100 cau lien quan den KSHS

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.2 MB, 37 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

---- ›š & ›š ----

TÀI LI

Ệ

U ÔN THI

ĐẠ

I H

Ọ

C – CAO

ĐẲ

NG

Naêm 2011

Th

ạc sĩ. Nguyễn Thạo

Website:

email :

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Câu 1. Cho hàm số y 1(m 1)x3 mx2 (3m 2)x
3

= - + + - (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số (1) khi m=2.

2) Tìm tất cả các giá trị của tham sốmđể hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.

· Tập xác định: D = R. y¢=(m-1)x2+2mx+3m-2. 
(1) đồng biến trên R Û y¢³ "0, x Û m³2

Câu 2. Cho hàm số y mx

x m

4
+

+ (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1) khi m= -1.

2) Tìm tất cả các giá trị của tham sốmđể hàm số (1) nghịch biến trên khoảng ( ;1)-¥ .

· Tập xác định: D = R \ {–m}. y m
x m

2
2
4

( )

-¢=

+ .

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Û y¢< Û - < <0 2 m 2 (1) 
Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng( ;1)-¥ thì ta phải có - ³ Û £ -m 1 m 1 (2) 
Kết hợp (1) và (2) ta được: - < £ -2 m 1.

Câu 3. Cho hàm số y x= 3+3x2-mx-4 (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1) khi m=0.

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( ;0)-¥ .

· m£ -3

Câu 4. Cho hàm số y=2x3-3(2m+1)x2+6 (m m+1)x+1 có đồ thị (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 0.

2) Tìm mđể hàm sốđồng biến trên khoảng (2;+¥)

· y' 6= x2-6(2m+1)x+6 (m m+1) có D=(2m+1)2-4(m2+m) 1 0= >

x m
y' 0= Û ê = +é =x m 1

ë . Hàm sốđồng biến trên các khoảng ( ; ), (-¥ m m+ +¥1; )
Do đó: hàm sốđồng biến trên (2;+¥ Û) m+ £ Û1 2 m£1

Câu 5. Cho hàm số y=x4-2mx2-3m+1 (1), (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm mđể hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2).

· Ta có y' 4= x3-4mx=4 (x x2 -m)
+ mÊ0, yÂ "0, x ị mÊ0 tho món.

+ m>0, y¢=0 có 3 nghiệm phân biệt: - m, 0, m.

Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi chỉ khi m £ Û < Ê1 0 m 1. Vy mẻ -Ơ

(

]

.

Câu 6. Cho hàm sốy x= 3+ -(1 2 )m x2+ -(2 m x m) + +2.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Ã Hm ng bin trờn (0;+Ơ) yÂ=3x2+2(1 2 )- m x+ -(2 m) 0³ với " Ỵx ( ;0 +¥)

f x x m

x
x

2 2
3
( )

4 1
2
+

Û = ³

+
+

với " Ỵx ( ;0 +¥)

Ta có: f x x x x x x

x

2
2

2(6

( ) 3) 0 6 3 1 73

(4 1) 0 12

+ - + - = Û = - ±

¢ = = Û

Lập bảng biến thiên của hàm f x( ) trên (0;+¥), từđó ta đi đến kết luận:

f 1 73 m 3 73 m

12 8

ỉ- + ư +

ỗ ữ

ố ứ

KSHS 02: CC TR CA HM SỐ

Câu 7. Cho hàm số y x= 3+3x2+mx m+ – 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị hàm số khi m = 3.

2) Xác định mđể (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hồnh.

· PT hồnh độ giao điểm của (C) và trục hoành:

x3+3x2+mx m+ – 2 0= (1) Û x

g x x2 x m

( ) 2 2 0 (2)

é =

-ê = + + - =
ë

(Cm) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục 0x ÛPT (1) có 3 nghiệm phân biệt

Û (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 Û m

g( 1)3 m 3 00

D

ì ¢= - >
ớ - = - ạ

ợ m<3

Cõu 8. Cho hàm số y= - +x3 (2m+1)x2-(m2-3m+2)x-4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị hàm số khi m = 1.

2) Xác định mđể (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.

· y¢= -3x2+2(2m+1)x-(m2-3m+2).

(Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung Û PT y¢ =0 có 2 nghiệm trái

dấu Û 3(m2-3m+ <2) 0 Û1< <m 2.

Câu 9. Cho hàm số 1 3 2 (2 1) 3
3

y= x -mx + m- x- (m là tham số) có đồ thị là (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị hàm số khi m = 2.

2) Xác định mđể (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.

· TXĐ: D = R ; y¢=x2– 2mx+2 –1m .

Đồ thị (Cm) có 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung Û y¢=0 có 2 nghiệm phân

biệt cùng dấu Û 2 2 1 0

2 1 0

ì ¢

ïD = - + >
í

- >
ïỵ

m m

m

1
1
2
m
m

ạ
ỡ
ù
ớ

>
ùợ

Cõu 10. Cho hm s y x= 3-3x2-mx+2 (m là tham số) có đồ thị là (C

m).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị hàm số khi m = 1.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

· Ta có: y' 3= x2-6x m .

-Hàm số có CĐ, CT Û y' 3= x2-6x m- =0 có 2 nghiệm phân biệt 
1; 2
x x 
 Û D = +' 9 3m> Û > -0 m 3 (*)

Gọi hai điểm cực trị là A

(

x1;y1

) (

;B x2;y2

)

Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: 1 1 ' 2 2 2

3 3 3 3

m m

y=ỗổ x- ửữy -ổỗ + ửữx+ổỗ - ửữ

ố ứ ố ứ ố ứ

ị 1

( )

1 2 2 1 2 ; 2

( )

2 2 2 2 2

3 3 3 3

ỉ ư ổ ử ổ ử ổ ử

-ỗ + ữ +ỗ - ữ -ỗ + ữ +ỗ - ữ

ố ứ ố ứ è ø

= =

y y x m x m y y x m x m

Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: 2 2 2

3 3

m m

y= -ổỗ + ửữx+ổỗ - ửữ
ố ứ ố ứ 
Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y x= - Û1 xảy ra 1 trong 2 trường hợp:

TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng y x= -1

2 3

2 1

3 2

m

ổ ử

-ỗ + =

ữ =

-ố ứ (thỏa mãn)

TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y x= -1

(

)

(

)

1 2 1

2
2

2 2

1 1

2 2 3 2 3 2

2 2

3 .2 6 0

3 3

ổ ử ổ ử

-ỗ + ữ + + ỗ - ữ= +

-ố ứ ố ứ

ổ ử

+ =

-+ +

= - = -

ỗ ÷

è ø

I I

x m m

x x x x

x

m m

y
y

m
y
x

Vậy các giá trị cần tìm của m là: 0; 3
2
m=ìí - ỹý

ợ ỵ

Cõu 11. Cho hm s y x= 3-3mx2+4m3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị hàm số khi m = 1.

2) Xác định mđể (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.

· Ta có: y¢ =3x2-6mx; y¢ = Û ê =0 é =xx 02m

ë . Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ¹ 0. 
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) Þ uurAB=(2 ; 4 )m - m3

Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3)

A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x AB d

I d

ỡ ^
ớ ẻ

ợ Û

m m

3
3

2 4 0

ìï - =
í

ïỵ Û m

2
2
= ±

Câu 12. Cho hàm số y= - +x3 3mx2-3m-1.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với
nhau qua đường thẳng d: x+8y-74 0= .

· y¢= -3x2+6mx; y¢= Û = Ú =0 x 0 x 2m.

Hàm số có CĐ, CT Û PT y¢=0 có 2 nghiệm phân biệt Û m¹0.

Khi đó 2 điểm cực trị là: A(0; 3- m-1), (2 ;4B m m3-3m-1) Þ uuurAB m m(2 ;4 )3
Trung điểm I của AB có toạđộ: I m m( ;2 3-3m-1)

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

A và B đối xng vi nhau qua d I d
AB d

ẻ
ỡ
ớ ^

ợ Û

8(2 3 1) 74 0
. 0

m m m

AB u

ì + -

-ï
í

ïỵuuur r Û m=2

Câu 13. Cho hàm số y x= 3-3x2+mx (1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 0.

2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng
với nhau qua đường thẳng d: x– 2 – 5 0y = .

· Ta có y x= 3-3x2+mx Þy' 3= x2-6x m+

Hàm số có cực đại, cực tiểu Û y¢=0 có hai nghiệm phân biệt ÛD¢ = -9 3m> Û <0 m 3

Ta có: y 1x 1 y 2m 2 x 1m

3 3 3 3

ỉ ư Â ổ ử

=ỗ - ữ +ỗ - ữ +

ố ứ è ø

Tại các điểm cực trị thì y¢=0, do đó tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trình:

y 2m 2 x 1m

3 3

ổ ử

=ỗ - ữ +

ố ø

Như vậy đường thẳng Dđi qua các điểm cực trị cú phng trỡnh y 2m 2 x 1m

3 3

ổ ử

=ỗ - ÷ +

è ø

nên D có hệ số góc k1 2m 2
3

= - . 
d: x– 2 – 5 0y = y 1x 5

2 2

Û = - Þ d có hệ số góc k2 1
2
=
Để hai điểm cực trịđối xứng qua d thì ta phải có d ^D

Þ k k1 2 1 1 2m 2 1 m 0

2 3

ổ ử

= - ỗ - ữ= - =

ố ø

Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là 
I(1; –2). Ta thấy I Ỵ d, do đó hai điểm cực trịđối xứng với nhau qua d.

Vậy: m = 0

Câu 14. Cho hàm số y x= 3-3(m+1)x2+9x m+ -2 (1) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với
nhau qua đường thẳng d: y 1x

2
= .

· y' 3= x2-6(m+1)x+9

Hàm số có CĐ, CT Û D' 9(= m+1)2-3.9 0> ẻ -Ơ - -m ( ; 1 3) ( 1È - + 3;+¥)
Ta có y 1x m 1 y 2(m2 2m 2)x 4m 1

3 3

æ + ử Â

=ỗ - ữ - + - + +

ố ø

Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là A x y B x y( ; ), ( ; )1 1 2 2 , I là trung điểm của AB.

y1 2(m2 2m 2)x1 4m 1

Þ = - + - + + ; y2 = -2(m2+2m-2)x2+4m+1
và: x x m

x x11 22

2( 1)
. 3

ì + = +

í =

ỵ

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

A, B đối xứng qua (d): y 1x

= ỡớ ẻI dAB d^

ợ m=1.

Cõu 15. Cho hàm số y=x3 -3(m+1)x2 +9x-m, với m là tham số thực. 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số đã cho ứng với m=1.
2) Xác định m để hàm sốđã cho đạt cực trị tại x1,x2 sao cho x1-x2 £2.

· Ta có y'=3x2 -6(m+1)x+9.

+ Hàm sốđạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 ÛPT y'=0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 
 Û PT x2 -2(m+1)x+3=0 có hai nghiệm phân biệt là

2
1, x
x .

ê
ë
é

+

->
Û
>

-+
=
D
Û

3
1

3
1
0

3
)

1
(

' 2

m
m

m (1)
+ Theo định lý Viet ta có x1+x2 =2(m+1); x1x2 =3. Khi đó:

(

)

4 4 4

(

)

12 4

2 1 2 2 1 2 2

1-x £ Û x +x - x x £ Û m+ - £
x

Û(m+1)2£ Û - £ £4 3 m 1 (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là -3£m<-1- 3 và -1+ 3<m£1.

Câu 16. Cho hàm số y x= 3+ -(1 2 )m x2+ -(2 m x m) + +2, với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số đã cho ứng với m=1.

2) Xác định m để hàm sốđã cho đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1 x2 1
3
- > .

·Ta có: y' 3= x2+2(1 2- m x) + -(2 m)

Hàm số có CĐ, CT Ûy' 0= có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 (giả sử x1<x2)

m

m m m m

m

2 2 5

' (1 2 ) 3(2 ) 4 5 0 4

D éê >

Û = - - - = - - > Û

ê <
-ë

(*)

Hàm sốđạt cực trị tại các điểm x x1 2, . Khi đó ta có:

m
x x

m
x x

1 2
1 2

(1 2 )
3
2

3
ì + = -
-ï

í

-ï =

ỵ
 x1 x2 1

(

x1 x2

) (

2 x1 x2

)

2 x x1 2

1
4

Û - = + - >

- >

4(1 2 )m 2 4(2 m) 1 16m2 12m 5 0 m 3 29 m 3 29

8 8

-Û - - - > Û - - > Û > Ú <
Kết hợp (*), ta suy ra m 3 29 m 1

8
+

> Ú <

-Câu 17. Cho hàm số y 1x3 (m 1)x2 3(m 2)x 1

3 3

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Hàm số có cực đại và cực tiểu Û y¢=0có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

Û D¢ > Û0 m2-5m+ > 7 0 (ln đúng với "m) 
Khi đó ta có: xx x1 x2 mm

1 2

2( 1)

3( 2)

ì + =

-í =

-ỵ Û

(

)

x m

x22 x2 m

3 2

1 2 3( 2)
ì =

-ï

í - =

-ïỵ

m2 m m 4 34

8 16 9 0

4
- ±

Û + - = Û = .

Câu 18. Cho hàm số y=4x3+mx2– 3x.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm mđể hàm số có hai điểm cực trị x x1, 2 thỏa x1= -4x2.

· y¢=12x2+2mx– 3. Ta có: D¢ =m2+36 0,> "m Þ hàm số ln có 2 cực trị x x1, 2.

Khi đó:

1 2

1 2
4

6
1
4

x x

m
x x

x x
ì
ï =

-ï

ï + =
-í

ï = 
-ùợ

9

2
m
ị =

Cõu hi tng tự:

a) y x= 3+3x2+mx+1; x1+ 2x2 =3 ĐS: m= -105.

Câu 19. Cho hàm số y=(m+2)x3+3x2+mx-5, m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số khi m = 0.

2) Tìm các giá trị của mđể các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm sốđã cho có hồnh độ
là các số dương.

· Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm sốđã cho có hồnh độ là các số dương 
ÛPT y' 3(= m+2)x2+6x m = + 0 có 2 nghiệm dương phân biệt

a m

m m m m m

m m m m

P

m m m

S
m

2
( 2) 0

' 9 3 ( 2) 0 ' 2 3 0 3 1

0 0 3 2

3( 2) 2 0 2

3 0
2

D D

ì = + ¹

ï = - + > ì = - - + > ì- < <

ïï ï ï

Ûí = > Ûí < Ûí < Û < <
-+

ï ïỵ + < ïỵ <

-ï = >

ï +

ỵ

Câu 20. Cho hàm số y x= 3– 3x2+2 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1).

2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y=3x-2sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực
trị nhỏ nhất.

· Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2). 
Xét biểu thức g x y( , ) 3= x y- -2 ta có:

A A A A B B B B

g x y( , ) 3= x -y - = - <2 4 0; ( , ) 3g x y = x -y - = >2 6 0

Þ 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d: y=3x-2.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Tọa độđiểm M là nghiệm của hệ:

3 2 5

2 2 2

5
x
y x

y x

y
ì =
ï
=

-ì Ûï

í = - + ớ

ợ ù =

ùợ

ị 4 2;

5 5
Mổỗ ửữ

ố ứ

Cõu 21. Cho hàm số y x= 3+(1– 2 )m x2+(2 – )m x m+ +2 (m là tham số) (1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị hàm số (1) khi m = 2.

2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời
hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

· y¢=3x2+2(1 2 )- m x+ - =2 m g x( )

YCBT Û phương trình y¢=0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thỏa mãn: x1<x2<1.

Û g m mm

S m

4 5 0

(1) 5 7 0
2 1 1

2 3

D

ì ¢ = - - >
ïï = - + >

í

-ï = <
ïỵ

Û 5 m 7

4< < 5.

Câu 22. Cho hàm số y x= 3-3mx2+3(m2-1)x m- 3+m (1) 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

2) Tìm mđể hàm số (1) có cực trịđồng thời khoảng cách từđiểm cực đại của đồ thị hàm số
đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từđiểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa
độ O.

· Ta có y¢=3x2-6mx+3(m2-1)

Hàm số (1) có cực trị thì PT y¢=0 có 2 nghiệm phân biệt

2 2 2 1 0

x mx m

Û - + - = có 2 nhiệm phân biệt Û D = > "1 0, m

Khi đó: điểm cực đại A m( -1;2 2 )- m và điểm cực tiểu B m( + - -1; 2 2 )m

Ta có 2 2 6 1 0 3 2 2

3 2 2
m

OA OB m m

m
é = - +

= Û + + = Û ê

-êë .

Câu 23. Cho hàm số y= - +x3 3mx2+3(1-m x m2) + 3-m2 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1) khi m=1.

2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
· y¢= -3x2+6mx+3(1-m2).

PT yÂ=0 cú D= >1 0,"m ị th hm s (1) ln có 2 điểm cực trị ( ; ), ( ; )x y1 1 x y2 2 . 
Chia y cho y¢ ta được: y 1x m y 2x m2 m

3 3

ổ ử Â

=ỗ - ữ + - +

ố ø

Khi đó: y1=2x1-m2+m; y2 =2x2-m2+m

PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là y=2x m- 2+m.

Câu 24. Cho hàm số y x= 3-3x2-mx+2 có đồ thị là (C

m).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm mđể (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

·Ta có: y' 3= x -6x m .

Gọi hai điểm cực trị là A

(

x1;y1

) (

;B x2;y2

)

Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: 1 1 ' 2 2 2

3 3 3 3

m m

y=ỗổ x- ửữy-ổỗ + ửữx+ổỗ - ửữ

ố ứ ố ứ ố ứ

ị 1

( )

1 2 2 1 2 ; 2

( )

2 2 2 2 2

3 3 3 3

ỉ ư ổ ử ổ ử ổ ử

-ỗ + ữ +ỗ - ữ -ỗ + ữ +ỗ - ữ

ố ứ ố ứ è ø

= =

y y x m x m y y x m x m

Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là d: 2 2 2

3 3

m m

y= -ổỗ + ửữx+ổỗ - ửữ

ố ứ ố ứ

ng thẳng đi qua các điểm cực trị song song với d: y= -4x+3

2 4

2 3

3
m

m
m

ỡ ổ- + ử=

-ỗ ữ

ùù ố ứ

ớ =

ổ ử

ù -ỗ ữạ
ùố ứ
ợ

(tha món)

Cõu 25. Cho hàm số y x= 3-3x2-mx+2 có đồ thị là (C

m).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo

với đường thẳng d: x+4 – 5 0y = một góc 45 . 0
·Ta có: y' 3= x2-6x m .

Gọi hai điểm cực trị là A

(

x1;y1

) (

;B x2;y2

)

Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: 1 1 ' 2 2 2

3 3 3 3

m m

y=ỗổ x- ửữy-ổỗ + ửữx+ổỗ - ửữ

ố ứ è ø è ø

Þ 1

( )

1 2 2 1 2 ; 2

( )

2 2 2 2 2

3 3 3 3

ỉ ư ỉ ư ỉ ư ỉ ử

-ỗ + ữ +ỗ - ữ -ỗ + ữ +ỗ - ÷

è ø è ø è ø

= =

y y x m x m y y x m x m

Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị l D: 2 2 2

3 3

m m

y= -ổỗ + ửữx+ổỗ - ửữ

ố ứ ố ứ

t 2 2

3
m
k = -ổỗ + ư÷

è ø. Đường thẳng d: x+4 – 5 0y = có hệ số góc bằng 
1
4
- .

Ta có:

3 39

1 1

1 1

5 10

4 4

4
tan 45

1 1 1 5 1

1 1

4 4 4 3 2

k m

k k

k

k k k k m

é é

é + = - = =

-+ ê ê ê

= Ûê Ûê Ûê

ê ê

- + = - + ê = - ê =

-êë ë ë

Kết hợp điều kiện (*), suy ra giá trị m cần tìm là: 1
2
m=

-Câu 26. Cho hàm số y x= 3+3x2+m (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1) khi m= -4.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

· Ta có: y¢=3x2+6x; y¢= Û ê = Þ =0 é = - Þ = +xx 0 2 y my m 4
ë

Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(-2 ; m + 4)

OAuur =(0; ),m OBuur= -( 2;m+4). Để ·AOB=1200thì cosAOB 1
2
=

-(

)

(

)

m

m m m m m m

m m

2 2

4 0

( 4) 1 4 ( 4) 2 ( 4)

2 3 24 44 0

4 ( 4)

ì- < <
+

Û = - Û + + = - + Û í

+ + =

ỵ
+ +

m

m
m

4 0 12 2 3

12 2 3 3

ì- < < - +
ï

Ûí - ± Û =

=
ïỵ

Câu 27. Cho hàm số y x= 3– 3mx2+3(m2–1) –x m3 (Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1) khi m= -2.

2) Chứng minh rằng (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi
đường thẳng cốđịnh.

· y¢=3x2-6mx+3(m2-1); y¢= Û ê = -0 é = +x mx m 11
ë

Điểm cực đại M m( –1;2 – 3 )m chạy trên đường thẳng cốđịnh: 1
2 3

x t

y t

= - +
ì

í =
-ỵ
Điểm cực tiểu N m( + -1; 2 – )m chạy trên đường thẳng cốđịnh: 1

2 3

x t

y t

= +
ì

í =
-ỵ

Câu 28. Cho hàm số y 1x4 mx2 3

2 2

= - + (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1) khi m=3.

2) Xác định mđểđồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại.

· y¢=2x3-2mx=2 (x x2-m). y x

x2 m

0
0 é =
¢= Û ê =

Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại Û PT y¢=0 có 1 nghiệm Û m£0

Câu 29. Cho hàm số y= f x( )=x4+2(m-2)x2+m2 -5m+5

m

C

( ).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) hàm số khi m = 1.

2) Tìm các giá trị của mđểđồ thị (Cm) của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1
tam giác vuông cân.

· Ta có

( )

2
0

4 4( 2) 0

2
=
é
¢ = + - = Û ê

=
-ë

x

f x x m x

x m

Hàm số có CĐ, CT Û PT f x¢( ) 0= có 3 nghiệm phân biệt Û m<2 (*)

Khi đó toạđộ các điểm cực trị là: A

(

0;m2-5m+5 ,

) (

B 2-m;1-m C

) (

, - 2-m;1-m

)

Þ uurAB=

(

2-m m;- 2+4m-4 ,

)

uuurAC= -

(

2-m m;- 2+4m-4

)

Do DABC ln cân tại A, nên bài tốn thoả mãn khi DABC vuông tại A

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Câu 30. Cho hàm số y= x4 +2(m-2)x2 +m2 -5m+5

( )

Cm
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị hàm số khi m = 1.

2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời
các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.

·Ta có

( )

2
0

4 4( 2) 0

2
=
é
¢ = + - = Û ê

=
-ë

x

f x x m x

x m

Hàm số có CĐ, CT Û PT f x¢( ) 0= có 3 nghiệm phân biệt Û m<2 (*)

Khi đó toạđộ các điểm cực trị là: A

(

0;m2-5m+5 ,

) (

B 2-m;1-m C

) (

, - 2-m;1-m

)

Þ uurAB=

(

2-m m;- 2+4m-4 ,

)

uuurAC= -

(

2-m m;- 2+4m-4

)

Do DABC ln cân tại A, nên bài tốn thoả mãn khi µA=600 Û cosA 1

2
=

Û AB AC

AB AC

. 1

. =

uuur uuur

uuur uuur Û m=2-3 3.

Câu hỏi tương tựđối với hàm số: y x= 4-4(m-1)x2+2m-1

Câu 31. Cho hàm số y x= 4+2mx2+m2+m có đồ thị (Cm) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị hàm số khi m = –2.

2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị
đó lập thành một tam giác có một góc bằng 1200.

· Ta có y¢ =4x3+4mx; y x x m x

x m

2 0

0 4 ( ) 0 é =

¢ = Û + = Û ê

= ±

-êë (m < 0) 
Khi đó các điểm cực trị là: A m(0; 2+m B),

(

-m m C;

) (

, - -m m;

)

AB=( - -m m; 2)
uur

; uuurAC= - - -( m m; 2). DABC cân tại A nên góc 120o chính là µA.

µA=120o A AB AC m m m

m m

AB AC

4
4

1 . 1 . 1

cos

2 . 2 2

- - - +

Û = - Û = - Û =

-uur u-uur

uur uuur

m loại

m m m m m m m m

m

m m

4 4 4

0 ( )

1 2 2 3 0 1

3
é =

+ ê

Û = - Þ + = - Û + = Ûê =

-- êë

Vậy m 31
3
= - .

Câu 32. Cho hàm số y x= 4-2mx2+ -m 1 có đồ thị (Cm) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị hàm số khi m = 1.

2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị
đó lập thành một tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng 1.

· Ta có y x mx x x m x

x m

3 2

2 0

4 4 4 ( ) 0 é =

¢= - = - = Û ê

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị ÛPT y¢=0 có ba nghiệm phân biệt và y¢ đổi dấu khi

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

ABC B A C B

S 1 y y .x x m m2

= - - =

V ; AB AC= = m4+m BC, =2 m

ABC

m

AB AC BC m m m

R m m

S m m m

3
2

. . 1 ( )2 1 2 1 0

5 1

4 4

2
é =

+ ê

= = Û = Û - + = Û

-ê =
ë
V

Câu hỏi tương tự:

a) y x= 4-2mx2+1 ĐS: m 1, m 1 5
2
- +

= =

Câu 33. Cho hàm số y x= 4-2mx2+2m m+ 4 có đồ thị (Cm) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị hàm số khi m = 1.

2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị

đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4.

· Ta có 3

2
0

' 4 4 0

( ) 0

x

y x mx

g x x m
=

é
= - = Û ê

= - =
ë

Hàm số có 3 cực trịÛ y' 0= có 3 nghiệm phân biệtÛ D = > Û >g m 0 m 0 (*)

Với điều kiện (*), phương trình y¢=0có 3 nghiệm x1= - m x; 2 =0; x3 = m . Hàm sốđạt 
cực trị tại x x x . G1; ;2 3 ọi A(0;2m m+ 4);B

(

m m; 4-m2+2m C

) (

; - m m; 4-m2+2m là 3

)

điểm cực trị của (Cm) .

Ta có: AB2 =AC2 =m4+m BC; 2 =4mÞ DABC cân đỉnh A

Gọi M là trung điểm của BCÞM(0;m4-m2+2 )m ÞAM m= 2 =m2
Vì DABC cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó:

ABC

S AM BC m m m m m

2 2 5 5

1 . 1. . 4 4 4 16 16

2 2

D = = = Û = Û = Û =

Vậy m=516. 
Câu hỏi tương tự:

a) y x= 4-2m x2 2+1, S = 32 ĐS: m= ±2

KSHS 03: SỰ TƯƠNG GIAO

Câu 34. Cho hàm sốy = x3 + 3x2 + mx + 1 (m là tham số) (1) 
1) Khảo sát và vẽđồ thị hàm số khi m = 3.

2) Tìm mđể đường thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C

sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vng góc với nhau.

· PT hồnh độ giao điểm của (1) và d: x3+3x2+mx+ = Û1 1 x x( 2+3x m+ ) 0=
d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C Û 9, 0

4
< ¹

m m

Khi đó: x xB, C là các nghiệm của PT: x2+3x m+ =0 Þ xB+xC = -3; x xB C. =m

Hệ số góc của tiếp tuyến tại B là k1=3xB2 +6xB +m và tại C là k2 =3xC2+6xC +m
Tiếp tuyến của (C) tại B và C vng góc với nhau Û k k1 2. = -1 Û 4m2-9m+ =1 0

Û 9 65 9 65

8 8

- +

= Ú =

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Câu 35. Cho hàm số y x= 3– 3x+1 có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y mx m= + +3.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm m để (d) cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc
với nhau.

· Phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và (d): x3– (m+3) – – 2 0x m =

Û (x+1)( – – – 2) 0x2 x m = Û x y

g x x2 x m

1 ( 3)

( ) 2 0

é = - =

ê = - - - =
ë

d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt M(–1; 3), N, P Û 9, 0
4

> - ¹

m m

Khi đó: xN,xP là các nghiệm của PT: x2- - - =x m 2 0 Þ xN +xP =1; x xN P. = - -m 2
Hệ số góc của tiếp tuyến tại N là k1=3x2N -3 và tại P là k2=3xP2 -3

Tiếp tuyến của (C) tại N và P vng góc với nhau Û k k1 2. = -1 Û 9m2+18m+ =1 0

Û 3 2 2 3 2 2

3 3

- +

-= Ú =

m m

Câu 36. Cho hàm số y x= 3-3x2+4 (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại ba
điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vng góc với nhau.

· PT đường thẳng (d): y k x= ( -2)

+ PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): x3-3x2+ =4 k x( -2)

Û (x-2)(x2- - -x 2 k) 0= Û x xA

g x x2 x k

( ) 2 0

é = =
ê

= - - - =
ë

+ (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N Û PT g x( ) 0= có 2 nghiệm phân biệt, khác 2

Û 0 9 0

(2) 0 4 k

f
D >
ỡ

- < ạ

ớ ạ

ợ (*)

+ Theo định lí Viet ta có: 1
2

M N
M N

x x

x x k

+ =
ì

í = 
-ỵ

+ Các tiếp tuyến tại M và N vng góc với nhauÛ y x¢( M). ( )y x¢ N = -1

Û (3 2 -6 )(3 2 -6 )= -1

M M N N

x x x x Û 9k2+18k+ =1 0 3 2 2
3
k - ±

Û = (thoả (*))

Câu 37. Cho hàm số y x= 3-3x (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d): y m x= ( + +1) 2 luôn cắt đồ thị (C) tại
một điểm M cốđịnh và xác định các giá trị của mđể (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P
sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vng góc với nhau.

· PT hồnh độ giao điểm (x+1)(x2- - -x 2 m) 0= (1) Û x

x2 x m

1 0

2 0 (2)

é + =

ê - - - =

ë

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

(d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û (2) có 2 nghim phõn bit, khỏc 1

9
4
0
m
m
ỡ >
-ù
ớ
ù ạ
ợ

(*)

Tiếp tuyến tại N, P vng góc Û y x'( ). '( )N y xP = -1 Û m 3 2 2

3
- ±

= (thoả (*))

Câu 38. Cho hàm số y x= 3-3mx2+3(m2-1)x m-( 2-1) (m là tham số) (1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1) khi m=0.

2) Tìm các giá trị của mđểđồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ
dương.

·ĐểĐTHS (1) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ dương, ta phải có: 
CĐ CT

CĐ CT

có cực trị

y y

x x

a y

(1) 2

. 0

0, 0

. (0) 0
ì

ï <
ï

í > >
ï

<
ïỵ

(*)

Trong đó: + y x= 3-3mx2+3(m2-1)x m-( 2-1) ị yÂ =3x2-6mx+3(m2-1)
+ DyÂ =m2-m2+ = >1 0 0,"m

+ CĐ

CT

x m x

y¢= Û ê0 é = - =x m= + =11 x
ë

Suy ra: (*)

m
m

m

m m m m

m

2 2 2

2
1 0
1 0

3 1 2

( 1)( 3)( 2 1) 0
( 1) 0

ì - >
ï + >
ï

Ûí Û < < +

- - - - <
ï

ï- - <
ỵ

Câu 39. Cho hàm số 1 3 2 2

3 3

y= x -mx - + +x m có đồ thị (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = –1.

2) Tìm mđể (Cm)cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có tổng bình phương các hồnh độ lớn
hơn 15.

· YCBT Û 1x3 mx2 x m 2 0

3 - - + + =3 (*) có 3 nghiệm phân biệt thỏa x12+x22+x32 >15. 
Ta có: (*) Û(x-1)(x2+ -(1 3 )m x- -2 3 ) 0m = Û x

g x x2 m x m

( ) (1 3 ) 2 3 0
é =

ê = + - - - =

Do đó: YCBT Û g x( ) 0= có 2 nghiệm x x1, 2 phân biệt khác 1 và thỏa x12+x22 >14. 
 Û m >1

Câu hỏi tương tựđối với hàm số: y x= 3-3mx2-3x+3m+2

Câu 40. Cho hàm số y=x3 -3x2 -9x+m, trong đó m là tham số thực. 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm sốđã cho khi m=0.

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hồnh tại 3 điểm
phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

ÛPhương trình x3-3x2-9x= -m có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

ÛĐường thẳng y= -m đi qua điểm uốn của đồ thị (C) 
.

11 11

m m

Û - = - Û =

Câu 41. Cho hàm số y x= 3-3mx2+9x-7 có đồ thị (Cm), trong đó m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm sốđã cho khi m=0.

2) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng.

· Hồnh độ các giao điểm là nghiệm của phương trình: x3-3mx2+9x- =7 0 (1) 
Gọi hoành độ các giao điểm lần lượt là x x x1 2; ; 3 ta có: x1+x2+x3=3m

Để x x x1 2; ; 3 lập thành cấp số cộng thì x2=m là nghiệm của phương trình (1)

Þ -2m3+9m- =7 0 Û

m
m
m

1 15
2
1 15

2
é

ê =
ê - +
ê =
ê

ê 
-=
ê
ë
 Thử lại ta có m 1 15

-= là giá trị cần tìm.

Câu 42. Cho hàm số y x= 3-3mx2-mx có đồ thị (C

m), trong đó m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm sốđã cho khi m=1.

2) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng d: y x= +2 tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ lập thành
cấp số nhân.

· Xét phương trình hồnh độ giao điểm của (Cm) và d:

x3-3mx2 -mx x= + Û2 g x

( )

=x3-3mx2-

(

m+1

)

x- =2 0

Đk cần: Giả sử (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ x x x l1; ;2 3 ần lượt lập thành cấp 
số nhân. Khi đó ta có: g x

( ) (

= x x- 1

)(

x x- 2

)(

x x- 3

)

Suy ra:

1 2 3

1 2 2 3 1 3

1 2 3

1
2

x x x m

x x x x x x m
x x x

+ + =
ì

ï + + =

-í

ï =

ỵ

Vì 2 3 3

1 3 2 2 2 2 2

x x =x Þx = Þx = nên ta có: 3

3
5
1 4 2.3

3 2 1

m m m

- - = + Û =
-+
Đk đủ: Với

3
5
3 2 1
m=

-+ , thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn. 
Vậy

3
5
3 2 1
m=

Câu 43. Cho hàm sốy x= 3+2mx2+(m+3)x+4 có đồ thị là (Cm) (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1.

2) Cho đường thẳng (d): y x= +4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của mđể (d) cắt (Cm) tại
ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2.

· Phương trình hồnh độ giao điểm của (Cm) và d là:

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

x y

g x x2 mx m

0 ( 4)

( ) 2 2 0 (1)

é = =

Û ê = + + + =
ë

(d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C Û(2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.

m m

m

g m

/ 2 2 0 1 2

2
(0) 2 0

D

ì = - - > ì £ - Ú ³

Ûí ớ ạ

-= + ạ ợ

ợ (*)

Khi ú: xB+xC = -2 ;m x xB C. = +m 2. 
Mặt khác: d K d( , ) 1 3 4 2

- +

= = . Do đó: 
KBC

S 8 2 1BC d K d. ( , ) 8 2 BC 16 BC2 256
2

D = Û = Û = Û =

B C B C

x x 2 y y 2

( ) ( ) 256

Û - + - = Û(xB-xC)2+((xB+ -4) (xC +4))2 =256

B C B C B C

x x 2 x x 2 x x

2( ) 256 ( ) 4 128

Û - = Û + - =

m2 m m2 m m 1 137

4 4( 2) 128 34 0

2
±

Û - + = Û - - = Û = (thỏa (*)).

Vậy m 1 137
2
±

= .

Câu 44. Cho hàm số y x= 3-3x2+4 có đồ thị là (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi dk là đường thẳng đi qua điểm A( 1;0)- với hệ số góc k k( Ỵ¡). Tìm k đểđường
thẳng dk cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ
độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.

· Ta có: d y kx kk : = + Û kx y k- + =0

Phương trình hồnh độ giao điểm của (Cm) và d là:

x3-3x2+ =4 kx k+ Û(x+1) (ëé x-2)2-kûù= Û = -0 x 1 hoặc (x-2)2 =k
k

d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û í ¹ì >kk 09
ỵ

Khi đó các giao điểm là A( 1;0), 2- B

(

- k k k k C;3 -

) (

, 2+ k k k k;3 +

)

.

k k

BC k k d O BC d O d

k

2
2 1 , ( , ) ( , )

= + = =

OBC k

S k k k k k k

k

2 3

1. .2 . 1 1 1 1 1

2 1

D = + = Û = Û = Û =

Câu 45. Cho hàm số y x= 3-3x2+2 có đồ thị là (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại
ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2.

· Ta có: E(1; 0). PT đường thẳng D qua E có dạng y k x= ( -1). 
PT hoành độ giao điểm của (C) và D: (x-1)(x2-2x- -2 k) 0=

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

OAB

S 1d O( , ).AB k k 3
2

D = D = + Þ k k+ =3 2 Û é = -ê = - ±kk 11 3
ë

Vậy có 3 đường thẳng thoả YCBT: y= - +x 1; y= - ±

(

1 3 (

)

x-1).

Câu 46. Cho hàm số y x= 3+mx+2 có đồ thị (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = –3.
2) Tìm mđểđồ thị (Cm) cắt trục hồnh tại một điểm duy nhất.

· Phương trình hồnh độ giao điểm của (Cm) với trục hoành:

x3+mx+ =2 0 m x x
x

2 2 ( 0)
Û = - - ¹

Xét hàm số: f x x f x x x

x x x

3
2

2 2

2 2 2 2

( )= - - Þ '( )= -2 + = - +
 Ta có bảng bin thiờn:

f xÂ( )

f x( )

-Ơ +Ơ

-Ơ
+Ơ

-Ơ -Ơ

th (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất Û > -m 3. 
Câu 47. Cho hàm số y=2x3-3(m+1)x2+6mx-2 có đồ thị (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm mđểđồ thị (Cm) cắt trục hồnh tại một điểm duy nhất.

· 1- 3< < +m 1 3

Câu 48. Cho hàm số y x= 3-6x2+9x-6 có đồ thị là (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Định mđểđường thẳng ( ) :d y mx= -2m-4 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.

· PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): x3-6x2+9x- =6 mx-2m-4

Û (x-2)(x2-4x+ -1 m) 0= Û x

g x x2 x m

( ) 4 1 0

é =

ê = - + - =
ë

(d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt Û PT g x( ) 0= có 2 nghiệm phân biệt khác 2 Û m> -3

Câu 49. Cho hàm số y x= 3– 3x2+1.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm m để đường thẳng (D): y=(2m-1) – 4 –1x m cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân
biệt.

· Phương trình hồnh độ giao của (C) và (D): x3– 3 – (2 –1)x2 m x+4m+ =2 0

Û (x-2)( – – 2 –1) 0x2 x m = x

f x x2 x m

( ) 2 1 0 (1)
é =

Û ê = - - - =
ë

(D) cắt (C) tại đúng 2 điểm phân biệt Û (1) phải có nghiệm x x1, 2 thỏa mãn: x x1 xx2

1 2

2
2
é ¹ =

ê = ¹

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Û

b
a
f

0
2
2

0
(2) 0

D
D

ộỡ =ù
ờớ
ờ -ùợ ạ
ờ

ờỡ >
ớ
ờợ =
ở

m
m
m

8 5 0
1 2
2

8 5 0
2 1 0
ộỡù + =
ờớ

ờùợ ạ
ờ

ỡ

ờ + >
ớ

ờ - + =ỵ
ë

Û m

m

5
8

1
2
é

=
-ê
ê
ê =
ë
Vậy: m 5

= - ; m 1

2
= .

Câu 50. Cho hàm số y x= 3-3m x2 +2m có đồ thị (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm mđểđồ thị (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt.

·Để (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt thỡ (Cm) phi cú 2 im cc tr

ị yÂ=0 cú 2 nghiệm phân biệt Û3x2-3m2 =0 có 2 nghiệm phân biệt Û m¹0
Khi đó y' 0= Û = ±x m.

(Cm) cắt Ox tại đúng 2 điểm phân biệt ÛyCĐ = 0 hoặc yCT = 0

Ta có: + y m(- ) 0= Û2m3+2m= Û =0 m 0 (loại) 
+ y m( ) 0= Û -2m3+2m= Û = Ú = ±0 m 0 m 1
Vậy: m= ±1

Câu 51. Cho hàm số y x= 4-mx2+ -m 1 có đồ thị là

( )

Cm

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số khi m=8.
2) Định m đểđồ thị

( )

Cm cắt trục trục hồnh tại bốn điểm phân biệt.
· ì >í ¹mm 12

ỵ

Câu 52. Cho hàm số y x= 4-2

(

m+1

)

x2+2m+1 có đồ thị là

( )

m

C .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số đã cho khi m=0.

2) Định m đểđồ thị

( )

Cm cắt trục hồnh tại 4 điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số
cộng.

· Xét phương trình hoành độ giao điểm: x4-2

(

m+1

)

x2+2m+ =1 0 (1) 
Đặt t x t= 2, ³0 thì (1) trở thành: f t( )= -t2 2

(

m+1

)

t+2m+ =1 0.

Để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì f t( ) 0= phải có 2 nghiệm dương phân biệt

(

)

' 0 1

2 1 0 2

2 1 0

m

S m

m

P m

ìD = > ì >

-ï ï

Ûí = + > ớ
ù = + > ù ạợ
ợ

(*)

Vi (*), gọi t1<t2 là 2 nghiệm của f t( ) 0= , khi đó hồnh độ giao điểm của (Cm) với Ox lần

lượt là: x1= - t x2; 2 = - t x1; 3 = t x1; 4 = t2

x x x x1, 2, ,3 4 lập thành cấp số cộng Ûx2- =x1 x3-x2 =x4-x3Û =t2 9t1

(

)

(

)

5 4 4 4

1 9 1 5 4 1 4

5 4 4

9
=
é
= +

é ê

Û + + = + - Û = + Ûê Û

- = + =

-ë ë

m

m m

m m m m m m

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Vậy 4; 4
9
m=ỡớ - ỹý

ợ ỵ

Cõu hi tng ti vi hàm số y= -x4+2(m+2)x2-2m-3 ĐS: m 3,m 13

9
= = - .

Câu 53. Cho hàm số y x= 4– (3m+2)x2+3m có đồ thị là (Cm), m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 0.

2) Tìm m đểđường thẳng y= -1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hồnh độ nhỏ
hơn 2.

· Phương trình hồnh độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y= -1:

x4– (3m+2)x2+3m= -1 Û x4– (3m+2)x2+3m+ =1 0Û x

x2 m

3 1 (*)
é = ±

ê = +
ë

Đường thẳng y= -1cắt (Cm) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi

phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác ±1 và nhỏ hơn 2

Û m

m

0 3 1 4
3 1 1
ì < + <
ï

+ ¹

ïỵ Û

m
m

1 1

3
0
ì

- < <
ï

í
ï ¹
ỵ

Câu 54. Cho hàm số y x= 4-2

(

m+1

)

x2 +2m+1 có đồ thị là (C

m), m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 0.

2) Tìm mđểđồ thị (Cm) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt đều có hồnh độ nhỏ hơn 3.

· Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x4-2

(

m+1

)

(

m+1

)

t+2m+ =1 0.

(Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ hơn 3

( )

f t

Û có 2 nghiệm phân biệt t t sao cho: 1, 2 1 2

1 2

0 3

t t

= < <
é

ê < < £
ë

(

)

( )

(

)

2 ' 0

' 0

3 4 4 0 1

(0) 2 1 0 1

2 1 0

2 1 3

2 1 0

ìD = >
ìD = > ï

= - £

ï ï

Ûí = + = í Û = - Ú ³

= + >
ï = + < ï

ỵ ï = + >

ỵ
m
m

f m

f m m m

S m

P m

Vậy: 1 1
2

m= - Ú ³m .

Câu 55. Cho hàm số y x= 4-2m x2 2+m4+2m (1), với m là tham số. 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1)khi m=1..

2) Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi
0

m< .

· Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (1) và trục Ox: 
4 2 2 2 4 2 0

x - m x +m + m= (1)

Đặt t =x t2

(

³0

)

, (1) trở thành : t2-2m t m2 + 4+2m=0 (2)

Ta có : D = -' 2m>0 và S =2m2 >0 với mọi m>0. Nên (2) có nghiệm dương

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Câu 56. Cho hàm số y x
x

2 1
2

+
=

+ có đồ thị là (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Chứng minh rằng đường thẳng d: y= - +x m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,
B. Tìm mđểđoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

· PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x x m

x

2 1
2

+ = - +

+

Û x

f x x2 m x m

( ) (4 ) 1 2 0 (1)
ì ¹

-í = + - + - =

ỵ

Do (1) có D=m2+ >1 0 và f( 2) ( 2)- = - 2+ -(4 m).( 2) 1 2- + - m= - ¹3 0,"m
nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B.

Ta có: yA = -m x yA; B = -m xB nên AB2 =(xB -xA)2+(yB -yA)2=2(m2+12)
Suy ra AB ngắn nhất Û AB2 nhỏ nhất Û m=0. Khi đó: AB= 24.

Câu hỏi tương tựđối với hàm số:

a) 2

1
x
y

x

-=

- ĐS: m = 2 b)

x
y

x

-= ĐS: m 1

2
=

Câu 57. Cho hàm số 3
1
x
y

x

-=

+ .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm ( 1;1)I - và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N
sao cho I là trung điểm của đoạn MN.

· Phương trình đường thẳng d y k x: =

(

+ +1 1

)

d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N 3 1
1

-Û = + +

+
x

kx k

x có 2 nghiệm phân biệt khác -1.

Û f x( )=kx2+2kx k+ + =4 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1

Û

4 0 0

( 1) 4 0
¹

ïD = - > <
ớ

ù - = ạ
ợ

k

k k

f

Mt khỏc: xM +xN = - =2 2xI Û I là trung điểm MN với " <k 0. 
Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm là y kx k= + +1 với k<0.

Câu 58. Cho hàm số 2 4
1

x
y

x
+
=

- (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k. Tìm kđể (d) cắt (C) tại hai điểm M, 
N sao cho MN =3 10.

· Phương trình đường thẳng ( ) :d y k x= ( - +1) 1.

Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm ( ; ), ( ; )x y1 1 x y phân bi2 2 ệt

sao cho

(

x2-x1

) (

2+ y2-y1

)

2 =90 (a)

2 4

( 1) 1
1

( 1) 1
+

ì = - +

ï
- +
í

ï = - +

ỵ
x

k x
x

y k x

(I). Ta có:

2 (2 3) 3 0

( )

( 1) 1

kx k x k

I

y k x

ì - - + + =

Û í = - +

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

(I) có hai nghiệm phân biệt Û PT kx -(2k-3)x k+ + =3 0 ( )b có hai nghiệm phân biệt.

Û 0, 3.

8
k ¹ k<

Ta biến đổi (a) trở thành: 2

(

)

2 2

(

)

2 1 2 1 2 1

(1+k ) x -x =90Û +(1 k )ëé x +x -4x x ûù=90 (c) 
Theo định lí Viet cho (b) ta có: x1 x2 2k 3,x x1 2 k 3,

k k

- +

+ = = thế vào (c) ta có phương 
trình: 8k3+27k2+8k- = Û3 0 (k+3)(8k2+3k- =1) 0

3; 3 41; 3 41

16 16

- +

-Û = -k k = k= . 
Kết luận: Vậy có 3 giá trị của k thoả mãn như trên.

Câu 59. Cho hàm số 2 2
1
x
y

x

-=

+ (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm m để đường thẳng (d): y=2x m+ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
5

AB .

· PT hoành độ giao điểm: 2 2 2
1

- = +
+

x

x m

x Û x mx m x

2 + + + =2 0 ( ¹ -1) (1) 
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B Û (1) có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 khác –1

Û m2-8m-16 0 > (2)

Khi đó ta có: 1 2
1 2

2
2
2

m
x x

m
x x

ì + =
-ïï

í +

ï =

ïỵ

. Gọi A x

(

1;2x1+ m

) (

, B x2;2x2+ m

)

.

AB2 = 5 Û 2 2

1 2 1 2

(x -x ) +4(x -x ) =5 Û 2

1 2 1 2

(x +x ) -4x x =1 Û m2-8m-20 0=
 Û é =ê = -mm 102

ë (thoả (2)) 
Vậy: m=10;m= -2.

Câu 60. Cho hàm số y x

x m

1

-=

+ (1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1) khi m=1.

2) Tìm các giá trị của tham sốm sao cho đường thẳng (d): y x= +2 cắt đồ thị hàm số (1) tại
hai điểm A và B sao cho AB=2 2 .

· PT hoành độ giao điểm: x x x m

x m x2 m x m

1 2

( 1) 2 1 0 (*)
ì ¹

-= + Û í

+ ỵ + + + + =

d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B phân biệt Û (*) có hai nghiệm phân biệt khác -m

m m

m m

x m m m

0 6 3 0 3 2 3 3 2 3

1
1

D ì ì

ì > - - > < - Ú > +

ớ ớ ớ

ạ - ạ - ạ

-ợ ợ ợ (**)

Khi đó gọi x x1, 2 là các nghiệm của (*), ta có xx x1 x2 m m
1 2

( 1)

. 2 1

ì + = - +

í = +

ỵ

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Suy ra AB2=2(x1-x2)2 =2 (ëé x1+x2)2-4x x1 2ûù=2(m2-6m-3)
Theo giả thiết ta được 2(m2-6m- = Û3) 8 m2-6m- = Û ê =7 0 é = -mm 71

ë
Kết hợp với điều kiện (**) ta được m=7 là giá trị cần tìm.

Câu 61. Cho hàm số 2 1
1
x
y

x

-=

- (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm mđể đường thẳng d: y x m= + cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho DOAB
vng tại O.

· Phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và d: x2+(m-3)x+ - =1 m 0, xạ1 (*) 
(*) cú D=m2-2m+ >5 0," ẻm R và (*) khơng có nghiệm x = 1.

Þ (*) ln có 2 nghiệm phân biệt là x xA, B. Theo định lí Viét: A B
A B

x x m

x x. 13m

ì + =

-í =

-ỵ
Khi đó: A x x

(

A; A+m B x x

) (

, B; B +m

)

OAB

D vng tại O thì OA OBuur uur. = Û0 x xA B+

(

xA+m x

)(

B+m

)

Û2x x +m

(

x +x

)

+m2 =0Ûm=-2

B
A
B

A

Vậy: m = –2.

Câu 62. Cho hàm số: y x

x

2
2
+
=

- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Chứng minh rằng với mọi giá trịm thì trên (C) ln có cặp điểm A, B nằm về hai nhánh
của (C) và thỏa A A

B B

x y m

0
0
ì - + =
í - + =

ỵ .

· Ta có: A A A A

B B B B

x y m y x m A B d y x m

x y m y x m

0 , ( ) :

ỡ - + = ỡ = +

ị ẻ = +

ớ - + = ớ = +

ợ ợ

ị A, B là giao điểm của (C) và (d). Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):

x

x m f x x m x m x

x

2 ( ) ( 3) (2 2) 0 ( 2)
2

+ = Û = + - - + = ¹

- (*).

(*) có D=m2+2m+17 0,> "m Þ (d) ln cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. 
Và 1. (2)f = - < Þ4 0 xA< <2 xB hoặc xB < <2 xA (đpcm).

KSHS 04: TIẾP TUYẾN

Câu 63. Cho hàm số y=x3 +(1-2m)x2 +(2-m)x+m+2 (1) (m là tham số). 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số (1) với m = 2.

2) Tìm tham sốmđểđồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:x+ y+7=0
góc a , biết

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

· Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến Þ tiếp tuyến có VTPT nr1=( ; 1)k
-Đường thẳng d có VTPT nr2 =(1;1).

Ta có n n k k k k

n n k k

1 2 2

2
1 2

. 1 1 2

cos 12 26 12 0 2

. 26 2 1

3
a
é =
ê

-= Û = Û - + = Û ê
ê
+ =
ë
r r
r r

YCBT thoả mãn Û ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:

y
y
3
2
2

3
é ¢=
ê
ê
¢
ê =
ë
Û
ê
ê
ê
ê
ë
é
=

-+

-+
=

-+

-+
3
2
2
)
2
1

(
2
3
2
3
2
)
2
1
(
2
3
2
2
m
x
m
x
m
x
m
x
Û
ê
ê
ë
é
³
D
³

D
0
0
2
/
1
/
Û
ê
ê
ë
é
³

-³

-0
3
4
0
1
2
8
2
2
m
m
m

m
Û
ê
ê
ê
ê
ë
é
³

-£
³

-£
1
;
4
3
2
1
;
4
1
m
m
m
m
Û
4
1

-£

m hoặc 
2
1
³
m

Câu 64. Cho hàm số y x= 3-3x2+1 có đồ thị (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với
nhau và độ dài đoạn AB = 4 2.

· Giả sử A a a( ; 3-3a2+1), ( ;B b b3-3b2+1) thuộc (C), với a b¹ . 
Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau nên:

y a¢( )=y b¢( ) Û 3a2-6a=3b2-6bÛa2-b2-2(a b- ) 0= Û(a b a b- )( + - =2) 0

Û a b+ - = Û = -2 0 b 2 a. Vì a b¹ nên a¹ - Û ¹2 a a 1

Ta có: AB= (b a- )2+(b3-3b2+ -1 a3+3a2-1)2= (b a- )2+(b3-a3-3(b2-a2 2))

b a 2 b a 3 ab b a b a b a 2

( ) é( ) 3 ( ) 3( )( )ù

= - +ë - + - - - + û

b a 2 b a 2 b a 2 ab 2

( ) ( ) (é ) 3 3.2ù

= - + - ë - + - û

b a 2 b a 2 b a 2 ab 2

( ) ( ) (é ) 6ù

= - + - ë + - - û = (b a- )2+ -(b a) ( 22 - -ab)2
2

AB =(b a- ) 1 ( 22ëé + - -ab)2ûù= -(2 2 ) 1 (a 2ëé + a2-2a-2)2ùû

a 2 a 2 2 a 2 a 4 a 2

4( 1) 1 (é é 1) 3ù ù 4( 1) (é 1) 6( 1) 10ù
= - êë +ë - - û úû= - ë - - - + û

a 6 a 4 a 2

4( 1) 24( 1) 40( 1)

= - - - +

-Mà AB=4 2 nên 4(a-1)6-24(a-1)4+40(a-1)2 =32

a 6 a 4 a 2

( 1) 6( 1) 10( 1) 8 0

Û - - - + - - = (*)

Đặt t=(a-1) ,2 t>0. Khi đó (*) trở thành:

t3-6t2+10 8 0t- = Û -( 4)(t t2- +2 2) 0t = Û =t 4 Þ(a-1)2 = Û ê = - Þ =4 é = Þ = -aa 31 bb 31
ë

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Câu 65. Cho hàm số y=3x x- 3 (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên đường thẳng (d): y= -x các điểm mà từđó kẻđược đúng 2 tiếp tuyến phân biệt
với đồ thị (C).

· Các điểm cần tìm là: A(2; –2) và B(–2; 2).

Câu 66. Cho hàm số y= - +x3 3x2-2 (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từđó kẻđược 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ
thị (C).

· Gọi M m( ;2) ( )Ỵ d .

PT đường thẳng Dđi qua điểm M và có hệ số góc k có dạng : y k x m= ( - ) 2+

D là tiếp tuyến của (C) Û hệ PT sau có nghiệm x x k x m

x x k

3 2

2 3 2 ( ) 2 (1)

3 6 (2)

ìï- + - = - +

- + =

ïỵ (*).

Thay (2) và (1) ta được: 2x3-3(m+1)x2+6mx- = Û4 0 (x-2) 2ëé x2-(3m-1)x+2ùû=0

Û éê =

= - - + =

ë 2

( ) 2 (3 1) 2 0 (3)

x

f x x m x

Từ M kẻđược 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)Û hệ (*) có 3 nghiệm x phân biệt 
Û(3) có hai nghiệm phân biệt khỏc 2

ỡ

D > < - >

ỡ ù

ớ ớ

ạ

ợ ù ạợ

0 1

3
(2) 0

m hoặc m
f

m

.

Vy t các điểm M(m; 2) Ỵ (d): y = 2 với ỡ < -ùớ >
ù ạ

ợ

5
1

3
2

m hoặc m
m

cú th kẻđược 3 tiếp tuyến 
đến (C).

Câu 67. Cho hàm số y f x( ) 1mx3 (m 1)x2 (4 3 )m x 1
3

= = + - + - + có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm các giá trịm sao cho trên đồ thị (Cm) tồn tại một điểm duy nhất có hồnh độ âm mà
tiếp tuyến tại đó vng góc với đường thẳng (d): x+2y- =3 0.

· (d) có hệ số góc 1

- Þ tiếp tuyến có hệ số góc k=2. Gọi x là hồnh độ tiếp điểm thì:

f x'( ) 2= Ûmx2+2(m-1)x+ -(4 3 ) 2m = Ûmx2+2(m-1)x+ -2 3m=0 (1) 
YCBT Û (1) có đúng một nghiệm âm.

+ Nếu m=0 thì (1)Û -2x= - Û =2 x 1 (loại)

+ Nếu m¹0thì dễ thấy phương trình (1) có 2 nghiệm là x hay x= m

m

2 3

-=
Do đó để (1) có một nghiệm âm thì

m
m

m m

0
2 3 0

2
3

é <
- < Ûê

ê >
êë
Vậy m 0 hay m 2

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Câu 68. Cho hàm số

y

=

(

x

+

1 .

) (

x

-

1 )

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Cho điểm A a( ;0). Tìm ađể từ A kẻđược 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).

· Ta có y x= 4-2x2+1.

Phương trình đường thẳng d đi qua A a( ;0) và có hệ số góc k : y k x a= ( - )

d là tiếp tuyến của (C) Û hệ phương trình sau có nghiệm: I x x k x a

x x k

4 2

2 1 ( )

( )

4 4

ì - + =

-ï
í

- =
ïỵ

Ta có: I k A

x2

( ) ( )

1 0
ì =
Û í - =

ỵ hoặc

x x k B

f x x ax

2
2

4 ( 1) ( )

( ) 3 4 1 0 (1)
ìï - =

= - + =

ïỵ

+ Từ hệ (A), chỉ cho ta một tiếp tuyến duy nhất là d y1: =0.

+ Vậy để từ A kẻđược 3 tiếp tuyến phân biệt với (C) thì điều kiện cần và đủ là hệ (B) phải 
có 2 nghiệm phân biệt ( ; )x k với x¹ ±1, tức là phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân 
biệt khác ±1 Û a

f

4 3 0
( 1) 0

D

ỡ Â = - >
ớ ạ

ợ a a

3 3

1 1

2 2

- ạ < - hoặc ạ >

Cõu 69. Cho hàm số y f x= ( )=x4-2x2.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hồnh độ lần lượt là a và b. Tìm điều kiện đối
với a và bđể hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.

· Ta có: f x'( ) 4= x3-4x

Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là kA = f a'( ) 4= a3-4 ,a kB = f b'( ) 4= b3-4b
Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là:

y f a x a= ¢( )( - +) f a( )Û =y f a x f a af a¢( ) + ( )- ¢( )

y f b x b= ¢( )( - +) f b( )Û =y f b x f b bf b¢( ) + ( )- ¢( )

Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:

3 3

A B

k =k Û4a -4a = 4b -4bÛ(a b a- )( 2+ab b+ 2- =1) 0 (1) 
Vì A và B phân biệt nên a b¹ , do đó (1) Û a2+ab b+ 2- =1 0 (2) 
Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau khi và chỉ khi:

a ab b a b a ab b

a a b b

f a af a f b bf b

2 2 2 2

4 2 4 2

1 0 ( ) 1 0

3 2 3 2

( ) ( ) ( ) ( )

ì ì

ï + + - = ï + + - =

ớ ạ ớ

Â Â - + = - +

- = - ï

ï ỵ

ỵ

Giải hệ này ta được nghiệm là ( ; ) ( 1;1)a b = - hoặc ( ; ) (1; 1)a b = - , hai nghiệm này tương 
ứng với cùng một cặp điểm trên đồ thị là ( 1; 1)- - và (1; 1)

-Vậy điều kiện cần và đủđể hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau là:

a ab b

a a b

2 2 1 0

ì + + - =
ớ ạ ạ
ợ

Cõu 70. Cho hm số 2
2
x
y

x
=

+ (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

· Tiếp tuyến (d) của đồ thị (C) tại điểm M có hồnh độ a¹ -2 thuộc (C) có phương trình:

a

y x a x a y a

a
a

2 2

4 ( ) 2 4 ( 2) 2 0

2
( 2)

= - + Û - + + =

+
+

Tâm đối xứng của (C) làI

(

-2;2

)

. Ta có:

a a a

d I d

a

a 4 a 2

8 2 8 2 8 2

( , ) 2 2

2 2 2
16 ( 2) 2.4.( 2)

+ + +

= £ = =

+ + +

d I d( , ) lớn nhất khi (a+2)2= Û ê = -4 é =aa 04
ë . 
Từđó suy ra có hai tiếp tuyến y x= và y x= +8.

Câu 71. Cho hàm số y x

x

2
2 3

+
=

+ (1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1).

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hồnh, trục
tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.

· Gọi ( ; )x y0 0 là toạđộ của tiếp điểm Þ y x

x

0 2

0
1

( ) 0

(2 3)

-¢ = <

DOAB cân tại O nên tiếp tuyến D song song với đường thẳng y= -x (vì tiếp tuyến có hệ số
góc âm). Nghĩa là: y x

x

0 2

0
1

( ) 1

(2 3)

-Â = =

-+ ị

x y

0 0

1 1

2 0

é = - Þ =
ê

= - Þ =

êë

+ Với x0 = -1; y0 =1 ÞD: y- = - + Û = -1 (x 1) y x (loại) 
+ Với x0 = -2;y0 =0 ÞD: y- = - +0 (x 2)Û = - -y x 2 (nhận) 
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y= - -x 2.

Câu 72. Cho hàm số y =
1

1
2

-x

x
.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần
lượt tại các điểm A và B thoả mãn OA = 4OB.

· Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M x y( ; ) ( )0 0 Ỵ C cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho OA=4OB. 
Do DOAB vng tại O nên A OB

OA

1
tan

= = Þ Hệ số góc của d bằng 1
4 hoặc

1
4
- . 
Hệ số góc của d là y x

x x

0 2 2

0 0

1 1 1

( ) 0

( 1) ( 1)

¢ = - < Þ - =

-- - Û

x y

0 0

3
1 ( )

2
5

3 ( )

2
é

= - =
ê

ê = =

ë
Khi đó có 2 tiếp tuyến thoả mãn là: y x y x

y x y x

1( 1) 3 1 5

4 2 4 4

1( 3) 5 1 13

4 2 4 4

é é

= - + + = - +

ê ê

ê = - - + ê = - +

ë ë

.

Câu 73. Cho hàm số y x

x

2 3
2

-=

- có đồ thị (C).

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại
A, B sao cho AB ngn nht.

Ã Ly im M m
m
1
; 2
2
ổ ử
+
ỗ - ữ

ố ứẻ

( )

C . Ta cú: y m m 2

1
( )

( 2)
¢ =

-Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình: y x m

m

m 2

1 ( ) 2 1

2
( 2)

= - - + +

-Giao điểm của (d) vi tim cn ng l: A

m
2
2;2
2
ổ ử
+
ỗ - ÷
è ø

Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là: B m(2 – 2;2)
Ta có: AB m

m

2 2

2
1

4 ( 2) 8

( 2)

é ù

= ê - + ú³

-ê ú

ë û . Dấu “=” xảy ra Û

m
m 13
é =
ê =
ë

Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là: M(3;3) hoặc M(1;1)

Câu 74. Cho hàm số y x

x
2 3
2

-=
- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C)
tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạđộđiểm M sao cho đường
trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.

· Giả sử M x x x

x 0

0 0

2 3

; , 2

ổ - ử

ạ

ỗ ữ

ỗ - ữ

ố ứ , y x0

(

x0

)

1
'( )
2

-=

-Phương trình tiếp tuyến (D) với ( C) tại M:

(

)

x

y x x

x
x
0
0
2

0
0
2 3

1 ( )

2
2

-= - +

-Toạđộ giao điểm A, B của (D) với hai tiệm cận là: A x B x

(

)

x00 0

2 2

2; ; 2 2;2

2
ổ - ử

-ỗ ữ
ỗ - ữ
ố ứ

Ta thy xA xB 2 2x0 2 x0 xM

2 2

+ +

-= = = , yA yB x yM
x00

2 3

2 2

-= =

- suy ra M là trung điểm 
của AB.

Mặt khác I(2; 2) và DIAB vuông tại I nên đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích

S = IM x x x

x x

2 2 0 2

0 0 2

0 0

2 3 1

( 2) 2 ( 2) 2

2 ( 2)

p =pờộờ - +ỗỗổ - - ÷÷ư úùú=pêé - + ùú³ p

- ê - ú

è ø ë û

ë û

Dấu “=” xảy ra khi x xx
x
2 0
0 2
0
0
1
1

( 2) 3

( 2)

é =

- = Û ê =

- ë

Do đó điểm M cần tìm là M(1; 1) hoặc M(3; 3)

Câu 75. Cho hàm số

1
1
2

-+
=
x
x

y có đồ thị (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

· Giao điểm của 2 tiệm cận là I(1;2). Gi M ữữ
ứ
ử
ỗỗ
ố
ổ

-+
1
3
2
;
0
0
x

x ẻ (C).

+ PTTT ti M có dạng: y x x

x

x0 2 0 0

3 ( ) 2 3

1
( 1)

-= - + +

-+ Toạđộ các giao điểm ca tip tuyn vi 2 tim cn: A ữữ

ứ
ử

ỗỗ
ố
ổ

-+
1
6
2
;
1
0

x , B(2x0-1;2)

+ Ta có: S IAB IA IB x

x0 0

1 . 1 6 2 1 2.3 6

2 2 1

D = = × - × - = = (đvdt)

+ DIAB vuông có diện tích khơng đổi Þ chu vi DIAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA= IB

Û
ê
ê
ë

é

-=
+
=
Þ

-=

- 1 3

3
1
1
2
1
6
0
0
0
0 x
x
x
x

Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện M1

(

1+ 3;2+ 3

)

, M2

(

1- 3;2- 3

)

Khi đó chu vi DAIB = 4 3+2 6.

Chú ý: Với 2 số dương a, b thoả ab = S (khơng đổi) thì biểu thức P = a b+ + a2+b2 nhỏ
nhất khi và chỉ khi a = b.

Thật vậy: P = a b+ + a2+b2 ³ 2 ab+ 2ab = +(2 2) ab= +(2 2) S . 
Dấu "=" xảy ra Û a = b.

Câu 76. Cho hàm số: y x

x

2
1
+
=

- (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Cho điểm A a(0; ). Tìm ađể từ A kẻđược 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm
tương ứng nằm về 2 phía của trục hồnh.

· Phương trình đường thẳng d đi qua A a(0; ) và có hệ số góc k: y kx a= +

d là tiếp tuyến của (C) Û Hệ PT

x kx a

x
k
x 2
2

1
3
( 1)
ì +
= +
ïï
-í 
-=
ï
ï
-ỵ

có nghiệm

Û PT: (1-a x) 2+2(a+2)x a- +( 2) 0= (1) có nghiệm x¹1. 
Để qua A có 2 tiếp tuyến thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2

Û a aa

a

1 1

2
3 6 0

D

ì ¹ ỡ ạ

ớ Â = + > ớ > 
-ợ

ợ (*)

Khi đó ta có: x x a x x a

a a

1+ 2 =2( -+12); 1 2= +-12 và y1 x y2 x

1 2

3 3

1 ; 1

1 1

= + = +

-Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía đối với trục hồnh thì y y1 2. <0

Û

x1 x2

3 3

1 . 1 0

1 1

ổ + ử ổ + ử<
ỗ - ữ ç - ÷

è ø è ø Û

x x x x

x x1 21 2 x11 x22

. 2( ) 4

. ( ) 1

+ + +

- + + Û 3a+ >2 0 Û a
2
3
>

-Kết hợp với điều kiện (*) ta được: a

a

2
3
1
ỡù >
-ớ
ù ạ
ợ

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Cõu 77. Cho hm số y x

x

3
1
+
=

- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Cho điểm M x yo( ; )o o thuộc đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại M0 cắt các tiệm cận của (C)
tại các điểm A và B. Chứng minh Mo là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Ã M x yo( ; )o o ẻ (C) ị y

x

0
4
1

1
= +

- .

Phương trình tiếp tuyến (d) tại M0 : y y x x

x

0 2 0

4 ( )

( 1)

- = -

-Giao điểm của (d) với các tiệm cận là: A x(2 0-1;1), (1;2B y0-1).

Þ xA xB x0; yA yB y0

2 2

+ +

= = Þ M0 là trung điểm AB.

Câu 78. Cho hàm số : y x

x

2
1
+
=

- (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một tam
giác có diện tích khơng đổi.

· Giả sử M a a

a

;

1
ổ + ử
ỗ - ữ

ố ứ ẻ (C).

PTTT (d) của (C) tại M: y y a x a a

a

2
( ).( )

1
+
¢

= - +

- Û

a a

y x

a a

2 2

3 4 2

( 1) ( 1)

- +

-= +

-Các giao điểm của (d) với các tiệm cận là: A a

a

5
1;

1
ổ + ử
ỗ - ữ

ố ứ, B a(2 -1;1).

IA

a

6
0;

đ ổ ử

= ỗ - ữ

ố ứ ị IA a
6

1
=

- ; IB (2a 2;0)
đ

= - ịIB=2a-1
Din tớch DIAB: SDIAB= 1IA IB.

2 = 6 (đvdt) ÞĐPCM. 
Câu hỏi tương tựđối với hàm số y x

x

2 4
1

-=

+ ĐS: S = 12.

Câu 79. Cho hàm số y =
1
2
+
+
x
x

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận, D là một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị (C). d là
khoảng cách từ I đến D. Tìm giá trị lớn nhất của d.

· y

x 2

1
( 1)

-¢ =

+ . Giao điểm của hai đường tiệm cận là I(–1; 1). Giả sử

x

M x C

x0

0
0

; ( )

æ + ử

ẻ

ỗ + ữ

ố ứ

Phng trỡnh tip tuyn D vi đồ thi hàm số tại M là:

(

)

x

y x x

x
x

0
0
2

0
0

1 ( )

1
1

-= - +

+ x

(

x

)

y x

(

x

)(

x

)

0 1 0 0 1 0 2 0

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Khoảng cách từ I đếnD là d =

(

)

x
x

0
4
0

2 1

1 1

+
+ +

=

(

x

)

(

x

)

2
0
2
0

2 2

1 1

£
+ +
+

Vậy GTLN của d bằng 2 khi x0=0 hoặc x0 = -2.

Câu 80. Cho hàm số y x

x

2 1
1

-=

- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từđiểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng
2.

· Tiếp tuyến của (C) tại điểm M x f x( ; ( )) ( )0 0 Ỵ C có phương trình:

y f x x x= '( )(0 - 0)+ f x( )0 Û x+(x0-1)2y-2x02+2x0- =1 0 (*) 
Khoảng cách từđiểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*) bằng 2 x

x

0
4
0
2 2

2
1 ( 1)

-Û =

+ - Û

x
x00

0
2
é =
ê =
ë
Các tiếp tuyến cần tìm : x y+ - =1 0 và x y+ - =5 0

Câu 81. Cho hàm số y x

x

1
1
+
=

- (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên Oy tất cả các điểm từđó kẻđược duy nhất một tiếp tuyến tới (C).

· Gọi M(0; )yo là điểm cần tìm. PT đường thẳng qua M có dạng: y kx y= + o (d)

(d) là tiếp tuyến của (C) o o o o

x kx y y x y x y

x

x k

k x

x

2
2

1 ( 1) 2( 1) 1 0 (1)

1 2

2 1;

( 1)
( 1)

ì + ì

= + - - + + + =

ïï - ï

Ûí - Ûí ạ - =

ù ù

-ợ
ù

-ợ

(*) 
YCBT hệ (*) có 1nghiệmÛ(1) có 1 nghiệm khác 1

o o

o

o o o o

y y x y k

x y 2 y y x y k

1 1 1; 1 8

1 ' ( 1) ( 1)( 1) 0 2

0; 1 2

2 D

ỡ = ỡ ạ ộ

ù ù ờ = = ị =

-Ûí Ú í Û

= ï = + - - + =

ù ợ = = ị =

-ợ ở

Vy có 2 điểm cần tìm là: M(0; 1) và M(0; –1).

Câu 82. Cho hàm số y x
x

2 1
1
+
=

+ .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai điểm
A(2; 4), B(-4; -2).

· Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm (x0 ¹ -1).

PTTT (d) là y x x x
x
x

0
0

2 1

1 ( )

1
( 1)

= - +

+ Û x x y x x

2 2

0 0 0

( 1) 2 2 1 0

- + + + + =

Ta có: d A d( , )=d B d( , ) Û 2 4(- x0+1)2+2x02+2x0+ = - +1 4 2(x0+1)2+2x02+2x0+1

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: y 1x 5; y x 1; y x 5

4 4

= + = + = +

Câu 83. Cho hàm số 2 1
1

-x
y

x .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận, A là điểm trên (C) có hồnh độ là a. Tiếp
tuyến tại A của (C) cắt hai đường tiệm cận tại P và Q. Chứng tỏ rằng A là trung điểm của
PQ và tính diện tích tam giác IPQ.

· I A a a

a

2 1
(1; 2), ;

ổ - ử

- ỗ ữ

-ố ứ. PT tiếp tuyến d tại A: 2

1 2 1

( )

(1 ) 1

-= - +

-a

y x a

a a

Giao điểm của tiệm cận đứng và tiếp tuyến d: 1; 2
1

ổ ử

ỗ ữ

-ố ứ

a
P

a
Giao im ca tim cn ngang v tiếp tuyến d: Q a(2 –1; 2)
-Ta có: xP+ xQ =2a=2xA. Vậy A là trung điểm của PQ.

IP = 2 2 2

1 1

a

a+ = a

- - ; IQ = 2(a-1)
SIPQ = 1

2IP.IQ = 2 (đvdt)

Câu 84. Cho hàm số y x

x

2 3
2

-=

- (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và
tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho cơsin góc ·ABI bằng 4

17 , với I là giao 2 tiệm cận.

· I(2; 2). Gọi M x x C

x0

0
0

2 3

; ( )

ổ - ử

ẻ

ỗ - ữ

ố ứ , x0 ¹2

Phương trình tiếp tuyến D tại M: y x x x
x
x

0
0

2 3

1 ( )

2
( 2)

-= - - +

--

Giao điểm ca D vi cỏc tim cn:A x

x00

2 2

2;
2

ổ - ử

ỗ - ÷

è ø, B x(2 0-2;2). 
Do cos·ABI 4

= nên ·ABI IA

IB

1
tan

= = Û IB2 =16.IA2 Û (x0-2)4 =16 Û xx0
0

0
4
é =
ê =
ë
Kết luận: Tại M 0;3

2
ổ ử
ỗ ữ

ố ứ phng trỡnh tip tuyn: y x
1 3
4 2
= - +
Ti M 4;5

3
ổ ử
ỗ ữ

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

KSHS 05: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Câu 85. Cho hàm số y= - +x3 3x2+1.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm mđể phương trình x3-3x2 = m3-3m2 có ba nghiệm phân biệt.

· PT x3-3x2 = m3-3m2 Û - +x3 3x2+ = -1 m3+3m2+1. Đặt k= -m3+3m2+1
Số nghiệm của PT bằng số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng d: y k=

Dựa vào đồ thị (C) ta có PT có 3 nghiệm phân biệt Û1< <k 5 Û mỴ -( 1;3) \ {0;2}

Câu 86. Cho hàm số y x= 4-5x2+4 có đồ thị (C). 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm mđể phương trình 4 2

|x -5x + =4 | log m có 6 nghiệm.

· Dựa vào đồ thị ta có PT có 6 nghiệm Û 94 4
12

log 12 144 12

m= Û =m = .

Câu 87. Cho hàm số y f x= ( ) 8= x4-9x2+1.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

x x m

4 2

8cos -9cos + =0 với xỴ[0; ]p

· Xét phương trình: 8cos4x-9cos2x m+ =0 với xỴ[0; ]p (1) 
Đặt t=cosx, phương trình (1) trở thành: 8t4-9t2+ =m 0 (2)

Vì xỴ[0; ]p nên tỴ -[ 1;1], giữa x và t có sự tương ứng một đối một, do đó số nghiệm của 
phương trình (1) và (2) bằng nhau.

Ta có: (2)Û8t4-9t2+ = -1 1 m (3)

Gọi (C1): y=8t4-9t2+1 với tỴ -[ 1;1] và (d): y= -1 m. Phương trình (3) là phương trình

hồnh độ giao điểm của (C1) và (d).

Chú ý rằng (C1) giống nhưđồ thị (C) trong miền - £ £1 x 1.

Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau:

m<0 m=0 0< <m 1 1 m 81

£ < m 81

= m 81

32
>
vô nghiệm 1 nghiệm 2 nghiệm 4 nghiệm 2 nghiệm vô nghiệm

Câu 88. Cho hàm số y x

x

3 4
2

-=

- (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm các giá trị của mđể phương trình sau có 2 nghiệm trên đoạn 0;2
3

p

é ù

ê ú

ë û:

x x m x x

6 6 4 4

sin +cos = (sin +cos )

· Xét phương trình: sin6x+cos6x m= (sin4x+cos )4 x (*)

x m x

2 2

3 1

1 sin 2 1 sin 2

4 2

æ ử

- = ỗ - ữ

ố ứ x m x

2 2

4 3sin 2- =2 (2 sin 2 )- (1)

Đặt t=sin 22 x. Với x 0;2
3

p

é ù

Ỵ ê ú

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

t
m

t

3 4
2

2

-=

- với tỴ ë ûé0;1ù

Nhận xét : với mỗi tỴ ë ûé0;1ùta có : x t x t

x t

sin 2 sin 2
sin 2

é =

-Û =

=
ë

Để (*) có 2 nghiệm thuộc đoạn 0;2
3

p

é ù

ê ú

ë ûthì t t

3;1 3;1

2 4

é ư é ư

Ỵê ữữị ẻờ ữ
ở ứ
ờở ứ

Da vo th (C) ta có: y(1) 2m y 3 1 2m 7

4 5

ỉ ử

< Ê ỗ ữ < Ê

ố ứ m

1 7

2< £10.

Câu 89. Cho hàm số 1.
1
x
y

x
+
=

-1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1 .

1
x

m
x

+
=

-· Số nghiệm của 1

1
x

m
x

+
=

- bằng số giao điểm của đồ thị (C¢):

1
1
x
y

x
+
=

- và y m= .

Dựa vào đồ thị ta suy ra được:

1; 1
< - >

m m m= -1 - < £1 m 1
2 nghiệm 1 nghiệm vô nghiệm

Câu 90. Cho hàm số: y x= 4-2x2+1.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4-2x2+ +1 log2m=0 (m > 0)

· x4-2x2+ +1 log2m=0 Û x4-2x2+ = -1 log2m (*)

+ Số nghiệm của (*) là số giao điểm của 2 đồ thị y x= 4-2x2+1 và y= -log2m
+ Từđồ thị suy ra:

m 1

< < m 1

= 1 m 1

2< < m=1 m>1
2 nghiệm 3 nghiệm 4 nghiệm 2 nghiệm vô nghiệm

KSHS 06: ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ

Câu 91. Cho hàm số 2 1
1
x
y

x
+
=

+ (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất.

· Gọi M x y( ; )0 0 ẻ (C), (x0 ạ -1) thì y x

x0 x

0 0

2 1 2 1

1 1

= =

-+ +

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

MA x MB y

x

0 0

0
1

1 , 2

= + = - =

Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: MA MB MA MB x

x

0
1

2 . 2 1 . 2

+ ³ = + =

+
Þ MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi x xx

x 0

0
0

0
1

1 2

é =
+ = Û ê =

-+ ë .

Vậy ta có hai điểm cần tìm là (0; 1) và (–2; 3). 
Câu hỏi tương tự:

a) 2 1
1

-=

+
x
y

x ĐS: x0 = - ±1 3

Câu 92. Cho hàm số y x

x

3 4
2

-=

- (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm các điểm thuộc (C) cách đều 2 tiệm cận.

· Gọi M x y( ; )Ỵ (C) và cách đều 2 tiệm cận x = 2 và y = 3.

Ta có: x y x x x x

x x

3 4

2 3 2 2 2

2 2

-- = -- Û -- = - Û - =

-x x x

x
x 2 ( 2) é =14
Û = ± - Û ê =

- ë

Vậy có 2 điểm thoả mãn đề bài là : M1( 1; 1) và M2(4; 6) 
Câu 93. Cho hàm số y x

x

2 4
1

-=

+ .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(–3; 0) và N(–1; –1).

· MNuuur=(2; 1)- Þ Phương trình MN: x+2y+ =3 0. 
Phương trình đường thẳng (d) ^ MN có dạng: y=2x m+ . 
Phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và (d):

x x m

x

2 4 2
1

-= +

+ Û x mx m x

2 + + + =4 0 ( ¹ -1) (1)

(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B Û D=m2– 8 – 32 0m > (2) 
Khi đó A x( ;21 x1+m B x), ( ;22 x2+m) với x x1, 2 là các nghiệm của (1) 
Trung điểm của AB là I x1 x2;x1 x2 m

ổ + ử

+ +

ỗ ữ

ố ứ

m m

I ;

4 2

ổ ử

-ỗ ữ

ố ứ (theo nh lý Vi-et)

A, B i xứng nhau qua MN Û I Ỵ MN Û m= -4

Suy ra (1) Û 2x2-4x= Û ê =0 é =xx 20

ë Þ A(0; –4), B(2; 0).

Câu 94. Cho hàm số y= - +x3 3x+2 (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d: 2 –x y+ =2 0.

· Gọi M x y

(

1; 1

) (

;N x y thu2; 2

)

ộc (C) là hai điểm đối xứng qua đường thẳng d 
I là trung điểm của AB nên 1 2; 1 2

2 2

x x y y
Iổỗ + + ửữ

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Cú:

(

) (

)

3 3

1 1 2 2

1 2 3 2 3 2 2. 1 2 2

2 2 2

x x x x

y +y = - + + + - + + = x +x +

(

1 2

)

3 1 2

(

1 2

) (

1 2

)

(

1 2

)

12 2 2

1 1 2 2

3 3 2

1
+ =
é
Þ - + + + + + = + Þ ê
- + =
ë
x x

x x x x x x x x x x

x x x x
Lại có: MN ^ Þd

(

x2-x1

)

.1+

(

y2 -y1

)

.2 0=

(

) (

)

(

2 2

)

2 2

2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2

7 2 0

2
Þ x -x - x -x x +x x +x = Þx +x x +x =
- Xét x1+x2 =0 1 7; 2 7

2 2

x x

Þ = ± =m

- Xét

2 2

1 2

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2

1 2
9
1

4
7 5
2 4
x x
x x x x

x x x x x x

ì
ì - + = ï + =
ù ù ị
ớ ớ
+ + =
ù ù =
ợ ùợ

vụ nghiệm

Vậy 2 điểm cần tìm là: 7; 2 1 7 ; 7; 2 1 7

2 2 2 2 2 2

ổ ử ổ ử

- - +

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ

Cõu 95. Cho hm s y x

x

2 1
1

-=

+ (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và
giao điểm hai đường tiệm cận có tích các hệ số góc bằng –9.

· Giao điểm 2 tiệm cận là I( 1;2)- .

Gọi IM M I

M I

y y

M x C k

x x x x

0 2

0 0

3 3

;2 ( )

1 ( 1)

-ổ - ửẻ ị = =

-ỗ + ữ

ố ứ

+ H s gúc của tiếp tuyến tại M:

(

)

M

k y x

x
0 2

0
3
( )
1
¢
= =
+
+ YCBT Ûk kM IM. = -9 Û x

x00

0
2
é =
ê =

-ë . Vậy có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; –3) và M(–2; 5)

Câu 96. Cho hàm số y x3 x2 3x 11

3 3

= - + + - .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung.

· Hai điểm M x y( ; ), ( ; ) ( )1 1 N x y2 2 Ỵ C đối xứng nhau qua Oy x x

y y
2 1
1 2
0
ỡ = - ạ
ù
ớ
=
ùợ

x x
x x

x x x x2

2 1

3 3

2 3

1 2

1 1 2

11 11

3 3

3 3 3 3

ì = - ¹
ï
í
- + + - = - + +
-ï
ỵ
Û x
x
1
2
3
3
ì =
ï
í
=

-ïỵ hoặc

x
x
1
2
3
3
ì =
-ï

í
=
ïỵ 
Vậy hai điểm thuộc đồ thị (C) và đối xứng qua Oy là: M 3;16 , N 3;16

3 3

ổ ử ổ- ử

ỗ ữ ỗ ÷

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Câu 97. Cho hàm số 2
1
x
y
x
=
- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC vuông cân tại
đỉnh A với A(2; 0).

· Ta có C y

x
2
( ) : 2

= +

- . Gọi B b b C c c

2 2

;2 , ;2

1 1

+ +

-ổ ử ổ ử

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ è ø với b< <1 c. 
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C lên trục Ox.

Ta có: AB AC BAC= ;· =900 Þ·CAK BAH+· =900=·CAK ACK+· · ·ÞBAH ACK=

và: BHA CKA· · ABH CAK

{

AH CK

HB AK

90 D D =

= = Þ = Þ

Hay:

{

b
b
c
c
c
b
2
2 2
1
1
2 3
2 2
1
- = +
=
-- Û
=
+ =

-ì
ïï

í
ï
ïỵ
 . 
Vậy B( 1;1),- C(3;3)

Câu 98. Cho hàm số

1
1
2
+

-=
x
x
y .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm tọa độđiểm M Ỵ (C) sao cho khoảng cách từđiểm I(-1;2)tới tiếp tuyến của (C) tại
M là lớn nht.

Ã Gi s ( )

1
3
2
;

0 x C

x

M ữữẻ

ứ
ử
ỗỗ
ố
ổ
+

- . PTTT D của (C) tại M là: 
)
(
)
1
(
3
1
3

2 2 0

0
0
x

x
x
x
y
-+
=
+
+

- Û 3( ) ( 1)2( 2) 3( 0 1) 0
0

0 - + - - + =

-x x y x

x
Khoảng cách từ I(-1;2) tới tiếp tuyến D là:

(

)

0
2
0
4
0
0
4
0
0

0
)
1
(
)
1
(
9
6
)
1
(
9
1
6
1
9
)
1
(
3
)
1
(
3
+
+
+
=
+

+
+
=
+
+
+

-=
x
x
x
x
x
x
x
d .

Theo BĐT Cô–si: ( 1) 2 9 6
)
1
(
9 2
0
2
0
=
³
+

+
+ x

x Þ d £ 6.

Khoảng cách d lớn nhất bằng 6 khi ( 1)

(

)

3 1 3
)
1
(
9
0
2
0
2
0
2
0
±

-=
Û
=
+
Û
+
=

+ x x x

x .

Vậy có hai điểm cần tìm là: M

(

-1+ 3;2- 3

)

hoặc M

(

-1- 3;2+ 3

)

Câu 99. Cho hàm số y= - +x3 3x+2 (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua tâm M(–1; 3).

· Gọi A x y

(

0 0;

)

, B là điểm đối xứng với A qua im M( 1;3)- ịB

(

- -2 x0;6-y0

)

A B C, ẻ( ) Û y x x

y x x

0 0 0

3 2

6 ( 2 ) 3( 2 ) 2

ì = - + +
ï
í
- = - - - + - - +

ïỵ

(

) (

)

x03 x0 x0 3 x0 x02 x0

6 3 2 2 3 2 2 6 12 6 0

Û = - + + - - - + - - + Û + + =

H K

B

A

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Vậy 2 điểm cần tìm là:

(

-1;0

)

và

(

-1;6

)

Câu 100. Cho hàm số y x
x

2
2 1

+
=

- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2; 0) và B(0; 2).

· PT đường trung trực đọan AB: y x= .

Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hồnh độ là nghiệm của PT:

x x

x

2
2 1

+
=

- Û

x

x x

x

1 5
2
1 0

1 5
2

é

-=
ê
ê
- - = Û

+
ê =
êë

Hai điểm cần tìm là: 1 5 1, 5 ; 1 5 1, 5

2 2 2 2

ỉ - - ư ỉ + + ử

ỗ ữ ỗ ữ

</div>

100 cau lien quan den KSHS

<b>TÀI LI</b>

<b>Ệ</b>

<b>U ÔN THI </b>

<b>ĐẠ</b>

<b>I H</b>

<b>Ọ</b>

<b>C – CAO </b>

<b>ĐẲ</b>

<b>NG </b>

Th

ạc sĩ. Nguyễn Thạo

(

]

(

) (

)

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

( )

( )

(

) (

)

( )

( )

-(

)

(

)

( )

(

) (

) (

)

(

)

(

)

( )

( )

(

) (

) (

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

( )

(

)

( ) (

)(

)(

)

(

) (