (đúng)
Cách 19: Kỹ thuật chuẩn hố 02

* Khơng mất tính tổng quát ta giả sử a + b =2
Do đó (a+b)

(

a+

b

)

≥4⇔
(a+b)2

ab ≥4⇔ab≤1 ln đúng

Vì ab (a+b)

4 =1 ; a + b =2

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

* Đặt
¿
a=x

z>0
b=y

z >0

¿{

;

Khơng mất tính tổng quát giả sử a ≥ b>0⇔x ≥ y ≥1
Do đó (a+b)

(

a+

b

)

≥4⇔

(

x
z+

y
z

)(

z
x+

z

y

)

≥4⇔(x+y)

≥4 xy⇔(x − y)2≥0 (ln đúng)

Cách 21: Kỹ thuật phương trình bậc hai .

*Đặt

¿
s=a+b>0

p=ab>0
¿{

; thế thì a và b là nghiệm của phương trình bậc hai sau: X2 – sX + p = 0

Hay X2 – ( a+b )X + ab = 0 (*), rõ ràng thoả mãn đầu bài thì phương trình (*) có nghiệm

⇔Δ ≥0⇔(a+b)2−4 ab≥0 ⇔(a+b)2≥4 ab⇔(a+b)

(a+b) ≥

4 ab

(a+b)
(vì a,b > 0 ) ⇔(a+b)≥

(a+b)

⇔(a+b)≥ 4

a+

b

⇔(a+b)

(

1
a+

b

)

≥4 (ĐPCM)

</div>

Bat dang thuc co nhieu cach giai

(

)

(

)

√

√

(

)

(

)

[

√

<sub>√</sub>

]

[

(

√

)

(

√

)

]

(

√

√

√

√

)

(

)

(

<sub>)</sub>

(

<sub>)</sub>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(