Khái niệm giá trị tuyệt đối trong dạy học toán ở trường phổ thông

 

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thiện Chí

KHÁI NIỆM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
TRONG DẠY HỌC TỐN Ở TRƯỜNG
PHỔTHƠNG

Chun ngành: Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2010
 


 

LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS.Lê Văn Tiến, người
đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học và góp phần quan trọng vào
việc hồn thành luận văn này.
Tơi xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến,

TS.Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình giảng dạy,
truyền thụ kiến thức và niềm say mê đối với Didactic Tốn.
Tơi xin trân trọng cám ơn: PGS.TS.Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot,
TS.Vũ Như Thư Hương đã nhiệt tình góp ý hướng nghiên cứu đề tài và giải đáp
những thắc mắc cần thiết cho chúng tôi.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn:
- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH trường ĐHSP TP.HCM
đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi khi được học tập tại trường.
- Ban Giám hiệu Trường THCS Võ Việt Tân và các đồng nghiệp thuộc Bộ
mơn Tốn đã tạo mọi thuận lợi cho tôi trong lúc học tập tại trường ĐHSP TP.HCM.
Xin gởi những lời cảm ơn chân thành đến các bạn trong lớp Didactic khóa 18 đã
cùng tôi học tập, trải qua những ngày vui buồn và những khó khăn trong khóa học.
Sau cùng, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thành viên trong gia đình
tơi, ln động viên và giúp đỡ tơi về mọi mặt.
NGUYỄN THIỆN CHÍ

 


 

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
SGK: Sách giáo khoa
SBT: Sách bài tập
SGV: Sách giáo viên
PT: Phương trình
QT: Quy tắc
BP: Bình phương
XD: Xét dấu
TL: Trả lời

d( x,0): Khoảng cách từ điểm x đến điểm 0
M6: Sách giáo khoa toán 6 tập 1
E6: Sách bài tập toán 6 tập 1
G6: Sách giáo viên toán 6 tập 1
M7: Sách giáo khoa toán 7 tập 1
E7: Sách bài tập toán 7 tập 1
G7: Sách giáo viên toán 7 tập 1
M8: Sách giáo khoa toán 8 tập 2
E8: Sách bài tập toán 8 tập 2
G8: Sách giáo viên toán 8 tập 2
M9: Sách giáo khoa toán 9 tập 1
E9: Sách bài tập toán 9 tập 1
G9: Sách giáo viên toán 9 tập 1
M10: Sách giáo khoa đại số lớp 10 ( Ban cơ bản )
E10: Sách bài tập đại số lớp 10 ( Ban cơ bản )
G10: Sách giáo viên đại số lớp 10 ( Ban cơ bản)

 


1 

MỞ ĐẦU
 Lý do chọn đề tài. Câu hỏi ban đầu
 Khung lý thuyết tham chiếu
 Mục đích nghiên cứu
 Phương pháp nghiên cứu.
1.

Lý do chọn đề tài và câu hỏi ban đầu

Giá trị tuyệt đối là một đối tượng xuất hiện trong chương trình tốn phổ thơng

xun suốt từ bậc trung học cơ sở đến trung học phổ thông, với một vị trí khá quan trọng.
Thực tế giảng dạy cho thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi học các kiến
thức gắn liền với khái niệm giá trị tuyệt đối. Đặc biệt, chúng tôi thường nhận thấy
hiện tượng sau:
Hầu hết học sinh cho câu trả lời đúng với bài tốn tính giá trị tuyệt đối của một
số cụ thể (chẳng hạn  7 = 7), nhưng lại sai lầm khi cho kết quả  a = a, hoặc
chẳng hạn ( x  5)  x  5 .
Tại sao học sinh phạm phải sai lầm này? Còn những sai lầm khác gắn liền với
khái niệm này không ?
Chắc chắn những sai lầm trên xuất phát từ nhiều nguyên nhân khác nhau,
nhưng có hai yếu tố cần nêu lên trong các nhận xét trên:
- Có một sự khác biệt khi chuyển từ giá trị tuyệt đối của số cụ thể sang giá trị
tuyệt đối của một số biểu thị bằng chữ, hay của một biểu thức.
- Dấu “ - ” dường như cũng đóng một vai trị quan trọng tạo nên khó khăn và
sai lầm ở học sinh khi tiếp cận với các tình huống có giá trị tuyệt đối.
Từ những ghi nhận và gợi hỏi trên chúng tôi quyết định chọn chủ đề “Khái
niệm giá trị tuyệt đối trong dạy học tốn ở trường phổ thơng” làm đề tài cho luận
văn thạc sĩ của mình.
Cụ thể hơn, mục tiêu của luận văn này là trả lời cho các câu hỏi khởi đầu đặt ra sau đây:
- Khái niệm giá trị tuyệt đối được đưa vào chương trình phổ thơng như thế
nào? Nhằm mục đích gì? Được định nghĩa ra sao? Những dạng toán nào liên quan

 


2 

đến khái niệm giá trị tuyệt đối? Chúng được phát triển như thế nào qua các khối lớp,

bậc học?
- Học sinh thường gặp những lầm nào khi giải quyết các tình huống gắn liền
với khái niệm giá trị tuyệt đối ? Những sai lầm này sinh ra từ đâu?
- Các đối tượng “Số âm”, bản thân dấu “–”, “Chữ” hay “Biến” có vai trị gì đối
với khái niệm giá trị tuyệt đối? chúng có phải là yếu tố gắn liền với những khó khăn
và sai lầm trên của học sinh ?
- Nội dung và hình thức tổ chức các kiến thức gắn liền với khái niệm giá trị
tuyệt đối trong chương trình và sách giáo khoa hiện nay (kết quả lựa chọn của hệ
thống dạy học) ảnh hưởng gì đến việc học của học sinh về khái niệm giá trị tuyệt
đối và việc giải quyết các dạng toán liên quan đến khái niệm này?
2.

Khung lý thuyết tham chiếu
Nghiên cứu của chúng tơi được đặt trong phạm vi của didactic tốn, với việc

vận dụng các yếu tố lý thuyết sau đây:
2.1. Lý thuyết nhân chủng học
Trong lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm: “ quan
hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân”, “tổ chức toán học”.
Mối quan hệ thể chế R(I,O), quan hệ cá nhân R(X,O) được xác định thơng qua
nghiên cứu các tổ chức tốn học, các praxéologie là một khái niệm do Chevallard
(1998) đưa ra mà việc phân tích chúng cho phép ta xác định mối quan hệ thể chế
đối với đối tượng tri thức O. Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm
bốn thành phần , , ,  , trong đó T là một kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép
giải quyết T,  là cơng nghệ giải thích cho kỹ thuật ,  là lý thuyết giải thích cho
công nghệ .
2.2. Chướng ngại
2.2.1. Chướng ngại và sai lầm
(Theo Lê Thị Hoài Châu [3, tr.4])
Trong logic tiếp cận quá trình học tập được phát triển bởi Piajet, Bachelard và

Brousseau. Kiến thức thu được là kết quả của một sự thích nghi của học sinh với
 


3 

tình huống – tình huống này biện minh cho sự cần thiết của kiến thức được nói đến
bằng cách chứng tỏ hiệu quả của nó.
Trong một sự học tập bởi việc thích nghi với tình huống, kiến thức được xây
dựng ở học sinh thường mang tính địa phương, gắn liền một cách tùy tiện với
những kiến thức khác. Nó cũng thường mang tính chất tạm thời và có thể là khơng
hồn tồn chính xác.
Quan điểm này dẫn đến một cách nhìn mới trên những sai lầm của học sinh:
“Sai lầm không phải chỉ là hậu quả của sự không hiểu biết, không chắc chắn,
ngẫu nhiên theo cách nghĩ của những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa
hành vi, mà cịn có thể là hậu quả của những kiến thức đã có từ trước, những kiến thức
đã từng có ích đối với việc học tập trước kia, nhưng lại là sai, hoặc đơn giản là khơng
cịn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội kiến thức mới. Những sai lầm kiểu này không
phải là không dự kiến trước được , và chúng tạo nên những chướng ngại. Trong hoạt
động của thầy giáo cũng như trong hoạt động của học sinh, sai lầm có thể sinh ra từ
nghĩa của kiến thức được thu nhận bởi chủ thể này” (Brousseau, 1983).
Ở cùng một chủ thể, những sai lầm khác nhau có thể có một nguồn gốc chung.
Việc phân tích sai lầm có thể làm nổi bật lên một chướng ngại của việc học tập.
2.2.2. Đặc trưng của chướng ngại
(Theo Lê Thị Hồi Châu [3, tr.4-5])
Trước tiên, cần phải nói rõ rằng khơng phải mọi khó khăn đều có thể được
xem là chướng ngại.
Về việc này, Duroux đã nêu lên những đặc trưng của khái niệm chướng ngại mà
theo đó thì chướng ngại là một kiến thức, một quan niệm. Kiến thức, quan niệm này tạo
ra những câu trả lời phù hợp trong một số ngữ cảnh thường xuyên gặp, nhưng lại dẫn

đến những câu trả lời sai ở ngoài những ngữ cảnh này. Để có một câu trả lời chính xác
và đúng trong mọi trường hợp, cần phải có sự thay đổi trong quan điểm.
Sự phân biệt giữa khó khăn và chướng ngại cũng đã được nói rõ bởi El
Bouazzauori, bằng một sự tiếp cận song song các quan điểm lịch sử và quan điểm
nhận thức.

 


4 

“Nếu vấn đề được đặt ra ở một thời đại nào đó, trong một lý thuyết tốn học
nào đó đã được giải quyết mà không cần phải xem xét lại những quan điểm của lý
thuyết đang nói đến, thì người ta nói rằng một khó khăn đã được vượt qua. Dấu
hiệu của sự tồn tại một khó khăn là tốn học ở thời kỳ đó đã bị bế tắc, cho dù những
phương tiện để giải quyết vấn đề có thể đã có sẵn […]. Người ta cũng có thể nói
như vậy về những khó khăn trong sự tiến triển về mặt quan niệm ở một chủ thể đối
với một khái niệm toán học […]
Nếu ngược lại, vấn đề chỉ được giải quyết sau khi đã có một sự xây dựng lại
kiến thức và một sự thay đổi quan trọng về quan điểm, thì người ta nói rằng một
chướng ngại đã vượt qua. Dấu hiệu của sự tồn tại một chướng ngại là lý thuyết của
thời đại đó đã kìm hãm và ngăn cản việc giải quyết vấn đề được đặt ra.
Theo cùng một cách thức như vậy, người ta cũng có thể nói về những chướng
ngại trong sự tiến triển về mặt quan niệm ở một chủ thể đối với một khái niệm toán
học” (El Bouazzauori, 1988)
Các nhà didactic toán phân biệt bốn kiểu chướng ngại chủ yếu tùy theo nguồn
gốc của chúng:
- Chướng ngại khoa học luận, là chướng ngại gắn liền với sự phát triển lịch sử
của những kiến thức mà việc loại bỏ nó địi hỏi phải được đưa vào một cách tường
minh trong tri thức cần phải chuyển tải đến học sinh.

- Chướng ngại didactic, là những kiến thức sinh ra từ sự chuyển đổi didactic,
chúng dường như chỉ phụ thuộc vào sự lựa chọn dự án dạy học của từng hệ thống
giáo dục.
- Chướng ngại thuộc về sự phát triển cá thể, là chướng ngại gắn liền với những
hạn chế về nhận thức của một học sinh ở một thời điểm nào đó trong quá trình phát
triển của nó.
- Chướng ngại văn hóa, là chướng ngại được lưu hành trong cuộc sống văn
hóa, đã được giải quyết về mặt khoa học, nhưng vẫn luôn luôn tồn tại.
Chỉ có những chướng ngại khoa học luận là những chướng ngại mà việc vượt
qua chúng đóng một vai trò quyết định trong việc xây dựng tri thức. Và người ta có

 


5 

thể tìm lại những chướng ngại khoa học luận trong lịch sử phát sinh của chính khái
niệm đang được nói đến.
Những chướng ngại didactic chủ yếu sinh ra từ sự lựa chọn việc chuyển đổi didactic
của khái niệm, và như vậy nó đặc trưng cho thể chế mà khái niệm này sống trong đó.
2.3. Quan niệm và quy tắc hành động
(Theo Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến [4])
2.3.1. Quan niệm
Ta gọi quan niệm là một mơ hình được nhà nghiên cứu xây dựng để phân tích
ứng xử nhận thức của học sinh trước một kiểu vấn đề liên quan đến một khái niệm
tốn học. Mơ hình này cho phép:
- Vạch rõ sự tồn tại nhiều quan điểm có thể về cùng một khái niệm, những
cách thức xử lý được kết hợp với chúng, sự thích ứng của chúng với lời giải của
một lớp nào đó các bài tốn;
- Phân biệt tri thức mà thầy giáo muốn truyền thụ với những kiến thức thực tế

được học sinh xây dựng.
G.Brousseau định nghĩa quan niệm là: “một tập hợp các quy tắc, cách thực
hành, tri thức cho phép giải quyết một cách tương đối tốt một lớp tình huống và vấn
đề, trong khi đó lại tồn tại một lớp tình huống khác mà trong đó quan niệm này dẫn
đến thất bại, hoặc nó gợi lên những câu trả lời sai, hoặc kết quả thu được một cách
khó khăn trong điều kiện bất lợi”.
Việc nghiên cứu quan niệm có thể được làm từ hai sự tiếp cận (bổ sung cho nhau):
- Phân tích những chiến lược và sản phẩm của học sinh;
- Nghiên cứu khái niệm về mặt khoa học luận, trong mối liện hệ với các định
nghĩa và tính chất khác nhau.
2.3.2. Quy tắc hành động
Quy tắc hành động là một mô hình được xây dựng nhằm giải thích và chỉ rõ
những kiến thức mà học sinh đã sử dụng để đưa ra câu trả lời khi thực hiện một
nhiệm vụ xác định. Quy tắc hành động này liên quan đến một hay nhiều tính chất
tốn học gắn bó rất chặt chẽ với các quy trình hay câu trả lời của học sinh.

 


6 

Các quy tắc hành động được chỉ rõ qua việc nghiên cứu những câu trả lời sai
của học sinh, vẫn có thể mang lại câu trả lời đúng trong một số tình huống. Những
tình huống đó xác định phạm vi hợp thức của quy tắc hành động. Thơng thường thì
phạm vi hợp thức này khơng rỗng, thậm chí nó có thể dường như rất rộng đối với
học sinh, bởi vì những tình huống mà học sinh gặp lại gia cố thêm cho nó. Một câu
trả lời sai thường đến từ việc áp dụng một quy tắc hành động ở ngoài phạm vi hợp
thức của nó.
3.

Mục đích nghiên cứu
Trong khn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tơi trình

bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời
chúng chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này:
Q1: Hai khái niệm “chữ” và “số âm” có những đặc trưng cơ bản nào về mặt khoa
học luận và sư phạm? Chướng ngại gì gắn liền với số âm? Kiểu sai lầm chủ yếu nào
mà học sinh phạm phải liên quan đến khái niệm này?
Q2: Ở cấp độ tri thức khoa học, khái niệm giá trị tuyệt đối được đề cập như thế
nào? Nghĩa của chúng là gì? Khái niệm này được tiến triển ra sao?
Q3: Mối quan hệ thể chế với khái niệm giá trị tuyệt đối đã được xây dựng và tiến
triển ra sao trong thể chế dạy học tốn ở trường phổ thơng? Đặc trưng của những tổ
chức toán học gắn liền với khái niệm này? Các tổ chức tốn học đó tiến triển như
thế nào qua các khối lớp, bậc học? Có sự tương đồng và khác biệt nào có thể ghi
nhận giữa mối quan hệ thể chế với khái niệm giá trị tuyệt đối ở bậc đại học và ở bậc
phổ thông?
Q4: Những ràng buộc của thể chế dạy học có ảnh hưởng như thế nào đến mối quan
hệ cá nhân học sinh? Những quy tắc hành động nào, những quan niệm nào được học
sinh vận dụng góp phần tạo ra sai lầm a  a (với mọi số nguyên a) hoặc
( x  5)  x  5 (với mọi số thực x)? Còn những sai lầm khác gắn liền với khái niệm

giá trị tuyệt đối không?

 


7 

4.

Phương pháp nghiên cứu
Từ những câu hỏi ban đầu, chúng tôi lựa chọn khung lý thuyết phù hợp và đặt

ra những câu hỏi nghiên cứu Q1, Q2, Q3, Q4.
Để trả lời câu hỏi Q1, chúng tôi tham khảo một số luận văn trong didactic đã
được cơng bố về vai trị của chữ và bước chuyển từ số cụ thể sang chữ. Mặt khác,
chúng tôi phải tiến hành hai nghiên cứu độc lập, nhưng sẽ có tác dụng bổ sung cho
nhau, một nghiên cứu thể chế và một nghiên cứu điều tra khoa học luận của khái
niệm số âm. Ở mức độ tri thức bác học, nghiên cứu điều tra khoa học luận giúp cho
chúng tôi hiểu được nguồn gốc phát sinh và bản chất của khái niệm số âm. Đó sẽ là
cơ sở cho việc xác định chướng ngại khoa học luận gắn liền với khái niệm số âm.
Ở mức độ tri thức cần giảng dạy, sự phân tích thể chế dạy học giúp cho chúng
tôi hiểu rõ khái niệm số âm xuất hiện ở đâu, như thế nào, giữ vai trị gì trong thể
chế. Nó cũng giúp cho chúng tơi xác định nguồn gốc didactic của những khó khăn
mà học sinh thường gặp. Từ đó đưa ra dự đốn kiểu sai lầm chủ yếu mà học sinh
phạm phải gắn liền với khái niệm số âm. Các kết quả thu được cho phép chúng tôi
đưa ra câu trả lời cho câu hỏi Q1 và được trình bày trong chương 1: “Một số đặc
trưng khoa học luận và sư phạm của khái niệm chữ và số âm ”.
Để trả lời câu hỏi Q2, chúng tơi tiến hành phân tích một vài nét về lịch sử của
khái niệm giá trị tuyệt đối với mục đích tìm ra sự tiến triển cũng như nghĩa của khái
niệm này trong lịch sử. Đó là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích các giáo trình
tốn ở bậc đại học. Kết quả thu được cho phép trả lời câu hỏi Q2 và được trình bày
trong chương 2: “Khái niệm giá trị tuyệt đối ở cấp độ tri thức khoa học”.
Để trả lời các câu hỏi Q3, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối
tượng giá trị tuyệt đối. Thông qua việc nghiên cứu, phân tích chương trình, sách
giáo viên, sách giáo khoa, sách bài tập hiện hành ở các lớp 6, 7, 8, 9, 10. Chúng tôi
sẽ cố gắng làm rõ cách xây dựng khái niệm giá trị tuyệt đối, cũng như chỉ ra được
các tổ chức toán học cùng với sự tiến triển của chúng qua các khối lớp, bậc học.

 

8 

Nghiên cứu quan hệ thể chế cho phép, chúng tôi trả lời các câu hỏi Q3 và đưa
ra các giả thuyết nghiên cứu. Kết quả này sẽ được trình bày trong chương 3:
“Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng giá trị tuyệt đối”.
Với những giả thuyết, chúng tôi cần kiểm chứng. Để làm được điều này,
chúng tôi xây dựng và tiến hành thực nghiệm: thực nghiệm đối với học sinh qua các
phiếu học tập. Các kết quả nhận được cho phép chúng tôi đưa ra câu trả lời cho câu
hỏi Q4 và được trình bày trong chương 4: “Nghiên cứu thực nghiệm”.

 


9 

Chương 1.
MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN VÀ SƯ PHẠM
CỦA KHÁI NIỆM CHỮ VÀ SỐ ÂM
 Khái niệm chữ
 Khái niệm số âm.
Mục tiêu của chương
Mục tiêu chương này là phân tích và tổng hợp một số nghiên cứu lịch sử và
nghiên cứu thể chế về hai đối tượng “chữ” và “số âm” nhằm làm rõ các đặc trưng
khoa học luận và đặc trưng sư phạm của chúng. Cụ thể chúng tôi nhắm đến trả lời
các câu hỏi sau đây:
1. Hai khái niệm “chữ” và “số âm” có những đặc trưng cơ bản nào về mặt
khoa học luận và sư phạm?
2. Chướng ngại gì gắn liền với số âm? Kiểu sai lầm chủ yếu nào mà học sinh

phạm phải liên quan đến khái niệm này?
1.1. Về khái niệm chữ
Liên quan đến lịch sử của khái niệm chữ, vai trò của chữ và bước chuyển từ
việc thao tác trên các số cụ thể sang kí hiệu chữ, chúng tơi tìm được các tài liệu sau:
1. Phan Thị Hằng (2002), Vai trò và ý nghĩa của các chữ trong việc dạy học số
học ở lớp 6 chương trình cải cách giáo dục trường hợp phép chia Euclide, Luận văn
Thạc sĩ. [19]
2. Nguyễn Ái Quốc (2006), Phân tích didactic so sánh việc giải phương trình bậc
hai trong việc dạy học trung học tại Việt Nam và tại Pháp, Luận án Tiến sĩ. [21]
3. Hoàng Quý, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên
Hương (1999), Từ điển bách khoa phổ thơng Tốn học 1. [22]
4. Hồng Q, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên
Hương (2002), Từ điển bách khoa phổ thơng Tốn học 2. [23]

 


10 

Vì thế trong phần này chúng tơi sẽ tham khảo các tài liệu trên và tóm tắt những
kết quả mà các tác giả đã nghiên cứu để bổ sung và làm rõ hơn trọng tâm nghiên
cứu luận văn của mình.
1.1.1. Đặc trưng khoa học luận của khái niệm chữ
Theo nghiên cứu của Nguyễn Ái Quốc (2006) “Về mặt lịch sử, đại số ra đời
nhằm giải quyết một số “bài toán số học” và can thiệp như một công cụ giải các
bài toán thuộc các lĩnh vực khác. Năm 1842, G.H.F.Nesselman đã phân loại sự
phát triển lịch sử của phong trào ký hiệu đại số thành ba giai đoạn:
Giai đoạn “hùng biện” (trước Diophante 325-410) đặc trưng bởi việc sử
dụng ngôn ngữ thông thường để giải quyết một số dạng đặc biệt bài toán, và thiếu
vắng cho việc biểu thị các biến số. Đại số hùng biện biểu thị lời giải của một bài

tốn mà khơng dùng bất kỳ một sự viết tắt hay ký hiệu nào cả.
Giai đoạn “rút âm từ” (Từ Diophante đến cuối thế kỷ XVI): Diophante đã đưa
vào việc sử dụng viết tắt để chỉ các đại lượng chưa biết. Đại số “rút âm từ” sử dụng
một số viết tắt tốc ký cho một số phép toán, đại lượng, và các quan hệ mà đuợc sử
dụng thường xuyên hơn.
Giai đoạn “đại số ký hiệu” (từ thời Viète trở đi): “Các chữ cái cũng được sử
dụng để chỉ các đại lượng : do đó có thể biểu thị các nghiệm “tổng quát”, và sử
dụng đại số như một công cụ để chứng minh các quy tắc tính tốn” [21, tr.5].
Diophante đã viết ẩn số x và các lũy thừa bằng các ký hiệu sau: s’ để chỉ ẩn số,




 v chỉ bình phương của ẩn số, x v chỉ lập phương của ẩn số. Bên phải ẩn số hay


lũy thừa của nó Diophante ghi hệ số, chẳng hạn 2x được viết là  x v  (trong đó
5

 =2). Như vậy, kí hiệu chữ được dùng để chỉ ẩn số và để ghi các số với dấu gạch

ngang trên đầu, chẳng hạn  =1,  =2,…Việc sử dụng chữ s’ để chỉ đại lượng chưa
biết là do từ Arập Shei (nghĩa là đồ vật), viết theo tiếng La tinh là xei, rồi rút gọn
dần thành x.

 


11 

Vài thế kỉ sau, người Ấn độ đưa vào các kí hiệu chữ khác nhau để chỉ ẩn số và
để chỉ bình phương, chẳng hạn 3x2 + 10x. Theo cách viết của Brakhmagupta (thế kỉ
thứ 7) có dạng như sau: ia va 3 ia 10 (ia là ẩn số , va là bình phương).
Cuối thế kỉ 15, nhà bác học Pháp N.Chuquet và nhà bác học Ý L. Pacioli dùng
kí hiệu p (là chữ đầu của plus có nghĩa là cộng ) để chỉ phép cộng và dùng ký hiệu
m (là chữ đầu của minus có nghĩa là trừ ) để chỉ phép trừ.

Một bước tiến quan trọng trong sự phát triển hệ kí hiệu tốn học là việc F.
Vìète (1591), đưa vào kí hiệu chữ để chỉ các đại lượng khơng đổi tùy ý: đó là các
phụ âm thơng thường trong bảng chữ cái la tinh b, d…Điều này lần đầu tiên cho
phép viết các phương trình đại số với các hệ số tùy ý và thao tác với chúng. Để chỉ
các ẩn số Vìète dùng các nguyên âm a, e…
Nhà bác học Pháp R. Descartes (1637) đã cho các kí hiệu đại số có bộ mặt như
hiện nay khi kí hiệu các ẩn số, biến số bằng các chữ cái la tinh cuối cùng x, y, z và
các đại lượng đã cho tùy ý bằng các chữ cái đầu a, b, c cũng như các lũy thừa bằng
a2, a3 …Các kí hiệu của Descartes có ưu điểm hơn hẳn các kí hiệu trước kia, do đó
nhanh chóng được thừa nhận rộng rãi.
Để thấy được tầm quan trọng của việc đưa vào sử dụng ký hiệu chữ, chúng tơi
xin trình bày đoạn trích trong [22] như sau: “ Việc thực hiện các phép toán trên các
chữ thay thế cho bất kỳ số cụ thể nào, quả là có ý nghĩa cực kỳ quan trọng, khơng
có cơng cụ đó – ngơn ngữ của các cơng thức – khơng thể có được sự phát triển của
toán học. Đặc biệt ký hiệu chữ và các phép tốn trên những ký hiệu đó, ngay từ thế
kỷ 16-17, đã thúc đẩy sự ra đời của quan điểm coi những đại lượng toán học là đại
lượng biến thiên, ấy là nét đặc trưng của giải tích tốn học, trong đó sự biến thiên
liên tục của một đại lượng thường tương ứng với sự biến thiên liên tục của một đại
lượng khác, là hàm của nó”
Tóm lại, khái niệm chữ có các đặc trưng khoa học luận cơ bản sau:
- Đã xảy ra sự chuyển biến từ đại số bằng lời tới đại số kí hiệu bằng cách rút
gọn (viết tắt) các từ, rồi bằng cách đưa ra các kí hiệu. Điều này đã thể hiện bước

 


12 

chuyển quan trọng từ việc thực hiện các phép toán trên tập hợp các số cụ thể sang
tập hợp các số biểu thị bằng chữ.
- Về mặt lịch sử khái niệm ẩn số xuất hiện trước khái niệm biến số: chữ được
dùng để biểu thị một giá trị chưa biết trước khi nó được sử dụng để biểu thị một tập
hợp giá trị.
- Các kí hiệu chữ có nhiều vai trò khác nhau : dùng chữ để ghi số, chữ chỉ
hằng số, ẩn số, biến số, phép toán cộng, trừ, bình phương của ẩn số, lập phương
của ẩn số.v.v . Điều này cho thấy tính phức tạp về nghĩa của kí hiệu chữ .
1.1.2. Đặc trưng sư phạm của khái niệm chữ
Theo nghiên cứu của Nguyễn Ái Quốc (2006) “Trong số học chữ dùng để chỉ
các đơn vị đo hay chỉ các sự vật. Chẳng hạn 5g để chỉ một khối nặng 5g. Khi
chuyển sang đại số các chữ dùng để chỉ các số (Booth 1984, Kieran 1991), và biểu
thức 5g có thể được giải thích 5*g trong đó g chỉ một số.
Kucheman (1981) đã đưa ra một sự phân loại các vai trị của chữ, trong đó
ơng phân biệt:
- Chữ được gán giá trị: người ta thay bằng một giá trị số
- Chữ không được xem xét: chữ không biết đến trong tính tốn
- Chữ chỉ đối tượng cụ thể: chữ là một nhãn
- Chữ chỉ ẩn số đặc thù: chữ chỉ một số chưa biết cần tìm
- Chữ chỉ một số được khái quát hóa: chữ có thể nhận được nhiều giá trị
- Chữ chỉ biến số: chữ được sử dụng trong ngữ cảnh hàm số” [21, tr.6]
Theo nghiên cứu của Phan Thị Hằng (2002) “Khi nghiên cứu quy chế về nghĩa
của các ký hiệu chữ, Grugean (1995) đã chỉ ra rằng:
Trong số học, các chữ đã hiện diện, chúng được dùng để chỉ các đơn vị đo
hoặc các đối tượng, chẳng hạn 12m có thể chỉ 12 mét hoặc chỉ 12 môtô (chữ m

được dùng như một nhãn hiệu). Việc chuyển sang đại số kéo theo một sự mở rộng
về nghĩa: các chữ bây giờ được dùng để chỉ các số, 12m cũng sẽ có nghĩa là 12 lần
số mét, m chỉ một số và với danh nghĩa đó chúng được đưa vào để tính tốn (…)

 


13 

Như vậy, quy chế về nghĩa của các chữ phụ thuộc vào ngữ cảnh cụ thể chứ
không bị rút gọn vào ý nghĩa nhãn hiệu. Đối với học sinh, sự thay đổi quy chế này
không hề được làm rõ, hơn thế nữa nó được khắc sâu bởi một chuỗi các cách viết
cũng như bởi các phương tiện tranh luận thông thường kiểu như: để làm cho học
sinh hiểu rằng 2x + 3x = 5x, người ta gợi ý rằng hãy nghĩ đến x như nghĩ về những
quả táo, điều này càng củng cố thêm cách hiểu các số thiên về ý nghĩa nhãn hiệu.
Vì vậy, bước chuyển từ quan niệm này sang quan niệm khác có thể hình thành
một chướng ngại quan trọng đối với học sinh.” [19, tr.11]
Phan Thị Hằng (2002), khi nghiên cứu về “Vai trò, ý nghĩa của các ký hiệu
chữ” trong dạy học phép chia Euclide ở lớp 6 (theo chương trình cải cách giáo dục)
đã chỉ ra rằng: “Vai trị và ý nghĩa của kí hiệu chữ biểu hiện rất phong phú,  đa
dạng: khi thì biểu thị một số tự nhiên, khi thì giữ vai trị là ẩn, khi thì giữ vai trị
như một chữ số của một số có nhiều chữ số .v.v. Chính sự phức tạp này có thể gây
nên những khó khăn và sai lầm khi học sinh phải giải quyết những tình huống trong
đó có sự tham gia của các kí hiệu chữ.” [19, tr.61]. Đặc biệt, tác giả đã đưa ra kết
luận sau: “ Khi đối diện với các tình huống liên quan đến tới phép chia Euclide mà
ở đó có sự hiện diện của các chữ, học sinh lớp 6 thường gặp phải những khó khăn,
lúng túng trong việc thực hiện các thao tác với các chữ. Đặc biệt, học sinh có xu
hướng áp dụng các thao tác quen thuộc trên các số cụ thể đã được học ở bậc tiểu
học với các chữ.” [19, tr.64]
Từ các kết quả nghiên cứu trên, chúng tôi rút ra một số đặc trưng sư phạm của

khái niệm chữ như sau:
- Chữ giữ nhiều vai trò khác nhau, chẳng hạn: Chữ được gán giá trị, chữ là
một nhãn, chữ chỉ ẩn số, chữ chỉ một số được khái quát hóa, chữ chỉ biến số. Điều
này cho thấy tính đa nghĩa của kí hiệu chữ. Đây là vấn đề đã từng xuất hiện trong
lịch sử. Đến đây một câu hỏi được đặt ra: Trong các tình huống có sự hiện diện của
a (với a là số ngun) thì a giữ vai trị gì? Chúng tơi sẽ trả lời câu hỏi này ở các

phần sau.

 


14 

- Ý nghĩa của các ký hiệu chữ được sử dụng khác nhau tùy thuộc vào ngữ cảnh
khác nhau. Đặc biệt, khi chuyển sang đại số sẽ dẫn đến một sự mở rộng về nghĩa
của “ký hiệu chữ”.
- Trong trường hợp phép chia Euclide việc thực hiện các thao tác trên tập hợp
các số cụ thể đã tạo nên chướng ngại cho việc thực hiện các thao tác trên tập hợp
các số biểu thị bằng chữ. Một điểm quan trọng ở đây là trong chương trình Tốn 6
hiện hành phép chia Euclide được đề cập ở chương 1: “Ôn tập và bổ túc về số tự
nhiên”, còn khái niệm giá trị tuyệt đối mà chúng tôi đang nghiên cứu thuộc chương
2: “Số nguyên”. Do đó, từ kết quả này chúng tơi đặt ra câu hỏi: Phải chăng việc tính
giá trị tuyệt đối trên tập hợp các số cụ thể, tạo nên chướng ngại cho việc tính giá trị
tuyệt đối trên tập hợp các số hiện diện dưới dạng ký hiệu chữ? Chúng tôi sẽ trả lời
câu hỏi này ở các phần sau.
1.2. Về khái niệm số âm
Trong phần này chúng tôi tham khảo các nguồn tài liệu sau:
1. Nguyễn Cang (2001), giới thiệu tóm tắt cuộc đời và sự nghiệp của các nhà
Toán học [1]

2. Phạm Gia Đức, Phạm Đức Quang (2002), lịch sử tốn học.
3. Hồng Q, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên
Hương (1999), Từ điển bách khoa phổ thơng Tốn học 1.
4. Hồng Quý, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên
Hương (2002), Từ điển bách khoa phổ thơng Tốn học 2.
5. Boyé A (2006), Quelques éléments d’histoire des nombres négatifs.
6. Cauchy (1821). Cours d’analyse de l’école royale polytechnique.
7. Schubring G, Ruptures dans le statut mathématique des nombres négatifs.
1.2.1. Đặc trưng khoa học luận của khái niệm số âm
Những người Trung Quốc đã sử dụng những số âm từ thế kỷ đầu tiên của thời
đại chúng ta. Thông thường họ dùng những que tính màu đen để biểu thị các số âm,
những que màu đỏ để biểu thị các số dương. Liu Hui (220-280) đã giải thích và dạy
các phép tính số học bằng cách liên kết với các que tính. Tuy nhiên những số âm chỉ

 


15 

xuất hiện như là hỗ trợ cho tính tốn, nghĩa là cơng cụ trung gian, khơng có số âm
trong những phát biểu của bài tốn, cũng khơng có trong các câu trả lời.Trong thời
kỳ này số âm được hiểu như số “tiền nợ”.
Diophante (Khoảng thế kỉ thứ 3, sau công ngun). Ơng khơng chấp nhận
những phương trình dạng như 4 = 4x + 201, bởi nghiệm của chúng là “vô lý”.
Diophante xem số âm là số “vô lý” .
Brahmagupta (598-660) là nhà toán học lớn người Ấn Độ thế kỷ VI và VII. Qua
tác phẩm của ông người ta xác nhận rằng: “Ông là người đầu tiên đưa ra số 0 và
những số âm. Và ông đã dùng những số này trong tính tốn những “khoản tiền” ”.
Các nhà tốn học Ấn Độ xem số âm là “số lỗ”, là “món nợ”. Quy tắc cộng các
số được viết là: “Tổng của hai số lãi là số lãi, tổng của hai số lỗ là số lỗ, tổng của

số lãi và số lỗ là hiệu của chúng và nếu hai số đó bằng nhau thì tổng bằng khơng”.
Trong giai đoạn này số âm được trình bày dưới dạng các “khoản nợ”. Nó không
được sử dụng mà chỉ được coi như một khả năng lý luận. Mặt khác Brahmagupta đã
sử dụng dấu chấm (.) để chỉ số “tiền nợ”.
Vào năm 1484, trong tác phẩm “khoa học về các số” của mình Chuquet (1445

1500) đã đưa vào số mũ âm, chẳng hạn 5

3m

(m là từ chữ la tinh minus nghĩa là trừ)

là kí hiệu của 5-3 , nói chung a k m là ký hiệu của a  k . Như vậy, trong thời kỳ này ông
dùng ký hiệu chữ m với một vạch nhỏ trên đầu để chỉ phép trừ và cho cả số âm.
Số âm được hiểu theo nghĩa là số “thiếu”. Tuy nhiên lúc bấy giờ số âm chưa
được chấp nhận.
Ở phương tây những số âm xuất hiện vào cuối thế kỷ XV, khi giải phương
trình. Chẳng hạn, qua tác phẩm “Các qui tắc đại số” của nhà toán học người Ý
Cardan (1501-1576) người ta xác nhận rằng: “Cardan là người đầu tiên đã nhận ra
                                                            




 Ẩn số x được ki hiệu là s’, bên phải ẩn số Diophante ghi hệ số, ví dụ 4x được viết là s’  (trong đó  = 4).
Khi cộng ông viết số hạng này sát số hạng kia, dùng chữ l để chỉ đẳng thức. Như vậy phương trình ở trên

1



được viết là s’ 





l

, với

 =20. 
 


16 

nhiều giá trị của ẩn số trong những phương trình và ơng phân biệt các số dương, số
âm. Chính ơng đã đề nghị một phương trình bậc hai: x2 + 4x = 21 và nhận thấy
các giá trị của x là +3 và số hư 7”. Cardan gọi nghiệm âm là nghiệm “hư”. Ông
dùng ký hiệu m để chỉ số “hư”. Ký hiệu này trùng với ký hiệu của phép toán trừ mà
Chuquet đã sử dụng.
Vào năm 1637, trong tác phẩm “hình học” của mình Descartes (1596-1650) đã
giới thiệu các nghiệm của một phương trình như sau: “Đơi khi một vài nghiệm thì
được gọi là “hư” hoặc nhỏ hơn 0, khi giả sử x để chỉ số lượng thiếu nó là 5 thì x +
5  2 0, lấy x + 5 nhân với x3 – 9xx + 26x – 24  0 thì được x4 – 4x3 – 19xx + 106x
– 120  0. Phương trình này có bốn nghiệm, trong đó ba nghiệm thật là 2, 3, 4 và
một nghiệm hư là 5”.
Như vậy, Descartes gọi nghiệm âm là nghiệm “hư”, số “nhỏ hơn 0”, số
“thiếu”. Dấu “-” trong đoạn trích trên dùng để chỉ phép trừ, kí hiệu này được giới

thiệu bởi nhà bác học Tiệp Vidman (1489).
Các số âm đã phải trải qua nhiều khó khăn trong một thời gian dài vẫn chưa
được công nhận, số âm được hiểu theo nghĩa như số “tiền nợ”, số “thiếu”, các
nghiệm âm của phương trình gọi là số “vơ lý”, nghiệm “hư”, bên cạnh nghiệm thật
là số dương. Các nghiệm này sinh ra từ giá trị của chữ chưa biết trong phương trình.
Đến khi hình học giải tích của Descartes ra đời, số âm được chấp nhận vào thế
kỉ thứ 17 sau khi được Descartes biểu diễn trực quan trong hình học giải tích. Với
sự giải thích hình học số âm như là các đoạn thẳng có hướng (chẳng hạn các đoạn
thẳng hướng theo chiều ngược, di chuyển theo chiều ngược với chiều đã chọn). Ông
biểu diễn số âm trên trục số vào bên trái điểm 0 với cách viết như -1,-2, -3,…Từ đó
kí hiệu dấu“-” được gán để chỉ số âm đã xuất hiện. Như vậy, sự xuất hiện của dấu
“-” là một dấu hiệu chỉ số âm. Điểm đáng chú ý ở đây là dấu “-” trong ký hiệu số
âm trùng với dấu “-” của phép toán trừ mà Vidman đã giới thiệu vào năm 1489.
                                                            
2

 Kí hiệu
“=”

 được đưa vào năm 1557 bởi Robert Record (1510 – 1558) tương ứng với ngày nay là kí hiệu dấu

 


17 

Vào năm 1748, Maclaurin (1698-1746) đã hình thành các quy tắc nhân: nhân một
số âm với một số dương, nhân hai số âm như sau: “Với a và n là các số dương thì:
n × [a + (-a)] = n × 0 = 0 (1)
n × [a + (-a)] = n × a + n × (-a) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: n × a + n × (-a) = 0
Vì n × a là số dương nên n × (-a) là số âm
n là số dương và (-a) là số âm nên tích của một số dương và một số âm là một số âm
(-n) × [a + (-a)] = (-n) × 0 = 0
(-n) × [a + (-a)] = (-n) × a + (-n) × (-a)
Do đó: (-n) × a + (-n) × (-a) = 0
Mà (-n) × a là số âm (vì nhân một số dương với một số âm)
Suy ra: (-n) × (-a) là một số dương
Vì (-n) là số âm và (-a) là số âm nên tích của hai số âm là một số dương”
Trong chứng minh trên Maclaurin đã đề cập đến việc dùng ký hiệu chữ, nhưng
ở đây chữ chỉ đại diện cho số dương và do đó chẳng hạn (–a) được hiểu là số âm.
Như vậy đã có thời kỳ mà (-a) ln được xem là số âm (vì ln giả thiết a > 0).
Vào năm 1766, trong sách giáo khoa của mình Euler (1707-1783) đã khẳng
định sự tồn tại phép toán 25 - 40 = -15 và những số âm thì nhỏ hơn 0. Ơng đã xem 2
dãy số: 0, 1, 2, 3, 4,…
…,-4, -3, -2, -1, 0 hợp lại thành một khái niệm số nguyên. Euler định nghĩa
bốn phép tốn trên những số này.
Trong giáo trình giải tích của mình (1821), Cauchy (1789-1857) đã định nghĩa
số (để chỉ số cụ thể) và đưa ra quy tắc nhân dấu dựa trên các ký hiệu “+” và “-” như
sau: “Những số bao gồm phần bằng số và trước nó có dấu “+” hoặc “-”. Dấu “+”
hoặc “-” đặt trước một số sẽ làm thay đổi nghĩa của số đó, gần như là một tính từ
đổi thành danh từ. Những số mà đằng trước có dấu “+” gọi là những số dương,
những số mà đằng trước có dấu “-” gọi là những số âm. Trong trường hợp mà ở

 


18 

đó chữ a được đại diện bởi một số thì ký hiệu – a để chỉ số đối của a. Theo sự thỏa

thuận này thì nếu A đại diện cho số bất kỳ, người ta có: a = +A, b = -A. Ta có: +a
= +A, +b = -A, -a = -A, -b = +A.
Nếu trong bốn phương trình này, người ta đặt lại a, b và giá trị của chúng
trong ngoặc đơn thì sẽ có: +(+A) = +A; +(-A) = -A; -(+A) = -A, -(-A) = +A. Trong
mỗi công thức này dấu ở vế phải gọi là tích của hai dấu ở vế trái. Việc xem xét duy
nhất những phương trình ở trên đủ để hình thành quy tắc của những dấu”.
Từ đoạn trích trên, chúng tơi nhận thấy Cauchy đã sử dụng cùng một ký hiệu
dấu “-” với hai nghĩa khác nhau, dấu “-” mang nghĩa số âm (trong trường hợp số cụ
thể), dấu “-” mang nghĩa số đối (trong trường hợp ký hiệu chữ). Theo chúng tôi đây
chính là trở ngại cho việc hiểu nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể
sang số hiện diện dưới dạng chữ.
Theo quan điểm của Wilckens (1800) thì ông đưa ra việc phân biệt rõ ràng
giữa dấu của phép tốn với dấu của một số, để giải thích sự khác nhau ông đề nghị
một khái niệm số đối của một số a được ký hiệu bởi a và số đối ở đây được xác
định bởi phương trình: a + a = 0. Bằng cách sử dụng a như là dấu của một số đối
của a, ông đưa đến định nghĩa: “đối với một số nguyên bất kỳ b, số đối của nó là
b được cho bởi phương trình b + b = 0. Vì vậy phép trừ tổng quát trên những số

nguyên được định nghĩa bởi: a – b = a + b ”
Theo quan điểm của Hankel (1867), được thể hiện trong giáo trình: “lý thuyết
của số phức”. Ơng giải thích phép nhân hai số đối:
“0 = a × 0 = a × (b + oppb) = ab + a × (oppb)
0 = 0 × (oppb) = (a + oppa) × (oppb) = a × (oppb) + (oppa × oppb)
Vì vậy: (oppa) × (oppb) = ab”
Từ cách trình bày trên đã cho thấy Hankel kí hiệu (oppa) để chỉ số đối của số
a. Với cách ký hiệu này thì ơng đã phân biệt một cách rõ ràng dấu “-” của số đối
(trong cách ký hiệu số đối của Cauchy) và dấu “-” của phép toán trừ

 

19 

Bảng 1. Sự tiến triển của khái niệm số âm
Thời điểm
Liu Hiu (220-280)

Kí hiệu của số

Đối tượng

âm
Các que tính màu
đen

số cụ thể

Diophante (Thế kỉ thứ 3)

Khơng có kí hiệu

Số cụ thể

Brahmagupta (598-660)

Dấu chấm (.)

Số cụ thể

Chuquet (1445-1500)

m

Cardan (1501-1576)



Số cụ thể



Số cụ thể

m

Đặc trưng của số âm
Số âm được hiểu như số
“tiền nợ”
Số âm được hiểu như số
“vô lý”
Số âm được hiểu như số
“tiền nợ”
Số âm được hiểu như số
“thiếu”
Số âm được hiểu như số
“hư”
Số âm được chấp nhận, sự

Descartes (1596-1650)

Dấu “-”

Số cụ thể

giải thích hình học số âm
như là các đoạn thẳng có
hướng.

Chữ chỉ đại
Maclaurin (1698-1746)

Dấu “-”

diện cho số

- a được hiểu là số âm

dương

Số âm được hiểu như một
Euler (1707-1783)

Dấu “-”

Số cụ thể

ký hiệu gồm số dương và
dấu “-” đứng trước.
Số âm được hiểu như một

Dấu “-”

Số cụ thể

ký hiệu gồm số dương và
dấu “-” đứng trước.

Cauchy (1789-1857)
Dấu “-”

Chữ

- a được hiểu là số đối của
a

Tóm lại, số âm có các đặc trưng khoa học luận cơ bản sau đây:
- Số âm được sinh ra từ nhu cầu tính tốn các “khoản tiền”, giải phương
trình,…Trong một thời gian dài số âm không được chấp nhận, chẳng hạn các
 


20 

nghiệm âm của phương trình được gọi là nghiệm “hư”, số “vô lý”, số “thiếu”. Cuối
cùng số âm cũng được chấp nhận vào thế kỉ thứ 17, sau khi được Descartes biểu
diễn trực quan trong hình học giải tích, với sự giải thích hình học số âm như là các
đoạn thẳng có hướng. Cuối cùng đã xóa bỏ sự khác biệt về nguyên tắc giữa các
nghiệm âm và nghiệm dương.
- Ký hiệu của số âm đã được sử dụng qua các giai đoạn lịch sử: Các que màu
đen, dấu chấm, m (trùng với dấu của phép toán trừ m mà chuquet đã sử dụng), dấu

“-” (trùng với dấu “-” của phép toán trừ mà Vidman đã giới thiệu). Điều này cho
thấy tính khơng thống nhất trong việc sử dụng ký hiệu gắn với số âm. Hơn nữa đã
có thời kỳ (-a) được hiểu là số âm (vì ln giả thiết a dương).
- Đã có các quan điểm khác nhau trong cách sử dụng kí hiệu số đối của một số,
chẳng hạn, theo Hankel thì số đối của a, kí hiệu là oppa, theo Wilekens thì số đối của a,
kí hiệu là ā. Với các quan điểm này tạo thuận lợi cho việc phân biệt dấu của số âm và
dấu của phép toán trừ. Tuy nhiên, Cauchy lại sử dụng cùng một kí hiệu dấu “-” với hai
nghĩa khác nhau, dấu “-” là dấu hiệu chỉ số âm (trong trường hợp số cụ thể) và là dấu
chỉ số đối (trong trường hợp đối tượng “chữ”). Điều này dẫn đến trở ngại trong việc
hiểu nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể sang số hiện diện dưới dạng kí
hiệu chữ. Theo chúng tôi đây được xem như là kiểu trở ngại liên quan đến phức tạp về
nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể sang chữ.
Như vậy, việc phân tích lịch sử cho phép chúng tơi chỉ ra chướng ngại chủ yếu
liên quan đến số âm: Dấu “-” trong kí hiệu số âm xét trên tập hợp các số cụ thể có
thể tạo nên chướng ngại cho việc hiểu số âm trên tập hợp các số hiện diện dưới
dạng chữ.
1.2.2. Đặc trưng sư phạm của khái niệm số âm
Trong luận văn này, khái niệm số âm được xem xét với tư cách là đối tượng
liên quan đến việc nghiên cứu khái niệm giá trị tuyệt đối. Để tìm hiểu những
chướng ngại gắn liền với số âm, trong phần này chúng tôi chỉ đặt trọng tâm đến việc
xem xét nghĩa của dấu “-” đã được sách giáo khoa hiện hành tính đến như thế nào
trong bước chuyển từ số cụ thể sang số hiện diện dưới dạng chữ.
 


21 

Để thuận tiện chúng tơi sẽ dùng các kí hiệu sau đây: M6 để chỉ sách giáo khoa
toán 6, tập 1. G6 để chỉ sách giáo viên toán 6, tập 1.
Số nguyên âm được đưa vào M6, chương 2: “số ngun”. Ở mục các ví dụ (bài

1), M6 có đoạn viết: “Trong thực tế, bên cạnh các số tự nhiên, người ta dùng các số
với dấu “-” đằng trước như: -1, -2, -3, … (đọc là âm 1, âm 2, âm 3, …, hoặc trừ 1,
trừ 2, trừ 3, …). Những số như thế được gọi là số nguyên âm” [M6, tr.66].
Từ đoạn trích trên, cho thấy số âm chỉ đơn thuần là sự “dán nhãn” dấu “-’’ đặt
trước một số dương. Như vậy, đã có sự xuất hiện trong quan niệm của học sinh về
đối tượng số âm, tập hợp những cái biểu đạt mà học sinh có thể gắn vào đối tượng
số âm là dấu “-”. Với tình huống trên đã đem lại nghĩa của khái niệm số âm đối với
học sinh: “Số nguyên âm được hiểu như một kí hiệu gồm số nguyên dương và dấu
“-” đứng trước”. Mặt khác chúng tôi nhận thấy xuất hiện dấu “-” trong ký hiệu của
số âm trùng với dấu “-” của phép toán trừ mà học sinh đã quen biết. Vấn đề đặt ra là
tại sao như vậy? Để trả lời cho câu hỏi này, chúng tơi tìm thấy ở G6, trang 94, giải
thích như sau: “dấu “-” trong ký hiệu số âm tuy không phải là dấu “-” trong phép
trừ, nhưng vì lý do sư phạm, giáo viên khơng cần đề cập đến sự khác nhau đó. Nếu
vì lý do nào đó cần giải thích thì giáo viên cũng chỉ nên giải thích như sau: tuy bản
chất hai dấu có khác nhau, nhưng sau khi học xong phép trừ số nguyên, chúng ta sẽ
thấy chúng phù hợp với nhau. Vì thế chúng ta không sợ nhầm lẫn khi viết hai dấu
như nhau” . Việc dùng dấu “-” trong ký hiệu số âm trùng với dấu “-” trong phép trừ
đã từng tồn tại trong lịch sử của khái niệm số âm.
Mặt khác, nếu xét về cách đọc, chẳng hạn -1 thì đọc là âm 1, hoặc trừ 1. Tại
sao M6 lại nêu ra hai cách đọc? Để giải thích cho điều này thì G6 trang 94 có đoạn
viết: “Dấu “-” trong số âm đúng ra chỉ đọc là âm, nhưng trên thực tế người ta vẫn
đọc cả hai cách “âm” hoặc “trừ”, nên sách giáo khoa yêu cầu học sinh biết đọc cả
hai cách” [G6, tr 94].
Đến đây chúng tôi đặt ra câu hỏi: như vậy khi chuyển sang ký hiệu chữ, chẳng
hạn (–a) thì cách đọc như thế nào? Để trả lời câu hỏi này chúng tơi tìm thấy ở bài 6:
“Tính chất của phép cộng các số nguyên”, M6 đã đề cập đến ký hiệu dấu “-” gắn với

 

22 

ký hiệu chữ như sau: “số đối của số nguyên a được ký hiệu là –a. Khi đó số đối của
(-a) cũng là a , nghĩa là - (-a) = a. Rõ ràng: Nếu a là số nguyên dương thì –a là số
nguyên âm, chẳng hạn a = 3 thì -a = -3. Nếu a là số nguyên âm thì –a là số nguyên
dương, chẳng hạn a = -5 thì -a = -(-5)=5 (vì 5 là số đối của -5)” [M6, tr.78].
Đoạn trích trên cho thấy, M6 đã sử dụng kí hiệu dấu “-” để chỉ số đối trùng với
dấu “-” trong kí hiệu số âm. Như vậy, các tác giả đã sử dụng cùng một ký hiệu dấu “-”
với hai nghĩa khác nhau, dấu “-” mang nghĩa số âm (trong trường hợp số cụ thể ) và
dấu “-” mang nghĩa số đối (trong trường hợp ký hiệu chữ ). Theo chúng tơi đây chính
là trở ngại cho việc hiểu nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể sang số hiện
diện dưới dạng chữ. Cụ thể nếu a là số nguyên dương, chẳng hạn a = 3 thì số đối (-a)
trong trường hợp này chính là số nguyên âm -3. Như vậy dấu “-” trong ký hiệu số đối
và dấu “-” trong ký hiệu số âm là phù hợp. Tuy nhiên nếu a là số nguyên âm, chẳng
hạn a = -5 thì -a = 5 lại là số nguyên dương. Đến đây vấn đề đặt ra: Liệu học sinh có
“thốt khỏi” cách hiểu (-a) ln ln là số nguyên âm hay không, khi dùng dấu “-” để
ký hiệu cho cả số âm và số đối? Hơn nữa, đối với học sinh nghĩa của dấu “-” không
được làm rõ. Trích dẫn sau đây sẽ minh chứng cho điều khẳng định này. “Dấu “-”
trong kí hiệu số đối khơng phải là dấu “-” trong kí hiệu số âm, cũng khơng phải là dấu
“-” trong kí hiệu phép trừ. Nhưng vì lý do sư phạm, giáo viên khơng cần đề cập đến.
Nếu vì lý do nào đó cần giải thích thì giáo viên cũng chỉ nên giải thích như sau: tuy
bản chất các dấu có khác nhau, nhưng sau khi học xong phép trừ số nguyên, chúng ta
sẽ thấy chúng phù hợp với nhau” [G6, tr.105].
Trong phần phân tích khoa học luận của khái niệm số âm, chúng tôi đã chỉ ra
các nhà toán học đương thời đã sử dụng các kí hiệu khác để chỉ số đối, chẳng hạn
opp(a) (theo Hankel), a (theo Wileken). Tại sao M6 sử dụng cùng một dấu “-” với
ba nghĩa khác nhau như đã đề cập? Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi tìm thấy ở G6,
trang 96 đã giải thích như sau: “Trong chương này có sử dụng kí hiệu dấu “-” với
ba nghĩa khác nhau, dấu “-” trong phép trừ, dấu “-” của số nguyên âm trong bài 1
thực ra chỉ thuần túy là một kí hiệu gắn với loại số mới đưa ra, vì vậy ta hồn tồn

có thể thay bằng kí hiệu khác. Cũng tương tự như vây đối với dấu “-” của số đối (ở