Khai thác một số tính chất của hình học phẳng vào rèn luyện kỹ năng và hình thành phương pháp giải các dạng toán về modul số phức cho học sinh lớp 12

1
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Chủ đề về số phức và các bài toán liên quan là một trong những chủ đề
mới, có phần trừu tượng đối với học sinh khi mới tiếp cận; số lượng câu hỏi về
phần số phức hằng năm trong đề thi THPT quốc gia (nay là tốt nghiệp THPT)
chiếm với số lượng không ít và nó được phân bổ ở 4 mức độ (nhận biết, thông
hiểu, vận dụng thấp và vận dụng cao), cụ thể trong năm 2019 đề thi có 5 câu số
phức (trong đó có 1 VDT, 1 VDC), trong đề minh họa năm 2021 có 6 câu (trong
đó cũng có 1 VDT, 1 VDC). Chính vì vậy, bản thân tơi luôn luôn trăn trở, hết
sức quan tâm đầu tư, suy nghĩ để làm sao có được phương pháp giảng dạy chủ
đề này phải đơn giản, giảm bớt khó khăn và tính trừu tượng, đưa vấn đề khó trở
về với những phần kiến thức đã biết, gần gũi.
Chủ đề giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (GTLN, GTNN) về Modul của số phức là
nội dung quan trọng và khó đối với học sinh, các câu hỏi dạng này cũng được
khai thác khá nhiều trong các đề thi, kiểm tra thể hiện ở mức vận dụng thấp và
vận dụng cao; đặc biệt trong đề thi tốt nghiếp THPT mơn Tốn thi ở hình thức
trắc nghiệm thời gian dành cho mỗi câu trả lời chỉ khoảng 2 phút thì các bài tốn
cực trị của biểu thức ít được đề cập thì bài tốn về GTLN, GTNN về modul số
phức luôn được xem là phương án thay thế hợp lý trong việc phát hiện tính sáng
tạo trong giải toán cho học sinh.
Từ năm 2017 đến nay và các năm tiếp theo Bộ Giáo dục và Đào tạo tổ chức
thi mơn Tốn dưới hình thức trắc nghiệm khách quan nên việc trang bị cho học
sinh các kiến thức, kĩ năng để giải bài toán cực trị modul số phức (bài toán vận
dụng, vận dụng cao) trong thời gian ngắn một cách chính xác và khơng phạm sai
lầm cũng rất quan trọng.
Từ những lý do trên tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình là:
“Khai thác một số tính chất của hình học phẳng vào rèn luyện kỹ năng và
hình thành phương pháp giải các dạng toán về Modul số phức cho học sinh
lớp 12”.
Việc giải bài tốn số phức nói chung và bài tốn cực trị nói riêng thì có

nhiều phương pháp giải như: biến đổi đại số, dùng bất đẳng thức thông dụng,
hàm số…nhưng trong đề tài Sáng kiến kinh nghiệm này của mình thì tơi chỉ dẫn
dắt, định hướng học sinh khai thác tính chất hình học nhằm rèn luyện kĩ năng và
hình thành phương pháp giải tốn chứ khơng đặt nặng việc so sánh phương pháp
giải nào nhanh hơn, tối ưu hơn. Vì thực tế đa phần bài tốn giải bằng hình học
thì nhanh, dễ tiếp cận và thực hành cho học sinh nhưng nhiều bài toán nếu quan
sát kĩ chúng ta dùng đại số thì nhanh hơn.
1.2. Mục đích nghiên cứu


2
Xây dựng các phương pháp và rèn luyện kĩ năng cho học sinh trong việc
giải quyết các dạng toán về Modul số phức nhằm hoàn thành bài thi trắc nghiệm
khách quan mơn Tốn đạt kết quả cao.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Xây dựng các phương pháp, phân loại các dạng bài toán modul số phức.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu định tính, định lượng và thực nghiệm.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.1. Modul số phức và các tính chất
+ Trong mặt phẳng phức Oxy ( Oy là trục ảo; Ox là
trục thực), mỗi số phức z = a + bi;(a; b ∈ ¡ ) được biểu diễn bởi
điểm M(a; b)
+ Mỗi số phức z = a + bi;(a; b ∈ ¡ ) được biểu diễn bởi
uuuu
r
OM = (a; b) và
modul
của

số
phức
z:
uuuu
r
z = a + bi = a 2 + b 2 = OM = OM

+ Kết quả: ∀z ∈ £ ta có:
1) z ≥ 0; z = 0 ⇔ z = 0; z 2 = z

2

2) z1.z 2 = z1 . z2

3)

z
z1
= 1
z2
z2

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trong quá trình dạy học, việc giải quyết các bài toán vận dụng và vận dụng
cao các bài tồn về số phức, đặc biệt là các bài tốn về modul số phức thường
gặp một số khó khăn sau:
- Bài toán GTLN, GTNN modul số phức là bài toán liên quan đến các bất
đẳng thức, mà nói đến bất đẳng thức đa phần là học sinh “ngại” và thấy khó
khăn nên lười suy nghĩ nên kết quả học tập khơng cao;
- Số phức là tập hợp số mới có nhiều dấu hiệu gây trở ngại, trừu tượng đối

với học sinh như: mỗi số phức z = x + yi trong đó x, y là số thực và i 2 = -1, hoặc
thuật ngữ “modul” của số phức z,… nên việc tiếp xúc ban đầu của đa phần học
sinh còn lúng túng hoặc khó chịu khi học tập. Như vậy, nhiệm vụ của giáo viên
phải tìm hiểu đối tượng và giúp học sinh vượt qua trở ngại.
- Trong thực tế giảng dạy, việc chuyển từ bài tốn Đại số nói chung, và bài
tốn số phức nói riêng sang bài tốn Hình học để nhìn nhận bài tốn một cách
trực quan, gần gũi hơn thì ở nhiều học sinh cịn khá lúng túng. Vì vậy, việc giải
các bài tốn về số phức gây ra nhiều khó khăn cho học sinh.
- Thực tế có nhiều tài liệu viết về dùng phương pháp hình học để giải bài
tốn cực trị số phức nhưng đa phần nhận thấy chưa đầy đủ, còn đơn giản, việc


3
trình bày cịn chưa logic gây khó khăn khi triển khai trong quá trình dạy học cho
học sinh.
2.3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề
Để giúp học sinh vượt qua trở ngại và chuyển đổi, nhìn nhận các bài tốn
cực trị modul số phức dưới góc độ hình học được tốt thì phải rèn luyện kĩ năng
tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước.
2.3.1 Sử dụng tính chất hình học vào tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức
trên mặt phẳng phức
2.3.1.1. Chuyển đổi ngôn ngữ từ số phức (đại số) sang hình học
+ Nếu điểm M ( z1 ) là điểm biểu diễn số phức z1 và điểm N ( z2 ) là điểm
uuuu
r uuur

uuuur

uuuu
r uuur

uur

biểu diễn số phức z2 thì z1 − z2 = OM − ON = NM , z1 + z2 = OM + ON = 2OI (I là trung
điểm MN). Vì vậy, bài tốn về số phức có thể nói đồng nhất với bài tốn vecto
trong mặt phẳng.
uuuur

uuuu
r uuur

uur

Từ đó ta có: z1 − z2 = NM = MN , z1 + z2 = OM + ON = 2 OI

Tương tự: Nếu điểm A, B, C biểu diễn các số phức z1, z2, z3 thì trọng tâm G
của tam giác ABC biểu diễn số phức

z1 + z2 + z3
hay 3OG = z1 + z2 + z3 .
3

+ Trong mặt phẳng phức gọi M(x; y) biểu diễn số phức z, điểm A(a; b) biểu
diễn số phức z1 = a + bi , điểm B(c; d) biểu diễn số phức z2 = c + di . Khi đó ta có
bảng đẳng thức liên hệ giữa modul số phức z với quỹ tích điểm M biểu diễn số
phức z.
Liên hệ giữa modul các số phức
Kết luận tập hợp điểm M ( x; y )
z − z1 = z − z2 ⇔ MA = MB
Quỹ tích M là đường trung trực của đoạn AB.

z − ( a + bi ) = R ( R > 0 ) ⇔ AM = R
z − ( a + bi ) ≤ R ( R > 0 ) ⇔ AM ≤ R

R1 ≤ z − z1 ≤ R2 ⇔ R1 ≤ AM ≤ R2
z − z1 + z − z2 = 2k ⇔ MA + MB = 2k

Là đường tròn ( C ) có tâm A ( a; b ) và bán kính
R

Là hình trịn ( C ) có tâm I ( a; b ) và bán kính R
(bao gồm đường trịn và các điểm bên trong).
Là những điểm thuộc miền có hình vành khăn
tạo bởi hai đường tròn đồng tâm I ( a; b ) và bán
kính lần lượt R1 và R2
Là đoạn thẳng AB

Nếu AB = 2k
z − z1 + z − z2 = 2k ⇔ MA + MB = 2k

Nếu AB = 2l <2k

Là một elíp có trục lớn 2k và tiêu cự là
F1 F2 = 2l

Một số kĩ thuật biến đổi bài toán về dạng cơ bản ở trên:


4
1) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w biết w = z1.z + z2 và số phức z thỏa
mãn z.z0 − a − bi = R (thêm yếu tố z0 )

Từ w = z1.z + z2 ⇔ z =
z.z0 − a − bi = R ⇔ z0

w − z2
nên:
z1

z ( a + bi ) R z1
w − z2 a + bi
−
= R ⇔ w − z2 − 1
=
z1
z0
z0
z0
Rz

1
Tập hợp điểm biểu diễn w là đường trịn bán kính z .
0

2.3.1.2. Một số ví dụ minh họa rèn luyện kĩ năng cho học sinh
Dạng 1: Quỹ tích là đường thẳng
Ví dụ 1. Cho các số phức

z

thỏa mãn z + 1 − i = z − 1 + 2i . Tập hợp các điểm

biểu diễn các số phức z trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Phương trình
đường thẳng đó là
A.

4x − 6 y − 3 = 0

B.

4x + 6 y + 3 = 0

C.

4x − 6 y + 3 = 0

D.

4x + 6 y − 3 = 0

Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có z + 1 − i = z − 1 + 2i
nên quỹ tích là đường trung trực của AB với A(-1;1);
B(1; -2)

⇔ 4x − 6 y − 3 = 0 .

Câu 4. Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức
phức, biết số phức

z

z

trong mặt phẳng

thỏa mãn điều kiện z − 2i = z + 1 .

A. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình

4x + 2 y + 3 = 0 .

B. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình

4x − 2 y + 3 = 0 .

C. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình

2x + 4 y + 3 = 0 .

D. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình

2x + 4 y − 3 = 0 .

Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi z = x + yi , ( x, y ∈ ¡ ) .


5
Ta có: z − 2i = z + 1

⇔ x + ( y − 2 ) i = ( x + 1) − yi ⇔ x 2 + ( y − 2 ) = ( x + 1) + y 2 ⇔ 2 x + 4 y − 3 = 0 .
2

2

2.3.2. Sử dụng tính chất hình học vào giải các bài tốn tính modul của số
phức

 z1 = z2 = z3 = 1
 2
Ví dụ 1: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn  z1 = z2 .z3
. Tính giá trị của

z −z = 6+ 2
 1 2
2

biểu thức M = z2 − z3 − z3 − z1 .
A. − 6 − 2 − 3

B. − 6 − 2 + 3 .

C.

6 + 2 −2 .
2

D. − 6 − 2 + 2 .
2

Hướng dẫn giải
Gọi M , N , P lần lượt là các điểm biểu diễn trong hệ trục
tọa độ của các số phức z1 , z2 , z3 .
Suy ra: M , N , P thuộc đường tròn ( O;1) .
6+ 2
·
·
MN = z1 − z2 = 6 + 2 ⇒ cos OMN
=
⇒ OMN
= 150
4
4
0
·
⇒ MON
= 150 .
6+ 2
2
Ta có: z3 − z1 = z1 z3 − z1 = z3 z1 − z1 = z3 z1 − z3 z2 = z3 z1 − z2 =
.
2

⇒ MN = MP =

6+ 2
·
·
⇒ MOP
= 1500 ⇒ NOP

= 600 ⇒ ∆NOP đều ⇒ NP = 1
2

⇒ z2 − z3 = 1 . Vậy M = − 6 − 2 + 2 .
2
Ví dụ 2: Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 = 3 , z2 = 4 , z1 − z2 = 5 . Gọi A ,
B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ. Tính diện
tích S của ∆OAB với O là gốc tọa độ.
25
A. S = 12 .
B. S = 5 2 .
C. S = 6 .
D. S = .
2

Hướng dẫn giải
Ta có: z1 = OA = 3 , z2 = OB = 4 , z1 − z2 = AB = 5
1
⇒ ∆OAB vng tại O (vì OA2 + OB 2 = AB 2 ) ⇒ S ∆OAB = OA.OB = 6 .
2


6
Ví dụ 3: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa z1 = z2 = 2 5 . Gọi M , N lần lượt là
điểm biểu diễn hai số phức z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ. Biết MN = 2 2 . Gọi H
là đỉnh thứ tư của hình bình hành OMHN và K là trung điểm của ON . Tính
l = KH

A. l = 41 .

B. l = 5 .

Xét

giác

tam

C. l = 3 2 .
D. l = 6 2 .
Hướng dẫn giải
OMN
ta
có

OM 2 + ON 2 − MN 2 4
·
cos MON =
= .
2OM .ON
5
4
·
·
·
Vì MON
+ ONH
= 180° nên cos ONH = − .
5
Xét tam giác HNK có

·
HK = NH 2 + NK 2 − 2 NH .NK .cos KNH
2

1
1

·
= OM +  ON ÷ − 2OM . ON .cos ONH
= 41 .
2
2


2

Ví dụ 4: Cho hai số phức z1 , z2 có điểm biểu
diễn lần lượt là M 1 , M 2 cùng thuộc đường trịn có phương trình x 2 + y 2 = 1 và
z1 − z2 = 1 . Tính giá trị biểu thức P = z1 + z2 .
P=

2
.
2

A. P =

3
.

2

B. P = 2 .

C.

D. P = 3 .

Hướng dẫn giải
Ta có M 1 , M 2 cùng thuộc đường tròn tâm O ( 0;0 ) bán kính R = 1 .
Vì z1 − z2 = 1 nên suy ra M 1M 2 = 1 . Vậy tam giác OM 1M 2 là tam giác đều
cạnh bằng 1 .
Gọi H là trung điểm của M 1M 2 thì OH là trung tuyến của tam giác đều
OM 1M 2 có cạnh bằng 1 . Suy ra OH = 1. 3 = 3 .
2
2
uuuur uuuuu
r
uuur
3
Ta có P = z1 + z2 = OM 1 + OM 2 = 2OH = 2OH = 2. = 3.
2
Ví dụ 5: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 = 2, z2 = 3 và nếu gọi M , N
2
2
·
lần lượt là điểm biểu diễn của z1 , iz2 thì MON
= 30° , Tính P = z1 + 4 z2 .

A. P = 5

B. P = 4 7

C. P = 3 3

2
2
2
Ta có P = z1 − 4 ( iz2 ) = a − 4b = a − 2b . a + 2b . Với
2

a = z1 ⇒ a = 2; b = iz2 ⇒ b = 3

D. P = 5 2


7
2

2

2

→ a − 2b = 2
Lại có a − 2b = a − 4. a . b .cos 30° + 4 b = 4 
2

2

2

→ a + 2b = 2 7
Và a + 2b = a + 4. a . b .cos 30° + 4 b = 28 

Vậy P = a − 2b . a + 2b = 2.2 7 = 4 7 . Chọn B
2.3.4. Sử dung tính chất hình học vào giải các bài tốn GTLN, GTNN
modul số phức
Vấn đề 1. Điểm và đường thẳng
Câu 1. Xét các số phức z, w thỏa mãn z + 2- 2i = z - 4i và w = iz +1. Giá trị nhỏ
nhất của w bằng
A.

2
.
2

Câu 2. Xét các số
P = ( 1+ 2i ) z +11+ 2i

A.

3 2
.
2
phức z thỏa

B.

5
.

2

1
z

A.

mãn

D.

2.

z = z - 1+ 2i .

2 2.

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

bằng
B.

Câu 3. Xét các số phức
w=

C.

5
.
2

z thỏa

C.
mãn

2
.
5

z +1- i = z - 3i .

D.

5
.
2

Môđun lớn nhất của số phức

là
2 5
.
7

4 5
.
7

B.

Câu 4. Xét các số phức
nhất của biểu thức

z

C.
thỏa mãn

P = z - 2+ 2i

bằng

9 5
.
10

D.

7 5
.
10

z2 - 2z + 5 = ( z - 1+ 2i ) ( z + 3i - 1) .

A.

B.

1.

3
.
2

Giá trị nhỏ
C.

5
.
2

D.

5.

Câu 5. Xét các số phức
điều kiện
1
.
5

C.

5
34

w = ( 1+ i ) z + 2.
.

thoã mãn

z + 2i = z - 1- 2i .

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Gọi

w

P=w

là số phức thoã mãn
bằng A.

1
.
3

B.

5

D.

Câu 6. Xét các số phức
nhỏ nhất của biểu thức

z

.

41
z, w

thỏa mãn

P = z- w

là

z - 1- 3i £ z + 2i

A.

13 +1
.
2

và

w +1+ 3i £ w- 2i .

B.

26
.
4

C.

Giá trị

3
. D.
13

3 26
.
13

Vấn đề 2. Điểm và đường tròn
Câu 1. Xét các số phức z thỏa mãn - iz +1 = 1. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ
nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = z . Tính S = 2020- M + m. A. S = 2014. B.
S = 2016.
C. S = 2018.
D. S = 2022.
Câu 2. Xét các số phức z thỏa mãn z - 2- 3i = 1. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P = z +1+ i lần lượt là A. 13 + 2 và 13 - 2 . B. 13 +1 và
13 - 1. C. 6 và 4 .
D. 13 + 4 và 13 - 4 .
z
1
+
i
z
+
1
7
i
=
2.
m

Câu 3. Xét các số phức thỏa mãn ( )
Gọi , M lần lượt là giá trị
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P = z . Tính S = M - m. A. S = 2. B. S = 4.
C.
S = 10.
S
=
24.
D.


8
z, w

Câu 4. Xét các số phức

thỏa mãn

( 1+ i ) z
1- i

+2 =1

và

biểu thức P = z - w bằng
A. 3
B. 2 3
C. 3 2
z

,
z
Câu 5. Xét các số phức 1 2 thỏa mãn z1 - 1+ i = 1 và
của biểu thức P = 2z1 - z2 bằng
A. 2- 2.
B. 2- 2 2.
C. 4- 2 2.
Câu 6. Xét các số phức

z

thỏa mãn

z

z

thỏa mãn

Giá trị lớn nhất của

D. 3 3
z2 = 2iz1. Giá
D.

8-

khơng phải là số thực và

thực. Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức

Pmax = 2.
C. Pmax = 2 2.
Câu 7. Xét các số phức

w = iz.

z ³ 2.

P = z +1- i .

Biểu thức

P=

A.
D.
z +i
z

trị nhỏ nhất

2.
w=

z
2+ z2

Pmax = 2.

là số

B.

Pmax = 8.

đạt giá trị nhỏ nhất

và giá trị lớn nhất lần lượt tại z1 và z2 . Tìm phần ảo a của số phức w = z1 + z2. A.
a= - 4. B. a= 0.
C. a= 1.
D. a= 4.
Câu 8. Xét các số phức z thỏa mãn z = 1. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất của
10 + 6 34
.
9

P=

2z + i
.
z- 2

D.

Tỉ số

M
m

bằng A.

5+ 3 2
.
4

B.

25+ 4 34
.
9
z1, z2 thay

9+ 4 2
.
7

C.

Câu 9. Xét hai số phức
đổi thỏa mãn z1 - z2 = z1 + z2 + 4- 2i = 2. Gọi A, B
2
2
lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức z1 + z2 . Giá trị của
A + B làA. 20.
B. 24.
C. 28.
D. 32.
Câu 10. Xét các số phức z, w thỏa mãn | z|= 5 và w= ( 4- 3i ) z +1- 2i. Giá trị nhỏ
nhất của | w| bằng
A. 3 5.

B. 4 5.
C. 5 5.
D. 6 5.
Câu 11. Cho số phức z thỏa mãn đồng thời z - 1+ 2i = 5 và w= z +1+ i có mơđun
3 2.
lớn nhất. Số phức z có môđun bằng A. 6.
B. 2 5.
C.
D. 5 2.
Câu 12. Xét các số phức z thỏa mãn z - 2- 4i = 2 2. Trong các số phức w thỏa
mãn w = z( 1+ i ) , gọi w1 và w2 lần lượt là số phức có mơđun nhỏ nhất và mơđun
lớn nhất. Khi đó w1 + w2 bằng
A. - 2+ 6i.
B. 2+ 4i.
C. - 4 +12i.
D. 4 + 8i.
Câu 13. Xét các số phức z thỏa z - 1+ 2i = 2 5 và số phức w thỏa
( 5+10i ) w = ( 3- 4i ) z - 25i. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = w bằng
A. 2 10.
B. 4.
C. 4 5.
D. 6.
2
Câu 14. Xét các số phức z thỏa mãn z + z + z - z = z . Giá trị lớn nhất của biểu
thức P = z - 5- 2i bằng
A. 2 + 3 5.
B. 2 + 5 3.
C. 5 + 2 3.
D. 5 + 3 2.

Vấn đề 3. Đường thẳng và đường tròn


9
2

Câu 1. Xét các số phức z1 thỏa mãn z1 - 2 - z1 + i
z2 - 4- i = 5 . Giá trị nhỏ nhất của P = z1 - z2 bằng
C.

2 5
.
5

D.

2

=1

và các số phức z2 thỏa mãn
2 5.
A. 5.
B.

3 5
.
5

Câu 2. Gọi ( C1) là tập hợp các số phức w thỏa mãn w + 2- 3i £ w- 3+ 2i . Gọi ( C2 )

là tập hợp các số phức z thỏa mãn z - 2+ 4i £ 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = w- z bằng
A. 2 3 - 1.
B. 2 3 +1 .
C. 3 2 - 1.
D. 3 2 +1 .
z
z
2
i
£
z
4
i
z
3
3
i = 1. Giá trị lớn nhất
Câu 3. Xét các số thức thỏa mãn
và
của biểu thức P = z - 2 +1 bằngA. 5 + 2. B. 10
C. 10 +1. D. 13 +1.
Câu 4. Xét các số phức z, w thỏa mãn iz - 2i - 2 £ z - 1 và max{ w + 2- 2i , w } £ 2.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
C.

9
2 5

D.

.

13
2 5

biểu thức
A.

P = z- w

bằng

A.

1
2 5

B.

.

5
.
2

.

z, w

Câu 5. Xét các số phức

P = z- w

thỏa mãn

ìï max { z ; z - 1- i } £ 1
ï
.
í
ïï w +1+ 2i £ w- 2- i
ïỵ

Giá trị nhỏ nhất của

bằng

0.

Câu 6. Kí hiệu

B.

1
.
6

C.

2 - 1.

D.

2 2 - 1.

là tập hợp các số phức z thỏa mãn z- 1 = 34 và
z +1+ mi = z + m+ 2i (trong đó mỴ ¡ ). Gọi z1, z2 là hai số phức thuộc tập hợp S
sao cho z1 - z2 là lớn nhất. Khi đó, hãy tính giá trị của biểu thức z1 + z2 . A.
z1 + z2 = 2.
B. z1 + z2 = 2.
C. z1 + z2 = 10.
D. z1 + z2 = 130.
Câu 7. Biết số phức z = x + yi ( x; y Ỵ ¡ ) thỏa mãn đồng thời z - ( 3+ 4i ) = 5 và biểu
2
2
thức P = z + 2 - z - i đạt giá trị lớn nhất. Tính z .A. z = 33 .
B. z = 50 . C.
z = 10 .
D. z = 5 2 .
Câu 8. Xét các số phức z thỏa mãn z - 1- 3i = 13. Gọi m, M lần lượt là giá trị
2
2
nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức P = z + 2 - z - 3i . Tổng m+ M bằng A. 10. B.
25. C. 34.
D. 40.
Câu 9. Xét các số phức z = x + yi ( x; y Ỵ ¡ ) thỏa mãn ( 1+ i ) z + 2- i = 4. Giá trị lớn
nhất của biểu thức T = x + y + 3 bằng A. 4.
B. 4 2.
C.
4 + 2 2.

D. 8.
Câu 10. Xét các số phức z thỏa mãn | z + 2 = 1+ 2i . Giá trị nhỏ nhất của biểu
thức

S

P =| z - 1- 2i | +| z - 3- 4i | +| z - 5- 6i |

tối giản. Giá trị của

a+ b

bằng A.

Câu 11. Xét các số phức

z1, z2

10.

được viết dưới dạng
B.

thoả mãn

11.

a b,

C.

với

a
b

D.

12.

z1 - 3- 4i = 1, z2 +1 = z2 - i

là phân số

và

thực. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
P = M + m.
A. P = 14 5.
B. P = 16 5.
C. P = 18 5.
D. P = 20

17.
z1 - z2
là số
2- i
z1 - z2 . Tính
5.

10
Câu 12. Cho

z1

là số phức,

z2

là số thực thoả mãn

z1 - 2i = 1

và

z2 - z1
1+ i

là số thực.

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z1 - z2 là
A. 2. B.
2 2.
C. 3 2
D. 4 2.
z
=
x
+

yi
x
,

¡
(
)
Câu 13. Cho
là số phức thỏa mãn z + 2- 3i £ z +i - 2 £ 5. Gọi
M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P = x2 + y2 + 8x + 6y. Giá trị M + m
bằng
A.

156
- 2 10.
5

B.

156
+ 2 10.
5

C.

D.

60- 20 10.

60 + 20 10.

Vấn đề 4. Đường tròn và đường tròn
Câu 1. Xét các số phức z1, z2 thỏa mãn z1 - 4 = 1 và iz2 - 2 = 1. Giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P = z1 + 2z2 bằng
A. 2 5 - 2.
B. 4- 2.
C. 4 2 - 3.
D. 4 2 + 3.
Câu 2. Xét các số phức z1, z2 thỏa mãn z1 - 3i + 5 = 2 và iz2 - 1+ 2i = 4. Giá trị lớn
nhất của biểu thức P = 2iz1 + 3z2 bằng
A. 313 +16.
B. 313. C.
313 + 8.
D. 313 + 2 5.
Câu 3. Xét các số phức z1, z2 thỏa mãn z1 = 12 và z2 - 3- 4i = 5. Giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P = z1 - z2 bằng
A. 0.
B. 2.
C. 7.
D. 17.
Câu 4. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa
mãn z.z = 1 và z - 3 + i = m ?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
z
z
i
³ 3 và z- 1 £ 5 . Gọi

Câu 5. Gọi S là tập hợp các số phức
thỏa mãn
z1, z2 Ỵ S lần lượt là các số phức có mođun nhỏ nhất và lớn nhất. Khẳng định nào
sau đây đúng ?
A. z1 + 2 z2 = 12 - 2i. B. z1 + 2 z2 = - 2 +12i. C. z1 + 2 z2 = 6 - 4i. D. z1 + 2 z2 = 12 + 4i.
Câu 6. Xét các số phức z thỏa mãn 1£ z - 2+ i £ 4. Gọi M là giá trị lớn nhất của
z - 2+ 3i , m là giá trị nhỏ nhất của z + 2- 2i . Tính M + m. A. M + m= 3. B.
M + m= 5. C. M + m= 6.
D. M + m= 7.
Câu 7. Xét các số phức
bằng
A.

3 2.

B.

z

thỏa mãn

ìï z + 2i £ 2 5
ïï
.
í
ïï z - 4i £ 2 2
ïỵ

C.

3 5.

Câu 8. Xét các số phức

z = x + yi ( x, y Ỵ ¡ )

Giá trị lớn nhất của T = z +1D.

5 + 2.

thỏa mãn

A.

5
.
4

B.

7
.
2

Câu 9. Xét các số phức
nhất của biểu thức
D. 4 + 3 10.

6.

ìï z - 1- i ³ 1
ï
.
í
ïï z - 3- 3i £ 5
ïỵ

lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức

P = x + 2y.

P = x + 3y

bằng A.

5.

thỏa mãn

Gọi

B.

7.

m, M

lần

M

bằng
m
14
D. 5 .

Tỉ số

9
.
4
ìï z - 1- i ³ 3
ï
.
í
ïï z - 3- 4i £ 10
ïỵ

C.

z = x + yi ( x; y Ỵ ¡ )

4i

Giá trị nhỏ
C.

13.


11

Vấn đề 5. Parabol
Câu 1. Xét các số phức z = a + bi ( a,b Ỵ ¡ ) thỏa
P = - a + 4b

khi

z-

1
+ 3i
2

2

4( z - z ) - 15i = i ( z + z - 1) .

đạt giá trị nhỏ nhất.

A.

C. P = 6.
D. P = 7.
Câu 2. Xét hai số phức z1, z2 thỏa mãn 2 z1 +i = z1 nhỏ nhất của biểu thức z1 - z2 bằng A. 10 +1.
D. 101+1.
101- 1.

z1 - 2i

Vấn đề 6. Đoạn thẳng – tia
Câu 1. Xét các số phức thỏa mãn z + 2- i + z - 4- 7i = 6 2. Gọi

giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z - 1+ i . Tính P = m+ M .
P = 13 + 73 .

B.

P=

5 2 + 2 73
.
2

Câu 2. Xét các số phức z thỏa mãn
biểu thức P = z +1+ 2i bằng
A.

B.

53.

C.

P = 5 2 + 2 73

P = 5.

và z2 - i - 10 = 1. Giá trị
B. 3 5- 1. C.

z

A.

B.

P = 4.

Tính

. D.

z - 1- i + z - 8- 3i = 53.

lần lượt là

m, M

P=

5 2 + 73
2

.

Giá trị lớn nhất của

185
.
D. 106.
2
z + 2- 3i + z - 6- i = 2 17. Gọi M , m

C.

53.

Câu 3. Xét các số phức z thỏa mãn
lần lượt là
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z +1- 2i - z - 2+ i .
A. M = 3 2, m= 0. B. M = 3 2, m= 2. C. M = 3 2, m= 5 2 - 2 5. D.
M = 2, m= 5 2 - 2 5.

Câu 4. Xét các số phức z thỏa mãn z + 3- 2i + z - 3+ i = 3 5. Gọi M , m lần lượt là
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z + 2 + z - 1- 3i .
A.
M = 17 + 5, m= 3 2.

B.

C.

M = 26 + 2 5, m= 3 2.

M = 26 + 2 5, m= 2.

D.

M = 17 + 5, m= 2.

Câu 5. Xét các số phức
nhất của

z1, z2

P = z1 - z2 + z1 + 2- i

thỏa

z1 +1- 2i + z1 - 3- 3i = 2 z2 - 1-

bằngA.

2 17.

B.

5
i = 17.
2

C.

3 29.

Giá trị lớn
D.

17 + 29.

17 + 2 29.

Câu 6. Xét các số phức
biểu thức

P = ( 1+ i ) z + 2i

z

thỏa mãn

bằng A.

9
17

iz - 2i - 2 - z +1- 3i = 34.
.

B.

Giá trị nhỏ nhất của

C.

3 2.

D.

4 2.

Câu 7. Xét các số phức z đồng thời thỏa mãn z - 4+ 3i nhỏ nhất. Môđun của số phức z bằng A. 5.

D. 10.
Câu 8. Xét các số phức z = a + bi ( a, bỴ ¡ ) thỏa mãn z - 1-

z + 4 + 3i = 10

khi T =

P = 6.

P=

28
.
3

z - 3- 4i - z - 1+ i

đạt giá trị lớn nhất.A.

P = 2.

B.

B.

5 2.

2i = z + 3i .

C.

26.

và z C.

Tính
P=

3- 4i
6 2.

P = a+ b

26
.
3

D.


12
Câu 9. Xét các số phức

z

thỏa mãn

P = z - 1- 2i + z - 3- 4i + z - 5- 6i

z + 2 = z + 2i .

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

được viết dưới dạng

a + b 17
2

vi

a, bẻ Ô .

Tớnh

a + b.

A. a+ b = 2.
B. a+ b = 3.
C. a+ b = 4.
D.
z
,
z
Câu 10. Xét các số phức 1 2 đồng thời thỏa mãn z z1 - z2 = 5.
3 85
.
5

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
C.

1105
.
5

z1 - 1- 3i + z2 - 1- 3i

D.

a + b = 7.
1- 2i = z - 3+ 2i

bằngA.

14 5
.
5

và
B.

1165
.
5

Vấn đề 7. Phương pháp lấy đối xứng
Câu 1. Xét các số phức z = a+ bi ( a;bỴ ¡ ) thỏa mãn z - 5- 3i = z - 1+ 5i . Tính a+ b
khi biểu thức P = z - 2- 2i + z + 3- 7i đạt giá trị nhỏ nhất.
A. a+ b = - 1.
B. a+ b = 0.

C. a+ b = 1.
D. a+ b = 2.
Câu 2. Xét các số phức z, z1, z2 thỏa mãn z1 - 4- 5i = z2 - 1 = 1 và z + 4i = z - 8+ 4i .
Tính M = z1 - z2 khi P = z - z1 + z - z2 đạt giá trị nhỏ nhất.A. M = 2 5.
B. M = 6.
C. M = 41.
D. M = 8.
Câu 3. Xét các số phức z1, z2 thỏa mãn z1 + 3+ 2i = 1 và z2 + 2- i = 1. Số phức z có
phần thực bằng a , phần ảo bằng b thỏa mãn 2a- b = 0. Tính P = a + b khi
z - z1 + z - 2z2 đạt giá trị nhỏ nhất.
A. P = 1.
B. P = 3.
C. P = 4.
D. P = 7.
Câu 4. Xét các số phức z1, z2 thỏa mãn z1 - 5+ 3i = z1 - 1- 3i và
z2 - 4- 3i = z2 - 2+ 3i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z1 - z2 + z1 - 6+ i + z2 - 6- i
bằng
A.

2 10.

B.

7
.
2

C.

4 130

.
13

D.

18
13

.

Vấn đề 8. Tâm tỉ cự
2
2
Câu 1. Xét các số phức thỏa mãn | z + 5- i |=| 2+ 3i | . Đặt P = z + 3- 9i + z - 1- 5i .
Biết P đạt giá trị nhỏ nhất tại z1 và P đạt giá trị lớn nhất tại z2. Giá trị của biểu
thức z1 - z2 bằng
A. 2 13.
B. 2 15.
C. 4 3.
D. 52.
Câu 2. Xét các số phức z thỏa mãn z +1- 2i = 3 2. Gọi m, M lần lượt là giá trị
2
2
nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức P = z - 3+ 2i - 2 z - 2- i . Tổng m+ M bằng A.
- 30.
B. - 12.
C. 14.
D. 68.
Câu 3. Xét các số phức z = a+ i ( a,bỴ ¡ ) thỏa mãn z - 4- 3i = 5. Tính a+ b khi biểu
2

2
2
thức Q = z + 2- 2i + 2 z - 4+ i + 3 z + 2i đạt giá trị lớn nhất.
A. a+ b = 11.
B. a+ b = 12.
C. a+ b = 13.
D. a+ b = 14.
Câu 4. Xét các số phức z1, z2 thỏa mãn z - 3- 4i = 2 và z1 - z2 = 1. Giá trị nhỏ nhất
2
2
của biểu thức P = z1 - z2 bằng
A. - 4- 3 5.
B. - 6- 2 5.
C. - 5.
D. - 10.
z


13
Vấn đề 9. Phương pháp cân bằng hệ số
Câu 1. Xét các số phức z thỏa mãn z = 1. Giá trị lớn nhất của T = z +1 + 2 z - 1
bằng
A. 2 5.
B. 2 10.
C. 3 2.
D. 3 5.
z
Câu 2. Xét các số phức thỏa z- 1 = 2. Giá trị lớn nhất của T = z + i + z - 2- i
bằng
A. 4.

B. 4 2.
C. 8.
D. 8 2.
Câu 3. Xét các số phức z = a+ bi ( a;bỴ ¡ ) có mơđun bằng 2 và phần ảo dương.
2018
Tính giá trị biểu thức S = éë5( a+ b) + 2ùû khi biểu thức P = 2+ z + 3 2- z đạt giá trị
lớn nhất.
A. S = 0.
B. S = 1.
C. S = 22018.
D. S = 21009.
z- 1
1
=
. Gọi M , m lần
z + 3i
2
P = z + i + 2 z - 4 + 7i . Giá trị M + m bằng

Câu 4. Xét các số phức

z

thỏa mãn

lượt là giá trị lớn

nhất và nhỏ nhất của
A. 10+ 2 5.
B. 10+ 4 5.

C. 20+ 2 5.
D. 20+ 4 5.
Câu 5. Xét số phức z thỏa mãn z +1- 2i = 2 2. Với a, b là số thực dương cho
trước, giá trị lớn nhất của biểu thức P = a z - 1 + b z + 3+ 4i bằng
A. a2 + b2 .
B. 2a2 + 2b2 .
C. 4 2a2 + 2b2 .
D. a2 + b2.
Câu 6. Xét các số phức z = a + bi ( a,b Ỵ ¡ ) thỏa mãn z - 4- 3i = 5. Tính a+ b khi
biểu thức P = z +1- 3i + z - 1+ i đạt giá trị lớn nhất.
A. a+ b = 4.
B. a+ b = 6.
C. a+ b = 8.
D. a+ b = 10.
Câu 7. Xét các số phức z = a+ bi ( a,bỴ ¡ ) thỏa mãn z - 4- 3i = 2 2. Tính 2a+ b khi
biểu thức P = z - 1+ 2i + z - 9- 6i đạt giá trị lớn nhất.
A. 2a+ b = 7.
B. 2a+ b = 9.
C. 2a+ b = 12.
D. 2a+ b = 13.
Câu 8. Xét các số phức z thỏa mãn z - 2- 2i = 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức
P = z - 3- 2i + 2z - 2+ 4i bằng
A. 5.
B. 2 5.
C. 3 15.
D. 10.
M
,
m
z

z
2
i
=
2
2.
Câu 9. Xét các số phức thoả mãn
Gọi
lần lượt là giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z + 3- 2i + z- 3+ 4i . Tính M + m.
A. M + m= 2 26 + 6 2.
B. M + m= 2 26 + 8 2.
C. M + m= 11 2.
D. M + m= 16 2.
Câu 10. Xét các số phức z = a+ bi ( a,bỴ ¡ ) thỏa mãn z - 3- 2i = 2. Tính a+ b khi
biểu thức T = z +1- 2i + 2 z - 2- 5i đạt giá trị nhỏ nhất.
A. a+ b = 3.
B. a+ b = 2+ 3.
C. a+ b = 4- 3.
D. a+ b = 4+ 3.
Câu 11. Xét các số phức z = a + bi ( a,b Î ¡ ) thỏa mãn z = 2. Tính a+ b khi biểu
thức P = z - 4 + 2 z +1+ 4i đạt giá trị nhỏ nhất.
A. a+ b = - 2.
B. a+ b = 2.
C. a+ b = 2 5.
D. a+ b = 4 5.
Câu 12. Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện z + i = 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu
thức

P = z-

2 - i + 2 z-

4 3
.
3

B.

A.

2 + 3i
2.

bằng
C.

3.

D.

3.


Câu 13. Xét các số phức
biểu thức P = 2 z - 8i - z - 7A.

5
.
2

B.

z
9i

14
thỏa mãn điều kiện
bằng

5 3
.
2

z - 1- i = 5.

5 5
.
2
z = 1. Giá

C.

Giá trị lớn nhất của

D.

5 5.

Câu 14. Xét các số phức z thỏa

trị lớn nhất của biểu thức
T = z + 2 + 2 z - 2 bằng
A. 2.
B. 2 5.
C. 5.
D. 5 2.
Câu 15. Xét các số phức z thỏa mãn 2z +1- 3i = 2. Giá trị lớn nhất của biểu
thức P = z - 1 + 3 z +1- 2i bằng
A. 2 2.
B. 4.
C. 4 2.
D. 4 3.
Câu 16. Cho số phức z = a+ bi ( a, bỴ ¡ ) thỏa mãn z - 3- 3i = 6. Tính a+ b khi biểu
thức P = 2 z + 6- 3i + 3 z +1+ 5i đạt giá trị nhỏ nhất.
A. a+ b = 2- 2 5. B. a+ b = 2 5 - 2.
C. a+ b = 2 5 - 4.
D. a+ b = 4- 2 5.
Vấn đề 10. Elip
thỏa mãn z + 4 + z- 4 = 10 . Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu 1. Xét các số phức
của z lần lượt là
A. 10 và 4.
B. 5 và
z

Câu 2. Xét các số phức

z

4.

thỏa mãn

C.
iz +

4

và

3.

2
2
+ iz +
= 4.
1- i
i- 1

D.
Gọi

5
M

và
và

3.

n

lần lượt là

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính M .n.
A. M .n= 1.
B. M .n= 2.
C. M .n= 2 2.
D. M .n= 2 3.
Câu 3. Xét số phức z thỏa mãn ( z + 2) i +1 + ( z - 2) i - 1 = 10. Gọi M và m là giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính tổng S = M + m.
A. S = 17.
B. S = 2 21.
C. S = 8.
D. S = 9.
z
z
+
1
i
+
z
3
+
i
=
6.
Câu 4. Xét các số phức thoả mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin
của biểu thức P = z +1+ 4i .

A. Pmin = 2 5 - 2. B. Pmin = 2 5 + 2.
C. Pmin = 5 - 2.
D. Pmin = 5- 2.
Câu 5. Xét các số phức z thỏa z - 1- i + z +1+ 3i = 6 5. Giá trị lớn nhất của
P = z - 2- 3i bằng
A. 2 5.
B. 4 5.
C. 5 5.
D. 6 5.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.4.1. Đối với đồng nghiệp
- Giúp đồng nghiệp có những định hướng cơ bản và phương pháp dạy cho
học sinh trong q trình dạy ơn thi THPT Quốc gia phần cực trị của số phức
- Giúp đồng nghiệp có những hệ thống bài tập từ nhận biết đến vận dụng
cao để rèn luyện kĩ năng, trau dồi phương pháp cho học sinh giải các bài toàn
cực trị số phức.
2.4.2. Đối với học sinh


15
- Giúp học sinh nắm vững kĩ năng giải các bài tốn phần cực trị ơn thi tốt
nghiệp THPT.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận: Trong nhiều năm dạy học của mình, đặc biệt là năm học
2020 – 2021 tác giả có ơn thi tốt nghiệp THPT và đã rút ra được một số kinh
nghiệm trong việc dạy ôn thi phần cực trị số phức. Qua bài viết tác giả đã đưa ra
được một số vấn đề sau:
- Phương pháp giải các bài toán về modul số phức, đặc biệt là một số lưu ý
giúp học sinh dễ tiếp thu và hiểu sâu sắc phương pháp giải bài toán cực trị số
phức.

- Trình bày một số ví dụ điển hình và xây dựng hệ thống bài tập (phần phụ
lục) để giúp học sinh rèn luyện kỹ năng và phương pháp giải một cách linh hoạt,
không bị bế tắc về hướng giải quyết bài toán cực trị khi đứng trước nhiệm vụ.
3.2. Kiến nghị: Đây là nội dung hay và khá quan trọng trong q trình ơn
thi mơn Tốn. Vì vậy tác giả xin đề nghị các thầy, cô và các em học sinh nghiên
cứu đọc và áp dụng trong quá trình dạy – học của mình đồng thời tiếp tục bổ
sung để đề tài được hoàn thiện hơn trong quá trình sử dụng. Đặc biệt cần xây
dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm nhiều hơn nữa để học sinh luyện tập và củng
cố.

XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Nghi Sơn, ngày 18 tháng 5 năm 2021
Tơi xin cam đoan tồn bộ nội dung đề tài
trên là do bản thân tôi nghiên cứu và thực
hiện, không sao chép nội dung của bất kỳ ai.
NGƯỜI VIẾT SKKN

Nguyễn Văn Hữu