Bat dang thuc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (414.93 KB, 34 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trờng đại học s phạm hà nội

Khoa toán-tin

đề tài nghiên cứu khoa học

về nghiệp vụ s phạm

Tên đề tài :

Một số phơng pháp chứng minh

bất đẳng thức

Ngêi híng dÉn :PGS,TS.Ngun Do·n Tn

Cán bộ Khoa Toán- Tin-ĐHSP Hà Nội

Ngời thực hiện: Đặng Thùy Dung

Ngày sinh: 17-08-1986

phó thä -201

Mục lục

Trang

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2. Mục đích nghiên cứu………....03

3. NhiƯm vơ nghiªn cøu………....04

4. Phạm vi và đối tợng nghiên cứu………...04

5. Phơng pháp nghiên cứu...05

Phần II: Nội dung....05

Chơng 1 : Cơ sở lý luận và thực tiễn.05

Chơng 2 : Các biện pháp s phạm cần thực hiện06

Biện pháp 1:..06

Biện pháp 2:..06

Chơng 3: Thực nghiệm s ph¹m………25

1. Mục đích của thực nghiệm………..25

2.Néi dung cđa thùc nghiƯm………...25

3.KÕt quả thực nghiệm:...33

Phần III : Kết luận..35

Tài liệu tham khảo..36

phần I: mở đầu

1.Lý do chn ti:

Toỏn hc cú vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí.
Tốn học khơng chỉ cung cấp cho học sinh (ngời học Tốn) những kỹ năng tính
tốn cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng t duy lôgic, một

phơng pháp luận khoa học.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

đạo đức, các thao tác t duy để giải các bài tập Tốn trong đó có các bài tốn về
bất đẳng thức cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh phát huy cao
độ tính t duy, trí tuệ cho học sinh.

Tuy nhiên giải tốn bất đẳng thức là bài tốn khó vì phạm vì kiến thức
rộng, đặc biệt là với học sinh T.H.C.S. Là giáo viên dạy ở THCS tơi thấy thực
trạng khi dạy tốn bất đẳng thức đó là:

- Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức chỉ chữa bài tập là xong, ít khai thác,
phân tích đề tài mở rộng bài tốn mới dẫn đến khi học sinh gặp bài toán khác
một chút là không giải đợc.

- Học sinh thờng ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức không liền
mạch, phơng pháp giải hạn chế, các bài tốn bất đẳng thức thờng khó, phải áp
dụng các kiến thức khó nh: quy nạp tốn học, phản chứng,... nên học sinh hay
ngại và học sinh cha vận dụng đợc toán bất đẳng thức vào để giải các bài tốn
khó nh cực trị, hàm số,... Việc thực hiện đề tài nhằm:

 Nhằm giúp học sinh nắm đợc một số phơng pháp chứng minh BĐT cơ bản
giải các bài tốn trong chơng trình.

 Gióp häc sinh ph¸t triĨn năng lực toán học, phát triển lòng yêu thích môn
học.

Chn bÞ kiÕn thøc nh»m phơc vơ kú thi HSG huyện, tỉnh trong năm học
và kỳ thi vào lớp 10 sắp tới.

2.Mc ớch nghiờn cu:

a. Đối với giáo viên:

- Nâng cao trình độ chun mơn phục vụ cho q trình giảng dạy.
- Làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức.

b. §èi víi häc sinh:

- Giúp học sinh học tập mơn tốn nói chung và việc giải bài tập về chứng
minh bất đẳng thức nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm
nâng cao năng lực học mơn tốn giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động,
sáng tạo và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến bất đẳng thức.
- Gây đợc hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham
khảo, giúp học sinh tự giải đợc một số bài tập.

- Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toán
bất đẳng thức trong quá trình dạy học.

- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phơng pháp cơ bản và
vận dụng thành thạo các phơng pháp đó để giải bài tập.

Thơng qua việc giải các bài tốn bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục
đích của việc học tốn và học tốt hơn toán bất đẳng thức.

Chuẩn bị cho học sinh một số kiến thức cơ bản về BĐT để học sinh có thề
giải đợc 1 số bài tốn c bn.

Phát triển lòng say mê môn học, mở réng vèn hiĨu biÕt cđa häc sinh vỊ
to¸n häc.

 Ph¸t triĨn t duy cho häc sinh, n©ng cao vèn kiÕn thøc tõ SGK.

 Góp phần đào tạo cho đất nớc nguồn nhân lực có tri thức vững vàng.

3.NhiƯm vơ nghiªn cứu:

Tìm hiểu nội dung dạy học về BĐT trong SGK lớp 8

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Điều tra thực trạng:

- Nghiên cứu các bài toán về bất đẳng thức trong chơng trình thcs

- Kiểm tra nhận thức của học sinh về dạng toán bất đẳng thức

- Trao đổi với đồng nghiệp về phơng pháp giảng dạy chuyên đề BĐT cho học
sinh.

4.Phạm vi và đối t ợng nghiên cứu:

- Đề tài này tôi đã nghiên cứu tại trờng THCS Văn Lang –Hạ Hịa_Phú Thọ với
1 số học sinh khối 9.

-Ph¹m vi: 10 em häc sinh kh¸ giái cđa líp 9

-Do thời gian có hn, nên t i n y tôi chà à ỉ nghiªn cøu một số tÝnh chất của bất

đẳng thức, c¸ch chứng minh một số dạng bất dẳng thức thường gặp trong
chương tr×nh tóan bc THCS .

5.Ph ơng pháp nghiên cứu:

Phng phỏp chủ yếu đợc sử dụng là phơng pháp thực nghiệm khoa học

PhÇn II: Néi dung

Ch

ơng I

: Cơ sở lý luận và thực tiễn có liên quan đến đề tài nghiên

cứu



Kế thừa kiến thức về tính sắp thứ tự đã học ở lớp 8



Sư dụng kiến thức cơ bản trong chơng bất phơng trình bặc nhất 1 ẩn ở
lớp 8.

Tìm hiểu một số dạng toán nâng cao trong sách tham khảo.

Mc đích giúp học sinh giải một số bài tốn cơ bản về bất đẳng thức.
Đào tạo đội tuyển học sinh gii toỏn 9.

Điều tra thực trạng:

Qua quan sát t×nh h×nh học tập bất đẳng thức cũng như kiểm tra học sinh về
phần n y t«i thà ấy rằng, đại đa số học sinh lóng tóng khi đứng trước b i tãan à
chứng minh bất đẳng thức. Cụ thể nghiªn cứu như sau:

Ở mức độ kiến thức cơ bản, trong 72 học sinh th× cã 30học sinh (42%) chng
minh c.

mc nâng cao thì trong 72 em chỉ cã 2 em (3%) chứng minh được.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

đẳng thức ở học sinh kÐm như sau:

 Häc sinh häc kÐm m«n to¸n

 Học sinh chưa nắm vững kh¸i niệm, cũng như các tính cht ca bt ẳng
thc.

Cha vn dụng linh hoạt lý thuyết về bất đẳng thức v o già ải c¸c b i tãan cà ụ
thể.

 Kinh nghiệm giả tãan bất đẳng thức cßn Ýt.

 Hệ thng bài tp t gii t tích ly ca các em cha nhiu.

Các em cha phân loi c các dạng tãan cïng phương ph¸p chứng minh.

Ch

ơng II:

Các biện pháp s phạm cần thực hiện để nâng cao

chất lợng dạy học bất đẳng thức:

1.BiƯn ph¸p 1:ĐiỊu tra thùc nghiƯm

-Tìm hiểu nhận thức của học sinh đội tuyển đã chọn về BĐT.
-Tìm hiểu nhu cầu kiến thức của học sinh về nội dung BĐT.

2.Biện pháp 2: Hớng dẫn từng dạng toán cụ thể:

I/ Một số kiến thc c bn v bt ng thc.

1. Định nghĩa:

Cho 2 số a và b ta nói:

a lớn hơn b, kí hiÖu: a > b ⇔ a - b > 0.
a nhá h¬n b, kÝ hiƯu: a ⇔ a - b < 0.

2. Các tính chất của bất đẳng thức:

2.1. a > b ⇔ b < a.

2.2. Tính chất bắc cầu: a > b, b > c ⇒ a > c.

2.3. Tính chất đơn điệu của phép cộng: Cộng cùng một số vào hai vế của
bất đẳng thức: a > b ⇒ a + c > b + c.

2.4. Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều đợc bất đẳng thức mới
cùng chiều với bất đẳng thức đã cho: a > b, c > d ⇒ a + c > b + d.

Chú ý: không đợc trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều.

2.5. Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngợc chiều đợc bất đẳng thức mới
cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ.

NÕu a > b, c > d th× a - c > b - d

2.6. Tính chất đơn điệu của phép nhân:

a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dơng.
a > b, c > 0 ⇒ a.c > b.c

b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm.
a > b, c < 0 ⇒ a.c < b.c

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

2.8. Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dơng hai vế của bất đẳng thức
a > b > 0 ⇒ an > bn.

a > b ⇒ an > bn víi n = 2k ( k Z).

2.9. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dơng
Với m > n > 0:

- NÕu a > 1 th× am > an.

- NÕu a = 1 th× am = an.

- NÕu 0 < a < 1 th× am < an.

2.10. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng
dấu

NÕu a > b > 0 hc a < b < 0 th× 1

a<¿

b

Chú ý: Ngồi các bất đẳng thức chặt (a > b) ta còn gặp các bất đẳng thức
không chặt (a b) tức là a > b hoc a = b.

Trong các tính chất nêu trên nhiều tính chất dấu > (hoặc dấu <) cã thĨ
thay bëi dÊu “ ” ( hc dÊu “ ”)

3. Các bất đẳng thức cần nhớ.

3.1. a2 0, -a2 0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0.

3.2. |a| 0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0.

3.3. - |a| a |a| . Dấu đẳng thức xảy ra khi a = 0.

3.4. |a+b| |a| + |b| . Xảy ra dấu đẳng thức khhi ab 0.
3.5. |a − b| |a| - |b| . Xảy ra dấu dẳng thức khhi ab 0; |a|
|b| .

(Các điều kiện này cịn có thể diễn đạt lại là a b 0 hoặc a b
0).

Chú ý: Một số bất đẳng thức quan trọng:
a/ a2 + b2 2ab.

b/ ( a+b

2 )2 ab hay (a + b)2 4ab (Bất đẳng thức Cô si).

c/ 1

a +

b

a+b víi a; b > 0.

d/ a

b +
b

a 2 víi ab > 0.

e/ (ax + by)2 (a2 + b2).(x2 + y2). (Bất đẳng thức Bunhia - Côpxki)
II. Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức trong đại số

1. Phơng pháp dựng nh ngha

1.1 Cơ sở toán học:

Để chứng minh A > B ta chøng minh A - B > 0.
§Ĩ chøng minh A 1.2 VÝ dơ minh ho¹.

VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) -1.

Gi¶i

XÐt hiƯu: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1) = [(x-1)(x-2)].[(x-2)(x-3)]
= (x2-5x+4)(x2-5x+6) + 1.

Đặt (x2-5x+5) = y, biểu thức trên đợc viết lại nh sau:

(y-1)(y+1) + 1 = y2-1+1 = y2 0.

⇒ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1) 0 hay (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) -1.
VÝ dô 2: Chøng minh: 2(x2 + y2) (x + y)2.

Gi¶i

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

2(x2 + y2)- (x + y)2 = 2x2 + 2y2 - x2 - 2xy - y2 = x2 - 2xy + y2 = (x - y)2

VËy 2(x2 + y2) (x + y)2.

VÝ dô 3: Chøng minh rằng nếu a và b là các số thực không âm thì:
a+b

2 ab .

Gi¶i

XÐt hiƯu:

a+b

2 - √ab =

a+b −√ab

2 =

( )

a b

0.
§óng víi mäi a; b 0.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Ví dụ 4: Cho a > 0; b > 0. Chứng minh rằng: a

+b3

2 ≥

(

a+b

)

Gi¶i

XÐt hiƯu: A = a

+b3

2 −

(

a+b

)

=(a+b)(a

−ab− b2)

2 −

(a+b)3

¿a+b

(

a

2−ab

+b2−a

+2ab+b2

)

a+b

(

4a2−4 ab+4b2− a2−2 ab−b2

)

8(a+b) (a −b)

V× a > 0; b > 0; (a - b)2 0 nªn A 0.

VËy a

+b3

2 ≥

(

a+b

)

1.3. Bài tập tự giải. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1/ a

+b2

2 ≥

(

a+b

)

2/ x3 + 4x + 1 > 3x2 víi x 3.

3/ Cho a + b = c + d. Chøng minh r»ng: c2 + d2 + cd 3ab.

4/ Víi a ≥ b ≥1 th× 1

1+a2+

1
1+b2≥

2
1+ab.

2. Phơng pháp dùngcác tính chất ca bt ng thc.

2.1. Cơ sở toán học.

- Xut phỏt từ các bất đẳng thức đã biết vận dụng các tính chất của bất
đẳng thức để suy ra bất đẳng thức phải chứng minh.

- Thờng là áp dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức. (Đã nêu ở phần

trên)

2.2 VÝ dơ minh ho¹

VÝ dơ 1: Cho a + b > 1. Chøng minh a4 + b4 > 1

8 .

Gi¶i

Ta cã a + b > 1 > 0. (1)

Bình phơng 2 vế của (1) ta đợc:

(a + b)2 > 1 ⇒ a2 + 2ab + b2 > 1. (2)

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Cộng từng vế của (2) và (3) ta đợc: 2(a2 + b2) > 1 ⇒ (a2 + b2) > 1

2 .

(4)

Bình phơng hai vế của (4) ta đợc: a4 + 2a2b2 + b4 > 1

4 . (5)

MỈt kh¸c: (a2 - b2)2 0 ⇔ a4 - 2a2b2 + b4 0. (6)

Cộng từng vế của (5) và (6) ta đợc: 2(a4 + b4) > 1

4 . Hay a4 + b4 >
1

8 .

VÝ dụ 2: Cho a, b, c là ba cạnh của mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng:

a+b − c +

b+c − a +

c+a −b

a +

b +

c .

Gi¶i

XÐt 1

a+b − c +

b+c − a víi a + b - c > 0; b + c - a > 0.

áp dụng bất đẳng thức Cô si cho x; y > 0, ta có: 1

x +

y

√xy
4

x+y .

Vì vậy ta đợc: 1

a+b − c +

b+c − a

2b =

b

T¬ng tù ta cã: 1

b+c − a +

c+a −b

c

c+a −b +

a+b − c

a

Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức rồi chia cả hai vế cho 2 ta đợc:
1

a+b − c +

b+c − a +

c+a −b

a +

b +

c .

DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c.
VÝ dơ 3: Chøng minh r»ng nÕu a2

+b2≤2 th× a+b ≤2 .

Gi¶i

Ta cã: (a −b)2≥0⇔a2−2ab+b2≥0⇒a2+b2≥2 ab .

Tõ a2

+b2≤2⇒−a2−b2≥ −2 .

Suy ra 2 ab−2≤0 hay 2ab 2.

Mặt khác (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (1)

2 ab≤2 (2)
a2

+b2≤2 (3)

Tõ (1), (2), (3) suy ra (a+b)2≤4 hay |a+b|≤2 .

Nhng |a+b|≥ a+b nªn a+b ≤2 .

2.3. Chú ý: Khi sử dụng các bất đẳng thức ta cần tránh những sai lầm sau:
1. a > b; c > d ⇒ a - c > b - d.

2. a > b; c > d ⇒ ac > bd. (Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức mà cha

biết hai vế có khơng âm hay khơng)

3. Bình phơng hai vế của một bất đẳng thức mà cha biết hai vế không âm:
a > b ⇒ a2 > b2.

4. Khư mÉu mµ cha biÕt dÊu cđa chóng: a

b >
c

d ⇒ ad > bc.

5. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức mà cha biết hai vế có
cùng dấu hay khơng: a > b ⇒ 1

a >

b .

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

nhãm råi lµm tréi tõng nhãm.

Ta xÐt vÝ dơ sau:

Chøng minh r»ng: Víi mäi số tự nhiên n 2 thì: 1 + 1

2 +

3 + ... +
1

2n−1 < n.

Gọi vế trái của bất đẳng thức là A, ta có:
A = 1 + ( 1

2 +

3 ) + (
1

22 + ... +
1

7 ) + (
1

23 + ... +
1

15 ) + ... + (
1

2n−1 +
1

2n−1 ).

ở mỗi nhóm ta làm trội bằng cách thay các phân số nhỏ hơn trong nhóm bằng
phân số lớn nhất trong nhóm ta đợc:

A < 1 + 1

2 .2 +
1

22 .4 +
1

23 .8 + ... +
1
2n−1 .2

n-1 = 1

⏟

+1+.. .+1

n = n.

2.4 Bài tập tự giải:Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1/ 1

√a+

√b

√a+√b (a > 0; b > 0).

2/ a2 + b2 + c2 + d2 4

√abcd .

3/ Cho a + b =1. Chøng minh r»ng: a4 + b4 1

8 .

4/ 1

22 +
1

32 + ... +
1

n2 <
n+1

n .

3. Phơng pháp biến đổi tng ng.

3.1. Cơ sở toán học.

- chng minh bt đẳng thức A B ta biến đổi tơng đơng (dựa vào các

tính chất của bất đẳng thức) A B ⇔. .. C D. Và cuối cùng đạt dợc bất
đẳng thức đúng hoặc hiển nhiên là C D.

Vì các phép biến đổi đều là tơng đơng nên A B.

- Để dùng phép biến đổi tơng đơng ta cần chú ý các hằng đẳng thức sau:
(A ± B¿2=A2±2 AB+B2 .

(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2CA.

3.2. C¸c vÝ dơ minh ho¹.

VD 1: Chứng minh rằng:

a2+b2+c2 ab+ac+bc

 













 

2 2 2
2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

1
0

2 2 2 2 2 2

2 2 2

0 2

2 2 2

a b c ab bc ac

a b c ab ac bc

a b c a c b

ab ac bc

a ab b c ac a c cb b

a b c a c b

    

      

     

        

     

     

     

   

  

   

CM:

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

VD 2: Chứng minh rằng 2a2+b2+c2 2(ab+ac) với mọi a, b, c

2 2 2 2

2 2

2 2 2 0

2 2 0

( )

( ) ( )

( ) ( )

a b c a ab ac
a ab b a ac c
a b a c

      

      

    

HiÓnnhiên đúng với mọi a,b,c. dấu “=” xảy ra khi a=b=c
vậy 2a2+b2+c2 2(ab+ac) với mọi a,b,c

VD 3: chứng minh rằng a a2 2 a1 a>0

cm: a a2 2 a1 a>0





2 2

2 4 1

2 2 4 4

2 2 2

2 1

2 2 1

( )

a+2 ( )

2 ( )

( )

a a a

a a a a

a a a
a a a
a a a a

    

     

   

    

hiển nhiên đúng .vậy a a2 2 a1 a>0

VD 4: chứng minh rằng :

1 1 4

x,y>0, x+y<1

x y x y  Từ đó suy ra 2 2

1 1

4
2

x y  xy 

CM:

2 2 2 2

1 1 4 4

4 2 0 0

x y (x y) xy x xy y (x y)

x y x y xy x y



             

 

hiển nhiên đúng . vậy

1 1 4

x,y>0

xy x y 

đặt x2+y2=X; 2xy=Y

theo chứng minh trên, ta có 2

1 1 4 4

= (1)

( )

X Y X Y x y

1 4

x,y>0

( ) (2)

x+y<1 x y (x y)



    






từ (1) và (2) suy ra

1 1

X Y 4 hay 2 2

1 1

4
2

x y  xy 

VD 5: chứng minh rằng: 2 2

1 1 2

1a 1b 1ab với mọi ab>1

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

nhân cả hai vế của BĐT với (1+a2).(1+b2).(1+ab) thì

2 2

1 1 2

1a 1b 1ab  (1+a2).(1+ab)+(1+b2). (1+ab)2(1+a2)(1+b2)

 (1+a)(2+a2+b2)-2(1+a2)(1+b2) 0

 2+a2+b2+2ab+ab.a2+ab.b2-2-2b2-2a2-2a2b20

 ab.a2+ab.b2-a2-b2+2ab-2a2b20

 (ab.b2 –b2)+(ab.a2-a2)+(2ab-2a2b2) 0

 b2(ab-1) + a2(ab-1)-2ab(ab-1) 0

 (b-a)2(ab-1) 0 hiển nhiên vì ab>1

vậy 2 2

1 1 2

1a 1b 1ab với mọi ab>1

VD 6 : Chøng minnh x2 + x + 1 > 0 víi ∀x .
Gi¶i

Ta cã: x2 + x + 1 = (x2 + 2.x.1 + 1

4¿+
3

4 = (x +
1

2 )2 +
3

4 > 0 với

x .(Điều phải chứng minh).

VD 7 : Chøng minh r»ng: Víi mäi a, b, c, d, e R th×:

a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e) (1)
Gi¶i

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức (1) với 4 ta đợc:
4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 4a(b + c + d + e).

⇔ (a2 - 4ab + 4b2) + (a2 - 4ac + 4c2) + (a2 - 4ad + 4d2) + (a2 - 4ae + 4e2) 0
⇔ (a - 2b)2 + (a - 2c)2 + (a - 2d)2 + (a - 2e)2 0 (2)

V× (a - 2b)2 0 ∀a ;b∈R .

(a - 2c)2 0 ∀a ;c∈R .

(a - 2d)2 0 ∀a ;d∈R .

(a - 2e)2 0 ∀a ;e∈R .

⇒ Bất đẳng thức (2) đúng với ∀a ;b ;c ; d ;e∈R . Vậy bất đẳng thức (1) đợc
chứng minh.

VD 8 : Chøng minh r»ng víi 4 sè bÊt k× a; b; x; y ta cã:
(a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2. (1)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a

x=
b
y .

Gi¶i

Ta cã: (1) ⇔ a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 a2x2 + 2abxy + b2y2.

⇔ a2y2 - 2abxy + b2x2 0 ⇔ (ay - bx)2 0 (2).

Ta thấy bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) đúng.
3.3 Chú ý.

- SÏ mắc sai lầm nếu trong lời giải trên thay các dÊu “ ⇔ ” b»ng c¸c dÊu
“ ⇒ ”.

Thật vậy, nếu (1) ⇒ (2) mà bất đẳng thức (2) khơng đúng thì cha thể kết luận
đợc bất đẳng thức (1) có đúng hay khơng.

- Khi sử dụng phép biến đổi tơng đơng, học sinh thờng bỏ qua các phép
biến đổi tơng đơng có điều kiện dẫn đến khơng chặt chẽ. Vì vậy cần lu ý các
phép biến đổi tơng đơng có điều kiện.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Chứng minh rằng:

bài 1: a2 + b2 +c2+d2 + e2 a(b+c+d+e) a b c d, , ,

bài 2:

2 2

p,q>0

p q

pq
p q



 



bài 3:

2 2

a,b>0

a b
a b

b a

   

bài 4: a3+b3  a4+b4 với a+b 2

bài 5:

1 1 1 3

a b c a b c     a b c  với mọi a,b,c>0

bài 6:a b   1 ab với a 1;b 1

4. Phơng pháp dựng bt ng thc dó bit.

4.1. Cơ sở toán học.

Trong nhiều bài toánđể việc chứng minh bất đẳng thức đợc gọn ta có thể
sử dụng các bất đẳng thức đã đợc chứng minh, nhất là các bất đẳng thức: Cô si,
Bunhia - Côpxki, ...

DỰA VÀO BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY ĐỂ CHỨNG MINH BẤT
ĐẲNG THỨC.

Lý thuyÕt:

Bất đẳng thức cauchy cho 2 số

Với a, b0 ta có a b 2 a b. dấu “=” khi và chỉ khi a=b
Bất đẳng thức cauchy cho n số

Với a a a1, , ,...,2 3 an 0 ta có

1 2 3

1 2 3
...

...

n n

n

a a a a

a a a a
n

   


Ta cũng có thể viết 1 2 3

, , ,..., n

a a a a  ta có a1a2 a3...an n a a a an 1 2 3... n

VD1: Chứng minh rằng (a+b) (1+ab) 4ab với mọi a,b>0

Phân tích: ta không thể áp dụng ngay BĐT cô sy trong trường hợp này vì ở
vế trái là một tích . để áp dụng bất đẳng thức cô sy ta phải viết vế trái thành
tổng.

CM:

ta có (a+b)(1+ab) = a+a2b+b+ab2. vì a,b>0 nên a,ab2,b,a2b>0

Theo bất đẳng thức cơ sy, ta có a+a2b+b+ab244a a b ab b. 2 . 2. 44a b4 4 4ab
Dấu “=” xảy ra khi a=b=1

Vậy (a+b)(1+ab) 4ab với mọi a,b>0.

VD 2 : Chứng minh rằng (a b )(

1 1
4

) a,b>0

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

CM:
(a b )(

1 1

)

a b 1+ 1
a b

b a  . Vì a,b>0 nên , 0
a b
b a

Áp dụng BĐT cô sy, ta có (a b )(

1 1

)

a b 1+ 1
a b

b a  . 4 14 . . .1 4

a b
b a

 

dấu “=” xảy ra khi 1

a b

a b
b a

   

vậy (a b )(

1 1
4

) a,b>0

a b  

VD 3: Chứng minh rằng a+b+1 ab a b a,b 0 

phân tích: khác với hai ví dụ đã giải ở trên, ở trong B ĐT này cả hai vế đều là
một tổng ba hạng tử trong bất đẳng thức. trong BĐT cô sy chiều nhỏ hơn là n

1 2 n

a .a ...a

n

vì vậy mỗi hạng tử ab, a, b là một vế nhỏ hơn của ba bất
đẳng thức cô sy khác. Căn cứ vào điều này ta có thể chứng minh bài tốn như
sau:

CM:

với a,b>0 ta có:

1 1

2 ; 2 ; 2

a b a b

ab a b

  

  

. Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên
ta có

1 1

2 2 2

a b a b

ab a b a b ab a b

  

          

dấu “=” xảy ra khi a=b=1

VD 4:chứng minh rằng

2 a,b 0

a b   a b  

Phân tích: Trong BĐT này ở vế trái có ba hạng tử, vế phải có hai hạng tử vì

vậy khi chứng minh bất đẳng thức này cần khéo léo tách các hạng tử ở vế trái
một cách hợp lí, tuy nhiên nếu chỉ để ý vế trái thơi thì việc phân tích cũng sẽ
gặp khó khăn, mà để làm được điều này ta cũng cần để ý vế phải để có cách
phân tích phù hợp.

CM:

vì a,b0 nên 2a,2b0.Áp dụng bất đẳng thức cơ sy, ta có

1
2

1 1 2

2 2 2

2 .2 2

a

a a a



   

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

1
2

1 1 2

2 2 2

2 .2 2

b

b b b



   

(2)

cộng vế với vế của (1) và (2) ta được
1
2

2
2

a

+
1
2

2
2

b

a b

 

1
2

2
2

a

+
1
2

2
2

b

a b

   a+

1
4+b+

4  a b  a+b+

2  a b

dấu”=” xảy ra khi 2a=2b=
1

2  a=b=

1
4
Bài tập tự giải:chứng minh rằng:

bài 1:

1 a 1 b 1 c 8; a,b,c>0

b c a

     

    

     

     

bài 2: (ax+by)(ay+bx)4abxy; a,b,x.y>0

bài 3:



a b c



1 1 1 9 a,b,c>0

a b c

 

      

 

bài 4: a+b+c ab bc ac a,b,c>0

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski để chứng minh bất

đẳng thức

Với hai bộ số (x

, x

… ,x

); (y

y

…,y

), ta có

2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

(x y x y  ... x yn n) (x x  ... x yn)( y  ... yn).

Dấu “=” xảy ra khi

và chỉ khi

3
1 2
1 2 3

... n
n

x x

y y y  y

Ví dụ

:

VD 1

: Chứng minh

uxvy 1

với x

+y

=u

+v

=1

cm:

Ta có







 



2 2 2 2 2

uxvy ux vy  uxvy  u v x y 1



uxvy



2 1 uxvy 1

(ĐPCM)

Dấu “=” xảy ra khi

u v

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

VD 2: Chứng minh rằng 2x3y 5

với

2 2

2x 3y 5

Cm:





















2 2 2

2 3 2 2 3 3 2 2 3 3

2 3 2 2 3 3 2 3 2 3

2 3 5.5 25 2 3 5.

x y x y x y

x y x y

    

      

      

dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2 2
2 2

3 3

2 2

2 3 5

y x y

x y
x

x

x y



 

  



 

  



  




 


VD 3: Cho a2 +b2 +c2 =1.

Chứng minh rằng : a2b3c  14
CM

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 6 số 1,2,3,a,b,c ta được:



1. 2. 3.





12 22 32

 

2 2 2



2 3 14

a b c a b c

a b c

       

   

VD 4 : Cho 3 số x,y,z thỏa mãn :













x x y y z z 

Chứng minh rằng :

x y z  
CM
Từ giả thiết suy ra

2 2 2 ( ) 4

x y z  x y z  
(1)
Áp dụng BĐT Bunhia cho 6 số 1,1,1,x,y,z Ta có:



x y z 



2 



1.x1.y1.z



2 



121212

 

x2y2z2



3



x2y2z2



(2)
Từ (1)và(2) ta được :









3 x y z   x y z  3

Hay S2- 3S -4 0 với S = x + y + z

(S +1 )( S- 4 ) 0
-1S  4

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Bµi 1

:

chøng minh r»ng

1x 1y 2 1a

x y 2 a

  

Bµi 2

:









3 3 1 1 , , 0

x y x y x y

x y

 

       

 

Bài 3:



 

2 2

Gi¶ sư x, y 0 tho¶ m·n : x + y = 1

a) Chøng minh r»ng 1 x + y 2

b) TÝnh gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cđa biĨu thøc : P = 1 + 2x + 1 + 2y

bất đẳng thức Svacso

Với a a a1, , ,...,2 3 an 0, ta có





2 2
2 2

1 2
3

1 2

1 2 3 1 2 3

...
...
...
n
n
n n

b b b

b b

a a a a a a a a

  

    

   

Chứng minh:

Với a a a1, , ,...,2 3 an 0 theo bất đẳng thức Bunhia ta cú



 



2
2 2

2
1 2

1 2 1 2

1 2

... n ... ...

n n

n

b

b b

a a a b b b

a a a

 
         
 
 
2
2 2
1 2
1 2
... n
n
b
b b

a a a

 

   

 

 



1 2



1 2

...
...

n
n

b b b

a a a

  

 dấu “=” xảy ra khi

1 2
1 2
... n
n
b
b b

a a  a

VD 1: chứng minh rằng:

Với a, b, c>0, a+b+c=1 thì

1 1 1
9

a b c  

CM

Vì a,b,c>0 nên áp dụng bất đẳng thức svacxo ta có

1 1 1 9

a b c  a b c 

Mà a+b+c=1 (gt) nên

1 1 1
9

a b c   . Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

1 1 1 1 1 1
5

3 3 3

a b c a b c a b c a b c

 

      

     

 

Phân tích: Nếu dung bất đẳng thức “svacxo” cho 3 số ở vế trái, ta khơng thể
chứng minh được bài tốn này.khi thực hiện phép nhân ở vế phải ta thấy vế phải
là một tổng vì vậy ta suy nghĩ đến việc dùng ba bất đảng thức “svacxo” sau đó
cộng vế với vế của ba bất đẳng thức đó. Ta có thể giải bài tốn trên như sau:
Ta có

1 1 1 1 1 5

(1)

a a a b c    a a a b c   

1 1 1 1 1 5

(2)

1 1 1 1 1 5

(3)

a b b b c a b b b c

a b c c c a b c c c

    

   

    

   

cộng vế với vế của (1),(2) và (3) ta có

5 5 5 1 1 1

3 3 3

1 1 1 1 1 1

3 3 3

a b c a b c a b c a b c

 

      

     

 

 

       

     

 

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

VD 3: cho a,b,c,d>0 chứng minh rằng:

2 2 1 1 1 1

a b c d a b c a b d

 

      

   

 

Phân tích: Nếu viết vế trái thành

1 1 1 1 1 1

a a b b c d     và áp dụng bất đẳng thức

“svacxo” ta không được như ý muốn. nếu thực hiện phép nhân ở vế phải ta
được 2 biểu thức có tử là 32 cịn mẫu của mỗi biểu thức gồm ba số hạng. Do đó
ta nghĩ đén việc chứng minh hai bất đẳng thức bằng cách áp dụng bất đẳng thức
cộng mẫu rồi cộng vế với vế của hai bất đẳng thức đó. Ta có thể chứng minh
như sau:

Ta có

1 1 1 9 1 1 1 9

(1); (2)

a b c  a b c  a b d  a b d  cộng vế với vế của hai bất

đẳng thức (1) và (2) ta được

2 2 1 1 1 1

a b c d a b c a b d

 

      

   

 . Dấu “=” xảy

ra khi a=b=c=d

Bài tập tự giải:

Bài 1: Cho a,b>0, a+b=12. Chứng minh rằng:

1 1 2 1

2a2b a b  3

Bài 2: Với a,b>0, a+b=1. Chứng minh rằng 2 2

1 1

ab a b 

Bài 3: với a,b,c>0 chứng minh rằng : 2 2 2 2
16

a b c a abc
b a b c   a c b c ab  bc

Bài 4: cho a,b,c>0và a+b+c=
3

4.Chứng minh a+b+c+

1 1 1 51
4

a b c  

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

5.1. Cơ sở toán học.

Gi mnh cn chng minh là luận đề “A ⇒ B”. Phép toán mệnh đề
cho ta:

A⇒B=A∪B=A ∩ B=A B.

Nh vậy muốn phủ định một mệnh đề ta ghép tất cả các giả thiết của luận
đề với phủ định kết luận của nó.

Ta thờng dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng nh sau:
1/ Dùng mệnh đề phản đảo: B⇒A.

2/ Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với giả thiết.
3/ Phủ định luận đề rồi suy ra 2 điều trái nhau.

4/ Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với một điều đúng.
5/ Phủ định luận đề rồi suy ra kết luận của B⇒B.

5.2. VÝ dô.
VÝ dô 1:Cho a2

+b2≤2 . Chøng minh r»ng: a + b 2.

Gi¶i

Gi¶ sư a + b > 2.

Vì hai vế đều dơng nên bình phơng hai vế ta đợc:
(a + b)2 > 4 ⇔ a2 + 2ab + b2 > 4. (1)

Mặt khác ta có: 2ab < a2 + b2 ⇒ a2 + 2ab + b2 2(a2 + b2).

Mµ a2

+b2≤2 (gt) ⇒ 2(a2 + b2) 4. Do đó a2 + 2ab + b2 < 4. (2)

Ta thÊy (2) m©u thn víi (1).
VËy a + b 2.

VÝ dơ 2: Cho 3 sè thùc a; b; c tho¶ mÃn điều kiện:

a+b+c>0

ab+bc+ca>0

abc>0

{ {

Chứng minh rằng cả 3 số a; b; c là số dơng.

Giải

Vỡ abc > 0 nờn trong 3 số a; b; c phải có một số dơng.
Giả sử ngợc lại cả 3 số đều âm thì abc < 0. Vơ lí.
Khơng mất tính tổng qt ta giả s a > 0.

Mà abc > 0 nên bc > 0.

NÕu b < 0; c < 0 th× b + c < 0.
Tõ a + b + c > 0

⇒b+c>− a(b+c)2<a(b+c)b2+2 bc+c2<abacab+ac< b22 bc c2

ab+bc+ac<b2bc c2ab+ac+bc<0

Điều này trái với giả thiÕt: ab + ac + bc > 0.

⇒ b > 0; c > 0.

VËy c¶ 3 sè a; b; c là số dơng.
5.3. Chú ý.

Vi nhng bi toỏn chng minh bất đẳng thức có dạng nh trên ta nên sử
dụng phơng pháp phản chứng. Tuy nhiên để sử dụng phơng pháp này cần
nắm vững 5 cách chứng minh và các tính chất của bất đẳng thức để biến
đổi, lp lun.

5.4. Bài tập tự giải.

1/ Cho a > b > 0 vµ 1+ab

a+b <1 . Chøng minh r»ng kh«ng thĨ cã a < 1; b < 1.

2/ Cho hai số dơng a; b thoả mÃn điều kiện a5 + b5 = a3 + b3.

Chøng minh r»ng: a2

+b2≤1+ab .

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

6. Phơng pháp đổi biến.

6.1 C¬ së toán học.

B1: Đặt biến mới dựa theo bến cũ.

B2: Bin đổi bất đẳng thức theo biến mới, chứng minh bất ng thc theo bin
mi.

B3: Kết luận và trả lời theo biÕn cị.
6.2 VÝ dơ minh ho¹.

Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức sau: abc≥(a+b − c)(a+b − c) (b+c − a) . (1)

Với a; b; c là độ di ba cnh ca mt tam giỏc.

Giải

Đặt: b + c - a = x; a + c - b = y; a + b - c = z, ta cã x; y; z > 0.

⇒a=y+z

2 ;b=

x+z

2 ;c=

x+y

2 .

Ta ph¶i chøng minh: y+x

2 .

x+z

2 .

x+y

2 ≥xyz .

⇔(y+z) (x+z) (x+y)≥8 xyz .(2)

⇔(y+z)2(x+z)2(x+y)2≥64x2y2z2.

Ta cã:

(x+y)2≥4 xy
(y+z)2≥4 xz
(x+z)2≥4 xz

Vì hai vế của bất đẳng thức trên không âm nên ta nhân từng vế các bất đẳng thức
trên ta đợc: (y+z)2(x+z)2(x+y)2≥64x2y2z2.

⇔[(y+z) (x+z) (x+y)]2≥(8 xyz)2.

⇒ (2) đợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
Vậy (1) đợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

VÝ dô 2: Cho a + b+ c = 1. Chứng minh rằng: a2+b2+c21

Giải

Đặt a=1

3+x ;b=
1

3+y ; c=
1

3+z. Do a + b + c = 1 nªn x + y + z = 0.

Ta cã: a2

+b2+c2=

(

3+x

)

(

13+y

)

(

13+z

)

(

9+
2
3x+x

)(

19+
2
3y+y

)(

19+
2
3 z+z

)

¿1

3+
2

3(x+y+z)+x

+y2+z2=1

3+x

+y2+z2≥1

Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi x=y=z=0⇔a=b=c=1

VÝ dô 3: Cho a ≥ −1

2;b ≥−
1
2;c ≥ −

2 vµ a + b + c = 1. CMR:

2a+1+2b+1+2c+1<4 .

Giải

Đặt x = 2a + 1, y = 2b + 1, z = 2c + 1.
DÔ thÊy: x ≥0, y ≥0, z ≥0 .

Ta cã: x + y + z = 2(a + b + c) + 3 = 5.
Ta ph¶i chøng minh:

x+y+z<4 .(1)

x+y+z+2(xy+xz+yz)<16 .

xy+xz+yz<5,5 .(2)

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Mặt khác ta lại cã: x+y

2 ≥√xy;

x+z

2 ≥√xz;

y+z

2 ≥√yz .

Bëi vËy √xy+√xz+√yz≤ x+y+z=5.

Chửng tỏ (2) đúng. Suy ra (1) đúng.
Vậy: √2a+1+√2b+1+√2c+1<4 .

6.3 Chú ý: Khi dùng phơng pháp đổi biến chng minh bt ng thc
cn chỳ ý:

* Đặt biến míi theo hƯ biÕn cị, kÌm theo ®iỊu kiƯn cđa biÕn míi.

* Nắm chắc đợc các phép biến đổi, các bất đẳng thức cơ bản để áp dụng.
* Đổi về bin c.

6.4 Bài tập tự giải.

1/ Cho a; b; c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

a
b+c − a+

b
a+c −b+

c

a+b − c≥3.

2/Cho a; b; c 0 . Chøng minh r»ng: a

b2

+c2+
b4

a2

+c2+
c4
a2

+b2≥

a2+b2+c2

2 .

7.

Phương pháp làm trội

:

Để chứng minh A ≥ B nhiều khi ta phải chứng minh A ≥ C với C là biểu thức lớn hơn hoặc
bằng B, từ đó ta có A ≥ B; Hoặc chứng minh D ≥ B Với D là biểu thức nhỏ hơn hoặc bằng A,
từ đó ta có A ≥ B.

VÝ dơ:

VÝ dơ 1. Chøng minh r»ng: 1
n+1+

n+2+.. .+

1
2n >

2. (Víi n∈N , n > 1 ).

Gi¶i:

Ta cã: 1

n+1 >

n+n=

1
2n.

T¬ng tù: 1

n+2 >

1
2n.

...
1

2n≥

2n.

Cộng tất cả các bất đẳng thức trên theo từng vế (lu ý từ số hạng n + 1 đến số
hạng thứ n + n = 2n, có tất cả là n số), ta đợc đpcm.

VÝ dô 2. Chøng minh r»ng: 1+1

22+

1
32+. ..+

n2 >

n

n+1;(n∈N ,n ≥1).
Gi¶i:

Ta cã: 1+ 1

22+
1
32+. ..+

n2 >

1
1 . 2+

1
2. 3+

1
3 . 4+. . .+

n(n+1) =

1
1−
1
2+
1
2−
1
3+
1
3−
1
4+. ..+

n−

n+1 = 1−

n+1=
n

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

n >0 ta cã 2

1 1 1 1

.... .

9 25  (2n1) 4

CM:

Ta cã (2n+1)2=4n2+4n+1>4n2+4n=4n(n+1) suy ra

1 1

4 ( 1)
(2 1)

1 1 1 1 1 1 1

.... ....

9 25 (2 1) 4.1.2 4.2.3 4.3.4 4. ( 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

.... (1 ) . .

4 1.2 2.3 3.4 ( 1) 4 1 4 1 4 4

n n
n

n n

n n n n n

 




       




 

          

  

 

VÝ dô 4: Chøng minh

1 1 1 .... 1 1

2 2

5 13 25   2008 2009  2

CM

2 2 2 2 2

2 2

1 1

: (x-y) 0 2 0 2

x y x xy y x y xy

xy

x y

           



2 2

1 1

2.1.2
1 2

1 1

2.2.3

2 3

...

1 1

2.2008.2009
2008 2009



 






 

 








 

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

... ....

2.1.2 2.2.3 2.3.4 2.2008.2009

1 2 2 3 3 4 2008 2009

1 1 1 1 1

= ....

2 1.2 2.3 3.4 2008.2009

      

   

 

   

 

 

1 1 1 2008 1 2008 1

= 1 . .

2 2009 2 2009 2 2008 2

 

  

Ta có đpcm

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Bài 1: Chứng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n> 0:

2 2 2 2

1 1 1 1

... 1
2 3 4  n

Bài 2 : cho n là số tự nhiên , chøng minh r»ng:

1 1 1

/ ... 1

1.2 2.3 ( 1)

a

n n

   







2 2 2

1 1 1 1

/ ... 2 1

1 2

b n

n n

     

2 2 2

1 1 1 5

/ ...

1 2 3

c

n

   

III. Một số ứng dụng của bất đẳng thức.
A. Một số định lí, bất đẳng thức cần dùng.

1.Mệnh đề 1: Nếu tổng các số thực dơng x1; x2; ... xn bằng một số cho trớc thì

tÝch cđa chóng lín nhÊt khi: x1= x2= ...= xn.

*Định lí 1: Nếu có n số dơng x1; x2; ... xn có tổng bằng S khơng đổi thì tích

P = x1. x2. ... .xn có giá trị lớn nhất khi:

x1
m1=

x2

m2=. . .=
xn
mn

Trong đó mi là các số hữu tỉ dơng.

2. Mệnh đề 2: Nếu tích của các số dơng x1; x2; ... xn bằng một số cho trớc thì

tỉng cđa chóng bÐ nhÊt khi x1= x2= ... = xn.

*Định lí 2: Nếu n số thực dơng x1; x2; ... xn có tích P = x1. x2. ... .xn khơng đổi thì

tỉng S = x1 + x2 + ... + xn có giá trị bé nhất khi
x1
m1

=x2
m2

=. . .=xn
mn

Trong ú mi (i = 1; 2; ...; n) là các số hữu tỉ dơng cho trớc.

3. Mệnh đề 3: Cho x1; x2; ... xn R ta có: |x1|+|x2|+.. .+|xn|≥|x1+x2+.. .+xn|. (1)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi xi cùng dấu. Đặc biệt: |x1− x2|≥|x1|−|x2|.

B. ¸p dơng

1. Tìm cực trị của hàm số. Biểu thức đại s.

Bài 1: Tìm GTNN của hàm số: y=

(x 1993)2+

(x −1994)2.
Gi¶i

Dễ thấy hàm số xác định với ∀x∈R . Ta có:

y=|x −1993|+|x −1994|=|x −1993|+|1994− x|.

áp dụng bất đẳng thức: |a1|+|a2|≥|a1+a2| ta đợc:

y ≥|x −1993+1994− x|=1⇒y ≥1 .

DÊu “=” x¶y ra ⇔(x −1993) (x 1994)01993 x 1994 .

Do ú ymin = 1.

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y=

x+2x 1+

x −2√x −1 .

Gi¶i

Điều kiện để hàm số xác định là: x ≥1.

Khi đó: y=

√

(√x −1+1)2+

√

(√x −1−1)2=|√x −1+1||√x −1−1|.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

DÊu b»ng x¶y ra

⇔

(√x −1+1) (√x −1−1)≥0

x ≥1
⇔1≤ x ≤2 .

¿{

VËy ymin = 2.

2. Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình và hệ phơng trình.

VÝ dơ 1: Giải phơng trình sau:

3x212x

+16+

y24y+13=5 .
Giải

Ta thấy:

√

3x2

−12x+16=

√

3(x −2)2+4≥2 .

√

y2

−4y+13=

√

(y −2)2+9≥3 .

⇒

√

3x2−12x+16+

√

y2−4y+13=5 .

DÊu “=” x¶y ra

√

3x2−12x+16=2

√

y2−4y+13=3

⇔

¿3x2−12x+16=4
y2−4y

+13=9

⇔

¿x=2
y=2

¿{

Vậy nghiệm của phơng trình đã cho là (x = 2; y = 2).
Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình:

x3+2y2−4y+3=0 .(1)
x2

+x2y2−2y=0 .(2)

¿{

Gi¶i

Tõ (1) suy ra: x3

=−1−2(y −1)2≤ −1⇒x3≤ −1⇔x ≤ −1 (*)

Tõ (2) suy ra: x2(1+y2)=2x2= 2y

1+y2.

Mặt khác ta lại có: y2+12x2= 2y

1+y21x

211 x ≤1.

(**)

Tõ (*) vµ (**) ⇒ x = -1. Thay x = -1 vµo (2) ta cã: y2 – 2y + 1 = 0 ⇒ y =

Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x = -1; y = 1).

Ch ¬ng III : Thùc NghiƯm s ph¹m

1.Mục đích thực nghiệm:

-Kiểm tra hiệu quả của đề tài nghiên cứu.

-Muốn hồn thiện đề tài để có thể áp dụng rộng rãi hơn.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

So¹n: 15/12/2010

Giảng : 20/12/2010

Chứng minh bất đẳng thức bằng cách

Giáo án

dùng định nghĩa và tính chất của bất

đẳng thc

I. Mục tiêu bài giảng:
- Kiến thức:

+ Hs nm c định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức

+Hs nắm đợc một số tính chất của bất đẳng thức ngoi sỏch giỏo khoa

- Kỹ năng: Hs biết vận dụng lý thuyết vào làm các bài tập.

- Thỏi : rốn t duy logic cho học sinh

II. Ph ¬ng tiƯn thùc hiện :.

- GV: Bài soạn.

- HS: ôn tập lý thuyết.

III. Cách thức tiến hành:

Thy t chc + trũ hot ng

IV. Tiến trình bài dạy

A- Tổ chức:

B- Kiểm tra bài cũ:

- Nêu 2 tính chất về liên hệ giữa thứ tự và phép nhân? Viết dạng tổng quát?

C- Bài mới:

Hot ng cuả
 giáo viên –học sinh

Ghi b¶ng

-Gv: Yêu cầu học
sinh nêu định nghĩa
tính chất về bất đẳng
thức đã học.

-Hs : suy nghĩ và trả
lời các tính chất

-GV nhận xét bổ
xung một số tính chất
và ghi bảng

A/ Mt s kiến thức cơ bản về bất đẳng thức.
1. Định nghĩa:

Cho 2 số a và b ta nói:

a lớn hơn b, kÝ hiÖu: a > b ⇔ a - b > 0.
a nhá h¬n b, kÝ hiƯu: a ⇔ a - b < 0.

2. Các tính chất của bất đẳng thức:

2.1. a > b b < a.

2.2. Tính chất bắc cầu: a > b, b > c ⇒ a > c.
2.3. TÝnh chÊt cña phÐp céng: a > b ⇒

a + c > b + c.

2.4. a > b, c > d ⇒ a + c > b + d.

Chú ý: không đợc trừ từng vế của hai bất đẳng thức
cùng chiều.

2.5. Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngợc chiều đợc
bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị
trừ. Nếu a > b, c < d thì a - c > b - d

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Yêu cầu học sinh lµm
vÝ dơ 1

-giáo viên u cầu hs
quan sát và nhận xét
vế trái của BĐT
-yc hs biến đổi vế trái
của BĐT và xét hiệu
2 vế.

-Giáo viên hớng dn
hs t n ph.

-Gọi hs lên bảng trình
bày

Yêu cầu làm bài tập
ví dụ 2

-gọi hs trình bày bảng
-yêu càu nhận xét.
-giáo viên chữa bài và
củng cố

Yêu cầu hs làm
ví dụ 3

_yêu cầu tìm mối
quan hệ giữa a2 b2
và a+ b

-yêu cầu tìm lời giải
Gọi hs trình bày
Giáo viên nhận xét

b)a > b, c < 0 ⇒ a.c < b.c

2.7. Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều
mà hai vế không âm

NÕu a > b 0, c > d 0 th× ac > bd.

2.8. Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dơng hai vế của
bất đẳng thức

a > b > 0 ⇒ an > bn.

a > b ⇒ an > bn víi n = 2k ( k Z).

2.9. So s¸nh hai luü thõa cïng c¬ sè víi sè mũ
nguyên dơng.Với m > n > 0:

- Nếu a > 1 th× am > an.

- NÕu a = 1 th× am = an.

- NÕu 0 < a < 1 th× am < an.

2.10. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng
thức nếu hai vế cùng dấu

NÕu a > b > 0 hoặc a < b < 0 thì 1

a<¿

b
3. Các bất đẳng thức cần nhớ.

3.1. a2 0, -a2 0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a =

3.2. |a| 0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0.
3.3. - |a| a |a| . Dấu đẳng thức xảy ra khi
a = 0.

3.4. |a+b| |a| + |b| . Xảy ra dấu đẳng thức
khi ab 0.

3.5. |a − b| |a| - |b| . Xảy ra dấu dẳng thức
khhi ab 0; |a| |b| .(Các điều kiện này cịn
có thể diễn đạt lại là a b 0 hoặc a b 0).

B.Bµi tËp

VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) 
-1.

Gi¶i

XÐt hiƯu: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1)
= [(x-1)(x-4)].[(x-2)(x-3)]
= (x2-5x+4)(x2-5x+6) + 1.

Đặt (x2-5x+5) = y, biểu thức trên đợc viết lại

nh sau:

(y-1)(y+1) + 1 = y2-1+1 = y2 0.

⇒ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1) 0 hay (x-1)(x-2)
(x-3)(x-4) -1.

VÝ dô 2: Chøng minh: 2(x2 + y2) (x + y)2.
Gi¶i

XÐt hiƯu 2 vÕ:

2(x2 + y2) - (x + y)2 = 2x2 + 2y2 - x2 - 2xy - y2

= x2 - 2xy + y2 = (x - y)2 0.

VËy 2(x2 + y2) (x + y)2.

VÝ dô 3: Chøng minh r»ng nÕu a2

+b2≤2 thì

a+b 2 .

Giải

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Yêu cầu hs thực hiện
-giáo viên gợi ý tìm
mối liên hệ giữa 2 vế
-gọi hs trình bày bảng

Giáo viên yc hs làm
bài

-yc 1 hs nêu cách làm
-gọi hs lên bảng thực
hiện

-giáo viên kiểm tra
bài làm của hs dới
lớp.

-Giáo viên nhận xét
Giáo viên yc hs làm
bài

-yc 1 hs nêu cách làm
(Gợi ý cách làm mất
dấu căn)

-gọi hs lên bảng thực
hiện

-giáo viên kiểm tra
bài làm của hs dới
lớp.

-Giáo viên nhận xét

Từ a2

+b22a2b2 2 .

Suy ra 2 ab−2≤0 hay 2ab 2.

Mặt khác (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (1)

2 ab≤2 (2)
a2

+b2≤2 (3)

Tõ (1), (2), (3) suy ra (a+b)2≤4 hay |a+b|≤2 .

Nhng |a+b|≥ a+b nªn a+b ≤2 .

VÝ du 4 : Chứng minh rằng:

a2+b2+c2 ab+ac+bc

 













 

2 2 2
2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

1
0

2 2 2 2 2 2

2 2 2

0 2

2 2 2

a b c ab bc ac

a b c ab ac bc

a b c a c b

ab ac bc

a ab b c ac a c cb b

a b c a c b

    
      
     
        
     
     
     
   
  
   
 CM:

Bất đẳng thức (2) hiển nhiên đúng suy ra (1) đúng .Dấu
“=” x ảy ra khi a=b=c

VD 5: Chứng minh rằng 2a2+b2+c2 2(ab+ac) với mọi

a, b, c

2 2 2 2

2 2

2 2 2 0

2 2 0

( )

( ) ( )

( ) ( )

a b c a ab ac
a ab b a ac c
a b a c

      

      

    

HiÓnnhiên đúng với mọi a,b,c. dấu “=” xảy ra khi
a=b=c

vậy 2a2+b2+c2 2(ab+ac) với mọi a,b,c

VD 6: chứng minh rằng a a2 2 a1 a>0

cm: a a2 2 a1 a>0





2 2

2 4 1

2 2 4 4

2 2 2

2 1

2 2 1

( )

a+2 ( )

2 ( )

( )

a a a

a a a a

a a a
a a a
a a a a

    

     

   

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

hiển nhiên đúng .vậy a a2 2 a1 a>0

D.Củng cố:

Giáo viên tổng kết bài học

E.Hớng dẫn học bài ở nhà:Yêu cầu làm các bài tập:

Chng minh cỏc bt ng thc sau:
1/ a

+b2

2 ≥

(

a+b

)

2/ x3 + 4x + 1 > 3x2 víi x 3.

3/ Cho a + b = c + d. Chøng minh r»ng: c2 + d2 + cd 3ab.

4/ Víi a ≥ b 1 thì 1

1+a2+

1
1+b2

2
1+ab.

Soạn: 15/12/2010

Ging : 25/12/2010 Giáo án

Chứng minh bất đẳng thức bằng cách

dùng một số bất đẳng thức quen thuộc

I. Mục tiêu bài giảng:

- KiÕn thøc:

+Hs nhớ lại các BĐT đã đợc nhắc trong SGK và SBT
+ Hs nắm một số bất đẳng thức quen thuộc

+Hs nắm đợc cách chứng minh các bất ng thc ú

- Kỹ năng: Hs biết vận dụng lý thuyết vào làm các bài tập.

- Thỏi : rốn t duy logic cho học sinh

II. Ph ¬ng tiƯn thùc hiƯn :.

- GV: Bài soạn.

- HS: ôn tập lý thuyết.

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Thầy tổ chức + trị hoạt động

IV. TiÕn tr×nh bài dạy
A- Tổ chức:

B- Kiểm tra bài cũ:

Viết BĐT cosi trong trờng hợp 2 số

C- Bài mới:

Hot ng cu

giáo viªn –häc sinh Ghi b¶ng

-Gv: Yêu cầu học
sinh nêu bất đẳng
thc cauchy

-Hs : suy nghĩ và trả

lời

-GV nhn xột b
xung bt ng thc v
ghi bng

Yêu cầu học sinh làm
ví dụ 1

-giáo viên yêu cầu hs
quan sát và nhận xét
vế trái của BĐT
-Gợi ý Hs sử dụng
BĐT cosi

-Gọi hs lên bảng trình
bày

Yêu cầu làm bài tËp
vÝ dơ 2

-Gỵi ý HS sư dơng

A/ Một số kiến thức cơ bản .
1. Bất đẳng thức Cauchy :

Bất đẳng thức cauchy cho 2 số

Víi a, b0 ta cã a b 2 a b. dÊu “=” khi vµ chØ khi a=b

Bất đẳng thức cauchy cho n số

Với a a a1, , ,...,2 3 an 0 ta có

1 2 3

1 2 3
...

...

n n

n

a a a a

a a a a
n

   


Ta cũng có thể viết 1 2 3

, , ,..., n

a a a a  ta có

1 2 3 ... n n 1 2 3... n

a a a  a n a a a a
2. Bất đẳng thức Svacso

Vớia a a1, , ,...,2 3 an 0,tacó





2 2
2 2

1 2
3

1 2

1 2 3 1 2 3

...
...
...
n
n
n n

b b b

b b

a a a a a a a a

  

    

   

 dấu “=” xảy ra khi

1 2
1 2
... n
n
b
b b

a a  a
3. Bất đẳng thức Bunhiacopski

Với hai bộ số (x

, x

… ,x

); (y

y

…,y

), ta

có

2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

(x y x y  ... x yn n) (x x  ... x yn)( y  ... yn).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

3
1 2
1 2 3

... n
n

x x

y y y  y

B.Bµi tËp

VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng: a

b+
b

a≥2 víi mäi ab >

Giải

Vì a

b;
b

a u dng nờn ỏp dng bất đẳng thức Cơ si

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

B§T Bunhia

-gäi hs trình bày bảng
-yêu cầu nhận xét.
-giáo viên chữa bài và
củng cố

Yêu cầu hs làm
ví dụ 3

- GV gỵi ý ta khơng
thể áp dụng ngay BĐT
cơ sy trong trường hợp
này vì ở vế trái là một
tích . để áp dụng bất
đẳng thức cơ sy ta
phi vit v trỏi thnh
tng.

yêu cầu tìm lời giải
Gọi hs trình bày
Giáo viên nhận xét
Yêu cầu hs thực hiện

-Giáo viên yc hs làm
bài

-yc 1 hs nêu cách làm
-gọi hs lên bảng thực
hiện

-giáo viên kiểm tra
bài làm của hs dới
lớp.

-Giáo viên nhận xét

Giáo viên yc hs làm
bài

-yc 1 hs nêu cách làm
(Gợi ý dùng BĐT
Svacxo)

-gọi hs lên bảng thực
hiện

-giáo viên kiểm tra
bài làm của hs dới
lớp.

-Giáo viên nhận xét
Giáo viên yc hs làm
bài

(

ab+
b
a
2

)

2
a
b.
b
a=1

a
b+

b
a

2 1. Hay :

a
b+

b
a2 .

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a

b=
b

aa=b.

Ví dơ 2: Cho a; b tho¶ m·n 3a - 4b = 7. Chøng minh
r»ng 3a2 + 4b2 7.

Gi¶i

Cã 3a - 4b = √3.√3 .a - 2.2.b = 7.

áp dụng bất đẳng thức Bunhia - Côpxki cho bốn số

√3;√3 .a ; -2; 2b ta đợc:
72 = (3a - 4b)2=(

√3.√3 .a - 2.2.b)2 (3 + 4)(3a2 +

4b2) ⇔7≤ 3a2 + 4b2.

DÊu “=” x¶y ra  a√3

√3 =
2b

−2⇔ a = 1; b = -1.

VÝ dô 3: Chứng minh rằng (a+b) (1+ab) 4ab với

mọi a,b>0

CM:

ta có (a+b)(1+ab) = a+a2b+b+ab2. vì a,b>0 nên
a,ab2,b,a2b>0

Theo bất đẳng thức cơ sy, ta có a+a2b+b+ab2

2 2 4 4

4 4

4 a a b ab b. . . 4 a b 4ab

  

Dấu “=” xảy ra khi a=b=1

Vậy (a+b)(1+ab) 4ab với mọi a,b>0.

VÝ dô 4:Chứng minh rằng (a b )(

1 1
4

) a,b>0

a b  

CM:
(a b )(

1 1

)

a b 1+ 1
a b

b a  . Vì a,b>0 nên , 0
a b
b a 

Áp dụng BĐT cơ sy, ta có (a b )(

1 1

)

a b 1+ 1
a b
b a  .

4 1. . .a b 1 4

b a

 

dấu “=” xảy ra khi 1

a b

a b
b a

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

-Gv gỵi ý Nếu dung
bất đẳng thức “svacxo”
cho 3 số ở vế trái, ta
khơng thể chứng minh
được bài tốn này.khi
thực hiện phép nhân ở
vế phải ta thấy vế phải
là một tổng vì vậy ta
suy nghĩ đến việc dùng
ba bất đảng thức
“svacxo” sau đó cộng
vế với v ca ba bt
ng thc ú.

-gọi hs lên bảng thực
hiện

-giáo viên kiểm tra
bài làm của hs dới
lớp.

-Giáo viên nhận xét

vy (a b )(

1 1

) a,b>0

a b  

VÝ dô 5: chứng minh rằng:

Với a, b, c>0, a+b+c=1 thì

1 1 1
9

a b c  

CM

Vì a,b,c>0 nên áp dụng bất đẳng thức svacxo
ta có

1 1 1 9

a b c  a b c 

Mà a+b+c=1 (gt) nên

1 1 1
9

a b c   . Dấu “=” xảy ra khi

a=b=c=
1
3

VÝ dô 6: cho a,b,c >0 chứng minh rằng

1 1 1 1 1 1

3 3 3

a b c a b c a b c a b c

 

      

     

 

Cm

Ta có

1 1 1 1 1 5

(1)

a a a b c    a a a b c   

1 1 1 1 1 5

(2)

1 1 1 1 1 5

(3)

a b b b c a b b b c

a b c c c a b c c c

    

   

    

   

cộng vế với vế của (1),(2) và (3) ta có

5 5 5 1 1 1

3 3 3

1 1 1 1 1 1

3 3 3

a b c a b c a b c a b c

 

      

     

 

 

       

     

 

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

D.Củng cố:

Giáo viên tổng kết bài học

E.Hớng dẫn học bài ở nhà:Yêu cầu làm các bài tập:

Chng minh cỏc bt đẳng thức sau:

1/ Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè d¬nng a; b; c cã tỉng a + b + c = 1 th×:

a+

b+

c≥9 .

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

√2≤ x

+y3≤1.

3/ Cho a ≥1;b ≥1. Chøng minh r»ng: a√b 1+ba 1ab .

3.Kết quả thực nghiệm

Bài tập kiểm tra

(Thời gian : 60’)

Bµi 1: Chøng minh r»ng: Víi x, y > 0. Ta cã : ( 1 + x) (1 + y) (1 + √xy )2
Bµi 2 : Cho a b,   vµ 3a + 4 = 5 . Chøng minh r»ng a2 b2 1

Bµi 3 : Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc x , y ta cã :

2 2

5x 2y  2xy 4x 6y 10

Bµi 4: a) Cho hai số thực dơng a và b . Chøng minh r»ng :

1 1 4

a b a b

b) Cho 0 < x < 2 vµ x  1 . Chøng minh r»ng :









2
2

1 1

4
2

1 x x x

x    

KÕt qu¶ kiểm tra

STT Họ và tên Lớp Điểm

1. Nguyễn Tuấn Vũ 9A2 8

2. Phạm Tiến Dĩnh 9A2 6

3. Nguyễn Thế Cảnh 9A1 6

4. Ngun ViƯt Dịng 9A1 2

5. Hoµng Thu HiỊn 9A2 4

6. Nguyễn Thị Thu Hơng 9A1 5

7. Trơng Khánh Ly 9A1 6

8. Nguyễn Thị Hải Huế 9A1 2

9. Lê Văn Dũng 9A1 5

10. Nguyễn Quốc Triệu 9A2 4

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

-Điểm giỏi 1 em/10( tỉ lệ 10% )
-Điểm khá: 0 em

-§iĨm TB : 5 em/ 10 ( tØ lƯ 50%)
-§iĨm u : 4em/ 10 ( tØ lƯ 40% )

Dut kế hoạch dạy học và kết quả thực nghiệm
Duyệt của tỉ cm dut cđa bgh

PhÇn III : kÕt luËn

Việc phát triển năng lực, t duy của học sinh THCS thơng qua việc giải tốn
bất đẳng thức trong đại số thì nội dung tơi đã trình bày ở trên cịn rất hạn hẹp so
với tồn bộ chuyên đề về bất đẳng thức. Việc áp dụng một số phơng pháp giải
toán bất đẳng thức vào chơng trình tốn THCS là một vấn đề rộng, là nội dung
phong phú và đa dạng. Nhng trên tơi chỉ trình bày đợc một số phơng pháp, một
số bài tập cơ bản nhất trong chơng trình tốn THCS .Với thời lượng chương trỡnh

có hạn tơi khơng thể truyền đạt hết những kinh nghiệm mà mình tích lũy được
cho học sinh chỉ trong 2 tiết học.Vì vậy để học sinh học tốt hơn chuyên đề này
tôi đề nghị các nhà trường cần phải có kế hoạch phụ đạo học sinh yếu kém, bồi
dưỡng học sinh khá, giỏi; mỗi giáo viên phải không ngừng tự học, phải thương
yêu học sinh,tận tâm với nghề có như thế thì chất lượng đại trà và chất lượng
mũi nhọn mới tăng lên được.

Chắc chắn rằng đây là cuốn t liệu có thể giúp tôi hiểu một cách sâu sắc
hơn, cơ bản hơn trong việc giải toán bất đẳng thức. Qua việc làm đề tài tơi càng
thấy giải tốn bất đẳng thức là một hoạt động trí tuệ cao và gian khổ. Nhng đồng
thời tôi càng thêm sáng tỏ nhiều vấn đề mới và bổ ích, những ứng dụng sáng tạo,
vững tin hơn trong việc giải tốn cấp THCS.

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

góp ý kiến của các thầy cô giáo để đề tài này được hồn thiện hơn

.

Tài liệu tham khảo

Trong q trình viết đề tài này tôi đã tham khảo một số tài liệu sau:

1) Sách toán 8 tập 2 (Phan Đức Chính tổng chủ biên)

2) Tốn nâng cao chọn lọc đại số 8 (Nguyễn Vĩnh Cận –Lê Khắc

Bảo-vũ Thế Hựu-Lê Đình Phi-Phan Thanh Quang-Phạm Đan Quế)

3) Tài liệu ôn thi vào lớp 10 chun Lê hồng phong (2003-2004) mơn

tốn .

4) Bất đẳng thức chọn lọc cấp 2 (Nguyễn Vũ Thanh)

5) Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8- Vũ Dương Thụy

6) Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9 – Bùi Văn Tuyên

Phú Thọ

,

ngày 30/12/2010

Người viết

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34></div>

Bat dang thuc

<b>Trờng đại học s phạm hà nội</b>

<b>Khoa toán-tin</b>

<b>đề tài nghiên cứu khoa học</b>

<b>về nghiệp vụ s phạm</b>

<i><b>Tên đề tài :</b></i>

Một số phơng pháp chứng minh

bất đẳng thức

<i><b>Ngêi híng dÉn :PGS,TS.Ngun Do·n Tn</b></i>

<i><b> Cán bộ Khoa Toán- Tin-ĐHSP Hà Nội</b></i>

<i><b>Ngời thực hiện: Đặng Thùy Dung</b></i>

<i><b> Ngày sinh: 17-08-1986</b></i>

<b>phó thä -201</b>

<b>Mục lục</b>

<b>Phần II: Nội dung....05</b>

<b>Phần III : Kết luận..35</b>

<b>Tài liệu tham khảo..36</b>

<b>phần I: mở đầu</b>

<b>PhÇn II: Néi dung</b>

<b>Ch</b>

<b> ơng I</b>

<b> : Cơ sở lý luận và thực tiễn có liên quan đến đề tài nghiên</b>

<b>cứu</b>





<b>Ch</b>

<b> ơng II:</b>

<b> Các biện pháp s phạm cần thực hiện để nâng cao</b>

<b>chất lợng dạy học bất đẳng thức:</b>

<b>2.Biện pháp 2: Hớng dẫn từng dạng toán cụ thể:</b>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

⏟

 













 









<b>Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski để chứng minh bất</b>

<b>đẳng thức</b>

Với hai bộ số (x

, x

… ,x

); (y

y

…,y

), ta có

<sub>Dấu “=” xảy ra khi </sub>

và chỉ khi

<b>Ví dụ </b>

<b>:</b>

: Chứng minh

với x

+y

=u

+v

=1

<b>cm:</b>

Ta có







 