DE THI HSG TOAN 9 MY THANG 1112

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (106.69 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHÒNG GD – ĐT PHÙ MỸ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
TRƯỜNG THCS MỸ THẮNG Năm học 2011 – 2012

Đề đề xuất Mơn: TỐN, LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút
( không kể thời gian phát đề )
Ngày thi: 6 – 10 – 2011
Câu 1: (4,0 điểm)

Tính giá trị của tổng :

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 ... 1

1 2 2 3 3 4 99 100

B            

Câu2 :( 3,0 điểm)

Chứng minh rằng A = (10n + 10n-1 + … + 10 + 1)( 10n+1 + 5 ) + 1 là số chính phương
Câu 3:( 3,0 điểm)

Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn a2b2c2 1 . Chứng minh rằng :

2 2 2

1 1 1

a b c

b a c b a c 

     

Câu 4:( 3,0 điểm)

Giải phương trình 2 33 x 2 3 6 5  x 8 0



x R



Câu 5 : (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn , từ điểm I thuộc miền trong của tam giác vẽ các đoạn
thẳng IH , IK , IL lần lượt vng góc với BC, CA, AB . Tìm vị trí của I sao cho AL2 + BH2 + CK2

nhỏ nhất

Câu 6: (4,0 điểm)

Xét tam giác ABC có độ dài các cạnh là a , b , c sao cho thoả mãn hệ thức :
15bc + 10ca + 1964ab = 2006abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

1974 1979 25
M

p a p b p c

  

  

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

ĐÁP ÁN

Câu Đáp án Điểm

Câu 1:
(4,0 điểm)

Trước hết ta chứng minh













2
2
2

1 1 1 1 1 1

1 1 1

a a

a a a a a a a a

 

       

  

 ( với a > 0)

Thaät vaäy :

























































2 2
2 2
2 2
2 2

2 2 2

2 2 4 2

2 2
2 2
2
2
2 2
2
2
1 1
1 1
1
1 1

2 1 1 1 2 1 1

1 1

a a a a

a a a a

a a a a a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

   
  
 
        
 
 
 
   
  
   














2
2
2

1 1 1 1 1 1

1 1 1

a a

a a a a a a a a

 

       

  

 ( với a > 0)

Do đó

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 ... 1

1 2 2 3 3 4 99 100

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 ... 1

1 2 2 3 3 4 99 100

1 1 1 1 1 1 1

99 ... 100 99,99

1 2 2 3 99 100 100

B            

       
             
       
 
          
 
1,0
1,0
1,0
1,0
Câu 2:

(3,0 điểm)

Ta coù A = (10n + 10n-1 + … + 10 + 1)( 10n+1 + 5 ) + 1





10 1

9  (10n + 10n-1 + … + 10 + 1)( 10n+1 + 5 ) + 1



 



1 1

10 1 10 5 1

n n

  

 



2 1 1



10 4.10 9 5

n n

  
=





2
1
2
1

1 10 2

10 2

9 3

n
n    

  

 

Mà 10n+1 + 2 có tổng các chữ số là 3 .
Nên 10n+1 + 2 3

Vaäy A là số chính phương .
Câu 3:

(3,0 điểm)

Từ giả thiết suy ra a , b , c thuộc (0 ; 1)











 







2
2 2
2

1 1 1

1 1 1

a b a a b a b a

a

a b a

b a b a b a

     

     

     

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Tương tự :









2 2

2 1 ; 2 1

1 1

b c

b c b c a c

c b   a c   

   

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được :

2 2 2

3 3 3 2 2 2

1 1 1

a b c

a b c a b b c c a
b a c b a c       

      (1)

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số dương nhận được :
3 3 3 3 2 ; 3 3 3 3 2 ; 3 3 3 3 2

a a b  a b b b c  b c c c a  c a (2)

Từ (1) và (2) 

2 2 2

1 1 1

a b c

b a c b a c

     

Đẳng thức xảy ra

3
3
a b c

   

0,5

1,0
0,5

0,5

Câu 4:

(3,0 điểm) Điều kiện x

6
5



.
Đặt t = 33x 2

3 3 2 2

3
t

t x x 

    

Khi đó phương trình đã cho trở thành :
2t +

8 5

3 8 0

3
t



 









3
3

2
3 2

8 2 0 8 2 0

8 5

8 5 9. 64 32 4

3 8 2

3
3

2 15 26 20 0

15 4 32 40 0

2 2

t t

t

t t t

t

t
t

t t t

t x

 

   

 

     

  

 

 








 

   

   

 

   

1,0

Câu 5:
(3,0 điểm)

- Vẽ hình đúng.

Ta có AI2 = AL2 + LI2 ; AI2 = AK2 + KI2 .

Suy ra AL2 + LI2 = AK2 + KI2 .

Tương tự BH2 + HI2 = BL2 + LI2 và CK2 + KI2 = CH2 + HI2

Cộng (1) ; (2) và (3) ta có : AL2 + BH2 + CK2 = AK2 + BL2 + CH2 .

Do đó AL2 + BH2 + CK2 =

2[(AL2 + BL2 ) + (BH2 + CH2 ) + (CK2 + AK2 )]


2 2 2

( )

4 AB BC AC

Ta có AL2 + BH2 +CK2 

4(AB2 + BC2 + AC2 ) ( không đổi ) .

Dấu “ = “ xảy ra <=> AL = BL, BH = BL , CK = AK <=> I là tâm đường
tròn ngoại tiếp ABC

0,25

1,0

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Câu 6:

(4,0 điểm ) Với x > 0 , y > 0 thì

1 1 4

x y x y (1)

Ta có

1974 1979 25
M

p a p b p c

  

   =

1 1 1 1 1 1

1964 10 15

4 4 4

1964. 10. 15.

1964 10 15 1964 15 10 2006

4 4. 4. 8024

p a p b p a p c p b p c

ab bc ca abc

c b a abc abc

     

    

     

     

     

  

        

 

 

      

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1989 117

1964 15 10 2006 2006 118

p a p b p c

a b c

ab bc ca abc

    


    



  



Vậy MinM = 8024

117
118
a b c
   

0,25

1,0
0,75

0,5

1,0

</div>

DE THI HSG TOAN 9 MY THANG 1112





<b>ĐÁP ÁN</b>























































































 





















 























Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về