Bài toán số phức dưới góc nhìn hình học

MỤC LỤC
Trang
1. MỞ ĐẦU.... ...................................................................................................2
1.1. Lí do chọn đề tài.......................................................................... 2
1.2. Mục đích nghiên cứu .................................................................. 2
1.3. Đối tượng nghiên cứu ................................................................ 2
1.4. Phương pháp nghiên cứu...............................................................2
1.5. Điểm mới của sáng kiến king nghiệm...........................................2
2. NỘI DUNG....................................................................................................3
2.1. Cơ sở lí luận ................................................................................3
2.2. Thực trạng ................................................................................. 4
2.3. Giải pháp.....................................................................................6
2.3.1. Một số bài tốn điển hình....................................................6
2.3.2. Một số câu hỏi trắc nghiệm tự luyện................................ 17
2.4. Hiệu quả .....................................................................................20
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .....................................................................21
3.1. Kết luận.......................................................................................21
3.2. Kiến nghị.....................................................................................21

1


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Nội dung cuối cùng của chương trình Giải tích lớp 12 là một phần có những
kiến thức vơ cùng mới mẻ và lạ lẫm với các em học sinh: Số phức. Mọi quan niệm
quen thuộc trước đây của các em như: bình phương một số bất kì ln khơng âm,
có những phương trình bậc hai vơ nghiệm,...giờ khơng cịn đúng nữa. Hầu hết các
em học sinh đều cảm thấy lúng túng, thiếu tự tin. Tuy nhiên, phương pháp “quy lạ
về quen” của Toán học luôn là một trong những giải pháp đơn giản và hữu hiệu
nhất cho giáo viên cũng như học sinh khi tiếp cận một vấn đề mới. Nhờ có sự

Oxy
tương ứng 1-1 giữa mỗi số phức với một điểm trong mặt phẳng tọa độ
, mà có
rất nhiều bài tốn số phức được giải quyết dễ dàng khi đưa về tọa độ phẳng và cũng
có rất nhiều bài tốn số phức được sáng tạo từ các bài toán quen thuộc trong tọa độ
phẳng. Đó chính là lí do mà tơi lựa chọn đề tài: “ Bài tốn số phức dưới góc nhìn
hình học ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Trong sáng kiến này, tôi củng cố lại những kiến thức cơ bản, những nhận xét,
lưu ý quan trọng, hữu ích; giới thiệu một số bài toán vận dụng, vận dụng cao về số
phức được giải bằng phương pháp hình học và hệ thống bài tập tự luyện phong phú.
Các ví dụ nêu bật được tầm quan trọng của việc khai thác những phương pháp và
các dạng bài tốn từ hình học để giải các bài toán số phức, giúp học sinh cảm thấy
quen thuộc hơn với số phức, từ đó có hướng phân tích bài tốn và tư duy phù hợp
để đi tìm lời giải cho bài tốn.
Mong muốn của tơi là giúp các em học sinh phát triển tư duy toán: biết đưa
lạ về quen, biết sáng tạo, phát triển một bài toán mới từ những vấn đề quen thuộc;
rèn kĩ năng giải tốn, có thêm phương pháp xử lí một số câu hỏi về số phức trong
các câu vận dụng, vận dụng cao của đề thi THPT Quốc gia. Từ đó các em thấy
được vẻ đẹp của Toán học, thêm tự tin và u thích mơn học này.
1.3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 12.
Thời gian thực hiện: 4 tiết (tôi thực hiện vào các tiết ôn tập cuối năm).
Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản về số phức trong chương trình
SGK cơ bản mơn tốn lớp 12.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp “quy lạ về quen” nhờ có sự tương ứng 1-1 giữa mỗi số phức
Oxy
với một điểm trong mặt phẳng tọa độ
, mà có rất nhiều bài tốn số phức được

giải quyết dễ dàng khi đưa về tọa độ phẳng và cũng có rất nhiều bài tốn số phức
được sáng tạo từ các bài toán quen thuộc trong tọa độ phẳng.
1.5. Điểm mới của SKKN
Trong SKKN từ các ví dụ nêu bật được tầm quan trọng của việc khai thác
những phương pháp và các dạng bài toán từ hình học để giải các bài tốn số phức,
2


giúp học sinh cảm thấy quen thuộc hơn với số phức, từ đó có hướng phân tích bài
tốn và tư duy phù hợp để đi tìm lời giải cho bài tốn.

2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận .
Trong đề tài này sử dụng các kiến thức cơ bản sau đây

1. Các định nghĩa
z = a + bi

a,b∈ ¡

i 2 = −1 i
và
,

- Một số phức là một biểu thức dạng
với
b
a
được gọi là đơn vị ảo, được gọi là phần thực và được gọi là phần ảo của số
z = a + bi

phức
.
£ = a + bi / a,b∈ ¡ ;i 2 = −1
£
Tập hợp các số phức được kí hiệu là :
.
Chú ý:
b=0
z=a
+ Khi phần ảo
thì
là số thực.
a=0
z = bi
+ Khi phần thực
thì
là số thuần ảo.
0 = 0 + 0i
+ Số
vừa là số thực, vừa là số ảo.
a= c
a + bi = c + di ⇔ 
vớ
i a,b,c,d ∈ ¡
b
=
d

- Hai số phức bằng nhau:
.

z1 = a + bi, z2 = − a − bi
a,b∈ ¡
- Hai số phức
với
, được gọi là hai số phức đối
nhau.
a,b∈ ¡
z = a + bi
a − bi
z
- Số phức liên hợp của
với
là
và được kí hiệu bởi .

{

Rõ ràng

z=z

}

.

- Môđun của số phức

z = a + bi; a, b ∈ ¡

là

| z |= a 2 + b 2

. Ta có

| z |=| z |

.

2. Các phép toán trên tập số phức
Cho hai số phức

z = a + bi; z′ = a′ + b′i

- Tổng hai số phức:
- Hiệu hai số phức:
- Nhân hai số phức:

a,b,a′,b′ ∈ ¡

với
z + z′ = ( a + a′ ) + ( b + b′ ) i

z − z′ = ( a − a′ ) + ( b − b′ ) i

.

.

z.z′ = ( a.a '− b.b ' ) + ( a.b '+ a '.b ) i

. Ta có

z.z =| z |2

.
3


- Chia 2 số phức: nếu

z≠0

z′ z′.z
= 2
z
z

thì

.

3. Biểu diễn hình học của số phức và những chú ý quan trọng
- Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức
M ( a; b)
z = a + bi
a,b∈ ¡
với
được biểu diễn bằng điểm
.

y

M

b

x

O

a

Chú ý:
+ Nếu
+ Nếu

M

là điểm biểu diễn số phức

M1, M 2

z

z = OM

thì:

.

lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức

z1 − z2 = M 1M 2

phẳnguuphức
thì
uur u
uuuu
r uuuuu
r
M 3 : OM 1 + OM 2 = OM 3

và số phức

z1 + z2

z1 , z2

trên mặt

được biểu diễn bởi điểm

.

4. Một số tập hợp điểm thường gặp
- Cho hai số phức

z1 , z2

A, B

có hai điểm biểu diễn là
; khi đó tập các điểm
z − z1 = z − z2
z
M
biểu diễn cho số phức thỏa mãn
là đường trung trực của đoạn
AB
thẳng
.
z1
I
M
- Cho số phức có điểm biểu diễn là , khi đó tập các điểm
biểu diễn
z − z1 = R, ( R > 0
z
I
cho số phức thỏa mãn
cho trước) là đường trịn tâm bán kính
R
.
z1 , z2
F1 , F2
a>0
- Cho hai số phức
có hai điểm biểu diễn là
và số thực
. Xét

z − z1 + z − z2 = 2a
z
các số phức thỏa mãn
.

4


+ Nếu
F1F2
thẳng
.

F1F2 = 2c = 2a

thì tập các điểm

M

biểu diễn cho số phức

z

là đoạn

F1F2 = 2c < 2a

z
M
thì tập các điểm

biểu diễn cho số phức là một
F1 , F2
F1F2 = 2c; 2b
2a
Elip có trục lớn là
, tiêu điểm là
và tiêu cự
là độ dài trục nhỏ
b = a2 − c2
( với
).

+ Nếu

5. Bất đẳng thức trong tam giác.
+

z1 + z2 ≤ z1 + z2 ,

dấu ‘’=’’ xẩy ra khi

z1 − z2 ≤ z1 + z2 ,

z1 = kz2

với

k ≥ 0.

z1 = kz2

k ≤ 0.
dấu ‘’=’’ xẩy ra khi
với
z1 + z2 ≥ z1 − z2 ,
z1 = kz2
k ≤ 0.
+
dấu ‘’=’’ xẩy ra khi
với
z1 − z2 ≥ z1 − z2 ,
z1 = kz2
k ≥ 0.
+
dấu ‘’=’’ xẩy ra khi
với
Lưu ý: Toàn bộ phần kiến thức cơ bản trên đây giáo viên cần dạy kĩ để các em
hiểu và nắm thật vững rồi mới chuyển sang các bài tốn điển hình.
2.2. Thực trạng
Trước khi thực hiện đề tài, tôi đã khảo sát chất lượng của học sinh lớp 12A4
thông qua một bài kiểm tra trắc nghiệm gồm 5 câu, thời gian 20’ (mỗi câu 2 điểm).
Lúc này, các em đã học xong ba bài đầu của chương Số phức.
Đề bài như sau
z1 ,z2
| z1 |=| z2 |=| z1 − z 2 |= 1.
| z1 + z2 |
Câu 1. Cho hai số phức
thỏa mãn
Tính
?

+

3.

B.

A.

A,B,C

2 3.

C.

3.

D.

3
.
2

z1 ,z2 ,z3

Câu 2. Cho ba điểm
lần lượt biểu diễn ba số phức
với
z1 ≠ z3 ,z2 ≠ z3
| z1 |=| z2 |=| z3 |

z1 + z2 = 0
. Biết
và
. Mệnh đề nào đúng?
ABC
ABC
C
A. Tam giác
đều.
B. Tam giác
vuông tại .
ABC
ABC
A
B
C. Tam giác
cân tại .
D. Tam giác
cân tại .
| z − 4 | + | z + 4 |= 10.
z
Câu 3. Cho số phức thỏa mãn
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
|z|
nhất của
là:
5


A. 10 và 4.

B. 5 và 4.
C. 4 và 3.
D. 5 và 3.
S
m
Câu 4. Gọi là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
để tồn tại duy nhất số
z− 3+i =m
z.z = 1
S
z
phức thỏa mãn
và
. Tìm số phần tử của .
3
2
4
1
A. .
B. .
C. .
D. .
z − 1 − i + z − 2 + 3i = 17
M ,m
z
Câu 5. Cho số phức thỏa mãn điều kiện
, gọi
z
M 2 + m2
lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của . Tính

?
246
247
245
248
17
17
17
17
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Đáp án
Câu 1. Chọn A.
Oxy
A,B,C
Cách giải: Trong mặt phẳng phức
, gọi
lần lượt là điểm biểu diễn các
z1 ,z2 ,z1 + z2
OA = OB = AB = 1
O
số
. Ta có:
( với là gốc

uuurphức
uuu
r uuu
r
uuurtọa độ
uuu)u
rvà
OAB
OC = OA + OB
OC = 2OM
M
. Ta có tam giác
đều cạnh bằng 1 và
( với
là
| z1 + z2 |= OC = 2 OM = 3 .
AB
trung điểm cạnh
). Do đó
Câu 2. Chọn B.
A
OA = OB = OC
O
B
Cách giải: Ta có
(với là gốc tọa độ) đồng thời và đối xứng
O
C
C
A

B
nhau qua . Lại có khơng trùng với hay nên nằm trên đường trịn
ABC
C
AB
đường kính
. Do đó tam giác
vng tại .
Câu 3. Chọn D.
F1 ( 4;0 ) , F2 ( −4;0 )
z
Cách giải: Gọi
, từ giả thiết suy ra điểm biểu diễn cho số phức
M = 5, m = 3
2a = 10
2b = 6
chạy trên Elip có trục lớn
, trục bé
. Vậy
.
Câu 4. Chọn A.
z.z = 1⇒| z |= 1
z
Cách giải: Do
nên các điểm biểu diễn số phức nằm trên đường
O( 0; 0 )
(C1 )
R1 = 1.
trịn
tâm

, bán kính

6


Do

| z − 3 + i |= m

,dễ thấy

m=0

m > 0.

không thỏa mãn nên
Đồng thời, các điểm
(C2 )
I( 3 ; −1 )
R2 = m.
z
biểu diễn số phức nằm trên đường trịn
tâm
, bán kính
z
Vậy để tồn tại duy nhất số phức thì hai đường trịn trên tiếp xúc với nhau
OI = R1 + R2
⇔
⇔ 2 = m + 1
OI =| R1 − R2 |  2 =|1 − m |

m>0

Kết hợp với
, ta được
Câu 5. Chọn A.
Cách giải:

Gọi

N

hoặc

m=3

.
z

là điểm biểu diễn cho số phức , và các điểm

khi đó theo bài ra ta có
z = ON

Ta có hình chiếu của
và

m =1

O

 NA + NB = 17

 AB = 17

lên

AB

N

, do đó

nằm trong đoạn

chạy trên đoạn thẳng

AB

M = max { OA, OB} = OB = 13

A ( 1;1) , B ( 2; −3)

AB

m = OH = d (O , AB ) =

nên

,

,

5 17
17

y
1

A
x

H
-2

-1

O

1

2

-1

-2

-3

B

Kết quả như sau
Điểm
0
2
4
6
8
10
Số học sinh
0
6
23
15
5
2
Chất lượng bài làm của học sinh thấp, kĩ năng giải tốn phần này cịn rất yếu,
đa phần các em làm theo cách đại số thông thường nên rất mất thời gian, hết giờ
mới chỉ được 2, 3 câu. Chưa kể một số em khoanh “bừa”, khi u cầu giải thích lại
khơng làm được.
2.3. Giải pháp
7


2.3.1. Một số bài tốn điển hình

Bài tốn 1
Bài tốn hình học gốc

∆
M

∆
1. Cho đường thẳng
và một điểm A cố định,
chạy trên , khi
min AM = AH H
A
∆
đó
( là hình chiếu vng góc của lên ).
PQ
PQ M
A
2. Cho đoạn thẳng
và một điểm
khơng nằm trên
,
là
PQ
điểm thay đổi trên đoạn
, khi đó:
PQ
H
A
• TH1: Nếu hình chiếu
của
lên
nằm trong đoạn
max AM = max { AP, AQ} min AM = AH
PQthì
;

.
PQ
PQ thì
H
A
• TH2: Nếu hình chiếu
của
lên
nằm ngoài đoạn
max AM = max { AP, AQ} min AM = min { AP, AQ}
;
.

kính

R

3. Cho điểm

A

cố định và điểm

M

I
chuyển động trên đường tròn tâm , bán

cho trước. Khi đó:
gmax AM = max { AM 1 , AM 2 } = AI + R

gmin AM = min { AM 1 , AM 2 } = AI − R

Từ đó ta có một số bài tốn sau:
8


Bài toán 1.1. Cho số phức
11 5
5
A.
.

z

z − 1 − i = z + 3 − 3i
thỏa mãn

B.

Chọn B.
z = x + yi; x, y ∈ ¡

5

.

min z + 4 − i
, tìm

C.

Hướng dẫn giải

5 17
17

.

D.

.
11 17
17

.

M ( x; y )

z
, khi đó điểm
biểu diễn cho số phức chạy trên
( ∆) : 2x − y + 4 = 0
BC
đường thẳng
( là đường trung trực của đoạn thẳng
với
A ( −4;1)
B( 1;1 ),C( −3; 3 )
). Giả sử
, bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của
−8 − 1 + 4

min MA = d (A,∆ ) =
= 5
5
MA
đoạn
. Ta có:
Giả sử

Bài toán 1.2. Cho số phức

z

z − 1 − i + z − 3 − 2i = 5

thỏa mãn điều kiện
, gọi
1
z− +i
2
M ,m
M 2 + m2
lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
. Tính
?
137
157
31
33
10
10

2
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
N ( x; y )
z A ( 1;1) , B ( 3;2 )
là điểm biểu diễn cho số phức ,
, khi đó theo bài ra
Gọi

 NA + NB = 5

 AB = 5

N

AB
chạy trên đoạn thẳng
.
1
1

z − + i = IN ; I  ; −1÷

2
2

I
AB
.Ta
có
hình
chiếu
của
lên
nằm ngồi
Mặt khác:
1
17
1
3 5
m = min z − + i = IA =
M = max z − + i = IB =
2
2
2
2
AB
đoạn
suy ra
,
.

ta có

, do đó

9


y

B

2

A
x
1

M 2 + m2 =
Từ đó

31
2

A.

3

I

.

Bài tốn 1.3. Cho số phức
z − 2i
phức
3 + 17.

2

B.

z

z − 1 + 2i = 3
thỏa mãn

. Tìm mơđun lớn nhất của số
3 + 17.

17 − 3.

C.
Hướng dẫn giải

17 − 3.

D.

Chọn A.
M ( x; y )

z I ( 1; −2 ) , A ( 0;2 )

là điểm biểu diễn cho số phức ,
; bài toán trở thành tìm
R=3
AM M
I
giá trị lớn nhất của
,
chạy trên đường trịn tâm , bán kính
.
I ;R
IA = 17 > 3
A
Ta có
, vậy điểm
nằm ngồi đường trịn (
) nên
max MA = 3 + 17
.

Bài toán 1.4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
biểu diễn
và

M

, số phức

·
MON
= 120°

z2

Oxy

, cho hai số phức

có điểm biểu diễn là

. Giá trị lớn nhất của

3z1 − 2 z2 + 1 − 2i

m0

N

z1

có điểm

z1 = 1 z2 = 3
thỏa mãn
,

3z1 + 2 z2 − 3i

là

M0

, giá trị nhỏ

M 0 + m0 = a 7 + b 5 + c 3 + d

nhất của
là
. Biết
a , b, c , d ∈ ¢
a +b+c+d
với
. Tính
?
9
8
7
A. .
B. .
C. .

,

6
D. .

Hướng dẫn giải
Chọn B

10

Gọi

M1

là điểm biểu diễn của số phức

N1

3z1

, suy ra

OM 1 = 3

ON1 = 6

2z2

.

P

Gọi
là điểm biểu diễn của số phức
, suy ra
. Gọi là điểm sao cho
uuuur uuuu
r uuu
r

OM 1 PN1
OM 1 + ON1 = OP
. Suy ra tứ giác
là hình bình hành.
· ON = 120°
·
M
MON
= 120°
1
1
Do từ giả thiết
, suy ra
. Dùng định lí cosin trong tam

giác

OM 1 N1

ta tính được

 1
M 1 N1 = 9 + 36 − 2.3.6. − ÷ = 3 7
 2

và định lí cosin trong tam giác
Ta có

OM 1P

OP = 9 + 36 − 2.3.6.

ta có

M 1 N1 = 3 z1 − 2 z2 = 3 7 OP = 3 z1 + 2 z2 = 3 3

;
3z1 + 2 z2 − 3i

+) Tìm giá trị lớn nhất của
điểm biểu diễn

w1

là

A

;

thuộc đường tròn

. Đặt

( C1 )

1
=3 3
2

.

3 z1 + 2 z2 = w1 ⇒ w1 = 3 3

tâm

.

O ( 0;0 )

bán kính

, suy ra

R1 = 3 3

.

Q1

3i
Gọi điểm
là biểu diễn số phức .
3z1 + 2 z2 − 3i = AQ1
( AQ1 ) max
A
Khi đó
, bài tốn trở thành tìm
biết điểm trên

đường trịn

( C1 )

. Dễ thấy

( AQ1 ) max = OQ1 + R1 = 3 + 3

+) Tìm giá trị nhỏ nhất của

3

.
3z1 − 2 z2 + 1 − 2i = 3z1 − 2 z2 − ( −1 + 2i )

.

11


Đặt

3 z1 − 2 z2 = w2 ⇒ w2 = 3 7

( C2 )
Khi đó

O ( 0;0 )

, suy ra điểm biểu diễn

R1 = 3 7

tâm
bán kính
3z1 − 2 z2 − ( −1 + 2i ) = BQ2

trên đường tròn

( C2 )

( BQ2 ) min = R2 − OQ2 = 3
Vậy

là

B

thuộc đường tròn

Q2

−1 + 2i

là biểu diễn số phức
.
( BQ2 ) min
B
, bài tốn trở thành tìm
biết điểm

. Dễ thấy điểm

. Gọi điểm

w2

Q2

nằm trong đường tròn

( C2 )

nên

7− 5

.
M 0 + m0 = 3 7 + 3 3 − 5 + 3

và

a + b + c + d = 8.

Bài tốn 2
Bài tốn hình học gốc
A, B
M
Cho hai điểm
cố định ; với mỗi điểm

trên mặt phẳng ta ln có :
MA + MB ≥ AB
"="
M
•
dấu
xảy ra khi và chỉ khi
thuộc đoạn
AB
thẳng
.

MA − MB ≤ AB
•

dấu

"="

xảy ra khi và chỉ khi
AB
AB
thẳng
nhưng nằm ngồi đoạn thẳng
.

M

thuộc đường

Đây là một bài tốn quen thuộc đối với học sinh, bài toán này đã được phát
triển trong hình học tọa độ. Do vậy ta tương tự hóa sẽ thu được các bài tốn trong số
z, z1, z2
M , A, B
phức bằng cách coi
lần lượt là các điểm biểu diễn cho ba số phức
;
z1 , z 2
A, B
z
trong đó
cố định (
là hai số phức cho trước khơng đổi) cịn là số phức
M
thay đổi sao cho
có thể chạy trên một đường thẳng, đường tròn, parabol,...

12


P = z − 2 − 2i + z + 2i − 1

z

Bài toán 2.1. Cho là một số phức thuần ảo và
.Tìm giá
z
P
trị nhỏ nhất của khi thay đổi ?
17

25
5
17
A.
.
B. .
C. .
D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
z
M
Xét trên mặt phẳng phức, theo giả thiết nếu
là điểm biểu diễn của số phức
M ∈ Oy
trên mặt phẳng phức thì
.
y

4
3
2

A

1
-3

-2

-1

O

-1

B1

-2
-3

x

M

1

2

3

B

-4

Gọi

A ( 2;2 ) , B ( 1; −2 )

M ∈ Oy

ta thu được bài tốn quen thuộc với học sinh : Tìm
Oy
B1
A,B
MA + MB
sao cho
nhỏ nhất. Do
nằm về cùng một phía so với
, ta gọi
Oy
B1
MA + MB = MA + MB1
B
là điểm đối xứng với qua
thì (-1 ;-2) và
.
2

2
M  0; − ÷
z=− i
Pmin = AB1 = 5
3

3
Từ đó thu được
khi
hay
z − 1 + i = z + 3 − 5i

z
Bài toán 2.2. Cho số phức
thỏa mãn
và biểu thức
P = z − 1 − i − z − 1 − 2i
z1 , z 2
M ,m
đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là
tại
.
Khi đó :
29 3
3 29
z1 + z2 =
− i
z1 + z2 = + i
6 4
4 6
A.
.
B.
.
3 29
3 29
z1 + z2 = − − i
z1 + z2 = − + i
4 6
4 6
C.
.

D.
.
13


Hướng dẫn giải
Chọn D.

z
M
Xét trên mặt phẳng phức, theo giả thiết nếu
là điểm biểu diễn của số phức
M
EF
trên mặt phẳng phức thì
chạy trên đường trung trực của đoạn thẳng
với
E( 1; −1 ), F( −3; 5 )
M
hay
chạy trên đường thẳng có phương trình
2x − 3y + 8 = 0 ( ∆)
.
A ( 1;1) ; B ( 1;2 )
M ∈ ∆ : P = MA − MB
Gọi
bài tốn trở thành tìm
đạt max hoặc
min.
( 2.1 − 3.1 + 8) ( 2.1 − 3.2 + 8) > 0

A, B
Ta có :
suy ra
cùng nằm về một phía so với
0 ≤ MA − MB ≤ AB
( ∆)
0 ≤ P ≤ AB
min P = 0
. Do đó
hay
. Từ đó suy ra
khi
( ∆)
M ≡ M1
M ≡ M2
AB max P = AB
là giao của
và trung trực của
,
khi
là giao
( ∆ ) AB.
của
và
 7 3
3
7 3
M1  − ; ÷
y=
z1 = − + i

 4 2
2
4 2
AB
Trung trực của
có phương trình
, vậy
nên
.
 10 
10
M 2 1; ÷
z2 = 1 + i
 3
x =1
3
AB
có phương trình
, vậy
nên
.
3 29
z1 + z2 = − + i
4 6
Suy ra
z = a + bi ( a, b ∈ ¡ )
z −1− i = 5
Bài toán 2.3. Cho số phức
thỏa mãn
, tìm z để

z + z + 6 + 4i
m
a −b+m =?
đạt giá trị nhỏ nhất . Khi đó
23
23
+ 2 13
+ 13
2 13
2 13 − 1
13
13
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.

14


z
là điểm biểu diễn của số phức
I ( 1;1)
( C)

M
trên mặt phẳng phức thì
chạy trên đường trịn
có tâm
bán kính
R = 5.

Xét trên mặt phẳng phức, theo giả thiết nếu

A ( −6; −4 )

M

( C)

OI = 2 < 5
khi đó
nên
nằm ngồi
và
M ∈ ( C ) : MO + MA
( C)
O
nên nằm trong
. Bài tốn trở thành tìm
đạt min.
m = OA = 2 13
MO + MA ≥ OA
OA
M

Ta có
nên
khi
là giao điểm của đoạn thẳng
( C)
và
.
Gọi

IA = 49 + 25 > 5

A

6

y

5
4
3
2

I

1
-7

-6

-5

-4

-3

M

A

-2

-1

-1

O

1

x
2

3

4

5

6

-2
-3
-4

Phương trình

( C ) : ( x − 1)

OA : 2 x − 3 y = 0

2

+ ( y − 1) = 25
2

, phương trình
, từ đó ta
 M ( −3; −2 )

 M  69 ; 46 
  13 13 ÷
a = −3; b = −2

OA
M
tìm được hai giao điểm
vì
thuộc đoạn
nên
.

a − b + m = −3 − (−2) + 2 13 = −1 + 2 13.
Vậy

Bài toán 2.4. Xét hai số phức
lớn nhất của
A.

3 2 −3

.

z1; z2

z1 + 2 z2 − 3i

B.

thỏa mãn

z1 = 2; z2 = 5

và

z1 − z2 = 3

. Giá trị

bằng
3+ 3 2

.
C.
Hướng dẫn giải

3 + 26

.

D.

26 − 3

.

Chọn B

15


Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức

2 ⇒ OM = 2

O bán kính
Suy ra

z1

, M thuộc đường trịn tâm O bán kính

. Gọi N là điểm biểu diễn cho số phức

z2

, N thuộc đường tròn tâm

5 ⇒ ON = 5.

uuuur uuuu
r uuur
NM = OM − ON

là điểm biểu diễn cho

Gọi P là điểm biểu diễn cho số phức

2 5 ⇒ OP = 2 5

2z2

z1 − z2 ⇒ MN = z1 − z2 = 3

, P thuộc đường tròn tâm O bán kính

3i Q ( 0;3) ⇒ OQ = 3.

. Gọi Q là điểm biểu diễn cho số phức ,
uuu
r uuuu
r uuu

r
OMRP
OR = OM + OP ⇒
Dựng hình bình hành
ta có
R là điểm biểu diễn cho số

phức

z1 + 2 z2

. Ta có:

OM 2 + ON 2 − MN 2 2 + 5 − 9
−1
·
cos MON =
=
=
2.OM .ON
2. 2. 5
10

·
·
OR 2 = OP 2 + PR 2 − 2.OP.PR.cos OPR
= OP 2 + OM 2 + 2.OP.OM .cos MON

16

 −1 
⇒ OR = 20 + 2 + 2.2 5. 2.
÷= 3 2
10


.

uuu
r uuur uuu
r
T = z1 + 2 z2 − 3i = OR − OQ = QR = QR
.

T đạt giá trị lớn nhất khi QR lớn nhất

·
⇔ QOR
= 1800 ⇒ QR = OQ + OR = 3 + 3 2

Vậy T đạt giá trị lớn nhất bằng

3+3 2

.

Bài tốn 3
Bài tốn hình học gốc
( I1; R1 ) ( I 2 ; R2 ) ; ( I1 ≠ I 2 )

Cho hai đường trịn
và
, khi đó nếu :
 I1I 2 = R1 + R2

 I1I 2 = R1 − R2
•
thì hai đường trịn tiếp xúc nhau, chúng có đúng một
điểm chung.
R1 − R2 < I1I 2 < R1 + R2
•
thì hai đường trịn có hai điểm chung phân
biệt.
M ,N
I1I 2 > R1 + R2
•
thì hai đường trịn ngồi nhau. Giả sử hai điểm
lần
( I1; R1 ) ( I 2 ; R2 )
lượt chuyển động trên
và
max MN = I1I 2 + R1 + R2
min MN = I1I 2 − R1 − R2
Khi đó :
và
.
S
m
Bài tốn 3.1. Gọi
là tập hợp tất cả các số nguyên dương

để tồn tại hai số
 z.z = 9

 z − 6 − 8i = m
S
z
phức đồng thời thỏa mãn
, tính số phần tử của .
5
6
7
4
A. .
B. .
C. .
D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
M ( x; y )
z I ( 6;8 )
Gọi
là điểm biểu diễn cho số phức ,
; theo bài ra ta có :
17


OM 2 = 9

 IM = m

suy ra

M

có đúng hai số phức

z

là giao điểm của hai đường tròn

( O;3)

và

( I ; m)

. Do đó để

thỏa mãn thì hai đường trịn phải cắt nhau tại hai điểm.
m + 3 > 10
⇔
⇔ 7 < m < 13
m − 3 < OI < m + 3  m − 3 < 10
Từ đó suy ra
. Vậy có 5 giá trị
m.
nguyên dương của
| z − 3 − 6 i |= 5
z
Bài tốn 3.2. Có bao nhiêu số phức

thỏa mãn
và
|( 1 + 2 i) z − 1 − 12 i |= 15
?
0
2
1
A. .
B. .
C. .
D. Vô số.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
| z − 3 − 6 i |= 5
z
M
Do
nên các điểm
biểu diễn số phức
chạy trên đường trịn
(C1 )
I1 (3;6)
R1 = 5
tâm
, bán kính
.
|( 1 + 2 i) z − 1 − 12 i |= 15 ⇔| z − 5 − 2 i |= 3 5
M
Lại có
nên các điểm

biểu diễn số
(C 2 )
I 2 (5;2)
R2 = 3 5
z
phức chạy trên đường trịn
tâm
, bán kính
.
I1I 2 = R2 − R1
Dễ thấy
nên hai đường tròn trên tiếp xúc trong với nhau hay chỉ có
z
một số phức thỏa mãn.
S
m
m∈S
Bài tốn 3.3. Gọi
là tập hợp tất cả các số thực
sao cho mỗi
có đúng
z
z−m =3
z−2
z
một số phức đồng thời thỏa mãn
và
là số thuần ảo. Tính tổng tất
S
cả các phần tử của .

0.
3
4
2
A. .
B.
C. .
D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
M ( x; y )
z≠2
z
Từ giả thiết ta có
. Gọi
là điểm biểu diễn cho số phức .

18


[ x + yi ] [ ( x − 2) − yi ]
z
x + yi
=
=
( x − 2)2 + y 2
z − 2 x − 2 + yi
x( x − 2) + y = 0 ⇔ ( x − 1) + y = 1
2

nên
Vậy

M

2

là số thuần ảo

2

.

I ( m;0 )

r1 = 3

chính là điểm chung của đường trịn tâm
bán kính
và đường
K ( 1;0 )
A ( 2;0 )
r2 = 1
tròn tâm
bán kính
nhưng bỏ điểm
.
A
TH1 : Hai đường trịn có hai điểm chung nhưng một điểm là :
m = 5

2−m =3⇔ 
 m = −1
Khi đó ta phải có
.
m = 5 : IK = 4 = r1 + r2
A
hai đường trịn có đúng 1 điểm chung (loại).
m = −1: IK = 2 = r1 − r2
A
hai đường trịn có đúng 1 điểm chung (loại).
A
TH2 : Hai đường trịn có đúng 1 điểm chung khác . Khi đó ta có
m = 5
 m = −3
 IK = 4  m − 1 = 4
⇔
 IK = 2 ⇔ 
 m = −1

 m − 1 = 2

m = 3
m = ±3
suy ra
thỏa mãn.
z −1− i = 1
w
z
Bài toán 3.4. Cho số phức
thỏa mãn

, số phức
thỏa mãn
w − 2 − 3i = 2
z−w
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
13 − 3
17 − 3
17 + 3
13 + 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.

19


Gọi

M ( x; y )

có tâm
Ta có

I1 ( 1;1)

biểu diễn số phức

z = x + iy(x, y ∈ ¡ )

thuộc đường trịn

( C1 )

R1 = 1

, bán kính
.
| w − 2 − 3i |= 2 ⇔| w − 2 + 3i |= 2

w = x′ + iy′ (x', y' ∈ ¡ )

thì

M

thì

nên gọi

N ( x′; y′ )

( C2 )

N

biểu diễn số phức
I 2 ( 2; −3)
có tâm
, bán kính

thuộc đường trịn
z−w
R2 = 2
MN
.uuGiá
trị
nhỏ
nhất
của
chính
là
giá
trị
nhỏ
nhất
của
đoạn
.
ur
I1I 2 = ( 1; −4 ) ⇒ I1I 2 = 17 > R1 + R2 ⇒ ( C1 )
( C2 )
Ta có

và
ở ngồi nhau.
⇒ MN min = I1I 2 − R1 − R2 = 17 − 3

z1 − 3i + 5 = 2
iz2 − 1 + 2i = 4
z1 z2
Bài toán 3.5. Cho hai số phức ;
thỏa mãn
và
.
T = 2iz1 + 3 z2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
313 + 16
313
313 + 8
313 + 2 5
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A.

Ta có

z1 − 3i + 5 = 2 ⇒ 2iz1 + 6 + 10i = 4

Suy ra điểm

M

2iz1

.

( T1 )

I1 ( −6; −10 )

biểu diễn số phức
nằm trên đường trịn
có tâm
R1 = 4
và có bán kính là
.
iz2 − 1 + 2i = 4 ⇒ −3z2 − 6 − 3i = 12
−3z2
Mặt khác,
nên điểm biểu diễn số phức
là
I 2 ( 6;3)
( T2 )
R2 = 12
N
điểm

nằm trên đường trịn
có tâm
và có bán kính là
.
2iz1 + 3z2 = 2iz1 − ( −3z2 ) = MN
Ta thấy
.
MN
T
lớn nhất khi và chỉ khi
lớn nhất, mà hai đường trịn trên ở ngồi nhau.

20


Vậy giá trị lớn nhất của

MN = I1I 2 + R1 + R2 = 313 + 16

z1 − 4 = 1
iz2 − 2 = 1
z1 z2
Bài toán 3.6. Xét các số phức ,
thỏa mãn
và
. Giá trị lớn
nhất của

A.

z1 + 2 z2 − 6i

2 2−2

.

bằng

B.

4− 2

.
C.
Hướng dẫn giải

4 2 +9

.

D.

4 2 +3

.

Chọn C
z3 = − 2 z 2 ,
Đặt
suy ra

P = z1 + 2 z2 − 6i = z1 − (−2 z2 ) − 6i = z1 − z3 − 6i .

à

1
z2 = − z3
2

v

thế vào

⇔ z3 − 4i = 2.

1
1
iz2 − 2 = 1 ⇔ − iz3 − 2 = 1 ⇔ − iz3 − 2 . 2i = 1. 2i
2
2

A, B

Gọi
là hai điểm biểu diễn cho hai số phức
gz3 − 4i = 2 ⇒ A
I (0; 4), R3 = 2.
thuộc đường tròn tâm
gz1 − 4 = 1 ⇒ B
J (4;0), R1 = 1.

thuộc đường tròn tâm

z3 , z1.

⇒ P = z1 − z3 − 6i ≤ z1 − z3 + −6i = AB + 6 ≤ IJ + R1 + R3 + 6 = 4 2 + 1 + 2 + 6 = 4 2 + 9.

Vậy

Pmax = 4 2 + 9

.
S

m
4
Bài toán 3.7. Gọi là tập tất cả các số thực dương
để có đúng số phức thỏa

z =m

z + z + z − z = z2


S
mãn hệ
. Tính tổng bình phương các phần tử của .
21


A.

12

.

B.

17

.

19
C. .
Hướng dẫn giải

D.

22

.

Chọn A.
z = x + yi x, y ∈ ¡ ⇒ z = x − yi
Đặt
(
)
.

 x 2 + y 2 = m 2 (1)



 x 2 + y 2 = m
z =m
⇔

m2
⇔

2
x
+
y
=
(2)
2
2

z+z + z−z = z

 2 x + 2 yi = x + y

2

M ( x; y )

z
M
biểu diễn cho số phức thì
là điểm chung của đường trịn có phương
( 1)

( 2)
ABCD
trình
và hình vng
có phương trình
.
4
u cầu bài tốn thỏa mãn khi hình vng và đường trịn có
điểm chung phân
4
biệt hay khi và hình trịn tiếp xúc hoặc đi qua đỉnh của hình vng.


m =
⇔
 R = OB

 R = d (O; BC )
m =



m2
2
m = 2
m2
⇔
2 2
m = 2 2

Ta có :
2.3.2. Một số câu hỏi trắc nghiệm tự luyện

(Chú ý

m>0

).

S

m
là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
để tồn tại duy nhất số
z− 3 +i =m
z.z = 1
S
z
phức thỏa mãn
và
. Tìm số phần tử của .
3
2
4
1
A. .
B. .
C. .
D. .

Câu 1. Gọi

22


Câu 2. Biết số phức

z

0

có phần ảo khác và thỏa mãn

z − ( 2 + i ) = 10

z

Điểm nào sau đây biểu diễn số phức trên?
P ( 4; − 3)
N ( 3; − 4 )
A.
.
B.
.

z1 z2

C.

z

M ( 3; 4 )

.

và

z.z = 25

.

Q ( 4; 3)

D.
.
z − 5 − 3i = 5

Câu 3. Cho ,
là hai trong các số phức thỏa mãn điều kiện
,
z1 − z2 = 8
w = z1 + z2
đồng thời
. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức
trong
mặt phẳng tọa độ

Oxy

là đường trịn có phương trình nào dưới đây?

2
5 
3 9

2
2
x− ÷ + y− ÷ =
( x − 10 ) + ( y − 6 ) = 36
2 
2 4

A.
.
B.
.
2
2
5 
3

x− ÷ + y− ÷ =9
2
2

( x − 10 ) + ( y − 6 ) = 16
2 
2

C.
.

D.
.
5 z − i = z + 1 − 3i + 3 z − 1 + i
z
Câu 4. Cho số phức
thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn
10
M
=
z − 2 + 3i
M = 1 + 13
M =4 5
3
M =9
M
nhất
của
? A.
. B.
.C.
. D.
.
2

z

z − 1 − i + z − 3 − 2i = 5

Câu 5. Cho số phức

thỏa mãn điều kiện
. Gọi
z + 2i
M ,m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
. Giá trị biểu
15
2
2
M +m
25
35
20
2
thức
bằng A. .
B. .
C.
. D.
.
z1 = −2 − i, z2 = 2 + i
z
Câu 6. Cho các số phức
và số phức
hay đổi thỏa mãn
2
2
z − z1 + z − z2 = 16
M ,m
. Gọi

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
2
2
z
M −m
. Giá trị biểu thức
bằng
A.15.
B.7 .
C. 11.
D. 8 .
z
Câu 7. Trong mặt phẳng phức, xét số phức và số phức liên hợp của nó có điểm
z ( 4 + 3i )
M ,M ′
biểu diễn lần lượt là
; số phức
và số phức liên hợp của nó có điểm

23


biểu diễn lần lượt là

N, N′

. Biết rằng
z + 4i − 5
Tìm giá trị nhỏ nhất của
.

2
1
5
2
A.
.
B.

M , M ′, N , N ′

z

là bốn đỉnh của hình chữ nhật.

C.

5
34

.

D.

4
13

.

Câu 8. Trong mặt phẳng phức, xét số phức và số phức liên hợp của nó có
z ( 4 + 3i )

M ,M′
N
điểm biểu diễn lần lượt là
; số phức
có điểm biểu diễn là .
N′
N
MM ′
Gọi
là điểm đối xứng với qua đường thẳng
. Biết rằng tứ giác
z + 4i − 5
MNM ′N ′
z
là hình thoi. Tìm phần ảo của để
đạt giá trị nhỏ nhất.
96
192
96
192
−
−
25
25
25
25
A.
B.
C.
D.

.
1
z2 − 3 − 4i =
z
−
3
−
4
i
=
1
z1 z2
1
2
Câu 9. Biết rằng hai số phức , thỏa mãn
và
. Số
a
b
3
a
−
2
b
=
12
z
phức có phần thực là và phần ảo là thỏa mãn
. Giá trị nhỏ nhất
P = z − z1 + z − 2 z2 + 2

của
bằng
9945
Pmin =
Pmin = 5 − 2 3
11
A.
.
B.
.
9945
Pmin =
Pmin = 5 + 2 3
13
C.
.
D.
.

(C)

z = x − 1 + yi

Câu 10.Gọi
là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức
,
z =1
( x, y ∈ ¡ )
z0 = 1 − i
N

M
thỏa mãn
và
là điểm biểu diễn số phức
. Tìm điểm
thuộc

(C)

sao cho

A.

MN

M ( 1;1)

.

có độ dài lớn nhất.
1 3
M ;
÷
2 2 
B.
.

Câu 11. Có bao nhiêu số phức
ảo? A.0. B. vô số. C.2.

z

C.

M ( 1;0 )

z − 3i = 5

thỏa mãn
D.1.

và

D.
z
z−4

M ( 0;0 )

.

là số thuần
24


Oxy

z

z − 1 + 2i = 3

Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ
, cho số phức thỏa mãn
.
w = z(1+ i)
w1
w2
w
Trong các số phức
thỏa mãn
, gọi
và
lần lượt là số phức
w1 + w2
có mơđun nhỏ nhất và mơđun lớn nhất. Khi đó
bằng
6 − 2i
6 + 2i
−6 − 2i
−6 + 2i
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
(1+ i) z + z
z

Câu 13. Có bao nhiêu số phức
thỏa mãn
là số thuần ảo và
z − 2i = 1
. A.2. B.1. C.0. D. Vô số.
z + z + z − z = z2
z
Câu 14. Cho số phức thoả mãn
. Giá trị lớn nhất của biểu
P = z − 5 − 2i
thức
bằng
2 +5 3
2 +3 5
5+2 3
5 +3 2
A.
. B.
. C.
.
D.
.
z

1≤ z − 2 + i ≤ 4

M
Câu 15. Cho số phức thỏa mãn
. Gọi
là giá trị lớn nhất

z − 2 + 3i m
z + 2 − 2i
M +m
của
, là giá trị nhỏ nhất của
. Tính
.
A. 6.
B.5.
C.3.
D. 7.
z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2.
m, M
z
Câu 16. Xét số phức thỏa mãn
Gọi
lần lượt
z −1+ i .
P = m + M.
là giá trị nhỏ nhất cả giá trị lớn nhất của
Tính
5 2 + 2 73
P=
.
P = 13 + 73.
2
A.
B.
5 2 + 73
P=

.
P = 5 2 + 73.
2
C.
D.

Oxy
Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ
z − i = 2 − 3i − z
là
A. đường thẳng

x − 2y − 3 = 0

, tập hợp điểm biểu diễn số phức

.

B. đường thẳng

z

thỏa mãn

x + 2 y +1 = 0

.

25