Hướng dẫn học sinh giải các bài toán tích phân hàm ẩn

Hướng dẫn học sinh giải các bài tốn tích phân hàm ẩn

1- MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Toán học có vai trị và vị trí đặc biệt quan trọng trong khoa học kĩ thuật và đời
sống, giúp con người tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học khác. Thơng qua
việc học Tốn, học sinh nắm vững được nội dung tốn học và phương pháp giải
tốn từ đó vận dụng vào các môn học khác nhất là các mơn khoa học tự nhiên.
Chính vì thế tốn học có vai trị quan trọng trong trường phổ thơng, nó địi hỏi
người thầy giáo mọi sự lao động nghệ thuật sáng tạo để có được những phương
pháp dạy học giúp học sinh học và giải quyết bài toán, đồng thời vận dụng vào thực
tế.
Các bài tốn Tích phân đặc biệt là các bài tốn về tích phân hàm ẩn – là dạng
tốn mà hàm dưới dấu tích phân chưa được xác định cụ thể nên đối với học sinh
cấp THPT là các bài tốn khó, một vấn đề nan giải đối với học sinh THPT, đặc biệt
là đối với các học sinh dự thi THPT Quốc Gia các năm gần đây. Năm học 20162017, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ thi Trung học Phổ thông
Quốc gia (THPTQG). Trong đó mơn tốn được đổi từ hình thức thi từ tự luận sang
hình thức thi trắc nghiệm. Việc thay đổi đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó
khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ơn luyện. Hình thức thi trắc nghiệm
mơn tốn địi hỏi một số cách tiếp cận vấn đề mới so với hình thức thi tự luận. Khi
làm một bài tốn yêu cầu học sinh phải có kỹ năng, có suy luận và tư duy toán học
nhanh nhạy đồng thời phải nắm chắc kiến thức cơ bản .
Trong chương trình THPT vấn đề giải quyết các bài toán về hàm ẩn gây ra
rất nhiều khó khăn đối với học sinh đặc biệt là các bài tốn về tích phân. Thơng
thường đối với các bài tốn tích phân đã xác định được hàm dưới dấu tích phân
việc tìm ra kết quả đối với học sinh trong chương trình thi trắc nghiệm khơng có gì
là khó tuy nhiên đối với các bài tốn về tích phân hàm ẩn thì khác ln gây rất
nhiều khó khăn cho học sinh trong q trình tìm ra kết quả. Trong quá trình dạy và
đọc các tài liêu tham khảo, tôi đã rút ra kỹ năng nhỏ giúp học sinh giải các bài tốn
về tích phân hàm ẩn. Xây dựng chương trình giải là một bước rất quan trọng, để có
được chương trình giải tối ưu trước hết phải nghiên cứu thật kĩ cấu trúc của bài

toán, xem xét dưới nhiều góc độ, nắm chắc kiến thức cơ bản từ đó định ra hướng
giải phù hợp. Các bài tốn về tích phân hàm ẩn ln là các bài tốn khó có nhiều tư
duy logic tổng hợp được nhiều kiến thức trong chương trình THPT, giáo viên cần
1


Hướng dẫn học sinh giải các bài tốn tích phân hàm ẩn

trang bị cho học sinh để giúp các em giải quyết tốt các bài tốn trong chương trình
thi THPT Quốc Gia góp phần nâng cao tư duy tốn học, tạo điều kiện cho việc học
tốn nói riêng và trong q trình học tập nói chung.
Trong q trình dạy học, ôn thi THPT Quốc Gia tôi nhận thấy phần các bài
tốn về tích phân hàm ẩn học sinh cịn lúng túng khi làm tốn.
Với đề tài này tơi hy vọng sẽ giúp học sinh không bỡ ngỡ khi gặp các bài tốn về
tích phân hàm ẩn đồng thời hình thành ở học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng
tạo, nâng cao năng lực phát hiên và giải quyết vấn đề, rèn luyện khả năng vận dụng
kiến thức vào hoạt động thực tiễn.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Để cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa tích phân hàm ẩn với định nghĩa, tính
chất và các phương pháp tính tích phân như: đổi biến, từng phần. Từ đó có thể làm
tốt các dạng toán này, mang lại kết quả cao trong các kì thi, đặc biệt là kì thi
THPTQG.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là vận dụng một số lý thuyết trong chương trình
SGK 12 để giải quyết các dạng tốn về tích phân liên quan đến hàm ẩn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1 Cơ sở lý luận
Định nghĩa tích phân :

“Cho f ( x) là hàm số liên tục trên đoạn  a; b . Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của
f ( x) trên đoạn  a; b  . Hiệu số F (a )  F (b) được gọi là tích phân từ a đến b (hay
tích phân xác định trên đoạn  a; b ) của hàm số f ( x) , ký hiệu:

b

f ( x) dx
�
a

b

Ta còn ký hiệu: F ( x) a F (b)  F (a) .

2


Hướng dẫn học sinh giải các bài tốn tích phân hàm ẩn
b

b

Vậy: f ( x)dx F ( x) a F (b)  F (a)
a

*Nhận xét:
b

a) Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể ký hiệu là

f ( x) dx
�
a

b

hay

f (t ) dt .
�
a

Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào hàm f , các cận a , b mà không phụ thuộc vào
biến số x hay t .
b) Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f ( x) liên tục và không âm trên
đoạn  a; b thì
b

f ( x) dx
�

là diện tích S của hình thang giới hạn bởi đồ thị của f ( x) , trục Ox và hai

a

đường thẳng x  a, x  b x = a; x = b. ( hình vẽ)

b

f ( x) dx

Vậy S  �
a

Tính chất.
1. Tính chất 1:

b

b

a

a

kf ( x ) dx  k �
f ( x ) dx
�
b

2. Tính chất 2:

b

[f ( x) �g ( x)] dx  �
f ( x) dx ��
g ( x) dx
�
a

3. Tính chất 3:

b

a

a

b

c

b

a

a

c

�f ( x) dx  �f ( x) dx  �f ( x) dx

( a  c  b)

Phương pháp tính tích phân.
1. Phương pháp đổi biến số:
“Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn  a; b . Giả sử hàm số x   (t ) có đạo hàm liên
tục trên đoạn   ;   sao cho  ( )  a;  (  )  b và a � (t ) �b với mọi t thuộc   ;   .
Khi đó:”
b



f ( x) dx  �
f ( (t )). (t ) dt
�
'

a



3


Hướng dẫn học sinh giải các bài tốn tích phân hàm ẩn

Chú ý:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn  a; b . Để tính

b

f ( x) dx
�

ta chọn hàm số u =

a

u(x) làm biến mới, với u(x) liên tục trên [a; b] và u(x) thuộc [; ]. Ta biến đổi f(x)
= g(u(x)).u’(x).

Khi đó ta có:
u (b )

b

f ( x) dx
�
a

=

�g (u ) du

u(a)

2. Phương pháp tính tích phân từng phần:
“Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì
b

b

a

a

u ( x)v ' ( x) dx  (u ( x )v( x)) ba  �
u ' ( x)v ( x) dx
�

b

b

a

a

u dv  uv ba  �
v du
Hay �

2.2 Thực trạng của vấn đề
Do sự giảm tải của kiến thức ở bậc THPT mà số lượng bài tập SGK dùng
phương pháp này để giải cịn rất ít, do đó Phương pháp này khơng mang tính chất
phổ biến và bắt buộc. Chính lẽ đó mà đại đa số học sinh sử dụng phương pháp này
một cách máy móc hoặc chưa biết sử dụng.
Đối với học sinh khá giỏi việc tiếp cận phương pháp này để giải toán là một
vấn đề cần thiết giúp cho các em có kỉ năng, kỉ xảo trong việc giải bài tập vận dụng
cao đồng thời chuẩn bị cho các em một kiến thức vững vàng và đạt kết quả cao
trong các kì thi THPTQG.
Hòa chung vào sự phấn đấu của các tổ chuyên mơn trong nhà trường đội ngũ
giáo viên của tổ Tốn đã khơng ngừng phấn đấu và đóng góp đáng kể vào thành
tích chung của nhà trường . Tuy nhiên thực trạng dạy học tốn ở trường THPT nói
chung và trường THPT Tĩnh gia 1 nói riêng đang là điều trăn trở.
Về phiá học sinh:
+ Mặc dù học sinh đã ý thức được tầm quan trọng của toán học, tuy nhiên chất
lượng học tập mơn Tốn chưa thật sự cao và chưa đồng . Chất lượng chỉ tương đối
ổn định ở một số lớp khối
+ Vẫn còn học sinh chưa xác định đúng động cơ và mục đích học tập, học không
thể hiện được ý thức phấn đấu, vươn lên. Môn toán học sinh thường mắc phải

4


Hướng dẫn học sinh giải các bài tốn tích phân hàm ẩn

những sai lầm từ các phép biến đổi đơn giản, cách giải các bài tốn về hàm ẩn, có
q nhiều lỗ hổng kiến thức. Khả năng tiếp thu của học sinh cịn hạn chế.
Về phía giáo viên: Trong những năm gần đây chúng ta đã thay đổi hình thức
thi từ tự luận sang trắc nghiệm nên lượng kiến thức cũng rộng hơn. Bên cạnh đó hệ
thống các bài tập chưa đáp ứng được nhu cầu của thực tiễn, chưa có chiều sâu, mới
chỉ dừng lại ở việc cải tiến phương pháp. Trong quá trình giảng dạy chúng ta chú ý
nhiều đến việc truyền thụ khối lượng kiến thức mà chưa chú trọng đến cách dẫn dắt
học sinh tìm hiểu khám phá và lĩnh hội kiến thức từ đó chưa khơi dậy được niềm
đam mê và hứng thú học tập, chưa gợi được động cơ học tập cho hoạc sinh.
2.3 Một số biện pháp
Dạng 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất.
Phương pháp chung:
Định nghĩa tích phân :
“Cho f ( x) là hàm số liên tục trên đoạn  a; b . Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của
f ( x) trên đoạn  a; b  . Hiệu số F (a )  F (b) được gọi là tích phân từ a đến b (hay
tích phân xác định trên đoạn  a; b ) của hàm số f ( x) , ký hiệu:

b

f ( x) dx
�
a

b

Ta còn ký hiệu: F ( x) a F (b)  F (a) .
b

b

Vậy: f ( x)dx F ( x) a F (b)  F (a)
a

*Nhận xét:
b

a) Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể ký hiệu là

f ( x) dx
�
a

b

hay

f (t ) dt .
�
a

Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào hàm f , các cận a , b mà không phụ thuộc vào
biến số x hay t .
b) Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f ( x) liên tục và không âm trên
đoạn  a; b thì

b

f ( x) dx
�

là diện tích S của hình thang giới hạn bởi đồ thị của f ( x) , trục Ox và hai

a

đường thẳng x  a, x  b x = a; x = b. ( hình vẽ)

5


Hướng dẫn học sinh giải các bài tốn tích phân hàm ẩn

b

f ( x) dx
Vậy S  �
a

Tính chất.
b

b

a

a

kf ( x ) dx  k �
f ( x ) dx
�

1. Tính chất 1:

b

b

b

[f ( x) �g ( x)] dx  �
f ( x) dx ��
g ( x) dx
�

2. Tính chất 2:

a

a

b

c

a

b

�f ( x) dx  �f ( x) dx  �f ( x) dx

3. Tính chất 3:

a

a

( a  c  b)

c

Ví dụ 1. (Câu 16, Mã đề 108-THPTQG năm 2019) Cho hàm số f  x  liên tục
trên �. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  , y  0 ,
x  1 và x  5 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

1

5

f  x  dx  �
f  x  dx .
A. S   �
1

C. S 

1

1

5

1

1

f  x  dx .
�f  x  dx  �

B. S 

1

5

1

1

f  x  dx .
�f  x  dx  �
1

5

1

1

f  x  dx  �
f  x  dx .
D. S   �

Phân tích bài tốn:

6


Hướng dẫn học sinh giải các bài tốn tích phân hàm ẩn
1

f  x  dx  0
Trên đoạn  1;1 đồ thị nằm trên trục hoành nên S1  �
1

5

f  x  dx  0
Trên đoạn  1;5 đồ thị nằm phía dưới trục hồnh nên S2  �
1

Lời giải
1

5

1

1

f  x  dx  �
f  x  dx .
Ta có f  x  �0, x � 1;1 ; f  x  �0, x � 1;5 . Vậy S  �

Nhận xét. Đa số học sinh sẽ chọn C vì suy nghĩ diện tích dương nên sẽ cộng lại.
Ví dụ 2. ( Câu 10, Mã đề 108-THPTQG năm 2019)
1

f  x  dx  3 và
Biết �
0

1

g  x  dx  4 , khi đó
�
0

A. 7.

1

�
dx
�f  x   g  x  �
�
�

bằng

0

C. 1 .

B. 7 .

D. 1.

Phương pháp:
sử dụng tính chất 2.

b

b

b

a

a

a

[f ( x) �g ( x)] dx  �
f ( x) dx ��
g ( x) dx
�

Lời giải
1

f  x  dx  3 và
Theo đề bài thì �
0

1

1

1

0

0

0

1

g  x  dx  4
�

nên:

0

�

dx  �
f  x  dx  �
g  x  dx  3   4   1. .
�f  x   g  x  �
�
�

Ví dụ 3.( Câu 48 mã đề 101- THPTQG năm 2018). Cho hàm số f  x  thỏa mãn
f  2  

2
2
f  x �
 x  2x �
và f �
với mọi x ��. Giá trị của f  1 bằng
�
�
9
35
2
19
A.  .
B.  .
C.  .
36
3
36

D. 

2
.
15

Lời giải
f  x  �0

Ta có f �
 x   2x �
�f  x  �
��
2

�
�1 �
1

2
x
�
  x2  C .
�
� 2 x �
2
f  x
�
�f  x  �
�f  x  �
�

f�
 x

7


Hướng dẫn học sinh giải các bài tốn tích phân hàm ẩn
2
1
suy ra C   .
9
2
1
2
f  1 

� 1 � 3 . Chọn B.
Do đó
12  �
 �
� 2�

Từ f  2   

Ví dụ 4 . Cho

7

4

7

2

2

4

f ( x)dx  10; �
f ( x )dx  6 . Tính �
f ( x)dx .
�

A. 16.

B. - 4 .

C. 60.

D. 4.

Phương pháp:
Sử dụng tính chất 3:

b

c

b

a

a

c

�f ( x) dx  �f ( x) dx  �f ( x) dx

( a  c  b)

Lời giải
7

Ta có

4

7

�f ( x)dx = �f ( x)dx + �f ( x)dx .
2

2

7

4

7

4

Suy ra �f ( x)dx = �f ( x)dx 4

2

�f ( x)dx = 10 -

6=4.

2

Ví dụ 5.(Đề thi THPTQG năm 2017) số
y  f ( x) . Đồ thị của hàm số y  f �
( x) như hình
2
bên. Đặt h( x)  2 f ( x)  x . Mệnh đề nào dưới đây
đúng ?
A. h(4)  h(2)  h(2) . B. h(4)  h(2)  h(2) .
C.

h(2)  h(4)  h(2) .

D.

h(2)  h(2)  h(4) .

Hướng dẫn:
Ta có h '( x)  2 f '( x)  2 x  2 �
�f '  x   x �

�.
Ta vẽ đường thẳng y = x .

8


Hướng dẫn học sinh giải các bài tốn tích phân hàm ẩn

2

2

�
h ( 2) - h ( - 2) = �
h '( x)dx = 2 �
f '( x ) - x �
dx > 0 � h ( 2) > h ( - 2) .
�
�
- 2

- 2

4

2

2

- 2

�
h ( 4) - h ( 2 ) = �
h '( x )dx = 2 �
f '( x ) - x �
dx < 0 � h ( 4) < h ( 2) .
�
�
4

4

2

4

�
�
�
h ( 4) - h ( - 2 ) = �
h '( x)dx = 2 �
f '( x ) - x �
dx = 2 �
f '( x ) - x �
dx + 2 �
f '( x ) - x �
dx
�
�
�

�
�
�
- 2

- 2

- 2

2

h(4) - h(- 2) = 2 S1 - 2S2 > 0 � h ( 4) > h ( - 2) .

Như vậy ta có: h ( - 2) < h ( 4) < h ( 2) . Ta chọn đáp án C.
Bài tập:
Câu 1.

Cho

2

3

1

2

f  x  dx  3 và �
f  x  dx  4
�

A. 12.
4

f  x  dx  5 ,
Câu 2. Biết �
0

A. I  2 .

3

. Khi đó

f  x  dx
�

bằng:

1

B. 7.

C. 1.

5

5

0

4

D. 12 .

f  t  dt  7 . Tính I  �
f  z  dz .
�

B. I  2 .

C. I  6 .

D. I  4 .

9


Hướng dẫn học sinh giải các bài tốn tích phân hàm ẩn

Câu 3. Cho hàm số f  x  liên tục trên � và đồng thời thỏa mãn

5

f  x  dx =7 ;
�
0

10

�f  x  dx= 3 ;
3

A.

5

10

3

0

f  x  dx =1 . Tính giá trị của
�

B. 10

6

Câu 4. Cho

2

2

1

1

C.

g  x  dx  1. Tính
�f  x  dx  2 và �
5
2

A. I  .

B. I 

f  x  dx .
�

17
.
2

D.

8

9

2

I�
x  2 f  x   3g  x  �
�
�

�dx .
1

C. I 

11
.
2

7
2

D. I  .

Dạng 2. Sử dụng phương pháp đổi biến số
b

Để tính tích phân

u  x �
.u' x , ta có thể thực hiện phép đổi
nếu f  x  g �
�
�

I�
f  x dx ,
a

biến như sau

Bước 1: Đặt t  u  x � dt  u' x dx .
Đổi cận x  a � t  u  a , x  b � t  u  b
u(b)

Bước 2: Thay vào ta có

I

b
�g t dt  G  t a .

u(a)

Ví dụ 1. (Câu 25, Mã đề 101-THPTQG năm 2017)
6

2

0

0

f ( x) dx  12 . Tính I  �
f (3 x)dx
Cho �

A. I  6.

B. I  36 .

C. I  2 .

D. I  4 .

Phân tích bài tốn: Đặt 3x  t sau đó đổi cận từ đó suy ra kết quả
Lời giải. Đặt 3x  t Đổi cận. x  0 � t  0; x  2 � t  6 dx 
2

Vậy

6

f (t )dt

f (3x)dx  �
�
3
0

0



dt
3

12
 4 . Chọn D
3

10


Hướng dẫn học sinh giải các bài tốn tích phân hàm ẩn

Ví dụ 2. ( Câu 44, mã đề 108- THPTQG năm 2019). Cho hàm số f  x  có đạo
1

5

xf  5 x  dx  1 , khi đó �
x2 f �
 x  dx bằng
hàm liên tục trên �. Biết f  5   1 và �
0

A. 25 .

0

123
C.
.
5

B. 15 .

D. 23 .

Lời giải

dt
�
dx 
�
�
5
Đặt t  5 x � �
. Đổi cận: x  0 � t  0 ; x  1 � t  5 .
�x  t
� 5
1

5

5

5

t
dt
xf  5 x  dx  1 � �f  t   1 � �
t. f  t  dt  25 � �
x. f  x  dx  25
Khi đó: �
5
5
0
0
0
0

 *

�
du  f '  x  dx
�
u  f  x
�
� � x2
Đặt: �
.
d
v

x
d
x
v
�
�
� 2

Ta có:  * �

5 15 2
x2
. f  x  �
x . f '  x  dx  25
0 20
2

5

�

5

25 1 2
 �
x . f '  x  dx  25 � �
x 2 . f '  x  dx  25 . Chọn A
2 20
0

Ví dụ 3. Cho hàm số f  x  liên tục trên � thỏa mãn

2



e6

f ln x

1

x

�

 dx  6

và

3

 f  x   2  dx
f  cos x  sin 2 xdx  2 . Tích phân �
�
2

bằng

1

0

A. 10 .

B. 16 .

C. 9 .

D. 5 .

Lời giải
1
2

1

x

Đặt t  ln x � 2dt  dx .
Đổi cận

x
t

1
0

e6
3

11


Hướng dẫn học sinh giải các bài tốn tích phân hàm ẩn

Khi đó
e6



f ln x

�
1

x



�1
�
f � ln x �
3
3
3
2
�dx  2f t dt  6 � f t dt  3 � f x dx  3 .
dx  ��




 
�
�
�
x
1
0
0
0
e6

Đặt u  cos 2 x � du  2 cos x.sin xdx   sin 2 xdx
Đổi cận

x

u

Khi đó

0


2

1

0


2

0

1

1

0

1

0

0

f  cos 2 x  sin 2 xdx   �
f  u  du  �
f  u  d u 2 � �
f  x  dx  2 .
�

Do đó
3

3

3

3

1

3

1

1

1

0

0

1

f  x  dx  �
2dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx  �
2dx 3  2  2 x |13  5 .
 f  x   2  dx  �
�

Ví dụ 4. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên � và có đồ thị như hình vẽ.

4

2

0

0

f '  x  2  dx  �
f '  x  2  dx bằng
Giá trị của biểu thức I  �

A. 2 .

B. 2 .

C. 6 .

D. 10 .

Lời giải
Cách 1:
4

2

0

0

f '  x  2  dx , I 2  �
f '  x  2  dx .
Đặt I1  �

Tính I1 : Đặt u  x  2 � du  dx .
Đổi cận:

2

2

f '  u  du  �
f '  x  dx  f  x 
Ta có: I1  �
2

2

2

 f  2   f  2   2   2   4 .

2

Tính I 2 : Đặt v  x  2 � dv  dx .
Đổi cận:
12


Hướng dẫn học sinh giải các bài tốn tích phân hàm ẩn

4

4

2

2

f '  v  dv  �
f '  x  dx  f  x  42  f  4   f  2   4  2  2 .
Ta có: I 2  �

Vậy: I  I1  I 2  4  2  6 .
4

2

4

2

0

0

f '  x  2  dx  �
f '  x  2  dx  �
f ' x  2 d  x  2 �
f ' x  2 d  x  2
Cách 2: I  �
0

0

 f  x  2

4
0

 f  x  2

  f  2   f  2     f  4   f  2     2   2     4  2   6 .

2
0

�

( x) liên tục trên � và có đồ thị
Ví dụ 5. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm cấp hai f �
hàm số f ( x) như hình vẽ bên. Biết rằng hàm số f ( x) đạt cực đại tại điểm x  1;
đường thẳng  trong hình vẽ bên là tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x) tại điểm có
ln3

�e x  1 �
�
e f�
hồnh độ x  2 . Tích phân �
�
�dx bằng
�2 �
0
x

A. 8 .

B. 4 .

C. 3 .

D. 6 .

Lời giải
Chọn D
ex 1
1
� dt  e x dx
Đặt t 

2
2

Đổi cận x  0 � t  1; x  ln 3 � t  2.
ln 3

2
2
�e x  1 �
x
e
f
''
dx

2
f ''(t ) dt  2 f '(t )  2  f '(2)  f'(1)  .
Khi đó � �
�
�
1
�2 �
0
1
(1)  0 .
Do hàm số đạt cực đại tại điểm x  1 và có đạo hàm trên �� f �
Mặt khác đường thẳng Δ đi qua hai điểm A(1;0) , B(0; 3) nên có hệ số góc
y  yA
k B
3 .

xB  x A
Do  tiếp xúc với đồ thị hàm số f ( x) tại điểm có hồnh độ x  2 nên
f�
(2)  3 .

ln 3

Vậy

�e x  1 �
x
�
�
e
f
�
�dx  2(3  0)  6.
�
�2 �
0

13


Hướng dẫn học sinh giải các bài tốn tích phân hàm ẩn

Ví dụ 6. Cho f  x  liên tục trên

�

7

f  x  dx  4 . Tính
�

thỏa mãn f  x   f  10  x  và

3

7

I �
xf  x  dx .
3

A. 80 .

B. 60 .

C. 40 .

D. 20 .

Lời giải

Đặt t  10  x . Khi đó dt  dx .
Đổi cận: x  3 � t  7 .
x  7�t  3.
3

7

7

 10  t  f  10  t  dt  �
 10  t  f  10  t  dt  �
 10  x  f  10  x  dx
Khi đó I   �
7

3

3

7

7

7

7

3

3

3

�
f  x  dx  �

xf  x  dx  10 �
f  x  dx  I .
 10  x  f  x  dx  10�
3

7

f  x  dx  10.4  40 . Do đó I  20 . Chọn D
Suy ra 2 I  10 �
3

Ví dụ 7. Cho hàm số f  x  liên tục trên � thỏa mãn f  2 x   5 f  x   x , x ��. Biết
1

rằng

f  x  dx  2 . Tính tích phân
�
0

2

I �
f  x  dx .
1

B. I  15 .

A. I  11 .

C. I  19 .

D. I  14 .

Lờigiải
Ta có:
1

1

1

1

0

0

0

0

f  2 x  dx  �
5 f  x  x�
dx  5�
f  x  dx  �
x dx
�
f  2x   5 f  x   x � �
�

�

 5.2 

2 1

x
2



0

21
.
2

1

f  2 x  dx 
Mặt khác �
0

2

�

1

2

2

1
1
1
f  2x  d  2x   �
f  t  dt  �
f  x  dx .
�
20
20
20

2

1
21
f  x  dx 
��
f  x  dx  21 .
�
20
2
0
2

2

1

1

0

0

f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx  21  2  19 . Chọn C
Do đó: �

Ví dụ 8. Cho hàm số chẵn y  f  x  liên tục trên � và

1

f  2x 

�1  5

x

dx  8 . Giá trị của

1
2

f  x  dx
�

bằng:

0

14


Hướng dẫn học sinh giải các bài tốn tích phân hàm ẩn

A. 8 .

B. 2 .

C.1 .

D.16 .

Lời giải

0
1
f  2x
f  2x
f  2x

d
x

dx . (1)
+) Ta có 8  � x dx �

x
x
�
1

5
1

5
1

5
1
0
1

1

f  2x
dx :
x
1 1  5
Đặt t   x � dt  dx . Đổi cận: x  1 � t  1 và x  0 � t  0 . Khi đó
0

Xét I  �

1
1 t
f  2t 

f  2t 
5 f  2t 

d
t
I  �  t  dt  � t
� t
dt .
1

5
1

5
5

1
0
1
0

0

Vì y  f  x  là hàm chẵn trên

� nên f  2t   f  2t  , t ��.

1 t
1 x
5 f  2t 

5 f  2x 
I

d
t

dx . Thay vào (1) thu được
Do đó
t
x
�
�
5

1
5

1
0
0
1
1
1
5x  1 f  2 x 
5x f  2 x 
f  2x

f  2 x  dx .
8� x
dx  � x dx  � x

dx  �
5 1
1 5
5 1
0
0
0
0

1

1

2

1
f  2x  d  2x   8 � �
f  t  dt  16 .
� �
20
0
2

f  x  dx  16 . Chọn D
�

Vậy

0

Chú ý:
Nếu f  x  là hàm chẵn và liên tục trên  a; a  thì

a
f  x
d
x

f  x  dx với mọi a ,
�
�
1  bx
a
0
a

b  0.

Bài tập:
1

Câu 1. Cho

f  x  dx  2021 . Giá trị của
�
0

A.



4

I �
f  cos 2 x  sin 2 xdx bằng
0

2021
.
4

B. 

2021
.
2

C. 4038 .

2

2

sin x. f

f  x  dx  2 . Giá trị của J 
Câu 2. Cho I  �
�
1

A. 2.

0

4
3

B.  .



3cos x  1

3cos x  1
4
C. .
3

D.

2021
.
2

D.

2 .

 dx bằng

15

Hướng dẫn học sinh giải các bài tốn tích phân hàm ẩn

Câu 3. Cho hàm số

y  f  x  xác

định và liên tục trên

�thỏa mãn

4

f  x3  3x   x  1, x ��. Tích phân

f  x  dx bằng:
�
0

25
7
.
B. 88 .
C. 25 .
D. .
4
4
2
x

Câu 4. Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên �thỏa mãn f ( x )  f (2  x )  x.e , x ��.

A.

2

f ( x )dx .
Tính tích phân I  �
0

e 1
.
4

A. I 

4

B. I 

2e  1
.
2

C. I  e4  2 .

D. I  e 4  1 .

Câu 5. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0; 2 và thoả mãn
2

1

0

0

f  x  dx  4 . Tính tích phân I  �
x. f �
f  2   16, �
 2 x  dx .

A. I  12 .
B. I  7 .
C. I  13 .
Dạng 3. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

D. I  20 .

Phương pháp:
Cho hai hàm số u và v liên tục trên [a;b] và có đạo hàm liên tục trên
b

b

�
a;b�
�
�.Khi

đó :

b

udv  uv a  �
vdu
�

a

a

Câu 1. Cho hàm số f ( x)

có f '( x) và f ''( x)

liên tục trên đoạn  1;3 . Biết

3

f (1)  1; f (3)  81; f '(1)  4; f '(3)  108 . Giá trị của

�
( x)dx
 4  2x . f �
�

bằng

1

B. 64 .

A. 48.

C. 48 .

D. 64.

Lời giải
u  4  2x
�
�
Đặt �
. Khi đó
�
dv  f �
( x)dx
�

du  2dx
�
�
.
�
v f�
( x)
�

Suy ra:

3

3

3

1

1

3
3
�
( x)dx  �
( x) �
f�
( x).  2dx   �
( x) �
f�
( x)dx
 4  2x . f �
 4  2x . f �
 4  2x  . f �
�
�1  �
�
�1  2 �
�
1

�
( x) �
 4  2x . f �
�
�  2 f ( x)
3
1

3
1

 2 f �
(3)  2 f �
(1)  2 f (3)  2 f (1) .

 2.108  2.4  2.81  2.1  64 .
3

�
( x )dx  64
Vậy �
 4  2x . f �

. Chọn B

1

16

Hướng dẫn học sinh giải các bài tốn tích phân hàm ẩn

Câu 2. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn
1

1

1

e2  1
f  1  0, �
�
 x �
 x  1 e f  x  dx 
. Tích phân
�f �
�dx  �
4
0
0
2

f  x  dx
�

x

e2
A. .
4

e
.
2

B.

bằng

0

C. e  2 .

D.

e 1
.
2

Lời giải
Bằng cơng thức tích phân từng phần ta có
1

1

f  x  d  xe    xe f  x  
 x  1 e f  x  dx  �
�
x

x

0

x

0

1

xe f �
Suy ra �
 x  dx  
0
x

Hơn nữa ta tính được

1

1

0

�
xe x f �
xe x f �
 x  dx   �
 x  dx .
0

1

0

e2  1
.
4
x
2 2x
� xe  dx  �x e dx 
1

1

2

0

0

e2  1
.
4

Do đó
1

1

1

0

0

1

�
�
xe x f �
 x �
 x  dx  �
 x   xe x �
 xe x  dx  0 � �
�f �
�dx  2�
�
�f �
�dx  0 .
2

0

2

2

0

 x    xe x , do đó f  x     x  1 e x  C . Vì f  1  0 nên C  0 .

Suy ra f �
1

1

0

0

f  x  dx   �
 x  1 e x dx  e  2 . Chọn C .
Ta được �

Câu 3. Cho hàm số f ( x) xác định và liên tục trên

�.

Gọi g ( x) là một nguyên hàm

2

x

của hàm số y = x + f 2 ( x) . Biết rằng

�g ( x) dx =1

và 2 g ( 2) - g ( 1) = 2 . Tích phân

1

2

x2
�x + f 2 ( x) dx bằng
1
A.1,5 .

B.1 .

C.3 .

D.2 .

Lời giải
x

x

( x) =
Vì g ( x) là một nguyên hàm của hàm số y = x + f 2 ( x) nên g �
x + f 2 ( x)
.
2

2

x2
dx � I = �xg �
( x ) dx .

Đặt I = �
x + f 2 ( x)
1
1

17


Hướng dẫn học sinh giải các bài tốn tích phân hàm ẩn
�
�
u=x
du = dx
��
�
�
Đặt �
.
�
dv = g �
v = g ( x)
( x ) dx �
�
�

2
Khi đó I = xg ( x ) 1

2

�g ( x) dx = 2 g ( 2) -

g ( 1) - 1 = 1 . Chọn B

1

Câu 4. Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đạo hàm trên � thỏa mãn
5 f  x   7 f  1  x   3 x2  2x 

1

x. f '  x  dx  
, x ��. Biết rằng tích phân I  �
0

là phân số tối giản ). Tính T  8a  3b .
A. T  1 .
B. T  0 .

C. T  16 .

a
a
( với
b
b

D. T  16 .

Lời giải

Ta có : 5 f  x   7 f  1  x   3  x  2 x 
Lần lượt chọn x  0, x  1 , ta có hệ sau :
2

5
�
f  1 
�
�5 f  0   7 f  1  0
�
8
��
�
5 f  1  7 f  0   3 �
7
�
f  0 
�
8
1

x. f '  x  dx
Tính I  �
0

ux

�

�du  dx

Đặt : �dv  f ' x dx Chọn �v  f x
 
 
�
�
1

5
I  x. f  x  0  �
f  x  dx   J
8
0
1

0

1

1

0

f  1  t  dt  �
f  1  x  dx  K . Suy ra
Đặt x  1  t � J  �
1

5 J  7 K  3�

 x2  2 x dx  2
0

� J K
� J  K 1
5 J  7 K  2
�
a3
5
3 �
� T  8a  3b  0 . Chọn B
Vậy I   1  � �
b8
8
8
�

Ta có : �

18


Hướng dẫn học sinh giải các bài tốn tích phân hàm ẩn

Câu 5. Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên [ 0;2] . Biết
f ( 0) = 1 và
x �[ 0;2] . Tính tích phân
f ( x) f ( 2- x) = e2x - 4x với mọi
2
( x3 - 3x2 ) f '( x)

I =�
dx .
f ( x)
0
2

A. I =-

14
.
3

32
.
5

B. I =-

2x2- 4x

Từ giả thiết f ( x) f ( 2- x) = e

C. I =-

16
.
3

D. I =-

16
.
5

Lời giải
, thay x  2 ta được f ( 2) = 1.

�
u = x3 - 3x2
�
�
du = ( 3x2 - 6x) dx
�
( x - 3x ) f '( x)
�
�
�
��
.
f '( x)
dx. Đặt �
Ta có I = �
�
�
d
v
=
d
x
f

x
(
)
v
=
ln
f
x
(
)
�
�
0
�
�
f ( x)
�
2

3

2

2

Khi đó: I = ( x - 3x ) ln f ( x) 3

2

0

2

�( 3x

2

- 6x) ln f ( x) dx

0

2

=- 3�
( x2 - 2x) ln f ( x) dx =- 3J (do f ( 2) = 1), với
0

2

J =�
( x2 - 2x) ln f ( x) dx .
0

Đặt x = 2- t thì
0

J =

( 2�
��

�
2

2
t) - 2( 2- t) �
ln f ( 2- t) d( 2- t)
�
�

0

2

2

0

2
�
=�
ln f ( 2- x) d( 2- x) = �
( 2- x) - 2( 2- x) �
( x2 - 2x) ln f ( 2- x) dx.
�
�
�
�

Suy ra
2

2

2

2J = �
( x - 2x) ln f ( x) dx + �( x - 2x) ln f ( 2- x) dx = �( x2 - 2x) ln f ( x) f ( 2- x) dx
2

2

0

2

0

2

=�
( x2 - 2x) ln e2x - 4xdx = �( x2 - 2x) ( 2x2 - 4x) dx =
0

Vậy I =- 3J =-

2

0

0

32
16
�J = .
15
15

16
. Chọn D
5

Bài tập.

19


Hướng dẫn học sinh giải các bài tốn tích phân hàm ẩn

Câu 1. Cho hàm số f ( x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn  0;5 thỏa mãn
5

5

xf �
e f  x  dx
 x  e f  x  dx  8 ; f  5   ln 5 . Tính I  �
�
0

0

33 .

A.
B.
C. 17.
D. 17 .
Câu 2. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và f (0)  f (1)  0 .
1

1
f ( x) dx  ,
Biết �
2
0
2

A.  .

33 .


f�
( x )cos ( x) dx  . Tính
�
2
0
3
B.
.

2
1

f  x

Câu 3. Cho hàm số
1

1

0

0

1

�f ( x)dx .
0

C.

2


D.

có đạo hàm liên tục trên  0;1

2
1

1
f  0   1, �
�
 x �
 2 x  1 f  x  dx   . Tích phân
�f �
�dx  30 , �
30

A.

1
.
30

B.

11
.
30

Câu 4. Cho hàm số f  x  liên tục và

C.
a 0.

1


thỏa mãn

1

f  x  dx
�

bằng

0

11
.
4

D.

11
.
12

Giả sử với mọi x � 0; a  ta có f  x   0

a

dx
và f  x  . f  a  x   1 . Tính I  �
.
1 f  x
0
a

3

A. I  .

a
2

B. I  .

C. I  2a .

D. I  a ln  a  1 .

Dạng 4. Một số dạng toán khác
Câu 1. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên �\  1;0 thỏa mãn f  1  2 ln 2  1 ,
x  x  1 f �
 x    x  2  f  x   x  x  1

, x ��\  1; 0 . Biết f  2   a  b ln 3 , với a, b là

hai số hữu tỉ. Tính T  a 2  b .
A. T  

3
.
16

B. T 

21

.
16

3
2

C. T  .
Lời giải

x  x  1 f �
 x    x  2  f  x   x  x  1 � f �
 x 

�

D. T  0 .

x2
f  x  1
x  x  1

� x2
�x 2
�
x2
x2  2x
x2
f�
f
x


�
f
x
 x 




� x  1
2
x 1
x 1 �
 x  1
�x  1
�

2
� 2 x2
�x 2
�
��
f
x
dx


�x  1
�dx  �
x 1

�
1 �
1

20


Hướng dẫn học sinh giải các bài tốn tích phân hàm ẩn
2
2
� 2
�x 2
�
�x 2
� �x 2
�
1 �
�
��
dx � �
f  x  �  �  x  ln x  1 �
�x  1 
�
�x  1 f  x  �dx  �
x 1�
�
�x  1
�1 �2
�
1 �

1�
1
4
1
1
3 3
3
3
� f  2   f  1  ln 3  ln 2  � f  2    ln 3 � a  b  � T   .
3
2
2
4 4
4
16
2

Câu 2. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên

R

và thỏa mãn f (0)  3 và

2

f ( x)  f (2  x)  x 2  2 x  2, x �R . Tích phân

xf �
( x)dx
�

bằng

0

A.

4
.
3

2
3

5
3

B. .

C. .

D.

10
.
3

Lời giải
ChọnD.
Thay x  0 ta được f (0)  f (2)  2 � f (2)  2  f (0)  2  3  1

Ta có:

2

2

0

0

f ( x)dx  �
f (2  x)dx
�
2

2

0

0

8

2

4

f ( x )dx  .
 f ( x)  f (2  x)  dx  �
 x 2  2 x  2  dx  3 � �

Từ hệ thức đề ra: �
3
0

Áp dụng cơng thức tích phân từng phần, ta lại có:
2

2

2

xf �
( x)dx  xf ( x) 0  �
f ( x)dx  2.(1) 
�
0

0

4
10
 .
3
3

Câu 3. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  0; 4 và thỏa mãn điều kiện
4 xf  x 2   6 f  2 x   4  x 2 . Tính tích phân

A. I 


.
5

B. I 

4

f  x  dx
�

.

0


.
2

C. I 


.
20

D. I 


.
10

Lời giải
Ta có
2





2

4 xf  x 2   6 f  2 x   4  x 2 � �
4 xf  x 2   6 f  2 x  dx  �4  x 2 dx � 4 I1  6 I 2  I
0

0

. Trong đó
2





2

4

2

4

I1  �
xf  x 2  dx =

1
1
f  x2 d  x2   �
f  x  dx
�
20
20

I2  �
 f  2 x   dx =

1
1
f  2x d  2 x   �
f  x  dx
�
20
20

0
2

0

2


2


2

0

0

0

I  �4  x 2 dx  2 �4  4sin 2  t  .cos  t  dt  4 �
cos 2  t  dt

21


Hướng dẫn học sinh giải các bài tốn tích phân hàm ẩn

2

 2�
 1  cos  2t   dt   2t  sin  2t  


2
0

 .

0

4
�I1  I 2

1

�
I

I

�
f  x  dx 
Khi đó ta có hệ �
hay
1
2
�
10
20
10
�4 I1  6 I 2  



4

f  x  dx  . Chọn A
�
5
0

Câu 4. Cho hàm số f ( x) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [0;1]. Giá trị
1

1

0

0

 2 f ( x)  3x  f ( x) dx  �
 4 f ( x)  x  xf ( x) dx bằng
nhỏ nhất của biểu thức M  �
A. 

1
.
24

1
8

B.  .

C. 

1
6

1
.
12

D.  .

Lời giải

Đặt a  f ( x) , ta có:
1

1

0

0

1

1

M �
(2a  3x)a dx  �
 2 f ( x)  3x  f ( x) dx  �
 4 f ( x )  x  xf ( x ) dx  �
 4a  x  xa dx
1



0



1



�1
�
2a  4a xa  3xa  x xa dx  �
� 2 a x
8
0
0�
2

0



4

2

x


8

1

�
� x2 �
1
dx ��
 �
dx  
�
�
24
� 0� 8 �

.
x
4

x
4

Dấu “=” xảy ra khi 2 a  x � 4a  x � a  � f ( x)  .
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức M bằng 

1
. Chọn A
24

Nhận xét.

Trong bài giải trên có sử dụng biến đổi:





4
1
x2
x2
2a  4a xa  3 xa  x xa  2 a  x  � .
8
8
8
2
Tuy nhiên, nếu như các hệ số của biểu thức 2a  4a xa  3xa  x xa bị thay
2

đổi (thành các hệ số khác) thì ta khó mà đưa về dạng mũ 4 như trên được.
Câu hỏi đặt ra là trong những trường hợp đó thì phải làm thế nào để đưa ra
được đánh giá.
Để ý rằng biểu thức 2a 2  4a ax  3ax  x ax là đẳng cấp bậc hai. Chúng tôi
xin đề xuất một hướng giải quyết trong trường hợp biểu thức cần đánh giá
là đẳng cấp. Chẳng hạn trong bài toán trên, ta cần đánh giá biểu thức
g  a, x   2a 2  4a ax  3ax  x ax , với x � 0;1 và a  f ( x) �0, x � 0;1 . Ta
sẽ thực hiện như sau:

22

Hướng dẫn học sinh giải các bài tốn tích phân hàm ẩn
�2a 2 4a a 3a
a�

 
�.
2
x
x x
x�
�x
�

2
+) Với x �0 thì biểu diễn được g  a, x   x �
�

a
2
4
3
2
�0 . Khi đó g  a, x   x  2t  4t  3t  t  .
x
4
3
2
Lập bảng biến thiên của hàm số h  t   2t  4t  3t  t trên  0;  � , ta được
1
min h  t    .

 0; �
8
x2
Do đó ta có g  a, x  � , x � 0;1 .
8
+) Kiểm tra được đánh giá trên cũng đúng khi x  0 .
x2
g
a
,
x
�

, x � 0;1 . Từ đó lấy tích phân 2 vế trên đoạn  0;1
Như vậy  
8

Đặt t 

thì bài tốn được giải quyết.
Chú ý: Nếu g (a, x) là đẳng cấp bậc n thì ta đưa x n ra ngồi dấu ngoặc.
Bài tập.
�1 1�
 ;
Câu 1. Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo hàm trên �
thỏa mãn
� 2 2�
�
1
2

109
�
�
�f  x   2 f  x  .  3  x  �
�dx   12 . Tính
1



2

2

7
9

f  x

dx .
�
x 1
2

0

5
8
D. ln .
9

9
Câu 2. Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên khoảng  0; � và f  x   0 , x � 0; �
 x    x. f 2  x  với mọi x � 0; � , biết f  1  2 và f  2   1 . Tổng tất
thỏa mãn f �
a3
4
cả các giá trị nguyên của a thỏa mãn là
A. 14 .
B. 1 .
C. 0 .
D. 2 .

A. ln .

2
9

1
2

B. ln .

C. ln .

Câu 3. Giả sử hàm số f  x  liên tục, dương trên �; thỏa mãn f  0   1 và
f ' x 





x
f  x  . Khi đó hiệu T  f 2 2  2 f  1 thuộc khoảng nào?
x 1
2

A.  2;3 .
B.  7;9  .
C.  0;1 .
D.  9;12  .
 x  với mọi x ��
Câu 4. Cho hàm số f  x   0 với x ��, f  0   1 và f  x   x  1. f �
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. f  3  2 .
B. 2  f  3  4 .
C. 4  f  3  8 .
D.
f  3  f  6  .

23


Hướng dẫn học sinh giải các bài tốn tích phân hàm ẩn

Câu 5. Cho hàm số

f  x

��

0;
liên tục không âm trên �
, thỏa mãn
� 2�
�

�
��
�
f  x . f �
 x   cos x 1  f 2  x  với mọi x ��0; 2 �và f  0   3 . Giá trị của f �2 �bằng
� �
��
A. 2 .
B. 1 .
C. 2 2 .
D. 0 .

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Đối với học sinh khối 12, khi các em đã nhận thức một cách đầy đủ về hàm số và
tích phân thì phương pháp này có thể áp dụng một cách phổ biến và bài tập ra cho
học sinh mang tính phong phú, đa dạng và khó hơn.
Kết quả nhận thấy số lượng học sinh khá giỏi rất hứng thú với phương pháp giải
toán này và bài tập ra ở dạng này các em giải khá thành thạo.
Trong năm học 2018-2019, 2019-2020 qua các buổi dạy tôi đã sử dụng và hướng
dẫn học sinh giải các bài tốn về tích phân hàm ẩn giúp học sinh giải quyết các bài
tập về tích phân hàm ẩn nhanh hơn, gọn hơn, đẹp hơn.. Đặc biệt là đối với các bài
tốn khó. Kết quả là học sinh nắm được kiến thức, hiểu bài và áp dụng được vào các bài tập
tương tự. Cụ thể khoảng 30- 35% học sinh đạt kết quả trung bình, khoảng 65-70% học sinh đạt
kết quả Khá, Gỏi.

Năm học

2018-2019

2019 - 2020

Lớp

Số HS

12A1

Loại Giỏi

Loại Khá

Loại TB

SL

%

SL

%

SL

%

45

15

33,3

16

35,5

10

31,2

12A3

45

10

22,2

21

46,7

13

31,1

12A3

45

12

26,7

18

40,0

15

33,3

12A6

45

9

20,0

21

46,7

15

33,3

3. Kết luận, kiến nghị
3.1 Kết luận:
Khi học sinh nắm được kiến thức và cách giải bài tốn về tích phân hàm ẩn
thường là phương pháp rất hay, độc đáo, tổng hợp được nhiều kiến thức cho học
sinh, nhưng do không được phổ biến ở bậc THPT. Qua q trình tham khảo, nghiên
cứu và học hỏi tơi sử dụng phương pháp này để dạy cho học sinh và nhận thấy có
hiệu quả cao đối với học sinh.

24


Hướng dẫn học sinh giải các bài tốn tích phân hàm ẩn

3.2 Kiến nghị:
Duy trì hoạt động viết sáng kiến kinh nghiệm trong từng năm học, đây là
hoạt động bổ ích thiết thực cho mọi giáo viên, nhất là trong công tác chuyên môn.
Cần động viên kịp thời để phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm ngày càng
phát triển sâu rộng.
Cần trang bị cho giáo viên dạy các tài liệu tham khảo phù hợp với chương
trình mới.
Tĩnh Gia, ngày 24 tháng 5 năm 2021
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Tôi xin cam đoan toàn bộ nội dung đề tài trên là do
ĐƠN VỊ
bản thân tôi nghiên cứu và thực hiện, không sao
chép nội dung của bất kỳ ai.
NGƯỜI VIẾT SKKN

Lê Đình Sơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đoàn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan, Sách giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục

25