MOT SO CHUYEN DE ON THI CAP 3 CHUAN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (309.41 KB, 27 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC
Phần 1: Kiến thức cần nhớ

1. Điều kiện để căn thức có nghĩa
A Có nghĩa khi A  0

2. Các công thức biến đổi căn thức
a.

2
A A

{

− A , AA , A ≥<00
b. AB  A B. (A0;B0)

( 0; 0)

A A

A B

B  B  

2 ( 0)

A B A B B

e. A B  A B2 (A0;B0)
A B  A B2 (A0;B0)
f.

( 0; 0)

A

AB AB B

B B  

( 0)

A A B

B
B

B  

2
2

( )

( 0; )

C C A B

A A B

A B

A B    



m. 2

( )

( 0; 0; )

C C A B

A B A B

A B

A B     



Phần 2: Một số ví dụ và bài tập:
Ví dụ 1: Cho M = −

√

a −a+6

√

a
a) Rút gọn M

b) Tìm a để |M|≥1

c) Tìm giá trị lớn nhất của M
Giải

a) ĐK: a ≥ 0
M = − a −

√

a+6

√

a+3 =

(

√

a+3)(2−

√

a)

√

a+3 =2−

√

a

Vậy với a ≥ 0 thì M = 2 -

√

a

b) Để

a ≤1
a ≥9

√

a ≤1

√

a≥3⇔¿

2−

√

a ≥1

√

a −2≥1⇔¿
|M|≥1⇔

|

2−

√

a

|

≥1⇔¿
Vậy

0≤ a ≤1
a ≥9
|M|≥1⇔¿

c) M = 2 -

√

a ≤ 2 Vậy Max M = 2 ⇔a=0

Ví dụ 2: Cho biểu thức

M =

(

a −a −

√

2525a−1

)

(

25− a

a+3

√

a−10−

√

a −5
2−

√

a−

√

a+2

√

a+5

)

a) Rút gọn M

b) Tìm giá trị của a để M < 1
c) Tìm giá trị lớn nhất của M

Giải

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

M =

[

√

a(

√

a −5)

(

√

a −5)(

√

a+5)−1

]

[

25− a

(

√

a+5)(

√

a−2)+

√

a −5

√

a −2−

√

a+2

√

a+5

]

M = −5

√

a+5 :

[

25− a+a −25− a+4

(

√

a+5) (

√

a −2)

]

M = −5

√

a+5.

(

√

a+5) (

√

a −2)

4−a

)

=
5

√

a+2

Vậy với a ≥ 0; a ≠ 4; a ≠ 25 thì M = 5

√

a+2
b)Để M < 1 ⇔ 5

√

a+2 < 1 ⇔

√

a+2−1<0⇔

5−

√

a −2

√

a+2 <0

⇔3−

√

a<0 (Vì

√

a+2>0 )
⇔

√

a>3⇔a>9

Vậy với a > 9; a ≠ 25 Thì M < 1
c)Để M đạt giá trị lớn nhất ⇔ 5

√

a+2 lớn nhất ⇔

√

a+2 nhỏ
nhất ⇔

√

a = 0

Vậy với a = 0 thì M đạt giá trị lớn nhất
Bài 3: Rút gọn biểu thức

P =

1 1 2

( 0; 0)

2 2 2 2 1

x x

x x x

 

   

  

Bài 4: Cho biểu thức
P = 15

√

x −11

x+2

√

x −3+

√

x −2
1-

√

x −

√

x+3

√

x+3

a) Rút gọn P

b)Tìm các giá trị của x sao cho P = 12
c) Chứng minh P≤ 32

Bài 5: Cho biểu thức

P = 3a+

√

9a−3
a+

√

a −2 −

√

a+1

√

a+2+

√

a−2
1−

√

a
a) Rút gọn P.

b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên.
Bài 6: Cho biểu thức

M =

1 2

1 1

x x x x

x x

  



 

a) Tìm x để biểu thức M có nghĩa. Rút gọn M
c) Với giá trị nào của x thì M < 1

Bài 7: Cho biểu thức
P =

(

√

a

√

a−1−
1
a −

√

a

)

(

√

a+1+

2
a −1

)

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2

√

2
c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0.
Bài 8: Cho biểu thức

P =

(

√

x
2+

√

x+

4− x

)

(

√

x −1
x −2

√

x−

√

x

)

a) Rút gọn P.

b) Tính x để P = -1

c)T ìm m để với mọi giá trị x >9 ta có m(

√

x - 3)P > x + 1.
Bài 9: Cho biểu thức

P =

(

√

x+y +

√

x+

√

y

)

(

x

√

xy+y+

y

√

xy+x−

x+y

√

)

a) Tìm x, y để P có nghĩa.

b) Rút gọn P.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

a) Rút gọn A.

b) Tìm x có giá trị ngun để A nhận giá trị nguyên.
Bài 11: Cho biểu thức

P =
2

1
x
x x


 +

1
1
x

x x


  -

1
1
x
x





a) Rút gọn P

b) Chứng minh: P <
1

3 với x  0 với x 1.

Bài 12: Cho biểu thức
P =

(

√

x −x −12−

√

x+2

√

x+1

)

(

1− x

√

)

a) Rút gọn P.

b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm GTLN của P.

Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức
P = 2x

x+3

√

x+2+

√

x+1

x+4

√

x+3+

√

x+10
x+5

√

x+6
Không phụ thuộc vào biến số x.

Bài 14: Cho biểu thức
A =

(

xx −

√

x+11− x −1

√

x −1

)

(

√

x+

√

x

√

x −1

)

với x>0 vàx1
a) Rút gọn A

b) Tìm giá trị của x để A = 3
Bài 15: Cho biểu thức

M =

[

√

a+

√

b
1−

√

ab+

√

a −

√

b

√

]

[

a+b+2 ab

1−ab

]

a) Rút gọn M

b) Tính giá trị của M với a = 2
2−

√

3
c) Tìm giá trị lớn nhất của M

Bài 16: Cho biểu thức
P = x2−

√

x

x+

√

x+1−

2x+

√

x

√

x +

2(x −1)

√

x −1
a) Rút gọn P.

b) Tìm GTNN của P

c) Tìm x để biểu thức Q = 2

√

x

P nhận giá trị là số nguyên.

Bài 17: Cho biểu thức
P =

(

√

x+x −

√

x

√

x −1 −
x+

√

x

x −1

)

⋅

x −1
2x+

√

x −1+

√

x
2

√

x −1
a) Tìm x để P có nghĩa

b) Rút gọn P.

c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm
GTNN đó.

Bài 18: Rút gọn biểu thức
P = 3+

√

10+

√

5−

3−

√

10+

√

3−

√

5
Bài 19: Rút gọn biểu thức

a) A =

√

√

7−

√

4−

√

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

c) C =

√

√

15+

√

4−

√

15−2

√

3−

√

5
Bài 20: Tính giá trị biểu thức

P =

√

x+24+7

√

2x −1+

√

x+4−3

√

2x −1
Với 12 ≤ x ≤ 5.

Bài21:Chobiểuthức

P =

(

x −1
x+3

√

x −4−

√

x+1

√

x −1

)

x+2

√

x+1
x −1 +1
a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị lớn nhất của P

Bài 22: Cho biểu thức
1

√

x −1+
1

√

x+1¿

2. x2−1

2 −

√

1− x

A=¿

a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức A

c) Giải phương trình theo x khi A = -2
Bài 23: Cho biểu thức

A=(2

√

x+x
x

√

x −1−

√

x −1):

(

√

x+2
x+

√

x+1

)

a) Rút gọn A

b) Tính giá trị của

√

A khi x=4+2

√

3
Bài 24: Cho biểu thức

A=

√

x+1
x

√

x+x+

√

x:

1
x2−

√

x
a) Rút gọn biểu thức A

b) Coi A là hàm số của biến x, vẽ đồ thị hàm số A
Bài 25: Cho biểu thức

1 1 1 1 1

A= :

1- x 1 x 1 x 1 x 1 x

   

  

   

   

   

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của A khi x = 7 4 3

c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 26: Cho biểu thức

M =

1 1 2

:
2

a a a a a

a

a a a a

    



 

    

 

a) Với giá trị nào của a thì M xác định
b) Rút gọn M

c) Với giá trị nguyên nào của a thì M có giá trị nguyên
Bài 27: Cho biểu thức

P =

1 1 1 1 1

a a

a a a a a

   

 

      

a) Rút gọn biểu thức P

b) Chứng minh rằng biểu thức P luôn dương với mọi a
Bài 28:Cho biểu thức

A =

(

√

a+1

√

a−1−

√

a −1

√

a+1+4

√

a

)

(

√

a−

√

a

)

a) Rút gọn A.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

P =





3 1 4 4

a > 0 ; a 4
4

2 2

a a a

a

a a

  

  



 

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của P khi A = 9
Bài 30: Cho biểu thức

P = 1+

√

1− x
1− x+

√

1− x+

1−

√

1+x

1+x+

√

1+x+

√

1+x
a) Rút gọn P.

b) So sánh P với

√

2
2 .
Bài 31: Cho biểu thức

P = 1

√

x+1−

3
x

√

x+1+

2
x −

√

x+1
a) Rút gọn P.

b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1.
Bài 32: Cho biểu thức

P = 2

√

a −9
a−5

√

a+6−

√

a+3

√

a−2−

√

a+1

3−

√

a
a) Rút gọn P.

b) a = ? thì P < 1

c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên.

CHUYÊN ĐỀ II: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Phần I : Kiến thức cần nhớ:

I. Hàm số bậc nhất :

1. Dạng tổng quát: y = ax + b (a ≠ 0 )
2. Tính chất :

+ Đồng biến nếu a > 0
+ Nghịch biến nếu a < 0

3. Đồ thị : Là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung
độ bằng b, cắt trục hồnh tại điểm có hồng độ bằng -b⁄a.
4. Sự tương giao của hai đồ thị hàm số bậc nhất:

Cho hai hàm số : y = ax + b (d)
y = a’x + b’ (d’)
+ Nếu a ≠ a’  (d) cắt (d’)

+ Nếu a = a’; b ≠ b’  (d) // (d’)
+ Nếu a = a’; b = b’ (d) ≡ (d’)
+ Nếu a.a’ = -1  (d) (d’)
II. Hàm số y = ax2 (a≠0)
1. Tính chất :

+ Với a > 0 : - Hàm số đồng biến nếu x > 0
- Hàm số nghịch biến nếu x < 0
+ Với a < 0 : - Hàm số đồng biến nếu x < 0

- Hàm số nghịch biến nếu x > 0

2. Đồ thị : Là một đường cong (Parabol) nhận trục tung là trục
đối xứng, tiếp xúc với trục hoành tại gốc toạ độ.

+ Nằm phía trên trục hồnh nếu a > 0
+ Nằm phía dưới trục hồnh nếu a < 0

3. Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (d) với
đồ thị hàm số y = a’x2 (P):

+Nếu (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt  a’x2 = ax+b có hai

nghiệm phân biệt

+ Nếu (d) Tiếp xúc (P)  a’x2 = ax + b có nghiệm kép

+ Nếu (d) và (P) khơng có điểm chung  a’x2 = ax+b vơ

nghiệm

III. Các bài tốn về lập phương trình đường thẳng:

1.Bài tốn 1: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k 
cho trước và đi qua điểm M (x0; y0):

 Cách giải:

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

- Thay a = k và toạ độ điểm M (x0; y0) vào phương trình

đường thẳng để tìm b

 Phương trình đường thẳng cần lập

Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng đi qua M (2;-3) và song song
với đường thẳng y = 4x

-Giải-Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng
y = ax + b ,

song song với đường thẳng y = 4x  a = 4.
Đi qua M( 2;-3) nên ta có : -3 = 4.2 + b  b = -11

Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = 4x – 11
2.Bài toán 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm 
A(x1;y1)và B (x2 ; y2 ):

 Cách giải:

+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b

+ Thay toạ độ điểm A và B vào phương trình đường thẳng :

{

y1=ax1+b
y2=ax2+b

+ Giải hệ phương trình tìm a và b
 Phương trình đường thẳng cần lập

Ví dụ : Lập phương trình đường thảng đi qua A (2; 1) và
B(-3; - 4).

Giải-Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng:
y = ax + b

Đi qua A (2; 1) nên : 1 = a.2 + b (1)
Đi qua B (-3; -4) nên : -4 = a.(-3) + b (2)
 1 – 2a = 3a – 4

 5a = 5  a = 1.

Thay a = 1 vào (1)  b = -1

Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = x -1

3.Bài tốn 3: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k và

tiếp xúc với đường cong y = a’x2 (P)

 Cách giải :

+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d)
+ Theo bài ra a = k

+ Vì (d) tiếp xúc với (P) nên phương trình:
a’x2 = kx + b có nghiệm kép

 Δ = 0 (*)
Giải (*) tìm b

Thay vào (d) ta được phương trình đường thẳng cần lập

Ví dụ : Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng
y = 2x + 1 và tiếp xúc với parabol y = -x2

- Giải –

Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng:
y = ax + b. song song với đường thẳng y = 2x + 1  a = 2.
Tiếp xúc với parabol y = -x2 nên phương trình :

-x2 = 2x + b có nghiệm kép

 x2 + 2x +b = 0 có nghiệm kép

 Δ’ = 1 – b ; Δ = 0  1 – b = 0  b = 1
Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = 2x + 1

4.Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm 
M(x0; y0) và tiếp xúc với đường cong y = a’x2 (P)

 Cách giải:

+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d)
+ Đi qua M (x0; y0) nên  y0 = a.x0 + b (1)

+ Tiếp xúc với y = a’x2 nên phương trình :

a’x2 = ax + b có nghiệm kép

 Δ = 0 (2)
Giải hệ hai phương trình (1) và (2) tìm a, b
 phương trình đường thẳng cần lập

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

-Giải-

Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng:
y = ax + b. Đi qua M (-1; 2) nên ta có: 2 = -a + b (1)
Tiếp xúc với đường cong y = 2x2 nên phương trình :

2x2 = ax + b có nghiệm kép

 2x2 – ax – b = 0 có nghiệm kép

 Δ = a2 + 8b . Δ = 0  a2 + 8b = 0 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ: -a + b = 2 (1)

a2 + 8b = 0 (2)

Từ (1)  b = 2 + a (*) thay vào (2) ta được :
a2 + 8a + 16 = 0

 (a + 4)2 = 0

 a = -4
Thay a = -4 vào (*) ta được b = -2

Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = -4x – 2
Phần II :Các bài tập về hàm số :

Bài tập 1 : Cho hàm số y = (m2 – 6m + 12)x2

a) CMR hàm số nghịch biến trong (-∞; 0), đồng biến (0;
+∞) với mọi m.

b) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua (1; 5)
Bài tập 2: Cho hàm số y = ax2 (P)

a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua (-4; 8). Vẽ đồ thị
trong trường hợp đó

b) Xác định a để đường thẳng y = 2x + 3 cắt (P) tại hai
điểm phân biệt

Bài 3: Cho hàm số y = 2x2 (P)

a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ
c) Tuỳ theo m, hãy xác định số giao điểm của (P) với

đường thẳn (d) có phương trình: y = mx – 1

d) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc (P) và đi qua
A(0; -2)

Bài 4: Cho parabol y = 12 x2 (P)

a)Viết phương trình đường thẳng đi qua A(-1; 3) và B(2; 6)
b)Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với (P)

Bài 5: Cho đường thẳng có phương trình :
2(m - 1)x + (m - 2)y = 2 (d)

a) Xác định m để đường thẳng cắt parabol y = x2 tại hai điểm

phân biệt

b) CMR đường thẳng đã cho luôn đi qua một điểm cố định với
mọi m

Bài 6: Cho parabol y = 12 x2 (P)

a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Xác định m để đường thẳng y = x – m cắt (P) tại hai
điểm phân biệt. Tìm toạ độ giao điểm với m = -2

c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và đi

qua A (2; -1)

Bầi 7: Cho hàm số y = (m - 2)x + n (d)

a) Tìm các giá trị của m và n để đường thẳng (d) đi qua hai
điểm A (-1; 2) và B (3; -4)

b) Xác định m và n để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm
có tung độ 1 -

√

2 và cắt trục hồnh tại điểm có hồnh
độ là 2 +

√

Bài 8: Cho parabol y = ax2 (P)

a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua A(-2; 8)

b) Tìm các giá trị của a để đường thẳng y = -x + 2 tiếp xúc
với (P)

Bài 9: Cho parabol y = x2 – 4x + 3 (P)

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua A (2; 1) và có hệ
số góc k

b) CMR đường thẳng vừa lập luôn cắt (P) tại hai điểm phân
biệt với mọi giá trị của k.

Bài 10: Cho parabol y = x2 (P) và đường thẳng y = mx -1 d)

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài 11: Cho hàm số y = (m2 + 1)x – 1

a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến? vì sao?
b) Chứng tỏ rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua một

điểm cố đinh với mọi giá trị của m

c) Biết rằng điểm (1; 1) thuộc đồ thị hàm số. Xác định m
và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m vừa tìm được
Bài 12: Cho hàm số y = 12 x2 và y = 2x – 2

a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng mặt phẳng toạ độ
b) Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị

Bài 13: Cho hàm số y = -2x2 (P)

a) Vẽ đồ thị hàm số trên

b) Một đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm (0; -4), cắt
trục hoành tại điểm (2; 0). Viết phương trình đường
thẳng (d)

c) Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P)
Bài 14: Cho hàm số y = 12 x2 (P)

a) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = -x + m cắt (P)
tại hai điểm phân biệt

b) Xác định toạ độ giao điểm trong trường hợp m = 32
c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và đi

qua A (1; -4). Tìm toạ độ tiếp điểm
Bài 15: Cho hàm số y = 2x2

a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm các giá trị của x để 2x2 -3x + 5 < -x + 17

Phần III. Lời giải – Hướng dẫn – đáp số
Bài 1: hàm số y = (m2 – 6m + 12)x2

a) Vì m2 – 6m + 12 = (m - 3)2 + 3 > 0 với mọi m

Vậy hàm số đồng biến với mọi m

b) Đồ thị hàm số đi qua (1; 5) nên ta có:
5 = m2 – 6m + 12

 m2 – 6m + 7 = 0 m

=3−

√

2
m=3+

√

⇒¿
Vậy với mm==33−+

√

thì đồ thị hàm số đi qua (1; 5)

Bài 2: hàm số y = ax2 (P)

a)Đồ thị hàm số đi qua (-4; 8) nên ta có:
8 = (-4)2.a ⇔8=16a⇒a=1

2
Vậy với a=1

2 thì (P) đi qua (-4; 8)

b)Đường thẳng y = 2x + 3 cắt (P) tại hai điểm phân biệt

 phương trình : ax2 = 2x + 3 có hai nghiệm phân biệt

 ax2 – 2x -3 =0

Δ'=1+3a>0⇒a>−1

3
Vậy với a>−1

3 thì đường thẳng y = 2x + 3 cắt (P) tại hai điểm
phân biệt

Bài 3: Cho hàm số y = 2x2 (P)

a) Học sinh tự vẽ

b)Giả sử điểm M(x; y) cách đều hai trục toạ độ ⇒|x|=|y|

Vậy tập hợp các điểm cách đều hai trục toạ độ thuộc đồ thị hàm số

y = 2x2 phải là nghiệm của hệ:

{

y=2x2

|x|=|y|

{

y=2x2
y=x

{

y=2x2
y=− x

⇔¿

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Giải hệ (I) ta có 2x2 = x

 x(2x - 1) = 0
x=0
x=1

2
⇒¿
Giải hệ (II) ta có: 2x2 = -x

 x(2x + 1) = 0

x=0
x=−1

2
⇒¿
Với x = 0 thay vào (P) ta được y = 0

Với x = 12 thay vào (P) ta được y = 12
Với x = - 12 thay vào (P) ta được y = 12

Vậy các điểm cách đều hai trục toạ độ là (0; 0), ( 12 ; 12 ),
(-1

2 ;
1
2 )

c) số giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình:
2x2 = mx – 1

Δ=m2−8

+ Δ > 0  mm<>−2 .2

√

√

22
¿

⇒ cắt nhau

+ Δ = 0  m = ±2√❑ ⇒ Tiép xúc

+ Δ < 0  −2

√

2<m<2

√

2 ⇒ khơng giao nhau
d)Lập được hai phương trình là : y = 4x – 2 và y = -4x -2

CHUYÊN ĐỀ III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A. Hệ phương trình bậc nhất một ẩn:

Phần I : Kiến thức cần nhớ

 Dạng tổng quát :

{

axa ' x+by=c
+b ' y=c '
 Số các nghiệm của hệ:

+ Nếu a'a ≠ b

b '⇔ Hệ có nghiệm duy nhất
+ Nếu a'a= b

b '≠
c

c '⇔ Hệ vô nghiệm
+ Nếu a'a= b

b '=
c

c '⇔ Hệ có vơ số nghiệm
 Các phương pháp giải hệ phương trình:

1. Phương pháp thế:

- Từ một phương trình của hệ biểu thị một ẩn

(chẳng hạn ẩn x) theo ẩn kia

- Thay biểu thức của x vào phương trình cịn lại để tìm y
- Thay y vừa tìm được vào biểu thức của x để tìm x
KL : Nghiệm của hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm được
Ví dụ 1 : Giải các hệ phương trình sau :

{

2xx+3y=6
+y=3

(1)
(2)

Từ phương trình (2) ta có: x = 3 – y (*)
Thay x = 3 – y vào phương trình (1) ta được :

2(3 - y) + 3y = 6

6 – 2y + 3y = 6 ⇒ y = 0

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Vậy nghiệm của hệ là:

{

xy=3
=0
b)

{

42x −x+5yy==53 (1)

(2)

Từ phương trình (1) ta có : y = 5 – 2x (*)
Thay y = 5 – 2x vào phương trình (2) ta được :

4x – 5 (5 – 2x) = 3

4x -25 + 10x = 3

14x = 28 ⇒x=2

Thay x = 2 vào (*) ta được : y = 5 – 2.2 ⇒y=1

Vậy nghiệm của hệ là :

{

xy=2
=1

2. Phương pháp cộng :

- Biến đổi các hệ số của cùng một ẩn sao cho có giá trị tuyệt
đối bằng nhau

- Cộng hoặc trừ từng vế của hệ để khử đi một ẩn
- Giải phương trình tìm ẩn chưa khử

- Thay giá trị vào một phương trình của hệ để tìm ẩn cịn lại
KL : nghiệm của hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm được

Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau :
a)

{

− xx++23yy==14−9 (1) ¿¿(2) ¿
Cộng từng vế của hệ ta được : 5y = 5 ⇒y=1
Thay y = 1 vào phương trình (1) ta được :

x + 2.1 = 14 ⇒x=12

Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (12; 1)
b)

{

−53xx+4y=11

+4y=3
(1)
(2)

Trừ từng vế của hệ ta được : -8x = 8 ⇒x=−1

Thay x = -1 vào phương trình (2) ta được:
5.(-1) + 4y = 3 ⇔ 4y = 8 ⇒y=2

Vậy nghiệm của hệ phương trình là :

{

xy=−1
=2

3. Chú ý :

Với hệ phương trình

{

axa ' x+by=c

+b ' y=c '

+Nếu a = a’ hoặc b = b’ ta nên sử dụng phép cộng từng vế
+Nếu a = -a’ hoặc b = -b’ ta nên sử dụng phép trừ

+Nếu các hệ số a; a’; b; b’ bằng 1 hoặc -1 thì ta nên dùng phương
pháp thế

+ Nếu các hệ số a; a’; b; b’ khác ±1 và không có giá trị tuyệt đối
bằng nhau thì ta đi tìm BCNN (a;a’) hoặc BCNN (b; b’)

Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau :
a)

{

43xx −+32yy==−121 (1)

(2)

Nhân phương trình (1) với 2, nhân phương trình (2) với 3 ta được :

{

8x+6y=−2

9x −6y=36

Cộng từng vế của hệ ta được : 17x = 34 ⇒x=2

Thay x = 2 vào phương trình (1) ta được :
4.2 + 3y = -1

⇒3y=−9⇒y=−3

Vậy nghiệm của hệ phương trình là :

{

yx=2
=−3
b)

{

53x −x −24yy==−−46 ((12))

Nhân phương trình (2) với 2 ta được :

{

5x −4y=−6

6x −4y=−8

Trừ từng vế của hệ ta được : -x = 2 ⇒x=−2

Thay x = -2 vào phương trình (1) ta được:
5.(-2) – 4y = -6

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (-2; -1)
Phần II : Một số bài tập

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
a)

{

23xx − y+3y=8

=1 b)

{

7x −5y=17

6x+5y=−4 c)

{

12x+7y=−5

9x −5y=−14

 Chú ý : Với bài tập dạng tìm điều kiện của tham số để
nghiệm của hệ thoả mãn một điều kiện α nào đó ta làm
như sau:

+ Coi tham số như số đã biết

+ Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y).Nghiệm (x; y) phụ
thuộc vào tham số

+ Giải các phương trình (Bất phương trình) của biểu thức
chứa tham số

Ví dụ: Cho hệ phương trình:

{

x −2y=0

mx−3y=2
(1)
(2)
a) Giải hệ với m = -2

b) Tìm m để hệ có nghiệm dương
Giải
-a) Với m = -2 ta có hệ :

{

−x −2x −23y=y0

=2
(1)
(3)
Từ (1) ta có : x = 2y (*) thay vào (3) ta được:

-2.2y – 3y = 2 ⇒y=−2

7 thay vào (*) ⇒x=−
4
7
Vậy nghiệm của hệ là :

{

x=−4

7
y=−2

b)Từ (1) ta có : x = 2y (*) thay vào phương trình (2) ta được:

m.2y – 3y = 2 ⇔y(2m−3)=2⇒y= 2

2m−3
Thay vào (*) ta được : x= 4

2m −3
Để hệ có nghiệm

{

xy>>00⇔

{

4
2m−3>0

2
2m−3>0

⇒ 2m – 3 > 0

⇒ m > 32

Vậy với m > 32 thì hệ phương trình có nghiệm dương
Bài 2: Cho hệ phương trình

{

2x+3y=a

5x − y=1

a) Giải hệ phương trình với a = 2
b) Giải hệ với a bất kỳ

c) Tìm a để hệ có nghiệm dương
Bài 3: Cho hệ phương trình

{

4x −3y=6
−5x+ay=8

a) Giải hệ phương trình với a = 3

b) Tìm giá trị của a để hệ co nghiệm âm duy nhất
Bài 4: Cho hệ phương trình

{

mx− y=2

3x+my=5

Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm x = 1; y =

√

3−1
Bài 5:Cho hệ phương trình

{

3x+(m−1)y=12
(m−1)x+12y=24

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

b) Tìm m để hệ có một nghiệm sao cho x < y
Bài 6: Cho hệ phương trình

{

(a+1)x − y=3

ax+y=a

a) Giải hệ với a = 2

b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm x + y > 0
Bài 7: Cho hệ phương trình

{

2x+(m−4)y=16
(4−m)x −50y=80

a) Giải và biện luận hệ phương trình
b) Tìm m để hệ có một nghiệm x +y >1
Bài 8 : Cho hệ phương trình

{

mx+my=−3

(1− m)x+y=0
a) Giải hệ với m = 2

b) Tìm m để hệ có nghiệm âm
Bài 9: Cho hệ phương trình

{

(a+b)x+(a − b)y=1
(2a −b)x+(2a+b)y+2
a) Giải hệ với a = 2 và b = 1

b) Tìm tất cả các cặp giá trị nguyên của a và b để hệ có
nghiệm nguyên

Bài 10: Cho hệ phương trình:

{

ax+y=3a −1
x+ay=a+1

a) Giải và biện luận hệ phương trình trên

b) Tìm giá trị nguyên sao cho nghiệm của hệ có gia strị
ngun

Bài 11: Cho hệ phương trình:

{

2x+ay=b+4

ax+by=8+9a

Xác định a, b để hệ có nghiệm x = 3; y = -1

Baif 12: Cho hệ phương trình

{

2x+by=−4

bx−ay=−5

Xác định a, b để hệ có nghiệm x = 1; y = -2

B.Phương trình bậc hai một ẩn số:

Phần I: kiến thức cần nhớ

I.Dạng tổng quát: ax

2

+ bx + c = 0

(a ≠ 0 )

Trong đó x là ẩn, a, b, c là các hệ số

Ví dụ: trong các phương trình sau, phương trình nào là phương
trình bậc hai một ẩn số:

a) x3 + 3x + 5 = 0 b) x2 – 7 = 0

c) 2x2 – 3x + 1 = 0 d) x – 5 = 0

Đáp án : Phương trình : b, c là các phương trình bậc hai

II. Cơng thức nghiệm và cơng thức nghiệm thu gọn:

a) Cơng thức nghiệm:

Với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Δ = b2 – 4.a.c

+ Δ < 0  phương trình vơ nghiệm

+ Δ = 0  Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 = − b

2a
+ Δ > 0  phương trình có hai nghiệm phân biệt :

x1=− b+

√

Δ

2a x1=

− b −

√

Δ
2a
b)Công thức nghiệm thu gọn:

Với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Δ’ = b’2 – a.c

+ Δ’ < 0  phương trình vơ nghiệm

+ Δ’ = 0  Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 = -b’/a

+ Δ’ > 0  phương trình có hai nghiệm phân biệt :
x1=− b '+

√

Δ'

a x1=

− b ' −

√

Δ'
a
Ví dụ : Giải các phương trình sau:

a) 3x2 – 2x + 1 = 0

Δ = (-2)2 – 4.3.1 = 4 – 12 = -8 ; Δ < 0

 Phương trình vơ nghiệm
b) 4x2 -12x + 9 = 0

Δ = (-12)2 -4.4.9 = 144 – 144 = 0

 Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 = 12

8 =
3
2

c) -2x2 +5x + 3 = 0

Δ = 52 – 4 . (-2). 3 = 25 + 24 = 49;

√

Δ=7

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1=−5+7

−4 =−
1

2 x2=
−5−7

−4 =3

II. Hệ thức vi ét – Áp dụng:

a) Định lý vi ét: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai

nghiệm x1, x2 Thì: x1 + x2 = − ba

x1.x2 = c

a

b) Áp dụng : Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai:
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0)

+ Nếu a + b + c = 0 th ì x1 = 1; x2 = ca

+ Nếu a – b + c = 0 th ì x1 = -1; x2 = − ca

+ Nếu có hai số x1, x2 sao cho

x1 + x2 = S; x1.x2 = P ( v ới P2 – 4S ≥ 0)

Th ì x1, x2 là nghiệm c ủa phư ơng tr ình : X2 – SX + P = 0

Ví dụ : a) Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 17 và tích của
chúng bằng 72.

Giải

-Gọi x1, x2 là hai số cần tìm. Ta có: x1 + x2 = 17

x1. x2 = 72

Vậy x1, x2 phải là nghiệm của phương trình : X2 – 17X + 72 = 0

Δ = (-17)2 - 4.72 = 289 – 288 = 1

x1 = (17+ 1) : 2 = 9; x2 = (17 - 1) : 2 = 8

Vậy hai số cần tìm là 8 và 9

b) Lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là -3 và 7.
- Giải –

Ta có : x1 + x2 = -3 + 7 = 4

X1 . x2 = -3 . 7 = -21

Vì 42 – 4 . (-21) ≥ 0

Vậy x1 , x2 là nghiệm của phương trình : x2 – 4x – 21 = 0

IV. CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1. Bài tập về số nghiệm của phương trùnh bậc hai:

Với phương trình : ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Δ = b2 – 4.a.c

+ Phương trình có hai nghiệm phân biệt  Δ > 0 (Δ’ > 0)
+ Phương trình có nghiệm kép  Δ = 0 (Δ’ = 0)
+ Phương trình vơ nghiệm  Δ < 0 (Δ’< 0)

 Chú ý: Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm duy
nhất  a ≠a=00; Δ;b ≠=00

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có hai
nghiệm phân biệt :

a) x2 -3mx + m2 – 1 = 0
b) 2x2 + 4x – m = 0

- Giải -

a) Ta có : Δ = (-3m)2 – 4.( m2 – 1) = 9m2 – 4m2 +4

Δ = 5m2 + 4 > 0 với mọi m

Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b)Ta có : Δ = 42 – 4.2.(-m) = 16 + 8m

Δ = 16 + 8m > 0  m > -2

Vậy với m > - 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ 2 : Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm
kép.

a) (m + 7)x2 – 2.(m-9)x – 7m + 15 = 0
b) 15x2 – 90x + m = 0

-Giải-a) ĐK để phương trình :

(m + 7)x2 – 2.(m-9)x – 7m + 15 = 0 là phương trình bậc hai

thì : m+ 7 ≠ 0  m ≠ -7
Ta có:

Δ’ = (m - 9)2 + (m + 7). (7m - 15)

= m2 - 18m + 81 + 7m2 – 15m +49m – 105

Δ’ = 8m2 + 16m – 24 = 8 (m2 + 2m - 3)

Δ’ = 0  (m2 + 2m - 3) = 0

 m = 1 hoặc m = -3 (thoả mãn)

Vậy với m = 1 hoặc m= - 3 thì phương trình có nghiệm kép
b) Ta có :

Δ’ = 452 – 15m = 2025 – 15m

Δ’ = 0  2025 – 15m = 0

 m = 135

Vậy với m = 135 thì phương trình có nghiệm kép

Ví dụ 3: : Tìm các giá trị của m để các phương trình sau vô nghiệm

a) 3x2 – 2x + m = 0
b) x2 + mx + 3 = 0

-Giải-a) 3x2 – 2x + m = 0

Để phương trình vơ nghiệm  Δ<0

Ta có : Δ'=1−3m ; Δ'<0⇔1−3m<0⇒m>1

3
Vậy với m > 13 thì phương trình vơ nghiệm

b) x2 + mx + 3 = 0

Để phương trình vơ nghiệm  Δ<0

Ta có: Δ=m2−4 . 3=m2−12

Δ<0⇔m2<12⇒−

√

12<m<

√

Vậy với -

√

12<m<

√

12 thì phương trình vơ nghiệm
Ví dụ 4: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy
nhất: (m-4)x2 – 2(m - 2)x + m – 1 = 0

-Giải-Phương trình có nghiệm duy nhất 

{

a=0
b ≠0

{

Δ'a≠=00
¿



{

m −4=0

m −2≠0⇔m=4
m−4≠0

m−2¿2−(m −4).(m −1)=0
¿

¿
¿

(∗)

Giải phương trình (*) ta được : m2 -4m + 4 – m2 + 5m -4 = 0

⇒m=0

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

2.Bài tập về dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

Cho phương trình : : ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

a) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu:



{

Δ≥0
c
a>0

b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu

dương : 

{

Δ≥0

c

a>0
−b

a>0

c) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm:



{

Δ≥0
c
a>0
− b

a <0

d) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu:
 a.c < 0

Ví dụ : Xác định giá trị của m để các phương trình sau có hai 
nghiệm cùng dấu:

a) x2 – 3x + m – 1 = 0
b) x2 – 2mx + 3 = 0

-Giải-a)x2 – 3x + m – 1 = 0

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu :



{

Δ≥0
c
a>0

⇔

{

9−4m+4≥0
m−1>0 ⇔

{

m≤13
4
m>1

Vậy với 1 < m 134 thì phương trình có hai nghiệm cùng
dấu.

b)Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu:



m≥

√

3
m ≤−

√

{

Δ' ≥c 0

a>0

⇔

{

m2−3≥0
3>0 ⇔¿

3.Bài tập: dạng thành lập một hệ thức đối xứng giữa các

nghiệm

Cho phương trình : : ax2 + bx + c = 0

Các hệ thức đối xứng với hai nghiệm của phương trình bậc hai 
thường gặp :

a) x12 + x22 b) x13 + x23 c)

1
x1+

x2 ..v..v
Cách giải:

Bước1: Nêu tổng và tích hai nghiệm

{

x1+x2=−b
a
x1.x2=c

a
Bước 2:Biến đổi các hệ thức đối xứng này như sau :

x12 + x22 = (x1 + x2 )2 – 2x1x2

x13 + x23 = (x1 + x2 )3 – 3x1.x2.(x1 + x2)

x1+
1
x2=

x1+x2
x1.x2

Bước 3: Thay tổng và tích hai nghiệm vào các biểu thức đối xứng
Ví dụ : Cho phương trình x2 + mx + 1 = 0

Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Hãy tính:

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

-Giải-

Theo vi et ta có : x1 + x2 = m ; x1.x2 = 1

a) Mà x12 + x22 = (x1 + x2 )2 – 2.x1.x2 = m2 - 2

b) x13 + x23 = (x1 + x2 )3 – 3x1.x2.(x1 + x2)

= m3 – 3.m

Phần II : Một số bài tập

Bài 1: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu:
a) x2 – 2x + m = 0

b) x2 – 2mx + 2m – 3 = 0

Bài 2: Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái
dấu: a) 2x2 – 6x + m – 2 = 0

b)(3 – 2m )x2 + (m - 1)x – 3 = 0

Bài 3: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm
phân biệt dương:

2x2 – mx + 2m – 8 = 0

Bài 4: Cho phương trình : x2 +4mx + 3m2 + 2m – 1 = 0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phương trình nhận x = 2 là nghiệm

Bài 5 : Tìm m để phương trình : (3 – 2m)x2 + (m - 1)x + 6 = 0

nhận x = 3 là nghiệm. khi đó tìm nghiệm cịn lại?
Bài 6: Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – 5 = 0

a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó

xác định dấu các nghiệm

Bài 7: Cho phương trình: x2 – 2(m+1)x + 4m = 0

a) Giải phương trình với m = -2

b) CMR phương trình có nghiệm với mọi m

c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để

x12+x22 = 4

Bài 8: Cho phương trình: x2 + (m + 1)x + m = 0

a) CMR phương trình ln có nghiệm. Tìm các nghiệm đó
b) Với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình, tìm m để

x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 9: Xác định k để phương trình x2 + 2x + k = 0 có hai nghiệm

x1, x2 thoả mãn một trong các điều kiện sau đây:

a) x12 + x22 = 1 b) x12 – x22 = 12

Bài 10: Cho phương trình : x2 – 2.(m - 1)x + m2 – 3m = 0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
b) Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm âm
c) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = 0. Tìm

nghiệm cịn lại

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn
x12 + x22 = 8

4.Bài tập dạng tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả

mãn một hệ thức:

Cho phương trình : : ax2 + bx + c = 0

+ Bước 1: Tìm ĐK để phương trình có hai nghiệm

+ Bước 2: Nêu hệ thức vi et :

{

x1+x2=−b
a
x1.x2=c

a

(1)
(2)
+ Bước 3: Nêu hệ thức của bài toán (3)

+ Bước 4 : giải hệ gồm 2 phương trình sau đó thay vào phương
trình cịn lại để tìm m.

Ví dụ : Cho phương trình: x2 – (m + 5)x – m + 6 = 0

Xác định giá trị của m để nghiệm x1 , x2 của phương trình thoả

mãn hệ thức : 2x1 + 3x2 = 13

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

-Giải-Hệ phương trình có nghiệm 

m+5¿2−4 .(6− m)≥0

⇔m2+10m+25−24+4m≥0
¿

⇔m2+14m+1≥0
¿

¿
Δ≥0⇔¿
Vậy với m≤ −m≥−77−+

√

√

4848

thì phương trình có nghiệm (*)
Theo vi et ta có : x1 + x2 = m + 5 (1)

x1.x2 = 6 – m (2)

Theo bài ra : 2x1 + 3x2 = 13 (3)

Giải hệ phương trình

{

2xx1+x2=m+5
1+3x2=13

(1)
(3)
Nhân phương trình (1) với 2 ta được

{

2x21+x2x2=2m+10
1+3x2=13

Trừ từng vế của hệ ta được : x2 = 3 – 2m thay vào phương trình (1)

ta được : x1 + 3 – 2m = m + 5  x1 = 3m + 2

Thay x1 = 3m + 2 và x2 = 3 – 2m vào phương trình (2) ta được

(3m + 2). (3 – 2m) = 6 – m
 9m – 6m2 + 6 – 4m = 6 – m

 6m2 – 6m = 0

m=0
m=1

⇒¿

thoả mãn ĐK (*)

Vậy với m = 0 hoặc m = 1 thì phương trình có hai nghiệm thoả
mãn : 2x1 + 3x2 = 13

Bài 11: Cho phương trình :x2 +2x + m = 0

Xác đinh m để phương trình x1, x2 thoả mãn 3x1 + 2x2 = 1

Bài 12: Cho phương trình : 2x2 + (2m – 1)x + m -1 = 0

a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn

hệ thức 3x1 – 4x2 = 11

b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm

c) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

Bài 13: Xác định k để để phương trình sau có nghiệm x1, x2 thoả

mãn x1 = 2x2

a) x2 + 6x + k = 0 b) x2 + kx + 8 = 0

Bài 14: Cho phương trình : x2 – 6x + m = 0

Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức

3x1 + 2x2 =20

Bài 15: Cho phương trình: 3x2 – (3m - 2)x – (3m + 1) = 0

a)Chứng tỏ phương trình có nghiệm x = -1. Tìm nghiệm cịn lại.
b) Xác định m để phương trình có nghiệm thoả mãn 3x1 – 5x2 = 6

c) Tìm một hệ thức giữa các nghiệm độc lạp với m

Bài 16: Cho phương trình : x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0

a)Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
b)Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm
cịn lại

c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn
-3 < x1 < x2 < 6

d) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương
nghiệm kia.

5.Bài tập dạng tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm

khơng phụ thuộc vào tham số:

Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0

Cách giải:

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

+ Bước 2: Lập S , P (x1 + x2 = − ba ), x1.x2 = ca theo tham

số m

+ Bước 3: Dùng quy tắc công hoặc thế để khử m

+ Bước 4 : Thay S = x1 + x2 ; P = x1.x2 ta được hệ thức cần tìm.

Ví dụ : Cho phương trình: x2 – 2.(m - 1)x + m2 – 1 = 0

Tìm một hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

-Giải-Phương trình có nghiệm :  Δ' ≥0

Ta có : m−1¿2−(m2−1)=−2m+2≥0⇔m ≤1
Δ'=¿

Áp dụng vi et ta có :

{

S=2(m −1)
P=m2−1

(1)
(2)
Từ (1) ta có : m = S2+1⇔m=S+2

2 thay vào (2)ta được :

P =

S+2¿2
¿
S+2¿2−4

¿
¿

 S2 + 4S – 4P = 0

Vậy hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m là
(x1 + x2 )2 + 4(x1 + x2 ) – 4x1.x2 = 0

6.Bài tập dạng so sánh nghiệm của phương trình bậc hai

với một số bất kì:

Cách giải:

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm ( Δ≥0 )
Bước 2: Áp dụng vi et tính x1 + x2 ; x1.x2 (*)

+Với bài tốn : tìm m để phương trình có hai nghiệm > α
⇒

{

(x1− α)+(x2− α)>0

(x1− α).(x2− α)>0

Thay biểu thức viet vào hệ để tìm m

+ Với bài tốn : tìm m để phương trình có hai nghiệm < α
⇒

{

((xx1− α)+(x2− α)<0

1− α).(x2− α)>0
Thay biểu thức viet vào hệ để tìm m

+ Với bài tốn : tìm m để phương trình có hai nghiệm , trong đó
một nghiệm > α nghiệm kia < α

⇒(x1−α).(x2− α)>0
Thay biểu thức viet vào hệ để tìm m

Hoặc có thể sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai:
* Nếu a.f(α)<0⇒x1<α<x2

Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm
lớn hơn 2

x2 - 2mx + 8 = 0 (1)

-Giải-Để phương trình có nghiệm  Δ' ≥0
Ta có : Δ'=m2−8≥0

m≥2

√

2
m≤ −2

√

⇔¿
⇒ Vậy với m≤ −m≥22

√

√

22

thì phương trình có nghiệm
Theo vi et ta có: x1 + x2 = 2m

x1 . x2 = 8

Để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2



{

((xx1−2)+(x2−2)>0

1−2).(x2−2)>0



{

x (x1+x2)−4>0

1.x2−2(x1+x2)+4>0
⇒

{

2m−4>0

8−4m+4>0⇔

{

m>2
m<3

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Bài 17: Cho phương trình: x2 – (m - 3)x + 2m + 1 = 0

a)Giải phương trình với m = -1

b)Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m
Bài 18: Cho phương trình: x2 – (2m +1)x + m2 + m -1 = 0

a)Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi m
b)Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trinh. Tìm m sao cho

( 2x1 – x2 ) . ( 2x2 – x1 ) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ

nhất ấy.

c) Tìm một hệ thức liện hệ giữa hai nghiệm khơng phụ
thuộc vào m

Bài 19: Cho phương trình: x2 + (4m + 1)x + 2.(m - 4) =0

a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn x2 - x1 = 17

b) Tìm m để biểu thức A = (x1 – x2)2 có giá trị nhỏ nhất

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài 20: Cho phương trình mx2 + 2(m - 2)x + m – 3 = 0

a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và

nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn

c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm khơng phụ thuộc
vào m

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x12 + x22

Bài 21: Cho các phương trình:
x2 + ax + bc = 0

x2 + bx + ca = 0

Trong đó bc ca

Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1)

x2, x3 là các nghiệm của phương trình (2)

Hãy viết một phương trình bậc hai có nghiệm là x1, x3.

Bài 22: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm
phân biệt nhỏ hơn 2

3x2 – 4x + 2.(m - 1) = 0

Bài 23: Cho phương trình : x2 – 3x + m + 2 = 0

Tìm m để phương trình có một nghiệm lớn hơn 3, nghiệm
cịn lại nhỏ hơn 3

Bài 24: Cho phương trình : x2 – (2m + 1)x – m2 +m – 1 = 0

a)CMR phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m

b)Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm khơng phụ thuộc
vào m

Bài 25: Cho phương trình : x2 – 2mx – m2 – 1 = 0

a)CMR phương trình ln có nghiệm với mọi m

b)Tìm một biểu thức liên hệ giữa các nghiệm khơng phụ
thuộc và m

c)Tìm các giá trị của m để hai nghiệm x1, x2 của phương

trình thoả mãn hệ thức xx1
2

+x2

x1

=−5

2
Phần III : Hướng dẫn đáp số:

Bài 1: : Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu:
a)x2 – 2x + m = 0

b)x2 – 2mx + 2m – 3 = 0

-G-a)Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu:



{

Δ'>0
c
a>0

⇔

{

1− m>0
m>0 ⇔

{

m<1
m>0

Vậy với 0 < m < 1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
cùng dấu.

b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu:



{

Δ'>0

c
a>0

⇔

{

m2−2m+3>0
2m−3>0 ⇔

{

∀m
m>3

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Bài 2:

a)Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c < 0

 2.(2m - 8)< 0  m < 4

Vậy với m < 4 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c < 0

 (3 – 2m). (-3) < 0  3 – 2m > 0  m < 32

Vậy với m < 32 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu
Bài 3: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm
phân biệt dương:

2x2 – mx + 2m – 8 = 0

-G-Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương



{

Δ>0

c
a>0
− b

a >0
⇔

{

m2−4 .2 .(2m−8)>0

2m−8

2 >0
m

2>0
⇔

{

m

−16m+64>0
m−4>0

m>0

⇔

{

m∀>m4
m>0

Vậy với m > 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt dương
Bài 4: Cho phương trình : x2 +4mx + 3m2 + 2m – 1 = 0

a)Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔Δ '>0

Ta có :

Δ'=4m2−3m2−2m+1=m2−2m+1
¿

m −1¿2>0⇔m ≠1
Δ'=¿

Mậy với m≠1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
b)Phương trình nhận x = 2 là nghiệm nên ta có :

4 + 8m +3m2 +2m - 1 = 0

 3m2 + 10m + 3 = 0

m1=−3
m2=−1

3
⇒¿

Vậy với m = -3 hoặc m = −31 thì phương trình nhận x = 2 là

nghiệm

Bài 5:

Đáp số : m = 2 thì PT nhận x1 = 3 là nghiệm. nghiệm còn

lại là x2 = 2

Bài 6:

a) Ta có : m−1¿2+4>0

Δ'=m2−2m+5=¿ với ∀m
Vậy phương trình có nghiệm với mọi m

b) Vì Δ'>0⇒ phương trình có hai nghiệm cùng dấu

 2m – 5 > 0  m>5

Theo vi et ta có x1 + x2 = 2m .

Vì m>5

2 nên 2m > 0 .
Vậy với m>5

2 thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương.
Bài 7:

Cho phương trình: x2 – 2(m+1)x + 4m = 0

a) Với m = -2

x1=2
x2=−4

⇒¿
b)Ta có : m−1¿

2≥0
m+1¿2−4m=¿

Δ'=¿

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Vậy PT có nghiệm với mọi m
c) Theo vi et ta có : x1 + x2 = 2m + 2

x1.x2 = 4m

Để x12 + x22 = 4  x1+x2¿

2−2x

1.x2=4
¿

 (2m + 2)2 – 2.4m = 4

 m2 + 2m +1 – 2m = 1

 m = 0

Vậy với m = 0 thì phương trình có hai nghiệm thoả mãn
x12 + x22 = 4

CHUYÊN ĐỀ IV

GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH – HỆ
PHƯƠNG TRÌNH

Phần I. Các bước giải bài tốn bằng cách lập phương

trình – hệ phương trình :

+ Bước 1: Lập phương trình (Hệ phương trình)
- Chọn ẩn và xác định ĐK cho ẩn (nếu có)

(Thơng thường bài tốn hỏi cái gì ta chọn cái đó làm ẩn)

- Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và qua đại lượng
đã biết ( Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lượng để biểu thị)

-Tìm mối liên quan giữa các số liệu để lập phương trình
(Chú ý đến tình huống bài tốn – giả thiết- để lập phương trình)
+ Bước 2: Giải phương trình (Hệ phương trình)

+ Bước 3: Chọn kết quả thích hợp – Trả lời

 Chú ý : Trong một bài tốn thơng thường liên quan đến 3

đại lượng. Một đại lượng đã biết, một đại lượng chưa biết 
mà bài toán yêu cầu tim, một đại lượng chưa biết có liên 
quan đến tình huống bài tốn

 Mối quan hệ giữa các đại lượng:
+ Quãng đường = vận tốc x Thời gian

+ Chuyển động có dịng nước : Vx = Vthực - Vn

Vngược = Vthực - Vn

+ Tổng sản lượng = Năng suất x Thời gian
= Năng suất x số người

+ Khối lượng = Khối lượng riêng x thể tích (m = D.V )
+ Nhiệt lương thu vào = nhiệt lượng toả ra

+ Tốn có nội dung hình học:

- Chu vi hình chữ nhật có các cạnh a, b : C = (a +b).2
- Diện tích HCN có cạnh a, b: S = a.b

…………..

+ Toán làm chung, làm riêng:
-Coi tồn bộ cơng việc là 1 (đv)

- Giả sử cơng nhân A hồn thành cơng việc trong x giờ
⇒ 1 giờ công nhân A sẽ làm được 1x cơng việc

- Cơng nhân B hồn thành công việc trong y giờ

⇒ 1 giờ công nhân B làm được 1y công việc
-Cả hai người làm trong t giờ thì hồn thành cơng việc

⇒ 1 giờ cả hai người làm được 1t cơng việc
⇒ Ta có phương trình : 1x+1

y=
1
t

Phần II. Một số bài tốn

1

.Tốn chuyển động:

Ví dụ 1: Một ôtô đi quãng đường 80 km. Nếu xe tăng vận tốc
thêm 20 km / h thì về đích sớm hơn dự định 32h . Tính vận tốc 
dự định của ơtơ?

-Giải-Phân tích bài tốn:

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

- Đại lượng chưa biết có liên quan: Thời gian

- Tình huống bài tốn để lập phương trình: Nếu xe tăng vận tốc 
thêm 20 km / h thì về đích sớm hơn 32h

Bước 1 : Lập phương trình
+ Chọn ẩn và đặt ĐK cho ẩn:

Gọi vận tốc dự định của ôtô là x km / h (x > 0)

+ Biểu thị đại lượng chưa biết qua ẩn và qua đại lượng đã biết:
Thời gian dự định đi là : 80x h

Xe tăng thêm vận tốc 20 km / h : x + 20 (km/h)
Thời gian thực tế xe đi là : 80x

+20h

+ Mối liên quan giữa các số liệu ta lập phương trình:

Xe về đích sớm hơn dự định 32h . Ta có phương trình:
80

x −
80

x+20=

2
3

⇔80 . 3 .(x+20)−80 . 3 .x=2 .x.(x+20)

⇔x2+20x −2400=0

Δ'=100+2400=2500;⇒

√

Δ'=50

⇒ x1=−10+50=40

x2=−10−50=−60
x1 = 40 (thoả mãn) ; x2 = -60 (loại)

Vậy vận tốc dự định của ôtô là 40 km / h

Bài 1: Một người đi từ A đến B cách nhau 160 km. Lúc đầu đi xe
máy, sau đó đi ơtơ. Biết rằng vận tốc ơtơ lớn hơn vận tốc xe máy là
20 km / h và thời gian ôtô đi nhiều hơn xe máy là 15 phút, quãng
đường đi ôtô bằng 53 quãng đường đi xe máy. Tính vận tốc ơtơ?
Bài 2: Một bè nứa trôi tự do và một ca nô đồng thời rời bến A xuôi
về B , quãng đường AB dài 96 km. Ca nô đến B lại quay về A hết

tất cả 14 h. Trên đường về gặp bè nứa khi ca nơ cịn cách A 24 km.
Tìm vận tốc ring của ca nơ và vận tốc dịng nước?

Bài 3: Hai ôtô khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm cách nhau
165 km, đi ngược chiều nhau, sau 1 giờ 30 phút thì gặp nhau. Tính
vận tốc của mỗi xe biết rằng thời gian xe I chạy hết quãng đường
AB nhiều hơn thời gian xe II chạy quãng đường ấy là 33 phút
Bài 4: Hai địa điểm A và B cách nhau 150 km. Xe I khởi hành từ
A đến B , sau 40 phút xe II khởi hành từ B về Avới vận tốc nhỏ
hơn vận tốc xe I là 10 km / h. Biết hai xe gặp nhau khi xe I đã đi
được quãng đường gấp đôi xe II đã đi. Tính vận tốc mỗi xe, biết
vận tốc của chúng không nhỏ hơn 30 km / h.

Bài 5:Hai địa điểm A,B cách nhau 360 km. Cùng một lúc, một xe
tải khởi hàn từ A về B và một xe con chạy từ B về A. Sau khi gặp
nhau xe tải chạy tiếp trong 5 giờ nữa thì đến B và xe con chạy 3
giờ 12 phút nữa thì tới B . Tính vận tốc mỗi xe?

2.Tốn về quan hệ giữa các số:

Bài 6: Tìm một số gồm hai chữ số, biết rằng tổng hai chữ số của
nó nhỏ hơn số đó 6 lần và thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ
được số viết theo thứ tự ngược lại.

Bài 7: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục
hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và số đó lớn hơn tổng bình phương
các chữ số của nó là 1.

Bài 8: Một lớp học chỉ có hai loại học sinh giỏi và khá. Nếu có 1
học sinh giỏi chuyển đi thì 61 số học sinh còn lại là học sinh
giỏi. Nếu có 1 học sinh khá chuyển đi thì 15 số học sinh còn lại
là học sinh giỏi. Tính số học sinh của lớp

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

bình II sang cho đầy bình I thì lượng nước cịn lại trong bình II chỉ
bằng 15 thể tích của nó. Tính thể tích mỗi bình

Bài 10: Một tuyến đường sắt có một số ga, mỗi ga có một loại vé
đến từng ga còn lại. Biết rằng tất cả có 210 loại vé. Hỏi tuyến
đường ấy có bao nhiêu ga?

3.Tốn năng suất:

Bài 11: Theo kế hoạch, một xí nghiệp phải làm 400 dụng cụ trong
một thời gian nhất định. Do mỗi giờ làm tăng thêm 20 dụng cụ nên
thời gian hồn thành cơng việc giảm 1 giờ. Tình thời gian xí
nghiệp phải làm số dụng cụ đó theo kế hoạch

Bài 12: Trong cùng một thời gian như nhau, đội I phải đào 810m3

đất, đội II phải đào 900m3 đất. kết quả đội I đã hoàn thành trước

thời hạn 3 ngày, đội II hoàn thành trước 6 ngày. Tính số đất mỗi
đội đã đào trong một ngày, biét rằng mỗi ngày đội II đã đào nhiều
hơn đội I là 4m3.

Bài 13: Một người thợ hoàn thành xong 30 chi tiết máy. Nếu anh
cố gắng làm thêm 1 chi tiết máy mỗi giờ thì anh sẽ rút ngắn được
thời gian lao động dược 1 giờ. Hỏi một giờ anh ấy làm được bao
nhiêu chi tiết máy?

Bài 14: Một tổ thợ nhận xây thầu 576m2 tường nhà.Khi bắt tay vào

làm thì có 3 người vắng, do đó số có mặt phải làm tăng thêm 16m2

mỗi người. Hỏi mỗi tổ có mấy người?

Bài 15: Một đội xe vận tải phải vận chuyển 28 tấn hàng đến một
địa điểm quy định. Khi làm việc có 2 xe phải điều đi nơi khác nên
mỗi xe phải chở thêm 0,7 tấn. Tính số xe của đội lúc đầu?

4.Tốn có nội dung hình học:

Bài 16:

: Một vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 20
m, Diện tích khu vườn là 3500 m2. Tính chiều dai của hàng rào

xung quanh khu vườn, biết rằng người ta chừa ra 1m để làm cổng
vào.

Bài 17: Một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích 100m2. Tính độ

dài các cạnh thửa ruộng. Biết rằng nếu tăng chiều rộng của thửa
ruộng lên 2m và giảm chiều dài đi 5m thì thửa ruộng tăng thêm
5m2

Bài 18: Một thửa ruộng có tổng chiều dài và chiều rộng 28m. Nếu
tăng chiều dài lên gấp đôi và chiều rộng lên gấp 3 thì diện tích mới
của thửa ruộng là 1152m2. Tính diện tích của thửa ruộng đã cho

ban đầu?

Bài 19: Một tam giác có chiều cao bằng 34 cạnh đáy. Nếu tăng
chiều cao thêm 3 dm và giảm cạnh đáy 2 dm thì diện tíchcủa nó
tăng thêm 12 dm2. Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác.

Bài 20: Tính hai cạnh góc vng của một tam giác vng có chu
vi 12m và tổng bình phương hai cạnh góc vng là 25 m.

5.Tốn làm chung làm riêng công việc:

Bài 21: Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc. Thời
gian để đội I làm một mình xong cơng việc ít hơn thời gian đội II
làm một mình xong cơng việc đó là 4 giờ. Tổng thời gian này gấp
4,5 lần thời gian hai đội cùng làm chung để xong công việc đó.
Hỏi mỗi đội nếu làm một mình thì phải bao lâu mới làm xong công
việc?

Bài 22: Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự
định làm trong 12 ngày. Họ làm chung với nhau được 9 ngày thì

đội I được điều động đi làm việc khác, đội II tiếp tục làm. Do cải
tiến kĩ thuật nên đội II làm xong công việc trong 3 ngày rưỡi. Hỏi
mỗi đội làm một mình thì bao mhiêu ngày xong công việc?

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Bài 24: Hai người làm chung một công việc dự định trong 12 giờ
thì xong. Họ làm với nhau được 8 giờ thì người thứ nhất nghỉ,
người thứ hai tiếp tục làm. Do tăng năng suất gấp đôi nên người
thứ hai đã làm xong công việc trong 3 giờ 20 phút. Hỏi nếu mỗi
người làm một mình với năng suất dự định thì phải mất bao lâu
mới xong cơng việc?

Bài 25: Hai vịi nước cùng chảy vào một bể thì đầy bể trong 1 giờ
12 phút, nếu vòi I chảy trong 1 giờ và vài II chảy trong 30 phút thì
đầy 32 bể. Hỏi nếu mỗi vịi chảy một mình thì bao lâu đầy bể?

Phần 3: LỜI GIẢI – HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ

Bài 3: Rút gọn biểu thức

P =

1 1 2

( 0; 0)

2 2 2 2 1

x x

x x x

 

   

  

P = (

√

x+1)
2

−(

√

x −1)2−4(

√

x+1)

2(x −1)

P = x+2

√

x+1− x+2

√

x −1−4

√

x −4
2(x −1) =

−4
2(x −1)
P = x −−21 ( với x ≥0; x ≠1 )

Bài 4: Cho biểu thức
P = 15

√

x −11

x+2

√

x −3+

√

x −2
1-

√

x −

√

x+3

√

x+3

a) Đk : x 0; x ≠1

P= 15

√

x −11−(3

√

x −2) (

√

x+3)−(2

√

x+3) (

√

x −1)
(

√

x −1)(

√

x+3)

P = 15

√

x −11−3x −9

√

x+2

√

x+6−2x+2

√

x −3

√

x+3
(

√

x −1) (

√

x+3)

P = −5x+7

√

x −2

(

√

x −1) (

√

x+3)=

(

√

x −1)(2−5

√

x)
(

√

x −1) (

√

x+3) =

2−5

√

x

√

x+3
Vậy P = 2−5

√

x

√

x+3 Với x ≥0; x ≠1
b)Tìm các giá trị của x sao cho P = 12
Với x ≥0; x ≠1 Để P = 12 ⇔2−5

√

x

√

x+3 =

1
2
⇔4−10

√

x=

√

x+3

⇔11

√

x=1⇔x= 1

121
c) Chứng minh rằng P ≤ 32

Để P ≤ 32 ⇔ 2−5

√

x

√

x+3

2
3
Ta có : 2−5

√

x

√

x+3 =

−5

√

x −15+17

√

x+3 =−5+

√

x+3
Vì x ⇒

√

x+3≥3⇒−5+17

√

x+3≤ −5+

17
3 =

2
3
Vậy P ≤ 32 (đpcm)

Bài 5: Cho biểu thức
P = 3a+

√

9a−3

a+

√

a −2 −

√

a+1

√

a+2+

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

P = 3a+3

√

a−3−(

√

a+1) (

√

a −1)−(

√

a−2)(

√

a+1)
(

√

a+2) (

√

a −1)

P = a−3

√

a+2

(

√

a−1)(

√

a+2)=

(

√

a−1) (

√

a−2)
(

√

a −1) (

√

a+2)=

√

a−2

√

a+2
Vậy với a ≥0;a ≠1 thì P =

√

a −2

√

a+2
b) P =

√

a −2

√

a+2 = 1 -

√

a+2
Để P Z⇒ 4

√

a+2∈Z⇒4⋮

√

a+2

√

a+2 = 4 ⇒a=4

√

a+2 = -4 (loại)

⇒

√

a+2 = 2 ⇒a=0

√

a+2 = -2 (loại)

√

a+2 = -1 (loại)

√

a+2 = 1 ⇒

√

a=−1 (loại)
Vậy Với a = 0 hoặc a = 4 thì P Z
Bài 6: Cho biểu thức

M =

1 2

1 1

x x x x

x x

  



 

a) Tìm x để biểu thức M có nghĩa; b) Rút gọn M
c) Với giá trị nào của x thì M < 1

-G-a) Với x ≥0; x ≠1 thì M có nghĩa
b) M =

√

x −1

¿2
¿
¿
¿

Vậy với x ≥0; x ≠1 thì M = 2

√

x −1
c)Với x ≥0; x ≠1 để M < 1 ⇔2

√

x −1<1

⇔x<1

Bài 7: Cho biểu thức
P =

(

√

a

√

a−1−
1
a −

√

a

)

(

√

a+1+

2
a −1

)

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2

√

2
c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0.

-G-a)Đk: a>0; a≠1

P =

(

a −1

√

a(

√

a−1)

)

(

√

a −1+2

a−1

)

√

a+1

√

a :
1

√

a −1 =
a−1

√

a

Vậy với a>0; a≠1 thì P = a−1

√

a
b)Khi a = 3 + 2

√

2⇒

√

a=

√

2+1

P = a−1

√

a =

3+2

√

2−1

√

2+1 =

2(1+

√

2+1 =2
Vậy với a = 3 + 2

√

2 thì P = 2

c) Để P < 0 ⇔a −1

√

a ≺0⇒a −1<0⇒a<1
Vậy với 0 < a < 1 thì P< 0

Bài 8: Cho biểu thức
P =

(

√

x

√

x+
8x

4− x

)

(

√

x −1
x −2

√

x−

√

x

)

a) Rút gọn P.

b) Tính x để P = -1

c)Tìm m để với mọi giá trị x >9 ta có m(

√

x - 3)P > x + 1.

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

ĐK: x>0;x ≠4 . P = 4x

√

x −3
b)Để P = -1 ⇔ 4x

√

x −3=−1⇔4x+

√

x −3=0 (với x 9 )

⇔(

√

x+1)(4

√

x −3)=0

⇔

√

x=3

4⇒x=
16

9
Vậy với x = 169 thì P = -1

c)Với x > 9 để m(

√

x - 3)P > x + 1.
⇔m.(

√

x −3) 4x

√

x −3>x+1
⇔4 mx>x+1⇔4 mx− x>1

⇔x> 1

4m −1=9⇒1=36m−9
⇒36m=10⇒m= 5

18
Vậy với m= 5

18 thì m(

√

x - 3)P > x + 1.
Bài 9: Cho biểu thức

P =

(

√

x+y +

√

x+

√

y

)

(

x

√

xy+y+

y

√

xy+x−

x+y

√

)

a) Tìm x, y để P có nghĩa.

b) Rút gọn P.

c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 - 2

√

-Giải-a) Để P có nghĩa

¿
¿

¿
x>0
y>0
¿

⇔

{

√

x ≥0

√

y ≥0

√

xy+y ≠0

√

xy+x ≠0

√

xy>0

⇔

¿
Vậy với x > 0; y > 0 thì P có nghĩa
b)P = ¿¿

√

x+

√

y(

√

x+

√

y)

√

x+

√

y ¿ :

(

x

√

x+y

√

y

√

xy(

√

x+

√

y)−

x+y

√

)

P= (

√

x+

√

y ):

(

x −

√

xy+y − x − y

√

)

= (

√

x+

√

y ) : (-1)
Vậy P = - (

√

x+

√

y )

c)Với x = 3 ⇒

√

x=

√

3 ; y = 4 -2

√

3 ⇒

√

y=

√

3−1
Thay vào ta được P = 1 - 2

√

Bài 11: Cho biểu thức

P =
2

1
x
x x


 +

1
1
x

x x


  -

1
1
x
x




a) Rút gọn P

b) Chứng minh: P <
1

3 với x  0 với x 1.

-GIẢI-
a) ĐK : x ≥0; x ≠1

P = x+2

(

√

x −1)(x+

√

x+1)+

√

x+1
x+

√

x+1−

√

x+1
(

√

x+1)(

√

x −1)
P = (x+2)+(x −1)−(x+

√

x+1)

(

√

x −1)(x+

√

x+1) =

√

x
x+

√

x+1
Vậy P =

√

x

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

⇔x+

√

x+1>3

√

x
⇔1

√

x
x+

√

x+1
Hay P < 13

Bài 12: Cho biểu thức
P =

(

√

x −x −12−

√

x+2

√

x+1

)

(

1− x

√

)

a) Rút gọn P.

b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm GTLN của P.

-GIẢI-a)ĐK : x ≠1

P =

√

x(1−

√

x)
b)Với 0 < x < 1 ⇒

{

1−

√

x>0

√

x>0 ⇒

√

x(1−

√

x) hay P > 0
c) Ta có P = -x +

√

x −

1
2¿

4≤

1
4

√

x⇔P=−(x −

√

x)=−¿

Vậy Max P = 14⇔x=1

Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức
P = 2x

x+3

√

x+2+

√

x+1
x+4

√

x+3+

√

x+10
x+5

√

x+6
Không phụ thuộc vào biến số x.

-Giải-ĐK : x>0

Ta có P = 2x

(

√

x+1)(

√

x+2)+

√

x+1
(

√

x+1)(

√

x+3)+

√

x+10
(

√

x+2)(

√

x+3)

P = 2x

√

x+12x+22

√

x+12
(

√

x+1)(

√

x+2)(

√

x+3)=

(

√

x+1)(2x+10

√

x+12)
(

√

x+1)(

√

x+2)(

√

x+3)
P = 2 .(

√

x+2)(

√

x+3)

(

√

x+2)(

√

x+3) =2

Vậy với x > 0 P không phụ thuộc vai biến
Bài 14: Cho biểu thức

A =

(

xx −

√

x+11− x −1

√

x −1

)

(

√

x+

√

x

√

x −1

)

với x>0 vàx1
a) Rút gọn A

b) Tìm giá trị của x để A = 3

-Giải-a) với x>0 vàx1;

A =

(

x −

√

x+1− x+1

√

x −1

)

(

x

√

x −1

)

¿2−

√

x

Vậy với x>0 vàx1 thì A = 2−

√

x
x
b) Để A = 3 ⇔

2−

√

x
x =3
⇔3x+

√

x −2=0

⇔(

√

x+1)(3

√

x −2) =0 ⇒x=4

</div>

MOT SO CHUYEN DE ON THI CAP 3 CHUAN

{

√

<sub>√</sub>

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

|

√

|

√

(

√

)

(

√

√

√

√

√

)

[

√

√

√

√

]

[

√

√

√

√

√

√

]

√

[

<sub>√</sub>

√

]

√

(

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

)

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

<sub>√</sub>

√

√

√

√

(

√

√