De tai Ham so va Do thi ham so

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (326.29 KB, 28 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Lời cảm ơn

u tiờn, Tụi xin gi lời cảm ơn chân thành tới GS.TSKH Đỗ Đức Thái,
ngời đã nhiệt tình hớng dẫn và giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này.

Tơi xin chân thành cảm ơn BGH trờng ĐHSP Hà Nội, Ban chủ nhiệm
khoa s phạm, các thầy cơ trong tổ mơn Tốn, đặc biệt là các thầy bên chuyên
ngành Phơng Pháp Dạy Học mơn Tốn đã tận tình giảng dạy và truyền thụ cho
tôi rất nhiều kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong năm học qua.

Tôi xin chân thành cảm ơn BGH, các thầy cơ trong tổ Tốn và học sinh
của trờng THCS Cát Trù và trờng THCS Đồng Lơng nơi tôi đã giảng dạy đã
tạo điều kiện, giúp đỡ tôi tiến hành tiến hành thực nghiệm trên thực tế học tập
của học sinh.

Sau cùng tôi xin chân thành cảm ơn tất cả các bạn bè và đồng nghiệp
của tôi đã luôn ủng hộ và giúp đỡ tôi về mi mt tụi hon thnh lun vn
ny.

Chân thành cảm ơn !

phần I

Mở đầu

1. Lớ do chn ti:

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Tốn học là một mơn khoa học rất cần sự logic và phân tích giỏi, nó có
ứng dụng rất rộng rãi trong đời sống xã hội. Toán học giúp cho ngời học tính
tốn nhanh, t duy tốt, tính chính xác cao – lơgic hợp lí, tính khoa học. Dạy
toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học phổ thông

cơ bản tạo điều kiện cho các em đợc hình thành và phát triển các phẩm chất,
năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để
nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh, góp phần cải tạo thế giới, cải
tạo thiên nhiên mang lại cuộc sống ấm no hạnh phúc cho mọi ngời.

Trong chơng trình tốn bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn của môn
đại số là "Số" và "Hàm số". Khái niệm "Hàm số" là một trong những khái
niệm khó trong chơng trình Đại Số của bậc THCS. Các khái niệm hàm số và
đồ thị hàm bắt đầu hình thành ở lớp 7 và lớp 9, từ đó đó phát triển đến các lớp
tiếp theo. Với các khái niệm hàm số, đồ thị hàm số, hàm bậc nhất, bậc hai và
các dạng đồ thị tơng ứng, phần hàm số đợc phân lợng thời gian không nhiều.
Các bài tập về hàm số, đồ thị hàm số học sinh thờng gặp nhiều khó khăn đặc
biệt là các nhận ra một quy tắc cho tơng ứng có phải là hàm số không? các
xác định hàm số khi cho biết một số điều kiện.

Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THCS và tìm hiểu tâm lý của
đối tợng học sinh tôi thấy các bài tập về đồ thị và hàm số học sinh cịn rất lúng
túng chính vì vậy tơi đã quyết định tiến hành nghiên cứu: "Vài nét về dạy học
hàm số và đồ thị hàm số"

2. Mục đích nghiên cứu:

Trong đề tài này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị hàm số,
mặt phẳng toạ độ, phơng pháp toạ độ đa ra một số ví dụ và bài tập về hàm số
và các bài tập có liên quan.

Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phơng pháp truyền thụ phù hợp với đối
tợng học sinh, phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các em,

Tôi đã giúp học sinh hiểu rõ khái niệm hàm số, đồ thị hàm số và phần bài

tập có thuật giải rõ ràng, chính xác, có nhiều nội dung ứng dụng phong phú.

3. NhiƯm vơ nghiªn cøu:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

việc áp dụng cũng nh khai thác sâu kiến thức về hàm số và đồ thị hàm số để
giải các bài tốn của học sinh cịn gặp nhiều khó khăn – và đây cũng là một
vấn đề – một nhiệm vụ mà tơi mạnh dạn tìm hiểu, đi sâu để cuối cùng đ a ra
một chuyên đề thực sự hữu ích cho các đồng nghiệp và các em học sinh tham
khảo. Trong q trình nghiên cứu và viết đề tài, tơi cịn gặp nhiều thiếu sót
mong các thầy cơ góp ý để đề tài này ngày càng hoàn thiện và đầy hn.

4. Đối tợng, phạm vi nghiên cứu:

- i tng nghiên cứu: Khái niệm hàm số, đồ thị hàm số và một số dạng toán
về hàm số và đồ thị hàm số trong chơng trình tốn THCS (lớp 7 và 9)

- Phạm vi nghiên cứu: Đi sâu việc vận dụng kiến thức về hàm số để giải một
số dạng toán: tìm tập xác định, tìm giá trị của hàm s; xỏc nh cụng thc ca
hm s; ....

5. Phơng pháp nghiªn cøu:

- Phơng pháp quan sát s phạm: quan sát học sinh khi cho các em làm bài tập,
khi xét khả năng thực lực của các em đến đâu, các em trao đổi nh thế nào?
trao đổi những gì?

- Phơng pháp dạy thực nghiệm: giảng dạy trực tiếp trên lớp để thấy đợc những
vớng mắc của học sinh khi gii mt s dng toỏn v hm s.

- Phơng pháp lấy ý kiến chuyên gia: Trực tiếp gặp gỡ và trò chuyện với các

giáo viên dạy trực tiếp hoặc các giáo viên có nhiều kinh nghiệm.

- Phng phỏp nghiờn cu sản phẩm hoạt động của học sinh: Vở bài tập v bi
kim tra ca hc sinh.

- Phơng pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục.

PhÇn II

Nội dung đề tài

Chơng I: một số vấn đề về hàm số và đồ thị hàm số

Để làm tốt các bài tập về hàm số và đồ thị trớc hết chúng ta và học sinh
cần nắm vững khái niệm hàm số và đồ th hm s.

I. Khái niệm hàm số:

Khỏi nim hm s đợc định nghĩa theo quan điểm hiện đại " Hàm số là
một ánh xạ từ tập hợp số đến mt tp hp s"

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

a. Định nghĩa:

Cho tp hợp X φ và Y φ

:

f là một ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp
Y là một quy tắc cho tơng ứng mỗi phần tử x X với một và chỉ một y Y

KÝ hiÖu: f: X Y
x  y = f(x)

Ta gọi X là tập nguồn của ánh xạ f
Y là tập đích của ánh xạ f

PhÇn tử y = f(x) Y gọi là ảnh của x qua ánh xạ f
Ví dụ:

a) Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia trong Q cũng là các ánh xạ.
Chẳng hạn 3, 1 và -5 thuộc Q cho ta tơng ứng với số -1, 9 thuộc Q; ánh xạ này
gọi là quy tắc cộng 2 số trong Q.

b) Cỏc cầu thủ An, Bách, Hà, Dũng theo thứ tự mang áo số 1; 2; 3; 4. Sự
tơng ứng giữa tên cầu thủ và số áo là một ánh xạ từ tập hợp tên các cầu thủ
đến tập hợp số áo 1; 2; 3; 4.

c) Các phép đối xứng qua trục, qua tâm,…cũng là những ánh x.

b. Các loại ánh xạ:
* Đơn ánh

ánh xạ: f: X Y

x  y = f(x)

ánh xạ f là đơn ánh ⇔ ∀ x1, x2 X: x1 x2 thì f(x1) f(x2)

Hc ⇔ ∀ x1, x2 X: x1 x2 th× f(x1) = f(x2) th× x1= x2

VÝ dơ: f: R R

x  y = f(x) = 3x

* Toàn ánh: ánh x¹ f: X Y

x  y = f(x)

ánh xạ f là toàn ánh ∀ y Y th× ∃ x X: (x) = y

Hoặc f là toàn ánh phơng trình f(x) = y luôn có nghiệm với mỗi y Y
cho tríc

VÝ dơ:
f: R R

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Là một toàn ánh vì phơng trình 2x = y luôn có nghiệm x = y

2 vi y xỏc nh.

* Song ánh: ánh xạ f: X Y

x  y = f(x)

ánh xạ f là song ánh ⇔ f là đơn ánh và f là tồn ánh

2. Hµm sè:

Theo quan điểm hiện đại, định nghĩa hàm số dựa trên các khái niệm tập
hợp và ánh xạ: Hàm số là một ánh xạ từ tập hợp số X đến tập hợp số Y.

Trong chơng trình sách giáo khoa trung học cơ sở (1991 - 2001) Khái niệm
hàm số đợc trình bày trong sách giáo khoa lớp 7 (đợc nhắc lại trong sách giáo

khoa lớp 9) nh sau:

Một hàm số f đi từ tập hợp số X đến tập hợp số Y là một quy tắc cho tơng ứng
mỗi giá trị x X một và chỉ một giá trị y Y mà kí hiệu là y = f(x)

Ngêi ta viÕt: f: X Y

x  y = f(x)

X là tập xác định, x X là biến số, y = f(x) là giá trị của hàm số f tại x.
Trong chơng trình sách giáo khoa mới (2001) định nghĩa khái niệm hàm số ở
toán 7 đã nêu rõ những thuộc tính này: " Giả sử x và y là hai đại

lợng biến thiên và nhận các giá trị số. Nếu thay đổi phụ thuộc vào x sao cho:
Với mỗi giá trị của x ta xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc
gọi là hàm số của x và x gọi là biến số"

* Chú ý: Nh vậy hàm số dù đợc định nghĩa bằng cách nào cũng u cú

thuộc tính bản chất:

+ X và Y là hai tËp hỵp sè

+ Sự tơng ứng: ứng với mỗi số x X đều xác định duy nhất một số y
Y

+ Biến thiên: x và y là các đại lợng nhận giá trị biến đổi

+ Phụ thuộc: x là đại lợng biến thiên độc lập còn y là đại lợng biến
thiên phụ thuộc

II. Khái niệm th hm s:

a. Đồ thị hàm số: (Dựa trên khái niệm tập hợp)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

+ Chú ý:

- Mi hàm số có một đồ thị xác định duy nhất và ngợc lại
- Điểm M(xM; yM) đồ thị hàm số y = f(x) ⇔ yM= f(xM)

b. C¸ch cho mét hµm sè:

Với định nghĩa hàm số, đồ thị hàm số ta thấy một hàm số có thể cho bi
cỏc cỏch:

+ Cách 1: Cho quy tắc tơng ứng thể hiện bởi công thức y = f(x)
+ Cách 2: Cho quan hệ tơng ứng thể hiện bởi bảng giá trị

+ Cách 3: Cho bằng đồ thị hàm số

c.C¸c vÝ dơ về hàm số:

* Các quy tắc sau đây cho ta mét hµm sè.
1) f: R R – {0}.

x y = 4/x
2) f: N R

Xét hàm số f: X Y (X, Y  R)
* X đợc gọi là tập xác định của hàm số.

Tập X có vai trị quan trọng, nó quy định biến số x đợc lấy những giá
trị nào: do đó tập xác định là tập tất cả các giá trị của x sao cho có thể xác
định đợc giá trị tơng ứng của y.

y= a

f(x) Chúng ta cần chú ý tp xỏc nh ca cỏc hm s cú dng sau

đây:

tập xác định là tập các giá trị x làm cho f(x)  0.

y=

√

f(x)

. tập xác định là tập các giá trị của x làm cho f(x)  0.

y= 4

x −2

VÝ dơ:

1) Víi hµm sè

Tập xác định (TXĐ): tập tất cả các số x  2.

y=√2x Hoặc tập xác định:  x  2.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

2) Với hàm số

TXĐ: Tập tất cả các số x 0.
Hay TXĐ: x 0.

3) Với hàm số y =  x - 3

TX§:  x  3.

* Theo định nghĩa của hàm số thì với mỗi x  X; giá trị y=f(x) tơng ứng
của hàm số phải là một phần tử của Y. Tập Y có thể thay bởi một tập số rộng
lớn.

TËp sè réng nhÊt ë cÊp THCS là tập R. Vì thế ngời ta nói hàm sè
f: X R

x y=f(x) tức là nhấn mạnh hai yếu tố:
- TXĐ của hàm sè

- Quy tắc xác định hàm số.

Còn tập rất quan trọng ít đợc sử dụng trong chơng trình tính tốn THCS
đó là tập giá trị của hàm số.

Tập giá trị của hàm số f(x) là tập hợp gồm tất cả các phần tử f(x) khi x
chạy khắp X. Đó là tập con của Y và đợc ký hiệu là f(x).

f(x)= {yY/y=f(x), xX}

y=3 x Ví dụ: 1) Tìm tập giá trị của hàm số

* TXĐ: x 3, hay là X=(-; 3].

Tập giá trị f(x)=R+={yR/ y 0}.

Chơng II: Dạy học về nội dung hàm số và đồ thị hàm số
1.Tìm hiểu giới hạn của nội dung, ch ơng trình sách giáo khoa:

Những vấn đề cơ bản về hàm số nh: định nghĩa hàm số, đồ thị hàm số, mặt
phẳng toạ độ ....đợc trình bày trong chơng II phần Đại Số Toán 7. ở đây, học
sinh cũng đợc nghiên cứu hàm số cụ thể, đơn giản là hàm số y = ax (a≠0) và

hµm sè y =

a

x ( đợc trình bày trong phần đọc thêm).

SGK tổ chức đa vào khái niệm hàm số theo 3 phần: đại lợng tỉ lệ thuận và
đại lợng tỉ lệ nghịch; khái niệm hàm số; mặt phẳng toạ độ và đồ thị hàm số y

= ax (a≠0) vµ hµm sè y =

a

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Theo tơi, việc trình bày kỹ các vấn đề về tơng quan tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch là
cần thiết tạo điều kiện cho việc trình bày định nghĩa khái niệm hàm số sau này

dễ dàng và thuận tiện hơn.

Nh vậy, cách định nghĩa về hàm số trong SGK Toán 7 hiện hành là đơn giản,
dễ hiểu đối với học sinh THCS. Qua đó, học sinh dễ dàng nắm đợc các thuộc
tính bản chất của khái niệm hàm số đó là sự tơng ứng và sự phụ thuộc. ở đây,
SGK cũng khơng trình bày tờng minh các cách cho hàm số mà chỉ nêu lên chú
ý: Hàm số có thể đợc cho bằng bảng; bằng cơng thức.

ở lớp 7, học sinh đã đợc học về hàm số, đến lớp 9, các em vẫn tiếp tục đợc
nghiên cứu về hàm số nhng ở mức độ sâu hơn rộng hơn. Các vấn đề về hàm số
đợc trình bày một cách khái quát hơn, chặt chẽ hơn trong chơng II SGK Toán
9 tập 1 và chơng IV, SGK Toán 9, tập 2. ở đây, học sinh đợc gặp lại định nghĩa
về khái niệm hàm số và bớc đầu nghiên cứu về tính chất đồng biến, nghịch
biến của hàm số, xem xét các hàm số y = ax + b, (a≠0) và y = ax2, (a≠0) .

Đặc biệt, ở lớp 9, học sinh đợc tiếp cân một cách tờng minh với đặc trng biến
thiên của hàm số. Đến đây học sinh thấy đợc một cách đầy đủ các đặc trng
khoa học luận của khái niệm hàm số. Tuy nhiên, ở lớp 9, học sinh

chỉ làm quen bớc đầu với đặc trng biến thiên qua việc nắm khái niệm hàm số
đồng biến, nghịch biến và xét sự đồng biến, nghịch biến của một số hàm số
đơn giản, ở đây đặc trng biến thiên cha đợc ứng dụng vào việc vẽ đồ thị và giải
toán. SGK cũng cha chính thức đa vào thuật ngữ ‘’sự biến thiên của hàm số’’.

2.Những nội dung kiến thức cần cung cấp và làm rõ cho học sinh trong
quá trình giảng dạy về hàm số và đồ thị hàm số:

2.1.C¸c khái niệm cơ bản:
2.1.1.Hàm số:

Nu i lng y ph thuc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị
của x, ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm 
số của x và x gọi là biến số.

Hàm số có thể đợc cho bằng bảng hoặc cơng thức,...

VÝ dô:

a) y là hàm số của x đợc cho bằng bảng sau:

x 1

2 1 2 3 4

6 4 2 1 2

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

b) y là hàm số của x đợc cho bằng công thức:

y = 2x; y = 2x + 3; y =

x

*Chó ý:

* Khi x thay đổi mà y ln nhận một giá trị thì y đợc gọi là hàm hằng.

* Khi hàm số đợc cho bằng công thức y = f(x), ta hiểu rằng biến số x chỉ lấy
những giá trị mà tại đó f(x) xác định.

* Khi y là hàm số của x, thì ta có thể viết y = f(x), y = g(x),...Ví dụ, đối với
hàm số y = 2x + 3, ta có thể viết y = f(x) = 2x + 3.

2.1.2.Mặt phẳng toạ độ:

II 2 I

-2 -1 1 2

III IV
Trên mặt phẳng, ta vẽ hai trục số Ox, Oy vu«ng gãc

với nhau và cắt nhau tại gốc của mỗi trục số. Khi đó ta có hệ trục toạ độ Oxy.
Các trục Ox và Oy gọi là các trục toạ độ.

Ox gäi lµ trơc hoµnh, Oy gäi lµ trơc tung.

Giao điểm O biểu diễn số 0 của cả hai trục gọi là gốc toạ độ.
Mặt phẳng có hệ trục toạ độ Oxy gọi là mặt phẳng toạ độ Oxy.

Hai trục toạ độ chia mặt phẳng thành bốn góc: Góc phần t thứ I, II, III, IV
theo thứ tự ngợc chiều quay của kim đồng hồ.

*Chú ý: Các đơn vị dài trên hai trục toạ độ đợc chọn bằng nhau (nu khụng
núi gỡ thờm).

2.1.3. Đồ thị hàm số:

a. Định nghĩa: Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn

cỏc cp giá trị tơng ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng toạ độ.

b. Đồ thị: Hàm số bậc nhất y = ax + b (a 0) là một đờng thẳng

C¸ch vÏ:

- Lấy 2 điểm có toạ độ thoả mãn cơng thức hàm số
Chẳng hạn A(0; b ) và B(- b

a ; 0)

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

- Vẽ đờng thẳng đi qua A và B

c. §å thị hàm số bậc hai: y = ax2 + bx + c (a 0) lµ Parabol(P) cã:

+ §Ønh D

(

− b
2a;

− Δ
4a

)

+ Trục đối xứng: x = − b
2a

+ Bề lõm quay lên trên khi a > 0; Bề lõm quay xuống dới khi a < 0
Ví dụ: Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x

Giải: Trớc hết, ta vẽ hệ trục toạ độ Oxy.

Đồ thị hàm số y = 2x đã cho gồm bốn điểm A(1;2), B(2;4), C(-1;-2), D(-2;-4)

y = 2x
4

4
-3

-4

x
y

-2

-2
-1

-1
3

3
2
2

1
1

O

2.1.4. Phơng pháp toạ độ:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy: 2 trục Ox,
Oy vng góc với nhau và cắt nhau tại gốc O
của mỗi trục.

Cho 1 điểm M bất kì. Từ M vẽ các đờng
vng góc với các trục toạ độ. Giả sử, các
đ-ờng vuụng gúc ny ct trc honh ti im x0

và cắt trục tung tại điểm y0.

Khi ú cp s ( x0; y0) gọi là toạ độ của điểm

M vµ kÝ hiƯu M ( x0; y0) ( H×nh vÏ).

Trên mặt phẳng toạ độ:

 Mỗi điểm M xác định 1 cặp số ( x0; y0) . Ngợc lại, mỗi cặp số

(x0; y0) xác định một điểm M .

O
y

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

 Cặp số (x0; y0) gọi là toạ độ của điểm M, x0 là hoành độ và y0 là

tung độ của điểm M.

 Điểm M có toạ độ (x0; y0) đợc kí hiệu là M(x0; y0) .

Ta có các định nghĩa:

i) M(x; y)  OM = x2y2

ii) A(x1; y1), B(x2; y2)

AB =









2 2

2 1 2 1

x  x  y  y

Ví dụ: Vẽ một hệ trục toạ độ Oxy và đánh dấu các điểm A(3;
1
2



) ;

B (-4;
2

4) ; C(0; 2,5).
Gi¶i:

*Chó ý:

Trong chơng trình Tốn THPT, với nhiều bài tốn hình học có chứa yếu
tố ‘’Khoảng cách’’, ‘’cùng phơng’’ và đặc biệt là yếu tố ‘’vng góc’’ nếu
khéo léo chọn hệ trục toạ độ thì có thể chuyển đợc thành bài tốn đại số có
nhiều hứa hẹn cho khả năng tìm ra lời giải. Đó là ý tởng sử dụng ‘’phơng pháp
toạ độ’’ để giải tốn.

-0,5 A(3:-0,5)

-4

B(-4;0,5)

C(0;2,5)

0,5

-2
-3



x
y

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

3.Mét sè bµi tập vận dụng:
3.1. Các bài toán về hàm số:

Bài 1:( Bài 24 tr 63 SGK Toán 7).

i lng y cú phải là hàm số của đại lợng x không, nếu bảng các giá trị
tơng ứng của chúng là:

x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

y 16 9 4 1 1 4 9 16

x -3 -2 -1 1 -2 3

y -2 4 -3 -4 6 7

Gợi ý cách gi¶i:

a) Trong bảng trên, mỗi giá trị của x đều chỉ có một giá trị tơng ứng của y
nên y là hàm số của x.

b) Đại lợng y không phải là hàm số của đại lợng x vì có một giá trị của x
( x = -2) xác định đợc hai giá trị tơng ứng của y ( y = 4 và y = 6).

Bài 2: Tìm tập xác định của hàm số:

a. y = x – 3 √x +2
b. y = x2+1

x-3 −
2x+5

x+3

c. y =

x2

4+2 x
Gợi ý cách giải:

Tp xỏc nh ca hm số y = f(x) là tập các giá trị của x để biểu thức 
f(x) có nghĩa.

a. TX§: {x R/ x 0}

b. TX§: {x R/ x ±3}

c. TXĐ:

x R x/ 4hoặc x-4

Bài 3:( Bài 25 tr 64 SGK Toán 7).

Cho hàm số y = f(x) = 3x2 + 1. TÝnh: f(

2), f(1), f(3), f( 2)
Gợi ý cách giải:

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

- Vậy: f(
1

2 ) = 3.(
1

2)2 + 1 = 3.

4 + 1 = 
3

4 + 1 = 3
3
4
f(1) = 3.12 + 1 = 3 + 1 = 4

f(3) = 3.32 + 1 = 3.9 + 1 = 27 + 1 = 28

f( 2) = 3.( 2)2 + 1 = 3.2 + 1 = 6 + 1 = 7

3.2. Các bài toán về mặt phẳng toạ độ:
Bài 4.( Bài 32 tr 67 SGK Toán 7).

a) Viết toạ độ các điểm M, N, P, Q trong hình 19 (SGK)
b) Em có nhận xét gì về toạ độ các cp im M v N, P v Q.

Gợi ý cách gi¶i:

a) Trong hình 19 (SGK), ta xác định toạ độ các điểm M, N, P, Q nh sau:
M(-3; 2), N(2; -3), P(0; -2), Q(-2; 0).

b) Nhận xét: Trong mỗi cặp điểm M và N, P và Q ta nhận thấy hoành
độ của điểm này bằng tung độ của điểm kia và ngợc lại.

-2

-4

-6

-10 -5 5 10

N
M

Bµi 5.( Bµi 34 tr 68 SGK To¸n 7).

a) Một điểm bất kì trên trục hồnh có tung độ bằng bao nhiêu?
b) Một điểm bất kì trên trục tung có hồnh độ bằng bao nhiờu?

Gợi ý cách giải:

a) Mt im bt kỡ trờn trục hồnh có tung độ bằng 0.
b) Một điểm bất kì trên trục tung có hồnh độ bằng 0.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

x 0 1 2 3 4

y 0 2 4 6 8

a) Viết tất cả các cặp giá trị tơng ứng (x;y) của hàm số trên.

b) V mt h trc toạ độ Oxy và xác định các điểm biểu diễn các cặp giá
trị tơng ứng của x và y cõu a.

Gợi ý cách giải:

a) (0; 0), (1; 2), (2; 4), (3; 6), (4; 8)
b) Xem hình bên.

-2

-4

-10 -5 O 5 10

NhËn xÐt:

 Từ điểm biểu diễn hoành độ của điểm cho trớc, kẻ một đờng
thẳng song song với trục tung.

 Từ điểm biểu diễn tung độ của điểm cho trớc, kẻ một đờng
thẳng song song với trục hoành.

 Giao điểm của hai đờng thẳng vừa dựng là điểm phải tìm.

3.3. Các bài tốn về đồ thị hàm số:
Bài 7. ( Bài 39 tr 71 SGK Toán 7).

Vẽ trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy đồ thị của các hàm số

a) y = x ; b) y = 3x ; c) y = -2x ; d) y = -x

Gợi ý cách giải:

V ng thng qua điểm O(0; 0) và điểm A(1; a)

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

-2

-4

-6

-10 -5 5 10

y = 3x
y = x

y = -2x
y = -x

A
B

C
D

O

y

x

Bài 8. ( Bài 41 tr 72 SGK Toán 7).

Nhng điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y = -3x

A(
1
3



; 1) ; B(
1
3



; -1) ; C(0; 0)

Gỵi ý cách giải:

im M(x0; y0) thuc th ca hm s y = f(x) nếu y0 = f(x0)

 Thay x =
1
3



vào y = -3x ta đợc: y = -3.(
1



) = 1 bằng tung độ
điểm A.Vậy A thuộc đồ thị hàm số y = -3x.

 Thay x =
1
3



vào y = -3x ta đợc y = 1 khác tung độ của B. Vậy
B không thuộc đồ thị hàm số y = -3x.

 Thay x = 0 vào y = -3x ta đợc: y = -3.0 = 0 nên C thuộc đồ thị
hàm số y = -3x.

Bµi 9. ( Bài 42 tr 72 SGK Toán 7).

ng thng OA trong hình 26 (SGK) là đồ thị của hàm số y = ax.
a) Hãy xác định hệ số a.

b) Đánh dấu điểm trên đồ thị có hồnh độ bằng 1/2.
c) Đánh dấu điểm trên đồ thị có tung độ bằng -1

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

B

a) Điểm A(2; 1). Thay x = 2, y = 1 vào công thức y = ax ta đợc:

1 = a.2  a =
1

2. Hàm số phải tìm là y = 
1
2x.

b) Từ điểm
1

2 trên trục hoành, ta kẻ đờng thẳng song song với trục tung,

cắt đờng thẳng OA tại B. Đó là điểm trên đồ thị có hồnh độ bằng
1
2.
c) Từ điểm -1 trên trục tung, ta kẻ đờng thẳng song song với trục hoành,
cắt đờng thẳng OA tại C. Đó là điểm trên đồ thị có tung độ bng -1.

Bài 10. ( Bài 43 tr 72 SGK Toán 7).

Trên hình 27 (SGK): Đoạn thẳng OA là
đồ thị biểu diễn chuyển động của ngời đi bộ
và đoạn thẳng OB là đồ thị biểu diễn chuyển
động của ngời đi xe đạp. Qua đồ thị em hãy
cho biết:

a) Thời gian chuyển động của ngời đi
bộ, của ngời đi xe đạp.

b) Quãng đờng đi đợc của ngời đi
bộ, của ngời đi xe đạp.

-2

-4

-6

5 10 15 20
t (h)

(10km)
s

A

B

c) Vận tốc (km/h) của ngời đi bộ, của ngời đi xe đạp.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Khi ‘’đọc’’ đồ thị này cần hiểu rõ:

- Trục hoành biểu thị thời gian bằng giờ; trục tung biểu thị quãng đờng đi
đợc với đơn vị ứng với 10km.

- Đoạn thẳng OA là đồ thị biểu diễn chuyển động của ngời đi bộ; đoạn
thẳng OB là đồ thị biểu diễn chuyển động của ngời đi xe đạp.

a) Thời gian chuyển động của ngời đi bộ là 4 giờ, của ngời đi xe đạp là 2
giờ.

b) Quãng đờng đi đợc của ngời đi bộ là 20 km, của ngời đi xe đạp là 30
km.

c) VËn tèc cña ngời đi bộ là:
20

4 = 5 (km/h)

Vn tc của ngời đi xe đạp là:
30

2 = 15 (km/h)

4. Những sai lầm học sinh hay mắc phải và cách khắc phục.

4.1 Những sai lÇm.

+ Một số học sinh khơng phân biệt đợc đâu là hàm số , đâu là sự tơng ứng
(học sinh lớp 7 ).

+ Nhiều học sinh không biểu diễn dợc một điểm trên mặt phẳng tọa độ
(học sinh lớp 7 ).

+Học sinh còn mắc phải sai lầm trong việc xác định tọa độ của một điểm
trong mặt phẳng tọa độ.

+ Việc tìm mối liên hệ giữa đờng bậc hai (phơng trình bậc hai ) và đờng
bậc nhất ( y = ax + b ) nhiều học sinh còn lúng tỳng.Vỡ vy khi gii h
phng trỡnh cũn khú khn.

4.2.Cách khắc phơc.

+ Cho học sinh nhìn nhận dới nhiều dạng : bảng ,biểu thức, sơ đồ ven đồ
thị .

+ Gi¶i thÝch vì sao ( Vi phạm điều kiện nào ) không phải là hàm số (dựa
vào ?? ).

+ Khi dy về mặt phẳng tọa độ ,giáo viên hớng dẫn thật kỹ cách biểu diễn
một điểm trên mặt phẳng tọa độ ,cho học sinh biểu diễn nhiều điểm trên
cùng một mặt phẳng tọa độ, cho học sinh quan sát một số cách biểu
diễn sai để học sinh nhận xét và rút kinh nghiệm cho bản thân.

+ Học sinh cần nắm vững cách tìm mối quan hệ giữa đờng bậc hai (y =
ax2) và đờng bậc nhất (y = mx + n) chính là biện luận các điều kiện

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

ax = mx + n  ax - mx – n = 0.

+Học sinh nắm thật chính xác về sự biến thiên của hàm số dạng của đồ thị.

5. Bài dạy minh họa:

NS:14/12/2010
TiÕt 29: Đ5.

Hàm số

(

lớp 7

)

A/ Mục tiêu: - Nắm đợc khái niệm hàm số

- Nhận biết đợc đại lợng này có phải là hàm số của đại lợng kia hay không
trong những cách cho cụ thể và đơn giản (bằng bảng, bằng cơng thức).
- Tìm đợc giá trị tơng ứng của hàm số kho biết giá trị của biến số.

B/ Chuẩn bị: GV: Giáo án, SGK, SBT, đồ dùng học tập cần thiết
HS: SGK, SBT,

C/ Tiến trình dạy học:

Hot ng ca giỏo viờn Hot động của học sinh
Hoạt động 1: Một số ví dụ về hàm số (15ph)

- Trong thực tế và trong toán học ta
thờng gặp các đại lợng thay đổi phụ
thuộc vào sự thay đổi của các đại
l-ợng khác.

- Treo bảng phụ VD1 và VD2

- Treo bảng phụ VD3

- ở VD1 em có nhận xét ntn?

- Với mỗi thời điểm t (giờ) ta xác

VD1:
t
(giờ)

0 4 8 12 16 20

T
(0C)

20 18 22 26 24 21

- Nhiệt độ T(0C) phụ thuộc vào sự thay

đổi của thời gian t (giờ)

VD2: m = 7,8V

-Khối lợng m (g) phụ thuộc vào sự thay
đổi của thể tích V(cm3)

?1:

V(cm3) 1 2 3 4

m(g) 7,8 15,6 23,4 31,2

VD3: t = 50

V

- Thời gian t (h) phụ thuộc vào sự thay
đổi của vận tốc V (km/h)

?2:

v(km/h) 5 10 25 50

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

T(0C) ?

- T¬ng tù ë VD2 vµ VD3 em cã
nhËn xÐt ntn?

- Ta nãi T lµ hµm số của t.

- Tơng tự m là hàm số của V vµ t lµ
hµm sè cđa v

- ở VD1: Với mỗi thời điểm t(giờ) ta
xác định đợc mt giỏ tr tng ng ca
T(0C)

- ở VD2: Với mỗi giá trị của V(cm3) ta

ch x đợc một giá trị tơng ứng của
m(g)

- ở VD3: Với mỗi giá trị của v (km/h)
ta xác định đợc một giá trị tơng ứng của
t(h)

Hoạt động 2: Khái niệm hàm số (15ph)

- Qua các VD trên, hãy cho biết đại
lợng y đợc gọi là hàm số của đại
l-ợng thay đổi x khi nào ?

- Vậy muốn biết đại lợng y có phải
là hàm số của đại lợng x hay khơng
ta cần có các điều kiện nào ?

- Y/c HS đọc phần chú ý ở sgk
- Giải thích: Với x = 1; 2; 3; 4;…
nhng y chỉ nhận một giá trị y = 2 thì
y = 2 gọi là hàm hằng

- y lµ hµm sè cđa x ta cã thĨ viÕt y
= f(x); y = g(x) …

- Với hàm số đợc cho bởi cơng thức
y = 2x+3 ta có thể vết y = f(x) = 2x
+ 3

Khi x = 3 ta cã y = 2.3 + 3 = 9 ta
viết f(3) = 9

* Đ/N: (sgk) HS nhắc lại

y là hàm số của x và x gọi lµ biÕn sè

+ Các đại lợng x và y đều nhận các giá
trị số

+ Đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x
+ Với mỗi giá trị của x ln tìm đợc
một giá trị tơng ứng duy nhất của đại
l-ợng y

* Chú ý: (sgk) HS đọc

Hoạt động 3: Củng cố - Luyn tp (14 ph)

- Bài học hôm nay cần ghi nhớ điều
gì ?

- Treo bảng phụ BT24(sgk): Y/c HS
giải

- YC hs lµm nhãm BT25(sgk)

BT24(sgk) Trong bảng trên, mỗi giá trị
của x đều chỉ có một giá trị tơng ứng
của y nên y là hàm số của x

BT25(sgk)hs h® nhãm

f( 1

2 ) = 3. (
1

2 )2 +1 = 3.
1

4 +1 =
3

4 +1= 1
3
4

f(1) = 3.12+1 = 3+1 = 4

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

víi x = 4 có hai giá trị tơng ứng của y lµ
-2 vµ 2

c) y lµ hµm sè cđa x đây là một hàm
hằng vì ứng vời một giá trị của x chỉ có
một giá trị tơng øng cña y =1

Hoạt động 4: H ớng dẫn về nh (2ph)

- Về nhà học thuộc và nắm vững khái niƯm hµm sè

- Vận dụng các điều kiện để đại lợng y là hàm số của đại lợng x để làm các

bài tốn về xác định đại lợng này có phải là hàm số của đại lợng kia hay
không.

- Lµm BT 26 (sbt) vµ BT 35; 36; 37; 38; 39(sbt)

D. Rót kinh nghiƯm

...
...
...
...

***********************************

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

A. Mơc tiªu:

* Học sinh hiểu đợc khái niệm đồ thị hàm số, đồ thị hàm số y = ax
* Học sinh thấy đợc ý nghĩa của đồ thị trong thực tiễn và trong nghiên cứu
hàm số.

* Biết cách vẽ đồ thị hàm s

B. Chuẩn bị của GV và HS:

* GV: Đèn chiếu và các phim giấy trong (hoặc bảng phụ) ghi bài tập, kết
luận.

* HS: Thớc thẳng bảng nhóm

C. Tiến trình dạy học:

Hot ng ca GV Hot ng ca HS

Hot động 1: Kiểm tra (8 phút)

HS1: Chữa bài tập 37/68 SGK
(a bi lờn mn hỡnh)

S1: a) Các cặp giá trị của hàm số là:
(0; 0); (1; 2); (2; 4)...

y
D
C
B

A

HS2: Thực hiện yêu cầu ?1(Đa đề bi
?1 lờn mn hỡnh)

GV yêu cầu HS cả lớp cùng làm vào
vở

Cho tên các điểm lần lợt là: M; N; P;
Q; R

HS2 và HS cả lớp làm

a. {(-2;3); (-1;2); (0;-1); (0,5;1);
(1,5;-2)

M 3
N 2
1 Q
1,5

-2 -1 0 0,5 1 x
-1 P

1 2 3 4 x
8

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

(GV bố trí ?1 ở vị trí phù hợp để giữ
lại khi giảng bài

GV nhËn xÐt cho điểm HS

HS nhận xét bài làm của bạn

Hoạt động2: Đồ thị của hàm số là gì ?(7 phút)

GV: HS2 võa thùc hiƯn ?1 SGK. C¸c

điểm M, N, P, Q, R biểu diễn các cặp
số cđa hµm sè y = f(x)

Tập hợp các điểm đó gọi là đồ thị
của hàm số y= f(x) ó cho

GV yêu cầu nhắc lại

Trở lại bài làm cña HS1.

GV hỏi: Đồ thị của hàm số y = f(x)
đợc cho trong bài 37 là gì?

Vậy đồ thị của hàm số y = f(x) là gì?
GV đa định nghĩa đồ thị của hàm số
y=f(x) lên màn hình

HS: Đồ thị của hàm số y = f(x) đã
cho là tập hợp các điểm(M,N,P,Q,R )

HS: Đồ thị của hàm số y = f(x) này
là tập hợp các điểm {O,A,B,C,D}
HS: Đồ thị của hàm số y = f(x) là
tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các
cặp giá trị tơng ứng (x;y)trên cùng
mặt phẳng toạ độ

Ví dụ: Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x)
đã cho trong ?1

GV: Vậy để vẽ đồ thị hàm số

y = f(x) trong ?1, ta phải làm những
bớc nào

HS:

+ V h trc toạ độ Oxy.

+ Xác định trên mặt phẳng toạ độ,
các điểm biểu diễn các cặp giá trị
(x;y) của hàm số

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Xét hàm số y = 2x, có dạng y = ax
víi a = 2

-Hµm sè nµy cã bao nhiªu cỈp sè
(x;y)

- Chính vì hàm số y = 2x có vơ số
cặp số (x;y) nên ta không thể liệt kê
đợc hết các cặp số của hàm số

Để tìm hiểu về đồ thị của hàm số này
các em hãy hoạt động nhóm làm ?2.
GV đa ?2 lờn mn hỡnh

HS: Hàm số có vô số cặp sè (x;y)

HS hoạt động theo nhóm là ?2 (Giấy

trong của các nhóm có kẻ ơ vng
mờ)

Bµi lµm:

a. (-2;-4); (-1;-2); (0;0); (1;2); (2;4)
b. y

2
1

-2 -1 1 2 x
-2

-4

GV yêu cầu 1 nhóm lên trình bày bài
làm

Kiểm tra thêm bài làm của vài nhóm
khác.

GV nhn mnh: Cỏc im biu din
cỏc cặp số của hàm số y = 2x ta
nhận thấy cùng nằm trên một đờng

c. Các điểm cịn lại có nằm trên đờng
thẳng qua hai điểm (-2;-4) và (2;4)
Đại diện 1 nhóm lên trình bày bài
làm

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

thẳng qua gốc toạ độ.

GV đa lên màn hình một mặt phẳng
toạ độ biểu diễn các điểm thuộc đồ
thị hàm số y = 2x

+ Ngời ta đã chứng minh đợc rằng:
Đồ thị hàm số y = ax (a 0) là một
đờng thẳng đi qua gốc toạ độ.

GV yêu cầu HS nhắc lại kết luận.
+ Từ khẳng định trên, để vẽ đợc đồ
thị của hàm số y = ax (a 0) ta cần
biết mấy điểm của đồ thị.

+ Cho HS lµm ?4

Đa đề bài lên màn hình

HS nhắc lại kết luận về đồ thị hàm số
y = ax (a 0)

Để vẽ đợc đồ thị hàm số y = ax (a
0) ta cần biết 2 điểm phân biệt của

đồ th.

HS cả lớp làm ?4 vào vở. Sau ít phút
gọi 1 HS lên bảng trình bày.

y = 0,5x. HS tự chän ®iĨm A
a. A(4;2) y

b. 2 A

0 4 x

GV cho kiĨm tra bµi lµm cđa vµi HS
+ NhËn xÐt: (SGK)

Yêu cầu HS đọc phần nhận xét SGK
trang 71

+ Ví dụ 2:Vẽ đồ thị hàm số y = -1,5x
+ GV: Hóy nờu cỏc bc lm

GV yêu cầu HS làm bài tập vào vở.

Nhận xét bài làm của bạn

+ Một HS đọc to phần "nhận xét"
SGK

HS: + Vẽ hệ trục toạ độ Oxy

+ Xác định thêm một điểm thuộc đồ
thị hàm số khác điểm O

Ch¼ng h¹n A(2;-3)

+ Vẽ đờng thẳng OA, đờng thẳng đó
là đồ thị hàm số y = -1,5x.

Một học sinh lên bảng vẽ đồ thị hàm
số y = -1,5x

Hoạt động4: Luyện tập cng c (10 phỳt)

GV: Đồ thị hàm số là gì?

+ Đồ thị hàm số y = ax (a 0) là
đ-ờng nh thế nào?

+ Mun v thị của hàm số y = ax
ta cần làm qua các bớc nào?

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

SGK

GV: Quan sát các đồ thị bài 39 trả lời
bài 40 SGK

GV cho HS quan sát đồ thị của một
hàm số khác cũng có dạng ng
thng

Hai HS lần lợt lên bảng.

HS1: V h trục tọ độ Oxy và đồ thị
hàm số y = x; y =-x

HS2:Vẽ đồ thị hàm số y = 3x; y =-2x
HS: Nếu a >0, đồ thị nằm ở các góc
phần t thứ I và thứ III, nếu a < 0 đồ
thị nằm ở góc phần t thứ II và thứ IV.

y= |x| y=2x+3

-3 -1,5 3 x

-2 y = -2

Hoạt động5: Hớng dẫn về nhà

+ Nắm vững các kết luận và cách vẽ đồ thị hàm số y = ax
+ Bài tập 41;42;43 trang 72,73 SGK

53;54;55 trang 52,53 SBT

D. Rót kinh nghiƯm

...
...
...
...

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

PhÇn III: KÕt ln chung

Qua những năm trực tiếp giảng dạy mơn tốn ở bậc trung học cơ sở và qua
nhiều năm nghiên cứu đề tài "Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm 
số" tôi đã hiểu một cách sâu sắc hơn về hàm số và đồ thị. Xây dựng đợc hệ
thống bài tập phong phú. Với hệ thống bài tập sắp xếp từ dễ đến khó theo
dạng có phơng pháp giải rõ ràng đã giúp học sinh rèn luyện kỹ năng, gây đợc
hứng thú học tập cho học sinh. Làm cho học sinh khơng cịn thấy sợ

"Hàm số". Đúng nh Ăng ghen đã từng nhận định " Các khái niệm định 
l-ợng biến thiên và hàm số đã đa t tởng biện chứng vào toán học và do đó

phạm vi ứng dụng của tốn học đã rộng hơn và sâu hơn". Hiện nay tốn

học cịn sâu sắc và linh hoạt hơn rất nhiều so với thời kỳ Ăng ghen. Chơng
trình cải cách giáo dục đã đa tập hợp số thực vào chơng trình lớp 7 nên học
sinh lớp 7 tiếp thu khái niệm " Đồ thị hàm số" một cách tự nhiên, dễ hiểu hơn.

Đối với đối tợng học sinh khá giỏi nếu có thời gian cần tiếp thu phát triển
các ứng dụng của từng dạng toán, nâng cao yêu cầu trong từng bài giúp các
em phát huy đợc năng lực học mơn Tốn.

Trên đây là nội dung đề tài mà tơi đã tìm hiểu. Trong q trình thực hiện và
trình bày đề tài khơng thể tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy tơi rất mong đợc sự góp
ý của GS.TSKH Đỗ Đức Thái và các thầy cô giáo cùng bn bố ng nghip

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

X¸c nhËn cđa BGH
 trêng THcs Cát trù

Phú Thọ, tháng 01 năm 2011

Ngời thực hiện

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Phần IV:

Tài liệu tham khảo

1. Sách giáo khoa đại số lớp 7, đại số lớp 9
2. Sách giáo viên đại số lớp 7, đại số lp 9

3. Các dạng toán và phơng pháp giải toán 7 và toán 9 tập 1 (Tôn Thân,
Vũ Hữu Bình , Nguyễn Vũ Thanh, Bùi Văn Tuyên).

4. Phơng pháp dạy học toán ( Lê Văn Tiến).

5. Mt số vấn đề đổi mới phơng pháp dạy học môn Tốn THCS ( Tơn Thân,

Phan Thị Luyến, Đặng Thị Thu Thuỷ)

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Mơc lơc

C¸c ý chÝnh Néi dung Trang

Lời cảm ơn 1

Phần I Mở đầu 2

1 Lớ do chọn đề tài 2

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 NhiƯm vụ nghiên cứu 3

4 Đối tợng, phạm vi nghiên cứu 3

5 Phơng pháp nghiên cứu 4

Phn II

Ni dung tài 4

Chơng I Một số vấn đề về hàm số v th hm s 4

I. Khái niệm về hàm sè 4

II. Khái niệm đồ thị hàm số 6

Chơng II dạy học về nội dung hàm số và đồ thị hm s 9

1 Tìm hiểu giới hạn của nội dung, chơng

trình sách giáo khoa

9
2 Những nội dung kiến thức cần cung cấp và làmrõ cho học sinh trong quá trình giảng dạy về

hm s v th hm s 10

2.1 Các khái niệm cơ bản 10

2.1.1 Hàm số 10

2.1.2 Mt phng to 11

2.1.3 Đồ thị hàm sè 11

2.1.4 Phơng pháp toạ độ 12

3 Mét sè bµi tập vận dụng 14

3.1 Các bài toán về hàm số 14

3.2 Các bài toán về mặt phẳng toạ độ 15

3.3 Các bài tốn về đồ thị hàm số 17

4 Nh÷ng sai lầm học sinh hay mắc phải và cách

khắc phục 20

4.1 Những sai lầm 20

4.2 Cách khắc phục 20

5 Bài dạy minh hoạ 21

Phần II

kết luận chung 30

Phần II

tài liệu tham khảo 31

</div>

De tai Ham so va Do thi ham so

<b>Lời cảm ơn</b>

<b>phần I</b>

<b>Mở đầu</b>

<b>PhÇn II</b>

<b>Nội dung đề tài</b>

:

√

(

)









<sub></sub>

<b>Hàm số</b>

<b> (</b>

<i><b>lớp 7</b></i>

<b>)</b>

<b>PhÇn III: KÕt ln chung</b>

<b>Phần IV: </b>

<b>Tài liệu tham khảo</b>

<b>Phn II</b>

<b>Phần II</b>

<b>Phần II</b>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về