CHUYÊN ĐỀ : BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ Dạng 1: DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC pps

CHUYÊN ĐỀ : BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
Dạng 1: DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.
Chú ý các tính chất sau:

 
2
a b 0
 
;
2 2 2
A B C 0
   
;
2 2 2
A B C 0 ,( 0)
       
; Tích các số không
âm là số không âm ; Các hằng đẳng thức đáng nhớ ! Kĩ thuật nhóm, tách các hạng tử để đưa
về dạng hằng đẳng thức .
Bµi 1 : Chứng minh các Bất đẳng thức sau:
a)
2
2 2
a b a b
2 2
 
 

 
 
b)

3
3 3
a b a b
2 2
 
 

 
 
c)
2 2
a b 2ab
 

c)
2 2 2
a b b ab bc ca
    
d)
 
2 2 2
a b c 3 2 a b c
     

e)
 
2 2 2 2 2
a b c d e a b c d e
       
f)

2 2
a b 1 ab a b
    

Bµi 2 : Chứng minh các BĐT sau:
a)
2 2 2
a b c 2ab 2ac 2bc
    
b)
2
2 2
a
b c ab ac 2bc
4
    
c)
2 2
a 2b 2ab 2a 4b 2 0
     
d)
2 2
a 5b 4ab 2a 6b 3 0
     

e)


4 4 2 2
x y z 1 2x xy x x 1

      
f)
Bµi 3 : Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh các BĐT sau:
a)
 
2 2 2
ab bc ca a b c 2 ab bc ca
       
b)






abc a b c b c a c a b
      
c)


2 2 2 2 2 2 4 4 4
2 a b b c c a a b c 0
     

d)
     
2 2 2
3 3 3
a b c b c a c a b 4abc a b c
        

e)
     
2 2 2
a b a b b c b c c a c a 0
     

f)






3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3
a b c abc a b c b a c c a b a b c 2abc
            
Bµi 4 : Chứng minh:








x 1 x 3 x 4 x 6 10 0
     
với mọi số thực x.
Bµi 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2
P x xy y 3x 3y 1998
     
Bµi 6 : Cho abc=2 và
3
a 72

. CMR:
2
2 2
a
b c ab bc ca
3
    
.
Bµi 7 : CMR:
a) Nếu
2 2
a b 2
 
thì
a b 2
 
b) Với a  b thì
3 2 2 3
2
a ab a b b
b
a b
  




c) Nếu
x 1, y 1
 
thì
x y 1 y x 1 1 xy
    
d) Nếu
0 x y z
  
. CM:
   
1 1 1 1 1
y x z x z
x z y x z
   
     
   
   

e) Nếu
2 2 2
a b c 1
  
thì :
1
ab bc ca 1
2

    
.
f) Cho a > 0. CMR:
5 2
a a 3a 5 0
   

Bµi 8 : Cho a, b, c là các số thực trong đoạn [0 ; 1]. CMR:
2 2 2 2 2 2
a b c 1 a b b c c a
     

Bµi 9 : CMR: Nếu ab+ bc+ ca =1 thì






2 2 2
1 a 1 b 1 c
   bằng bình phương của một
số thực ( a, b, c là các số thực).
Bµi 10 : Tìm các số a, b, c, d biết rằng :
2 2 2 2
2
a b c d ab bc cd d 0
5
        
.

Bµi 11 : Cho các số dương a, b, c. CMR:
a b c
1 2
b c a c a b
   
  
.
Bµi 12 : Cho các số thực a, b, c, m, n, p thỏa mãn điều kiện :

ap 2bn cm 0
  
và
2
ac b 0
 
. CMR:
2
mp n 0
 
.
Bµi 13 : Cho các số dương thỏa mãn: a> b và
c ab
 . CMR:
2 2 2 2
a c b c
a c b c
 

 
.

Dạng 2: DÙNG CÁC BĐT:
 
1
a 2, a 0
a
  
;
 
a b
2, a.b 0
b a
  

Bµi 14 : Chứng minh các BĐT sau: (với a, b, c là các số dương)
a)
 
1 1
a b 4
a b
 
  
 
 
b)
 
1 1 1
a b c 9
a b c
 
    

 
 

c)




2 2 2
a b c a b c 9abc
     d)
bc ac ab
a b c
a b c
    

e)
a b c 3
b c a c a b 2
  
  
f)
2 2 2
a b c a b c
b c a c a b 2
 
  
  

g)

4 4 4 9
a 2b c 2a b c a b 2c a b c
  
       
;
h)
a b c 1 1 1
bc ac ab a b c
    
i)
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a
b c a
    

Bµi 15 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a)




 
4x 1 4 x
P , x 0
x
 
 
b)

 
2
x 2x 1
Q , x 2
x 2
 
  


c)
2
2
1
T a 4 a
a a 1
   
 
.
Bµi 16 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
4 2
x
U
x x 1

 
.
DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC & HÀM SỐ .
Bµi 17 : Tìm GTNN của :
a)

       
2 2 2
f x,y x y 1 x 1 y 2
      
b)


2 2 2
f x,y x y x 2xy 4x 1
    
c)
 
2 2
2 2
4y 4x 6xy
f x,y
x y
 


.
Bµi 18 : Tìm GTLN của :
a)


2
f x 3 4x x
  
b)







f x x 3 15 x
  

c)
 
2
2 2
3x 4xy
f x,y
x y




Bµi 19 : Tìm GTNN của :
a)
   
2
x 4x 4
f x x 0
x
 
 
b)
   

3
2
x 1
f x x 0
x

 

c)
   
x 5
f x 0 x 1
1 x x
   

d)


f x tgx cotgx
 
(x là góc nhọn)
Bµi 20 : Tìm GTLN của :
a)






f x 2x 1 3 5x

  
b)
     
3
f x 1 x 1 x
  

c)
 
2
x
f x
x 2


d)
 
 
2
3
2
x
f x
x 2



e)
     
2 2

f x a x a x 0 x a
    

Bµi 21 : Tìm GTLN, GTNN của :
a)




f x 3 x 1 4 5 x 1 x 5
     
b)
 


2
f x 3x 4 3 x 3 x 3
     
c)




o o
f x 3sinx 4cosx 2 0 x 180
    
Bµi 22 : Cho


2 2

x y 2, x 0,y 0
   
. Hãy tìm :
a) GTNN của :
1 1
A
x y
 
b) GTLN của :


B x y xy
 

c) GTLN của :
2
C xy

Bµi 23 : Cho xy= 4 , (x>0, y>0). Hãy tìm GTNN của :
a)
2 2
A x y
 
b)
4 4
B x y
 
c)





C x 1 4y 3
  

d)
2 2
D x y x 9 y y 9 x
     
Bµi 24 : Cho 2 số thực dương a và b. Tìm GTNN của :
a)




 
a x b x
y , x 0
x
 
 
b)
b
y ax, x 0
x
  

c)
 
b

y ax , x a
x a
   

d)
y 2 x 1 x 2 x 3
     

e)
y x 1 x 2 x 3 x 4
       