SKKN phát triển tư duy sáng tạo và năng lực giải toán cho học sinh qua việc sử dụng bảng biến thiên thu gọn của hàm hợp

MỤC LỤC
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ..........................................................................................2
1. Lý do chọn đề tài...................................................................................................2
2. Mục đích nghiên cứu.............................................................................................2
3. Đối tượng nghiên cứu............................................................................................2
4. Phương pháp nghiên cứu......................................................................................2
PHẦN II: NỘI DUNG.............................................................................................3
1. Cơ sở lí luận ........................................................................................................3
2. Thực trạng...........................................................................................................4
3. Các biện pháp thực hiện.......................................................................................8
3.1 . Cơ sở lý thuyết..................................................................................................8
3.2 . Phương pháp bảng biến thiên thu gọn .............................................................10
3.3. Một số dạng toán.............................................................................................14
3.4. Phát triển bài toán tương tự..............................................................................30
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm....................................................................45
PHẦN III: KẾT LUẬN..........................................................................................47
1. Kết luận.............................................................................................................47
2. Kiến nghị............................................................................................................47
TÀI LIỆU THAM KHẢO.....................................................................................48

1


PHẦN MỘT: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Sáng tạo các phương pháp giải toán là vấn đề được đặt ra thường xuyên
trong quá trình dạy học, nhằm phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo cho học
sinh trong học tập góp phần nâng cao chất lượng dạy học đáp ứng yêu cầu về đổi
mới dạy học theo hướng phát triển phẩm chất và năng lực của học sinh.
Xuất phát từ thực tế giải toán và từ các phương pháp giải toán cơ bản, giáo
viên định hướng giúp học sinh tìm tịi, tự sáng tạo, rút ra được phương pháp tối ưu

giúp giải quyết vấn đề nhanh gọn, góp phần rèn luyện cho học sinh tính chủ động,
sáng tạo trong q trình học tập và ơn thi tốt nghiệp THPT quốc gia hiệu quả.
Những năm gần đây trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, đề thi tốt nghiệp
THPT quốc gia thường xuất hiện rất nhiều các bài toán hàm số liên quan đến hàm hợp,
lớp các bài tốn này thường là các bài tốn khó ở mức độ vận dụng, vận dụng cao.
Thực tế dạy học cho thấy đa số các em học sinh khi gặp dạng tốn này thì rất
khó khăn trong định hướng và tìm cách giải quyết triệt để khi chỉ sử dụng các kiến
thức cơ bản đã được học. Việc sáng tạo ra và sử dụng “Bảng biến thiên thu gọn”
thay thế cho phương pháp giải truyền thống dựa trên các kiến thức cơ bản là rất
hiệu quả trong giải bài thi trắc nghiệm, nó giúp học sinh rút ngắn được thời gian
trình bày, giảm bớt được sự rườm rà trong lý luận, giải quyết được nhiều dạng toán
liên quan như bài tốn cực trị, bài tốn tương giao, bài tốn tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất, bài toán đơn điệu của hàm số. Với những lí do trên chúng tơi quyết định
chọn đề tài “ Phát triển tư duy sáng tạo và năng lực giải toán cho học sinh qua
việc sử dụng bảng biến thiên thu gọn của hàm hợp” để nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nhằm phát triển cho học sinh về tư duy sáng tạo và năng lực giải tốn
thơng qua việc lựa chọn phương án tối ưu là sử dụng bảng biến thiên thu gọn để
giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số hợp, nhất là các bài toán hàm số mức
vận dụng, vận dụng cao thường xuất hiện trong kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia
hàng năm. Đây là điểm mới của vấn đề góp phần vào việc hình thành và phát triển
phẩm chất năng lực cho học sinh phù hớp với chương trình giáo dục phổ thơng
mới như hiện nay.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Sáng kiến kinh nghiệm có đối tượng nghiên cứu là vận dụng một số lý
thuyết về hàm số trong chương trình sách giáo khoa lớp 12 để giải quyết các bài

 ; số nghiệm của phương trình 
tốn cực trị của hàm số hợp 
khi biết hàm số f ( x) hoặc đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số f ( x) .

f u( x)

f u( x)   g ( m)

4. Phương pháp nghiên cứu.
Để trình bày đề tài, Chúng tôi đã sử dụng kết hợp nhiều phương pháp như:
2


- Nghiên cứu tài liệu, quan sát, điều tra cơ bản, thực nghiệm so sánh, phân
tích kết quả thực nghiệm, … phù hợp với mơn học thuộc lĩnh vực Tốn học.
- Trao đổi với các đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện.
PHẦN HAI: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU.
1. Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn của đề tài
Nghị quyết Hội nghị BCH Trung ương Đảng lần thứ tám (Khóa XI) về đổi
mới căn bản, tồn diện giáo dục và đào tạo nêu rõ: "Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ
phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động,
sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ
áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến
khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát
triển năng lực...."
Ở trường phổ thơng nói chung, việc dạy học mơn tốn để đáp ứng được yêu
cầu đổi mới trong giai đoạn hiện nay phải tập trung vào việc hình thành và phát
triển các năng lực chung cũng như các năng lực chuyên biệt của mơn tốn như:
Năng lực tư duy (gồm: tư duy lôgic; tư duy phê phán; tư duy sáng tạo; khả năng
suy diễn, lập luận tốn học), Năng lực tính tốn (gồm: năng lực sử dụng các phép
tính; năng lực sử dụng ngơn ngữ tốn; năng lực mơ hình hóa; năng lực sử dụng
cơng cụ, phương tiện hỗ trợ tính tốn).
Trong dạy học nói chung và dạy học mơn tốn nói riêng, việc giúp các em
cải tiến, sáng tạo ra phương pháp mới trên cơ sở kiến thức, tư duy vốn có của

chính các em là rất cần thiết. Từ thực tế ôn thi học sinh giỏi và ôn thi THPT Quốc
Gia ở nhà trường, tôi thấy rằng hầu hết học sinh đều gặp khó khăn khi giải các bài
tốn hàm số liên quan đến hàm hợp, đặc biệt là những câu hỏi ở mức độ vận dụng
và vận dụng cao, khi giải các bài tập này các em thường sử dụng phương pháp
truyền thống theo các bước cơ bản đã được học nên dẫn đến khơng kiểm sốt hết
các trường hợp và khả năng xẩy ra của bài toán do đó rất hoang mang. Vì vậy, để
giúp học sinh giải tốt các dạng tốn này thì phương pháp “Bảng biến thiên thu gọn
của hàm hợp” ra đời sẽ đáp ứng nhu cầu thực tiễn này.
Đề tài được tiến hành nghiên cứu trên cơ sở lý thuyết về hàm số, hàm số hợp
và các bài toán liên quan; nghiên cứu giải pháp rèn luyện tư duy sáng tạo và năng
lực giải tốn thơng qua ba vấn đề chính:
+ Sử dụng “Bảng biến thiên thu gọn của hàm hợp” để giải các bài toán cực
trị của hàm số.
+ Sử dụng “Bảng biến thiên thu gọn của hàm hợp” để giải các bài tốn liên
quan đến số nghiệm của phương trình.
+ Phát triển bài tốn tương tự thơng qua việc u cầu tìm tịi, mở rộng và
sáng tạo của học sinh.
3


2. Thực trạng của đề tài.
Để thực hiện được đề tài của mình, chúng tơi đã thực hiện khảo sát thực tế
như sau: Trong năm học 2020 – 2021 sau khi học sinh lớp 12 A1, 12 A2 mà chúng
tôi trực tiếp giảng dạy tại trường THPT Đô Lương 4 đã học hết chương I phần giải
tích lớp 12, tức là khi đã nghiên cứu khá đầy đủ về hàm số và các bài toán liên
quan nhưng chưa được tác động của đề tài nghiên cứu. Chúng tôi tiến hành cho
học sinh làm bài kiểm tra khảo sát 30 phút với 2 bài toán trắc nghiệm và yêu cầu
các em trình bày tự luận lời giải chi tiết, đề đánh giá như sau:
Câu 1: Cho hàm số bậc bốn
hàm số

g  x   f  x 3  3x 2 

y  f  x

có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị của

là

A. 5 .
B. 3 .
C. 7 .
(Trích câu 46 đề minh họa lần 1 năm 2020).
Câu 2. Cho hàm số

f  x

D. 11 .

có bảng biến thiên như sau:

� 5 �
0; �
�
2 �của phương trình f  sin x   1 là:
�
Số nghiệm thuộc đoạn
A. 7 .
B. 4 .
C. 5 .

D. 6 .

4


(Trích câu 46 đề minh họa lần 2 năm 2020).
Kết quả thu được với các mức điểm được tính tỉ lệ phần trăm như sau:
Điểm
1 – 2,5

3 – 4,5

5 – 6,5

7 – 8,5

9 – 10

Lớp 12A1( 41 HS )

1,8%

27%

51,2%

16,5%

3,5%

Lớp 12A2( 42 HS )

3,5%

31%

49,2%

14,5%

1,8%

Lớp

Để phân tích lý do có kết quả thấp như trên tơi xin trình bày một lời giải đúng
Câu 1:

Lời giải.
Ta có:

g�
 x    3x 2  6 x  f �
 x3  3x 2 

.

x0
�
�
x  2

�
�
3x 2  6 x  0
g�
��
x 3  3x 2  a,a  0
 x  0 � � 3
2
 x  3x   0 �x3  3x 2  b,0  b  4
�
�f �
�
�3
x  3 x 2  c,c  4
�
.
x0
�
�
h
x

0
�


�
3
2
2

�
x  2
�
Đặt h  x   x  3x .Ta có: h  x   3x  6 x .
.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta suy ra:
3
2
+) Phương trình: x  3x  a,a  0 : có 1 nghiệm đơn.
3
2
+) Phương trình: x  3x  b,0  b  4 : có 3 nghiệm đơn.

5


+) Phương trình: x  3x  b,0  b  4 : có 1 nghiệm đơn.
+) Mặt khác, x  0 và x  2 là 2 nghiệm đơn.
3

2

Suy ra số điểm cực trị của hàm số
Vậy chọn phương án C
Câu 2. Cho hàm số

f  x

g  x   f  x 3  3x 2 

là 7 .

có bảng biến thiên như sau:

� 5 �
0; �
�
f sin x   1
Số nghiệm thuộc đoạn � 2 �của phương trình 
là:

A. 7 .
B. 4 .
C. 5 .
(Trích câu 46 đề minh họa lần 2 năm 2020).
Lời giải.

D. 6 .

�
x  a � �; 1
�
x  b � 1; 0 
�
f  x  1 � �
x  c � 0;1
�

�
x  d � 1; �
�
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
.

�
sin x  a � �; 1  1
�
sin x  b � 1; 0   2 
�
f  sin x   1 � �
sin x  c � 0;1  3
�
�
sin x  d � 1; �  4 
�
Như vậy
.
� 5 �
sin x � 0;1 ,x ��
0; �
2 �nên phương trình  1 và phương trình  4  vơ
�
Vì
� 5 �
0; �
�
nghiệm. Ta cần tìm số nghiệm của
và

trên � 2 �.
� 5 �
� 5 �
g  x   sin x,x ��
0; �� g'  x   cos x,x ��
0; �
2
2 �.
�
�
�
Đặt

 2

 3

� 
x
�
g'  x   0 � cos x  0 � � 2
3
�
x
� 2 .
Cho
6


Ta có bảng biến thiên:

x

0

g'  x 


2

3
2
0

0

y  g  x

5
2
�

1

1
1

0

2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: phương trình  

� 5 �
0; �
�
có 2 nghiệm trên � 2 �,

� 5 �
0; �
�
3
phương trình   có 3 nghiệm trên � 2 �.

Vậy, phương trình đã cho có tất cả 5 nghiệm.
Những sai lầm của học sinh trong khi làm bài kiểm tra:
Câu 1: Kết quả cho thấy các em còn mắc phải các tồn tại sau:
Đa số học sinh đều biết chuyển nội dung yêu cầu bài toán về việc lập bảng
biến thiên của hàm số

g  x   f  x3  3x 2 

, tuy nhiên trong quá trình thực hiện lại

g�
 x    3x 2  6 x  f �
 x 3  3x 2   0

không triệt để lấy nghiệm của đạo hàm
giữa chừng lời giải bài toán.
Một số học sinh thì lấy được nghiệm của đạo hàm

nên bỏ dở

x0
�
�
x  2
�
�
3x 2  6 x  0
g�
��
x 3  3x 2  a,a  0
 x  0 � � 3
2
 x  3x   0 �x3  3x 2  b,0  b  4
�f �
�
�3
x  3 x 2  c,c  4
�

nhưng lại phân vân giữa các nghiệm thì có bao nhiêu nghiệm đơn, bao nhiêu
nghiệm bội chẵn, bội lẻ để suy ra số điểm cực trị.
Câu 2: Về cơ bản các em đều gặp phải khó khăn vướng mắc tương tự như
Câu 1 và cái khó khăn của hai bái tốn trên chính là việc tìm ra mối liênhệ giữa hai
f x
f u
bảng biến thiên của hàm   và hàm   . Để giải quyết dạng tốn này địi hỏi
học sinh phải có khả năng huy động kiến thức trung gian và năng lực tổng hợp,

điều này không dễ dàng đối với học sinh khá kể cả học sinh giỏi.
Từ những khó khăn trên và qua tiến hành khảo sát thực tiễn lấy ý kiến từ các
em học sinh của hai lớp 12 A1 và 12 A2, kết quả cho thấy đa số các em khơng
hứng thú, chỉ có 5% học sinh hứng thú với dạng tốn này. Chính những khó khăn
đó đã ảnh hưởng khơng nhỏ đến chất lượng và hứng thú học tập mơn tốn của các
em. Trong khi đó thực tế cho thấy trong đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia những

7


năm gần đây lại xuất hiện nhiều các dạng toán loại này, điều đó khơng thể khơng
làm cho các em lo lắng hoang mang trong quá trình học tập.
Trước thực trạng đó, là giáo viên trực tiếp giảng dạy các em tôi thường
xuyên trăn trở, suy nghĩ, nghiên cứu tư duy để làm sao sáng tạo ra các giải pháp
nhắm giúp các em học sinh chủ động, lấy lại sự tự tin, hứng thú khi giải các bài
toán liên quan đến hàm số hợp nói riêng và mơn tốn nói chung.

3. Các biện pháp thực hiện.
Từ những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý do chọn đề tài
và phần khảo sát thực tiễn, trong quá trình dạy học tại lớp 12A1, 12A2 năm học
2020 – 2021, tôi đã tiến hành thực hiện áp dụng đề tài theo trình tự sau:
+ Trang bị cho các em cơ sở lý thuyết của vấn đề; nguồn gốc nhu cầu cần
thiết đưa ra phương pháp “Bảng biến thiên thu gọn của hàm hợp” để giải các dạng
toán liên quan đến hàm hợp.
+ Rèn luyện kỹ năng và năng lực giải tốn thơng qua sử dụng “Bảng biến
thiên thu gọn của hàm hợp” để giải quyết bài toán cực trị và bài tốn về số nghiệm
của phương trình. Mỗi bài tốn được đưa vào sẽ được trình bày theo hai cách:
Cách 1: Sử dụng phương pháp tự luận truyền thống.
Cách 2: Sử dụng phương pháp “Bảng biến thiên thu gọn của hàm hợp”.
Qua đó, giúp học sinh so sánh để thấy được ưu điểm của phương pháp

“Bảng biến thiên thu gọn của hàm hợp” từ đó góp phần hình thành và phát triển
cho học sinh tư duy sáng tạo và năng lực giải toán.
+ Rèn luyện tư duy sáng tạo cho các em thông qua việc yêu cầu các em tự
sáng tạo và phát triển các bài toán tương tự.
+ Tiến hành khảo sát thông qua cho các em làm bài kiểm tra sau khi đã tác
động của đề tài để đối chứng kết quả khảo sát trước đó.
3.1 . Cơ sở lý thuyết.
Các kiến thức cơ bản:
Các kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài bao gồm các định nghĩa và tính
chất từ sách giáo khoa mà học sinh đã được học.
3.1.1. Các định nghĩa.
Định nghĩa 1: Cho hàm số f xác định trên K.
Hàm số

y  f  x

� f  x1   f  x2 

được gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu x1 ,x2 �K ,x1  x2

8


Hàm số y  f  x  được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu x1 ,x2 �K ,x1  x2
� f  x1   f  x2 

Định nghĩa 2: Cho hàm số

y  f  x

xác định và liên tục trên khoảng

 a;b  (có

x � a;b 
thể a là �; b là �) và điểm 0 
.

f x  f  x0 
x � x0  h; x0  h 
a. Nếu tồn tại số h  0 sao cho  
với mọi
và x �x0

thì ta nói hàm số

f  x

đạt cực đại tại x0 .

f x  f  x0 
x � x0  h; x0  h 
b. Nếu tồn tại số h  0 sao cho  
với mọi
và x �x0

thì ta nói hàm số   đạt cực tiểu tại x0 .
Định nghĩa 3: Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D.
f x

a. Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số

y  f  x

trên tập D nếu

f  x  �M

M  max f  x 
f x M
D
với mọi x thuộc D và tồn tại x0 �D sao cho  0 
. Kí hiệu

f x �m
b. Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x  trên tập D nếu  
m  min f  x 
f x m
D
với mọi x thuộc D và tồn tại x0 �D sao cho  0 
. Kí hiệu
.
3.1.2. Các tính chất.

Định lý 1: Cho hàm số
+ Nếu
+ Nếu

y  f  x

f�
 x   0,x �K

thì hàm số

f�
 x   0,x �K

Định lý mở rộng: Cho hàm số
Nếu

có đạo hàm trên K

f�
 x  �0,x �K

(hoặc

thì hàm số

y  f  x

y  f  x

y  f  x

đồng biến trên K
nghịch biến trên K

có đạo hàm trên K .

f�
 x  �0,x �K

) và

f�
 x  0

chỉ tại một số hữu hạn

  đồng biến (nghịch biến) trên K
điểm thì hàm số
Định lý 2: Giả sử hàm số f có cực trị tại điểm x0 . Khi đó, nếu f có đạo hàm tại
y f x

 x0   0.
x0 thì f �

Định lý 3: Giả sử hàm số
đạo hàm trên K hoặc trên

K \  x0 

liên tục trên khoảng

, với h  0 .

 x0  h; x0  và
x0 là một điểm cực đại của hàm số f  x  .

f' x 0
x  h; x0 
b. Nếu  
trên khoảng  0
và
x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f  x  .
a. Nếu

f '  x  0

y  f  x

trên khoảng

K   x0  h; x0  h 

và có

f '  x  0

trên khoảng

 x0 ; x0  h  thì

f '  x  0

trên khoảng

 x0 ; x0  h  thì

3.1.3. Một số mệnh đề.
Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên tập D . Ta có:

9


Mệnh đề 1: Số nghiệm của phương trình f ( x )  g( x ) bằng số giao điểm của hai
đồ thị hàm số y  f ( x ) và y  g( x )
Mệnh đề 2: Số nghiệm của phương trình f ( x )  m bằng số giao điểm của đồ thị
hàm số y  f ( x ) và đường thẳng y  m (cùng phương với trục ox ).
Mệnh đề 3: Phương trình f ( x )  m có nghiệm
3.1.4. Một số phép biến đổi đồ thị hàm số.

min f  x 
x�D

m

m ax f  x 
x�D

 C  . Đồ thị hàm số  C1  : y  f  x  a  được suy
C
C
ra từ đồ thị   bằng cách tịnh tiến đồ thị   theo phương trục hoành một đoạn
a
a
C
bằng . Nếu a  0 tịnh tiến đồ thị   qua phải
đơn vị và nếu a  0 tịnh tiến

C
đồ thị   qua trái a đơn vị.
- Cho hàm số

y  f  x

x �D

 

có đồ thị

 C  . Đồ thị hàm số  C2  : y  f  x   b được suy ra
C
C
từ đồ thị   bằng cách tịnh tiến đồ thị   theo phương của trục tung một đoạn
b
b
C
bằng . Nếu b  0 tịnh tiến đồ thị   xuống dưới đơn vị và nếu b  0 tịnh tiến
C
đồ thị   lên trên b đơn vị.
y  f  x
C
- Cho hàm số
có đồ thị   . Đồ thị hàm số
�
�f  x  khi x  0
( C3 ) : y  f  x   �
�f   x  khi x �0 được suy ra từ đồ thị hàm số  C  bằng cách:

- Cho hàm số

yf x

có đồ thị

+ Giữ nguyên phần đồ thị

C 

C
nằm bên phải trục Oy và bỏ phần   nằm bên trái Oy .

 C  nằm bên phải trục Oy qua Oy .
y  f  x
C
- Cho hàm số
có đồ thị   . Đồ thị hàm số
+ Lấy đối xứng phần đồ thị

�f ( x ) khi f ( x ) > 0
(C3 ) : y = f ( x ) = �
�
�
- f ( x ) khi f ( x ) �0
C
�
được suy ra từ đồ thị hàm số   bằng cách:

 C  nằm trên Ox .

 C  nằm dưới Ox
+ Lấy đối xứng phần đồ thị
+ Giữ nguyên phần đồ thị

C
qua Ox và bỏ phần đồ thị   nằm

dưới trục Ox.
3.2. Phương pháp bảng biến thiên thu gọn của hàm hợp.
Ta thường gặp các bái toán sau liên quan đến hàm hợp: Cho hàm số

y  f  x

xác định, liên tục trên � và có đồ thị (bảng biến thiên) của hàm số
y  f  x
hoặc y  f '  x  như hình vẽ cho trước. Tìm khoảng đồng biến (nghịch
biến), số cực trị của hàm số

g( x )  f �
u  x �
�
�, số nghiệm của phương trình

10


f�
u  x �
�
� k . Để giải quyết yêu cầu bài toán trên ta thường sử dụng phương pháp

y  g  x

truyền thống là lâp bảng biến thiên của

từ đó suy ra kết quả của bài

  khơng hề
toán. Tuy nhiên thực tế việc lập bảng biến thiên cho hàm số
đơn giản, khi đó tùy thuộc vào đặc điểm từng bài toán mà chúng ta sử dụng việc
đọc đồ thị để xét dấu của

g'  x 

yg x

một cách hợp lý, cụ thể ta xét ví dụ sau:

  xác định, liên tục trên �có đồ thị được
Ví dụ: Biết rằng hàm số
cho như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực tiểu của hàm số g( x )  f ( f ( x )) .
y f x

A. 5 .

B. 2 .

D. 6 .

C. 4 .
Lời giải

g'( x )  f �
( f ( x ))
 x . f �
Xét hàm số y  g ( x)  f ( f ( x)) , ta có:
;
x0
x0
�
�
�
�
�f �
x2
x2
 x  0
�
g'  x   0 � �
�
��
�f  x   0
�
x  a � 2; �
�
�
�f  x  �
� 0
�f �
�
�

x  b � a; �
�
�
�f  x   2
�

�
 x  0
�f �
��
�f  x  �
� 0 � y�
x � �; 0 
 0.
�
�f  x   0 � f �
Với
�
 x  0
�f �
��
�f  x  �
� 0
x � 0 ; 2 
� y�
0
�
�f  x   0 � f �

Với

.

�
 x  0
�f �
��
�
x � 2 ;a 
� y�
 0.
�f  x  �
� 0
�f  x   0 � f �
Với
�
 x  0
�f �
��
0  f  x  2 � f �
�
x � a ;b 
0
�f  x  �
� 0 � y�
�

Với

.

�
 x  0
�f �
��
�f  x  �
� 0 � y�
�f  x   2 � f �
 0.
�



Với
Ta có bảng biến thiên
x  b ;+

11


Dựa vào BBT suy ra hàm số y  g  x   f ( f ( x)) có hai điểm cực tiểu.
Nhận xét: Trong cách giải trên chúng ta thấy để lập được bảng biến thiên

 
của hàm số
thì phải phân chia xét các trường hợp rất phức tạp.
Điều này rất dễ làm cho các em nhầm lẫn, khơng kiểm sốt hết các trường hợp dẫn
đến tâm lý hoang mang, khơng n tâm khi giải tốn. Trước khó khăn đó chúng tơi
khơng khỏi băn khoăn trăn đê trở tìm hướng giải quyết dễ dàng hơn. Trước hết
y  g x  f ( f ( x ))

chúng tôi nghĩ tới việc đặt
của

y  f  u

u  f  x

và tiến hành các bước để lập bảng biến thiên

:

Bước 1: Đặt u  f ( x ) . Ta có hàm số trở thành y  f ( u )
u'  0
�
��
y'  u' . f '  u   0
�f '  u   0
Bước 2:
Từ đồ thị hàm số

y  f  x

ta suy ra:

�
u  f  0  0
x0
�
u '  f ' x   0 � �

�u'  0 � �
x2
u  f  2   4
�
�
+)
u0
�
f '  u  0 � �
u2
�
+)
x

Bước 3: Ta có bảng biến thiên:
�

u'  f '  x 

0

2

0

0

�
�

u  f(x)

2
�

y'  f '  u 

0



0

0



4
0



0



0


�

0

0

y  f (u )

4

4
12


�

 
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số
có hai điểm cực tiểu
Nhận thấy rằng ở trong BBT trên nếu ta bỏ đi hàng thứ 2 và hàng thứ 4 thì ta
được bảng biến thiên thu gọn:
y  g x  f ( f ( x ))

�

x

0

�

2

�

2
u  f(x)

0

0

4

�

�
0

0

y  f (u )

4

�

4

 
Và từ BBT thu gọn này ta cũng suy ra được hàm số

có 2
điểm cực tiểu. Điều này đã giúp chúng tôi nghĩ tới hướng giải quyết các câu hỏi
trắc nghiệm thuộc dạng toán này bằng phương pháp bảng biến thiên thu gọn, nhằm
giúp học sinh có phương pháp giải ngắn gọn và dễ dàng tiếp cận hơn so với
phương pháp giải tự luận truyền thống.
y  g x  f ( f ( x ))

Ta có quy trình lập bảng biến thiên thu gọn của hàm hợp:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm

g  f  u  x 

D   a1 ;a2  � a3 ;a4  �... � an 1 ;an 

Bước 2: Xét sự biến thiên của
trong bước 3 nếu nó đơn giản).

u  u  x

, giả sử ta được tập xác định

. Ở đây có thể là a1 ��;an ��.

và hàm y  f ( x ) (Bước 2 có thể làm gộp

Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa

�
x; u  u  x  �
�

�và

 u; g  f ( u ) .
x
u  u( x )

Bảng này thường có 3 dịng dạng:
a1

a2 ……

an 1

an

u1

…
u2 ……

un 1

un

b1

b2

…….

bk

…

g( b2 )

………

g( u2 )

g( u n )

…...
13


g  f  u( x )

g( b1 )
g( bk )

g( u1 )

g( un 1 )

Cụ thể các thành phần trong BBT như sau:
Dòng 1:

Xác định các điểm kỳ dị của hàm

u  u  x

, sắp xếp các điểm này theo thứ

tăng dần từ trái qua phải, giả sử như sau: a1  a2  ....  an1  an
( Các điểm kỳ dị của u  u( x ) gồm: Điểm biên của tập xác định D , các điểm cực
trị của

u  u  x

.

Nếu xét hàm
u  x  0

u  u  x

thì trong dịng 1 các điểm kỳ dị cịn có nghiệm của pt

(là hoành độ giao điểm của u  u( x ) với trục Ox ).

Nếu xét hàm

u  u x 

thì trong dịng 1 các điểm kỳ dị cịn có số 0 (là hoành

độ giao điểm của u  u( x ) với trục Oy )).
Dòng 2: Điền các giá trị

ui  u  ai 

với

 i  1,...,n 

Trên mỗi khoảng  ui ;ui 1  , i  1,n  1 cần bổ xung các điểm kỳ dị b1 ;b2 ;...;bk
của của hàm y  f ( x ) .
Trên mỗi khoảng  ui ;ui 1  , i  1,n  1 cần sắp xếp các điểm ui ;bk theo thứ tự
chẳng hạn:
ui  b1  b2  ...  bk  ui 1 hoặc ui  b1  b2  ...  bk  ui 1
u  u  x

(Có thể dùng thêm các mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của

.

( x ) không xác
Điểm kỳ dị của y  f ( x ) gồm: Các điểm tại đó f ( x ) và f �

định; các điểm cực trị hàm số y  f ( x ) .
Nếu xét hàm
của pt

f  x  0

g  f  u  x 

thì trong dịng 2 các điểm kỳ dị cịn có nghiệm

(là hồnh độ giao điểm của u  u( x ) với trục Ox ).

Nếu xét hàm



g  f u x 



thì trong dịng 2 các điểm kỳ dị cịn có số 0 (là

hoành độ giao điểm của y  f ( x ) với trục Oy )).
Dòng 3: Xét chiều biến thiên của hàm

g  f  u  x 

dựa vào BBT của hàm

y  f ( x ) bằng cách hốn đổi: u đóng vai trị của x ; f  u  đóng vai trị của f  x  .
g  f  u  x 

Sau khi hồn thiện BBT hàm hợp
hàm này.

ta thấy được hình dạng đồ thị

14

Bước 4: Dùng BBT hàm hợp
toán và kết luận.

g  f  u  x 

giải quyết các yêu cầu đặt ra trong bài

3.3. Một số dạng tốn.
Dạng 1: Tìm số điểm cực trị của hàm f  u( x )

 

yf x

Ta thường gặp dạng toán cơ bản: Cho hàm số
xác định, liên tục trên �
và biết đồ thị (bảng biến thiên) của hàm số y  f  x  hoặc y  f '  x  . Tìm số cực
trị của hàm số

g( x )  f �
�
u  x �
�
.

Để giải bài toán trên ta thường thực hiện theo các cách sau:
Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số

g( x )  f �

�
u  x �
�
và giải phương trình

u�
�
u  x �
 x . f �
�
� 0

�
u�
 x  0
�
u  x   x1
�
��
u  x   x2
�
�
u�
�
u  x �
...
 x . f �
�
�
� 0

� nghiệm xi .(i  1,..n )

Bước 2: Tìm các khoảng
f�
�
u  x �
�
� 0 ,u  x  � a;b 

 

 

f �x  0, f �x  0

. Giả sử

. Giải bất phương trình

f�
 x   0,x � a;b 

a  u  x  b

khi đó

.

Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng biến thiên thu gọn đã nêu trong mục 3.2.

Ví dụ 1: Cho hàm số bậc bốn
hàm số

y  f  x3  3x 2 

y  f  x

có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị của

là:

15


A. 5 .

B. 3 .
C. 7 .
D. 11 .
(Trích câu 46 đề minh họa lần 1-TN THPT năm 2020)
Lời giải.
Cách 1. (Phương pháp tự luận truyền thống)
Đã trình bày trong phần khảo sát thực trạng tại mục 2 phần II.
Cách 2. (Phương pháp bảng biến thiên thu gọn).
x0
�
u'  0 � �
3
2
2

x  2
�
Đặt u  x  3x ta có: u '  3 x  6 x ;
.

y  f  x
Gọi a, b, c là các điểm cục trị của hàm số
khi đó a  0  b  4  c

  ;
Và ta cũng có  
Ta có bảng biến thiên thu gọn:
f a  f c 0

x

u  x3  3x 2

�
�
�

a

y  f  u

b
f (b )

f  b  0

2
4

.

b
f (b )

0

0
0

b
f (b )

c

�
�
�

0

f(a)

f (c)



 có 7 điểm cực trị.
Từ bảng biến thiên ta suy ra
Vậy chọn đáp án C.
Từ 2 cách giải trên, ta thấy cách giải 2 ngắn gọn và trực quan hơn so với
cách giải 1 và phù hợp với phương pháp trắc nghiệm khách quan.
g  x   f x  3x
3

2

( x ) như
Ví dụ 2: Cho f ( x ) là hàm đa thức bậc 6 sao cho đồ thị hàm số y  f �
hình vẽ

16


y  g( x )  f  x 2  4 x  5 

Tìm số điểm cực trị của hàm số
.
A. 2 .
B. 5 .
C. 3 .
D. 1 .
(Trích đề thi thử trường chuyên Nguyễn Trãi tỉnh Hải Dương năm 2020)
Lời giải.
Cách 1: PP tự luận truyền thống

f �x

 Đầu tiên ta nhận xét tại x  3 và x  4 đồ thị   tiếp xúc trục Ox nên

ta có

x2
�
f�
x3
 x  0 � �
�
�
x4
�

 Ta có

trong đó x  3 , x  4 là nghiệm kép.

y  g( x )  f  x 2  4 x  5 

, nên

x  2
�
g�
 x    2x  4 f �
 x 2  4 x  5  0 � �f � x2  4 x  5  0
�
.
t2

�
f�
t 3
 t  0 � �
�
�
t 4
�
 Xét phương trình
,ta loại hai nghiệm t  3 và t  4 do

nghiệm kép không là điểm cực trị.
2
 Từ t  2 ; x  4 x  5  2 � x  1 �x  3 .

g x
 Tóm lại hàm số   có ba điểm cực trị là x  1; x  2; x  3 .
Cách 2: Phương pháp bảng biến thiên thu gọn

Đặt

u  x2  4 x  5

17


u�
 2x  4
u�
 0 � x  2 � u  1

Ttừ đồ thị hàm số

x

u  x2  4x  5

y  f '  x  ta có BBT thu gọn:

�
�
�

2
1

2

�
�
�

2

y  f  u
Từ BBT suy ra hàm số
Vậy chọn đáp án C.
Ví dụ 3: Cho hàm số

Hàm số

A. 5 .

y  f  x

y  g( x )  f  x 2  4 x  5 

.Hàm số

y f�
 x

có ba điểm cực trị.

có đồ thị như hình vẽ.

y  f  x 2  1

có bao nhiêu điểm cực trị?
B. 7 .
C. 4 .
D. 3 .
(Trích đề thi thử trường chuyên KHTN Hà Nội lần 3-2020)
Lời giải
Cách 1: Tự luận truyền thống
x0
�
�
x3  0
�2
x  1  1 �

y�
 2 xf �
��
x�2
 x 2  1 � y� 0 � �
�
x2  1  1
�
�2
x�5
�
x 1  4
�
Ta có
.
 0 có một nghiệm bội ba, bốn nghiệm đơn.
Hay y�


 có 5 điểm cực trị.
Vậy hàm số
Cách 2: Phương pháp bảng biến thiên thu gọn.
2
Đặt u  x  1
y  f x2  1

Ta có

u�
 x   2 x u�

 x  0 � x  0

Hàm số
x

;

y  f  x  1
2

Từ đồ thị hàm số

u  x2  1

�
�
�

trở thành hàm số:

y  f  x
4

.

y  f  u

ta có bảng biến thiên thu gọn:
1

0
1

1

4

�
�
�
18


y  f  u
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số
Ví dụ 4: Cho hàm số bậc ba

y  f  x

Tìm số cực trị của hàm số
A. 5.
B. 8.

y  f  x 2  1

có 5 điểm cực trị.

có đồ thị như hình vẽ.

g  x   f  x2  2 x 

C. 6.

D. 7.

Lời giải.
Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống
y  g  x

Số cực trị của hàm số

bằng số nghiệm phương trình

cộng với số cực trị (khác các nghiệm ở (*)) của hàm số
Từ đồ thị của hàm số

y  f  x

f  x2  2x   0

y  f  x  2x 
2

(*)

.

ta có

�

x  2 x=0
x  2 �x  0
�
�
�
f  x2  2 x   0 � �
x 2  2 x=a � 2; 1 � �
x ��
�2
�
x  x1 �x  x2
x  2 x=b � 1; 2 
�
�
2

fx
Mặt khác 



2

 2x

 � 2  x  1 . f � x

2

 2x 

�
x  1
x


1
�
�
�
f  x2  2x   0 � � 2
��
x 2  2 x=  1  1
�
f
x

2
x

0

�
�2
x  2 x=1  2 
�



Nên

Phương trình (1) có nghiệm kép x  1 , phương trình (2) có hai nghiệm
2
x  1 � 2 nên phương trình  f  x  2 x    0 có x  1 là nghiệm bội ba và hai

�

nghiệm đơn x  1 � 2 .

19


Vậy phương trình

y  f  x  2x 
2

 fx

2

 2x 

 � 0

có ba nghiệm bội lẻ nên hàm số

có ba cực trị là 1 và 1 � 2 khác 4 nghiệm của phương trình (*).
y  g  x

Vậy hàm số

có 7 cực trị là -1,0,-2, x1 ,x2 và 1 � 2 .

Cách 2: Phương pháp bảng biến thiên thu gọn.
2
Xét hàm số u  x  2 x ta có: u'  2 x  2 ; u'  0 � x  1 .
Ta có bảng biến thiên thu gọn:
�
�

x

u  x2  2 x

�

1
1
2

1

1

2

y  f (u )

�
�

�

2

�

�

2
y  f (u )

2

0

0

2

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số
Ví dụ 5: Cho hàm số bậc bốn

2

y  f  x

0

g  x   f  x2  2x 

. Hàm số

y f�
 x

0

2

có 7 điểm cực trị.

có đồ thị như sau

2
Số điểm cực đại của hàm số y  f  x  2 x  2  là
A. 3 .
B. 2 .
C. 4 .
Lời giải
Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống

Từ đồ thị của

y f�
 x

ta chọn

f�
 x    x  1  x  1  x  3

D. 1 .

.

� u �
y'  �
f  u �
f�
 u  với u  x 2  2 x  2
�
�
Áp dụng công thức
20


Ta có:





�
y�
 �f x 2  2 x  2 �
�
�
x 1

. x2  2 x  2  1

2
x  2x  2





 x  1 





x 2  2 x  2  1  x  1

x2  2x  2





x2  2x  2 1



x2  2 x  2 1
2

x2  2 x  2  3



x  1
�
�
� y�
0� �
x  1  2 2
2
�
x  2x  2  3
x  1  2 2
�

x

 2x  7

2



Bảng biến thiên:

�

x



y'
�

1  2 2
0


1
0

1  2 2
0


�


�

y

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có một điểm cực đại.
Cách 2: Phương pháp bảng biến thiên thu gọn
2
Đặt u  x  2 x  2

u'( x )  ( x 2  2 x  2 )' 

x

Từ đồ thị hàm số

u  x2  2 x  2

x 1
x2  2x  2

y  f '  x

�
�

 0 � x  1

ta có bảng biến thiên thu gọn:
3

1
1

�
�

3

�

�

y  f  u

2
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y  f  x  2 x  2  có một điểm cực đại.

Ví dụ 6: Cho hàm số
hình vẽ. Đặt

y  f  x

có đạo hàm trên R và có đồ thị là đường cong như

g  x  3 f  f  x   4

. Số điểm cực trị của hàm số

g  x

là

21


B. 8 .

A. 2 .

C. 10 .

D. 6 .

Lời giải

Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống.

�f �
 f  x   0
g�
 x  3 f �
 f  x   . f � x  g � x   0 � 3 f � f  x   . f � x   0 � � �
� f  x  0
�f  x   0
�
f  x  a
��
�x0
�
� x  a    2  a  3
+ f  x   0

,

.

có 3 nghiệm đơn phân biệt x1 , x2 , x3 khác 0 và a .

f x a
+ Vì 2  a  3 nên  
có 3 nghiệm đơn phân biệt x4 , x5 , x6 khác x1 ,
x2 , x3 , 0 ,   a .

Suy ra

g�
 x  0

có 8 nghiệm đơn phân biệt.

    có 8 điểm cực trị.
Do đó hàm số  
Cách 2: Phương pháp bảng biến thiên thu gọn
g x 3f f x 4

Đặt

u  f  x

x0
�
u'  f '  x   0 � �
,  2  a  3
xa
�
22


Từ đồ thị của hàm

y  f  x

f  5    5  f  a    4
x

�

u  f  x

�

ta suy ra bảng biến thiên thu gọn (với

).
a

0

0
3

a

0

a
5

�

a

0

�

�

y  f  u
�

Từ BBT ta có hàm số
Vậy chọn đáp án B.

g  x  3 f  f  x   4

có 8 điểm cực trị.

k ��
Dạng 2: Tìm số nghiệm của phương trình f  u( x )  k ; 
.

 

yf x

Ta thường gặp dạng bài toán cơ bản: Cho hàm số
xác định, liên
tục trên � và biết đồ thị (bảng biến thiên) của hàm số y  f  x  hoặc y  f '  x 
Tìm số nghiệm của phương trình

f  u  x   k

thỏa mãn điều kiện cho trước.
Lời giải.
Cách 1: Sử dụng phương pháp tự luận truyền thống.

+ Đặt

u  u  x

, xác định điều kiện của u .

+ Dựa và đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số
của đồ thị

y  f  u

y  f  x

, xác định các giao điểm

với đường thẳng y  k .

+ Với mỗi giao điểm có hồnh độ
định các giá trị của x tương ứng.

ui  i  1....n;n �* 

, thay vào

u  x  u

để xác

y  f  u  x 
+ Từ các giá trị x ta xác định được số giao điểm của đồ thị hàm số

với đường thẳng y  k cùng phương với trục ox.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng biến thiên thu gọn.
Sau đây là một số ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1: Cho hàm số

f  x

có bảng biến thiên như sau:

23


 của phương trình 
Số nghiệm thuộc đoạn 
A. 4 .
B. 6 .
C. 3 .
(Trích câu 45 đề minh họa lần 1 TN THPT năm 2020).
Giải.
Cách 1: Sử dụng phương pháp tự luận truyền thống.

2 f sin x   3  0

; 2

Ta có

3
2 (*).

x � ; 2 � t � 1;1

là

D. 8 .

2 f  sin x   3  0 � f  sin x   

Đặt t  sin x . Vì

.

3
2 . Đây là phương trình hồnh độ giao
Phương trình (*) trở thành
3
y


y  f  t
2.
điểm của đồ thị hàm số
và đường thẳng
f  t  

Dựa vào BBT:

�
t a, a  1
�

t  b,  1  b  0
�
t  b,  1  b  0
3
f  t   � �
��
�
t  c,0  c  1
2
t  c,0  c  1
�
�
t  d ,d  1
�
Ta có
.

24


+) Khi

t  b � sin x  b,b � 1; 0 

: có 4 nghiệm thuộc   ; 2  .

c � 0;1
; 2
+) Khi t  c � sin x  c ,
: có 2 nghiệm thuộc 

.

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thuộc
Cách 2: Phương pháp bảng biến thiên thu gọn.

 ; 2 .

Đặt u  s inx; x � ; 2 � u � 1;1 . Khi đó phương trình đã cho trở thành

3
2 ; u � 1;1 Ta có bảng biến thiên thu gọn:



x

2
2
u  s inx 0
0
0
1
1
1
1
1
f  u  

2

3
2
1

0

2

f (u )

y

2

2
y

2

3
2

3
2 cắt đồ thị hàm số tại 6 điểm phân

Từ bảng biến thiên ta thấy đường thẳng
biệt. Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt. Chọn đáp án B.
Ví dụ 2: Cho hàm số

f  x

có bảng biến thiên như sau:

25