SKKN rèn luyện kĩ năng cho học sinh qua giải toán tương giao của hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT TÂY HIẾU

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:
“RÈN LUYỆN KĨ NĂNG CHO HỌC SINH QUA GIẢI TỐN
TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ”

THUỘC MƠN: TỐN HỌC

Giáo viên: Phan Văn Đại - Lương Thị Lan Phương
Tổ: Tốn-Tin
Đơn vị: Trường THPT Tây Hiếu-Thị Xã Thái Hịa-Nghệ An

Năm học 2020 - 2021


Sáng kiến kinh nghiệm

A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Cơng cuộc Đổi mới căn bản, tồn diện giáo dục và đào tạo địi hỏi Giáo dục
phổ thơng phải có “ chuyển biến căn bản tồn diện về chất lượng và hiệu quả; góp
phần chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát
triển toàn diện cả về phẩm chất và năng lực” (Nghị quyết 88/2014/QH13 của Quốc
hội). Mục tiêu của chương trình giáo dục phổ thơng mới là giúp học sinh phát triển
tồn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát triển
năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt
Nam xã hội chủ nghĩa. Do vậy việc rèn luyện kĩ năng cho học sinh là một nhiệm vụ
quan trọng và cần thiết của người giáo viên. Học sinh cần có kĩ năng tốt mới có
khả năng vận dụng thành thạo các kiến thức để giải quyết các nhiệm vụ được giao.

Qua q trình đó mới dần hình thành phẩm chất và năng lực cần thiết của người
học.
Chủ đề hàm số là một nội dung cơ bản của chương trình tốn THPT. Trong
đó bài tốn về sự tương giao giữa các đồ thị hàm số là một trong những bài toán cơ
bản của nội dung này, thường xuất hiện trong các đề thi THPTQG, đề thi tốt
nghiệp, các đề đánh giá năng lực của các trường đại học…những năm gần đây.Tuy
nhiên nhiều học sinh chưa có kĩ năng quan sát bảng biến thiên, kĩ năng quan sát đồ
thị và thực sự chưa hiểu và nắm được cách giải các dạng bài liên quan tới sự tương
giao của hàm số, đặc biệt là các bài liên quan tới hàm hợp, các bài tốn chứa tham
số... Vì vậy khi đứng trước các bài tốn đó các em thường tỏ ra lúng túng, một số
thì hiểu mơ màng dẫn tới mất nhiều thời gian mới giải quyết được hoặc không giải
quyết được bài toán. Do vậy vấn đề đặt ra là cần phải rèn luyện kĩ năng giải toán
tương giao cho học sinh để giúp học sinh dễ dàng vận dụng được các kiến thức đã
học, khả năng quan sát, tư duy và kĩ năng phản xạ lựa chọn cách giải tối ưu để giải
quyết nhanh chóng bài tốn. Chính vì thế chúng tơi lựa chọn đề tài: “Rèn luyện kĩ
năng cho học sinh qua giải toán tương giao của hàm số”

2. Mục đích nghiên cứu
Trang 1


Sáng kiến kinh nghiệm

Mục đích rèn luyện kĩ năng cho học sinh khi giải một số dạng bài liên quan
tới sự tương giao của đồ thị các hàm số, thường gặp trong quá trình học tập, trong
các kì thi tốt nghiệp hay thi thử tốt nghiệp lớp 12.
3. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh lớp 12 và giáo viên THPT
Các bài toán tương giao của đồ thị hai hàm số từ đó rút ra một số kĩ năng cần
thiết cần rèn luyện cho học sinh

4. Phạm vi nghiên cứu
Bám sát nội dung chương trình Tốn THPT.
Mở rộng phù hợp với nội dung thi tốt nghiệp lớp 12.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí thuyết
Nghiên cứu SGK, sách giáo viên
Nghiên cứu tài tiệu tham khảo
Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy tại trường THPT Tây Hiếu
Qua dự giờ đồng nghiệp, qua học hỏi kinh nghiệm của các thầy cô đi trước
Qua trao đổi với học sinh để tìm hiểu nhũng khó khăn, qua các bài kiểm tra,
qua các hình thức đánh giá và vở bài tập của học sinh

Trang 2


Sáng kiến kinh nghiệm

B. PHẦN NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận và cở thực tiễn của đề tài
1.1. Cơ sở lý luận
a) Khái niệm kĩ năng
Theo tác giả Đặng Thành Hưng, kỹ năng là một dạng hành động được thực hiện
tự giác dựa trên tri thức về công việc, khả năng vận động và những điều kiện sinh
học – tâm lí khác của cá nhân (tức chủ thể của kỹ năng đó), như nhu cầu, tình cảm,
ý chí, tính tích cực cá nhân... để đạt được kết quả theo mục đích hay tiêu chí đã
định, hoặc mức độ thành cơng theo chuẩn mực hay quy định.
Nhà tâm lý học người Liên Xô L.D.Leviton cho rằng “Kỹ năng là sự thực hiện
có kết quả một động tác nào đó hay một hoạt động phức tạp hơn bằng cách lựa
chọn và áp dụng những cách thức đúng đắn, có tính đến những điều kiện nhất
định”. Theo ơng, người có kỹ năng hành động là người phải nắm được và vận dụng

đúng đắn các cách thức và quy tắc nhằm thực hiện hành động có kết quả. Ơng cũng
cho rằng con người có kỹ năng không chỉ nắm lý thuyết về hành động mà còn phải
vận dụng vào thực tế.
Theo tác giả Vũ Dũng thì kỹ năng là năng lực vận dụng có kết quả tri thức về
phương thức hành động đã được chủ thể lĩnh hội để thực hiện những nhiệm vụ
tương ứng.
Tác giả Thái Duy Tuyên định nghĩa kỹ năng là sự ứng dụng kiến thức trong hoạt
động. Mỗi kỹ năng bao gồm một hệ thống thao tác trí tuệ và thực hành mà nếu thực
hiện trọn vẹn hệ thống thao tác này sẽ đảm bảo đạt được mục đích đặt ra cho hoạt
động. Điều đáng chú ý là việc thực hiện một kỹ năng luôn luôn được kiểm tra bằng
ý thức, nghĩa là khi thực hiện bất kỳ một kỹ năng nào đều nhằm vào một mục đích
nhất định.
Nhìn chung, các tác giả đều cho rằng kỹ năng là quá trình áp dụng những tri
thức đúng đắn mà một cá nhân tích lũy được để thực hiện mục tiêu đã đề ra.
b) Kĩ năng học tập mơn tốn
Trong tâm lý - giáo dục, người ta thường chia kĩ năng học tập cơ bản thành bốn
nhóm: kĩ năng nhận thức, kĩ năng thực hành, kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức
và kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá.
Trang 3


Sáng kiến kinh nghiệm

*) Kĩ năng nhận thức
+) Kĩ năng nắm vững khái niệm
+) Kĩ năng nắm vững định lí
+) Kĩ năng vận dụng các quy tắc
+) Kĩ năng dự đoán và suy đoán
*) Kĩ năng thực hành
+) Hoạt động giải tốn

+) Kĩ năng tốn học hóa tình huống thực tiễn
*) Kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức
*) Kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá
1.2.Cơ sở thực tiễn
a) Thực trạng của việc rèn luyện kĩ năng cho học sinh khi giải toán tương giao
Các bài toán về sự tương giao của hàm số xuất hiện một cách thường xuyên
trong các đề thi THPTQG và đề thi tốt nghiệp 12, bài tập mức độ nhận biết thơng
hiểu cũng có mà ở mức độ vận dụng và vận dụng cao cũng có. Ngồi ra sự tương
giao cịn được lồng ghép trong q trình giải tốn về cực trị hàm số, về sự đồng
biến nghịch biến của hàm số…và rất nhiều các dạng toán khác. Tuy nhiên qua kết
quả khảo sát kiểm tra trước khi áp dụng đề tài với 35 học sinh tơi thấy kết quả tiếp
thu về giải tốn tương giao của hàm số như sau:
Điểm dưới 5

Điểm từ 5-6

Điểm từ 6-8

Điểm từ 8-10

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

14

40

11

31,1

7

20

3

8,9

Một trong những nguyên nhân dẫn tới khó khăn trên của học sinh đó là:
+) Học sinh chưa nắm vững kiến thức về sự tương giao của hàm số. Trong
q trình giải tốn chưa nắm được bản chất số nghiệm của phương trình chính là
bằng số giao điểm của đồ thị hai hàm số.

Trang 4

Sáng kiến kinh nghiệm

+) Một số học sinh còn hạn chế trong việc quan sát và đọc số liệu “ biết nói”
trong bảng biến thiên của đồ thị hàm số
+) Khi giải các bài toán tương giao chứa tham số thì việc xác định điều kiện
có nghiệm, có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước của phương trình cịn mơ
màng, chưa chính xác.
+)Khi giải các bài tốn tương giao liên quan tới hàm hợp thì kĩ năng tìm điều
kiện cho biến mới khi đổi biến, kĩ năng giải phương trình lên quan tới biến mới, kĩ
năng vận dụng mối liên hệ giữa biến mới và biến cũ, giữa biến mới với đồ thị, bảng
biến thiên đã cho còn hạn chế. Do đó học sinh gặp khó khăn trong việc lập bảng
biến thiên hay vẽ đồ thị của hàm số đặc biệt là các hàm số cho ở dạng hàm hợp,
khó khăn trong việc quan sát bảng biến thiên, đồ thị để tìm ra kiến thức cần sử
dụng.
b) Giải pháp
Củng cố khắc sâu lí thuyết về sự tương giao của hàm số, hệ thống lại các
kiến thức có liên quan như kiến thức về phương trình bậc hai, phương rình bậc ba,
điều kiện có nghiệm …Bên cạnh đó rèn luyện kĩ năng vẽ và đọc bảng biến thiên
hay đồ thị của hàm số.
Đặc biệt, với các bài toán tương giao của hàm hợp chúng tôi chú trọng việc
rèn kĩ năng ghép trục tọa độ trong các bài toán hợp để giải nhanh một số bài tốn
đó.
Với mỗi dạng bài tập giáo viên chọn một vài ví dụ điển hình để phân tích và
hướng dẫn học sinh tìm ra cách giải và chọn ra cách giải tối ưu cho bài toán. Từ đó
đưa ra hệ thống bài tập tương tự dưới hình thức trắc nghiệm nhằm củng cố kiến
thức, giúp học sinh hiểu rõ và nắm chắc phương pháp giải
Tổ chức kiểm tra đánh giá sau mỗi chủ đề nhằm đánh giá khả năng tiếp thu
và vận dụng kiến thức cũng như các năng lực cần hình thành của học sinh để rút ra
phương pháp phát huy điểm mạnh khắc phục điểm yếu cho học sinh.

Trang 5


Sáng kiến kinh nghiệm

II. Những kĩ năng cần rèn luyện cho học sinh qua việc giải toán tương giao của
hàm số
II.1. Rèn kĩ năng giải toán tương giao của hàm số thông qua đồ thị, bảng biến
thiên cho trước.
1. Kĩ năng tìm số nghiệm của phương trình af ( x)  b  0 , a f ( x)  b  0,...
Kiến thức trọng tâm:
+ Cho hàm số

y  f  x

C
y  g  x
C
có đồ thị là  1  ; hàm số
có đồ thị là  2 

C
C
Số giao điểm của 2 đồ thị  1  và  2  chính là số nghiệm của phương trình hồnh
f x  g  x
độ giao điểm:  
và ngược lại

Phương pháp:
Để tìm số nghiệm của phương trình af ( x)  b  0, a f ( x)  b  0,... bằng

phương pháp bảng biến thiên, hoặc đồ thị hàm số ta làm như sau:
+) Đưa phương trình về dạng

f ( x) 

b
b
f ( x) 
a hoặc
a ,…

+) Lập bảng biến thiên hoặc vẽ đồ thị của hàm số y  f ( x ) , y  f ( x) ,…
+) Dựa vào BBT, hoặc đồ thị hàm số và giả thiết để đưa ra kết luận
Kĩ năng cần rèn luyện:
Rèn luyện cho sinh kĩ năng vận dụng kiến thức về sự tương giao để tìm số
nghiệm của phương trình
Rèn luyện cho học sinh kĩ năng quan sát bảng biến thiên, đồ thị hàm số để
tìm số giao điểm của đồ thị hàm số

y  f  x , y  f  x

Rèn kĩ năng vẽ đồ thị hàm số
hàm số

y  f  x

Ví dụ 1: Cho hàm số

y  f  x

y  f  x

…với đường thẳng y=k

khi biết bảng biến thiên hay đồ thị

có bảng biến thiên sau
Trang 6


Sáng kiến kinh nghiệm

Tìm số nghiệm phương trình

2 f  x  1  0

Hướng dẫn
Ta có, phương trình

1
2.

2 f  x  1  0 � f  x  

1
2 bằng số giao điểm
Khi đó số nghiệm phương trình
1
y
y  f  x

2.
của đồ thị hàm số
và đường thẳng
f  x 

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đường thẳng
hàm số
trình

y  f  x

2 f  x  1  0

y

1
2 và đồ thị

có 4 giao điểm phân biệt. Do đó, phương
có 4 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 2: Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị như hình vẽ.
Tìm số nghiệm thực của phương trình 2 f ( x )  5  0 là
Hướng dẫn
Ta có, phương trình

2 f  x  5  0 � f  x 

Khi đó số nghiệm phương trình
y  f  x

và đường thẳng

y

f  x 

5
2.

5
2 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

5

2.
y

5

  có 1 giao
2 và đồ thị hàm số
Dựa vào đồ thị, ta thấy đường thẳng
điểm phân biệt. Do đó, phương trình 2 f ( x)  5  0 có 1 nghiệm phân biệt.
y f x

Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số là đường cong trong hình vẽ . Tìm
Trang 7

Sáng kiến kinh nghiệm

số nghiệm của phương trình

2 f  x  3

Hướng dẫn
Ta có, phương trình

2 f  x  3 � f  x 

Khi đó số nghiệm phương trình
y  f  x

và đường thẳng

y

3
2.

2 f  x  3

bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

3

2.
3

2 và đồ thị hàm số
2 f  x  3

Dựa vào đồ thị, ta thấy đường thẳng
điểm phân biệt. Do đó, phương trình

y

y  f  x

có 4 giao

có 4 nghiệm phân biệt.

Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau

Trang 8


Sáng kiến kinh nghiệm

Số nghiệm thực của
trình

phương

3 f ( x)  5  0

là

A. 0.

B.
C. 1.

Bài tập 2: Cho hàm số

Phương trình

f  x  0

y  f  x

2.

D. 3.

có đồ thị như sau

có bao nhiêu nghiệm?

A. 0 .B. 2 .
Bài tập 3: Cho hàm số

D. 1 .

C. 3 .
y  f  x

có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình
A.6.
B. 4 .

2 f  x  1  0

là
C. 2 .

D. 3 .

2. Kĩ năng tìm tham số m để phương trình af ( x)  bg (m)  0 ,
a f ( x)  bg (m)  0 có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp:
Để tìm số nghiệm của phương trình af ( x)  bg (m)  0, a f ( x)  bg ( m)  0,...
bằng phương pháp bảng biến thiên, hoặc đồ thị hàm số ta làm như sau:

Trang 9


Sáng kiến kinh nghiệm

+) Đưa phương trình về dạng

f ( x) 

bg (m )
bg (m)

f ( x) 
a
a ,…
hoặc

+) Lập bảng biến thiên hoặc vẽ đồ thị của hàm số y  f ( x ) , y  f ( x) ,…
+) Dựa vào BBT, hoặc đồ thị hàm số và giả thiết để đưa ra kết luận cho tham
số m
Kĩ năng cần rèn luyện:
Ngoài những kĩ năng cần rèn luyện cho học sinh trong phần 1 (trang5) ta
cần rèn luyện thêm cho học sinh khả năng biện luận, dự đốn, phân tích các kết quả
bg (m)
y
a
xảy ra khi đường thẳng
thay đổi
Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình
2 x3  6 x  2m  0 có hai điểm phân biệt?
Hướng dẫn:
3
3
Ta có 2 x  6 x  2m  0 �  x  3x  m  1

x 1
�
f�
x   3 x 2  3  0 � �

x  1
�

Xét hàm số f  x    x  3x  C  .Ta có
3

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm số
f  x    x3  3x  C 

giao đường thẳng y  m tại hai điểm phân biệt. Do đó m  2 hoặc
m  2 . Vậy chỉ có một giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài tốn.
Ví dụ 5: Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên � và có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả
các giá trị của tham số m để phương trình f ( x)  m  0 có nghiệm duy nhất lớn hơn
2.

Trang 10


Sáng kiến kinh nghiệm

Hướng dẫn
Ta có f ( x)  m  0  
Xem phương trình   là phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số
(C) : y  f ( x) và đường thẳng d : y  m . Số giao điểm của (C) và d là số nghiệm của

  . Dựa vào đồ thị hàm số, yêu cầu bài toán

  xác định trên
Ví dụ 6: Cho hàm số
định và có bảng biến thiên như sau:
y f x

� m  4 .

�\  0

, liên tục trên mỗi khoảng xác

f x m
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình  
có hai nghiệm thực phân biệt?

Hướng dẫn:
Phương trình

f  x  m

có 2 nghiệm phân biệt � đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm

m � �; 1 � 2
số y  f  x  tại hai điểm phân biệt. Dựa vào bảng biến thiên �
.

Ví dụ 7: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số là đường cong trong hình vẽ . Tìm
tất cả các giá trị thực của

m

để phương trình

f  x  m

có 4 nghiệm phân biệt.

Trang 11


Sáng kiến kinh nghiệm

Hướng dẫn:
�
�f  x  khi
f  x  �
 f  x  khi
�
Ta có :

Suy ra, đồ thị hàm số

f  x  �0

f  x  0

y  f  x

.

gồm 2 phần:

Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y  f  x  ở phía trên trục Ox .
Phần 2: Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị hàm số y  f  x  phía dưới trục Ox .
Số nghiệm của phương trình
và đường thẳng y  m .

f  x  m

là số giao điểm của đồ thị hàm số

y  f  x

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi 0  m  4 .
Ví dụ 8: Hình vẽ sau là đồ thị của một hàm trùng phương
y = f ( x) . Tìm giá trị của m để phương trình f  x   m có

4 nghiệm phân biệt
A. m  0; m  3.

B. 1  m  3.

C. 3  m  1.

D. m  0.
Trang 12


Sáng kiến kinh nghiệm

Hướng dẫn
Đồ thị hàm số

y = f ( x)

như hình vẽ

Số nghiệm phương trình
và đường thẳng y = m .

f ( x) = m

bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình
và chỉ khi m = 0 hoặc m = 3 .

f  x  m

y = f ( x)

có 4 nghiệm phân biệt khi

Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Cho hàm số
phương trình

A. 3.

y  f  x

f  x   2m  1  0

có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị m dương để

có hai nghiệm là

B. 2.

C. 1.

D. 0.

Bài tập 2: Cho đồ thị của hàm số y  f  x  như hình vẽ. Tìm số giá trị nguyên của
m để phương trình f  x   m có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Trang 13


Sáng kiến kinh nghiệm

A. 0 .

B. 3 .

C. 1 .

Bài tập 3: Cho hàm số

y  f  x

D. 2 .

có đồ thị như đường cong trong hình vẽ dưới đây.

f  x 1  m
Tìm giá trị của tham số m để phương trình

có 6 nghiệm phân biệt?

A. 4  m  5

B. m  5

C. 0  m  4

D. 4  m  3

II.2. Rèn kĩ năng giải tốn tương giao của hàm số thơng qua hàm số cho
trước.
1. Kĩ năng tìm số giao điểm, tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị y  f ( x) và
y  g ( x)
Phương pháp:
+) Lập phương trình hồnh độ giao điểm: f  x   g  x  (1)
+) Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm
+ Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đồ thị
Kĩ năng cần rèn luyện:
Rèn luyện cho học sinh kĩ năng lập phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ
thị, kĩ năng giải phương trình để tìm ra tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
3
Ví dụ 9: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y  x  3x  3 và đường thẳng y  x .

Trang 14


Sáng kiến kinh nghiệm

Hướng dẫn:

�
�
x 1
�
1  13
��
x

�
2
�
1  13
�
x
3
3
�
2
Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x  3x  3  x � x  4 x  3  0 �
.

Vậy đồ thị hai hàm số có ba giao điểm.
3
2
3
2
Ví dụ 10: Đồ thị hàm số y  x  3x  1 và đồ thị hàm số y  x  3x có bao nhiêu
giao điểm?

Hướng dẫn

3
2
3
2
Phương trình hồnh độ giao điểm x  3x  1  x  3x . Phương trình này vơ nghiệm
nên hai đồ thị khơng có giao điểm.

4
2
Ví dụ 11: Đồ thị hàm số y   x  2 x  3 và trục hồnh có bao nhiêu điểm chung?
Hướng dẫn

Phương trình hồnh độ giao điểm:

 x 4  2 x 2  3  0 �  x 2  1 ( x 2  3)  0 � x 2  3 � x  � 3

.

Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.
Ví dụ 12: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số
Hướng dẫn

y  x4  5x2  5

và đường thẳng y  1

Xét phương trình hồnh độ giao điểm:
�
�
�

x4  5x 2  5  1
x 4  5x 2  4  0
x 2  4 �x 2  1
x  5 x  5  1 � �4
� �4
� �2
x  5 x 2  5  1 �
x  5x 2  6  0
x  3 �x 2  2
�
�
x  2 �x  2 �x  1 �x  1
�
��
x  3 �x   3 �x  2 �x   2
�
4

2

Vậy có 8 giao điểm

Trang 15


Sáng kiến kinh nghiệm
4
2
y  f  x 1
Ví dụ 13: Cho hàm số y  f  x   x  2 x . Tìm số giao điểm của đồ thị

và đường thẳng y=3:
Hướng dẫn:

f  x  1   x  1  2 x  1   x  1  2  x  1
4

Ta có:

y  f  x 1 

2

và đường thẳng

4

y3

2

. Do đó số giao điểm của đồ thị

là nghiệm của phương trình:

2
�
 x  1  1
f  x  1   3  0 �  x  1  2  x  1  3  0 � �
�
2

�
�x  1  3  0
4

2

x0
�
�
x  2
�

.

Vậy có 2 giao điểm.

4
2
Ví dụ 14: Cho hàm số y  f  x    x  3x . Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số

y  f  x  2

và đường thẳng y  4

Hướng dẫn
Xét phương trình hồnh độ giao điểm
�   x  2  3 x  2
4

2

f  x  2   4

.

2
�
�x  2   1  0 �x  4 �x  4 �x  4
 4 �
��
��
2
�
x0
x

0
�
�
x

2

4


�

.


 và đường thẳng y  4 bằng số
Ta có số giao điểm của đồ thị hàm số
nghiệm của phương trình hồnh độ giao điểm. Vậy có 3 giao điểm.
y  f x 2

Ví dụ 15: Gọi
số

y

M, N

2x  4
x  1 . Tìm

lần lượt là giao điểm của đường thẳng

y  x 1

và đồ thị hàm

hoành độ của trung điểm I của đoạn thẳng MN .

Hướng dẫn
Phương trình hồnh độ giao điểm:
Hồnh độ của

M , N là

x 1 

2x  4
x 1

 x �1

1
các nghiệm của phương trình   nên theo định lý Viet:

xM  xN  2

Trang 16


Sáng kiến kinh nghiệm

Suy ra hoành độ của trung điểm I của đoạn thẳng MN là:
Ví dụ 16: Cho hàm số

y

x 1
x 1

xI 

C
có đồ thị   và đường thẳng

xM  xN
1
2
.
d : 2x  y 1  0 .

Biết d

C
M x ;y ; N x ;y
cắt   tại 2 điểm phân biệt  1 1   2 2  . Tính y1  y2 .

Hướng dẫn
Phương trình hồnh độ giao điểm:
Hồnh độ của

M , N là

2x 1 

x 1
 x �1 � 2 x 2  4 x  0
x 1

 1

1
các nghiệm của phương trình   nên theo định lý Viet:

x1  x2  2 Suy ra y1  y2   2 x1  1   2 x2  1  2

.

2. Kĩ năng tìm tham số m để đồ thị hai hàm số y  f ( x, m) và y  g ( x, m) cắt
nhau tại n điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Để tìm điều kiện của tham số m sao cho đồ thị hai hàm số cắt nhau thỏa mãn
điều kiện cho trước thì học sinh vẫn phải vận dụng kiến thức dùng phương trình
hồnh độ giao điểm sau đó biến đổi phù hợp với yêu cầu bài tốn cần hướng tới.
Với mục đích khắc sâu và nâng cao khả năng vận dụng kiến thức khi giải toán
tương giao của hàm số tác giả chia làm ba loại hàm thường gặp: hàm số bậc ba,
hàm số trùng phương và hàm số bậc nhất trên bậc nhất
Ngoài ra học sinh còn phải biết vận dụng kiến thức về điều kiện có nghiệm
của phương trình bậc hai, điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện
cho trước, kĩ năng vận dụng kiến thức hình học vào giải tốn như: tọa độ trung
điểm của đoạn thẳng, diện tích tam giác, tích vơ hướng…,và kĩ năng vận dụng kiến
thức về cấp số cộng, cấp số nhân để giải toán
2.1. Kĩ năng tìm tham số m trong bài tốn tương giao đồ thị hàm số bậc ba
Phương pháp giải toán tương giao đồ thị của hàm số bậc ba
+) Lập phương trình hồnh độ giao điểm
3
2
Phương trình hồnh độ giao điểm được đưa về dạng ax  bx  cx  d  0  1 .

Để giải bài toán về tương giao của đồ thị hàm bậc ba với đường thẳng,
parabol hoặc đồ thị hàm bậc ba khác về ngun tắc ta sẽ xét phương trình hồnh
Trang 17


Sáng kiến kinh nghiệm

độ giao điểm (với bậc cao nhất là bậc ba). Tuy nhiên, trong chương trình phổ
thơng thì phương trình bậc ba khơng được học cách giải tổng quát, do đó có nhiều
bài phải dùng đến những kĩ thuật khác nhau xoay quanh các phương pháp: nhẩm
nghiệm hữu tỉ của phương trình bậc ba, dựa vào hình dạng đồ thị và cực trị hàm
bậc ba,… sao cho phù hợp.
Đối với những bài tốn có chứa tham số, thì ta nên áp dụng các cách giải theo các
thứ tự ưu tiên sau:
Giải pháp thứ nhất: Biết được  1 có một nghiệm x   . khi đó
x 
�
�� 2
a1 x  b1 x  c1  0
�
ax3  bx 2  cx  d  0 �  x    a1 x  b1 x  c1  0





2

2
Tùy yêu cầu mà ta có điều kiện tương ứng của phương trình a1 x  b1 x  c1  0 .

Giải pháp thứ hai: Không biết được nghiệm của  1 nhưng có thể cơ lập biến số và
tham số về 2 vế của phương trình rồi lập BBT của hàm số chứa biến đã được cơ
lập. Quan sát BBT sẽ nhìn thấy điều kiện để phương trình thỏa mãn yêu cầu.
3
2
Giải pháp thứ ba: Hàm số f  x   ax  bx  cx  d có các điểm cực trị là số đẹp, khi

đó ta có

+)  1 có 1 nghiệm � f  x  khơng có cực trị hoặc có cực trị thỏa mãn fCD . fCT  0 .
+)  2  có 2 nghiệm phân biệt � f  x  có cực trị thỏa mãn fCD . f CT  0 .
+)  2  có 3 nghiệm phân biệt � f  x  có cực trị thỏa mãn f CD . fCT  0 .
Giải pháp thứ tư: Hàm số f  x   ax  bx  cx  d có các điểm cực trị là số lẻ, khi đó
ta sử dụng tới đường thẳng đi qua hai điểm cực trị và kết hợp với định lý Viet để
3

2

tính fCD . fCT .
Tóm tắt các dạng cụ thể.
*) Phương trình  1 có một nghiệm (H.1).
2
Phương trình a1 x  b1x  c1  0 vơ nghiệm hoặc có 1 nghiệm kép trùng  .

Trang 18


Sáng kiến kinh nghiệm

Hoặc hàm số

y  f  x

Hoặc hàm số

khơng có cực trị

y  f  x

�f '  x  �0, x ��
��
�f '  x  �0, x ��

có cực đại, cực tiểu và fCD . fCT  0

*) Phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt (H.2)
2
Phương trình a1 x  b1x  c1  0 có nghiệm kép khác  .
2
Hoặc a1x  b1x  c1  0 có 2 nghiệm phân biệt và có 1 nghiệm bằng  .

Hoặc hàm số

y  f  x

có cực đại và cực tiểu thỏa mãn fCD . fCT  0

*) Phương trình  1 có ba nghiệm phân biệt (H.3)
2
Phương trình a1 x  b1x  c1  0 có nghiệm kép khác  .

Hoặc hàm số

y  f  x

có cực đại và cực tiểu thỏa mãn f CD . f CT  0

*) Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ
dương.
 Phương trình (1) có 3 nghiệm dương phân biệt.
Trang 19


Sáng kiến kinh nghiệm
2
� x    0 và phương trình a1 x  b1x  c1  0 có 2 nghiệm phân biệt dương khác  .

�f CD . fCT  0
�
�xCD  0, xCT  0
�
af 0  0
y  f  x
Hoặc hàm số
có cực đại và cực tiểu thỏa mãn �  

*) Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ âm.
 Phương trình (1) có 3 nghiệm âm phân biệt.
2
� x    0 và phương trình a1 x  b1 x  c1  0 có 2 nghiệm phân biệt âm khác  .

y  f  x

Hoặc

hàm số

mãn

�f cd . fct  0
�
�xcd  0, xct  0
�
af  0   0
�

có cực đại và cực tiểu thỏa

Đặc biệt: Trong bài tốn tương giao có chứa tham số và liên quan tới cấp số cộng,
cấp số nhân ta phải giả sử phương trình có ba nghiệm từ đó dùng phương pháp
đồng nhất hệ số để đưa ra mối liên hệ cần thết giữa ba nghiệm đó
Trang 20


Sáng kiến kinh nghiệm
3
2
Ví dụ 17: Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số  C  : y  2 x  3x  2m  1 cắt
trục hoành tại một điểm duy nhất.

Hướng dẫn
Ta có phương trình hồnh độ giao điểm của  C  và trục hoành là:

 1

2 x3  3x 2  2m  1  0 � 2 x 3  3x 2  2m  1.

(Nhìn vào phương trình hồnh độ giao điểm ta có thể cơ lập tham số nên ta dùng
giải pháp 2)

Số giao điểm của  C  và trục hồnh chính là số nghiệm của phương trình  1 .
�
Mặt khác số nghiệm của  1 chính là số giao điểm của đồ thị  C  của hàm số

y  2 x3  3x 2 với đường thẳng d m : y  2m  1 .
x0
�
2
�
y

6
x

6
x

0
�
�
3
2
x 1 .
�
Xét hàm số y  2 x  3x . Ta có

Bảng biến thiên:

�
Khi đó yêu cầu bài toán �  C  cắt d m tại 1 điểm duy

Ví dụ 18: Có bao nhiêu giá trị nguyên của

� 1
2m  1  0
m
�
��
�� 2
2m  1  1 �
�
m0
�
nhất

m ��
2019; 2019 �
�
�để

đồ thị hàm số

y  x 3  (m  2) x  1 cắt đường thẳng y  2x  1 tại một điểm duy nhất và thỏa mãn

hoành độ dương ?
Trang 21

Sáng kiến kinh nghiệm

Hướng dẫn
(Tương tự như ví dụ 17 ta có thể sử dụng giải pháp 2 cơ lập tham số m)
3
Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là: x  mx  2  0

Vì x  0 khơng là nghiệm của phương trình, nên phương trình tương đương với
m  x2 

2
x

 x �0 
f ( x)   x 2 

Xét hàm số

2 2 x 3  2
2
f '( x )  2 x  2 
x
x2
x với x �0 , suy ra
, f '( x)  0 � x  1

Bảng biến thiên:
�

x
f ' x 

0
+

+

�

f  x

�

1
0

�
-

-3
�

�

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy khơng có giá trị của m để đồ thị cắt trục hoành tại
một điểm duy nhất có hồnh độ dương.
Ví dụ 19: Tìm các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số
y  x 3  3mx 2  3m cắt đường thẳng y  3 x  2 tại ba điểm phân biệt.

Hướng dẫn
( Nhận thấy phương trình hồnh độ có một nghiệm đẹp x=1 nên ta dùng giải
pháp 1 để giải)
3
2
3
2
Phương trình hồnh độ giao điểm là x  3mx  3m  3 x  2 � x  3mx  3 x  3m  2  0

x 1
�
2
�
� ( x  1) �
x

(3
m

1)
x

3
m

2

0
�
�

�
�
x 2  (3m  1) x  3m  2  0
�
.
2
Đặt g ( x )  x  (3m  1) x  3m  2 .

Trang 22


Sáng kiến kinh nghiệm
3
2
Đồ thị của hàm số y  x  3mx  3m cắt đường thẳng y  3 x  2 tại ba điểm phân biệt
2
khi và chỉ khi phương trình x  (3m  1) x  3m  2  0 có hai nghiệm phân biệt khác 1

�
  9m 2  6m  9  0, m
�۹�
�g (1)  6m �0

m 0.

Vậy

m ��\  0 .

Ví dụ 20: Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số tham số m thuộc khoảng

 2020; 2020 

để

parabol

y  x 2  3x  2

cắt

đồ

thị

của

hàm

số

y  x  2 x  3m x  m  1 tại ba điểm phân biệt?
3

2

2

2

Hướng dẫn
( Trong ví dụ này ta đề cập tới giải pháp thứ 3 tức là hàm số trong vế trái của
phương trình hồnh độ có các điểm cực trị là số đẹp)
Phương trình hồnh độ giao điểm:
3
2
2
2
x3  2 x 2  3m 2 x  m 2  1  x 2  3 x  2 � x  3 x  3(1  m ) x  m  1  0
3
2
2
2
2
2
Đặt f ( x)  x  3x  3(1  m ) x  m  1 . Ta có f '( x)  3x  6 x  3(1  m ) .

x  1 m
�
f '( x)  0 � �
x  1  m . Ta có f (1  m)  2m3  2m 2 ; f (1  m)  2m3  2m 2 .
�
2
3
2
2
2
Parabol y  x  3 x  2 cắt đồ thị của hàm số y  x  2 x  3m x  m  1 tại ba điểm
3
2

2
2
phân biệt khi và chỉ khi phương trình x  3x  3(1  m ) x  m  1  0 có ba nghiệm
phân biệt

m �0
�
m �0
m  1
�
�
�� 3
� (m  1)(m  1)  0 � �
�
2
3
2
(2m  2m ).( 2m  2m )  0
m 1 .
�
� �f (1  m). f (1  m)  0
�

2020;2020 
Vì m nguyên thuộc khoảng 
nên
m � 2019; 2018;...; 3; 2 � 2;3;..; 2018; 2019

.

Vậy có tất cả 4036 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trang 23


Sáng kiến kinh nghiệm
3
2
Ví dụ 21: Cho hàm số y  x  3x   m  1 x  1 có đồ thị  C  . Tìm m để đường thẳng

d : y  x  1 cắt  C  tại ba điểm phân biệt P  0;1 ; M ; N sao cho bán kính đường tròn
5 2
ngoại tiếp tam giác OMN bằng 2 (với O là gốc tọa độ).

Hướng dẫn
( Ví dụ 21 lại sử dụng giải pháp 1, tuy nhiên học sinh còn phải biết vận dụng cơng
thức liên quan tới bán kính đường trịn ngoại tiếp,định lí Vi-ét để giải)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và d :
x  0 ( y  1)
�
�
�
x 3  3 x 2   m  1 x  1  x  1
x 2  3 x  m  0 (1)
�

(C ) cắt d tại ba điểm phân biệt � phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0
  9  4m  0
�
۹ 0

�2
� �0  3.0  m �0

m

9
4

(*)

Gọi M ( x1; x1  1), N ( x2 ; x2  1) với x1 , x2 là hai nghiệm phương trình (1).

Theo hệ thức Viet ta có:
Ta có:

SOMN 

�x1  x2  3
�
�x1 x2  m

. Khoảng cách từ O đến d là:

h

1
2

MN .OM .ON
1

MN .OM .ON
� MN .h 
� OM .ON  5
4R
2
4R

� (2 x12  2 x1  1)(2 x22  2 x2  1)  25 � 4( x1 x2 ) 2  4 x1 x2 ( x1  x2 )  2( x1  x2 ) 2  2( x1  x2 )  24

m0
�
� 4m(m  3)  0 � �
m  3 Đối chiếu (*) ta được m  3 .
�
3
2
C
Ví dụ 22: Cho hàm số y  x  3x  9 x  m có đồ thị  m  . Có tất cả bao nhiêu giá trị

C
của m để đồ thị  m  cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp
số cộng?

Hướng dẫn
Trang 24