Phân loại các nhóm p nhóm cấp p4 bằng cách ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm của otto schreier

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN
---------

Đề tài:

PHÂN LOẠI CÁC p-NHÓM CẤP p4

BẰNG CÁCH ỨNG DỤNG
LÝ THUYẾT MỞ RỘNG NHÓM CỦA
OTTO SCHREIER

Giáo viên hướng dẫn : ThS. Nguyễn Viết Đức
Sinh viên thực hiện

: Lê Thị Hòa

Chuyên ngành

: Sư phạm Toán

Lớp

: 09ST

Đà Nẵng, 05/2013


MỤC LỤC
Trang

LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................1
CHƯƠNG 1:CƠ SỞ LÝ LUẬN ...............................................................................2
§1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM .........................................................................................2
1.1. Nhóm: ...................................................................................................................2
1.2. Nhóm con : ...........................................................................................................2
1.3. Nhóm con chuẩn tắc: ............................................................................................2
1.3.1. Định nghĩa: ........................................................................................................2
1.3.2. Định lý:..............................................................................................................3
1.4. Nhóm xyclic: ........................................................................................................3
1.5.p-nhóm: .................................................................................................................3
1.6. Nhóm con giao hốn tử: .......................................................................................4
1.6.1. Định nghĩa: ........................................................................................................4
1.6.2. Tính chất: ..........................................................................................................4
1.6.3. Định lý:..............................................................................................................4
1.7. Đồng cấu: .............................................................................................................4
1.7.1. Định nghĩa: ........................................................................................................4
1.7.2. Tính chất: f : G  H là một đồng cấu nhóm thì ..............................................5
1.8. Đồng dư: ...............................................................................................................5
§2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT ............................................................................................6
2.1. Mở rộng của một nhóm theo nhóm bất kì: ...........................................................6
2.2. Mở rộng của một nhóm theo tích trực tiếp: .........................................................9
2.3. Mở rộng của một nhóm với nhóm Abel:............................................................16
CHƯƠNG 2: PHÂN LOẠI CÁC p-NHĨM BẬC p 4 ..........................................23
§1: Một số định nghĩa và định lý liên quan: .............................................................23
I. Một số định nghĩa: .................................................................................................23


1. Mod M ma trận cột ..............................................................................................23
2. Mod M ma trận ....................................................................................................23
3.Mod M ma trận chính quy ....................................................................................23

4. Mod M ma trận đơn vị.........................................................................................24
5. Ma trận thực chính quy .........................................................................................24
II. Một số định lý:......................................................................................................24
1. Định lý 1 (Định lý Schreier): ................................................................................24
2. Định lý 2:...............................................................................................................25
3. Định lý 3:...............................................................................................................26
4. Định lý 4:...............................................................................................................26
5. Định lý 5:...............................................................................................................27
§2: PHÂN LOẠI .......................................................................................................30
1. Nhóm A từ loại  p , B A từ loại  p n , p n ,..., p n  : ............................................31
s

2. Nhóm A từ loại  p, p , B A từ loại  pn1 , pn2  (n1  n2 ) . ..................................34
3. Phân loại các nhóm khơng Abel bậc p 4 : .............................................................38
KẾT LUẬN ..............................................................................................................40
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................41


1

LỜI MỞ ĐẦU
Bài tốn tìm và phân loại tất cả các nhóm có cấp cho trước là một bài tốn
khó và đến nay vẫn cịn là một bài tốn mở. Để xây dựng một nhóm trừu tượng bậc
hữu hạn nhất định từ hai nhóm bất kỳ A và B , ta xây dựng thơng qua một số
phương trình giữa các phần tử bất biến của A , dạng phương trình phụ thuộc hồn
tồn vào nhóm B . Như một ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm của Otto Schreier,
bài khóa luận“ phân loại các nhóm p-nhóm cấp p 4 bằng cách ứng dụng lý thuyết
mở rộng nhóm của Otto Schreier” nhằm tìm hiểu về cách phân loại các nhóm
khơng abel cấp p 4 .
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phần nội dung được chia

thành 2 chương , trong đó nội dung chính được trình bày ở chương 2.
Chương 1 trình bày lại một số định nghĩa, khái niệm đặc trưng và cần thiết
trong §1. Một số định lý mở rộng nhóm của Otto Schreier cần thiết làm cơ sở cho
các phần sau trong §2.
Chương 2 §1 định nghĩa và một số tính chất của cột và ma trận cột modulo,
tiếp theo là một số định lý liên quan, §2 là phần phân loại các p-nhóm cấp p 4 .
Cuối cùng, xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thạc sĩ Nguyễn Viết
Đức, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận này. Xin cảm
ơn Ban Giám Hiệu, các giảng viên Khoa Toán trường Đại học Sư Phạm - Đại học
Đà Nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành khóa học và giúp đỡ tơi trong
q trình nghiên cứu hồn thành khóa luận.
Mặc dù bản thân đã rất cố gắng và được sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo
hướng dẫn, nhưng do năng lực của bản thân và thời gian cịn hạn chế nên khó tránh
khỏi những thiếu sót, chúng tơi rất mong nhận được sự góp ý tận tình của thầy cơ và
các bạn để khóa luận được hồn thiện hơn.

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Lê Thị Hòa


2

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
§1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM
1.1. Nhóm:
Cho G là tập khơng rỗng cùng với phép tốn hai ngơi “.”. (G,.) được gọi là
nhóm nếu chúng thoả 3 tính chất sau:
(i) Với mọi x,y,z thuộc G thì  xy  z  x  yz  .
(ii) Tồn tại e thuộc G sao cho ex  xe  x,x  G.

(iii) Với mọi x thuộc G thì tồn tại y thuộc G sao cho xy  yx  e . Ta kí hiệu y là
x 1 .

Để cho gọn ta có thể kí hiệu nhóm (G,.) là G. Nếu phép tốn hai ngơi trong nhóm G
có tính giao hốn thì G được gọi là nhóm Abel.
Cấp của một nhóm:
Cho G là nhóm. Khi đó cấp của nhóm G chính là lực lượng của G, kí hiệu là

G . Nếu G hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn. Ngược lại G được gọi là
nhóm vơ hạn.
1.2. Nhóm con :
Cho G là nhóm, H là tập con khác rỗng của G. Nếu H cùng với phép toán
cảm sinh của phép toán trong G lập thành một nhóm thì H được gọi là nhóm con
của nhóm G. Ta kí hiệu H  G.
1.3. Nhóm con chuẩn tắc:
1.3.1. Định nghĩa:
Cho G là nhóm và H là nhóm con của G.

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Lê Thị Hịa


3

H được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G nếu x  G,h  H thì xhx1  H .
Ta kí hiệu H G.
1.3.2. Định lý:
Nếu A là nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X thì:
(i) Quy tắc cho tương ứng với cặp ( xA, yA) lớp trái xyA là một ánh xạ từ

X / A  X / A đến X / A .
(ii) X / A cùng với phép tốn hai ngơi
( xA, yA)  xyA

là một nhóm, gọi là nhóm thương của X trên A.
1.4. Nhóm xyclic:
Một nhóm G gọi là xyclic nếu và chỉ nếu G được sinh ra bởi một phần tử

a  G. Phần tử a gọi là một phần tử sinh của G. Như vậy một nhóm G là xyclic nếu
và chỉ nếu các phần tử của nó là các luỹ thừa a ,   , của một phần tử a  G.
1.5. p-nhóm:
Cho G là nhóm.
(i) Nếu G là nhóm cấp p n với n là số tự nhiên, p là số ngun tố thì G được
gọi là p-nhóm.
(ii) Nếu H là nhóm con của G và H là p-nhóm thì H được gọi là p-nhóm con
của G.
(iii) Nếu G là nhóm cấp m.p n và  m, p   1 và H là nhóm con cấp p n của G
thì H được gọi là p-nhóm con Sylow của G.

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Lê Thị Hịa


4

(iv) Hai nhóm con H1 và H 2 của G được gọi là liên hợp nhau nếu tồn tại x
thuộc G sao cho H1  xH 2 x 1 và ta viết H1

H2 .

1.6. Nhóm con giao hốn tử:
1.6.1. Định nghĩa:
Cho một nhóm G là một nhóm. Với x, y  G , thì x 1 y 1 xy đ ược gọi là hốn
tử của x và y hay nói gọn là hốn tử. Kí hiệu  x, y  để chỉ hốn tử. Một nhóm con
của G được sinh bởi tất cả các hoán tử của G được gọi là nhóm con giao hốn tử
(hay là nhóm con dẫn xuất) của G và được kí hiệu là G . Ta có G  G, G 
1.6.2. Tính chất:
(i) G là nhóm con chuẩn tắc của G .
(ii) G là một nhóm, G là nhóm con giao hốn tử của G , khi đó G / G là một
nhóm Abel.
1.6.3. Định lý:
Cho x, y, z là 3 phần tử của nhóm. Khi đó các đồng nhất thức sau được thiết
lập:
(i)  x, y    y, x 
1

(ii)  xy, z    x, y   y, z 
y

(iii)  z, xy    z, y  z, x 

y

1.7. Đồng cấu:
1.7.1. Định nghĩa:

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Lê Thị Hòa


5

Cho hai nhóm (G,.) và ( H ,.) . Một tương ứng:
f :G  H
x

f ( x)

gọi là đồng cấu nếu:
(i) f là một ánh xạ;
(ii) f ( x. y)  f ( x). f ( y), x, y  G .
1.7.2. Tính chất: f : G  H là một đồng cấu nhóm thì:
(i) f (1G )  1H ;
(ii) f ( x 1 )  ( f ( x))1
Một đồng cấu nhóm với f là một đơn ánh, toàn ánh, song ánh lần lượt được gọi là
đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu.
1.8. Đồng dư:
Cho hai số nguyên a và b , nếu a  b chia hết cho m (m  0) thì a được gọi
là đồng dư modulo m, và kí hiệu là a  b mod m .

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Lê Thị Hịa


6

§2: MỘT SỐ ĐỊNH LÝ MỞ RỘNG NHĨM CỦA OTTO SHREIER
2.1. Mở rộng của một nhóm theo nhóm bất kì:
Cho hai nhóm A và B , tìm tất cả các nhóm B nhận A làm nhóm con
chuẩn tắc sao cho B A  B. Nói ngắn gọn là tìm tất cả các mở rộng B của A theo

B.
Tiến hành phân tích B .
Chọn ánh xạ: t : B  B

B

t  B   B và t 1B   1B trong đó 1B là đơn vị của B.

Ta có: AB  BA (lớp kề của B theo A ),

BB  t  BB  AB ,B  A : BB  BBAB ,B .
1

Như vậy AB và BA cùng thuộc BA và ta có AB  BAB ( AB  B AB  A ), E B  E
với E  1B.
Bây giờ giả sử tồn tại nhóm B , câu hỏi đặt ra là các phần tử AB , AB',B'' phải
thoả mãn điều kiện gì để các mối quan hệ AB  BAB và B' B''  B' B''AB' B'' cùng
các quan hệ của A trong B được xác định.
Ta có: B'AB'' A  B' B'' A' B'' A''  B' B''AB' B'' A' B'' A'' .
Xem phần tử

BA như cặp

 

B, A với B  B; A  A ,

từ

 

ta suy ra

B', A'B'', A''  B' B'', AB',B'' A' B'' A'' .
Đầu tiên chúng ta xác định các điều kiện để các cặp B, A là một nhóm.

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Lê Thị Hịa


7

- Phần tử đơn vị: EB  EB ,EA  .

A',A'',A''',B',B'',B''' cho trước : B,AE,E  B,A

 II 

- Tính chất kết hợp:

B,A ;B,AB,A  B,AB,A;B,A  I 
- Phần tử nghịch đảo:
A,B :

B, AB , A  E,E

 

Suy ra B  B 1 ; A  AB

1

1

 III 

AB1,B1 .

Phân tích (I):

B, A ;B, AB, A  B, A B, A ;B, A





 BBB, ABB ,B  AB ,B AB A  A  BBB, AB ,BB ABB AB,B AB A
B

 ABB ,B  AB ,B AB A  A  AB ,BB ABB AB,B AB A.
B

1

Phân tích (II):

B, AE,E  B, A
 B, AB ,E AE   B, A
 2

 AB ,E AE  A.

Từ  2  với A  E thì AB,E  E.
Do đó AE  A.

 3

 4

Từ 1 cho B  E, B  B thì  AB ,E AE A   AB AE ,B AB .
B

Từ  3 và  4  ta có  AA   AB AE ,A AB
B

Cho A  A  E , từ  5  ta được AE ,B  E.

 

Và do đó 5   AA   AB AB .
B

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

5 


 6

 5
SVTH: Lê Thị Hịa


8



n
Áp dụng  5  ta được AA...A 



B

 AB AB

A

nB

.

Với A  A; A  A1 từ  5  ta có  AB    A1  .
1

Từ 1 suy ra ABB ,B ABB,B  AB 
Thay

B  E

A 

 AB1,B ABB ABB .


B B

nếu

không

B

B

 AB ,BB ABB AB ,B .

A

bởi

A,

B

1 


bởi

B ,

B

bởi

B :

7

Thay vào 1  suy ra:

ABB ,B ABB,B  AB ,BB AB ,B .

 8

Từ 1 và  2  bằng cách sử dụng E B  E ta được các kết quả từ  3 đến  8  , đảo
lại từ  3 đến  8  có thể dễ dàng chứng minh được 1 , 2  và E B  E .
Như vậy, để tập các cặp B, A dựa vào quan hệ

B', A'B'', A''  B' B'', AB',B'' A' B'' A''

là một nhóm với đơn vị

E,E

thì điều

kiện cần và đủ là các phần tử AB , AB ,B thoả mãn các công thức từ  3 đến  8  .
Bây giờ giả sử các công thức từ  3 đến  8  đã được thoả và B,EE,A  B,A
tức là một nhóm của các cặp B, A có thể được tạo ra từ các phần tử B,E và

E, A . Trong đó B là một nhóm của B , A là một nhóm của A.
Hơn nữa

E, AE, A  E, AA
 IV 
E, AB,E  B,EE, AB 
V 
B,EB,E  BB,EE, ABB  VI 
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Lê Thị Hòa


9

Có thể suy ra điều ngược lại từ  IV  , V  , VI  vì ta có mối quan hệ giữa các nhóm
như sau:

B,EE, AB,EE, A  B,EB,EE, ABE, A
 BB,EE, AB ,B E, AB A  B' B,EE, AB ,B A' B A .
Nói cách khác công thức  IV  , V  , VI  thể hiện cách xác định quan hệ của nhóm.
Bây giờ chúng ta giả thiết E,A  A; B,E  B thì dẫn đến  IV  phải là thành

phần hợp thành của A và ta có:
Định lý 1:
Khi các phần tử AB , AB ,B và các điều kiện

 AA

B

 AB AB .

A

E

 A

a
b 

(AB )B  AB1,B ABB ABB .

ABB ,B ABB,B  AB ,BB AB,B

A

B,E

 AE ,B  E 

c

được thoả thì các hệ thức AB  BAB và B' B''  B' B''AB' B'' cùng với các hệ thức
của A luôn và chỉ luôn xác định một mở rộng của A theo B.
Bất kì sự mở rộng của A theo B có thể được định nghĩa bằng các mỗi quan hệ ở
trên.
2.2. Mở rộng của một nhóm theo tích trực tiếp:
Chúng ta bắt đầu từ tích trực tiếp 2 nhân tử. Nhân tử của A trong nhóm B
đẳng cấu với tích trực tiếp B = B1B2 .

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Lê Thị Hịa


10

B1 là phần tử bất kì của B1 và B2 là phần tử bất kì của B2 (tương tự B1' B1'' ... ).
Tương ứng với B1 trong nhóm A là B1 , B2 là B2 . Phần tử B  B1B2 tương ứng
trong A là B1B2  B .
Để xác định mối quan hệ của B , ta giả định:

AB1  B1 AB1 ; B1' B1''  B1' B1'' AB' , B''
1

1

B2 B1  B1B2 AB2 , B1

AB2  B2 AB2 ; B2' B2''  B2' B2'' AB' , B''
2

2

Từ đó: AB  AB1B2  B1 AB1 B2  B ( AB1 ) B2

B ' B ''  B1' B2' B1'' B2''  B1' B1'' B2' AB' , B'' B2''
2

1

 B1' B1'' AB' , B'' B2' B2'' A
1

B2''
B2' , B1''

1

 B1' B1'' B2' B2'' ABB'2,BB2'' AB' , B'' ABB'2, B''
 B ' B '' A

B2' B2''
B1' , B1''

'

''

1

1

''

2

2

2

1

B2''
B2' , B1''

AB' , B'' A
2

2

AB  ( AB1 ) B2 ; AB, B  ABB'2,BB2'' AB' ,B'' ABB'2,B''
'

''

1

1

''

2

2

2

1

Các phần tử phải thỏa điều kiện của định lí 1. Ở đây ta có thể giả định rằng

AB1 , AB1 , B1 và tương ứng AB2 , AB2 , B2 đáp ứng các điều kiện đã cho.
Ta có:

( AA) B  (( AA) B1 ) B2  ( AB1 AB1 ) B2  ( AB1 ) B2 ( AB1 ) B2 ;
AE  ( AE ) E  A.
 Thỏa điều kiện (a).

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Lê Thị Hòa


11

Áp dụng (b) cho B  B2 , B  B1 :

( AB2 ) B1  AB21,B1 ( AB1 ) B2 AB2 ,B1

(1)

(1) thỏa mãn. Sau đó:

( AB ) B  ((( AB1 ) B2 ) B1 ) B2  ( AB21, B1 (( AB1 ) B1 ) B2 AB2 , B1 ) B2
 ( ABB22, B1 ) 1 AB21, B2 ( ABB12,BB21 ) 1 ( AB1B1 ) B2 B2 ABB12,BB21 AB2 , B2 ABB22, B1
 AB1,B ABB AB, B
 (b) được thỏa mãn.

Áp dụng (c) cho B  B2 , B  B2, B  B1 :

AB2 B2 ,B1 ABB21 ,B2  AB2 ,B2B1 AB2 ,B1


Hoặc: AB2 B2 ,B1 ABB21 ,B2  AB2 ,B2 ABB22,B1 AB2 ,B1 (2)
Tương tự với B  B2 , B  B1, B  B1:

AB2 B1 ,B1 ABB21,B1  AB2 ,B1B1 AB1 ,B1


Hoặc: ABB12,B1 AB2 ,B1 ABB21 ,B1  AB2 ,B1B1 AB1 ,B1

(3)

(2) và (3) được thỏa mãn; sau đó ta có:

ABB,B ABB,B  ABB12BB12,BB12 AB2 B2 ,B2 ABB22B2 ,B1(( ABB12,BB21 ) B1) B2 ( ABB21,B2 ) B2 (( ABB22,B1 ) B1) B2
 ABB12BB12, BB12 AB2 B2 , B2 ABB22B2 , B1( ABB22B2 ,B1)1 AB21B2 ,B2 ( ABB11,B1 ) B2 B2B2 AB2 B2 ,B2 ABB22B2 ,B1( ABB21,B2 ) B2
( ABB22, B1)1 AB21, B2 ( ABB21, B1 ) B2 B2 AB2 , B2 ABB22, B1
 ABB12BB12, BB12 ( ABB12BB12, BB12 )1 ABB12,BB21BB12 ABB12,BB21B2 AB2 B2 ,B2 ABB22B2 ,B1( ABB22B2 ,B1) 1 ABB22,B2 ( ABB22,B1) B2 ABB22, B1( ABB22,B1)1
AB21, B2 ( ABB22,BB2 )1 ((( ABB12,B1) B2B2 ) 1 ABB22BB12,B1ABB12,BB21AB2 ,B2 ABB22,B1

 ABB12,BB21BB12 ABB12,BB21B2 AB2 B2 ,B2 ABB22,B2 AB21,B2 ABB22,BB21AB2 ,B2 AB21,B2 ( ABB22,BB2 )1 AB21,B2B2 ( ABB12,BB21B2 ) 1 AB2 , B2B2
ABB22BB12, B1ABB12,BB21AB2 , B2 ABB22,B1

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Lê Thị Hòa


12

 AB,BB AB,B

AB,E  ABB12,E AB2 ,E ABE2 ,E  A; AE ,B  AEB,2B1 AE ,B2 AEB,2B1  E
Vậy (c) được thỏa mãn.
Do đó ta có:
Bổ đề:
Các

quan

hệ

AB1  B1 AB1 ; B1' B1''  B1' B1'' AB' , B'' ; AB2  B2 AB2 ; B2' B2''  B2' B2'' AB' ,B'' ;
1

B2 B1  B1B2 AB2 , B1

1

2

2

cùng với các quan hệ trong A xác định một và chỉ một mở rộng

của A theo B1B2 , nếu các phần tử AB1 , AB1 , B1 và AB2 , AB2 , B2 thỏa các điều kiện của
định lí 1 và AB2 , B1 thỏa các phương trình (1), (2) , (3).
Bây giờ ta đi qua tích trực tiếp của 3 nhân tử, thiết lập B  B1B2B3 . Để xác định
quan hệ của B , ta có thể giả định:

ABi  Bi ABi ; BiBi  BiBiABi,Bi; Bi B j  B j Bi ABi ,B j

(i, j  1,2,3; i  j )

Rõ ràng, với mỗi i: các phần tử ABi , ABi , Bi thỏa mãn các điều kiện của định lí 1.

i, j (i  j ) ABi , B j thỏa (1), (2), (3). Để tìm điều kiện mà các phần tử ABi , ABi , Bi
phải đáp ứng, ta đặt B2B3  B0 và đưa tích về dạng 2 nhân tử. cố định phần tử

B0  B2 B3
'

''

2

2

''

Ta có: AB0  ( AB2 ) B3 ; AB0 , B0  ABB'3,BB3'' AB' , B'' ABB'3,B''
3

3

3

2

AB0 ,B1  ABB23,B1 AB3 ,B1

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Lê Thị Hòa


13

Từ giả định đã nêu ở trên các phần tử AB0 , AB0 , B0 thỏa điều kiện của định lí 1. Vậy
chỉ cịn u cầu (1), (2), (3).
- Điều kiện (1):
Trong (1) thay chỉ số 2 bởi 0:
( AB0 ) B1  (( AB2 ) B3 ) B1  AB31, B1 (( AB2 ) B1 ) B3 AB3 , B1  AB31, B1 ( ABB23,B1 ) 1 (( AB1 ) B2 ) B3 ABB23,B1 AB3 ,B1
 AB01, B1 ( AB1 ) B0 AB0 , B1

Do đó (1) được thỏa mãn.
- Điều kiện 2:
Thay B0  B3 ; B0  B2 , ta có:

AB3B2 ,B1 ABB31,B2  AB3 ,B2 ABB32,B1 AB2 ,B1

ABB23,B1 AB3 ,B1 ABB31,B2  AB3 ,B2 ABB32,B1 AB2 ,B1

(4)

(4) được thỏa mãn, sau đó:

AB01B0 , B1 AB0 ,B0 ABB00,B1 AB0 ,B1
 AB21B2 , B1 ( ABB23BB23, B1 )1 ABB23 ,BB32 AB3 , B3 ABB33, B2 (( ABB23, B1 ) B2 ) B3 ( ABB32, B1 ) B3 ABB23, B1 AB3, B1
 AB21B2 , B1 ( ABB23BB23,B1 )1 ABB23 ,BB32 AB3 , B3 ABB33, B2 ( ABB33, B2 ) 1 AB31,B3 ( ABB22 ,B1 ) B3 B3
AB3 , B3 ABB33, B2 ( ABB32, B1 ) B3 ABB23, B1 AB3, B1
 AB21B2 , B1 ( ABB23BB23, B1 )1 ABB23 ,BB32 ( ABB23 ,BB32 ) 1 ABB23BB23, B1 ( ABB21 , B2 ) B3 B3 ( ABB23 ,BB31 ) 1 AB3 , B3
ABB33, B2 ( ABB33, B2 ) 1 ( ABB23 , B1 ) B3 ABB33, B1 ( ABB31, B2 ) B3 AB3, B1

 ( ABB23 ,BB32 ) B1 AB21B2 ,B1 ( ABB23,BB31 )1 ABB23,BB31 ( ABB23,BB32 )1 AB3 , B3 ABB33, B1 AB3, B1 ( ABB33, B2 ) B1

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Lê Thị Hòa


14

 ( ABB23 ,BB32 ) B1 ABB31,B3 ( ABB33,B2 ) B1  ABB01 ,B0
 thỏa mãn điều kiện (2).

- Điều kiện (3) :
Điều kiện (3) cũng thỏa mãn, vì:

AB0 B1 , B1 AB1 , B1 ( ABB01, B1 ) 1 AB01, B1

 ABB23, B1B1 AB3B1 , B1 AB1 , B1 ( ABB13, B1 ) 1 (( ABB23, B1 ) B1 ) 1 AB31, B1 ( ABB23,B1 ) 1
 ABB23, B1B1 ABB13, B1 AB3 , B1 ( AB3 , B1 ) 1 (( ABB21, B1 ) B3 ) 1 ( ABB23, B1 ) 1
 ( AB2 , B1B1 AB1 , B1 ( ABB23, B1 ) 1 ( AB2 ,B1 ) 1 ) B3
 ( ABB12, B1 ) B3  ABB10, B1
Đã tìm được những điều kiện mà các phần tử phải thỏa mãn. Để rõ ràng hơn ta đưa
ra một định nghĩa mới. Sử dụng

ABi ,B j  AB1j ,Bi với i  j . Khi các phần tử AB0 , B0

không xuất hiện định nghĩa này sẽ dẫn đến những nhầm lẫn.
Phương trình (1) có thể được viết lại như sau:

( ABi ) j  ABi1,B j ( A j ) Bi ABi ,B j
B

B

(i, j  1,2,3; i  j )

Các phương trình (2) và (3) có thể tóm tắt thành:

ABij,Bi  ABi1Bi,B j ABi ,Bi ABBii,B j ABi,B j (i, j  1,2,3; i  j )
B

Và (4) có dạng:

ABB13,B2 AB3 ,B2 ABB32,B1 AB2 ,B1 ABB21 ,B3 AB1 ,B3  E
Sau những chuẩn bị này dễ dàng đi đến trường hợp nhiều nhân tử. Đó là B   Bi
i

, trong đó i là bất kì và khơng cần phải là số nguyên.

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Lê Thị Hòa


15

Định lí 2:
Các quan hệ Bi1 ABi  ABi ; BiBi  BiBiABi,Bi; Bi B j  B j Bi ABi ,B j với i  j cùng các
quan hệ trong A luôn luôn xác định một mở rộng của A theo B , nếu trong A tồn
tại những quan hệ sau:

( AA) Bi  ABi ABi
Bi Bi

( A )  ABi1, Bi A

Bi Bi

( AE  A)

(a )

ABi , Bi

(b)

ABiBi, BiABBii, Bi  ABi , BiBiABi,Bi ( ABi ,E  AE ,Bi  E )

(c )

( ABi ) j  ABi1, B j ( A j ) Bi ABi , B j ( ABi , B j AB j , Bi  E ) (d )
B

B

ABij,Bi  ABi1Bi,B j ABi ,Bi ABBii,B j ABi,B j
B

(e)

ABB13,B2 AB3 ,B2 ABB32,B1 AB2 ,B1 ABB21 ,B3 AB1 ,B3  E

(f)

(i  j; j  k ; k  i)

Trên đây là điều kiện cần, nó dẫn đến mỗi một mở rộng của A theo B các phần tử

Bi , B j , Bk tạo ra sự mở rộng của A theo Bi , B j , Bk (i, j, k ) . Chứng minh các điều
kiện đủ thông qua phép quy nạp với một số hữu hạn các nhân tử. Giả sử

B  B1B2 ...Bs .
- Với s  1,2,3 , định lý đã được chứng minh.
- Giả sử dúng với s  1 .
Đặt Bs1Bs  B0 và B0  Bs 1Bs . Hơn nữa theo các mối quan hệ xác định:

AB0  ( ABs 1 ) Bs ; AB0 ,Bi  ABBss1 ,Bi ABs ,Bi ; ABi ,B0  ABi ,Bs ABBis,Bs 1

Ta

phải

chứng

minh:

các

i, j, k  1, 2,..., s (i  j ; j  k ; k  i ) ,

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

(i  1,2,..., s  2)

điều

kiện

(a)  ( f )

cũng

như

vậy

với

đúng

đối

với

i, j, k  0,2,..., s  2

SVTH: Lê Thị Hòa


16

(i  j; j  k ; k  i) . Từ (a)  (e) hiển nhiên đúng với s  3 . Cần chứng minh điều

kiện ( f ) trong trường hợp một trong bộ ba (i, j, k ) bằng 0. Vì ( f ) có tính đối
xứng nên ta có thể giả định k  0 . Vì vậy ta có:
B

ABBi0, B j AB0 , B j AB0j, Bi AB j , Bi ABBji , B0 ABi , B0
 ( ABBis,B1 j ) Bs ABBss1 , B j ABs , B j ( ABBss1 , B j ) j ABsj, Bi AB j , Bi ABBji , Bs ( ABBjs , Bs 1 ) Bi ABi , Bs ABBis, Bs 1
B

B

 ( ABBis,B1 j ) Bs ABBss1 , B j ( ABsj1 , Bi ) Bs ABs , B j ABsj, Bi AB j , Bi ABBij , Bs ABi , Bs ( ABBij , Bs 1 ) Bs ABBis, Bs 1
B

B

 ( ABBis,B1 j ) Bs ABBss1 , B j ( ABsj1 , Bi ) Bs ABBjs , Bi ( ABBij , Bs 1 ) Bs ABBis, Bs 1  E Bs  E
B

Trường hợp số nhân tử được thực hiện bởi nhận xét: lấy bất kì một phần tử của B
đều biểu diễn được thành tích hữu hạn các Bi .
Như vậy định lý 2 được chứng minh.
2.3. Mở rộng của một nhóm với nhóm Abel:
Xét trường hợp đặc biệt, các nhân tử Bi của B là các nhóm xyclic, ni là cấp
của Bi , nếu nó là hữu hạn.
Đến bây giờ ta xem Bi như một phần tử bất kì, mà chính xác là một phần tử được
sinh bởi Bi . Thay Bix vào vị trí của Bi , khi đó các phần tử siêu việt Bix liên kết
ri  x 

x

x

trong nhóm con chúng ta kí hiệu bằng B i . Ta đặt Bi  Bi

, ở quan hệ này ri  x  là

số dư không âm nhỏ nhất của x mod ni , hoặc bằng x, với ni  0.
Bất kì mở rộng của
1

ni

A

theo B đều được xác định theo quan hệ

Bi ABi  ABi ; Bi  Ai ; Bi B j  B j Bi Ai , j

i  j  .

B
Sử dụng các điều kiện của định lý II để tìm các phần tử A i ,Ai ,Ai , j . Với mục đích
x

này trước hết chúng ta tìm các phần tử ABi , AB x ,B x , AB x ,B y dựa vào biểu diễn
i

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

i

i

j

SVTH: Lê Thị Hòa


17

ABi ,Ai ,Ai , j . Để rút gọn trường hợp ta xét các trường hợp ni khác nhau từ số 0. Các
trường hợp ni triệt tiêu làm tương tự.
Đó là:
x1

x

 ri  x 

x

ABi  Bi ABi  Bi

r x

ABi ,

r x
 A   A  i 
Tương đương:  B x    Bi 
A i  A 



x

ri  x

x

Bi Bi  Bi

ri  x

Bi

ri  x ri  xri  x x

 Bi

.

Đặt: ri  x  ri  x   ri  x  x   ni di  x,x  .

di  x,x  có khả năng nhận các giá trị 0,1.
x

x

x x

Ta có: Bi Bi  Bi

Ai i 

Do đó AB x ,B x  Ai i 

.

d x ,x

i

d x ,x

.

i

x

x 

x

Để tính AB x ,B y ta sử dụng biểu thức ABi ABi ...ABi
i

n

x

 ABi

 n

 Bix ... Bix

, trong đó thứ tự

j

 n

của tổng các số mũ Bix  Bix  ...  Bix . Qua đó ta nhận được một cách đầy đủ qua

phép quy nạp đầu tiên:
Ta có:
y 1

y

r

E  B j  ... B j j

B j Bi B j  Bi Ai , j

 y  1

Nhờ đó chúng ta nâng lên luỹ thừa bậc ri  x  :

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Lê Thị Hòa


18

y 1

x

 y  1

r

E  B j  ... B j j

y

B j Bi B j  Bi ( Ai , j
x

r

E  B j  ... B j j
i,j

 Bi ( A

r

E  B j  ... B j j

Vì vậy AB x ,B y  ( Ai , j
i

) i

r x

 y  1

 y  1

ri  x  1 ... Bi  E

)Bi

ri  x  1 ... Bi  E

)Bi

,

.

j

Tiến hành kiểm tra các điều kiện của định lý II để tìm ra các điều kiện ràng buộc
của ABi , Ai , Ai , j .
Áp dụng kết quả điều kiện  a  của định lý II:

 AA

Bi

A

 ABi ABi

Tổng quát 1 :  AA 

Bi x

E

 A .

1

 ABi ABi .
x

x

A

 A  A  

Điều kiện  b  có thể được viết:  B x  B x    1
x   x 
 A i  A i   A x x ABi A x x 
Bi ,Bi 


  Bi ,Bi
r  x  ri  x

i
 A
Hay  Bi 
A 

r  x x

i
 A
  Bi 
A 

r  x  ri  x 

i
 A
Ta có:  Bi 
A 

n di  x ,x

i
 A
Do đó:  Bi 
A 

A


  di  x ,x di  x ,x  .
AAi
 Ai


r  x x 

i
 A
  Bi 
A 

n di  x ,x 

i
 A 
 ABi 



.

A


   d  x ,x d  x ,x  .
A i

AAi i
 i


Lúc này  b  tương đương:
n

i
 A 

 A 
 Bi    A1 AA 
A 
i
 i

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

 2

SVTH: Lê Thị Hịa


19

Điều kiện  c  :
x 

AB x B x ,B x ABBxi  ,B x  AB x ,B x B x AB x ,B x
i

i

i

i

Bix 
i

( A

i

i

di  x ,x

)

i

i

i

i

di  x ,x x  di  x ,x di  x x ,x
i

A

Lúc này dễ dàng chứng minh được :

di  x,x  x  di  x,x  di  x  x,x  di  x,x .

 3

Và  c  tương đương với ABi  Ai

(Các hạn chế AB x ,E  AE ,B x  E đã thoả mãn vì di  x,0  di  0,x   0 ).
i

i

i  j   4

Điều kiện đặc biệt của  d  : (ABi ) j  Ai, 1j (A j ) Bi Ai , j
B

B

 4  thoả mãn, sau đó với gợi ý từ 1
(ABi )

Bj y

E  B j ... B j

 (Ai , j

r j  y  1

qua phép quy nạp ta có:

E  B j ... B j

By

)1 (A j ) Bi Ai , j

r j  y  1

.

Với mọi y, ta chứng minh được:
x 1

(ABi )

Bj y

E  B j  ... B j

 ((Ai , j

r j  y  1

x2

) Bi

... E 1

B

x 1

y

E  B j  ... B j

) (A j ) Bi (Ai , j

r j  y  1

x2

) Bi

... E

 2  x  ni 

.

Nếu thay A bởi ABi ta nhận được:
x

(ABi )

Bj y

E  B j  ... B j

 ((Ai , j

E  B j  ... B j

 ((Ai , j

r j  y  1

r j  y  1

E  B j  ... B j

x2

) Bi

r j  y  1

(Ai , j

E  B j  ... B j

 ((Ai , j

r j  y  1

E  B j  ... B j

E  B j  ... B j

 ((Ai , j

r j  y  1

B

E  B j  ... B j

 ... E 1

x 1

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

r j  y  1

E  B j  ... B j

r j  y  1

) ((Ai , j

x 1

E  B j  ... B j

r j  y  1

x2

) Bi

 ... E

E  B j  ... B j

By

) 1 (A j )Bi Ai , j

r j  y  1

) Bi

x 1

 ... E

E  B j  ... B j

) Bi (Ai , j

) Bi

x 1

y

) ((ABi ) j ) Bi (Ai , j

) ((Ai , j

x2

x2

 ... E 1

 ... E 1

) Bi

) Bi

r j  y  1

(Ai , j

x2

) Bi

 ... E 1

By

r j  y  1

x

x2

) Bi

x 1

x

 ... E

E  B j  ... B j

) (A j )Bi (Ai , j

By

) Bi ) 1 (A j )Bi

r j  y  1

) Bi

x 1

 ... E

.

SVTH: Lê Thị Hòa


20

Để  d  hoàn thành, ta chứng minh điều kiện:

E  ... B jy 1 Bix 1  ... E

(Ai , j

)

x 1

 (AiB, ij

4 

y 1
 ... E E  B j  ... B j



)

 i  j; 0  x  n , 0  y  n 
i

j

Cho x  1 và với đúng mọi y, chứng minh  4  cho x  x , và với mọi y. Ta có:
E  ... B jy 1 Bix 1  ... E

(Ai , j

)

E  ... B jy 1 Bix 1

 (Ai , j
B y 1

x 1

B

x 1

x 1

x2

 ... E

EB

x2

 ... E 1

x 1

x2

 ... E

x 1

x2

 AiB, ij (Ai , jj ) Bi ...(Ai , jj ) Bi (AiB, ij
 AiB, ij AiB, ij
.((Ai , j j ) Bi

 AiB, ij AiB, ij
x2

...(AiB, ij

x 1

x 1

x2

B

x 1

(AiB, ij )
x 1

B jy 1

)

y 1
 ... E E  ... B j

)

 ... E 1

x2

EB

) (Ai , j j ) Bi

)

(AiB, ij ) j (AiB, ij

x2

(Ai , j

E  ... B jy  2 Bix  2  ... E

) ...(Ai , j

)

x 1

x2

B

(AiB, ij ) j (AiB, ij

y 2
 ... E E  ... B j

E  ... B jy 1 Bix  2  ... E

)

 ... E 1

x 1

(AiB, ij )
x2

) (AiB, ij

x2

((AiB, ij

x2

 ... E

B jy 1

x 1

(AiB, ij )

E  ... B jy  2 Bix  2  ... E 1

((Ai , j

 ... E E  B j

)

x 1

x2

) (AiB, ij

x 1

B y 1

x2

 AiB, ij AiB, ij ... E (AiB, ij ) j (AiB, ij ... E ) j ...(AiB, ij ) j (AiB, ij
Vậy lập luận tổng quát đã được chứng minh.
B

B

Các ràng buộc của  d  : Ai , j Aj ,i  E

x2

) (AiB, ij

)

x2

B2

(AiB, ij ) j ((AiB, ij

y 2
 ... E E  ... B j
1

)

B 2j
y 1
 ... E E  ... B j

)

 ... E E  B j 1

)

)

y 1
 ... E E  ... B j

)

y 1
 ... E B j

)

x 1

 (AiB, ij

y 1
 ... E E  ... B j

)

.

 5

Sử dụng  4  để có đủ điều kiện hồn thành  5 
Điều kiện  e  là :
r

E  ... B j j

 y  1

(Ai , j

ri  x   x   1
 ... E

) Bi

 Ai i 

(Ai i 

y
d x ,x  B j

d x ,x

)

r

E  ... B j j

 y  1

((Ai , j

ri  x   1
 ... E

) Bi

x 

r

E  ... B j j

) Bi (Ai , j

 y  1

ri  x   1
 ... E

) Bi

Xuất phát từ phần tử đơn vị di  x,x   0, sau đó cho di  x,x   1 ta có:
r

E  ... B j j

(Ai , j

 y  1

ri  x   x  1

 ... E

) Bi

(Ai )

B jy
r

E  ... B j j

 Ai ((Ai , j

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

 y  1

ri  x  1
n  r x 
 ... Bi i i  

) Bi

x 

r

E  ... B j j

) Bi (Ai , j

 y  1

ni 1
 ... E

) Bi

,

SVTH: Lê Thị Hòa


21

Hoặc
r

E  ... B j j

 y  1

ri  x   x  1
 ... E

(Ai , j

) Bi

Do đó: (Ai )

B jy

(Ai )
r

E  ... B j j

 Ai (Ai , j

B jy

 y  1

ni 1
 ... E

) Bi

 y  1

ri  x   x  1
 ... E

) Bi

r

E ... B j j

 y  1

Ai (Ai , j

ni 1
 ... E

) Bi

.

.

 6

ni 1
 ...E

Và đặc biệt: Ai j  Ai AiB, ij
B

r

E ... B j j

 Ai Ai1 (Ai , j

 6  thoả mãn, sau đó áp dụng  4  khái quát: (Ai )

B jy

r

E  ... B j j

 Ai (Ai , j

 y  1

ni 1
 ... E

) Bi

.

Điều kiện  f  là:
x 1

((AiB, ij

y 1
 ... E B j  ... E Bkz

)

x 1

.(AEj ,i... Bi )

E  ... B jy 1 Bkz 1  ... E

) (Ak , j

B jy 1  ... E

z 1

.((ABj ,kk

)

 ... E

)

E  ... B jy 1

x 1

z 1

((AkE,i... Bi ) Bk
z 1

x

) Bi (AkB,ik

y

 ... E B j

) .

 ... E E  ... Bix 1

)

7 


 E.

0  x  n , 0  y  n , 0  z  n  .
i

j

k

Cho x  y  z  1 ta có:

7

AiB, kj Ak , j Ak ,ij Aj ,i AjB,ki Ai ,k  E.
B

Một lần nữa chúng ta thấy rằng  7  thoả mãn,  7  cũng được chứng minh thoả
mãn cho tất cả bộ ba  x, y,z  với 0  x  x; 0  y  y; 0  z  z.
Để một trong các số mũ, ví dụ như z có thể tăng lên 1 đơn vị (với điều kiện

z  1  nk ) chúng ta giả định:
E  ... B jy 1 Bix 1  ... E Bkz 1

((Ai , j

)

)

x 1

z 1

 ... E

z 1

x 1

 ... E Bk

.((AkE,i... Bi ) Bk
.((AiE,k... Bk ) Bi

E  ... B jy 1 Bkz  ... Bk

(Ak , j

)

x 1

B jy

) ) Bk .((AEj ,i ... Bi )
)

.

B jy 1  ... E

z 1

) Bk ((AEj ,k... Bk )

B jy 1  ... E B jy Bk

) )

 E Bk  E.

Do đó:

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Lê Thị Hòa


22

E  ... B jy 1 Bix 1  ... E Bkz 1

((Ai , j

)

)

x 1

z 1

.(AkE,i... Bi ) Bk
x 1

.AiB,ki

 ... E

y
 ... E B j

x 1

(AiB,ki

E  ... B jy 1 Bkz  ... Bk

(Ak , j

)

B y 1  ... E

) .Aj ,kj

 ... E Bk  ... Bkz

)

E  ... B jy 1

.Ak , j

x 1

((AEj ,i... Bi )

B jy 1  ... E Bk

x 1

B y 1  ... E Bk  ... Bkz Bix

) AkE,i... Bi ((Aj ,kj

)

)

 E.

Bây giờ bằng cách giả định:
B y 1 ... E

Aj ,kj

x 1

((AEj ,i... Bi )

B jy 1 ... E Bk

x 1

x 1

By

B y 1 ... E E ... Bix 1

) AkE,i... Bi  (AkE,i... Bi ) j (Aj ,ij

)

B y 1 ... E Bix

(Aj ,kj

) .

Đưa kết quả này vào phương trình cuối cùng ta được  7  cho ba biến  x, y,z  1 .
Bằng cách kết hợp các kết quả trong trường hợp ni triệt tiêu, chúng ta có được:
Định lý 3:
Các mối quan hệ Bi1 ABi  ABi ; Bini  Ai ; Bi B j  B j Bi Ai , j

i  j 

Cùng các mối quan hệ của A luôn luôn xác định mở rộng của A với các nhóm
Abel từ cơ sở ni  khi A thoả mãn các quan hệ:

 AA 

Bi

a

 ABi A Bi

n

i
 A 
 A 
 ABi    A1 AA 


i
 i

ABi  Ai

(ABi ) j  Ai, 1j (A j )Bi Ai , j
B

B

b
c

A

ni 1
 ...E

Ai j  Ai AiB, ij
B

AiB, kj Ak , j Ak ,ij Aj ,i AjB,ki Ai ,k  E
B

i 

i,j

Aj ,i  E   d 

e
f

j; j  k; k  i  .

Trong trường hợp này cả hai mối quan hệ xác định  b  và  e  để kiểm tra những
phương trình trong đó bao gồm trường hợp ni bị triệt tiêu.

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Lê Thị Hịa