Phát triển một số bài toán vận dụng cao về ứng dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU………………………………………………...................

2

1.1. Lí do chọn đề tài……………………………………....................

2

1.2. Mục đích nghiên cứu………………………………....................

2

1.3. Đối tượng nghiên cứu ..................................................................

2

1.4. Phương pháp nghiên cứu.............................................................

2

1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm ...........................

3

2. NỘI DUNG ………………………………………………………..

3

2.1. Cơ sở lý luận…………………………………………………......

3

2.2. Thực trạng …………………………………………………….....

4

2.3. Giải pháp………………………………………………………....

4

2.4. Hiệu quả………………………………………………………....

30

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .......................................................

30

3.1. Kết luận.........................................................................................

30

3.2. Kiến nghị.......................................................................................

30

1


1. MỞ ĐẦU

1.1. Lí do chọn đề tài
Đối với học sinh học tốn ở trường trung học phổ thơng, nhất là
các học sinh chuẩn bị thi tốt nghiệp THPT thường gặp bài tốn vận
dụng cao liên quan đến tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
số thông thường và hàm hợp trên một đoạn. Do yêu cầu của kỳ thi đó
dẫn tới việc các giáo viên phải chuẩn bị tốt hệ thống bài tập vận dụng
cao giúp học sinh rèn luyện để kết quả trong các kỳ thi cao nhất là
yêu cầu cấp bách hiện nay. Với việc ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà học sinh được làm quen ngay đầu
chương trình Giải tích 12 sẽ được phát triển một cách phong phú và
được giải quyết một cách rất tự nhiên, ngắn gọn và dễ hiểu. Đó là lí
do để tôi chọn đề tài :
“Phát triển một số bài tốn vận dụng cao về ứng dụng đạo hàm tìm
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số”.
1.2. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm
Các vấn đề được trình bày trong đề tài này có thể hỗ trợ cho
các em học sinh trung học phổ thông khi ơn thi tốt nghiệp THPT có
cái nhìn tồn diện hơn về cách tiếp cận bằng đạo hàm về giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số thông thường và hàm hợp.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Đề tài này nghiên cứu trên các dạng toán
về hàm số và đặc biệt là hàm hợp.
Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình Giải tích của
trung học phổ thông đặc biệt là hàm số và hàm số chứa tham số. Tuy
nhiên khơng phải mọi bài tốn chứa tham số mà phạm vi của nó là các
bài tốn có thể cơ lập được tham số.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Trình bày cho học sinh những kiến thức cơ bản về lý thuyết về
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, ứng dụng của đạo hàm để tìm
GTLN và GTNN. Thơng qua những ví dụ cụ thể với cách giải đơn

giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy được những thế mạnh của
việc sử dụng các kiến thức trên từ đó rèn luyện tư duy và kĩ năng để
học sinh giải quyết tốt các bài tập vận dụng cao. Các ví dụ minh họa
trong đề tài này được lọc từ các tài liệu tham khảo và các đề thi
THPT quốc gia các năm gần đây và có những bài tác giả đã phát
triển.
2


1.5. Những điểm mới
Với đề tài này có thể giúp giáo viên định hướng và xây dựng hệ
thống bài tập vận dụng cao với số lượng lớn mà chỉ xuất phát từ ứng
dụng của đạo hàm đơn giản.
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận.
Trong đề tài này sử dụng kết quả sau đây
+ Sử dụng đồ thị hàm số tìm số nghiệm của phương trình, tập
nghiệm của bất phương trình.
+ Đạo hàm
Cho hàm số y  f  u  x   ta có: y '  fu' .u x'

+ Giá trị lớn nhất (GTLN)
Số M gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y  f  x  trên D nếu
i ) x  D : f ( x) M
ii ) x0 �D : f ( x0 )  M
f ( x) .
Kí hiệu M  max
x�D
+ Giá trị nhỏ nhất (GTNN)
Số m gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y  f  x  trên D nếu

i ) x  D : f ( x) m
ii ) x0 �D : f ( x0 )  m
f ( x) .
Kí hiệu m  min
x�D
+ Cách tìm GTLN và GTNN của hàm số trên 1 đoạn.
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
+ Quy tắc tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục
trong một đoạn  a; b  .

Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x  giữ nguyên dấu trên

đoạn  a; b  thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn . Do
đó, f  x  đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút
của đoạn.
Quy tắc: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y  f  x  liên tục trên

 a; b ta làm như sau

3


B1: Tính f '  x  và tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn mà tại đó f '  x   0 hoặc
hàm số f '  x  khơng xác định.
B2: Tính các giá trị f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f (a ), f (b) .
B3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó
M  max f ( x) ; m  min f ( x)
 a ; b

 a ; b

* Hàm số liên tục trên 1 khoảng có thể khơng có giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.
2.2. Thực trạng
Nhu cầu ơn thi tốt nghiệp THPT hiện nay cần nhiều bài tập vận
dụng cao nhưng trong chương trình phổ thơng bài tập SGK chưa
nhiều, hệ thống bài tập trắc nghiệm còn hạn chế.
2.3. Giải pháp.
2.3.1. Bài toán liên quan tới đồ thị của đạo hàm cho trước .
 x  là đường
Bài toán 1. Cho hàm số f  x  , đồ thị của hàm số y  f �
cong trong hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số g  x   f  2 x   4 x
�3 �
 ;2 bằng
trên đoạn �
�2 �
�

A. f  0  .

B. f  3  6 .

C. f  2   4 .

D. f  4   8 .

Hướng dẫn
Chọn C

4


 x  2 f �
 2x   4 .
Ta có: g �
3
�
2 x  x1  3 �
x  x1  
�
2
�
�
2
x

0
g�
� � x0
 x  0 � 2 f �
 2x  4  0 � f �
 2x   2 � �
�2 x  2
� x 1
�
�
�2 x  x2  4
� x2  2
Ta lập bảng biến thiên của hàm số y  g  x  .

�3 �
 ;2 hàm số g  x   f  2 x   4 x đạt giá
Từ bảng biến thiên ta có: trên �
�2 �
�
trị lớn nhất tại x  1 và

max y  f  2   4
�3 �
 ;1
�
�2 �
�

.

 x  như hình vẽ
Bài tốn 2. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị f �

1 3
Giá trị nhỏ nhất của hàm số g  x   f  x   x  x trên đoạn  1;2 bằng
3
2
2
2
2
A. f  2   .
B. f  1  .
C. .
D. f  1  .

3
3
3
3
Hướng dẫn
Chọn D
1 3
 x  f �
 x   x2  1
Ta có g  x   f  x   x  x � g �
3

5


g�
 x  0 � f �
 x    x 2  1 � x  �1
Bảng biến thiên

2
g  x   g  1  f  1  .
Từ BBT ta thấy min
 1;2
3
 x  như hình
Bài tốn 3. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f �
vẽ

1 3

Đặt g  x   x  x  f  x   2020 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất
3
 3; 3 �
và giá trị nhỏ nhất của hàm số g  x  trên đoạn �
�
�. Hãy tính
M  m.

 3  f   3 .
C. 2020  f   3  .

 3  f   3 .
D. 4040  f  3   f   3  .

A. f

B. f

Hướng dẫn
Chọn D

6


1 3
 3; 3 �
Xét g  x   x  x  f  x   2020 , với x ��
�
�.
3

Ta có g �
 x   x2  1  f �
 x .
x0
�
.
g�
 x  0 � f �
 x   x2  1 � �
x�3
�
Bảng biến thiên của hàm số g  x 

 3    f  3   2020 ,
m  min g  x   g   3    f   3   2020 .
Vậy M  m   f  3   f   3   4040.
g  x  g
Do đó M  �max
3 ; 3�
�

�

�
 3 ; 3�
�
�

( x ) có đồ thị như
Bài toán 4. Cho hàm số f ( x) . Biết hàm số y  f �

hình bên. Trên đoạn [  4;3] ,hàm số g ( x )  2 f ( x)  (1  x) 2 đạt giá trị nhỏ
nhất tại điểm.

.

A. x0  1 .
D.

B. x0  3 .
x0  3 .

C. x0  4

Hướng dẫn
Chọn A

7


( x)  2(1  x)  2[ f �
( x)  (1  x)]
Ta có g ( x )  2 f ( x)  (1  x) 2 � g '( x)  2 f �
x  4
�
g '( x)  0 � f '( x)  1  x � �
x  1 .
�
�
x3
�

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, suy ra g ( x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [  4;3]
tại x0  1
( x)  2(1  x)  2[ f �
( x)  (1  x)]
Ta có: g ( x )  2 f ( x)  (1  x) 2 � g '( x)  2 f �
Vì trong đoạn [  4; 1] đồ thị hàm số y  f '( x) nằm phía dưới đồ thị
hàm số y  1  x
� f '( x)  1  xx �[  4; 1] � g '( x)  0 x �[ 4; 1] � g ( x) nghịch biến trên
(-4;-1)
� g (4)  g ( 3)  g (1) (*)
Vì trong đoạn [-1;3] đồ thị hàm số y  f '( x) nằm phía trên đồ thị hàm
số y  1  x
� f '( x)  1  xx �[-1;3] � g '( x)  0  x �[1;3] � g ( x) đồng biến trên
(-1;3)
� g (3)  g (1) (**)
Từ (*) và (**) suy ra g ( x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [  4;3] tại
x0  1
Bài toán 5. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên �. Đồ thị của hàm số
y f�
 x  như hình vẽ dưới đây.

8


Xét hàm số g  x   2 f  x    x  1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
g  x   g  1 .
g  x   g  3 .
g  x   g  1 .

A. min
B. max
C. max
 3;3
 3;3
 3;3
2

D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của hàm số g  x  trên  3;3 .
Hướng dẫn
Chọn B
g�
 x  2 f �
 x   2  x  1  0 � f �
 x   x  1  .

 x  ta thấy đường thẳng y  x  1 cắt đồ
Dựa vào đồ thị hàm số y  f �
 x  tại ba điểm lần lượt có hồnh độ là: 3;1;3 . Do
thị hàm số y  f �
x  3
�
�
x 1 .
đó phương trình   � �
�
x3
�

Bảng biến thiên của hàm số y  g  x 

9


g  x   g  1 .
Vậy max
 3;3

Bài toán 6. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên � và có đồ thị hàm số
đạo hàm y  f '  x  như hình vẽ.

1 3 3 2 3
Xét hàm số g  x   f  x   x  x  x  2021 . Mệnh đề nào dưới đây
3
4
2
đúng?
A. min g  x   g  3 .
B. min g  x   g  1 .
 3;1

 3;1

g  x   g  1 .
C. min
 3;1

D. min g  x  
 3;1

g  3  g  1
.
2

Hướng dẫn
Chọn C
3
3
Ta có: g '  x   f '  x   x 2  x  ;
2
2
3
3
g ' x   0 � f ' x   h  x   x 2  x 
2
2
x  3
�
��
x  1 .
�
�
x 1
�
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
min g  x   g  1 .
 3;1

10

Bài toán 7. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên � và có đồ

 x  như hình vẽ bên. Gọi
thị hàm số y  f �
1
1
g  x   f  x   x 3  x 2  x  2019 . Biết g  1  g  1  g  0   g  2  . Với
3
2
x � 1; 2 thì g  x  đạt giá trị nhỏ nhất bằng

A. g  2  .

B. g  1 .

C. g  1 .

D. g  0  .

Hướng dẫn
Chọn A
1 3 1 2
+ Xét hàm số g  x   f  x   x  x  x  2019 trên đoạn  1; 2 .
3
2
 x  f �
 x   x2  x  1 .
+ Ta có g �

 x  và Parabol
Vẽ đồ thị hàm số y  f �

 P  : y  x2  x  1

trên cùng hệ

trục tọa độ như hình vẽ.

x  1
�
x0 .
+ Ta thấy g �
 x  0 � f �
 x   x2  x  1 � �
�
�
x2
�
+ Bảng biến thiên :
11


+ Từ giả thiết g  1  g  1  g  0   g  2 
� g  1  g  2   g  0   g  1 � g  1  g  2   0
(vì g  0   g  1 ) � g  1  g  2  .
g  x   g  2 .
Vậy min
1; 2

 x  . Hàm số y  f �
 x
Bài toán 8. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f �
liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ.

13
, f  2   6 . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
4
3
hàm số g  x   f  x   3 f  x  trên  1;2 bằng
Biết f  1 

A.

1573
64

B. 198 .

C.

37
.
4

D.

14245
.

64

Hướng dẫn
Chọn D
 x  ta có bảng biến thiên
Từ đồ thị hàm số y  f �

 x  3 f 2  x . f �
 x  3 f �
 x .
Ta có g �
12


Xét trên đoạn  1;2 ta có
x  1
�
2
�
�
g�
f
x

1

0
�
f
x


0
�
.
 x  0 � 3 f �
 x �




�
�
�
x2
�
1573
1573
g  1 
, g  2   198 . Từ đó suy ra max g  x   198,min g  x  
.
 1;2
 1;2
64
64
14245
Vậy max g  x   min g  x  
.
 1;2
 1;2
64

Bài toán 9. Cho hai hàm số y  f  x  , y  g  x  có đạo hàm là
f '  x  , g '  x  . Đồ thị hàm số f '  x  và g '  x  được cho như hình vẽ bên
dưới

Biết rằng f  0   f  6   g  0   g  6  . Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm
số h  x   f  x   g  x  trên đoạn  0; 6 lần lượt là
A. h  2  , h  6  .

B. h  6  , h  2  .
C. h  0  , h  2  .
Hướng dẫn

D. h  2  , h  0  .

Chọn B
Ta có h '  x   f '  x   g '  x  .

Từ đồ thị đã cho ta có bảng biến thiên của hàm số h  x  trên  0; 6

h  x   h  2 .
Do đó min
 0;6

Giả thiết ta có f  0   g  0   f  6   g  6  � h  0   h  6 
h  x   h  6 .
Vậy max
 0;6

13

Bài toán 10. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm y  f '  x  liên tục trên
� và có đồ thị của hàm số y  f '  x  trên đoạn  2;6 như hình vẽ bên.

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
f  x   f  2  .
f  x   f  2 .
A. max
B. max
 2;6
 2;6
f  x   f  6 .
C. max
 2;6

f  x   f  1 .
D. max
 2;6

Hướng dẫn
Chọn C
Lập bảng biến thiên của hàm số trên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
Hàm số đồng biến trên  2; 1 và  2;6  .
Suy ra f  1  f  2  và f  6   f  2  (1)
Hàm số nghịch biến trên  1;2  suy ra f  1  f  2  .
Từ (1) và (2) suy ra :
max f  x   max  f  2  ; f  1 ; f  2  ; f  6    max  f  1 ; f  6  
 2;6

14


Ta có :

2

6

1

2

S1   �
f�
f�
 x  dx  f  1  f  2  ; S2  �
 x  dx  f  6   f  2 

Theo hình vẽ ta thấy S1  S2 nên

f  x   f  6 .
f  1  f  2   f  6   f  2  � f  1  f  6  . Vậy max
 2;6

 x  có bảng biến
Bài tốn 11. Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f �
thiên như sau:

3
Bất phương trình f  x   x  m đúng với mọi x � 1;1 khi và chỉ khi

A. m  f  x   1 . B. m �f  1  1 . C. m �f  1  1 . D. m  f  1  1 .
Hướng dẫn
Chọn C
f  x   x3  m � m  f  x   x 3  1 . Xét g  x   f  x   x3 .

�
 x  f �
 1  0, x � 1;1
�f �
g�
 x  f �
 x   3x  0, x � 1;1 vì � 2
3 x �0, x � 1;1
�
� Hàm số y  g  x  nghịch biến trên  1;1 � g  1  g  x   g  1 ,
2

x � 1;1 .  1 đúng với mọi x � 1;1 � m �g  1  f  1  1 .
 x  . Hàm số
Bài toán 12. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f �
y f�
 x  liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ bên.

13
, f  2   6 . Giá trị nhỏ nhất của hàm số g  x   f 3  x   3 f  x 
4
trên đoạn  1;2 bằng

Biết f  1 

15


A.

1573
.
64

B. 198 .

C.

37
.
4

D.

14245
.
64

Hướng dẫn
Chọn A
Bảng biến thiên

 x  3 f 2  x . f �

 x  3 f �
 x  . Xét trên đoạn  1;2 ,
Ta có g �
x  1
�
2
�
�
g�
f
x

1

0
�
f
x

0
�
.
 x  0 � 3 f �
 x �




�
�

�
x2
�
Bảng biến thiên

1573
.
 1;2
64
Bài toán 13. Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị y  f '( x) như hình vẽ.
� min g  x   g  1  f 3  1  3 f  1 

1 3 3 2 3
Xét hàm số g ( x)  f ( x)  x  x  x  2018. Mệnh đề nào dưới đây
3
4
2
đúng?
A. min g ( x)  g (1)
B. min g ( x)  g (1) .
 3;1

 3;1

16


g  x   g  3
C. min
 3;1

D. min g  x  
 3;1

g  3  g  1
2

Hướng dẫn
Chọn A
3
3
Ta có: g �( x)  f �( x)  x 2  x 
2
2
x  1
�
3
3
g �( x )  0 � f �( x)  x 2  x  � �
x 1
2
2
�
Lập bảng biến thiên:

g ( x )  g (1) .
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: min
[ 3;1]
Bài tốn 14. Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f '  x  có đồ thị như
f  x  , m  min f  x  , T  M  m Hỏi mệnh đề

hình vẽ bên. Đặt M  max
 2;6
 2;6
nào dưới đây là đúng?

A. T  f  5   f  2  .

B. T  f  0   f  2  .

C. T  f  5   f  6  .

D. T  f  0   f  2  .
Hướng dẫn

Chọn A
+) Nhận xét: Đồ thị của hàm số y  f '  x  cắt trục hồnh tại 5 điểm
phân biệt có hồnh độ lần lượt là 2; 0; 2; 5; 6 nên phương trình
f '  x   0 có 5 nghiệm phân biệt là x1  2; x2  0; x3  2; x4  5; x5  6 .
Hơn nữa f '  x   0, x � 2; 0  � 2; 5  và ngược lại
f '  x   0, x � 0; 2  � 5; 6  Ta lập bảng biến thiên của hàm số y  f  x  .
17


+) Gọi S1 , S2 , S3 , S 4

lần lượt là diện tích của các hình phẳng

 H1  ,  H 2  ,  H 3  ,  H 4  .
 H1  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f '  x  , y  0, x  2, x  0.
 H 2  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f '  x  , y  0, x  2, x  0.

 H 3  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f '  x  , y  0, x  2, x  5.
 H 4  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f '  x  , y  0, x  5, x  6.
Ta có
S1  S2 �

0

2

2

0

 f '  x  dx � f  0   f  2   f  0   f  2  � f  2   f  2   1
�f ' x  dx  �
2

5

0

2

S 2  S3 � �
 f '  x  dx  �
f '  x  dx � f  0   f  2   f  5   f  2  � f  0   f  5 
5

6

2

5

S3  S 4 � �
f '  x  dx  �
 f '  x  dx � f  5   f  2   f  5   f  6  � f  2   f  6 

 2
 3

+) Từ bảng biến thiên và  1 ,  2  ,  3 ta có:
max f  x   f  5  , min f  x   f  2  và T  f  5   f  2  .
 2;6
 2;6
2.3.2. Bài toán liên quan tới bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm
cho trước.

18


Bài toán 1. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình dưới đây.
1 3
1
2
2
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g  x   f  4 x  x   x  3x  8 x 
3
3
trên đoạn  1;3 .

A. 15.

B.

25
.
3
Hướng dẫn

C.

19
.
3

D. 12.

Chọn D

.
g�
2f�
 x    4  2x  f �
 4x  x2   x2  6 x  8   2  x  �
 4 x  x2   4  x �
�
�

Với x � 1;3 thì 4  x  0 ; 3 �4 x  x 2 �4 nên f �

 4x  x2   0 .
Suy ra 2 f �
 4 x  x2   4  x  0 , x � 1;3 .
Bảng biến thiên

g  x   g  2   f  4   7  12 .
Suy ra max
 1;3
Bài toán 2. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp 2 trên �, hàm số
y f�
 x  có đồ thị như hình vẽ bên.

19


�sin x  3 cos x �
� 5  �
 ; �
Giá trị lớn nhất của hàm số y  f �
�trên đoạn �
2
6 6�
�
�
�
bằng
� 5 �
� �
� �
 �

 �.
A. f �
.
B. f �
C. f  0  .
D. f � �.
� 6 �
�3�
�6 �
Hướng dẫn
Chọn B
Đặt t 

sin x  3 cos x
� �
 sin �x  �
.
2
� 3�

 �  �
� 5  �
 ; �� x  ��
 ;
� t � 1;1 .
Vì x ��
3 �2 2�
� 6 6�
�
 x  , ta có bảng biến thiên

Dựa vào đồ thị của hàm số f �

�sin x  3 cos x �
max
f
f  t
� max
Ta có: �5  � �
 1;1
2

;
�
�
�
� 6 6�
�


� �
� t  0 � sin �x  � 0 � x   .
3
� 3�
�sin x  3 cos x �
max
f
�
Vậy �5  � �
2


;
�
�
�
� 6 6�
�

� �
f�
 �.
�3�

 x  có đồ thị như hình vẽ
Bài tốn 3. Cho hàm số y  f  x  , hàm số f �

20


Giá trị nhỏ nhất của hàm số g  x  

1
11
2
f  2 x  1   2 x  1  4 x trên
2
19

� 5�
0;
khoảng �

bằng
� 2�
�
1
11
A. f  1  .
2
19
1
C. f  0   2 .
2

1
`14
f  4 
.
2
19
1
70
D. f  2   .
2
19
B.

Hướng dẫn
Chọn D
44
44
 2 x  1  4  0 � f �

 2 x  1    2 x  1  4 .
19
19
44
5
Đặt t  2 x  1 � f �
 t    t  4 với 0 �x � � 1 �t �4 .
19
2
Ta có g �
 x  f �
 2 x  1 

 t  
Từ đồ thị ta có f �

t 0
�
44
t4� � .
t2
19
�

Lập bảng biến thiên hàm số g  t  Giá trị nhỏ nhất hàm số đạt được khi
1
70
3
t  2 � x  . suy ra  g  x   min  f  2   .
2

19
2
 x  có đồ thị như
Bài toán 4. Cho hàm số f  x  . Biết hàm số y  f �
2
hình dưới đây. Trên đoạn  4;3 hàm số g  x   2 f  x    1  x  đạt giá

trị nhỏ nhất tại điểm ?

21


A. x0  4 .

B. x0  3 .

C. x0  3 .

D. x0  1 .

Hướng dẫn
Chọn D
Trên  4;3 , ta có g '  x   2 f '  x   2  1  x  .
x  4
�
�
g '  x   0 � f '  x   1  x � x  1
�
�
x3

�
.
Bảng biến thiên:

Hàm số g  x  đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0  1 .

Bài toán 5. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên � và có bảng biến
thiên trên đoạn  1;4 như sau:

Giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn đoạn  1;4 bằng
A. 4 .

B. 24 .

C. 8 .

D. 0 .

Hướng dẫn
Chọn B

22


f  x   24 � x  1 ;
Dựa vào bảng biến thiên, ta có min
 1;4
max f  x   4 � x  1 �x  4 .
 1;4

f  x   24 � x  1 .
Do đó, max
 1;4
Bài tốn 6. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên � và có đồ thị như
hình vẽ bên dưới.

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
x
x
�
�
g  x  f �
2sin cos  3 �trên �. Giá trị của M  m bằng
2
� 2
�
A. 6.
B. 8.
C. 4.
Hướng dẫn
Chọn A
x
x
Đặt t  2sin cos  3  sin x  3. Ta có: x ��� t � 2;4 .
2
2
Từ đồ thị ta thấy:

D. 5.

�M  max g  x   5
�
t ����
M m 6.
 2;4  1 f  t  5 �
�
m

min
g
x

1


�
�
�
Bài toán 7. Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Tất cả các giá trị của m để bất phương trình
nghiệm là
A. m �1 .

B. m �2 .
Hướng dẫn

f

C. m �4 .





x  1  1 �m có
D. m �0 .

23


Chọn B
Xét hàm số f
Khi đó: f







x  1  1 . Đặt t  x  1  1 �1, x �1



x  1  1 �m có nghiệm khi và chỉ khi f  t  �m, t � 1; � có

nghiệm
Từ bảng biến thiên ta thấy f  t  �m, t � 1; � có nghiệm khi và chỉ khi
m �2.

Bài toán 8. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên � và có đồ thị trên
đoạn  0;4 như hình vẽ bên dưới

Đặt M  max f
A. 3 .





4  x 2 , m  min f





4  x 2 . Tổng M  m bằng

B. 6 .
Hướng dẫn

C. 4 .

D. 5 .

Chọn A

Đặt t  4  x 2 . Khi đó x � 2;2 thì t � 0;2 .
f  t   3 và
Xét hàm số y  f  t  trên đoạn  0;2 ta thấy M  max

 0;2
m  min f  t   0 . Vậy M  m  3 .
 0;2
Bài toán 9. Cho đồ thị hàm số y  f  x  như hình vẽ bên dưới. Biết
m là tham số thực, giá trị nhỏ nhất của hàm số
rằng
g  x   f  x   x 2  2mx  m 2  1 tương ứng bằng:

24


A. 1 .

B. 3 .
Hướng dẫn

C. 1 .

D. 2 .

Chọn D
Nhận thấy min f  x   f  1  3 .
2
2
Xét hàm số g  x   f  x   x  2mx  m  1  f  x    x  m   1 .
2

�
�f  x  �f  1  3
2

Ta có �
� g  x   f  x    x  m   1 �3  0  1  2 .
2
 x  m  �0
�
�x  1
� x  1 . Khi đó min g  x   g  1  2 .
Dấu bằng xảy ra khi �
x

m
�
Bài toán 10. Cho đồ thị hàm số y  f  x  như hình vẽ bên dưới. Biết
rằng m là tham số thực, để giá trị nhỏ nhất của hàm số
g  x   f  2 x  3  x 2  4mx  4m 2  1 bằng 4 thì tham số m bằng

A. 1 .

1
C.  .
2

B. 0 .

D. 2 .

Hướng dẫn
Chọn A
Nhận thấy min f  x   f  1  3 .
Xét hàm số g  x   f  2 x  3   x  2m   1 �3  0  1  4 .

2

25