Hướng dẫn ôn tập toán 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

KẾ HOẠCH PHỤ ĐẠO MƠN TỐN KHỐI 10 HKII
Năm học : 2019 – 2020

Tuần Môn Tiết Nội dung Ghi chú

22 ĐS 1,2 Bất phương trình, hệ bất phương trình
HH 1,2 Các hệ thức lượng trong tam giác
23 ĐS 3,4 Dấu của nhị thức bậc nhất

HH 3,4 Giải tam giác

24 ĐS _HH 5,6 _5,6 Dấu của tam thức bậc hai _{Ôn tập chương 2}
25 ĐS 7,8 Dấu của tam thức bậc hai

HH 7,8 Ôn tập chương 2

26 ĐS _HH 9,10 _9,10 _{Phương trình đường thẳng}Ơn tập chương 4
27 ĐS 11,12 Ôn tập chương 4

HH 11,12 Phương trình đường thẳng
28 ĐS 13,14 Góc và cung lượng giác

HH 13,14 Phương trình đường thẳng
29 ĐS 15,16 Giá trị lượng giác của một cung

HH 15,16 Phương trình đường thẳng
30 ĐS 17,18 Giá trị lượng giác của một cung

HH 17,18 Phương trình đường thẳng
31 ĐS 19,20 Công thức lượng giác

HH 19,20 Ơn tập chương 2: Tích vơ hướng
32 ĐS 21,22 Ôn tập chương 6

HH 21,22 Phương trình đường trịn
33 ĐS 23,24 Ôn tập chương 6

HH 23,24 Ôn tập HK2

34 ĐS 25,26 Ôn tập HK2

HH 25,26 Ôn tập HK2

35 ĐS 27,28 Ôn tập HK2

HH 27,28 Ôn tập HK2

Thoại Sơn, ngày 01 tháng 02 năm 2020
Duyệt của Tổ Trưởng Người soạn

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

CHỦ ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC

BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Kiến thức cần nhớ

1. Dấu của nhị thức: f x

 

ax b a ( 0).

x - b_a +

ax  b Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

Cách giải bất phương trình áp dụng xét dấu nhị thức:
+ Tìm nghiệm nhị thức : ax b 0 x b

a
     .
+ Lập bảng xét dấu dựa vào dấu hệ số a
+ Dựa vào bảng xét dấu mà kết luận.

Ứng dụng của dấu nhị thức giải bất phương trình tích

+ Biến đổi bất phương trình về dạng f x

 

0; f x

 

0; f x

 

0; f x

 

0.
(trong đó f x

 

là tích hoặc thương của các nhị thức, tam thức)

+ Lập bảng xét dấu f x

 

+ Dựa vào bảng xét dấu kết luận tập nghiệm của bất phương trình.
2. Dấu của tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai có dạng _{f x}

 

__ax2__{bx c}_



_a_₀



có biệt thức _{ }_b2_₄_ac_.
* Trường hợp 1:  0_{, phương trình}f x

 

0_{có hai nghiệm phân biệt}x₁x₂.
Bảng xét dấu

x  x1 x2 

 

2

f x ax bx c Cùng dấu
với a 0

Trái dấu
với a 0

Cùng dấu
với a
* Trường hợp 2:  0, phương trình f x

 

0 có nghiệm kép

2
b
x

a


 .
Bảng xét dấu

x  ₂b_a 

 

2

f x ax bx c Cùng dấu
với a 0

Cùng dấu
với a
* Trường hợp 3:  0, phương trình f x

 

0 vô nghiệm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

x  

 

2

f x ax bx c _{Cùng dấu với}_a

Lưu ý: * 2 _0, 0

0

ax bx c x R

a

   

     __{ } _




 

* 2 _0, 0

0

ax bx c x R

a

   
       _ 



 

Tam thức bậc hai _{f x}

 

__ax2__{bx c}_ có nghiệm
1, 2

x x với

1 2 1. 2

b c

S x x P x x

a a



     thoả:
* Có hai nghiệm trái dấu a c. 0

* Có hai nghiệm dương phân biệt

0
0
0
S
P

 


_ 

 

* Có hai nghiệm âm phân biệt

0
0
0
S
P

 


_ 

 


3. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Cách giải:để giải hệ bất phương trình một ẩn ta giải từng bất phương trình,
sau đó tìm giao các tập nghiệm thu được.

4. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

a. Định nghĩa: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x y; có dạng

; ; ;

a x by c a x by c    a x by c  a x by c  .

Trong đó a b c; ; là các số thực đã cho a b; không đồng thời bằng không, x y; là các ẩn
số.

b. Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình a x by c  (tương tự cho bất phương trình
.

a x by c  )

Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ O xy, vẽ đường thẳng a x by c  

 

.
Bước 2: Lấy điểm M x y_o



_o; _o



không thuộc

 

 (thường là gốc tọa độ O).
Bước 3: Tính a xobyo rồi so sánh với c.

Bước 4: Kết luận.

+ Nếu a xobyo c thì nửa mặt phẳng bờ

 

 chứa Mo là miền nghiệm

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

+ Nếu a xobyo c thì nửa mặt phẳng bờ

 

 khơng chứa Mo là miền

nghiệm của bất phương trình a x by c  .

Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình a x by c  bỏ đi đường thẳng a x by c  là

miền nghiệm của bất phương trình a x by c  .

5. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Định nghĩa: Hệ bất phương trình hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc
nhất hai ẩn x y; mà ta phải tìm nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được
gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Cách giải: cũng như bất phương trình hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập
nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

6. Bất phương trình đưa về bất phương trình bậc nhất, bậc hai.
a. Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu
Bước 1: Ta đưa các bất phương trình đã cho về một trong các dạng

 

0;

 

0;

 

0;

 

0

f x  f x  f x  f x  , trong đó f x

 

là tích của một số hữu hạn các nhị
thức, tam thức bậc hai, hoặc f x

 

P x

 

_{ }

Q x

 trong đó P x Q x

   

; là tích của một số hữu
hạn các nhị thức, tam thức bậc hai.

Bước 2: Xét dấu biểu thức f x

 

.
Bước 3: Kết luận.

b. Bất phương trình chứa căn bậc hai
Dạng 1:

 

 

 

 

 

2

 

0
0
f x

f x g x g x

f x g x

 



 _ 

 _



Dạng 2: f x

 

g x

 

tương đương với hệ

 

 

0
0
f x
g x




 _

 hoặc

 

 

2

 

0
g x

f x g x




 _


c. Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Cách giải: Khử dấu giá trị tuyệt đối hoặc sử dụng tính chất bất đẳng thức của giá trị
tuyệt đối.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

 

 

 

0

0
f x

f x g x



 _ _

 hoặc

 

 

 

0

0
f x

f x g x



_ _ _



Cách 2: Giải bất phương trình dạng f x

 

 g x

   

; f x g x

 

+ Bất phương trình f x

 

g x

 

g x

 

_{ }

0

_{ }

_{ }

g x f x g x




 _{ }

  



+ Bất phương trình f x

 

g x

 

tương đương với

 

0

g x  hoặc g x

 

_{ }

0

_{ }

f x g x






 

 hoặc

 

 

 

0
g x

f x g x








 .

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
A. Phần tự luận

Bài 1: Xét dấu các biểu thức sau:

1) A2x1 2) B (x 1)(3x)
3) 4

2
x
C
x



 4)
4 3
2 1
x
D
x




5) f x( ) ( 2  x 3)(x2)(x4) 6) _{f x}_{( )}__{x x}₍ __{2) (3}2 __x₎
7) ( ) ( 3)2

( 5)(1 )
x x
f x

x x




  8) g x( ) ( x22x3)2(x2 x 3)2
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

9) ( 2 x 3)(x2)(x 4) 0 10) ₍_x2_₂_x_₃₎2_₍_x2_{ }_x ₃₎2_₀
11) ( 3x2)(x1)(4x 5) 0  ₁₂₎_x3__{3x 2 0}_{ }

13) ₍_x2_₁₎₍_x2__{4) 0}_ 14) (3 )( 2) ₀
1

x x
x

  _


15) 2 4 5 3

1

x x _x

x
  _{ }
 16)
2
( 2)
0
(2 1)(1 3 )

x x

x x

 _

 

17) 1 2

2

x  18)

3 5

1x 2x1
19) 3 4 1

2
x
x
 _
 20)
3
2
x
x
x  

21) 2 5

1 2 1

x  x 22)

2 2

3 1 2 1

x x

x x

 _ 

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

23) 22

9 14 ₀
9 14

x x

x x

  _

  24)

2
2

1 ₀

3 10
x

x x

 _

 

25) 2
10 1

2
5

x
x

 _

 26)

1 1

2
1

x x

x x

 _{ } 


27) 1 2 3

1 3 2

x  x  x 28)

2 3

5

3 4

x x 

Bài 3. Cho phương trình_mx2_₂₍_m_₁₎_x_₄_m_{ }₁ ₀_{. Tìm}_m_{để phương trình có:}
29) Hai nghiệm phân biệt.

30) Hai nghiệm trái dấu.
31) Hai nghiệm dương.
32) Hai nghiệm âm.

Bài 4. Tìm m để các phương trình sau nghiệm đúng với mọi x.
33) _mx2 _₄₍_m_₁₎_{x m}_{  }_{5 0}

34) ₅_x2_{  }_{x m} ₀
35)_mx2_₁₀_x_{ }_{5 0}
36) 2₂ 2 1

3 4

x mx

x x

  _{ }

 

37)_{m m}



_₂



_x2_₂_mx_{ }_{2 0}

Bài 5. Tìm m để các phương trình sau vơ nghiệm

38)₅_x2 _{ }_{x m}₀_  ₃₉₎_mx2_₁₀_x_{ }_{5 0}
Bài 6. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt

40)



_m2_{ }_m ₁



_x2_₍₂_m_₃₎_{x m}_{  }_{5 0}
41) _x2_₆_mx_{ }_{2 2}_m_₉_m2 _₀

Bài 7. Giải các bất phương trình sau:
42) 5 2 2 2



1 3



5

3 2 3 4

x x

x _ x x _  _ x ₄₃₎3 1 2 1 2

2 3 4

x _x _  x

44) 2 2 1 3

2 3 4 2

x _ x _ x _{ }x ₄₆₎3 1 3 1 2 1

2 3 4 3

x _ x_ x _ x
47) 1 2 1 8 13

2 5 10

x _ x _ x ₄₈₎ 2

1

2 3

x
x

 _


49) 2 3 2 2



1



1

x x

x
x

  _ _

 50)

2
2

4 9

0

3 4

x

x x

 _

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

51) 22

2 10 14

1

3 2

x x

x x

  _

  52)



 



2 2

5 5 5

x  x 

53)



₄_x2__{9 3}





__x



_₀ ₅₄₎

2 2

2 1

6x 5x62x 5x2

55) 1 1 0

3x3x 56) 2

2 5 1

6 7 3

x

x x x

 _

  

57) _x2_₅_x_{ }_{4 0} 59) 2

2

2 1 ₀

4

x x

x

  _

60) 1 2 3

4 3

xx  x 61)







4 1 2

0
3 5
x x
x
 

 
62) 3 1

2x 63)

2
2
3 ₁
4
x x
x
  _


64) 1 1 1

1 2 2

x x  x 65)

2
2
9 14
0

9 14
x x
x x
  _
 

66) 2 2

1 ₀

3 10
x

x x

 _

  67) 2

10 1
5 2
x
x
 _


68) 2x 1 2x3 69) x  5 x 1

70) _x2_{   }_x _{3 6} _x 71)



_x_₄



_x2_{ }₄ _x2_₁₆
72) _x2_{ }_x ₂ _x2_{  }_x _{3 0} 73) _x2_{ }_x ₃ _x2_{  }_x _{2 8}

74)



 

2



4 1 0

x x  75)



 

2



2 3 0

x x 

76)



5



1 0
3

x x

x

 



 77)







5
0
1 3
x
x x
 _
 

Bài 8: Giải các hệ bất phương trình sau

78) 3 1 2 7
4 3 2 19

x x
x x
  

   
 79)
7
3
3
1 5
4 2
2
x
x
x
x

 _{ }

 
 _ _

80) 2 0₂

3 6 9 0

x
x x
 

_ _ _{ }
 81)
2
2
6 0
3 28 0

x x
x x
   


  

Bài 9. Giải các bất phương trình sau

82) 2 6 7 0.
3
x x
x
  _
 83)
1
5 .

1
x
x
x
 _{ }

84) ₂ 2 1.

1 2
x
x
 _{ }
 85)
1 1
2.
1
x x
x x
 _  _


86) x 1 1. 87) 4x 2 3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

B. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Bài 1: Bất đẳng thức

Câu 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?
A.  _{ }a b_{c d}   a c b d.

 B. .

a b

a c b d
c d

 

 _{   }

 

C.  _{ }a b_{c d}   a d b c.

 D.

0

.
0

a b

a c b d
c d

  

 _{   }

  


Câu 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây sai?

A. .

2

a b _{b c}

a
a c

  

 _{ }

 

 B. .

a b

a c b a
a c

 

 _{   }

 


C. a b    a c b c. D. a b    c a c b.
Câu 3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A.  _{ }a b_{c d}ac bd .

 B. .

a b

ac bd
c d

 

 _ _

 

C.   _{  }0₀ a b_{c d}ac bd .

 D. .

a b

ac bd

c d
 

 _{   }

 


Câu 4. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?

A. a b ac bc . B. a b ac bc .

C. c a b  ac bc . D.  _{ } a b_c ₀ ac bc  .


Câu 5. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?
A. 0₀ a b_{c d} a b.

c d

  

 _{ }

  

 B.

0

.

0 a b

a

c d c d

b
  

 _

 _

 

 

C. a b_{c d} a b.

c d

 

 _{ }

 

 D.

0

.

0 a d

a

c d b c

b
  

 _

 _

 

 


Câu 6. Nếu a   2c b 2c thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A.   3a 3 .b B. _a2 __b2_. _C.₂_a __{2 .}_b _D.1 1.
a b
Câu 7. Nếu a b a  và b a b  thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A. ab 0. B. b a . C. a b 0. D. a0 và b0.
Câu 8. Nếu 0 a 1 thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A. 1 a.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Câu 9. Cho hai số thực dương a b,   . Bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A. ₄ 2 1.

2
1
a

a   B. abab1 21. C.
2

2 ₂1 1 .₂
a

a   D. Tất cả đều đúng.
Câu 10. Cho a b, 0 và 1 ₂, 1 ₂.

1 1

a b

x y

a a b b

 

 

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. x y . B. x y .

C. x y . D. Khơng so sánh được.
Câu 11. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số

 

2

1

f x x

x
 

 với x 1.

A. m  1 2 2. B. m 1 2 2. C. m  1 2. D. m  1 2.
Câu 12. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số

 

2

2 5 .₄
x

f x

x





A. m 2. B. m1. C. 5 .

2

m  D. Khơng tồn tại m.
Câu 13. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số

 

2 2 2

1

x x

f x

x

 



 với x  1.

A. m 0. B. m1. C. m 2. D. m  2.

Câu 14. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x

  

x 2



x 8



x

 

 với x 0.

A. m 4. B. m18. C. m 16. D. m 6.

Câu 15. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số

 

4
1x
f x

x x

 

 với 1 x 0.

A. m 2. B. m4. C. m 6. D. m 8.

Câu 16. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số

 

1 1
1

f x  _x __x với 0 x 1.

A. m 2. B. m4. C. m 8. D. m 16.

Câu 17. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số

   

2 32

4 2

x
f x

x



 với x 2.
A. 1 .

2

m  B. 7 .

2

m C. m 4. D. m 8.

Câu 18. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x

 

2x3 4
x

 với x 0.

A. m 2. B. m4. C. m 6. D. m 10.

Câu 19. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x

 

x4 3
x

 với x 0.

A. m 4. B. m6. C. 13 .

2

m  D. 19 .

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Câu 20. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x

  

 6x 3 5 2



 x



với 1 3; .
2 2
x  _ _

 

A. M 0. B. M 24. C. M 27. D. M 30.

Câu 21. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x

 

x 1
x

 với x 1.

A. M 0. B. 1 .

2

M  C. M 1. D. M 2.

Câu 22. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số

 

₂
4
x
f x

x


 với x0.
A. 1 .

4

M  B. 1 .

2

M  C. M 1. D. M 2.

Câu 23. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số

 

 

2
1
x
f x

x


 với x 0.

A. M 0. B. 1 .

4

M  C. 1 .

2

M  D. M 1.

Câu 24. Tìm giá trị nhỏ nhất m và lớn nhất M của hàm số f x

 

 x 3 6x.

A. m  2,  M 3. B. m 3,  M 3 2.C. m  2,  M 3 2.D. m  3,  M 3.
Câu 25. Tìm giá trị nhỏ nhất m và lớn nhất M của hàm số f x

 

2 x 4 8x.

A. m0;M 4 5. B. m2;M 4.

C. m2;M 2 5. D. m0;M  2 2 2.

Câu 26. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x

 

 7 2 x  3x4.

A. m3. B. m 10. C. m 2 3. D. 87 .

3
m 

Câu 27. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số _{f x}

 

_{ }_x ₈__x2_.

A. M 1. B. M 2. C. M 2 2. D. M 4.

Câu 28. Cho hai số thực x y,   thỏa mãn _x2_{ }_y2 _xy _₃_{. Tập giá trị của biểu thức}_{S x y}_{ } 
A.  _{ }_{ }0;3 . B. _{ } _{ }0;2 . C. __2;2__. D.

 

2;2 .

Câu 29. Cho hai số thực x y,   thỏa mãn _x2_{ }_y2 _xy _₁_{. Tập giá trị của biểu thức}_{P xy}_ _là:

A. 0;1

3
 
 
 

 . B. 1;1. C. 1 ;13
 
 
 

 . D.

1
1;

3

 

 

 

 .

Câu 30. Cho hai số thực x y,   thỏa mãn



x y



34xy 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S x y  là:

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

BÀI 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
Vấn đề 1. ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Câu 31. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình 2   x x 2 1 2 . x
A. x . B. x _{  }



;2 . C. ; .1

2
x  _ _

 _ D. x 1 ;2 .2

 
 
  _ _
Câu 32. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình 1 2 4 .

5
x

x x

x


   



A. x  __ 5;4 .__ B. x _{  }



5;4 . C. x  _4;



. D. x   



; 5 .



Câu 33. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình





2

1 _1.

2

x _x

x

 _{ }



A. x   _ 1;



. B. x   



1;



. C. x   _ 1;

  

\ 2 . D. x   



1;

  

\ 2 .
Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x m  6 2 x có tập
xác định là một đoạn trên trục số.

A. m 3. B. m3. C. m3. D. 1 .

3
m

Câu 35. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  m2x  x 1 có tập
xác định là một đoạn trên trục số.

A. m  2. B. m2. C. 1 .

2

m  D. m 2.

Vấn đề 2. CẶP BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG
Câu 36. Bất phương trình 2 3 3 3

2 4 2 4

x

x x

  

  tương đương với

A. 2x 3. B. 3

2

x  và x 2. C. 3
2

x  . D. Tất cả đều đúng.
Câu 37. Bất phương trình 2x ₂_x3_₄  5 ₂_x3_₄ tương đương với:

A. 2x 5. B. 5

2

x  và x 2. C. 5
2

x  . D. Tất cả đều đúng.
Câu 38. Bất phương trình 2x 1 0 tương đương với bất phương trình nào sau đây?

A. 2x 1 _x_1 ₃  _x_1 ₃. B. 2 1 1 1 .

3 3

x

x x

   

 

C.



2x1



x2018  x2018. D. 2 1 1 .

2018 2018

x

x x

 _

 

Câu 39. Cặp bất phương trình nào sau đây là tương đương?

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

C. x 2 0 và _{x x}2



_{ }₂



_0. _D._x_{ }_{2 0}_và_{x x}2



_{ }₂



_0.

Câu 40. Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình x 5 0?
A.

  

x – 12 x  5



0. B. _{x x}2



_{ }₅



_0.

C. x5



x 5



0. D. x5



x 5



0.

Câu 41. Bất phương trình



x 1



x 0 tương đương với

A. x x



1



2 0. B.



x1



x 0. C.



x 1



2 x 0. D.



x 1



2 x 0.
Câu 42. Bất phương trình x 1 x tương đương với

A.



1 2 x x



 1 x



1 2 . x



B.



2x 1



x 1 x x



2 1 .



C.



₁__x2



_x_{ }₁ _x



₁__x2



_. _D._{x x} _{ }₁ _x2_.

Câu 43. Với giá trị nào của a thì hai bất phương trình

 

a1 x a  2 0 và

 

a– 1 x a  3 0 tương đương:

A. a 1. B. a 5. C. a 1. D. a2.

Câu 44. Với giá trị nào của m thì hai bất phương trình



m2



x m 1 và

 

3m x   1 x 1 tương đương:

A. m 3. B. m 2. C. m  1. D. m 3.
Câu 45. Với giá trị nào của m thì hai bất phương trình



m3



x 3m6 và



2m1



x m 2 tương đương:

A. m1. B. m0. C. m 4. D. m  0hoặcm4.

Vấn đề 3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Câu 46. Bất phương trình ax b 0 vô nghiệm khi:

A.  _{ }_ba ₀0.

 B.

0
.
0
a
b
 

 

 C.

0
.
0
a
b
 

 

 D.

0
.
0
a
b
 

 

Câu 47. Bất phương trình ax b 0 có tập nghiệm là  khi:

A.  _{ }_ba ₀0.

 B.

0
.
0
a
b
 

 

 C.

0
.

0
a
b
 

 

 D.

0
.
0
a
b
 

 

Câu 48. Bất phương trình ax b 0 vơ nghiệm khi:

A.  _{ }_ba ₀0.

 B.

0
.
0
a
b
 


 

 C.

0
.
0
a
b
 

 

 D.

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

A. S . B. S  



;2 .



C. 5 ; .
2

S   __ __

 D. S 20 ;23 .

 _

 

 _ _





Câu 50. Bất phương trình 3x₂5 1 x ₃ 2 x có bao nhiêu nghiệm nguyên lớn hơn 10?

A. 4. B. 5. C. 9. D. 10.

Câu 51. Tập nghiệm S của bất phương trình

 

1 2 x  3 2 2 là:

A. S   



;1 2 .



B. S  



1 2;



.C. S . D. S  .

Câu 52. Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình x

  

2 x x 7 x

  

6 x1 trên
đoạn __10;10__ bằng:

A. 5. B. 6. C. 21. D. 40.

Câu 53. Bất phương trình



₂_x_₁



_x_{    }₃



₃_x ₁

 

_x ₁ _x _{  }₃



_x2 ₅_{có tập nghiệm}

A. ; 2 .

3
S   __ __

 B. S 2 ;3 .

 _

 

  _ _

 C. S . D. S  .

Câu 54. Tập nghiệm S của bất phương trình 5

  

x  1 x 7    x



 2x là:

A. S . B. 5 ; .

2
S   __ __

 C.

5
; .

2
S  __ __

 D. S  .
Câu 55. Tập nghiệm S của bất phương trình



x 3

 

2  x 3



2 2 là:

A. 3 ; .

6

S _ _

 

 B. S 63 ; .

 _

 _



__ __

  C.

3

; .

6
S  _ _

 

 _ D.

3

; .

6
S  __ __

 

Câu 56. Tập nghiệm S của bất phương trình

  

_x_₁2 _{ }_x ₃



2 _{   }₁₅ _x2



_x ₄



2_là:
A. S  



;0 .



B. S  



0;



. C. S . D. S  .
Câu 57. Tập nghiệm S của bất phương trình x  x 



2 x 3



x 1



là:

A. S  



;3 .



B. S  



3;



. C. S  _3;



. D. S _{  }



;3 .
Câu 58. Tập nghiệm S của bất phương trình x  x  2 2 x2 là:

A.  

 

b 2 ac. B. S _{  }



;2 . C. S 

 

2 . D. S  _2;



.
Câu 59. Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình 2 4

4 4

x

x  x bằng:

A. 15. B. 11. C. 26. D. 0.

Câu 60. Tập nghiệm S của bất phương trình



x3



x 2 0 là:

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Câu 61. Bất phương trình



m1



x 3 vơ nghiệm khi

A. m1. B. m1. C. m 1. D. m 1.

Câu 62. Bất phương trình



_m2_₃_{m x m}



_{  }_{2 2}_x _{vô nghiệm khi}

A. m1. B. m2. C. m 1,m 2. D. m .

Câu 63. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để bất phương trình



_m2__{m x m}



_ _vơ
nghiệm.

A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.

Câu 64. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình



_m2__{m x m}



_{ }₆_x_₂_{vô nghiệm. Tổng các phần tử trong}_S_bằng:

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 65. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để bất phương trình mx  2 x m vô
nghiệm.

A. 0. B. 1. C. 2. D. Vơ số.

Câu 66. Bất phương trình



_m2_₉



_x _{ }₃ _m



_{1 6}_ _x



_{nghiệm đúng với mọi}_x_khi

A. m3. B. m3. C. m  3. D. m  3.

Câu 67. Bất phương trình ₄_{m x}2



₂ _₁



_



₄_m2_₅_m_₉



_x_₁₂_m_{nghiệm đúng với mọi}_x_khi

A. m 1. B. 9 .

4

m C. m 1. D. 9 .

4
m  
Câu 68. Bất phương trình _{m x}2

 

_₁ _₉_x_₃_m_{nghiệm đúng với mọi}_x_khi

A. m1. B. m 3. C. m  . D. m  1.

Câu 69. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình



x m m x



 3x4 có tập nghiệm là



  m 2;



.

A. m2. B. m2. C. m 2. D. m 2.

Câu 70. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình m x m







 x 1 có
tập nghiệm là



_{  };m 1.

A. m1. B. m1. C. m 1. D. m 1.

Câu 71. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m x

 

  1 2x 3 có
nghiệm.

A. m2. B. m2. C. m 2. D. m 2.
Câu 72. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m x

 

  1 3 x có
nghiệm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Câu 73. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình



_m2 _{ }_m ₆



_{x m}_{ }₁_có
nghiệm.

A. m 2. B. m2 và m  3. C. m . D. m  3.
Câu 74. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình _{m x}2 _{ }₁ _{mx m}_ _có
nghiệm.

A. m 1. B. m 0. C. m 0; m 1. D. m .

Câu 75. Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình mx 6 2x3m với m2. Hỏi tập
hợp nào sau đây là phần bù của tập S?

A.



3;



. B.  _3;



. C.



;3



. D.



_{ };3.
Câu 76. Tìm giá trị thực của tham số m để bất phương trình m



2x1



2x 1 có tập
nghiệm là  _1;



.

A. m 3 B. m1 C. m  1 D. m  2.

Câu 77. Tìm giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2x m 3

 

x1 có tập
nghiệm là



4;



.

A. m 1. B. m1. C. m  1. D. m1.

Câu 78. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình mx  4 0 nghiệm đúng
với mọi x 8.

A. 1 1; .
2 2
m  _ _

  B.

1
; .

2
m _ _

 _ C. m 1;2 .

 _

 

  _ _

 D.

1_;0 _{0; .}1

2 2

m  _   _{ }_{ }  _
 

 

Câu 79. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình





2 ₂ _{5 0}

m x  mx x   nghiệm đúng với mọi x  __ 2018;2__.

A. 7

2

m  . B. 7

2

m . C. 7

2

m  . D. m .

Câu 80. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình

 

2 ₂ ₀

m x    m x có nghiệm x  __ 1;2__.

A. m  2. B. m 2. C. m  1. D. m 2.
Vấn đề 4. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Câu 81. Giải hệ bất phương trình 2 1 0
3 5 0
x

x
 


  


A. . B. 5; .

3

 _

 

  C.

1
; .

2

_ 

 _

  D.

1 5
; .
2 3

 


 

Câu 82. Giải hệ bất phương trình ₂ 1 0 .
6 8 0

x

x x

 


 _ _{ }


</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Câu 83. Giải hệ bất phương trình ₂ 2 4 5 0
6 7 0

x x
x x
   


  


A.



  ; 5

 

7;



. B.



  ; 1

 

7;



.C.



   ; 5

 

1;



. D.



5;7 .



Câu 84. Giải hệ bất phương trình







2 6 0

.
4 3
3
2

x x
x
x
  


  _{ }


A.

 

2;6 . B. 2;9 .
2

 


  C.

 

2;6 . D. 92;6 .

 
 
 

Câu 85. Giải hệ bất phương trình









2 ₂

3

3 2

1 3 5

.

6 7 5 2

x x x

x x x x

    




    


A. 3 ; .

19

_ _

 

  B.

4

; .
5

 _

 

  C.

3 4
; .
19 5

 
 

  D. .

Câu 86. Giải hệ bất phương trình





2

2
4 1 0

2 0 .

2 5 2 0

x
x x

x x
  
 _ _

 _ _{ }

A.

 

0;2 . B. 1;2 .

2

 
 

  C.

1
; 2 .
2

 

 

  D.

 

0; 2 .

Câu 87. Giải hệ bất phương trình





2
1

0.

2
2 4 0

x
x
x
 
 
 
 _{ }


A. x2. _B.x 2. _C.x2. _D.x2_vàx1.
Câu 88. Giải hệ bất phương trình

2 1

2 1 3 _.
1
x x
x
 _
 _ _

 

A. 1;1 .

2

_ 

 

  B.

1
1; .

2

_ 

 

  C.





7
; 1 ;3 .

4

 
   _

  D. 12;1 .

 
 
 

Câu 89. Tìm các giá trị của mđể hệ bất phương trình 2 7 8 1

2 5 0

x x

x m
  


   

 vô nghiệm.

A. 7.
3

m  B. 7.

3

m C. 7.

3

m D. 7.

3
m 

Câu 90. Tìm các giá trị của mđể hệ bất phương trình 3 2 4 5

3 2 0

x x

x m

   


 _{  }

 có nghiệm.

A. m 5. _B.m 5. _C.m 5. _D.m 5.
Câu 91. Tập nghiệm S của hệ bất phương trình   _{   }2₂_x x₁ 0_x ₂

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

A. S   



; 3 .



B. S  



;2 .



C. S  

 

3;2 . D. S   



3;



.
Câu 92. Tập nghiệm S của hệ bất phương trình

2 1 ₁

3

4 3 ₃

2
x _x

x _x
 
 _{  }

 
 _{ }

là:
A. 2; .4

5
S  __ __

 B. S 4 ;5 .

 _

 _

__ __

 C. S   



; 2 .



D. S   



2;



.
Câu 93. Tập nghiệm S của hệ bất phương trình

1 ₁
2
5 2
3 ₂
x _x
x

x
 
 _{  }

 
  

là:

A. ; 1 .

4
S   __ __

 B. S  



1;



. C. S 1 ;1 .4

 _

 _

 __ __

 D. S  .
Câu 94. Tập nghiệm S của hệ bất phương trình 2 1 _{2018 2}2017

3
2
x x
x
x

    

 
  

 là:

A. S  . B. 2012 2018; .

8 3

S  __ __
 C.

2012

; .

8
S  __ __

 D. S 2018 ;3 .

 _

 _

__ __

Câu 95. Tập 1;3

2
S  _ _



 là tập nghiệm của hệ bất phương trình sau đây ?
A.   _{  }2(_x x 1) 1₁ .

 B.

2( 1) 1

.
1
x
x
  

  
 C.

2( 1) 1

.
1
x
x
  


  
 D.

2( 1) 1

.
1
x
x
  

  

Câu 96. Tập nghiệm S của bất phương trình

 





2 1 3

2 3 1

x x

x x

   



  

 là:

A. S  

 

3;5 . B. S _{  }



3;5 . C. S  _ 3;5 .



D. S  __ 3;5 .__
Câu 97. Biết rằng bất phương trình

1 2 3

5 3 ₃

2
3 5
x x
x _x
x x
   
 
 _{ }

  


có tập nghiệm là một đoạn  _{ }_{ }a b; . Hỏi
a b bằng:

A. 11.

2 B. 8. C. 9 .2 D. 47 .10

Câu 98. Số nghiệm nguyên của hệ bất phương trình

5

6 4 7

7

8 _{3 2 25}

2
x x
x _x
   

 
 _ _

là:

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Câu 99. Tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình





2
2

5 2 4 5

2

x x

x x

   


  

 bằng:

A. 21. B. 27. C. 28. D. 29.

Câu 100. Cho bất phương trình

 





2 ₂

3 ₃ ₂

1 8 4

2 6 13 9

x x x

x x x x

    


     

 . Tổng nghiệm nguyên lớn nhất

và nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình bằng:

A. 2. B. 3. C. 6. D. 7.

Câu 101. Hệ bất phương trình   _{  }2_{x m}x 1 0₂

 có nghiệm khi và chỉ khi:

A. 3 .

2

m  B. 3 .

2

m  C. 3 .

2

m   D. 3 .

2
m  
Câu 102. Hệ bất phương trình 3₅



6



3

7

2

x
x m

   


 

 _

 có nghiệm khi và chỉ khi:

A. m 11. B. m 11. C. m  11. D. m  11.
Câu 103. Hệ bất phương trình 2 1 0

0
x

x m
  


  

 có nghiệm khi và chỉ khi:

A. m1. B. m1. C. m 1. D. m 1.

Câu 104. Hệ bất phương trình

_

₂2 0

_

1 4

x

m x

  


  

 có nghiệm khi và chỉ khi:

A. m1. B. m1. C. m  1. D.   1 m 1.
Câu 105. Hệ bất phương trình







2



1 2 2 1
m mx

m mx m

  



   

 có nghiệm khi và chỉ khi:

A. 1 .

3

m B. 0 1.

3
m

  C. m 0. D. m 0.

Câu 106. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình   _{  }2_{x m}x 1 3₀

 có

nghiệm duy nhất.

A. m2. B. m2. C. m 2. D. m 1.
Câu 107. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình 2 6

3 1 5

m x x

x x

  



   

 có

nghiệm duy nhất.

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>





2 ₂

3 7 1

2xm 8 5xx x
    


 _{ }

 có nghiệm duy nhất.

A. 72

13

m  . B. 72

13

m . C. 72

13

m  . D. 72

13

m  .

Câu 109. Tìm giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình

_

_

3

3 9

mx m

m x m

  


   

 có

nghiệm duy nhất.

A. m 1. B. m 2. C. m 2. D. m  1.

BÀI 3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT
Vấn đề 1. XÉT DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT

Câu 110. Cho biểu thức f x

 

2x4. Tập hợp tất cả các giá trị của x để f x

 

0 là
A. x  _2;



. B. 1 ; .

2
x _ _



 C. x



;2 .



   D. x  



2;



.

Câu 111. Cho biểu thức f x

  

 x 5 3



x



. Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất
phương trình là

A. x    ;5 3; . B. x 3; .

C. x  5;3 . D. x     ; 5 3; .f x

 

0

Câu 112. Cho biểu thức f x

  

x x2 3



x



. Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất
phương trình f x

 

0 là

A. x 

  

0;2  3;



. B. x    



;0

 

3;



.
C. x    



;0_



2;



. D. x   



;0

  

2;3 .
Cho biểu thức _{f x}

 

_₉_x2__1._{Tập hợp tất cả các giá trị của}_x_để_{f x}

 

_₀_là

A. 1 1; .
3 3
x  _ _

  B.

1 1

; ; .

3 3

x    __ _ _ __ __

   

C. ; 1 1; .

3 3

x    __   _{ } __


  D.

1 1_{; .}
3 3
x  __ __



Cho biểu thức _{f x}

  

_ ₂_x_₁





_x3__{1 .}



_{Tập hợp tất cả các giá trị của}_x_{thỏa mãn bất phương}
trình f x

 

0 là

A. 1 ;1 .
2
x _{  } 

  B.





1

; 1; .

2

x     __ __


C. ;1 1;



.

2

x    __ _ __

 D. x 1 ;1 .2

 _

 _

  _{ }
Câu 113. Cho biểu thức

 

1 .

3 6

f x
x


</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

A. x _{  }



;2 . B. x  



;2 .



C. x  



2;



. D. x  _2;



.
Câu 114. Cho biểu thức

  

3 2





.

1

x x

f x

x

 



 Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất
phương trình f x

 

0 là

A. x     



; 3

 

1;



. B. x  

  

3;1  2;



.
C. x  

 

3;1 

 

1;2 . D. x    



; 3



 

1;2 .

Câu 115. Cho biểu thức f x

  

 4x₄8 2_



_xx



. Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất
phương trình f x

 

0 là

A. x _{    }



; 2__{ } 2;4 .



B. x  



3;



.

C. x  

 

2;4 . D. x  

  

2;2  4;



.
Câu 116. Cho biểu thức

 







5 1

 

3 .
x x

f x

x x




  Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất
phương trình f x

 

0 là

A. x    



;0_



3;



. B. x   



;0_

 

1;5 .
C. x __0;1



__3;5 .



D. x   



;0



 

1;5 .
Câu 117. Cho biểu thức

 

4₂ 12 .

4
x
f x

x  x



 Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất
phương trình f x

 

0 là

A. x 



0;3_ 



4;



. B. x _{   }



;0 _{ }_ 3;4 .



C. x _{   }



;0



3;4 .



D. x   



;0



 

3;4 .

Câu 118. Cho biểu thức f x

 

 2_x_x₁2. Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất
phương trình f x

 

0 là

A. x   



; 1 .



B. x   



1;



.

C. x   



4; 1 .



D. x      



; 4

 

1;



.
Câu 119. Cho biểu thức

 

1 2 .

3 x2
f x

x
 

 Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất
phương trình f x

 

0 là

A. 2 ;1 .
3
x _{  }_ _

  B. x ;23



1;



.

 _

 _

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

C. 2 ;1 .
3
x _{  } 

  D. x



;1



23; .

 _

 _

  __ __

Câu 120. Cho biểu thức

 

4 3 .

3 1 2

f x  _x_  __x Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất
phương trình f x

 

0 là

A. 11 1; 2;



.

5 3

x  __   _{ }_ _

 B.





11 1_; _2; _.

5 3

x  __   __


C. ; 11 1;2 .

5 3

x   __  _ __ __

 _   D.

11 1

; ;2 .

5 3

x   __  __ __ __

   

Câu 121. Cho biểu thức

 

1 2 3 .

4 3

f x

x x x

  

  Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn
bất phương trình f x

 

0 là

A. x     



12; 4

  

3;0 . B. 11 1;



2;



.

5 3

x  __   __


C. ; 11 1;2 .

5 3

x   __  _ __ __

 _   D.

11 1

; ;2 .

5 3

x   __  __ __ __

   

Câu 122. Cho biểu thức

  

3₂



2



.
1

x x

f x

x

 



 Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên âm của
x thỏa mãn bất phương trình f x

 

1?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Vấn đề 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Câu 123. Tập nghiệm của bất phương trình



2x 8 1

 

 x 0_{có dạng}

 

a b; . Khi đó b a
bằng

A. 3. B. 5. C. 9. D. không giới hạn.

Câu 124. Tập nghiệm S  

 

4;5 là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A.



x 4



x 5



0. B.



x 4 5



x25



0.

C.



x4 5



x25



0. D.



x4



x 5



0.

Câu 125. Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình



x3

 

x 1 0 là

A. 1. B. 4. C. 5. D. 4.

Câu 126. Tập nghiệm S _{  } _{ }0;5 là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A. x x



 5



0. B. x x



 5



0. C. x x



 5



0. D. x x



 5



0.
Câu 127. Nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình x x



2



x  1



0 là

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Câu 128. Tập nghiệm S   



;3

  

5;7 là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A.



x 3



x5 14 2



 x



0. B.



x3



x5 14 2



 x



0.

C.



x3



x5 14 2



 x



0. D.



x 3



x5 14 2



 x



0.

Câu 129. Hỏi bất phương trình

  

2x x 1 3 x



0 có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên
dương?

A. 1. B. 3. C. 4. D. 2.

Câu 130. Tích của nghiệm nguyên âm lớn nhất và nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của bất
phương trình



3x6



x2



x2

 

x 1 0 là

A. 9. B. 6. C. 4. D. 8.

Câu 131. Tập nghiệm của bất phương trình 2 4x



x



3x



3 x



0 là

A. Một khoảng B. Hợp của hai khoảng.

C. Hợp của ba khoảng. D. Toàn trục số.

Câu 132. Nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình

  

x1 x x  2



0 là

A. x  2. B. x 0. C. x 1. D. x 2.

Vấn đề 3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
Câu 133. Bất phương trình ₂2_x _x₁ 0 có tập nghiệm là

A. 1 ;2 .

2
S  __ __

 B. S 21 ;2 .

 

 

 _ _

  C. S 21 ;2 .

 

 _

 _ _

 _ D. S 1 ;2 .2

 _

 _

 __{ }__
Câu 134. Tập nghiệm của bất phương trình



3



2



0 

1
x x
x

 



 là

A. S  



1;2_{ }_{ } 3;



. B. S _{    }



;1



 _{ }2;3 .
C. S  __ 1;2_{ }_{ }  3;



. D. S  

  

1;2  3;



.
Câu 135. Bất phương trình 3 1

2x  có tập nghiệm là

A. S  

 

1;2 . B. S  _ 1;2 .



C. S     



; 1

 

2;



. D. S     



; 1 _{ }_{ }2;



.
Câu 136. Tập nghiệm của bất phương trình 2 ₂ 3 1

4

x x

x   là

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

Câu 137. Bất phương trình 4 2 0

1 1

x x   có tập nghiệm là

A. S     



; 3

 

1;



. B. S     



; 3



 

1;1 .
C. S     



3; 1

 

1;



. D. S  

  

3;1   1;



.
Câu 138. Bất phương trình 3 5

1x 2x1 có tập nghiệm là

A. ; 1 2 ;1 .

2 11

S    __ _ _ _ __

 _  B.





1 2_; _1; _.

2 11

S  __ __ 


C. ; 1 2 ;1 .

2 11

S    __   _{ } __


  D.

1 2

; ;1 .

2 11

S    __ __  __ __

   

Câu 139. Bất phương trình _x2_x₁_x_1 ₁2 có tập nghiệm là
A. 1;1



1;



.

3

S  _ _ 

 _ B. S     



; 1



1;



.

C. 1;1



1;



.

3

S  _ __ 

  D.



1

; 1 ;1 .

3
S _{     } _{ }_  _

 
Câu 140. Bất phương trình 1 2 3

4 3

x x  x  có tập nghiệm là

A. S   



; 12

   

 4;3  0;



. B. S     _ 12; 4

  

3;0 .
C. S   



; 12



 __ 4;3__ 



0;



. D. S     



12; 4

  

3;0 .
Câu 141. Bất phương trình

 

2

1 1

1 ₁

x   _x_ có tập nghiệm S là

A. T    



; 1



 

0;1 _{  }_{ } 1;3 . B. T  _ 1;0

 

  3;



.
C. T    



; 1



   

0;1  1;3 . D. T  



1;0_  



3;



.
Câu 142. Bất phương trình ₂ 4 2 4 ₂

3

9 3

x x

x

x     x x có nghiệm nguyên lớn nhất là

A. x 2. B. x 1. C. x  2. D. x  1.

BÀI 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
NHIỀU ẨN

Vấn đề 1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Câu 143. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
A. ₂_x2 _₃_y__0. _B._x2_{ }_y2 _2. _C._{x y}_{ }2 _0. _D._{x y}_{ }_0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

A. Bất phương trình

 

1 chỉ có một nghiệm duy nhất.
B. Bất phương trình

 

1 vơ nghiệm.

C. Bất phương trình

 

1 ln có vơ số nghiệm.
D. Bất phương trình

 

1 có tập nghiệm là .

Câu 145. Miền nghiệm của bất phương trình: 3x 2



y 3

  

4 x   1 y 3 là nửa mặt
phẳng chứa điểm:

A.

 

3;0 . B.

 

3;1 . C.

 

2;1 . D.

 

0;0 .

Câu 146. Miền nghiệm của bất phương trình: 3

  

x 1 4  y 2



5x3 là nửa mặt phẳng
chứa điểm:

A.

 

0;0 . B.

 

4;2 . C.

 

2;2 . D.

 

5;3 .

Câu 147. Miền nghiệm của bất phương trình   x 2 2

   

y 2 2 1x là nửa mặt phẳng
không chứa điểm nào trong các điểm sau?

A.

 

0;0 . B.

 

1;1 . C.

 

4;2 . D.

 

1;1 .

Câu 148. Trong các cặp số sau đây, cặp nào khơng thuộc nghiệm của bất phương trình:
4 5  0

x  y

A.

 

5;0 . B.

 

2;1 . C.

 

0;0 . D.

 

1;3 .
Câu 149. Điểm A

 

1;3 là điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình:

A.    3x 2y 4 0. B. x 3y 0. C. 3x y 0. D. 2x y  4 0.
Câu 150. Cặp số

 

2;3 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. 2 – 3 – 1 0x y  . B. x y– 0. C. 4x 3y. D. x – 3y 7 0.
Câu 151. Miền nghiệm của bất phương trình x y 2 là phần tơ đậm trong hình vẽ của
hình vẽ nào, trong các hình vẽ sau?

A. B.

x
y

2
2

O

x
y

2
2

O

x
y

2
2

O

x
y

2
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

C. D.

Câu 152. Phần tơ đậm trong hình vẽ sau, biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào
trong các bất phương trình sau?

A. 2x y 3. B. 2x y 3. C. x 2y 3. D. x 2y 3.
Vấn đề 2. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Câu 153. Cho hệ bất phương trình    _{   }₂x_{x y}3y 2 0_{1 0}

 . Trong các điểm sau, điểm nào thuộc
miền nghiệm của hệ bất phương trình?

A. M

 

0;1 . B. N

 

–1;1 . C. P

 

1;3 . D. Q

 

–1;0 .
Câu 154. Cho hệ bất phương trình 22 5 5 01 0

1 0

x y

x y
x y

   

 _{  }
 _{  }


. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc
miền nghiệm của hệ bất phương trình?

A. O

 

0;0 . B. M

 

1;0 . C. N

 

0; 2 . D. P

 

0;2 .

Câu 155. Miền nghiệm của hệ bất phương trình

1 0
2 3

0

1 3 ₂

2 2

x y
x

y
x

   


 



   


chứa điểm nào trong các
điểm sau đây?

A. O

 

0;0 . B. M

 

2;1 . C. N

 

1;1. D. P

 

5;1 .
Câu 156. Miền nghiệm của hệ bất phương trình

3 9

3

2 8

6
x y
x y

y x

y

  
  


  

 


chứa điểm nào trong các điểm
sau đây?

A. O

 

0;0 . B. M

 

1;2 . C. N

 

2;1 . D. P

 

8;4 .
Câu 157. Điểm M

 

0; 3 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trìnhnào sau đây?

3
2

-3
O

y

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

A.   _{  }2₂x y_x ₅_y 3₁₂_x_₈.

 B.

2 3

.

2 5 12 8

x y

x y x

  


   


C. _{ }   2₂_xx y₅_y _₁₂3_x_₈.

 D.

2 3

.

2 5 12 8

x y

x y x

   


   


Câu 158. Cho hệ bất phương trình 2 0

2 3 2 0

x y

x y

   


   

 . Trong các điểm sau, điểm nào không
thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?

A. O

 

0;0 . B. M

 

1;1 . C. N

 

1;1 . D. P



 1; 1 .



Câu 159. Miền nghiệm của hệ bất phương trình 23 0 2

3

x y

x y

y x
  
 _ _{ }
 _{ }


là phần khơng tơ đậm của
hình vẽ nào trong các hình vẽ sau?

A. B.

C. D.

Câu 160. Miền nghiệm của hệ bất phương trình 2 1 0

2 3

x y
y

x y

   
 _

_{ } _


là phần khơng tơ đậm của
hình vẽ nào trong các hình vẽ sau?

A. B. C. D.

O
y

x

1
2
1

-3 O

y

x

1
2
1

-3 O

y

x

1
2
1

-3 O

y

x

1
2
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

Câu 161. Phần không tô đậm trong hình vẽ dưới đây (khơng chứa biên), biểu diễn tập
nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?

A.   _{  }₂x y_{x y} 0₁.

 B.

0
.

2 1

x y
x y
  


  

 C.

0
.

2 1

x y
x y
  


  

 D.

0
.

2 1

x y
x y
  


  


Câu 162. Phần khơng tơ đậm trong hình vẽ dưới đây (không chứa biên), biểu diễn tập
nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?

A.   _{ }x_x 2₃y_y_{ }0 ₂.

 B.

2 0

.

3 2

x y

x y

  


   

 C.

2 0

.

3 2

x y

x y

  


   

 D.

2 0

.

3 2

x y

x y

  


   



Câu 163. Cho bất phương trình . Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương
trình đã cho?

A.

 

1;0 . B.



 1; 1 .



C.

 

2;0 . D.

 

1;2 .

Câu 164. Cho bất phương trình 2x3y 5 0. Cặp số nào sau đây khơng là nghiệm của bất
phương trình đã cho?

A.

 

1;0 . B.



 1; 1 .



C.

 

2;0 . D.



1; 2 .



Câu 165. Cho bất phương trình 3x y  1 0. Cặp số nào sau đây khơng là nghiệm của bất
phương trình đã cho?

A.



1;0 .



B.



 1; 1 .



C.

 

2;0 . D.



1; 2 .



Câu 166. Miền khơng bị gạch chéo (kể cả biên) ở hình bên biểu diễn miền nghiệm của bất
phương trình nào?

A. x y  1 0. B. x y  1 0.
C.    x y 1 0. D. x y  1 0.

y

x
O

1
-1
1

x
y

-2

2
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

Câu 167. Miền không bị gạch chéo (kể cả biên) biểu diễn miền nghiệm của bất phương
trình nào?

A. 3x y  1 0 B. 3x y  1 0 C. 3x y  1 0 C. 3x y  1 0
Câu 168. Hình biểu diễn miền nghiệm sau (kể cả biên) là của bất phương trình nào?

A. 2x y  1 0 B. 2x y  1 0 C. 2x y  1 0 C. 2x y  1 0
Câu 169. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T 2x2y3 trên miền nghiệm của hệ bất

phương trình

0 5

0 10

1
3 5

1

2 2

x
y

x y

x y

 

  




  


 _{ }




, biết miền nghiệm là một đa giác và T có giá trị nhỏ nhất tại một

đỉnh của đa giác đó.

A. 17. B. 19. C. 7. D. 0.

Câu 170. Một nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích 8a. Nếu trồng đậu thì cần 20
công và thu 3 triệu mỗi a, nếu trồng cà thì cần 30 cơng và thu 4 triệu trên mỗi a. Hỏi cần
trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số công
không quá 180?

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

C. Trồng đậu 8a. D. Trồng đậu 8a cà.

HD giải

Gọi x là diện tích trồng đậu, y là diện tích trồng cà ( đơn vị _a_₁₀₀_m2),
điều kiện x0;y0, ta có x y 8.

số cơng cần dùng 20x30y180hay x2 3y18.

số tiền thu được F 3000000x4000000y (đồng)
hay F 3x4y_{( triệu đồng)}

Ta cần tìm x y; thỏa mãn hệ bất phương trình
8

2 3 18

0
0
x y
x y
x
y
 

 _ _

 

 


sao cho F 3x4y đạt giá trị lớn nhất.

BÀI 5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Vấn đề 1. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Câu 171. Cho _{f x}

 

__ax2_{ }_{bx c a}



__{0 .}



_{Điều kiện để}_{f x}

 

__0,_{ }_x __là
A.  _{ }a 0₀.

 B.
0
.
0
a
 

 
 C.
0
.
0
a
 

 
 D.
0
.
0
a
 

 

Câu 172. Cho _{f x}

 

__ax2_{ }_{bx c a}



_₀



_{. Điều kiện để}_{f x}

 

_{  }_0, _x __là

A. 0

0
a
 

 

 . B.

0
0
a
 

 
 C.
0
0
a
 

 
 D.
0
0
a
 

 
 .

Câu 173. Cho _{f x}

 

__ax2_{ }_{bx c a}



_₀



_{. Điều kiện để}_{f x}

 

_{  }_0, _x __là

A. 0

0
a
 

 

 . B.

0
0
a
 

 
 C.
0
0
a
 

 
 D.
0
0
a
 


 
 .

Câu 174. Cho _{f x}

 

__ax2_{ }_{bx c a}



_₀



_{. Điều kiện để}_{f x}

 

_{  }_0, _x __là
A.  _{ }a 0₀

 . B.

0
0
a
 

 
 C.
0
0
a
 

 
 D.
0
0
a
 

 
 .

Câu 175. Cho _{f x}

 

__ax2_{ }_{bx c a}



_₀



_có_{  }_b2 ₄_ac_₀_{. Khi đó mệnh đề nào đúng?}
A. f x

 

0,   x . B. f x

 

0,   x .

C. f x

 

không đổi dấu. D. Tồn tại x để f x

 

0.
Câu 176. Tam thức bậc hai _{f x}

 

_₂_x2_{ }₂_x ₅_{nhận giá trị dương khi và chỉ khi}

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

A. x  



;2 .



B.



3;



. C. x  



2;



. D. x 

 

2;3 .
Câu 178. Tam thức bậc hai _{f x}

 

_{ }_x2

 

_{5 1}_ _x_ ₅_{nhận giá trị dương khi và chỉ khi}

A. x  

 

5;1 . B. x  



5;



.
C. x   



; 5



 



1;



. D. x  



;1 .



Câu 179. Tam thức bậc hai _{f x}

 

_{   }_x2 ₃_x ₂_{nhận giá trị không âm khi và chỉ khi}
A. x    



;1

 

2;



. B. x _{  } _{ }1;2 .

C. x    



;1_{ }_{ } 2;



. D. x 

 

1;2 .

Câu 180. Số giá trị nguyên của x để tam thức _{f x}

 

_₂_x2_{ }₇_x ₉_{nhận giá trị âm là}

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Câu 181. Tam thức bậc hai _{f x}

 

_{  }_x2



₁ ₃



_x_{ }_{8 5 3}_:

A. Dương với mọi x . B. Âm với mọi x .
C. Âm với mọi x   



2 3;1 2 3



. D. Âm với mọi x  



;1



.
Câu 182. Tam thức bậc hai _{f x}

 

_{ }

  

₁ ₂ _x2_{ }_{5 4 2}



_x__{3 2 6}_

A. Dương với mọi x . B. Dương với mọi x  



3; 2



.
C. Dương với mọi x  



4; 2



. D. Âm với mọi x .

Câu 183. Cho _{f x}

 

_{ }_x2 ₄_x _₃_{. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề đúng là:}
A. f x

 

     0, x



;1_{ }_{ } 3;



B. f x

 

_{    }0, x _1;3_
C. f x

 

     0, x



;1

 

3;



D. f x

 

_{    }0, x _1;3_

Câu 184. Dấu của tam thức bậc 2: _{f x}

 

_ _–_x2 __{5 – 6}_x _{được xác định như sau:}
A. f x

 

0với 2 x 3 và f x

 

0với x 2hoặcx 3.

B. f x

 

0với –3 x –2và f x

 

0với x –3hoặcx –2.
C. f x

 

0với 2 x 3và f x

 

0với x 2hoặcx 3.
D. f x

 

0với –3 x –2và f x

 

0với x –3hoặcx –2.

Câu 185. Cho các tam thức _{f x}

 

_₂_x2_₃_x__4;_{g x}

 

_{  }_x2 ₃_x__4;_{h x}

 

_{ }_{4 3}_x2_{. Số tam}
thức đổi dấu trên  là:

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

A. – ;–3 5;



2

 

 _ _{ } _

 _

  

 

 _ . B.

3
– ;5

2

 

 

 

 .
C.



; 5 3;

2

 _

  

  _{ } _


 . D.

3
5;

2

 

 

 

 .
Câu 187. Tập nghiệm của bất phương trình: _–_x2_₆_x_{ }_{7  0}_là:

A.



   ; 1 _{ }_{ }7;



. B. __1;7__.
C.



   ; 7 _{ }_{ }1;



. D. __7;1__.
Câu 188. Giải bất phương trình _₂_x2 _₃_x_{ }_{7 0.}

A. S 0. B. S 

 

0 . C. S  . D. S  .
Câu 189. Tập nghiệm của bất phương trình _x2_{  }₃_x _{2 0}_là:

A.



  ;1

 

2;



. B.



2;



. C.

 

1;2 . D.



;1 .



Câu 190. Tập nghiệm của bất phương trình _{   }_x2 ₅_x _{4 0}_là

A.  _{ }_{ }1;4 . B.

 

1;4 . C.



  ;1

 

4;



. D.



  ;1 _{ }_{ }4;



.
Câu 191. Tập nghiệm của bất phương trình ₂_x2_



_{2 1}_



_x _{ }_{1 0}_là:

A. 2 ;1 .
2
 _

 _

 _

 _

 

  B. . C. 22 ;1 .

 

 

 

 

  D.





2

; 1; .

2

 _

 _

  

 _

 

 

Câu 192. Tập nghiệm của bất phương trình ₆_x2_{  }_x _{1 0}_là
A. 1 1;

2 3

 

 

 

 . B.

1 1_;
2 3

 _

_ _

 _

 

 .

C. ; 1 1;

2 3

  _ _

_{  }_  __

 _  _

   

 

   . D.

1 1

; ;

2 3

   _

_{  }_{ } __

 _

   

 _{ } .

Câu 193. Số thực dương lớn nhất thỏa mãn _x2_{  }_x _{12 0}_{là ?}

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 194. Bất phương trình nào sau đây có tập nghiệm là ?

A. _₃_x2 __x_{ }_{1 0.} _B._₃_x2_{  }_x _{1 0.} _C._₃_x2 _{  }_x _{1 0.} _D.₃_x2 _{  }_x ₁ ₀_.
Câu 195. Cho bất phương trình _x2_₈_x_{ }_{7 0}_{. Trong các tập hợp sau đây, tập nào có chứa}
phần tử khơng phải là nghiệm của bất phương trình.

A.



_{ };0 . B. 8;



. C.



_{ };1 . D. 6;



.
Vấn đề 2. ỨNG DỤNG VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Câu 196. Giải bất phương trình _{x x}



_{ }₅



₂



_x2__{2 .}



</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

Câu 197. Biểu thức



₃_x2_₁₀_x __{3 4}





_x_₅



_{âm khi và chỉ khi}

A. ; .5

4
x  __ __

 B.

1 5

; ;3 .

3 4

x  __  ____ __

   

C. 1 5;



3;



.
3 4

x __ __ 

 D. x 1 ;3 .3

 _

 _

 __{ }__
Câu 198. Cặp bất phương trình nào sau đây là tương đương?

A. x 2 0 và _{x x}2



_{ }₂



_0. _B._x_{ }_{2 0}_và_{x x}2



_{ }₂



_0.
C. x 2 0 và _{x x}2



_{ }₂



_0. _D._x_{ }_{2 0}_và_{x x}2



_{ }₂



_0.
Câu 199. Biểu thức



₄__{x x}2



2_{ }₂_x ₃



_x2 _₅_x _₉



_{âm khi}

A. x 

 

1;2 . B. x    



3; 2

  

1;2 .

C. x 4. D. x     



; 3

   

2;1  2;



.

Câu 200. Tập nghiệm của bất phương trình _x3_₃_x2_{  }₆_x _{8 0}_là

A. x     __ 4; 1__{ } _2;



. B. x     



4; 1

 

2;



.
C. x   _ 1;



. D. x     



; 4 _{ }_{ } 1;2 .__

Vấn đề 3. ỨNG DỤNG VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

Câu 201. Biểu thức

 

11₂ 3

5 7

x
f x

x x




   nhận giá trị dương khi và chỉ khi

A. 3 ; .

11
x  __ __

 B. x 113 ;5 .

 _

 _

 __ __

 C.

3

; .

11
x   __ __

 D.

3

5; .

11
x   __ __


Câu 202. Tập nghiệm S của bất phương trình ₂ 7 0

4 19 12

x

x x

 _

  là

A. ;3

 

4;7 .
4

S  __ __

 B. S 43 ;4 7;





.

 _

 _

__ __ 


C. 3 ;4 4;





.
4

S __ __ 

 D. S 43 ;7 7;





.

 _

 _

__ __ 


Câu 203. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn ₂ 3 1 2 ₂
2

4 2

x x

x

x     x x ?

A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.

Câu 204. Tập nghiệm S của bất phương trình 2₂ 2 7 7 1

3 10

x x

x x

  

 

  là

A. Hai khoảng. B. Một khoảng và một đoạn.

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

Câu 205. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình ₂ 4 2 0

5 6

x x

x  x  ?

A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.

Vấn đề 4. ỨNG DỤNG VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
ĐỂ TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ

Câu 206. Tìm tập xác định D của hàm số _y _ ₂_x2_{ }₅_x _2.
A. D ; .1

2

 

 _

 _ _

 _ B. D 2;



.

C. D ;1 2;



.

2
 _{ }
 _
   __ _{ }_
 D.
1

D ;2 .

2
 
 
  _ _

Câu 207. Giá trị nguyên dương lớn nhất để hàm số _y _ _{5 4}_{ }_{x x}2_{xác định là}

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 208. Tìm tập xác định D của hàm số _y _



₂_ ₅

 

_x2_ _{15 7 5}_



_x _{ }_{25 10 5.}
A. D. B. D 



;1 .



C. D __ 5;1 .__ D. D __ 5; 5 .__
Câu 209. Tìm tập xác định D của hàm số

2
3 _.
4 3
x
y
x x



 

A. D \ 1; 4 .

 

 B. D __ 4;1 .__ C. D 

 

4;1 . D. D   



;4

 

1;



.
Câu 210. Tìm tập xác định D của hàm số 2

2

1 _.

3 4 1

x
y
x x


 

A. D \ 1; .1
3
 
 
 
  _{ }
 
 

 B. D 1;1 .

3
 _

 _

  _{ }
C. D ;1



1;



.

3

 _

 _

 __ __ 

 D.



1

D ; 1; .

3

 _{ }

 _

 __ _{ } _


Câu 211. Tìm tập xác đinh D của hàm số 2 ₆ 1 _.
4

y x x

x

   


A. D    __ 4; 3 _{ }_ _2;



. B. D  



4;



.

C. D    



; 3 _{ }_{ }2;



. D. D    



4; 3 _{ }_{ }2;



.
Câu 212. Tìm tập xác định D của hàm số 2 ₂ ₃ 1 _.

5 2

y x x

x

   



A. D 5; .
2
 _
 

 _ _

 B.
5

D ; .

2

 

 _

 _ _

 _ C. D 52; .

 _

 _

__ __

 D.

5

D ; .

2

 _

 _

 __ __

Câu 213. Tìm tập xác định D của hàm số

 

₂3 3 1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

A. D _4;



. B. D   



5; 3__



3;4 .__
C. D  



; 5 .



D. D 

 

5;3 



3;4 ._

Câu 214. Tìm tập xác định D của hàm số 2₂ 5 4 .
2x 3x 1
y

x  x


 

A. D 4; 1



1; .

2

 _



 _

     __ __ __

 B.



1

D ; 4 1; .

2

 _



 _

     _{ }_ _ __


C. D



; 4 1; .

2

 _



 _

     _{ }_ _ __

 D.

1

D 4; .

2

 _

 

   _ _


Câu 215. Tìm tập xác định D của hàm số _{f x}

 

_ _x2_{  }_x _{12 2 2.}

A. D 



5;4 ._ B. D    



; 5

 

4;



.
C. D    



; 4 _{ }_{ }3;



. D. D    



; 5 _{ }_{ }4;



.

Vấn đề 5. TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
VƠ NGHIỆM – CÓ NGHIỆM – CÓ HAI NGHIỆM PHÂN BIỆT

Câu 216. Phương trình _x2_



_m_₁



_x _{ }_{1 0}

vơ nghiệm khi và chỉ khi

A. m1. B.   3 m 1.

C. m 3 hoặc m 1. D.   3 m 1.

Câu 217. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình sau vô nghiệm
1

2
m  

A. m. B. m3. C. m 2 D. 3 .

5
m  
Câu 218. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình



_m_₂



_x2__{2 2}



_m_₃



_x_₅_m_{ }_{6 0}_{vơ nghiệm?}
A. m0. B. m2. C.   m_m ₁3.

 D.

2
.

1 3

m
m
 


  


Câu 219. Phương trình _mx2_₂_mx _{ }_{4 0}_{vơ nghiệm khi và chỉ khi}
A. 0 m 4. B.   m_m 0₄.

 C. 0 m 4. D. 0 m 4.

Câu 220. Phương trình



_m2_₄



_x2 _₂



_m_₂



_x_{ }_{3 0}_{vơ nghiệm khi và chỉ khi}
A. m0. B. m 2. C.   m_m 2 ₄.

 D.

2
.
4
m
m
 
 


</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

nghiệm?

A. b __ 2 3;2 3 .__ B. b 



2 3;2 3 .



C. b  



; 2 3_{ }_{ }  2 3;



. D. b  



; 2 3

 

 2 3;



.
Câu 222. Phương trình _x2 _₂₍_m_₂₎_x_₂_m_{ }_{1 0}₍_m_{là tham số) có nghiệm khi}

A.     m_m 1₅.

 B.    5 m 1. C.

5
.
1
m
m
  
 

 D.

5
.
1
m
m
  
 

Câu 223. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình





2 2

2x 2 m2 x 3 4m m  0có nghiệm?

A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.

Câu 224. Tìm các giá trị của m để phương trình



_m_₅



_x2_₄_{mx m}_{  }_{2 0}_{có nghiệm.}

A. m 5. B. 10 1.

3 m

   C. 10₃ .

1
m
m
 
 _

 D.

10
.
3

1 5

m
m
 
 _{ }


Câu 225. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho phương trình



_m_₁



_x2_₂



_m_₃



_{x m}_{  }_{2 0}_{có nghiệm.}

A. m  . B. m. C.   1 m 3. D.   2 m 2.
Câu 226. Các giá trị m để tam thức _{f x}

 

_{ }_x2



_m_₂



_x_₈_m_₁_{đổi dấu 2 lần là}

A. m 0 hoặc m28. B. m 0 hoặc m28.

C. 0 m 28. D. m0.

Câu 227. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình





2 ₁ 1 ₀

3

x  m x m   có nghiệm?

A. m . B. m1. C. 3 1.

4 m

   D. 3 .

4
m  
Câu 228. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình



_m_₁



_x2_



₃_m_₂



_x _{ }_{3 2}_m_₀_{có hai nghiệm phân biệt?}

A. m . B. 2 m 6. C.   1 m 6. D.   1 m 2.
Câu 229. Phương trình



_m_₁



_x2_{   }₂_{x m} _{1 0}_{có hai nghiệm phân biệt khi}

A. m \ 0 .

 

B. m  



2; 2 .



C. m 



2; 2 \ 1 .



 

D. m  __ 2; 2 \ 1 .__

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

A. ; 3



1;



\ 3 .

 

5

m    __ __

 B. m 3 ;1 .5

 _

 _

 __ __


C. 3 ; .

5
m  __ __

 D. m \ 3 .

 

Vấn đề 6. TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ
NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Câu 231. Tìm m để phương trình _x2__{mx m}_{  }_{3 0}_{có hai nghiệm dương phân biệt.}

A. m6. B. m6. C. 6 m 0. D. m0.

Câu 232. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình



_m_₂



_x2_₂_{mx m}_{  }_{3 0}_{có hai nghiệm dương phân biệt.}

A. 2 m 6. B. m  3 hoặc 2 m 6.

C. m0 hoặc   3 m 6. D.   3 m 6.

Câu 233. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để _x2 _₂



_m_₁



_x _₉_m_{ }_{5 0}_{có hai}
nghiệm âm phân biệt.

A. m6. B. 5 1

9  m hoặc m6.
C. m1. D. 1 m 6.

Câu 234. Phương trình _x2_



₃_m_₂



_x _₂_m2_₅_m_{ }_{2 0}_{có hai nghiệm khơng âm khi}

A. 2 ; .

3
m_ _



 B.

5 _{41 ;} _.

4

m_  _

 


C. 2 5; 41 .

3 4

m_{ }  _

 

  D.

5 41

; .

4
m _  _

 

 _

Câu 235. Phương trình ₂_x2_



_m2_{ }_m ₁



_x_₂_m2_₃_m_{ }_{5 0}

có hai nghiệm phân biệt trái
dấu khi và chỉ khi

A. m 1_hoặc 5 .
2

m  B. 1 5.

2
m
  
C. m 1_hoặcm ₂5 . D.   1 m ₂5.

Câu 236. Phương trình



_m2_₃_m_₂



_x2_₂_{m x}2 _{ }_{5 0}_{có hai nghiệm trái dấu khi}
A. m

 

1;2 . B. m   



;1

 

2;



.

C.  _{ }m_m 1₂.

 D. m .

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

A. 0 m 2. B. 0 m 1. C. 1 m 2. D.   m_m 1₀.


Câu 238. Với giá trị nào của m thì phương trình



_m_₁



_x2_₂



_m_₂



_{x m}_{  }_{3 0}_{có hai}
nghiệm phân biệt x x₁, ₂ thỏa mãn điều kiện x₁ x₂ x x_{1 2} 1?

A. 1 m 2. B. 1 m 3. C. m 2. D. m3.

Câu 239. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình



_m_₁



_x2_₂_{mx m}_{  }_{2 0}_có
hai nghiệm phân biệt x x₁, ₂ khác 0 thỏa mãn

1 2

1 1 _{3 ?}

x x 

A. m  2   m 6. B.      2 m 1 2   m6.
C. 2 m 6. D.   2 m 6.

Câu 240. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình





2 ₁ _{2 0}

x  m x m   có hai nghiệm phân biệt x x₁, ₂ khác 0 thỏa mãn ₂ ₂

1 2

1 1 _1.

x x 

A. m        



; 2

 

2; 1

 

7;



. B.



; 2



2; 11 .
10
m      __ __



C. m     



; 2

 

2; 1 .



D. m  



7;



.

Vấn đề 7. TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
VƠ NGHIỆM – CĨ NGHIỆM – NGHIỆM ĐÚNG

Câu 241. Tam thức _{f x}

 

_₃_x2__{2 2}



_m_₁



_{x m}_{ }₄_{dương với mọi}_x_khi:

A.   1 m 11₄ . B.   11₄ m 1. C.   11₄ m 1. D. ₁₁1.
4
m
m
  

 


Câu 242. Tam thức _{f x}

 

_{ }₂_x2_



_m_₂



_{x m}_{ }₄_{không dương với mọi}_x_khi:
A. m \ 6 .

 

B. m . C. m 6. D. m .
Câu 243. Tam thức _{f x}

 

__–2_x2_



_m_₂



_{x m}_ _{– 4}_{âm với mọi}_x_khi:

A. m  14 hoặc m2. B.   14 m 2.
C.   2 m 14. D.   14 m 2.

Câu 244. Tam thức _{f x}

 

__x2_



_m_₂



_x _₈_m_₁_{không âm với mọi}_x_khi:

A. m 28. B. 0 m 28. C. m 1. D. 0 m 28.
Câu 245. Bất phương trình _x2__{mx m}_{ }₀_{có nghiệm đúng với mọi}_x

khi và chỉ khi:
A. m  4_hoặcm0. B.   4 m 0.

C. m 4_hoặcm 0. D.   4 m 0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

A. 1 .
2

m B. 1 .

2

m  C. m . D. Khơng tồn tại m.
Câu 247. Bất phương trình _x2_



_m_₂



_{x m}_{  }_{2 0}_{vô nghiệm khi và chỉ khi:}

A. m    



; 2 _{ }_{ }2;



. B. m     



; 2

 

2;



.
C. m __ 2;2__. D. m  

 

2;2 .

Câu 248. Tam thức _{f x}

 

_



_m2_₂



_x2_₂



_m_₁



_x _₁_{dương với mọi}_x_khi:
A. 1 .

2

m B. 1 .

2

m C. 1 .

2

m  D. 1 .

2

m 

Câu 249. Tam thức _{f x}

  

_ _m_₄



_x2_



₂_m_₈



_{x m}_{ }₅_{không dương với mọi}_x_khi:

A. m4. B. m4. C. m 4. D. m4

Câu 250. Tam thức _{f x}

 

__mx2__{mx m}_{ }₃_{âm với mọi}_x_khi:
A. m_{   }



; 4. B. m   



; 4



.

C. m    



; 4 _{ }_{ }0;



. D. m     



; 4_



0;



.

Câu 251. Tam thức _{f x}

  

_ _m_₂



_x2_₂



_m_₂



_x__m_₃_{không âm với mọi}_x_khi:
A. m 2. B. m 2. C. m 2. D. m  2.

Câu 252. Bất phương trình



₃_m_₁

 

_x2_ ₃_m_₁



_{x m}_{  }_{4 0}_{có nghiệm đúng với mọi}_x
khi và chỉ khi:

A. 1 .

3

m  B. 1 .

3

m  C. m0. D. m15.

Câu 253. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình



₂_m2_₃_m_₂



_x2_₂



_m_₂



_x_{ }_{1 0}_{có tập nghiệm là}__.

A. 1 2.

3  m B. 13  m 2. C. m 1 .3 D. m 2.

Câu 254. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình



_m2_₄



_x2_



_m_₂



_x _{ }_{1 0}_{vơ nghiệm.}

A. ; 10 2;



.

3

m  __ _ __

 B.





10

; 2; .

3

m   _ _ 

 _

C. ; 10



2;



.

3

m  __ __ 

 D. m  2;



.

Câu 255. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

  

₄

 

2 ₄



₂ ₁

f x  m x  m x m xác định với mọi x  .

A. m0. B. 20 0.

9 m

   C. 20 .

9

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

Câu 256. Hàm số _y _



_m_₁



_x2 _₂



_m_₁



_x_₄_{có tập xác định là}_D_ __khi
A.   1 m 3. B.   1 m 3. C.   1 m 3. D. m 1.
Câu 257. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để biểu thức

 

2



2



2

4 1 1 4

4 5 2

x m x m

f x

x x

    



   luôn dương.

A. 5 .

8

m   B. 5 .

8

m  C. 5 .

8

m  D. 5 .

8
m
Câu 258. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình





2

2x 2 m 2 x m 2 0

      có nghiệm.

A. m . B. m    



;0

 

2;



.

C. m   



;0 _{ }_{ }2;



. D. m _{  } _{ }0;2 .

Câu 259. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình





2

2x 2 m 2 x m 2 0

      có nghiệm.

A. m . B. m    



;0

 

2;



.

C. m   



;0 _{ }_{ }2;



. D. m _{  } _{ }0;2 .

Câu 260. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình





2 ₂ ₁ _{2 0}

mx  m x m   có nghiệm.

A. m . B. ; 1 .

4
m  __ __

 C. m 1 ;4 .

 _

 _

  __ __

 D. m \ 0 .

 

Vấn đề 8. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Câu 261. Tập nghiệm S của hệ bất phương trình 2₂ 0

4 3 0

x

x x

  


   

 là:

A. S _{ }1;2 .



B. S _{ }1;3 .



C. S 



1;2 ._ D. S _{ }2;3 .



Câu 262. Tìm x thỏa mãn hệ bất phương trình 2₂ 2 3 0 .

11 28 0

x x

x x

   


   



A. x 3. B. 3 x 7. C. 4 x 7. D. 3 x 4.
Câu 263. Tập nghiệm S của hệ bất phương trình 2₂ 4 3 0

6 8 0

x x

x x

   


   

 là:

A. S    



;1

 

3;



. B. S    



;1

 

4;



.
C. S    



;2

 

3;



. D. S 

 

1;4 .

Câu 264. Tập nghiệm S của hệ bất phương trình 2₂ 3 2 0
1 0

x x

x

   


  

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

A. S 1. B. S 

 

1 . C. S _{  }_{ } 1;2 . D. S  __ 1;1 .__
Câu 265. Giải hệ bất phương trình 3 2₂ 4 1 0.

3 5 2 0

x x
x x
   

   



A. x 1. B. 1 .

3

x  C. x  . D. 2 .

3
x 
Câu 266. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn 2₂2 5 4 0

3 10 0

x x
x x
   

   
 ?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 267. Hệ bất phương trình 2 9 0₂

( 1)(3 7 4) 0

x

x x x

  


    

 có nghiệm là:

A.   1 x 2. B. 3 4

3
x

    hoặc   1 x 1.
C.    4₃ x 1hay 1 x 3. D.    4₃ x 1 hoặc 1 x 3.

Câu 268. Tập nghiệm của hệ bất phương trình 2 7 6 0

2 1 3

x x

x

   


  

 là:

A.

 

1;2 . B.  _{ }_{ }1;2 . C. (– ;1 ) ( 2;). D. .
Câu 269. Hệ bất phương trình nào sau đây vơ nghiệm?

A. 2 ₂2 3 0 .

2 1 0

x x
x x
   

   
 B.
2
2

2 3 0

.

2 1 0

x x
x x
   

   


C. D.

Câu 270. Số nghiệm nguyên của hệ bất phương trình là:

A. B. C. D.

Vấn đề 9: Bất phương trình chứa căn thức
Câu 271. Giải bất phương trình



 

2



4 1 0

x x 

A.



4;



. _B.



 1;



. _C.



1;4

 

 4;



. _D.



4;



.
Câu 272. Giải bất phương trình 2x 1 2.

A. 5; .
2

 



  B.

1_; _.
2

 



  C.

3_; _.
2

 



  D.

5_; _.
2

 

 

 

Câu 273. Giải bất phương trình x  1 x 3.
2

2

2 3 0

.

2 1 0

x x
x x
   

   

2
2

2 3 0

.

2 1 0

x x
x x
   

   

2
2
2

4 3 0

2 10 0

2 5 3 0

x x
x x
x x
   
 _{  }

   


</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

A.



3;5 .



B.



1;5 .



C.



2;5 .



D.



1;3 .



Câu 274. Giải bất phương trình _x2_₄_x_{  }₃ _x _1.

A. . B.



1;3 .



C.



3;



. D. 1; .
3

 


 

Câu 275. Giải bất phương trình ₃_x2__{13 2}_ _x__1.

A.



 ; 2 .



B.



  ; 2

 

6;



.C.



6;



. D. ;1 .
2

_ 

 _

 

Câu 276. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình
2

2

5 4 _1.
4

x x

x

  _


A. [0; 2) 5; .
2

S   _{ }

  B.

8 5

0; ; .

5 2

S_  _{ } _{ }

   

C. ( 2;0] 2;5 .
2
S   _{ } _

  D.





8

; 2 ; .

5
S    _{ }

 

Câu 277. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x x 1 3.
x

  _

A. S [1;). B. S [0;). C. S(0;). D. S(0;1].
Câu 278. Giải bất phương trình ₆



_x_₂



_x_₃₂



__x2_₃₄_x__48.

A. S  



; 0

 

 34;



. _B.S 



0;34 .



C. S 



8;



. _D.S  



2;8 .



4. Bất phương trình quy về bậc nhất, bậc hai

Câu 279. Tập nghiệm của bất phương trình 4 1 3
3 1

x
x

  _{ }

 là tập nào dưới đây?
A. 4; 1

5 3
_ _ 

 

 . B.

4 1
;
5 3

_ 

 

 . C.

4
;

5
_{ } 

 

 . D.

4
;
5

_ 

 
 .
Câu 280. Xác định tập nghiệm của bất phương trình 1 5

1 1

x x

x x

 



  ?

A.



1;



. _B.



  ; 1

 

1;3 .



C.



1;1

 

 3;



. _D.



 ;1





3;



.

Câu 281. Xác định tập nghiệm của bất phương trình 2 2
1 ₀
3

x
x

 _

 ?

A.



3;1



_{ }1; 3_. B.



 3; 1  _{ }1; 3



.
C.



 ; 3



 



1;1







3;



. D. 

Câu 282. Giải bất phương trình



_x_₁





_x2_{  }_x ₂



_0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

Câu 283. Giải bất phương trình



_{ }_x ₃





_x2_₁₁_x_₂₈



__0.
A.

  

3;4



7;





.

B.





;3

  



4;7 .

C.



  

; 3

  

4;7 .

D.





3;4

 



7;





.

Câu 284. Bất phương trình 2 3 0

1 4

x x

x x

 _  _

  có tập nghiệm là tập nào?

A.





4;1



. B. [-3;1)



_{   }



 _

 

11

; 4 1;

2 .

C.

(

   

; 4) (1;

)

. D.







_ _

 

11

4;1 ;

2 .

Câu 285. Bất phương trình

_

2

_

4 4

_

0

2 5 3

x x

x x

 



   có tập nghiệm là tập nào?
A. _  _







 

5

; 3;

2 . B.







 _{  }

 

 

5

; 2 2;3 .

2

C. _  _ 





 

5

; 2;3 .

2 D.







 _{ } _

 

 

5

; 2 3; .

2

Câu 286. Bất phương trình

_

2 6

_

5

_

0

2 4 3

x x

x x

  _

  có tập nghiệm là tập nào?
A.



     

; 5





3; 1

 

2;





. B.



   

5; 3





1;2 .



C.



   

5; 3

 

1;2 .



D.



   

5; 3

 

1;2 .



Câu 287. Bất phương trình _x4_₅_x2_{ }_{4 0.} có tập nghiệm là tập nào?

A.

 

1;2 .

B.





1;2



C.



  

2; 1

  

1;2 .

D.





2;2 .



Câu 288. Bất phương trình 1 12₂ 7

x x

  có tập nghiệm là tập nào?
A. 1 1.

3 x 4 B. 3 x 4. C. 0 x 4. D. x0;x4.
Câu 289. Bất phương trình



_x2_₃_x_₁



_x2_₃_x_₃



__5. có tập nghiệm là tập nào?

A.



      

; 4

 

2; 1

 

1;



.

B.



 

2; 1 .



</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

CHỦ ĐỀ: THỐNG KÊ

§ 1 BẢNG PHÂN BỐ TẦN SUẤT VÀ TẦN SỐ
1/ Số liệu thống kê

Khi thực hiện điều tra thơng kê (theo mục đích định trước), cần xác định tập hợp các
đơn vị điều tra, dấu hiệu điều tra và thu thập các số liệu.

Ví dụ: Số liệu thông kê điểm kiểm tra 15' của lớp 10CB như sau

5 5 6 6 7 6 4 4 3 2 3 2 3 4 4
6 4 5 4 6 7 5 4 5 6 6 3 4 6 8
3 4 5 6 7 7 6 5 4 3

2/ Tần số-Tần suất

Giả sử dãyn số liệu thống kê đã cho có kgiá trị khác nhau ( k≤ n). Gọi xi là một giá

trị bất kì trong k giá trị đó, ta có:

* Tần số: số lần xuất hiện giá trị xi trong dãy số liệu đã cho gọi là tần số của giá trị

đó, kí hiệu là ni.

Ví dụ: Trong bảng số liệu trên ta thấy có 7 giá trị khác nhau là
x1= 2, x2= 3, x3= 4, x4= 5, x5= 6, x6= 7, x7= 8

x1=2 xuất hiện 2 lần  n1= 2 (tần số của x1 là 2)

* Tần suất: Số _{fi n} ni được gọi là tần suất của giá tri xi. (tỉ lệ của ni, tỉ lệ phần

trăm)

Ví dụ: x1 có tần số là 2, do đó: ₁ 2

40

f  hay f1= 5%
* Bảng phân bố tần suất và tần số

Tên dữ liệu Tần số Tần suất _(%)
x1

x2

.
.
xk

n1

n2

.
.
nk

f1

f2

.
.

fk

Cộng n1+…+nk 100 %

Ví dụ: Bảng phân bố tần số và tần suất điểm kiểm tra 15’ mơn tốn 10CB
Điểm15’ tốn Tần số Tần suất ( %)

2
3
4
5
6
7
8

2
6
10

7
10

4
1

5
15
25
17,5
25
10
2,5

Cộng 40 100%

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

3/ Bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp

Giả sử n dãy số liệu thông kê đã cho được phân vào k lớp (k < n). Xét lớp thứ i
trong k lớp đó, ta có:

+ Số ni các số liệu thông kê thuộc lớp thứ i được tần số của lớp đó.

+ Số _{fi n} ni được gọi là tần số của lớp thứ i

§2 SỐ TRUNG BÌNH CỘNG, SỐ TRUNG VỊ, MỐT

Để thu được thông tin quan trọng từ các số liệu thống kê, người ta sử dụng những số đặc
trưng như: số trung bình cộng, số trung vị, mốt, phương sai, dộ lệch chuẩn. Các số đạc
trưng này phản ánh những khía cạnh khác nhau của dấu hiệu điều tra.

1/ Số trung bình cộng (x)

* Bảng phân bố tần suất và tần số

Tên dữ liệu Tần số Tần suất

(%)
x1

x2

.
xk

n1

n2

.
nk

f1
f2

.

fk

Cộng n=n1+…+nk 100 %

Trung bình cộng của các số liệu thống kê được tính theo cơng thức;

1₍ _... ₎ _...

1 1 2 2 1 1 2 2

x n x n x n x_{k k} f x f x f x_{k k}

n

       

Ý nghĩa của số trung bình:

Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẫu. Nó là một số
đặc trưng quan trọng của mẫu số liệu.

2/ Số trung vị (Me)

Khi các số liệu trong mẫu có sự chênh lệnh rất lớn đối với nhau thì số trung bình khó
có thể đại diện cho các số liệu trong mẫu. Có một chỉ số khác thích hợp hơn trong trường
hợp này. Đó là số trung vị.

Định nghĩa: Giả sử ta có dãy n số liệu được sắp xếp thành dãy khơng giảm (hoặc

khơng tăng). Khi đó, số trung vị(của các số liệu thống kê đã cho) kí hiệu là Melà :

+ số đứng giữa dãy nếu số phần tử n lẻ ; (=

2
1


n ₎

+ Trung bình cộng của hai số đứng giữa dãy nếu số phần tử n chẵn.

(=trung bình cộng của số hạng thứ

2
n_và

1
2
n_ ₎

</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

Ví dụ 2: Số điểm thi toán của 4 học sinh như sau: 1; 2,5; 8; 9,5
Ta có Me=2,5 8 5, 25

2




3/ Mốt (MO)

Mốt của bảng phân bố tần số là giá trị (xi) có tần số (ni ) lớn nhất và được kí hiệu là MO.

Chú ý: Có hai giá trị tần số bằng nhau và lớn hơn tần số các giá trị khác thì ta nói
trường hợp này có hai Mốt, kí hiệu M_O(1),M_O(2) .

§3 PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN
I. PHƯƠNG SAI:

Phương sai, kí hiệu là 2

x

s .

+ Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất

2 2 2 2

1 1 2 2

1

( ) ( ) ... ( )

x k k

s n x x n x x n x x

n 

 _       _ 

2 2 2

1( 1 ) 2( 2 ) ... k( k ) .

f x x f x x f x x

      

+ Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp

2 2 2 2

1 1 2 2

1

( ) ( ) ... ( )

x k k

s n c x n c x n c x

n 

 _       _

2 2 2

1( 1 ) 2( 2 ) ... k( k ) .

f c x f c x f c x

      

*Ý nghĩa phương sai

+ Phương sai được sử dụng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số
trung bình).

+ Khi hai dãy số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có số trung bình bằng nhau hoặc xấp xỉ
nhau, dãy có phương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán (so với số trung bình) của các số liệu
thống kê càng bé.

II. ĐỘ LỆCH CHUẨN:

Khi chú ý đơn vị đo ta thấy phương sai 2

x

s có đơn vị đo là bình phương của đơn vị
đo được nghiên cứu ( đơn vị đo nghiên cứu là cm thì 2

x

s là cm2), để tránh tình trạng này ta
dùng căn bậc hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn.

Độ lệch chuẩn, kí hiệu là sx

2

x x

s



s

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>

THỰC HÀNH GIẢI TOÁN THỐNG KÊ LỚP 10
BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY CASIO
1. Sử dụng máy Casio fx - 570 ES

Bài 1.Năng suất lúa hè thu của một đơn vị A được thể hiện như sau:

45
45
45
45
25
25
30
30
25
25
45
45
45
45
45
45
35
35
40
40
25
25
30
30
35
35
30

30
45
45
35
35
40
40
40
40
45
45
35
35
25
25
25
25
30
30
30
30

Bảng phân bố tần số – tần suất

100%

100%

24

24

C

Cộộngng

30.8
30.8
7
7
45
45
12.5
12.5
3
3
40
40
16.7
16.7
4
4
35
35
20
20
5
5
30
30

20
20
5
5
25
25
T

Tầần sun suấấtt
T

Tầần sn sốố
Giá trị

Giá trị

Sử dụng máy tính
Casio fx-570ES

Thực hiện theo các bước sau:

SHIFT

1. SET UP  4 Xuất hiện Frequeney?1:ON 2: OFF

Nếu muốn khai báo tần số thì bấm 1, khơng muốn thì bấm 2

2. MODE 3 1 Xuất hiện X PREQ

1

2
3
3.

25

Nhập số liệu

= 30 = 35 = 40 = 45 =

  Nhập tần số:5 = 5 = 4 = 3 = 7 = AC

Tính số trung bình:

SHIFT 1 5 2 = (kết quả: )x  3 5 , 4 1 6 6 6

Tính độ lệch chuẩn:

SHIFT 1 5 3 = (kết quả: )s  7 , 6 2 6

Tính phương sai:

x2 ₌ _{(kết quả: )}s2 5 8 , 1 5 9 7

Tính độ dài mẫu; số trung bình;
độ lệch chuẩn và phương sai ?

Tính độ dài mẫu:

SHIFT 1 5 Var 1 = (kết quả: n=24)

2. Sử dụng máy Casio fx - 570 VN .Plus

Bài 1.Năng suất lúa hè thu của một đơn vị A được thể hiện như sau:

45
45
45
45
25
25
30
30
25
25
45
45
45
45
45
45
35
35
40
40
25
25
30
30
35

35
30
30
45
45
35
35
40
40
40
40
45
45
35
35
25
25
25
25
30
30
30
30

Bảng phân bố tần số – tần suất

100%

100%

24

24

C

Cộộngng

30.8
30.8
7
7
45
45
12.5
12.5
3
3
40
40
16.7
16.7
4
4
35
35
20
20
5
5

30
30
20
20
5
5
25
25
T

Tầần sun suấấtt

T

Tầần sn sốố

Giá trị

Giá trị

Sử dụng máy tính

Casio fx-500ES.lus

Thực hiện theo các bước sau:

SHIFT

1. SET UP  4 Xuất hiện Frequeney?1:ON 2: OFF

Nếu muốn khai báo tần số thì bấm 1, khơng muốn thì bấm 2

2. MODE 3 1 Xuất hiện X PREQ

1
2
3

3.

25

Nhập số liệu

= 30 = 35 = 40 = 45 =

  Nhập tần số:5 = 5 = 4 = 3 = 7 = AC

Tính số trung bình:

SHIFT 1 4 2 = (kết quả: )x  3 5 , 4 1 6 6 6
Tính độ lệch chuẩn:

SHIFT 1 4 3 = (kết quả: )s  7 , 6 2 6
Tính phương sai:

x2 ₌ _{(kết quả: )}_s2 _ _{5 8 , 1 5 9 7}

Tính độ dài mẫu; số trung bình;
độ lệch chuẩn và phương sai ?

Tính độ dài mẫu:

SHIFT 1 4 Var 1 = (kết quả: n=24)

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1/ Cho các số liệu thống kê ghi theo bảng sau (thời gian hoàn thành một giản phẩm
của một nhóm cơng nhân, đơn vị tính: bằng phút)

</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>

b) Trong 50 công nhân được khảo sát, những cơng nhân có thời gian hoàn thành một
sản phẩm từ 45 phút đến 50 phút chiếm bao nhiêu phần trăm.

Bài 2/ Cho số liệu thống kê về chiều cao của 120 học sinh lớp 11, đơn vị tính : cm. Như sau

Nam Nữ

175
176
176
177
176
170
170
170
165
166
175
175
176

176
175
163
162
161
165
169
144
143
142
141
144
156
157
160
164
163
146
147
149
148
152
168
167
166
174
173
161
162
158

159
160
150
151
152
153
155
160
160
160
161
162
172
171
170
170
170
172
172
172
175
175
170
170
170
170
170
175
176
176

175
176
141
142
142
150
154
150
152
152
160
160
160
161
162
164
165
155
156
157
158
159
144
144
143
143
140
145
146
147

148
149
150
154
152
152
153
160
165
159
165
159
168
159
168
159
168

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp cho cả nam và nữ với các lớp:
[135;145); [145;155); [155;165); [165;175); [175;185]

b) Trong số các học sinh chiều cao chưa đến 155cm (của 120 hs khảo sát), học sinh
nam đông hơn hay học sinh nữ đông hơn?

Bài 3/ Cho số liệu thống kê thời gian từ nhà đến trường của bạn A trong 35 ngày (thời
gian tính: phút) như sau:

21
22
22

21
23
22
19
20
20
21
24
23
24
23
26
19
20
21
22
21
23
23
24
23
24
26
27
28
29
28
25
26
25

26
25

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp: [19;21),[21;23),[23;25),[25;27),[27;29].
b) Thời gian đến trường từ 21 phút đến dưới 25 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?
Bài 4/ Cho bảng phân bố ghép lớp ( kết quả đo của 55 hs, khi đo tổng các góc trong của

một tứ giác lồi)

Lớp số đo (độ) Tần số
[535;537)
[537;539)
[539;541)
[541;543)
[543;545]
6
10
25
9
5

</div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>

a) Bổ sung thêm cột tần suất.

b) Nêu nhận xét về kết quả đo của 55 học sinh trên.

Bài 5/ Cho các số liệu thông kê về nhiệt độ trung bình (0_{C) của tháng 5 ở địa phươ A thừ}

1961 đến 1990 như sau:
27,1

28,1
26,8

26,9
27,4
26,7

28,5
27,4
29,0

27,4
26,5
28,4

29,1
27,8
28,3

27,0
28,2
27,4

27,1
27,6
27,0

27,4
28,7
27,0

28,0
27,3
28,3

28,6
26,8
25,9
a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp

[25;26), [26;27), [27;28); [28;29), [29;30]

b) Trong 30 năm khảo sát, những năm có nhiệt độ trung bình của tháng 5 (ở địa
phương A) từ 280C đến 300C chiếm bao nhiêu phần trăm?

Bài 6:Số liệu sau đây cho ta lãi (quy tròn) hàng tháng của một cửa hàng trong năm 2019.
Đơn vị là triệu đồng.

T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

L 12 15 18 13 13 16 18 14 15 17 20 17
a) Tìm số trung bình, số trung vị.

b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. _{Công việc nào sau đây không phụ thuộc vào công việc của môn thống kê?}

A. Thu nhập số liệu. B. Trình bày số liệu.

C. Phân tích và xử lý số liệu. D. Ra quyết định dựa trên số liệu.

Câu 2. Để điều tra các con trong mỗi gia đình ở một chung cư gồm 100 gia đình. Người ta

chọn ra 20 gia đình ở tầng 2 và thu được mẫu số liệu sau:
2 4 3 1 2 3 3 5 1 2
1 2 2 3 4 1 1 3 2 4
Dấu hiệu ở đây là gì ?

A. Số gia đình ở tầng 2. B. Số con ở mỗi gia đình.

C. Số tầng của chung cư. D. Số người trong mỗi gia đình.

Câu 3. _{Điều tra thời gian hoàn thành một sản phẩm của 20 công nhân, người ta thu được}

mẫu số liệu sau (thời gian tính bằng phút).

10 12 13 15 11 13 16 18 19 21
23 21 15 17 16 15 20 13 16 11
Kích thước mẫu là bao nhiêu?

A. 23. B.20. C. 10. D. 200.

Câu 4. Như bài số 3). Có bao nhiêu giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên

</div>
<span class='text_page_counter'>(49)</span><div class='page_container' data-page=49>

Số liệu sau đây cho ta lãi (quy tròn) hàng tháng của một cửa hàng trong năm 2019.
Đơn vị là triệu đồng. (Dành cho câu 5,6,7,8,9)

T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

L 12 15 18 13 13 16 18 14 15 17 20 17
Câu 5. Số trung bình là

A. 15,20. B. 15,21. C.15,67. D. 15,25.
Câu 6 . Số trung vị là

A. 15. B.17. C. 16. D. 16,5.
Câu 7. Mốt là

A.11. B. 12 C. 10. D. 9.

Câu 8. Giá trị của phương sai là

A. 3,95. B. 3,96. C. 3,97.. D.5,39..
Câu 9. Độ lệch chuẩn:

A.2,32. B. 1,97. C. 1,98. D. 1,99.

Để điều tra về điện năng tiêu thụ trong 1 tháng (tính theo kw/h) của 1 chung cư có 50
gia đình, người ta đến 15 gia đình và thu được mẫu số liệu sau (dành cho câu 10,11)

80 75 35 105 110 60 83 71
95 102 36 78 130 120 96

Câu 10. Có bao nhiêu gia đình tiêu thụ điện trên 100 kw/h trong một tháng?

A. 3 . B. 4. C.5. D. 6.

Câu 11. Số gia đình tiêu thụ điện dưới 100 kw/h trong một tháng chiếm bao nhiêu %

A. 55,34. B.72,13 . C.13,23. D.66,7.

Câu 12.Các giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu được gọi là

A. Số trung bình. B. Số trung vị. C.Mốt. D. Độ lệch chuẩn.

Câu 13 .Thống kê điểm mơn tốn trong một kì thi của 400 em học sinh thấy có 72 bài
được điểm 5. Hỏi giá trị tần suất của giá trị xi =5 là

A. 72%. B. 36%. C.18%. D. 10%.

Câu 14. Thống kê điểm mơn tốn trong một kì thi của 500 em học sinh thấy số bài được
điểm 9 tỉ lệ 2,4 %. Hỏi tần số của giá trị xi =9 là bao nhiêu?

</div>
<span class='text_page_counter'>(50)</span><div class='page_container' data-page=50>

CHỦ ĐỀ: LƯỢNG GIÁC

BÀI 1: CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC
I. Khái niệm cung và góc lượng giác:

1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác:

Đường tròn định hướng là một đường trịn trên đó đã chọn một chiều di động gọi
là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm.Ta qui ước chọn chiều ngược chiều kim đồng
hồ làm chiều dương

_{Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A, B. Điểm M di động trên đường tròn}
theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo thành một cung đgl cung lượng giác

Kí hiệu : AB chỉ cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B
Với 2 điểm A, B có vơ số cung lượng giác.

2. Góc lượng giác:

Trên đường trịn định hướng cho cung lượng giác CD điểm M di động trên đường
tròn từ C đến D. Tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC đến OD. Khi đó tia OM tạo ra
một góc lượng giác có tia đầu là OC tia cuối là OD.

Kí hiệu: (OC,OD)

3-Đường trịn lượng giác :

Đường tròn lượng giác: là đường tròn định hướng tâm O bán kính R=1và cắt Ox tại A(1; 0)
A’(-1; 0); cắt Oy tại B(0; 1) B’(0; -1).

Điểm A(1;0) gọi là điểm gốc của đường tròn lg

-+

A

O C

M
D

+
A'(-1; 0)

B'(0; -1)

B(0; 1)

O

</div>
<span class='text_page_counter'>(51)</span><div class='page_container' data-page=51>

II. Số đo của cung và góc LG:
1. Độ và radian

Trên đường trịn tùy ý cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad
1800 ₌__rad

10₌

180

 _{rad và rad=(}180

 )0

với  3,14; 10_0,01745rad

Chú ý: Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị radian, ta thường không viết
chữ rad sau số đó. Ví dụ:

3

 _;

2



*Bảng chuyển đổi thông dụng:

Độ 300 ₄₅0 ₆₀0 ₉₀0 ₁₈₀0 ₃₆₀0

rad
6



4



3

 

2

 _₂_

*Độ dài của một cung lượng giác

Độ dài cung có số đo rad của đường trịn bán kính R là : l = R
2. Số đo của cung lượng giác:

số đo của một cung lượng giác AM (A ≠M) là một số thực dương hay âm.
Kí hiệu: số đo của cung AM là: sđAM.

Ghi nhớ:Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một
bội của 2. Và viết là:

sđAM = k2 , (kZ)

Trong đó  là số đo của một cung lượng giác tuỳ ý có điểm đầu là A và điểm cuối là M.
MA  sđAA =k2, (kZ)

k = 0  sđAA = 0

* Ta cũng có công thức tổng quát của số đo bằng độ của các cung lượng giác AM là:
SđAM = a0 + k3600, (k_Z)

3. Số đo một góc lượng giác:

Số đo của góc lượng giác (OA,OC) là số đo của cung lượng giác AC tương ứng .
Chú ý: Từ nay về sau khi nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại.
4.Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác:

Để biểu diễn một cung lượng giác có số đo  trên đường tròn lượng giác ta lấy điểm
A làm điểm gốc ,điểm cuối M được xác định theo hệ thức sau :

</div>
<span class='text_page_counter'>(52)</span><div class='page_container' data-page=52>

BÀI 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
----***---

1. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa các giá trị lượng giác
Cho (OA OM, ). Giả sử M x y( ; ).

 

x OH
y OK

AT k

BS k

cos
sin

sin
tan

cos 2

cos
cot

sin




 

  




  



 
 

 

  _   _

 

  

Nhận xét:

 , 1 cos   1; 1 sin   1

_tan_{xác định khi} k k Z,
2



    _cot_{xác định khi} k k Z, 

 sin( k2 ) sin    tan(k) tan 

cos(k2 ) cos   cot( k) cot 

2. Dấu của các giá trị lượng giác
Phần tư

Giá trị lượng giác I II III IV

cos + – – +

sin + + – –

tan ₊ _– ₊ _–

cot + – + –

3. Hệ thức cơ bản:

_sin2___cos2_ _₁_;_tan sin _{; cot} cos

cos sin

 

 

 

 

tan .cot   1_;

 

 

 2  1₂  2  1₂

1 tan ; 1 cot

cos sin

4. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

cosin

O

cotang

s

in

ta

ng

H A

M
K

B S



</div>
<span class='text_page_counter'>(53)</span><div class='page_container' data-page=53>

2. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

DẠNG 1: Dấu của các giá trị lượng giác

Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn của cung
(tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG.

DẠNG 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)

Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị lượng
giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết.

I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG cịn lại
1. Cho biết sin, tính cos, tan, cot

 Từ _sin2___cos2_ _₁ _ _cos_ _{ } _{1 sin}_ 2_ _.

– Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc IV thì _cos_ _ _{1 sin}_ 2_ _.

– Nếu  thuộc góc phần tư II hoặc III thì _cos_ _{ } _{1 sin}_ 2_ _.

 Tính tan sin
cos






 ; cot 1

tan





 .

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau

cos() cos  sin(  ) sin  sin cos

2

  

 _  _

 

 

sin() sin cos(  ) cos cos sin

2

  

 _  _

 

 

tan() tan tan(  ) tan tan cot

2

  

 _  _

 

 

cot() cot cot(  ) cot cot tan

2

  

 _  _

 

 

Cung hơn kém  Cung hơn kém

2



sin(  ) sin sin cos

2

  

 _  _

 

 

cos(  ) cos cos sin

2

  

 

  

 

 

tan(  ) tan  tan cot

2

  

 _  _{ }

 

 

cot(  ) cot  cot tan

2

  

 _  _{ }

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(54)</span><div class='page_container' data-page=54>

2. Cho biết cos, tính sin, tan, cot

 Từ _sin2___cos2_ _₁ _ _sin_ _{ } _{1 cos}_ 2_ _.

– Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc II thì _sin_ _ _{1 cos}_ 2_ _.

– Nếu  thuộc góc phần tư III hoặc IV thì _sin_ _{ } _{1 cos}_ 2_ _.

 Tính tan sin
cos






 ; cot 1

tan





 .

3. Cho biết tan, tính sin, cos, cot

 Tính cot 1

tan





 .

 Từ 2

2

1 _{1 tan}

cos      2

1
cos

1 tan





 

 .

– Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc IV thì

2

1
cos

1 tan







 .

– Nếu  thuộc góc phần tư II hoặc III thì

2

1
cos

1 tan





 

 .

 Tính sin tan .cos .

4. Cho biết cot, tính sin, cos, tan

 Tính tan 1

cot





 .

 Từ 2

2

1 _{1 cot}

sin      2

1
sin

1 cot





 

 .

– Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc II thì

2

1
sin

1 cot







 .

– Nếu  thuộc góc phần tư III hoặc IV thì

2

1
sin

1 cot





 

 .

II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức

Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức.

Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết

BÀI TẬP

1) Đổi số đo các góc sau ra radian

a) 220_30’ _{b) 71}0_{52’ c)}₁₀₈₀0 d)_{405 30'}0
2) Đổi số đo các cung sau ra độ ,phút, giây

a) 3
4

  _{b) 3/4 c). 1,23 d).}5
7



</div>
<span class='text_page_counter'>(55)</span><div class='page_container' data-page=55>

a) 1 b) 1,5 c) 370 d/2250 ( =R._ , _ = _.a/180)
4) Cho một đường trịn có bán kính 8 cm. Tìm số đo bằng độ các cung có độ dài

a) 4 cm b) 8 cm c) 16 cm ( =/R  a=180./ =
R
.

.
180

  )

5) Trên đường tròn lượng giác hãy biểu diễn các cung có số đo

3/4 ; -600 ; -3150 ; -5_/4 ; 11_/3

Trong các điểm ngọn của các cung ,có những điểm trùng nhau,hãy giải thích.

HD :
3/4 = /2+/4

5/4 = 3/4  2

11/3 = /3 +12/3 =/3 +4

600₌__/3

3150₌_₂₇₀0_₄₅0

Các cung có cùng điểm ngọn là 3/4 và5/4;11/3 và 600

6) Trên đường tròn lượng giác,cho điểm M xác định bởi sđ AM =  ( 0<</2). Gọi M1, M2

,M3 lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox,Oy và gốc tọa độ . Tìm số đo của các cung

AM1 ; AM2 ; AM3

HD :
Sđ AM1 =  +k2

Sđ AM2 =  + k2

Sđ AM3 = + +k2.

7) Trên đường tròn lượng giác,xác định các điểm M khác nhau biết rằng cung AM có số đo
:

a) k b) k/2 c) k2 /5 ( k  Z)

HD :

a) Các điểm ngọn khác nhau là A,A’ .
b) Các điểm ngọn khác nhau là A,B,A’,B’.

c)  =2/5  a = 720__{điểm ngọn là các đỉnh của ngũ giác điều}

8) Bánh xe của người đi xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây .

a) Tính góc (theo độ và radian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.

b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút biết rằng
đường kính của bánh xe đạp là 680 mm.

9)Xác định dấu của các biểu thức sau:

a) A = _{sin 50 .cos( 300 )}0 _ 0 _{b) B =}_{sin 215 .tan}0 21

7



B'
B

A' O A

M3 M1

M2

A
A'

B'
B

O
M

y

x
A

A'

B'
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(56)</span><div class='page_container' data-page=56>

c) C = cot3 .sin 2

5 3

   


 

  d) D = c

4 4 9

os .sin .tan .cot

5 3 3 5

   

10).Cho ₀0 _{ }_ ₉₀0_{. Xét dấu của các biểu thức sau:}

a) A = _sin(___{90 )}0 _{b) B =}_cos(___{45 )}0
c) C = _cos(2700__₎ _{d) D =}_cos(2___{90 )}0

11).Cho 0

2




  . Xét dấu của các biểu thức sau:

a) A = cos(  ) b) B = tan(  )

c) C = sin 2
5




 



 

  d) D =

3
cos

8




 



 

 

12) Cho biết một GTLG, tính các GTLG cịn lại, với:
a) cosa 4, 2700 a 3600

5

   b) cos 2 , 0

2
5


    

c) sina 5, a

13 2

 _

   d) _sin 1_{, 180}0 ₂₇₀0

3

   

e) tana 3, a 3

2




   f) tan 2,

2



    

g) _cot150 _{ }₂ ₃ _h)_cot _3, 3

2


   

13).Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với:

a) A a a khi a a

a a

cot tan _sin 3_{, 0}

cot tan 5 2





   

 ĐS:

25
7

b) B a a khi a a

a a

2

0 0

8tan 3cot 1 _sin 1_{, 90} ₁₈₀

tan cot 3

 

   

 ĐS:

8
3

c) C a a a a khi a

a a a a

2 2

2 2

sin 2sin .cos 2 cos _cot ₃

2sin 3sin .cos 4 cos

 

  

  ĐS:

23
47



d) D a a khi a

a a

3 3

sin 5cos _tan ₂

sin 2cos



 

 ĐS:

55
6
14).Cho sina cosa 5

4

  . Tính giá trị các biểu thức sau:

a) Asin .cosa a b) Bsinacosa c) Csin3acos3a
ĐS: a) 9

32 b)

7
4

 c) 41 7₁₂₈

15).Cho tanacota3. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) Atan2acot2a b) Btanacota c) Ctan4acot4a

</div>
<span class='text_page_counter'>(57)</span><div class='page_container' data-page=57>

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC.

Câu 1. Cho cung _ _₂₀0, khi đó cung  bằng bao nhiêu radian.

A.
6

 _. _B.

9

 _. _C.

4

 _. _D.

18

 _.

Câu 2. Cho cung
3



  , khi đó cung  bằng bao nhiêu độ.

A. ₄₅0. B. ₃₀0. C. ₆₀0. D. ₁₂₀0.
Câu 3. Cho cung 11

6



 _{, khi đó cung} bằng bao nhiêu độ.

A. ₃₃₀0. B. ₁₂₀0. C. ₂₃₅0. D. ₂₇₀0.
Câu 4. Cung có số đo  rad của đường trịn bán kính R có độ dài là

A. lR. B. _l___R2. C. _l_{ }_ _R. D. _l

R



 .
Câu 5. Cung có số đo 2 rad của đường trịn bán kính 5 cm có độ dài là

A. 7cm. B. 10cm. C. 5

2cm. D. 3cm.
Câu 6. Cho cung 3

7



 , khi đó cung  bằng bao nhiêu độ.
A. 440 0

7

 

 

  . B.

0

120 . C.

0
540

7

 

 

  . D.

0
270 .
Câu 7. Cho cung _ _₄₅0, khi đó cung  bằng bao nhiêu radian.

A.
4

 _. _B.

5

 _. _C.3

4

 _. _D.2

3

 _.

Câu 8. Cho cung _ _₇₂0, khi đó cung  bằng bao nhiêu radian.
A. 5

3

 _. _B.3

5

 _. _C.5

2

 _. _D.2

5

 _.

Câu 9. Cho cung _ _₇₅0, khi đó cung  bằng bao nhiêu radian.
A. 3

10

 _. _B.5

12

 _. _C.12

5

 _. _D.10

3

 _.

Câu 10. Cho cung 17
5



   , khi đó cung  bằng bao nhiêu độ.

A. ₆₁₂0. B. ₂₇₀0. C. _₂₇₀0. D. _₆₁₂0.
Câu 11. Đổi số đo của một cung _{40 25 '}0 sang radian, làm tròn với độ chính xác 0,0001

A. _{40 25' 0, 71}0 _ . B. _{40 25' 0,705}0 _ . C. _{40 25' 0,7}0 _ . D. _{40 25' 0,7054}0 _ .
Câu 12. Đổi số đo góc 2

7



 _{ra độ phút giây.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(58)</span><div class='page_container' data-page=58>

Câu 13. Một đường trịn có bán kính 15cm. Tìm độ dài cung trên đường trịn đó có số đo
0

25 . (làm tròn 2 chữ số thập phân)

A. 375cm. B. 6,54cm. C. 6,50cm. D. 6,44cm.

Câu 14. Một đường trịn có bán kính 15cm. Tìm độ dài cung trên đường trịn đó có số đo
16

 _{. (làm tròn 2 chữ số thập phân)}

A. 2,94. B. 2,95. C. 2,96. D. 2,97.

Câu 15. Tìm số x



0 x 2



và số nguyên k sao cho a x k  2, với a12, 4.

A. x0, 4 ; k 6. B. x0, 4;k 6. C. x4 ; k6. D. x 0, 4 ; k 6.
Câu 16. Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M xác định bởi sđAM  với 0 .

2




 

Gọi N là điểm đối xứng với M qua trục tung. Khi đó, N là điểm biểu diễn của các cung
lượng giác cho bởi công thức nào dưới đây?

A. _{ }_{ }_k₂_



_k __



. B. _{ }_{ }_k₂_



_k __



.

C. 2  





2 k k

     . D. 2  





2 k k

     .

Câu 17. Hãy chọn nhận xét đúng về hai khẳng định dưới đây:

(1).  1 sin  1,  . (2). _{sin 2}_ _{  }_2, _ _.

A. Chỉ có (1) đúng B. Chỉ có (2) đúng. C. (1) và (2) đều đúng. D. (1) và (2) sai.
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG.

Câu 18. Chọn công thức đúng.

A. sin



k2



 sin , k Z . B. sin



k2



sin , k Z .
C. sin



k2



cos , k Z . D. sin



k2



 cos , k Z .
Câu 19. Chọn công thức đúng.

A. cos



k2



 sin , k Z _. _B.cos



k2



sin , k Z .
C. cos



k2



cos , k Z . D. cos



k2



 cos , k Z .
Câu 20. tan_{xác định khi}

A. , .

2
k

k Z



   B. 2 , .

2 k k Z



     C. , .

2 k k Z



     D. k k Z,  .

x

y

α
N

B'
B

A' O A

</div>
<span class='text_page_counter'>(59)</span><div class='page_container' data-page=59>

Câu 21. Cot xác định khi

A. , .

2
k

k Z



   _B. 2 , .

2 k k Z



     _C. , .

2 k k Z



     _D.k k Z,  .
Câu 22. chọn công thức đúng.

A. sincos1_. _B.sin 2cos21_.
C. _sin2___c_os2__₁. D. _sin2___c_os2_ _₁.
Câu 23. Với mọi số k Z ,chọn công thức đúng.

A. tancot1. B. tan .cot 1( )
2
k
  .
C. tancot2. D. _tan2___cot2_ _₄.
Câu 24. Với mọi số k Z ,công thức nào sau đây sai?

A. 2

2
1

1 tan ( )

sin 2 k



  



    . B. 2

2
1

1 cot ( )

os k

c

  



   .

C. 2

2
1

1 tan ( )

sin 2 k



  



    . D. tan .cot 1 ( )

2
k
    .
Câu 25. Cho ₉₀0_{ }_a ₁₈₀0_{. Chọn đáp án sai.}

A. cos 0. B. sin0. C. tan 0. D. cot0.
Câu 26. Cho 7 2

4    . Chọn đáp án đúng.

A. cos 0. B. sin0. C. tan 0. D. cot0.
Câu 27. Cho 3 10

3



   _{. Chọn đáp án đúng.}

A. cos 0_. _B.sin0_. _C.tan 0_. _D.cot0_.
Câu 28. Tính các giá trị lượng giác của góc _a_{ }₃₁₅0_.

A. sin 2 , cos 2, t na 1, cot 1.

2 2

a a a  a

B. sin 2 , cos 2, t na 1, cot 1.

2 2

a  a a   a 

C. sin 2 , cos 2, t na 1, cot 1.

2 2

a a  a   a 

D. sin 2 , cos 2, t na 1, cot 1.

2 2

a  a  a  a

Câu 29. Tính các giá trị lượng giác của góc _a_₄₂₀0_.
A. sin 3 , cos 1, t na 3, cot 3.

2 2 3

a a a  a

B. sin 3 , cos 1, t na 3, cot 3.

2 2 3

a a a  a

C. sin 3 , cos 1, t na 3, cot 3.

2 2 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(60)</span><div class='page_container' data-page=60>

D. sin 3 , cos 1, t na 3, cot 3.

2 2 3

a  a  a  a

Câu 30. Cho sin 0_vàk Z _{. Chọn đáp án đúng.}

A. .

2 k



    B. .

2 k



     C. .

2
k

 D.  k.
Câu 31. Cho cos 0_vàk Z _{. Chọn đáp án đúng.}

A. .

2 k



    B. .

2 k



     C. .

2
k

 D.  k.
Câu 32. Cho sin 1

2

  và k Z . Chọn đáp án đúng.

A. 2 .

3 k



    B. 2 .

3 k



     C. 2 .

6 k



    D. 2 .

6 k


    

Câu 33. Cho biết sin 1 à os 0
3 v c

   . Tính tan .
A. 1

2 2

 . B. 1

3

 . C. 2 2. D. 3.

Câu 34. Cho biết os 2 à 0
2

5

c   v     . Tính cot.

A. -2. B. 1

2

 . C. 2. D. 1

2.
Câu 35. Cho biết tan 2 à

2
v 

     _{. Tính}cos.
A. 2

5. B.

1
5

 . C. 5

5 . D.

5
10
 .
Câu 36. Cho biết cot 3 à 3

2

v 

     . Tính sin.
A. 3

10. B.

3
10

 . C. 1

10

 . D. 1

10.
Câu 37. Rút gọn biểu thức os os 2





os 3





2

P c _ x_c  x c  x

  .

A. P=cosx. B. P=sinx. C. P=-cosx. D. P=-sinx.

Câu 38. Đơn giản của biểu thức sin 14





3 cos 5 2sin



5



cos

2 2

   _{ } __ __    ___ ___ ta
được

A. 5 sin. B. 3 sin. C. sin. D. sin.
Câu 39. Kết quả đơn giản của biểu thức

2

sin tan ₁

cos  1

 _ _

 _{ }

 _

 _

 

  bằng

A. 1₂

cos . B.

2

1 2 tan . C. _{3 tan}_ 2__. _D.

2

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(61)</span><div class='page_container' data-page=61>

Câu 40. Cho sin 1
2

 . Tính cos.

A. 3

2

 . B. 3

4. C. 23. D. 12.

Câu 41. Tính giá trị M sin 0 sin6 cos cos2

 _ 

   

A. 1

2

 . B. 3

2. C. 0. D. 23 1 .

Câu 42. Cho 3 2

2    . Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

A. sin 0

cos 0




 


 

 . B.

sin 0

cos 0




 


 

 . C.

sin 0

cos 0




 


 

 . D.

sin 0

cos 0




 


 

 .

Câu 43. Cho

2



   . Trong khẳng định sau khẳng định nào sai?
A. sin cos. B. cos  sin.
C. _sin2___sin2__₁_. _D._{tan .cot}_ _ _₁_.

Câu 44. Cho cos 3 3_{5 2}__    2__

. Tính giá trị tan.

A. 4

3

 . B. 3

4

 . C. 4

3. D. 1615.

Câu 45. Cho tan 3 3
2

 __   __

. Tính cos.

A. 1

10

 . B. 1

10 . C.

1

10. D. 10.

Câu 46. Cho tanx 2. Tính 2 sin 3 cos

3 sinx cos x

M

x x





A. 7

5. B. 73. C. 52. D. 74.

Câu 47. Cho tan 2. Tính giá trị 2 sin₂ 2 cos2

sin sin .cos

M  

  





A. 9

2. B. 4. C. 52. D. 72.

Câu 48. Cho sincos 4₃. Tính giá trị _M _ _{sin cos}2_ ___{cos sin}2_a __.

A. 14

</div>
<span class='text_page_counter'>(62)</span><div class='page_container' data-page=62>

Câu 49. Cho tancot2. Tính giá trị _M _ _tan3___cot3_

A. 2. B. 6. C. 8. D. 0.

Câu 50. Rút gọn biểu thức 2cos 3sin





sin 4





2

M  __ x___  x x

A. M 0. B. M 6 sinx . C. M  4 sinx . D. 2 sinx.
Câu 51. Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng?

A. _{sin 2}2 _x __{cos 2}2 _x _₁_. _B._tan_x__cot_x _₁_.

C. 2

2

1 _cot ₁

cos x  x  . D.

2
2

1 _tan ₁

sin x  x  .

BÀI 3 : CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Công thức cộng:

2. Công thức nhân đôi

sin22sin .cos 

2 2 2 2

cos2  cos sin   2 cos   1 1 2sin 

tan 2 2 tan₂ ; cot 2 cot2 1
2 cot
1 tan

 

 






 



Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)
2

2
2

1 cos2
sin

2
1 cos2
cos

2
1 cos2
tan

1 cos2






















3
3

3
2

sin3 3sin 4sin

cos3 4 cos 3cos

3tan tan

tan3

1 3tan

  

  

 





 

 






sin(a b ) sin .cos a b sin .cosb a

sin(a b ) sin .cos a bsin .cosb a

cos(a b ) cos .cos a b sin .sina b

cos(a b ) cos .cos a bsin .sina b

tan tan

tan( )

1 tan .tan

a b

a b

a b



 



tan tan

tan( )

1 tan .tan

a b

a b

a b



 



Hệ quả: tan 1 tan , tan 1 tan

4 1 tan 4 1 tan

 _   _ 

 

 _  _   _  _ 

  _   _

</div>
<span class='text_page_counter'>(63)</span><div class='page_container' data-page=63>

3. Cơng thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2 cos .cos

2 2

a b a b

a b  

cos cos 2sin .sin

2 2

a b a b

a b    

sin sin 2sin .cos

2 2

a b a b

a b   

sin sin 2 cos .sin

2 2

a b a b

a b   

sin( )

tan tan

cos .cos

a b

a b

a b



 

sin( )

tan tan

cos .cos

a b

a b

a b



 

sin( )

cot cot

sin .sin

a b

a b

a b



 

b a

a b

a b

sin( )

cot cot

sin .sin



 

sin cos 2.sin 2.cos

4 4

 

   _ _ _ _

   

sin cos 2 sin 2 cos

4 4

 

  _ _  _ _

   

4. Cơng thức biến đổi tích thành tổng

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau:

a) _{15 ; 75 ; 105}0 0 0 _b) _; 5 _; 7

12 12 12

  

Bài 2. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:

a) tan khisin 3,

3 5 2

 

   

 

   

 

  ĐS:

38 25 3
11



b) cos khisin 12 3, 2

3 13 2

 _ _  _ _

 

    

 

  ĐS:

(5 12 3)
26



c) cos(a b).cos(a b khi) cosa 1, cosb 1

3 4

    ĐS: 119

144


d) sin(a b ), cos(a b ), tan(a b ) khi sina 8 , tanb 5

17 12

  và a, b là các góc nhọn.

ĐS: 21 140; ; 21 .

221 221 220

e) tanatan , tan , tanb a b khi 0 a b, ,a b

2 4

 

    và tan .tana b  3 2 2. Từ đó suy ra a, b
1

cos .cos cos( ) cos( )

2
1

sin .sin cos( ) cos( )

2
1

sin .cos sin( ) sin( )

2

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

 

 _    _

 

 _    _

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(64)</span><div class='page_container' data-page=64>

. ĐS: 2 2 2 _;tana tanb 2 1,a b

8



    

Bài 3 :

a) Biết sin _{=3/5 và}_{/2 <}_<_{. Tính tg(}₊_{/3) .}

b) Biết sina=4/5 và 00_{< a < 90}0_{, sinb = 8/17 (90}0_{< b < 180}0_{) .}

Tính cos(a+b), sin(ab) .

c) Cho hai góc nhọn a và b với tga = ½,tgb = 1/3. Tình a + b .
HD : tính tg(a+b) =

tgb
.
tga
1

tgb
tga



 _{= 1}__{a+b =}__/4
Bài 4 : Tính cos2 ,sin2 ,tg2 biết ;

a) cos  = 5/13 và  <  <3/2 .
b) tg  = 2 .

Bài 5: Cho sin2a = 4/5 và /2 < a < 3/2 . Tính sina và cosa .

HD : _{/2 < a < 3}_/2_{< 2a < 3}_{,vì sin2a =}_{4/5 < 0}_{< 2a < 2}
 cos2a = 3/5 hoặc cos2a = 3/5

Bài 6 : Tính
a) A =

8

cos
.
16
cos
.
16

sin    . HD : A =

8
sin
2

1  _.cos
8



b) B = sin100.sin500.sin700. HD : Nhân thêm 2cos100 và biến đổi sin700 = cos200

Bài 7 : Chứng minh

a) cotgx + tgx = 2/sin2x .
b) cotgx  tgx = 2cotg2x.

c) tg x

cos2x
1

cos2x

-1

;

tgx
x
2
cos
1

x
2

sin _ 2




 .

Bài 8 : Chứng minh :

a) cos4a = 8cos4a _ 8cos2a + 1. HD : VT = 2cos22a_1=2(2cos2a_1)2_1= …

b) sin6_{a + cos}6_{a =}

8

3_cos4a+
8
5

HD : VT = sin4_a__sin2_a.cos2_a+cos4_a=1__3sin2_a.cos2_a=1_

4

3_sin₂_2a=

]
2

a
4
cos
1
[
4
3
1 

Bài 9 : Biến đổi thành tổng
a) A = 2sin(a+b).cos(a_{b) .}
b) B = 2cos(a+b).cos(ab) .
c) C = 4sin3x.sin2x.cosx .
Bài 10 : Biến đổi thành tích

a) A = sina + sinb + sin(a+b).
b) B = cosa + cosb + cos(a+b) +1.

c) C =1 + sina + cosa.

</div>
<span class='text_page_counter'>(65)</span><div class='page_container' data-page=65>

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 52. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. cos(a b ) cos .cosa bsin .sina b. B. cos(a b ) cos .cos a bsin .sina b.
C. cos(a b ) sin .cosa b c a os .sinb. D. cos(a b ) cos .cosa bsin .sina b.
Câu 53. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. sin(a b ) sin .cosa b c a os .sinb. B. sin(a b ) sin .cosa bcos .sina b.
C. tan( ) tan tan

1 tan .tan

a b

a b

a b



 

 . D.

tan tan
tan( )

1 tan .tan

a b

a b

a b



 

 .

Câu 54. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. _c_os2_{a c}_ _os2_a__sin2_a. B. _c_os2_a_{ }_{1 2 os}_c 2_a.
C. _c_os2_a_{ }_2sin2_a_₁. D. _{sin 2}_a__{2sin .cos}_a _a.
Câu 55. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. sin sin 1[cos( ) cos( )]
2

a b a b  a b . B. cos cos 1[cos( ) cos( )]
2

a b a b  a b .

C. sin sin 1[cos( ) cos( )]
2

a b a b  a b . D. sin cos 1[sin( ) sin( )]
2

a b a b  a b .

Câu 56. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. cos cos 2 cos cos

2 2

u v u v

u v   . B. cos cos 2sin sin

2 2

u v u v

u v   .

C. sin sin 2sin cos

2 2

u v u v

u v   _. _D.sin sin 2cos sin

2 2

u v u v

u v   _.

Câu 57. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. sin 4a2sin .cosa a. B. sin 4asin 2 .cos 2a a.
C. _{cos 4}_a__{1- 2sin 2}2 _a. D. _{cos 4}_a__4cos2_a_-1.
Câu 58. Có bao nhiêu mệnh đề dưới đây là mệnh đề đúng?

(I) cos sin 2 sin
4
x x _x _

  (II) cosx sinx 2 cos x 4



 

  _  _

 

(III) cos sin 2 sin
4
x x _x _

  (IV) cosx sinx 2 sin 4 x



 

  _  _

 

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 59. Cho cos 3
2

a . Hãy tính cos 2a.
A. 1

2. B.

1
2

 . C. 1

4. D.

1
4
 .
Câu 60. Cho sin 5

6

a . Hãy tính cos 2a.
A. 2

3. B.

2
3

 . C. 13

18. D.

</div>
<span class='text_page_counter'>(66)</span><div class='page_container' data-page=66>

Câu 61. Cho tan 3
2

a . Hãy tính tan 2a.

A. 4 3. B. 2 3. C. 4 3_. _D.2 3_.

Câu 62. Cho cos 2 1; cos 0
3

a a . Hãy tính cosa.
A. 2

3. B.

6

3 . C.

1

3. D.

3
3 .
Câu 63. Cho cos 3; sin 0

4

a a . Hãy tính sin 2a.
A. 3 7

8 . B.

3

16. C.

7

2 . D.

3 7
16 .
Câu 64. Cho sin 3; os 0

5 c

    . Hãy tính sin 2.
A. 12

25. B.

24
25

 . C. 24

25. D.

12
25
 .
Câu 65. Cho cos 3; sin 0

4

   ; sin 3; os 0
5 c

    . Hãy tính cos(  ).
A. 1 7 9

5 4

 

 _  _

 . B.

1 9

7

5 4

 

 _  _

 . C.

3 7

1

5 4

 

 __  __

 . D.

3 7

1
5 4
 
 __  __
 .

Câu 66. Cho cos 3; sin 0
4

   ; sin 3; os 0
5 c

    . Hãy tính cos(  ).
A. 3 1 7

5 4

 

 _  _

 . B.

3 7

1

5 4

 

 _  _

 . C.

1 9

7

5 4

 

 _  _

 . D.

1 9
7
5 4
 
 _  _
 .
Câu 67. Cho cos 0, 6; 0

2

a  a  _{. Hãy tính}cos
2
a_.

A. 2 5

5 . B.

2 5
5

 _. _C. 5

5 . D.

5
5
 _.
Câu 68. Cho sin 3;

5 2



    . Hãy tính sin
2

 _.

A. 3 10
10

 . B. 3 10

10 . C.

10

10 . D.

10
10
 .
Câu 69. Với sina0; cosa0_{Mệnh đề nào sau đây là đúng?}

A.





2

2 2
1
cot tan
sin .cos
a a
a a

  . B.





2 ₂ ₂

cotatana cot atan a2.

C.





2 ₂ ₂

cotatana cot atan a2. D.





2

2 2

1 1
cot tan
sin cos
a a
a a
   .

Câu 70. Cho biểu thức _{P 2sin}2 _{4 os ; cos}2 1
2

a c a a

   _{. Hãy tính giá trị của biểu thức P.}
A. 7

4. B.

1

4. C. 7. D.

</div>
<span class='text_page_counter'>(67)</span><div class='page_container' data-page=67>

Câu 71. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.





2

sinacosa  1 2.sin .cosa a. B.





2

sinacosa  1 sin 2a.

C. _sin4_a__cos4_a_{ }_{1 2.sin}2_a_.cos2_a. D. _sin6_a__cos6_a_{ }_{1 3.sin}2_a_.cos2_a.

Câu 72. Cho tanacota2_{. Hãy tính giá trị của biểu thức}_P__tan2_a__cot2_a_.

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Câu 73. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

A. sin 2b 2 sin cos .b b B. sin 2a sin cosa a.
C. sin 2a 2 sin .a D. sin 2b 2 sin cos .a a
Câu 74. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

A. cos(a b ) cos cosa bsin sina b. B. cos(a b ) cos cosa bsin sina b.

C. cos(a b ) sin cosa bsin cosb a. D. cos(a b ) sin sina bcos cosa b.

Câu 75. Cho _{cos 2} 1



₄₅0 ₉₀0



9

x    x thì cosx có giá trị là:

A. cosx  2₃. B. cosx  2₃. C. cosx  4₉. D. cosx  2₃ .
Câu 76. Tính giá trị biểu thức: _{cos30 .cos60}0 0__{sin 30 .sin 60}0 0

A. 0. B. 1. C. 1 .

2

 D. 3 .

2

Câu 77. Tính cos 75 .cos150 0 là:
A. 1

4. B. 14. C. 43. D. 34.

Câu 78. Tính giá trị biểu thức: _{sin 30 cos60}0 0__{cos 30 sin 60}0 0

A. 1. B. 0. C. 3 .

2 D. 23 .

Câu 79. Cho hai góc & _và_{ }_{ }₉₀0_{. Tính giá trị của biểu thức:}_{sin os + sin os}_{ }_c _{ }_c

A. 1. B. 0. C. -1. D. 2.

Câu 80. Cho sina=-0,8 và 3

2

a 



 _

 _{ } _

 _

 

 . Tính sin2a.

A. 0,96. B. -0,96. C. -0,576. D. 0,48.
Câu 81. Tính giá trị biểu thức

2

2 2

2 cos ₈ 1

1 8 sin ₈cos ₈

A



 






A. 2 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(68)</span><div class='page_container' data-page=68>

Câu 82. Cho biểu thức sin 3 sin

3x cosx

A

cos x  x



 chọn khẳng định đúng.

A. tan 2x. B. tanx . C. tan 3x. D. tan 4x .
Câu 83. Cho cosx sinx  2. Tính sin2x.

A. 1. B. 2 1 . C. 1 2. D. -1.

Câu 84. Cho cos2x₂

sin

A

x

 khẳng định nào đúng?

A. _{cot x}2 _₁_. _B._{1 cot}_ 2_x_. _C._tan2_x_₁_. _D._{1 tan}_ 2_x_.

Câu 85. Cho biểu thức M được viết dưới dạng tổng: M = cos110 + cos10. Khẳng định nào
đúng?

A. _M __{2 6 . 5}_{cos cos}0 0_. _B._M __{2 22 . 10}_{cos cos}0 0_.

C. _M __{2 6 .sin5}_cos 0 0_. _D._M __{2sin6 .sin 5}0 0_.

Câu 86. Tính biểu thức os7 . os

24 24

A c  c  .

A. 1 2 1





4  . B. 1 2 14

 

 . C. 1 1 24

 

 . D. 2 1 .

Câu 87. Tính biểu thức

5

sin +sin₉ ₉

5

os ₉ os ₉

A

c c

 

 





.

A. 3. B. 1

3 . C.

1
3

 . D.  3.
Câu 88. Cho cosasina m . Tính theo m giá trị của cos4a.

A. _{1 2(}_ _m2_₁₎2_. _B._{1 (}_ _m2 _₁₎2_. _C._m2_. _D.₂₍_m2_{ }_{1) 1}2 _.

Câu 89. Đơn giản biểu thức sin sin 3 sin 5

cosa cos 3a cos 5a

P

a  a a



  . Tìm lời giải đúng trong các lời giải

sau.

A. sin sin 3 sin 5 sin 3 (2 cos2 1) sin 3 tan 3

cosa cos 3a cos 5a cos 3 (2 cos2a a 1) cos 3a

P a

a  a a a a a

   

   .

B. sin sin 3 sin 5 sin 9 tan 9

cosa cos 3a cos 5a cos 9a

P a

a  a a a

  

  .

C. sin sin 3 sin 5 tan tan 3 tan 5 tan 9

cosa cos 3a cos 5a

P a a a a

a  a a

    

  .

D. sin sin 3 sin 5 sin 9 sin tan

cosa cos 3a cos 5a cos 9a cos

P

a  a a a

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(69)</span><div class='page_container' data-page=69>

Câu 90. Đơn giản biểu thức 1 cos 2 sin 2

1 cos 2x sin 2x

K

x x

 



  ta được kết quả

A. K cotx. B. K  tanx. C. K 1. D. _K _ _tan2_x _₁_.

Câu 91. Nếu tan , 1
4

x  t t

 _

 _ __ _{ }

 _

 

  thì tanx bằng gì?

A. tan 1

1

t
x

t



</div>
<span class='text_page_counter'>(70)</span><div class='page_container' data-page=70>

CHỦ ĐỀ: TÍCH VƠ HƯỚNG

CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

BÀI 1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 00 ĐẾN 1800

I. Mục tiêu:

Hs nhận biết và rèn luyện các kiến thức đã học trên lớp thông qua việc giải các bài tập trắc
nghiệm

Có kĩ năng giải nhanh và chính xác các dạng bài tập
II. Nội dung

1. Kiến thức cần nhớ

1. Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

















0

0

0

0

sin sin 180

os =-cos 180

tan tan 180

cot cot 180

c

 

 

 

 

 



  

  

2. Các hệ thức cơ bản









2 2

0 0 0

2 2

2 2

sin os 1

sin _tan ₉₀ os _cot _{0 ;180}

os sin

tan .cot 1

1 1

1 tan 1 cot

os sin

 

   



   

c

c
c

c

 

 _{ }  _{ }

 

 

 

 

2. Bài tập tự luận
1. Chứng minh rằng

a. _sin4_{ }_cos4_{ }_2sin2_{ }₁_với__{bất kì}

b.





2

sin cos  1 2sin cos  với ₀0_{  }₁₈₀0_{bất kì}

c. _sin4_{ }_cos4_{  }_{1 2sin}2__cos2__với₀0 _{  }₁₈₀0_{bất kì}

2. Tính các giá trị lượng giác cịn lại của góc _{, biết}

a. cos 2
3

   b. _tan_{ }_{2, 0}



0_{  }₉₀0



c. sin 4
5

  d. cot 1

2

  

3. Cho tan  2_{. Tính giá trị biểu thức}A 3sin cos

sin cos

  


</div>
<span class='text_page_counter'>(71)</span><div class='page_container' data-page=71>

3. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Tính giá trị biểu thức



_2sin300__{cos135 3tan150}0_ 0



_cos1800__cos600



A. _








 




2
3
2
2
1
2

3 _. _B. 2 3 3

2

 _. _C.

2
3
3

2 _. _D.

2
1_.

Câu 2. Đơn giản biểu thức _{T cos20 cos40}_ 0_ 0__{cos60 .... cos160}0_ _ 0__cos1800_{ta được kết quả}

A. T 1. _B.T 1. _C.T 0. _D.T 3

2

 .
Câu 3. Tính giá trị biểu thức _{A 3sin 45}_ 2 0_



_{2 tan 45}0



3__{8cos 30}2 0__{3cot 90}3 0_.

A. A 1 . B. A 1. C. A 1 1
3

  . D. A 25

2

  .
Câu 4. Tính giá trị biểu thức .

A. 0_. _B. 2

3

 C. 1 D. ₃4.

Câu 5. Giá trị của biểu thức T = 2sin(1800_–__{) + 6cos(}__{– 60}0_{) + tan(}__{– 120}0_{), với}__{= 150}0_là

A.

3

1 _B._–1 _C._{1 +}

3

1 _D.

54
19

Bài 2: TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
I. Mục tiêu

1. Về kiến thức

- Biết định nghĩa tích vơ howngs của hai vectơ và các tính chất của nó.

- Biết được biểu thức tọa độ của tích vơ hướng, cơng thức tính độ đài và góc giữa hai vectơ.
2. Về kĩ năng:

- Xác định được góc giữa hai vecto dựa vào tích vơ hướng của hai vectơ đó, tính đượ độ

dài vectơ và khoảng cách giữa hai điểm.

II. Nội dung

1. Kiến thức cần nhớ
a. Định nghĩa:

Cho hai vectơ a b , khác 0. Tích vơ hướng của avà b là một số, kí hiệu: a b . , được
xác định bởi công thức:a b   .  a b. .cos ,

 

a b 

</div>
<span class='text_page_counter'>(72)</span><div class='page_container' data-page=72>

* a b  a b . 0_*a b  a b a  .  2(a2 gọi là bình phương vơ hướng của a)

* a b . âm hay dương phụ thuộc vào Cos a b( , ) 
b) Các tính chất :

Với ba vec tơ a b c  , , bất kì. Với mọi số k ta có
. .

a b b a    ;a b c  .(  )a b a c   .  . .
( . ).k a b k a b  .( . )  a k b .( . )

2 2

0, 0 0

a  a   a 

*Nhận xét:

2 2 2

2
2 2

2 2

( ) 2 .

( ) 2 .

( )( )

a b a a b b

a b a a b b

a b a b a b

   

   

   

 
   



    

 
   

c . Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng:
Cho 2 vectơ a a a b b b( ; ), ( ; )1 2 1 2

 

.Ta có : a b a b a b.  1 1.  2. 2

 

Nhận xét :

.

a b  = 0 khi và chỉ khi a b_{1 1}. a b₂. ₂ =0 (a b  , 0)
d. Ứng dụng : Cho a a a b b b( ; ), ( ; )1 2 1 2

 

* Độ dài vec tơ : 2 2

1 2

a  a a



* Góc giữa hai vec tơ : cos( , )a b  = .

.
a b
a b

 

  = 1 1 2 2

2 2 2 2

1 2 1 2

. .

.

a b a b

a a b b



 

* Khoảng cách giữa hai điểm: ₍ ₎2 ₍ ₎2

B A B A

AB x x  y y

2. Bài tập tự luận

Dạng 1: Tính tích vơ hướng của 2 vectơ.

</div>
<span class='text_page_counter'>(73)</span><div class='page_container' data-page=73>

* Chú ý: ta biết ₂ 2





2 2 2

2 .

     

BC BC  AC AB  AC AB  AC AB

Suy ra . 2 2 2

2

 

 AC AB BC

AC AB

 

b) Bài tập

Bài 1: Cho hình vng ABCD có cạnh a . Tính AB AD. , AB AC. .
Bài 2: Cho tam giác ABC vng tại C cóAC9,BC5. Tính AB AC. .

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB5,BC7,CA8.

a. Tính AB AC. rồi suy ra giá trị của góc A
b. Tính CACB. .

Bài 4: Cho tam giác ABC có AB6,BC11,CA8.
a. Tính AB AC. và chứng tỏ tam giác ABC có góc A tù.

b. Trên cạnh AB lấy điểm M, sao cho AM 2và gọi N là trung điểm cạnh AC. Tính AM AN. .

Dạng 2: Tính góc giữa hai vectơ khi biết tọa độ của hai vectơ đó

a) Phương pháp: Áp dụng công thức: cos( , )a b  = .
.
a b
a b

 

  = 1 1 2 2

2 2 2 2

1 2 1 2

. .

.

a b a b

a a b b



 

b) Bài tập: Tính góc giữa hai vectơ a và b trong các trường hợp sau:
) (1; 2); ( 1; 3) ) (3; 4); (4;3) ) (2;5); (3; 7)
a a  b   b a  b c a b 

Dạng 3: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A x y



_A; _A

 

,B x y_B; _B

 

,C x y_C; _C



. Xác định hình

dạng của tam giác ABC.

a) Phương pháp :

- Tính



 

2



2

 B A  B A

AB x x y y , BC



xCxB

 

2 yCyB



2



 



2 2

 A C  A C

CA x x y y

–Nếu AB = BC = CA =>Tam giác ABC đều .

–Nếu AB = AC =>Tam giác ABC cân
–Nếu

. 0








BC BA

BA BC

  => Tam giác ABC vuông cân tại B

–Nếu BC2=AB2 +AC2 =>tam giác ABC vuông tại A

</div>
<span class='text_page_counter'>(74)</span><div class='page_container' data-page=74>

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho

   

4;6 , 1; 4 , 7;3
2

 

 

 

A B C

a. Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
b. Tính độ dài 3 cạnh của tam giác.

Bài 2: Cho ABC A(3,-1) , B(-4,0) , C(8,9)

a) Tính AB AC. . Từ đó cho biết góc A là góc gì?
b)Tính chu vi ABC

c) Tìm tọa độ A’ là chân đường cao hạ từ A của ABC.Tính diên tích ABC
d) Tìm tọa độ trực tâm H của ABC_.

e) Tìm tọa độ trọng tâm ABC_{, tâm}_I_{của đường trịn ngoại tiếp}ABC_{.Từ đó chứng}
minh I,H,G thẳng hàng.

Bài 3.Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A



1;1 ,

     

B 0;2 ,C 3;1 ,D 0; 2



. Chứng minh tứ

giác ABCD là hình thang cân.

Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A



1;1 ,

   

B 1;3 ,C 1; 1



.Chứng minh tam

giác ABC vuông cân tại A

Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A

  

1;5 ,B 3; 1 ,

  

C 6;0 .Xác định hình
dạng của tam giác ABC . Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A

  

0; 2 ,B m;0 ,

 

C m3;1



. Định m để
tam giác ABC vuông tại A.

Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm A



2; 1 ,

 

B 2;1



A (2 ; –1). Tìm điểm M biết tung độ

là 2 và tam giác ABM vuông tại M .

Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm A

   

2;4 ,B 1;1 . Tìm điểm C sao cho tam giác ABC
vng cân tại B

3. Bài tập trắc nghiệm

Câu 6. Cho u



2; 3 ,



v



8; 12



. Tìm khẳng định đúng.

A. u và v cùng phương B. u vng góc với v

C. | u| = | v| D. Các câu trên đều sai.

Câu 7. Cho u

 

3; 4 ,v 



8;6



. Câu nào sau đây đúng?

A. | u| = | v| B. u và v cùng phương

</div>
<span class='text_page_counter'>(75)</span><div class='page_container' data-page=75>

Câu 8. Cho a  



2; 1 ,



b



4; 3



. Tính cos ,

 

a b  .

A. 5
5

 . B. 2 5

5 C. 2

3 _D.

2
1

Câu 9. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A

  

1;2 ,B 1;1 ,

 

C 5; 1



. Tính cos



 AB AC,



.
A.

2
1

 B.

2

3 _C.

7

3 _D. 5

5
 .
Câu 10. Trong mặt phẳng Oxy, cho bốn điểm

  

1; 2 , 2; 4 ,

  

0;1 , 1;3

2

 

  _ _

 

A B C D . Câu nào sau

đây đúng?

A. AB cùng phương với CD B. |AB| = |CD|

C. AB _|_ CD D. AB= CD

Câu 11. Tam giác ABC_{vng tại}C_có_AC__4,_CB__3._{Hãy tính} AB AC. .
A.  AB AC. 16. _B. AB AC. 10 2.

C.  AB AC. 0. _D. AB AC. 20.

Câu 12. Cho tam giác ABC có AB5,AC8,Aˆ120 . _{Hãy tính} _{AB AC}_. _.

A.  AB AC.  20 _B. AB AC. =20 _C. AB AC. =10. D.  AB AC. =0.
Câu 13. Tìm góc giữa hai véctơ a

 

4;3 và b

 

1;7 .

A.

 

a b , 45 . _B.

 

_{a b} _, __{90 .} _C.

 

_{a b} _, __{60 .} _D.

 

_{a b} _, __{30 .}

Câu 14. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(5;7), (3;1)B . Khoảng cách từ gốc O đến trung
điểm M của đoạn AB_là

A. 4 2 B. 10 C. 5 D. 4

Câu 15. Nếu ABC đều thì

A. _. 1 2

4

AB AC  AB

 

B. _. 1 2

2

AB AC  AB

 

C. _. 1 2

2

AB AC  AB

 

D. _. 3 2

2

AB AC AB

 

Câu 16. Cho hai véctơ u



2; 1 ,



v 



4; 2



. Tìm khẳng định sai?

A. Tọa độ véctơ u v  là



2;1



_B._{Độ dài véctơ}u bằng 5
C. Góc giữa hai véctơ u v v à bằng 900 D. Hai véctơ _{u v} _, cùng phương

Câu 17. Cho hai véctơ a

 

1;3 , b 



6; 2



. Khẳng định nào sau đây là đúng
A. a b B. (2a b) (2 a b)

C. Cả A và B đúng D. A đúng và B sai

</div>
<span class='text_page_counter'>(76)</span><div class='page_container' data-page=76>

A. a b. 16 B. a b.8 C. a b.16 D. a b. 8
Câu 19. Cho hình vng ABCD có cạnh a. Tìm khẳng định đúng.

A.  AB AD. 0_và_{AB AC a} _. _ 2_. _B. _{AB AD}_. _₀_và _{AB AC}_. __0.
C.  _{AB AD a}_. _ 2và  _{AB AC}_. __0. D.  _{AB AD a}_. _ 2 và  _{AB AC a}_. _ 2_.
Câu 20. Cho hình vng ABCD. Tìm giá trị cos



 BA BD,



.

A. cos



,



2.
2

BA BD 

 

B. cos



BA BD ,



0.
C. cos



,



3

2

BA BD 

 

D. cos



BA BD ,



=1.

Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai véctơ u



1; 2



và v

 

2;1 . Tìm khẳng
định sai.

A. u v  . 0. B. u v . 0. C. u v  . D. u  v.

Câu 22. Cho tam giác ABC_{đều cạnh}a._{Hãy tính} AB AC. .

A. . 2.

2
a
AB AC
 

B.  _{AB AC a}_. _ 2_. C.  _{AB AC a}_. _ _. D.  _{AB AC}_. __0.
Câu 23. Cho ABC_{cạnh bằng a. Tính} AB BC.

A. 2
2

a _B. 2

2
a

 _C. 2 ₃

2
a

 _D. 2 ₃

2
a

Câu 24. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho tứ giác ABCD có



2; 6 , (4; 4), (2; 2), ( 1; 3)



A   B  C  D   _{. Khẳng định nào sau đây là đúng}

A. Hình vng B. Hình bình hành C. Hình thang D. Hình thang cân
Câu 25. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho MNP_cóM

 

1;5 , ( 1:1), (3;1)N  P _{. Khẳng}
định nào sau đây là đúng

A. MNP_{vuông cân tại}M

B. Tọa độ trung điểm I của MN là I(2; 2)
C. MNP đều

D. MNP_cân

Câu 26. Cho tam giác ABC có _Bˆ__{60 ,}0 _AB__2,_BC_{ }₂ ₂. Tính  _{AB BC}_. .

A. 2 2 _B. 2 2_. _C. 2 2_. _D.2 2

Câu 27. Cho tam giác cân ABC có _AB__AC __1,_BACˆ _₁₂₀0. Gọi M là điểm thuộc cạnh AB sao

cho 1

3


AM . Tích vơ hướng  AM AC. bằng
A. 3

8

 . B. 1

6

 . C. 3

2

 . D. ₂1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(77)</span><div class='page_container' data-page=77>

A. 6 2. B. ₂9. C. 6. D. 9.

Câu 29. Cho hai vectơ a

 

2;5 ,b



3; 7



. Góc tạo bởi a và b là

A. ₄₅0. B. ₁₃₅0. C. ₆₀0. D. ₁₂₀0.
Câu 30. Cho hình vng ABCD, giá trị cos AB, CA



 



_là

A. ₂1 B. 1

2

 C.

2

2 _D. 2

2



Câu 31. Cho tam giác ABC vng cân tại B_{có tọa độ hai điểm}A

 

2;4 _vàB

 

1;1 ._Tìm
tọa độ điểm C.

A. C

 

4;0 và _C'_{ }



_{2; 2 .}



_B._C_

 

_4;0

C. C 



2; 2



_D.C

 

4;0 _và_C'_{ }



_{1; 2 .}



Câu 32. Cho hình bình hành ABCD có AB3,AC9,AD6. Độ dài đường chéo BD bằng

A. 9. B. ₂9 C. 5. D. 3.

Câu 33. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A



1;2 ,

    

B 2;0 ,C 3; 4 . Toạ độ trực tâm H của
tam giác ABC là

A.

 

4;1 B. 9 10;
7 7

 

 

  C.

4
; 2
3

 

 

  D.

 

2;3

Câu 34. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ABCvớiA

    

2;7 ,B 6;3 ,C 2; 1



. Tọa độ

tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC là

A. I



3; 2



. B. I

 

2;3 C. I



2;3



D. I

 

3;2 .

Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ABC_cóA

  

1;1 ,B  3; 2 ,

  

C 0;1 . Tọa độ
chân đường cao AA_củaABC_là

A. ( 1 3; )
2 2

A  _B. ( ; )1 3
2 2

A _C. ( ;1 3)

2 2

A  _D. ( 1; 3)

2 2
A  

Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ABC với A

  

1;5 ,B  4; 5 ,

 

C 4; 1



. Tọa độ

chân đường phân giác trong của góc A là
A.



1;-5



B. 1;-5

2

 

 

  C.

-5
;1
2

 

 

  D.

5
1;

2

 

 

 

Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A



1;3 ,

  

B 3;1 và trực
tâm H

 

1;1 . Tọa độ đỉnh C là

A.



-1;-2



B.

 

1;-3 C.



-1;-3



D.

 

1;-2

</div>
<span class='text_page_counter'>(78)</span><div class='page_container' data-page=78>

A.



1; 1



hay

 

0;6 . B.

 

1;0 hay

 

0;6
C.

 

1;0 hay

 

0;5 . D.



1; 1



hay

 

0;5

Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho A



1;1 ,

    

B 3;1 ,C 0;4 . Tìm tọa độ A’ là
hình chiếu vng góc của A trên BC.

A.

 

0; 2 . B.

 

1;3 . C.

 

2;3 . D.

 

0;3 .

Câu 40. Trong mặt phẳng Oxy, Cho A 1;1 ,B 2; 2 ,M Oy v MA MB

  





 à  . Tìm tọa độ điểm

M.

A.

 

0;1 . B.



1;1



. C.



1; 1



. D.



0; 1



.

Câu 41. Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC biếtA 3;0 ,B 3;0 ,C 2;6





    

. Gọi H(a;b) là trực
tâm của ABC. Tính a 6b.

A. a 6b 5.  B. a 6b 6.  C. a 6b 7.  D. a 6b 8. 
Câu 42. Trong mặt phẳng Oxy, choA



1;1 ,

  

B 1; 4 . Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường
thẳng y=2x sao cho:  AM BM  5.

A. M

 

1;2 . B. M



 1; 2



. C. M

 

2;1 . D. M

 

0;2 .

BÀI 3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ
GIẢI TAM GIÁC

----***---
I. MỤC TIÊU

- Về kiến thức: Biết được định lí cosin, định lí sin trong tam giác, cơng thức đường trung
tuyến, cơng thức tính diện tích tam giác.

- Về kĩ năng: Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác để tính các góc, cạnh của tam giác,
tính độ dài đường cao, đường trung tuyến, bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam
giác, diện tích tam giác

II. NỘI DUNG
1. Kiến thức cần nhớ

I. HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Tam giác ABC vuông tại A. Các cạnh AB = c, AC = b, BC = a,
đường cao AH = h, BH = c’, HC = b’.

Ta có :

c h b

H

c' b'

a
A

</div>
<span class='text_page_counter'>(79)</span><div class='page_container' data-page=79>

2

2 2 2

2
2

2 ' 2

2 2 2

'
'
'

1 1 1

a b c

b a b

c a c

h b c

ah bc

h b c

 
 
 
 

 

sinB cosC b . tanB cotC b

a c

   

II. HỆ THỨC LƯƠNG TRONG TAM GIÁC BẤT KỲ

Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c, ma, mb, mc lần lượt là độ dài

đường trung tuyến lần lượt kẻ từ A, B, C. R , r lần lượt là bán kính đường trịn ngoại
tiếp, nội tiếp, h h h_a, ,_b _clần lượt là các đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C. P là nữa chu vi, S
là diện tích tam giác ABC.

Ta có:

1. Định lí Cơsin:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a b c – 2bccosA.
b a c – 2accosB.
c a b – 2abcosC.

 

 

 

2. Hệ quả:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

cos
2
cos
2
cos
2

b c a

A

bc

a c b

B

ac

b a c

C
ba
 

 

 


3. Độ dài đường trung tuyến

trong tam giác:



2 2



2
2 2

4

a

b c a

m   



2 2



2
2 2

4

b

a c b

m   

2 2



2 2



2
4

c

a b c

m   

4. Định lí Sin:

R
C
c
B
b
A
a
2
sin
sin

sin   

5. Cơng thức tính diện tích của tam giác:
5.1. SABC aha bhb

2
1
2

1


 ch_c

2
1

 .

5.2. absinC
2

1

S_ABC  acsinB

2
1
A
sin
bc
2
1 _

5.3.
R
abc
S_ABC
4


5.4. S_ABC  pr, ( trong đó P =

2

c
b
a  ₎

</div>
<span class='text_page_counter'>(80)</span><div class='page_container' data-page=80>

III. MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết _b__14, _c__10, _A_₁₄₅0. Hãy tìm _{a B C}_{, ,} .
Giải: Áp dụng định lí Cơsin vào tam giác ABC ta được:





2 2 2 ₂ ₁₄2 ₁₀2 _2.14.10. ₁₄₅0 _{196 100 280 0,8191} _525,35
23

a b c bcCosA cos

a

          

 

Áp dụng hệ quả định lí Cơsin ta có:







 



_

_

2 2 2 2 2

0

0 0 0 0 0

525, 25 10 14

cos 20 26'

2 2.23.10

180 180 145 20 26' 14 34'

a c b

B B

ac

C A B

   

   

      

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC biết a4, b5, c7. Tìm số đo các góc của tam giác.
Giải:

Áp dụng hệ quả định lí Cơsin ta có:







 



_

_

2 2 2 2 2 2

0

2 2 2 2 2 5

0

0 0 0 0 0

5 7 4 58

cos 34 3'

2 2.5.7 70

4 7 5 40

cos 44 25'

2 2.4.7 56

180 180 34 3' 44 25' 101 32'

b c a

A A

bc

a c b

B B

ac

C A B

   

    

   

    

      

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC biết a7, b8, c6. Tìm độ dài trung tuyến hạ từ đỉnh A.
Giải:

Ta có:

2. Bài tập tự luận

1. Cho tam giác ABC biết _a__7, _b__23, _C _₁₃₀0_{. Hãy tìm}_{c B A}_{, ,} _.

2. Cho tam giác ABC biết a14, b18, c20. Tìm số đo các góc của tam giác.

3. Cho tam giác ABC biết _a__{2 3,} _b__2, _C_₃₀0, tính cạnh c, số đo góc B và độ dài trung tuyến kẻ
từ A.

4. Cho tam giác ABC biết 7, 5, cos 3
5

b b A .

a) Tính a, sinA và diện tích của tam giác ABC.

b) Tính đường cao hạ từ đỉnh A và bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác.
5. Cho tam giác ABC biết _b__8, _c__5, _A_₆₀0.

a) Tính đường cao hạ từ đỉnh B và bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.
b) Độ dài trung tuyến hạ từ đỉnh C.

6. Cho tam giác ABC biết AB5, BC7, CA8
a) Tính:  AB AC. .

b) Tính số đo các góc trong tam giác.



2 2



2



2 2



2

2 2 2 8 6 7 151 151

4 4 4 2

   

    

a a

b c a

</div>
<span class='text_page_counter'>(81)</span><div class='page_container' data-page=81>

c) Chu vi và diện tích tam giác ABC.

d) Tính độ dài bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC.
e) Tính độ dài đường cao hạ từ các đỉnh A, C.

f) Tính độ dài đường trung tuyến hạ từ đỉnh B.
7. Cho tam giác ABC biết AB 6, BC2, CA 



1 3



a) Tính số đo các góc trong tam giác.
b) Chu vi và diện tích tam giác ABC.

c) Tính độ dài bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC.
d) Tính độ dài đường cao hạ từ các đỉnh A, C.

e) Tính độ dài đường trung tuyến hạ từ đỉnh B.
8. Giải tam giác ABC biết _b__14, _c__10, _A_₁₄₅0
9. Giải tam giác ABC biết a4, b5, c7
10.Tam giác ABC có cạnh _a__{2 3,} _b__2, _C_₃₀0

a) Tính cạnh c, góc A và diện tích tam giác ABC.

b) Tính chiều cao h_a và đường trung tuyến hạ từ đỉnh A.
11. Cho AB = 3m _HAD__{37 ,}0 _HBD_₅₅0_{, CH = 40cm .Tính CD?}

12. Cho AB=10m _ABC__{47 ,}0 _CAB_₅₇0.Tính khoảng cách từ vị trí đặt máy chụp ảnh đến vị
trí của đền trên Hồ Gươm (từ A đến C)

3. Bài tập trắc nghiệm

Câu 43. Xét trong tam giác ABC, công thức nào đúng?
A. cosC a2b2c2

ab . B.

 

 2 2 2

cos

2

a c b

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(82)</span><div class='page_container' data-page=82>

C. cos  2 2 2

2

a b c

A

ab . D.

 
 2 2 2

2

c a b c

m

ab .

Câu 44. Trong các cơng thức tính diện tích sau, cơng thức nào sai?
A. 1 sin

2

S ab C. B. S abc

R .

C. S p p a p b p c(  )(  )(  ). D. S  pr.

Câu 45. Tam giác ABC vuông ở A và B = 300_{. Khẳng định nào sai?}

A. cosB = 1

3. B. sinC =

3
2 .

C. cosC = 1₂. D. sinB = 1₂.
Câu 46. Trong tam giác ABC có _{A 60}  0

, AC10_,AB6_{. Tính cạnh B}_C.

A. 2 19. B. 76. C. 6 2. D. 14.

Câu 47. Trong tam giác ABC có _B_₃₀0

, _C _₄₅0

,AB3_{. Tính cạnh A}_C.
A. 3 2

2 . B. 6. C.

3 6

2 . D.

2 6
3 .
Câu 48. Cho tam giác ABC, có _b__8,_c__{3, A 60} _ 0.Tinh độ dài cạnh a.

A. 61. B. 49. C. 97. D. 7.

Câu 49. Cho tam giác ABC có _b__6,_c__8,_A_₆₀0_{. Tính độ dài cạnh}_a_.

A.

2 13.

B.

3 12.

C.

2 37.

D.

2 37.

Câu 50. Cho tam giác ABC có

a



24,

b



13,

c



15

. Tính góc

A

.

A. _{33 34}0 __. _B._{117 49}0 __. _C._{28 37}0 __. _D._{58 24}0 _

Câu 51. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB2a. Tính độ dài đường trung tuyến

BM

.

A.

2

a

3

. B.

2

a

2

. C.

a

5

D. 3a.

Câu 52. Cho tam giác ABC thỏa mãn

_b

2

_{ }

_c

2

_a

2

_

₃

_bc

_{. Tính góc}

_A

_.

A. _A_₃₀0_. _B._A_₄₅0_. _C._A_₆₀0 _D._A_₇₅0

Câu 53. Cho tam giác ABC có b2 2,c2 và độ dài đường trung tuyến

AM



3

. Tính
độ dài cạnh a.

A. 12. B. 0. C.

3 2

. D.

2 3

Câu 54. Cho tam giác ABC có

a



3,

b



4,

c



5

. Tính độ dài trung tuyến ma của tam giác.

A. 48

2 . B.

73

4 . C.

73

2 . D.

</div>
<span class='text_page_counter'>(83)</span><div class='page_container' data-page=83>

A. 5. B. 10. C. 5 3. D. 10 3.

Câu 56. Cho tam giác ABC có _b__6,_B_₃₀0. Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác
ABC.

A. 6 B. 12. C. 24. D. 2 3

Câu 57. Cho tam giac ABC có a 9,b 7,c 4   . Giá trị CosB là
A. 8

21. B.

4

3. C.

2

3. D.

6
7.

Câu 58. Cho tam giác ABC có a3,b4,c5. Tính diện tích tam giác ABC.

A. 6 2. B. 6. C. 6 D. 36.

Câu 59. Cho tam giác ABC có _a__3,_b__4,_c__{5,A 30}_ 0_{. Tính đường cao}

a

h tam giác ABC.

A. 5₆. B. 20₃ C. 10₃ . D. 10 3₃ .

Câu 60. Cho tam giác ABC có_a__8,_b__6,_c__5,_Bˆ_₃₀0. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC.

A. 12. B. 1

3. C. 48. D. 3.

Câu 61. cho tam giác ABC có 5, 7,cos 1
2

  

b c A . Tính diện tích tam giác ABC

A. 105

8 . B.

35 3

4 C.

35 5

4 D.

35
4 .
Câu 62. Cho tam giác ABC có _a__8,_b__6,_Cˆ_₆₀0. Tính độ dài trung tuyến

c

m của tam giác.

A. 13. B. 37 C. 37. D. 28.

Câu 63. cho tam giác ABC vuông tại B, biết AB5,BC7. Tính giá trị cosCcủa tam giác.
A. 74

7 . B.

24

7 . C.

7 74
.

37 D.

7 74
74

Câu 64. cho tam giác ABC đều cạnh bằng 5. Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác

ABC.

A. 5 3

6 . B.

5 3

2 . C.

5 3

3 . D.

2 3
5 .
Câu 65. cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn, biết 8, 6,sin 3

5

  

b c A .Tính độ dài cạnh a
của tam giác ABC.

A. 116

5 B.

116

5 . C.

2 241

5 D.

308
5 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(84)</span><div class='page_container' data-page=84>

A. 9 2

2 . B. 18 2. C.

9 3

3 . D.

18 3
3 .

Câu 67. Tính bán kính đường trịn nội tiếp một tam giác vuông, biết độ dai cạnh huyền
bằng 13 và độ dài cạnh góc vng bằng 5.

A. 4. B. 2. C. 1.

2 D. 1.

Câu 68. Tính diện tích tam giác có ba cạnh lần lượt là 5, 12, 13.

A. 60. B. 30. C. 34. D. 7 5.

Câu 69. Trong tam giác ABC có _A_₃₀0, _AC_₁₃, _AB_₁₂. Tính diện tích tam giác đó.

A. 39. B. 78 3. C. 39 3. D. 78.

Câu 70. Tam giác có ba cạnh lần lượt là 5, 6, 7. Tính đường cao ứng với cạnh có độ dài
bằng 6.

A. 2 6. B. 6. C. 5 3

2 . D. 5.

Câu 71. Trong tam giác ABC có _A_₆₀0, _AC_₃,_AB_₁. Tính bán kính _R đường trịn ngoại
tiếp tam giác đó.

A. R 7. B. 21

3

R . C. R 3. D. 5

2
R .
Câu 72. Trong tam giác ABC_có_A_₇₅0

, _B_₄₅0

. Hỏi tỉ số AB
AC?

A. 6

2 . B.

2

2 . C. 2. D.

6
.
3

Câu 73. Nếu ABC có a =13cm, b =14cm, c =15cm thì bán kính r đường trịn nội tiếp 

ABC là

A. r 15cm. B. r 5 cm. C. r 4 cm. D. r 12 cm.

Câu 74. Cho tam giác vng, trong đó có một góc là trung bình cộng của hai góc cịn lại.

cạnh lớn nhất của tam giác bằng a. Tìm theo a diện tích tam giác.

A. 2 2
4

a _. _B. 2 ₃

8

a _. _C. 2 ₃

4

a _. _D. 2 ₆

10

a _.

Câu 75. Gọi S là diện tích tam giác ABC, nếu giảm cạnh AB ba lần, giảm cạnh AC hai lần
và góc A khơng đổi. Hỏi diện tích tam giác sau khi giảm?

A.
2

S _. _B.

3

S _. _C.5

6

S _. _D.

6
S _.

Câu 76. Cho tam giác DEF có DE DF 10 và FE = 12. Gọi I là trung điểm của EF, đoạn
thẳng DI có độ dài bằng

A. 13

</div>
<span class='text_page_counter'>(85)</span><div class='page_container' data-page=85>

Câu 77. Cho tam giác ABC có a = 5; b = 4 và c = 3. Tính độ dài đường trung tuyến makẻ từ

A của tam giác.
A. a

5
m

6

 . B. a

5
m

7

 . C. a

5
m

2

 . D. ma 3.

Câu 78. Cho tam giác ABC vng tại A có

AB



6,

BC



10

. Tính bán kính đường trịn nội
tiếp tam giác đó.

A.

1

. B.

2

. C. 2. D. 3.

Câu 79. Cho tam giác ABC có AB a 3; AC 2a  và diện tích tam giác ABC bằng a 32₂ .
Tính BC biết _{A 90} 0_.

A. BC a 2 _B.BCa 2

2 C. BC a D. 

a
BC

2

Lược giải: Ta có:S1AB.AC.sin Aa 3 12  .a 3.2a.sin Asin A 1

2 2 2 2

Do _{A 90} 0_và_{sin A}_ 1

2 nên  

0

A 30

      

2 2 2 2 2 3 2

BC AB AC 2.AB.AC.cosA 3a 4a 2.a 3.2a. a

2 Vậy: BC a

Câu 80. Trong tam giác ABC có AB9, AC11,CB10. Gọi M là trung điểm BC, N trung
điểm AM. Tính độ dài BN.

A. BN6. B. BN 5. C. BN4 2. D. BN 34.
Lược giải:

Trong tam giác ABC, ta có: 2



2 2



2 2 19
4

AB AC BC

AM    

Trong tam giác ABM, ta có: 2



2 2



2 34

4

AB BM AM

BN    

Câu 81. Trong tam giác ABC có góc B tù, AC4,AB3 và có diện tích bằng 3 3. Hỏi góc A
có số đo bằng bao nhiêu?

A. ₃₀0. B. ₆₀0. C. ₄₅0. D. ₁₂₀0.
Câu 82. Hai tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A với vận tốc v1 =30 hải lý một giờ và

v2 = 40 hải lý một giờ, theo hai hướng hợp với nhau một góc 600. Hỏi sau một giờ

hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lý (giả sử sức gió và lực nước chảy không ảnh
hưởng đến vận tốc của cả hai tàu)?

A. 80 hải lý. B. 5 17hải lý. C. 70 hải lý. D. 10 13hải lý.
Lược giải:

</div>
<span class='text_page_counter'>(86)</span><div class='page_container' data-page=86>

Câu 83. Trên ngọn đồi có một cái tháp cao 100m (hình bên dưới). Đỉnh tháp B và chân tháp
C nhìn điểm A ở chân đồi dưới các góc tương ứng bằng 30o_{và 60}o_{so với phương thẳng}

đứng. Chiều cao HA của ngọn đồi là.

A. 40m. B. 50m. C. 60m. D. 65m.

Lược giải:

  



0 0 0

30 120 30

100

sin 50

ABC ACB BAC

AC BC m

AH AC ACH m

    

  

 

B

H
C

A
h

60

o

</div>
<span class='text_page_counter'>(87)</span><div class='page_container' data-page=87>

CHỦ ĐỀ: HÌNH HỌC PHẲNG

BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Vectơ chỉ phương – Vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

**Vecto u u u



1; 2





là Vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng 

* u 0

* u có giá song song hoặc trùng với .
* ku k



0



cũng là một VTCP của .

**Vecto n A B



;



là Vectơ pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng 

* n 0

* u có giá vng góc với .

* kn k



0



cũng là một VTPT của .
** Quan hệ giữa VTCP và VTPT

* Góc giữa chúng bằng 90_.
* Nếu  có VTCP là u u u



1; 2





thì có VTPT là n u u



 2; 1





hoặc



2; 1



n u u .

* Nếu  có VTPT là n A B



;



thì có VTCP là u



B A;



hoặc



;



u B A 

2. Phương trình tổng quát (PTTQ) của đường thẳng:

 

_ _:_{Ax By C}_ _{ }₀



_A2__B2 _₀



Cách viết PTTQ của đường thẳng

PTTQ: Ax By C  0

3. Phương trình tham số (PTTS) của đường thẳng:

 

0 1



2 2



1 2

0 2

: x x u t u u 0, t

y y u t

 



 _{  }   

 

Cách viết PTTS của đường thẳng

PTTS: 0 1

0 2

x x tu
y y tu

 


  


4. Phương trình chính tắc (PTCT) của đường thẳng:

 

0 0

1 2

:x x y y

u u

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(88)</span><div class='page_container' data-page=88>

PTTS: 0 0

1 2

x x y y

u u

 



5. Phương trình theo đoạn chắn:

Đường thẳng

 

 cắt các trục tọa độ tại các điểm A a

    

;0 , B 0;b a b, 0



.
Có phương trình là:

 

:x y 1

a b

  

6. Một số phương trình đường thẳng đặc biệt
* Trục

 

Ox : y0_.

* Trục

 

Oy : x0.

* Đường thẳng đi qua gốc tọa độ: Ax By 0.

* Đường phân giác góc phần tư thứ nhất: x y .
* Đường phân giác góc phần tư thứ hai: x y.

Lưu ý: Đường thẳng

 

 :Ax By C  0.

** d//

 

 : d Ax By C:   ' 0



C C '



** d 

 

: d Bx Ay C:   ' 0

7. Góc giữa hai đường thẳng:

* Đường thẳng

 

1 :A x B y C1  1  10 có VTPT n A B1



1; 1





.
* Đường thẳng

 

2 :A x B y C2  2  2 0 có VTPT n A B2



2; 2





.

Khi đó



   







1 2 _{1 2} _{1 2}

1 2 1 2 ₂ ₂ ₂ ₂

1 2 1 1 2 2

.

cos , cos ,

. .

n n _{A A} _{B B}

n n

n n A B A B



    

 

 
 

  .

8. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho

 

1 :A x B y C1  1  10 và  2 :A x B y C2  2  2 0.
a) Tọa độ giao điểm M x y

 

; của ₁ và 2 là nghiệm của hệ

 

1 1 1

2 2 2

0
0
A x B y C

I
A x B y C

  



 _ _ _



Lưu ý:

* 1 cắt 2: Hệ

 

I có duy nhất một nghiệm.
* 1 song song 2: Hệ

 

I có vơ nghiệm.
* 1 trùng 2: Hệ

 

I có vơ số nghiệm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(89)</span><div class='page_container' data-page=89>

*1 cắt 2: 1 1

2 2

A B

A  B . *1  2: A A1 2B B1 2 0.
*1 song song 2: 1 1 1

2 2 2

A B C

A  B C . *1 trùng 2:

1 1 1

2 2 2

A B C

A  B C .

9. Khoảng cách

a) Khoảng cách từ một điểm M x y



0; 0



đến đường thẳng

 

 :Ax By C  0





0 0

0 ₂ ₂

, Ax By C

d M

A B

 

 


b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Chỉ ra một vectơ pháp tuyến, một vectơ chỉ phương và một điểm thuộc đường thẳng
trong các trường hợp sau:

1) 2x3y 4 0 2) 1

1 2
x_{ }y
3) 2

1 3

x t

y t

 


   

 4)

2 3

4 5

x _ y


Bài 2: Viết phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng d trong các
trường hợp sau

5) Đi qua điểm M



1; 1



và có một VTPT là n



2; 3



.
6) Đi qua điểm N



3; 4



và có một VTCP là u



2;5



.
7) Đi qua hai điểm A



1;2



và B

 

3;1 .

8)Đi qua điểm B



2; 1



_{và song song với đường thẳng}

 

 : x y  4 0_.
9) Đi qua điểm A

 

5;6 và vng góc với đường thẳng

 

 : 2x y  1 0.
10) Đi qua điểm A

 

2;3 và song song với đường thẳng

 

₁ : 2 3

1 4

x t

d

y t

 

  

 .

Bài 3: Cho tam giác ABC biết A



1;2 ,

   

B 3; 4 ,C 5; 6



.
11) Viết phương trình các đường thẳng AB, BC, CA.

12) Viết phương trình đường cao AH xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC.
13) Viết phương trình đường trung tuyến BM xuất phát từ điểm B của ABC.
14) Viết phương trình đường thẳng đi qua C và vng góc với BC.

15) Viết phương trình đường trung trực cạnh AB.
Bài 4: Tính khoảng cách trong các trường hợp sau:

</div>
<span class='text_page_counter'>(90)</span><div class='page_container' data-page=90>

17) Từ điểm A



0; 2



_{đến đường thẳng}

 

: 1 3
2 5

x t

d

y t

 

  

 .

18) Từ điểm B

 

1;1 đến đường thẳng

 

₁ : 4 6

5 7

x y

d    .

19) Giữa hai đường thẳng

 

 :x y  3 0 và

 

2 :x y  2 0.
Bài 5: Tính số đo góc giữa các đường thẳng sau

20)

 

d : 3x4y 5 0_và

 

d₁ :x y  2 0_.
21)

 

a x: 2y 5 0 và  ₁ : 1 3

2

x t

a

y t

 

  

 .

22)

 

1

1 2
:

2

x t

a

y t

 

  

 và  1

3
:

1 2

x t

m

y t




   

 .

Bài 6: Tìm tọa độ giao điểm của các cặp đường thẳng sau:
23)

 

 : 2x3y 4 0_và

 

₁ :x2y 2 0_.

24)

 

a x: 4y 6 0 và  ₁ : 3 2
3

x t

a

y t

 

  

 .

25)

 

1 :
2
x t
a

y t



  

 và  1

3 2
:

5 2

x t

m

y t

 

  

 .

Bài 7: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau (tìm giao điểm nếu có)
26)

 

 : 2x5y 1 0_và

 

₁ :x y  2 0_.

27)

 

3 : 2x y  5 0 và

 

4 : 2x y  1 0.
28)

 

a : 2x7y 7 0_và

 

₁ : 1 3

1 2

x t

a

y t

  


  

 .

29)

 

5

1 5
:

2 4

x t

a

y t

  


  

 và

 

6

6 5
:

2 4

x t

a

y t

  


  

 .

Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN
1. Phương trình đường trịn

a. Dạng tổng qt

Phương trình đường trịn tâm I a b

 

; bán kính R là

  

_C _: _{x a}_

 

2_ _{y b}_



2__R2.

b. Dạng khai triển

Phương trình dạng _x2__y2_₂_ax_₂_{by c}_{ }₀ là phương trình đường trịn khi _a2__b2_{ }_c ₀.
Khi đó đường trịn có tâm I a b

 

; và bán kính _R_ _a2_{ }_b2 _c_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(91)</span><div class='page_container' data-page=91>

Tiếp tuyến tại điểm M x y0



0; 0



của đường tròn tâm I a b

 

; có phương trình



x0a x a



 

 

y0b y b







0

3. Cách lập phương trình đường trịn

Phương trình của đường tròn

 

C :



 

2



2 ₂

x a  y b R
Chú ý:

*

 

C đi qua _{A B}_, __IA2 __IB2 __R2.

*

 

C đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng

 

 _tạiAIA d I



,

 





_.

*

 

C tiếp xúc với hai đường thẳng

 

₁ _và

 

₂ d I



,

 

₁



d I



,

 

₂



R_.
*

 

C qua 3 điểm :

+ Gọi phương trình đường tròn

 

_C_{* :} _x2__y2_₂_ax_₂_{by c}_{ }₀.

+ Thế các tọa độ các điểm vào phương trình

 

C* ta được hệ phương trình.
+ Giải hệ phương trình với 3 ẩn a b c, , .

4. Cách lập phương trình tiếp tuyến với đường trịn
a. Biết tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến:



x0a x a



 

 

y0b y b







0
b. Chưa biết tiếp điểm

Dùng điều kiện tiếp xúc để xác định tiêp tuyến

 

 .

 

 _{tiếp xúc với đường tròn}

 

C tâm I a b

 

; bán kính Rd I



,

 

 



R_.
Bài tập đề nghị

Bài 8: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của đường trịn? Tìm
tâm và bán kính nếu có.

30)



 

2



2

2 3 4

x  y  ₃₁₎_x2__y2_₅

32) _x2__y2_₆_x_₇_y_{ }_{8 0} 33) _x2__y2_₉_x_₁₀_y__{70 0}_
34) ₃_x2_₃_y2_₁₂_x_₉_y__{15 0}_ 35) _x2__y2_{  }_y _{1 0}

Bài 9. Lập phương trình đường trịn trong các trường hợp sau:
36) Tâm I



3; 4



_{và bán kính}R5_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(92)</span><div class='page_container' data-page=92>

39) Qua ba điểm A

   

1; 2 , B 5; 2 , C



1; 3



.

Bài 10: Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn trong các trường hợp sau:
40) Với đường tròn

  

 

2



2

: 2 1 8

C x  y  _tạiM

 

4;1 .
41) Với đường tròn

 

2 2

1 : 7 8 3 0

C x y  x y  tại N

 

1;1 .
III. PHƯƠNG TRÌNH ELIP
1. Elip

Cho hai điểm F1



c;0 ,



F c2

  

;0 c0



và độ dài không đổi 2a a c



 0



. Elip  E là tập hợp
các điểm M sao cho F M F M₁  ₂ 2a.

2. Phương trình Elip

 

E

Dạng

 

: 22 22 1

x y

E

a b  với

2 2 2

a b c .
Trong đó:

* Hai tiêu điểm F1



c;0 ,



F c2

 

;0

* Bốn đỉnh A1



a;0 ,



A a2

 

;0 , B1



0;b B



, 2

 

0;b
* Độ dài trục lớn A A1 2 2a

* Độ dài trục bé B B1 2 2b
* Tiêu cự: F F1 2 2c

* Hệ thức liên hệ: _a2 __b2__c2
* Tâm sai: e c

a

 .

Bài tập đề nghị

Bài 11: Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh của các elip

 

E sau
42)

 

: 2 2 1

16 9

x y

E   43)

 

_E _{: 4}_x2_₉_y2_₃₆

Bài 12: Lập phương trình elip

 

E trong các trường hợp sau

44) Độ dài trục lớn bằng 12 và độ dài trục bé bằng 8.
45) Độ dài trục lớn bằng 10 và độ dài tiêu cự bằng 6.

46) Một đỉnh của trục lớn là điểm

 

3;0 và một tiêu điểm là điểm



2;0



_.
47) Một tiêu điểm là điểm



12;0



và một điểm nằm trên

 

E là



13;0



.

PHẦN TRẮC NGHIỆM

Vấn Đề 1: Tìm VTCP – VTPT của đường thẳng

</div>
<span class='text_page_counter'>(93)</span><div class='page_container' data-page=93>

A. u

 

2;3 _. _B.u

 

3;2 _. _C.u



3; 2



_. _D.u  



3; 2



_.
Câu 2. [0H3-1] Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng : 1 2

3 5

x t

d

y t

  


  

 .

A. u



2; 5



. B. u

 

5; 2 . C. u 



1;3



. D. u 



3;1



.

Câu 3. [0H3-1] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng : 1 2
2 4

x t

y t

 

  _{ }

 ,



t



.

Một véctơ chỉ phương của đường thẳng  là

A. u

 

4; 2 . B. u

 

1; 2 . C. u



4; 2



. D. u



1; 2



.

Câu 4. [0H3-1] Cho đường thẳng d:2x3y 4 0. Véctơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến
của d?

A. n

 

2;3 . B. n

 

3; 2 . C. n



3; 2



. D. n  



3; 2



.
Câu 5. [0H3-1] Cho đường thẳng d có phương trình: 1 2

3

x t

y t

 

  

 , tọa độ véctơ chỉ phương

của đường thẳng d là

A.

 

1; 3 . B.

 

1; 4 . C.



1;1



. D.



2; 1



.

Câu 6. [0H3-1] Cho đường thẳng d có: 2x5y 6 0. Tìm tọa đơ một vectơ chỉ phương u
của d.

A. u

 

2;5 _. _B.u

 

5;2 _. _C.u



5; 2



_. _D.u  



5; 2



_.

Câu 7. [0H3-1] Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: 2x3y 1 0. Vectơ nào sau đây
là vectơ pháp tuyến của d?

A. n3 



2; 3





. B. n2

 

2;3



. C. n4 



2;3





. D. n1

 

3;2



.

Câu 8. [0H3-1] Đường thẳng đi qua hai điểm A

 

1;1 và B



3;5



nhận vectơ nào sau đây làm
vectơ chỉ phương?

A. d

 

3;1 _. _B.a 



1; 1



_. _C.b

 

1;1 _. _D.c 



2;6



_.

Câu 9. [0H3-1] Tìm một vectơ pháp tuyến của đường thẳng

 

d có phương trình tổng qt
2x3y 4 0.

A. n



2; 3



_. _B.n



3; 2



_. _C.n

 

3;2 _. _D.n

 

2;3 _.

Câu 10. [0H3-2] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ABC có A

 

1; 2 , B



4; 2



,



3; 5



C  . Một véctơ chỉ phương của đường phân giác trong của góc A là

A. u

 

2;1 . B. u



1; 1



. C. u

 

1;1 . D. u

 

1; 2 .

Câu 11. [0H3-2] Đường thẳng  vng góc với đường thẳng AB, với A



2;1



và B

 

4;3 .
Đường thẳng  có một vectơ chỉ phương là

</div>
<span class='text_page_counter'>(94)</span><div class='page_container' data-page=94>

VẤN ĐỀ 2: Viết phương trình của đường thẳng

Câu 12. [0H3-1] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A



0; 1



, B

 

3;0 . Phương
trình đường thẳng AB là

A. x3y 1 0. B. x3y 3 0. C. x3y 3 0. D. 3x y  1 0.
Câu 13. [0H3-1] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d x: 2y 1 0 và
điểm M

 

2;3 . Phương trình đường thẳng  đi qua điểm M và vng góc với đường thẳng

d là

A. x2y 8 0. B. x2y 4 0. C. 2x y  1 0. D. 2x y  7 0.

Câu 14. [0H3-1] Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A



2; 1



và nhận



3; 2



 


u làm vectơ chỉ phương là

A. 3 2

2
  

  

x t

y t . B.

2 3
1 2
 

   

x t

y t. C.

2 3

1 2
  

  

x t

y t . D.

2 3
1 2
  

  

x t

y t .
Câu 15. [0H3-1] Đường thẳng đi qua A



1;2



_{, nhận}n



2; 4



làm vectơ pháp tuyến có
phương trình là

A. x2y 4 0. B. x y  4 0. C. x2y 5 0. D.  x 2y 4 0.
Câu 16. [0H3-1] Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A



2; 4



_,B



6;1



_là

A. 3x4y10 0 . B. 3x4y22 0 . C. 3x4y 8 0. D. 3x4y22 0 .

Câu 17. [0H3-1] Đường thẳng d qua A

 

1;1 và có véctơ chỉ phương u

 

2;3 có phương
trình tham số là

A. 1

3
x t
y t
 

  

 . B.

1 2
1 3
x t
y t
 

  

 . C.

2
3
x t
y t
 

  

 . D.

2
3
x t
y t


 
 .

Câu 18. [0H3-1] Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua A



1; 2



và nhận



1; 2



 


n làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình là

A.  x 2y0. B. x2y 4 0. C. x2y 5 0. D. x2y 4 0.

Câu 19. [0H3-1] Đường thẳng đi qua điểm A



1; 2



và nhận n 



2; 4



làm véctơ pháp
tuyến có phương trình là

A. x2y 4 0_. _B.x2y 4 0_. _C.x2y 5 0_. _D. 2x 4y0_.

Câu 20. [0H3-1] Phương trình tham số của đường thẳng qua M



1; 1



, N

 

4;3 là

A. 3

4
x t

y t
 

  

 . B.

1 3
1 4
x t
y t
 

  

 . C.

3 3
4 3
x t
y t
 

  

 . D.

1 3
1 4
x t

y t
 

   
 .

Câu 21. [0H3-1] Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua 2 điểm A



0; 5



và

 

3;0

</div>
<span class='text_page_counter'>(95)</span><div class='page_container' data-page=95>

A. 1
5 3

x_{ }y _. _B.

1
3 5

x y

   . C. 1

3 5

x_{ }y _. _D.

1
5 3
x_{ }y _.

Câu 22. [0H3-1] Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A

 

3;4 và có vectơ chỉ

phương u



3; 2



A. _{   }x_y 3 3_{2 4}t _t

 . B.

3 6
2 4

x t

y t

 


   

 . C.

3 2
4 3

x t

y t

 

  

 . D.

3 3
4 2

x t

y t

 

  

 .

Câu 23. [0H3-1] Đường thẳng đi qua điểm B

 

2;1 và nhận u



1; 1



làm véctơ chỉ phương
có phương trình là

A. x y  1 0. B. x y  3 0. C. x y  5 0. D. x y  1 0.

Câu 24. [0H3-2] Cho A



2;3



, B



4; 1



. Viết phương trình đường trung trục của đoạn AB.

A. x y  1 0. B. 2x3y 5 0. C. 3x2y 1 0. D. 2x3y 1 0.
Câu 25. [0H3-2] Cho 3 đường thẳng

 

d₁ :3x2y 5 0,

 

d2 :2x4y 7 0,

 

d3 :

3x4y 1 0. Viết phương trình đường thẳng

 

d đi qua giao điểm của

 

d₁ ,

 

d₂ và song
song với

 

d3 .

A. 24x32y53 0 . B. 24x32y53 0 .

C. 24x32y53 0 . D. 24x32y53 0 .

Câu 26. [0H3-2] Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểmA



1; 3



, B



2;5



. Viết phương trình
tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A B, .

A. 8x3y 1 0. B. 8x3y 1 0. C.  3x 8y30 0 . D.  3x 8y30 0 .

Câu 27. [0H3-2] Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Phương trình các cạnh và đường cao
của tam giác là AB: 7x y  4 0; BH: 2x y  4 0; AH: x y  2 0. Phương trình đường
cao CH của tam giác ABC là

A. 7x y 0. B. x7y 2 0. C. x7y 2 0. D. 7x y  2 0.
Câu 28. [0H3-2] Cho tam giác ABC biết trực tâm H

 

1;1 và phương trình cạnh

: 5 2 6 0

AB x y  , phương trình cạnh AC: 4x7y21 0 . Phương trình cạnh BC là

A. 4x2y 1 0. B. x2y14 0 . C. x2y14 0 . D. x2y14 0 .

Câu 29. [0H3-2] Đường thẳng d:x y 1

a b , với a0, b0, đi qua điểm M



1;6



và tạo với
các tia Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 4. Tính S a 2b_.

A. S10. B. S 6. C. 5 7 7

3

S   . D. 74

3
S  .

Câu 30. [0H3-2] Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d x: 2y 1 0. Nếu đường thẳng

 qua điểm M



1; 1



và  song song với d thì  có phương trình

</div>
<span class='text_page_counter'>(96)</span><div class='page_container' data-page=96>

Câu 31. [0H3-2] Cho đường thẳng : 2 3
1

x t

y t

 


  _{  }





t



và điểm M



1; 6



. Phương trình

đường thẳng đi qua M và vng góc với  là

A. 3x y  9 0. B. x3y17 0 . C. 3x y  3 0. D. x3y19 0 .
Câu 32. [0H3-2] Lập phương trình tổng quát đường thẳng đi qua điểm A

 

2;1 và song song
với đường thẳng 2x3y 2 0_.

A. 3x2y 8 0. B. 2x3y 7 0. C. 3x2y 4 0. D. 2x3y 7 0.

Câu 33. [0H3-2] Cho bốn điểm A

 

1; 2 , B



1; 4



, C

 

2;2 , D



3;2



. Toạ độ giao điểm của hai
đường thẳng AB và CD là

A. A

 

1;2 . B. B



3; 2



_. _C.



0; 1



_. _D.



5; 5



_.

Câu 34. [0H3-2] Cho tam giác ABC với A



2; 1



, B

 

4;5 , C



3;2



. Phương trình tổng quát
của đường cao đi qua điểm A của tam giác ABC là

A. 3x7y 1 0. B.  3x 7y13 0 . C. 7x3y13 0 . D. 7x3y 11 0.

Câu 35. [0H3-2] Đường thẳng đi qua điểm C



3; 2



_{và có hệ số góc} 2

3

k có phương trình là

A. 2x3y0. B. 2x3y 9 0. C. 3x2y 13 0. D. 2x3y12 0 .

Câu 36. [0H3-2] Cho đường thẳng d có phương trình tham số là 1 3

2

x t

y t

  


  

 . Phương trình
tổng quát của d :

A. 3x y  5 0. B. x3y0. C. x  3y 5 0. D. 3x y  2 0.
Câu 37. [0H3-2] Đường thẳng d có phương trình tổng qt 4x  5y 8 0. Phương trình

tham số của d là

A. 5

4

x t

y t

 

 

 . B.

2 4
5

x t

y t

 

 

 . C.

2 5
4

x t

y t

 

 

 . D.

2 5
4

x t

y t

 

  

 .

Câu 38. [0H3-2] Cho hai điểm A 5; 6 , B3; 2 Phương trình chính tắc của AB là

A. 5 6

2 1

x _ y

 . B.

5 6

2 1

x _ y

 . C.

5 6

2 1

x _ y _. _D. 3 2

2 1

x _ y

  .

Câu 39. [0H3-2] Cho đường thẳng d x:4   3 13 0.y Phương trình các đường phân giác của
góc tạo bởi d và trục O x là

A. 4x  3y 13 0 _và4x y  13 0_. _B.4x  8y 13 0 _và4x  2y 13 0_.

C. x  3y 13 0 và x  3y 13 0. D. x  3y 13 0 và 3x y  13 0.
Câu 40. [0H3-2] Cho hai đường thẳng song d1: 5x7y 4 0 và d2: 5x7y 6 0. Phương
trình đường thẳng song song và cách đều d1 và d2 là

</div>
<span class='text_page_counter'>(97)</span><div class='page_container' data-page=97>

Câu 41. [0H3-2] Đường thẳng đi qua điểm M 1; 2 và song song với đường thẳng

:4 2 1 0

d x  y có phương trình tổng quát là

A. 4x  2y 3 0_. _B.2x y  4 0_. _C.2x y  4 0_. _D.x  2y 3 0_.
Câu 42. [0H3-2] Đường thẳng đi qua điểm M 1; 2 và vng góc với đường thẳng

:4 2 1 0

d x  y có phương trình tổng quát là

A. 4x  2y 3 0_. _B.2x  4y 4 0_. _C.2x  4y 6 0_. _D.x  2y 3 0_.
Câu 43. [0H3-2] Lập phương trình đường thẳng  song song với đường thẳng

:3 2 12 0

d x  y và cắt O x, Oy lần lượt tại A, B sao cho AB 13. Phương trình đường
thẳng  là

A. 3x2y12 0 . B. 3x2y12 0 . C. 6x4y12 0 . D. 3x4y 6 0.

Câu 44. [0H3-2] Cho hai điểm A



1; 4



, B

 

3;2 . Viết phương trình tổng quát của đường
thẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

A. 3x y  1 0. B. x3y 1 0. C. 3x y  4 0. D. x y  1 0.

Câu 45. [0H3-2] Cho hai điểm A

 

1;1 , B



0; 2



, C

 

4; 2 . Phương trình tổng quát của đường
trung tuyến đi qua điểm A của tam giác ABC là

A. 2x y  3 0. B. x2y 3 0. C. x y  2 0. D. x y 0.

Câu 46. [0H3-2] Cho tam giác ABC với A

 

1;1 , B



0; 2



, C

 

4;2 . Phương trình tổng quát
của đường trung tuyến đi qua điểm B của tam giác ABC là

A. 7x7y14 0 . B. 5x3y 1 0. C. 3x y  2 0. D.  7x 5y10 0 .
Câu 47. [0H3-2] Cho tam giác ABC với A



2; 1



, B

 

4;5 , C



3;2



. Phương trình tổng quát
của đường cao đi qua điểm A của tam giác ABC là

A. 3x7y 1 0. B.  3x 7y13 0 . C. 7x3y13 0 . D. 7x3y 11 0.

Câu 48. [0H3-2] Cho tam giác ABC với A

 

1;3 , B



2; 4



, C



1;5



và đường thẳng
: 2 3 6 0

d x y  . Đường thẳng d cắt cạnh nào của tam giác ABC

A. Cạnh AB. B. Cạnh BC.

C. Cạnh AC. D. Không cắt cạnh nào.

Vấn đề 3: Khoảng Cách

Câu 49. [0H3-1] Trong mặt phẳng Oxy, khoảng cách từ điểm M



3; 4



_{đến đường thẳng}

: 3x 4y 1 0

    _là

A. 12.

5 B.

8

5. C.

24
5

 . D. 24

5 .
Câu 50. [0H3-1] Khoảng cách từ điểm O

 

0;0 đến đường thẳng 3x4y 5 0 là

A. 1

5

 . B. 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(98)</span><div class='page_container' data-page=98>

Câu 51. [0H3-1] Cho điểm M

 

3;5 và đường thẳng  có phương trình 2x3y 6 0. Tính
khoảng cách từ M đến .

A.



,



15

13

d M    . B.



,



15 13
13

d M   _._C.



,



9

13

d M   . D.



,



12 13
13

d M   _.

Câu 52. [0H3-1] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng  :x 2y 1 0 và
điểm M

 

2;3 . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  là

A.



;



3 5

5

d M   . B.



;



5

5

d M   . C.



;



3

5

d M   . D. d M



; 



5.
Câu 53. [0H3-1] Khoảng cách từ điểm M



1; 1



_{đến đường thẳng}: 3x4y17 0 là

A. 2. B. 18

5

 . C. 2

5. D.

10
5 .
Câu 54. [0H3-2] Cho đường thẳng : 1 3

2 1

x y

 

 và điểm N



1; 4



. Khoảng cách từ điểm N
đến đường thẳng _bằng

A. 2

5 . B.

2 5

5 . C. 2. D.

2
17 .
Câu 55. [0H3-2] Khoảng cách từ điểm M



1; 1



đến đường thẳng : 3x4y17 0 là

A. 2. B. 18

5

 . C. 2

5 . D.

10
5 .

Câu 56. [0H3-2] Cho hai đường thẳng song d1: 5x7y 4 0 và d2: 5x7y 6 0. Khoảng
cách giữa d1 và d2 là

A. 4

74. B.

6

74. C.

2

74. D.

10
74.

Vấn đề 4: Điểm thuộc đường thẳng

Câu 57. [0H3-1] Cho đường thẳng : 2x y  1 0. Điểm nào sau đây nằm trên đường thẳng

?

A. A

 

1;1 . B. 1; 2

2
B_ _

 . C.

1
; 2
2
C_  _

 . D. D



0; 1



Câu 58. [0H3-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M



6; 3



, N



3; 6



_{. Gọi}P x y



;



là điểm trên trục hoành sao cho ba điểm M , N, P thẳng hàng, khi đó x y có giá trị là

A. 15. B. 5. C. 3. D. 15.

Câu 59. [0H3-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm M

 

4;1 , N



1; 2



_,M x y

 

; là
điểm đối xứng với M qua N. Khi đó x y có giá trị là

</div>
<span class='text_page_counter'>(99)</span><div class='page_container' data-page=99>

Câu 60. [0H3-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hình chiếu vng góc của điểm A

 

2;1 lên
đường thẳng d: 2x y  7 0 có tọa độ là.

A. 14 7;

5 5

 

 

 . B.

14 7
;

5 5

_ _ 

 

 . C.

 

3;1 . D.

5 3
;
3 2

 

 

 .
Câu 61. [0H3-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A

 

2;1 và đường thẳng

1 2
:

2

  


  _{ }


x t

y t . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho AM  10.

A. M



1; 2



, M

 

4; 3 . B. M



1; 2



, M

 

3; 4 .

C. M



1; 2



, M

 

3; 4 . D. M



2; 1



, M

 

3; 4 .

Câu 62. [0H3-2] Cho hai điểm A



1;2



, B

 

3;1 và đường thẳng : 1
2

x t

y t

 

  _{ }

 . Tọa độ điểm C

thuộc  để tam giác ACB cân tại C là

A. 7 13;

6 6

 

 

 . B.

7 13

;

6 6

 _ 

 

 . C.

13 7
;
6 6

 

 

 . D.

7 13
;
6 6

_ 

 

 .
Câu 63. [0H3-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC_cóC



1; 2



, đường cao

BH: x y  2 0, đường phân giác trong AN: 2x y  5 0. Tọa độ điểm A_là.

A. 4 7;

3 3
A_ _

 . B.

4 7
;
3 3
A_ _

 . C.

4 7
;
3 3
A_  _

 . D.

4 7
;
3 3
A_  _

 .

Câu 64. [0H3-2] Cho đường thẳng d x: 2y 3 0. Tìm tọa độ hình chiếu vng góc H của
điểm M

 

0;1 trên đường thẳng.

A. H



1;2



. B. H

 

5;1 . C. H

 

3;0 . D. H



1; 1



.

Câu 65. [0H3-2] Trong mặt phẳng Oxy, hai đường thẳng d1: 4x3y18 0 ;
2: 3 5 19 0

d x y  cắt nhau tại điểm có toạ độ

A.



3; 2



. B.



3;2



. C.

 

3; 2 . D.



 3; 2



.

Câu 66. [0H3-2] Xét trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cặp điểm nào dưới đây nằm cùng phía so
với đường thẳng x2y 3 0?

A. M

 

0; 1 và P



0; 2



. B. P



0; 2



và N

 

1; 1 .

C. M

 

0; 1 và Q



2; 1



. D. M

 

0; 1 và N

 

1; 5 .

Câu 67. [0H3-2] Cho tam giác ABC với A

 

2; 4 ; B

 

2;1 ; C

 

5;0 . Trung tuyến CM đi qua
điểm nào dưới đây?

A. 14;9

2

 

 

 . B.

5
10;

2
 _ 

 

 . C.



 7; 6



. D.



1;5



.

Câu 68. [0H3-2] Đường thẳng

 

d đi qua I

 

3; 2 cắt Ox; Oy tại M , N sao cho I là trung
điểm của MN. Khi đó độ dài MN bằng

</div>
<span class='text_page_counter'>(100)</span><div class='page_container' data-page=100>

Câu 69. [0H3-2] Cho đường thẳng đi qua hai điểm A

 

3,0 , B

 

0;4 . Tìm tọa độ điểm M
nằm trên Oy sao cho diện tích tam giác MAB bằng 6

A.

 

0;1 . B.

 

0;8 . C.

 

1;0 . D.

 

0;0 và

 

0;8 .

Câu 70. [0H3-2] Cho đường thẳng d: 3   x y 3 0 và điểm N



2; 4



_{. Tọa độ hình chiếu}
vng góc của N trên d là

A.



 3; 6



. B. 1 11;

3 3

_ 

 

 . C.

2 21
;
5 5

 

 

 . D.

1 33
;
10 10

 

 

 .
Câu 71. [0H3-2] Cho đường thẳng đi qua hai điểm A

 

3,0 , B

 

0; 4 . Tìm tọa độ điểm M
nằm trên Oy sao cho diện tích tam giác MAB bằng 6

A.

 

0;1 . B.

 

0;8 . C.

 

1;0 . D.

 

0;0 và

 

0;8 .

Vấn đề 5: Vị Trí tương đối

Câu 72. [0H3-1] Đường thẳng : 3x2y 7 0_{cắt đường thẳng nào sau đây?}

A. d1: 3x2y0. B. d2: 3x2y0.

C. d3: 3 x 2y 7 0. D. d4: 6x4y14 0 .

Câu 73. [0H3-1] Cho hai đường thẳng d mx1: 



m1



y2m0 và d2: 2x y  1 0. Nếu d1//d2
thì

A. m1_. _B.m 2_. _C.m2_. _D.m tùy ý.

Câu 74. [0H3-1] Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng 4x3y26 0 và 3x4y 7 0.

A.



2; 6



. B.

 

5;2 .

C.



5; 2



. D. Khơng có giao điểm.

Câu 75. [0H3-2] Cho hai đường thẳng d và d biết d: 2x y  8 0 và : 1 2
3

x t

d

y t

 

  _{ }

 . Biết



;



I a b là tọa độ giao điểm của d và d. Khi đó tổng a b _bằng

A. 5. B. 1. C. 3. D. 6.

Câu 76. [0H3-2] Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng : 3x2y 7 0 cắt đường thẳng nào
sau đây?

A. d3: 3 x 2y 7 0. B. d1: 3x2y0.

C. d4: 6x4y14 0 . D. d2: 3x2y0.

Câu 77. [0H3-2] Cho đường thẳng d1:2x y 15 0 và d x2: 2y 3 0. Khẳng định nào sau
đây đúng?

A. d1 và d2 vng góc với nhau.

B. d1 và d2 song song với nhau.

</div>
<span class='text_page_counter'>(101)</span><div class='page_container' data-page=101>

D. d1 và d2 cắt nhau và không vng góc với nhau.

Câu 78. [0H3-2] Xác định m để 2 đường thẳng d: 2x3y 4 0_và : 2 3
1 4

x t

d

y mt

 

  _{ }

 vng góc

A. 9

8

m . B. 1

2

m . C. 9

8

m  . D. 1

2
m  .

Câu 79. [0H3-2] Cho bốn điểm A

 

1;2 , B

 

4;0 , C



1; 3



, D



7; 7



. Vị trí tương đối của hai
đường thẳng AB và CD là

A. Song song. B. Cắt nhau nhưng khơng vng góc với nhau.

C. Trùng nhau. D. Vng góc với nhau.

Câu 80. [0H3-2] Vị trí tương đối của hai đường thẳng lần lượt có phương trình 2
2 3

x_{ }y _và
6x2y 8 0

A. Song song. B. Cắt nhau nhưng khơng vng góc với nhau.

C. Trùng nhau. D. Vng góc với nhau.

Câu 81. [0H3-2] Cho tam giác ABC với A

 

1;3 , B



2; 4



, C



1;5



và đường thẳng
: 2 3 6 0

d x y  . Đường thẳng d cắt cạnh nào của tam giác ABC

A. Cạnh AB. B. Cạnh BC.

C. Cạnh AC. D. Không cắt cạnh nào.

Câu 82. [0H3-2] Đường thẳng 5x3y15 tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích
bằng

A. 15. B. 7,5. C. 3. D. 5.

Câu 83. [0H3-2] Cho bốn điểm A

 

1;2 , B



1;4



_,C

 

2; 2 , D



3;2



_{. Toạ độ giao điểm của hai}
đường thẳng AB và CD là

A. A

 

1; 2 . B. B



3; 2



. C.



0; 1



. D.



5; 5



.

Câu 84. [0H3-2] Cho bốn điểm A

 

1; 2 , B

 

4;0 , C



1; 3



, D



7; 7



. Vị trí tương đối của hai
đường thẳng AB và CD là

A. Song song. B. Cắt nhau nhưng khơng vng góc với nhau.

C. Trùng nhau. D. Vng góc với nhau.

Câu 85. [0H3-2] Vị trí tương đối của hai đường thẳng lần lượt có phương trình 2
2 3

x_{ }y _và

6x2y 8 0

A. Song song. B. Cắt nhau nhưng không vng góc với nhau.

</div>
<span class='text_page_counter'>(102)</span><div class='page_container' data-page=102>

Câu 86. [0H3-1] Gọi  là góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Mệnh đề nào sau đây
đúng?

A. cos cos



 AB CD,



. B. coscos



 AB CD,



.

C. cos sin



 AB CD,



. D. cos  cos



 AB CD,



.

Câu 87. [0H3-2] Trong mặt phẳng Oxy cho hai vectơ a và b biết a



1; 2



, b



 1; 3



. Tính
góc giữa hai vectơ a và b.

A. 45_. _B.60_. _C.30_. _D.135_.

Câu 88. [0H3-2] Cho hai đường thẳng d x y1:   2 0 và d2: 2x3y 3 0. Góc tạo bởi đường
thẳng d1 và d2 là ( chọn kết quả gần đúng nhất )

A. 11 19 _. _B.78 41 _. _C.101 19 _. _D.78 31 _.

Câu 89. [0H3-2] Cho hai đường thẳng d1: 2x4y 3 0 và d2: 3x y 17 0 . Số đo góc giữa
1

d và d₂ là

A.

4

 _. _B.

2

 _. _C.3

4

 _. _D.

4



 .

Vấn đề 7: Tìm tâm và bán kính của đường tròn

Câu 90. [0H3-1] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường trịn

 

C có phương trình

2 2 ₂ ₄ _{4 0}

x y  x y  . Tâm I và bán kính R của

 

C lần lượt là

A. I

 

1;2 , R1. B. I



1; 2



, R3. C. I



1; 2



, R9. D. I



2; 4



, R9.

Câu 91. [0H3-1] Cho đường tròn

  

 

2



2

: 2 3 16

T x  y  . Tìm tọa độ tâm I và bán kính R
của đường tròn

 

T .

A. I



2;3



, R4. B. I



2;3



, R16. C. I



2; 3



, R16. D. I



2; 3



, R4.

Câu 92. [0H3-1] Trong mặt phẳng Oxy, đường trịn _x2__y2_₁₀_x_{ }_{11 0}

có bán kính bằng
bao nhiêu?

A. 6. B. 36. C. 6. D. 2.

Câu 93. [0H3-1] Cho đường trịn

 

_{C x}_: 2__y2_₄_x_₂_y_{ }_{7 0} có tâm _I và bán kính _R. Khẳng
định nào dưới đây là đúng?

A. I



2;1



,R2 3. B. I



2; 1



,R12. C. I



2; 1



,R2 3. D. I



4; 2



,R3 3.

Câu 94. [0H3-1] Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn

 

_{C x}_: 2__y2_{   }_{x y} _{1 0}_.

A. I



1;1



_,R5. B. 1; 1

2 2
I_  _

 ,

6
2

R .

C. I



1;1



_,R 6. D. 1 1;

2 2
I_ _

 ,

6
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(103)</span><div class='page_container' data-page=103>

Câu 95. [0H3-1] Cho đường tròn

 

_{C x}_: 2__y2_₂_x_₄_y_{ }_{1 0}. Chỉ ra mệnh đề sai trong các
mệnh đề sau:

A.

 

C có tâm I



1; 2



_. _B.

 

C đi qua M

 

1;0 .

C.

 

C đi qua A

 

1;1 . D.

 

C có bán kính R2.

Câu 96. [0H3-1] Cho phương trình: _x2__y2_₂_ax_₂_{by c}_{ }_{0 1}

 

. Điều kiện để

 

₁ là phương
trình đường trịn là

A. _a2__b2_₄_c_₀. B. _a2__b2_{ }_c ₀. C. _a2__b2_₄_c_₀. D. _a2__b2_{ }_c ₀.

Câu 97. [0H3-1] Cho đường tròn

 

_{C x}_: 2__y2_₂_x_₄_y__{20 0}_ _{. Hỏi mệnh đề nào sau đây là}
sai?

A.

 

C có tâm I



 1; 2



. B.

 

C có bán kính R5.

C.

 

C có tâm M

 

2; 2 . D.

 

C không đi qua A

 

1;1 .

Vấn đề 8: Viết phương trình đường trịn

Câu 98. [0H3-1] Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường trịn?

A. _x2__y2_{   }_{x y} _{4 0}. B. _x2__y2_₄_x_₆_y_{ }_{2 0}.

C. _x2_₂_y2_₂_x_₄_y_{ }_{1 0}. D. _x2__y2_₄_x_{ }_{1 0}.

Câu 99. [0H3-1] Trong các phương trình được liệt kê ở các phương án A, B, C và D phương
trình nào là phương trình đường trịn?

A.



 

2



2

1 2 1 4

x  y  . B.



 

2



2

1 1 4 0

x  y   .

C.



 

2



2

2x2  2y2 4. D.



 

2



2

1 1 4 0

x  y   .

Câu 100. [0H3-1] Phương trình nào sau đây là phương trình đường trịn?

 

I _x2__y2_₄_x_₁₅_y__{12 0}_

 

_II _x2__y2_₃_x_₄_y__{20 0}_

 

III ₂_x2_₂_y2_₄_x_₆_y_{ }_{1 0}

A. Chỉ

 

I . B. Chỉ

 

II . C. Chỉ

 

III . D. Chỉ

 

I và

 

III .

Câu 101. [0H3-1] Phương trình nào sau đây là phương trình đường trịn?

A. _x2__y2_₄_x_₈_y_{ }_{1 0}. B. ₄_x2__y2_₁₀_x_₄_y_{ }_{2 0}.

C. _x2__y2_₂_x_₈_y__{20 0}_ . D. _x2_₂_y2_₄_x_₆_y_{ }_{1 0}.

Câu 102. [0H3-1] Trong mặt phẳng Oxy, đường trịn tâm I



3; 1



và bán kính R2 có
phương trình là

A.



 

2



2

3 1 4

x  y  . B.



x3

 

2 y1



24.

C.



 

2



2

3 1 4

x  y  . D.



 

2



2

3 1 4

x  y  .

</div>
<span class='text_page_counter'>(104)</span><div class='page_container' data-page=104>

A. _x2__y2_₂_x_₄_y_{ }_{5 0}. B. ₄_x2__y2_₂_x_₄_y_{ }_{3 0}.

C. _x2__y2_₂_x_₄_y_{ }_{5 0}. D. Đáp án khác.

Câu 104. [0H3-2] Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn tâm I



1;2



và đi qua điểm M

 

2;1 có
phương trình là

A. _x2_ _y2_₂_x_₄_y_{ }_{5 0}. B. _x2_ _y2_₂_x_₄_y_{ }_{5 0}.

C. _x2__y2_₂_x_₄_y_{ }_{5 0}. D. _x2__y2_₂_x_₄_y_{ }_{3 0}.

Câu 105. [0H3-2] Cho phương trình _x2__y2__{ax by}_ _₂_c_₀. Điều kiện nào của _{a b c}_{, ,} để
phương trình trên là phương trình của đường trịn?

A. _a2__b2_₈_c_₀. B. _a2__b2_₂_c_₀. C. _a2__b2_₈_c_₀. D. _a2__b2_₂_c_₀.

Câu 106. [0H3-2] Viết phương trình đường trịn tâm I



3; 2



và đi qua điểm M



1;1



là.

A.



 

2



2

3 2 5

x  y  . B.



 

2



2

3 2 25

x  y  .

C.



 

2



2

3 2 5

x  y  . D.



 

2



2

3 2 25

x  y  .

Câu 107. [0H3-2] Cho ba điểm A

 

1;4 , B

 

3;2 , C

 

5;4 . Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC là

A.

 

2;5 . B. 3; 2

2

 

 

 . C.



9;10



. D.

 

3;4 .

Câu 108. [0H3-2] Cho 2 điểm A



5; 1



, B



3;7



. Phương trình đường trịn đường kính AB
là

A. _x2__y2_₂_x_₆_y__{22 0}_ . B. _x2__y2_₂_x_₆_y__{22 0}_ .

C. _x2_ _y2_₂_x_₆_y__{22 0}_ . D. Đáp án khác.

Câu 109. [0H3-2] Cho 2 điểm A

 

1;1 , B

 

7;5 . Phương trình đường trịn đường kính AB là

A. _x2__y2_₈_x_₆_y__{12 0}_ . B. _x2__y2_₈_x_₆_y__{12 0}_ .

C. _x2__y2_₈_x_₆_y__{12 0}_ . D. _x2__y2_₈_x_₆_y__{12 0}_ .

Câu 110. [0H3-2] Với giá trị nào của m thì phương trình _x2__y2_₂_m_₁_x_₄_y_{ }_{8 0} là
phương trình đường trịn.

A. m0. B. m 3. C. m1. D. m 3 hoặc m1.

Câu 111. [0H3-2] Với giá trị nào của m thì phương trình _x2__y2_₂



_m_₂



_x_₄_my_₁₉_m_{ }_{6 0}
là phương trình đường trịn.

A. 1 m 2_. _B.m1_hoặcm2_.

C.   2 m 1_. _D.m 2_hoặcm1_.

Câu 112. [0H3-2] Đường tròn nào sau đây đi qua ba điểm A



3; 4



, B



1; 2



, C



5; 2



A.  2

_

_

2

3 2 4

x  y  . B.  2

_

_

2

3 2 4

x  y  .

C.  2

_

_

2

3 2 4

</div>
<span class='text_page_counter'>(105)</span><div class='page_container' data-page=105>

Câu 113. [0H3-2] Cho hai điểm A



2;1



, B

 

3;5 . Tập hợp điểm M x y



;



nhìn AB dưới một
góc vng nằm trên đường trịn có phương trình là

A. _x2__y2_{ }_x ₆_y_{ }_{1 0}. B. _x2__y2_{ }_x ₆_y_{ }_{1 0}.

C. _x2__y2_₅_x_₄_y_{ }_{11 0}. D. Đáp án khác.
Câu 114. [0H3-2] Phương trình 2 4sin





3 4cos

x t

t

y t

 

 _

   

  là phương trình đường trịn:

A. Tâm I



2;3



và bán kính R4. B. Tâm I



2; 3



và bán kính R4.

C. Tâm I



2;3



và bán kính R16. D. Tâm I



2; 3



và bán kính R16.

Vấn đề 9: Tiếp tuyến với đường tròn

Câu 115. [0H3-2] Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn

  

C : x3

 

2 y1



2 10. Phương
trình tiếp tuyến của

 

C tại điểm A

 

4; 4 là

A. x3y16 0 . B. x3y 4 0.

C. x3y 5 0. D. x3y16 0 .

Câu 116. [0H3-2] Trong hệ trục tọa độ Oxy, đường trịn nào có phương trình dưới đây tiếp
xúc với hai trục tọa độ?

A.



 

2



2

2 2 1

x  y  . B.



 

2



2

2 2 2

x  y  .

C.



 

2



2

2 2 4

x  y  . D.



 

2



2

2 2 8

x  y  .

Câu 117. [0H3-2] Phương trình đường trịn

 

C có tâm I



1; 2



_{và tiếp xúc với đường}

thẳng 2x y  5 0 là

A.



 

2



2

1 2 1

x  y  . B.



 

2



2

1 2 5

x  y  .

C.



 

2



2

1 2 25

x  y  . D.



 

2



2

1 2 5

x  y  .

Câu 118. [0H3-2] Tính bán kính đường trịn tâm I



1; 2



và tiếp xúc với đường thẳng
: 3 4 26 0

d x y  .

A. R3. B. R5. C. R15. D. 3

5
R .

Câu 119. [0H3-2] Đường trịn

 

C có tâm I



4;3



, tiếp xúc trục Oy có phương trình là

A. _x2__y2_₄_x_₃_y_{ }_{9 0}. B.



_x_₄

 

2_ _y_₃



2 _₁₆.

C.



 

2



2

4 3 16

x  y  . D. _x2_ _y2_₈_x_₆_y__{12 0}_ .

Câu 120. [0H3-1] Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn nào sau đây đi qua điểmA



4; 2



?

A. _x2__y2_₂_x__{20 0}_ . B. _x2__y2_₄_x_₇_y_{ }_{8 0}.

</div>
<span class='text_page_counter'>(106)</span><div class='page_container' data-page=106>

Câu 121. [0H3-2] Cho đường tròn

 

_{C x}_: 2__y2_₄_x_₂_y_{ }_{7 0} và hai điểm _A

 

_1;1 và _B



__{1; 2}



.
Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. A nằm trong và B nằm ngoài

 

C . B. A và B cùng nằm ngoài

 

C .

C. A nằm ngoài và B nằm trong

 

C . D. A và B cùng nằm trong

 

C .

Câu 122. [0H3-2] Cho đường tròn

 

_{C x}_: 2__y2_₄_x_{ }_{3 0}. Hỏi mệnh đề nào sau đây là sai?

A.

 

C có tâm I

 

2;0 . B.

 

C có bán kính R1.

C.

 

C cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt. D.

 

C cắt trục Oy tại 2 điểm phân biệt.

Vấn đề 10: Liên hệ giữa đường thẳng và đường tròn
Câu 123. [0H3-2] Cho đường tròn

  

 

2



2

: 1 3 10

C x  y  và đường thẳng :x y  1 0 biết
đường thẳng  cắt

 

C tại hai điểm phân biệt A, B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng

A. 19

2 . B. 38. C.

19

2 . D.

38
2 .

Câu 124. [0H3-2] Cho tam giác ABC có A

 

1;2 , B

 

2;3 , C



 3; 4



_{. Diện tích tam giác}ABC
bằng

A. 1. B. 2. C. 1 2_. _D.3

2 .

Câu 125. [0H3-2] Đường tròn

  

_C _: _{x a}_

 

2_ _{y b}_



2 __R2 cắt đường thẳng _x_₂_{y a}_{ }₂_b_₀
theo dây cung có độ dài bằng bao nhiêu? (ở đây R0).

A. R 2. B. 2

2

R _. _C.

R. D. 2R.
Câu 126. [0H3-2] Diện tích tam giác ABC với A



3; 4



, B

 

1;5 , C

 

3;1 là

A. 26. B. 2 5. C. 10. D. 5.

Câu 127. [0H3-2] Đường thẳng 5x3y15 tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích
bằng

A. 15. B. 7,5. C. 3. D. 5.

Câu 128. [0H3-2] Cho đường tròn

 

_{C x}_: 2__y2_₄_x_₂_y_₀ và đường thẳng _{d x}_: _₂_y_{ }_{1 0}.
Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng?

A. d đi qua tâm của đường tròn

 

C . B. d cắt

 

C tại hai điểm phân biệt.

C. d tiếp xúc

 

C . D. d khơng có điểm chung với

 

C .
Câu 129. [0H3-2] Cho đường tròn

  

 

2



2

: 4 3 5

C x  y  và đường thẳng d x: 2y 5 0.
Tọa độ tiếp điểm của đường thẳng d và đường tròn

 

C là

</div>
<span class='text_page_counter'>(107)</span><div class='page_container' data-page=107>

Câu 130. [0H3-2] Cho hai đường tròn

 

2 2

1 : 2 6 6 0

C x y  x y  ,

 

2 2

2 : 4 2 4 0

C x y  x y  .
Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng:

A.

 

C1 cắt

 

C2 . B.

 

C1 khơng có điểm chung với

 

C2 .

C.

 

C1 tiếp xúc trong với

 

C2 . D.

 

C1 tiếp xúc ngoài với

 

C2 .

Câu 131. [0H3-2] Đường tròn

 

C đi qua A

 

1;3 , B

 

3;1 và có tâm nằm trên đường thẳng

: 2 7 0

d x y   có phương trình là

A.



 

2



2

7 7 102

x  y  . B.



 

2



2

7 7 164

x  y  .

C.



 

2



2

3 5 25

x  y  . D.



 

2



2

3 5 25

x  y  .
Câu 132. [0H3-2] Diện tích tam giác ABC với A



3; 4



, B

 

1;5 , C

 

3;1 là

A. 26. B. 2 5. C. 10. D. 5.

Câu 133. [0H3-2] Cho đường tròn

  

 

2



2

: 3 1 10

C x  y  . Phương trình tiếp tuyến của

 

C
tại A

 

4; 4 là

A. x3y 5 0. B. x3y 4 0. C. x3y16 0 . D. x3y16 0 .

Câu 134. [0H3-2] Cho đường tròn

 

_{C x}_: 2__y2_₂_x_₆_y_{ }_{5 0}. Tiếp tuyến của

 

_C song song
với đường thẳng d x: 2y15 0 có phương trình là

A. 2 0

2 10 0
x y

x y

 


   

 . B.

2 0
2 10 0
x y

x y

 


   

 . C.

2 1 0
2 3 0
x y
x y

  


   

 . D.

2 1 0
2 3 0
x y
x y

  


   

 .

Câu 135. [0H3-2] Cho đường tròn

  

 

2



2

: 2 2 9

C x  y  . Tiếp tuyến của

 

C qua A



5; 1



có phương trình là

A. 4 0

2 0
x y
x y

  


   

 . B.

5
1
x
y




  

 . C.

2 3 0

3 2 2 0
x y

x y

  


   

 . D.

3 2 2 0
2 3 5 0

x y
x y

  


   

 .

Câu 136. [0H3-2] Cho đường tròn

 

_{C x}_: 2__y2_₆_x_₂_y_{ }_{5 0}_{và đường thẳng}





: 2 2 7 0

d x m y m   _{. Với giá trị nào của}m thì d tiếp xúc với

 

C ?

A. m3_. _B.m15_. _C.m13_._D.m3_hoặcm13_.
Câu 137. [0H3-2] Cho đường tròn

 

C có tâm thuộc đường thẳng : 1 2

3

x t

d

y t

 

  

 và đi qua hai

điểm A

 

1;1 và B



0; 2



. Tính bán kính đường trịn

 

C

A. R 565. B. R 10. C. R2. D. R25.

Câu 138. [0H3-2] Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD biết A

 

2;1 , B



2; 1



_,



2; 3



C   . Tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD là

A.

 

2;0 . B.

 

2;2 . C.



0; 2



. D.



0; 1



.

</div>
<span class='text_page_counter'>(108)</span><div class='page_container' data-page=108>

A. 3

4 2

x t

y t

 

  

 . B.

3
2 4

x t

y t

 


   

 . C.

3 3
2 4

x t

y t

 


   

 . D.

3
2 4

x t

y t

 


   

 .

Câu 140. [0H3-3] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A

 

3;4 , B

 

2;1 ,



1; 2



C   . Gọi M x y



;



là điểm trên đường thẳng BC sao cho S__ABC 4S__ABM. Tính P x y . .

A.

5
16

7
16
P
P

 


 


. B.

77
16
7
16

P
P

 


 


. C.

5
16

77
16
P
P

 


 


. D. Đáp án khác.
Câu 141. [0H3-3] Cho hai điểm P

 

1;6 và Q



 3; 4



và đường thẳng : 2x y  1 0. Tọa độ
điểm N thuộc  sao cho NP NQ lớn nhất.

A. N

 

3;5 . B. N

 

1;1 . C. N



 1; 3



. D. N



 9; 19



.

Câu 142. [0H3-3] Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I

 

2;1 , trọng tâm 7 4;

3 3
G_ _

 ,
phương trình đường thẳng AB x y:   1 0_{. Giả sử điểm}C x y



₀; ₀



, tính 2x₀y₀.

A. 18. B. 10. C. 9. D. 12.

Câu 143. [0H3-3] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M



4; 1



, đường thẳng d qua M ,
d cắt tia Ox, Oy lần lượt tại A a



; 0



, B



0; b



sao cho tam giác ABO (O là gốc tọa độ) có
diện tích nhỏ nhất. Giá trị a4b bằng

A. 14. B. 0. C. 8. D. 2

Câu 144. [0H3-3] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tam giác ABC có đỉnh A



1;2



_{, trực tâm}



3; 12



H   _{, trung điểm của cạnh}BC là M

 

4;3 . Gọi I, R lần lượt là tâm, bán kính đường
trịn ngoại tiếp tam giác ABC. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A. 3;17

2
I_ _

 , R4 13. B. I

 

6;8 , R 85.

C. I



2; 2



, R5. D. I



5;10



, R10.

Câu 145. [0H3-3] Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình vng ABCD có tâm là điểm
I. Gọi G



1; 2



và K

 

3;1 lần lượt là trọng tâm các tam giác ACD và ABI. Biết A a b

 

; với

0

b _{. Khi đó}_a2__b2 bằng

A. 37. B. 5. C. 9. D. 3.

Câu 146. [0H3-3] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A

 

1;0 , B

 

0;5 và C



 3; 5



.
Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oy sao cho 3MA2MB4MC đạt giá trị nhỏ nhất?

A. M

 

0;5 . B. M

 

0;6 . C. M



0; 6



_. _D.M



0; 5



_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(109)</span><div class='page_container' data-page=109>

A. x y 0. B. x3y0. C. 2x3y0. D. 2x y 0.
Câu 148. [0H3-3] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD biết

2

AD AB, đường thẳng AC có phương trình x2y 2 0, D

 

1;1 và A a b

  

; a b, _,a0



.
Tính a b _.

A. a b  4. B. a b  3. C. a b 4. D. a b 1.

Câu 149. [0H3-3] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hình chiếu vng góc của điểm A

 

2;1 trên
đường thẳng d:2x y  7 0 có tọa độ là

A. 14; 7

5 5

_ _ 

 

 . B.

5 3
;
2 2

 

 

 . C.

 

3;1 . D.

14 7
;
5 5

 

 

 .
Câu 150. [0H3-3] Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3

2



S , hai đỉnh A



2; 3



và B



3; 2



.

Trọng tâm G nằm trên đường thẳng 3x y  8 0. Tìm tọa độ đỉnh C?

A. C



10; 2



hoặc C



1; 1



. B. C



 2; 10



hoặc C



1; 1



.

C. C



2;10



hoặc C



1; 1



. D. C



2; 10



hoặc C



1; 1



.

Câu 151. [0H3-3] Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A



 4; 1



, hai đường cao BH
và CK có phương trình lần lượt là 2x y  3 0 và 3x2y 6 0. Viết phương trình đường
thẳng BC và tính diện tích tam giác ABC.

A. BC x y:  0; 35
2


S . B. BC x y:  0; 25
2


S .

C. BC x y:  0; 25
2


S . D. BC x y:  0; 35

2


S .

Câu 152. [0H3-3] Cho A



1; 1



, B

 

3;2 . Tìm M trên trục Oy sao cho _MA2__MB2

nhỏ nhất.

A. M

 

0;1 . B. M



0; 1



. C. 0;1

2
M_ _

 . D.

1
0;

2
M_  _

 .
Câu 153. [0H3-3] Cho đường thẳng d: 2x y  5 0. Viết được phương trình tổng quát
đường thẳng  đi qua điểm M

 

2; 4 và vuông góc với đường thẳng d.

A. x2y10 0 . B. x2 –10 0y  . C. 2x y  8 0. D. 2x y  8 0.
Câu 154. [0H3-3] Một elip

 

E có phương trình

2 2

2 2 1

x y

a b  , trong đó a b 0. Biết

 

E đi
qua điểm A



2; 2



và B



2 2; 0



thì

 

E có độ dài trục bé là

A. 4. B. 2 2. C. 2. D. 6.

Câu 155. [0H3-3] Cho đường tròn

  

 

2



2

: 1 3 10

C x  y  và đường thẳng

:x 3y m 1 0

     . Đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn

 

C khi và chỉ khi

A. m1 hoặc m 19. B. m 3 hoặc m17.

</div>
<span class='text_page_counter'>(110)</span><div class='page_container' data-page=110>

Câu 156. [0H3-3] Trong hệ trục tọa độOxy, một elip có độ dài trục lớn là 8, độ dài trục bé là
6 thì có phương trình chính tắc là.

A. 2 2 1

9 16

x _ y _ _. _B. 2 2

1
64 36

x _ y _ _. _C. 2 2

1
16 9

x _ y _ _. _D. 2 2

1
16 7

x _ y _ _.

Câu 157. [0H3-3] Điểm A a b

 

; thuộc đường thẳng : 3
2

x t

d

y t

 

  

 và cách đường thẳng

:2x y 3 0

    _{một khoảng bằng}2 5 và a0_{. Tính}P a b . _.

A. P72. B. P 132. C. P132. D. P 72.

Câu 158. [0H3-3] Cho tam giác ABC có 4 7;
5 5
A_ _

  và hai trong ba đường phân giác trong có
phương trình lần lượt là x2y 1 0, x3y 1 0. Viết phương trình đường thẳng chứa
cạnh BC.

A. y 1 0. B. y 1 0. C. 4x3y 1 0. D. 3x4y 8 0.

Câu 159. [0H3-3] Cho đường tròn

 

_{C x}_: 2__y2_₂_x_₂_y_{ }_{7 0}_{và đường thẳng}_{d x y}_: _{  }_{1 0}_.
Tìm tất cả các đường thẳng song song với đường thẳng d và cắt đường tròn

 

C theo dây
cung có độ dài bằng 2.

A. x y  4 0 và x y  4 0. B. x y  2 0.

C. x y  4 0. D. x y  2 0 và x y  2 0.

Câu 160. [0H3-3] Trong mp



Oxy



, cho tam giác ABC với A

 

2;6 , B



 3; 4



và C

 

5;1 . Tìm
tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

A. 57; 10
11 11

H_  _

 . B.

57 10
;
11 11
H_  _

 . C.

57 10
;
11 11
H_ _

 . D.

57 10
;
11 11
H_ _

 .

Câu 161. [0H3-3] Cho điểm M

 

1;2 và đường thẳng d: 2x y  5 0. Tọa độ của điểm đối
xứng với điểm M qua d là

A. 9 12;

5 5

 

 

 . B.



2;6



. C.

3
0;

2

 

 

 . D.



3; 5



.

Câu 162. [0H3-3] Cho ba điểm A



3; 5



, B



2; 3



, C



6; 2



. Đường trịn ngoại tiếp tam giác
ABC có phương trình là

A. _x2__y2_₂₅_x_₁₉_y__{68 0}_ . B. ₃_x2_₃_y2_₂₅_x_₁₉_y__{68 0}_ .

C. _x2__y2_₂₅_x_₁₉_y__{68 0}_ . D. ₃_x2_₃_y2_₂₅_x_₁₉_y__{68 0}_ .

Câu 163. [0H3-3] Đường thẳng nào tiếp xúc với đường tròn

  



2 ₂

: 2 4

C x y  tại M có
hồnh độ x_M 3?

A. x 3y 6 0. B. x 3y 6 0.

C. 3x y  6 0. D. 3x y  6 0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(111)</span><div class='page_container' data-page=111>

A.



 

2



2

2 2 4

x  y  ,



 

2



2
10 10 100
x  y  .

B.



 

2



2

2 2 4

x  y  ,



 

2



2
10 10 100
x  y  .

C.



 

2



2

2 2 4

x  y  ,



 

2



2
10 10 100
x  y  .

D.



 

2



2

2 2 4

x  y  ,



 

2



2
10 10 100
x  y  .

Câu 165. [0H3-3] Đường tròn tâm I



1;3



, tiếp xúc với đường thẳng d x:3 4y 5 0 có
phương trình là

A.



 

2



2

1 3 4

x  y  . B.



 

2



2

1 3 2

x  y  .

C.



 

2



2

1 3 10

x  y  . D.



 

2



2

1 3 2

x  y  .

Câu 166. [0H3-3] Cho đường tròn

 

_{C x}_: 2__y2_₆_x_₂_y_{ }_{5 0}_{và điểm}_A



__{4; 2}



_{. Đường thẳng}

d qua A cắt

 

C tại 2 điểm M , N sao cho A là trung điểm của MN có phương trình là

A. x y  6 0_. _B.7x3y34 0 _. _C.7x y 30 0 _. _D.7x y 35 0 _.

Câu 167. [0H3-3] Đường trịn có tâm I

 

1;1 và tiếp xúc với đường thẳng : 5 4
3 3

x t

y t

  


  _{ }

 có

phương trình:

A. _x2__y2_₂_x_₂_y_{ }_{6 0}. B. _x2__y2_₂_x_₂_y_₀.

C. _x2__y2_₂_x_₂_y_{ }_{2 0}. D. _x2__y2_₂_x_₂_y_{ }_{2 0}.

Câu 168. [0H3-3] Đường thẳng :x2y 5 0 tiếp xúc với đường tròn

  

 

2



2

: 4 3 5

C x  y  tại điểm M có tọa độ là

A.

 

3;1 . B.

 

3;2 . C.

 

6;3 . D.

 

5;2 .

Câu 169. [0H3-3] Đường trịn có tâm I

 

1;1 và tiếp xúc với đường thẳng : 5 4
3 3

x t

y t

  


  _{ }

 có

phương trình:

A. _x2__y2_₂_x_₂_y_{ }_{6 0}. B. _x2__y2_₂_x_₂_y_₀.

C. _x2__y2_₂_x_₂_y_{ }_{2 0}. D. _x2__y2_₂_x_₂_y_{ }_{2 0}.

Câu 170. [0H3-4] Một miếng giấy hình tam giác ABC diện tích S có I là trung điểm BC và
O là trung điểm của AI. Cắt miếng giấy theo một đường thẳng qua O, đường thẳng này
đi qua M , N lần lượt trên các cạnh AB, AC. Khi đó diện tích miếng giấy chứa điểmA có

diện tích thuộc đoạn.

A. ;

4 3
S S

 

 

 . B. 3 2;

S S

 

 

 . C.

3 _;
8 2

S S

 

 

 . D.

3
;
4 8

S S

 

 

 .

Vấn đề 11: ELIP

</div>
<span class='text_page_counter'>(112)</span><div class='page_container' data-page=112>

A. 2 2 1
64 36

x _ y _ _. _B. 2 2

1
9 16

x _ y _ _. _C.₉_x2_₁₆_y2 _₁. D. 2 2 ₁
16 9

x _ y _ _.

Câu 172. [0H3-1] Phương trình chính tắc của

 

E có tâm sai 4

5

e , độ dài trục nhỏ bằng 12
là

A. 2 2 1

25 36

x _ y _ _. _B. 2 2

1
64 36

x _ y _ _. _C. 2 2

1
100 36

x _ y _ _. _D. 2 2

1
36 25

x _ y _ _.

Câu 173. [0H3-1] Cho ₉_x2_₂₅_y2_₂₂₅. Hỏi diện tích hình chữ nhật cơ sở ngoại tiếp

 

_E là

A. 15. B. 30. C. 40. D. 60.

Câu 174. [0H3-2] Diện tích của tứ giác tạo nên bởi các đỉnh của elip

 

_: 2 2 ₁
4

x

E y  là

A. 8. B. 4. C. 2. D. 6.

Câu 175. [0H3-2] Các đỉnh của Elip

 

E có phương trình x2₂ y₂2 1

a b  ;



a b 0



tạo thành
hình thoi có một góc ở đỉnh là 60, tiêu cự của

 

E là 8, thế thì _a2__b2_?

A. 16. B. 32. C. 64. D. 128.

Câu 176. [0H3-2] Cho

 

E có độ dài trục lớn bằng 26, tâm sai 12.
13

e Độ dài trục nhỏ của

 

E bằng

A. 5. B. 10. C. 12 D. 24.

Câu 177. [0H3-2] Cho

 

_E _:16_x2_₂₅_y2 _₁₀₀_{và điểm}_M _thuộc

 

_E _{có hồnh độ bằng}₂_.
Tổng khoảng cách từ M đến 2 tiêu điểm của

 

E bằng

A. 5. B. 2 2. C. 4 3. D. 3.

Câu 178. [0H3-2] Phương trình chính tắc của

 

E có độ dài trục lớn bằng 6, tỉ số giữa tiêu

cự và độ dài trục lớn bằng 1

3 là

A. 2 2 1

9 3

x _ y _ _. _B. 2 2

1

9 8

x _ y _ _. _C. 2 2

1
19 5

x _ y _ _. _D. 2 2

1

6 5

x _ y _ _.

Câu 179. [0H3-2] Phương trình chính tắc của

 

E có độ dài trục lớn gấp 2 lần độ dài trục
nhỏ và tiêu cự bằng 4 3 là

A. 2 2 1

36 9

x _ y _ _. _B. 2 2

1
36 24

x _ y _ _. _C. 2 2

1
24 6

x _ y _ _. _D. 2 2

1
16 4

x _ y _ _.

Câu 180. [0H3-2] Phương trình chính tắc của

 

E có đường chuẩn x 4 0 và tiêu điểm



1;0



F  _là

A. 2 2 1

4 3

x _ y _ _. _B. 2 2

1
16 15

x _ y _ _. _C. 2 2

1
16 9

x _ y _ _. _D. 2 2

1

9 8

</div>
<span class='text_page_counter'>(113)</span><div class='page_container' data-page=113>

Câu 181. [0H3-2] Phương trình chính tắc của

 

E có tiêu cự bằng 6 và đi qua điểm A

 

5;0
là

A. 2 2 1

100 81

x _ y _ _. _B. 2 2

1
15 16

x _ y _ _. _C. 2 2

1
25 9

x _ y _ _. _D. 2 2

1
25 16
x _ y _ _.

Câu 182. [0H3-2] Cho elip

 

: 2 2 1

5 4

x y

E   . Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn bằng

A. 5

4 . B.

5

5 . C.

3 5

5 . D.

2 5

5 .

Câu 183. [0H3-2] Phương trình chính tắc của

 

E có độ dài trục lớn gấp 2 lần độ dài trục
nhỏ và đi qua điểm A



2; 2



là

A. 2 2 1

24 16

x _ y _ _. _B. 2 2

1
36 9

x _ y _ _. _C. 2 2

1
16 4

x _ y _ _. _D. 2 2

1
20 5

x _ y _

Câu 184. [0H3-2] Phương trình chính tắc của

 

E nhận điểm M

 

4;3 là một đỉnh của hình
chữ nhật cơ sở là

A. 2 2 1

16 9

x _ y _ _. _B. 2 2

1
16 4

x _ y _ _. _C. 2 2

1
16 3

x _ y _ _. _D. 2 2

1

9 4

x _ y _

Câu 185. [0H3-2] Elip có hai đỉnh



3;0



;

 

3;0 và hai tiêu điểm



1;0



và

 

1;0 có phương
trình chính tắc là

A. 2 2 1

8 9

x _ y _ _. _B. 2 2

1

9 8

x _ y _ _. _C. 2 2

1

9 4

x _ y _ _. _D. 2 2

1

9 2

x _ y _ _.

Câu 186. [0H3-2] Phương trình chính tắc của

 

E có khoảng cách giữa các đường chuẩn
bằng 50

3 và tiêu cự bằng 6 là

A. 2 2 1

64 25

x _ y _ _. _B. 2 2

1

89 64

x _ y _ _. _C. 2 2

1
25 16

x _ y _ _. _D. 2 2

1
16 7

x _ y _

Câu 187. [0H3-2] Cho

 

E : 2 2 1
16 9

x _ y _ _{và điểm}_M _thuộc

_{ }

_E _{. Khi đó độ dài}

OM thỏa mãn

A. OM 3 B. 3OM 4. C. 4OM 5. D. OM 5.

Câu 188. [0H3-2] Cho

 

: 2 2 1.
25 9

x y

E   Đường thẳng d x:  4_cắt

 

E tại hai điểm M , N.
Khi đó, độ dài đoạn MN bằng

A. 9

5. B.

9

25. C.

18

5 . D.

18
25.
Câu 189. [0H3-2] Đường thẳng y kx cắt

 

E : x2₂ y₂2 1

a b  tại hai điểm M , Nphân biệt. Khi
đó M , N

A. Đối xứng nhau qua O

 

0;0 . B. Đối xứng nhau qua Oy.

</div>
<span class='text_page_counter'>(114)</span><div class='page_container' data-page=114>

Câu 190. [0H3-3] Cho elip

 

: 2 2 1
169 144

x y

E   và điểm M thuộc

 

E có hồnh độ xM  13.
Khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm của

 

E lần lượt là

A. 10 và 6. B. 8 và 18. C. 13 và  5. D. 13 và  10

Câu 191. [0H3-3] Cho

 

E có hai tiêu điểm F₁



4;0



, F2

 

4;0 và điểm M thuộc

 

E . Biết
chu vi tam giác MF F1 2 bằng 18. Khi đó tâm sai của

 

E bằng

A. 4

18. B.

4

5. C.

4
5

 . D. 4

9

 .
Câu 192. [0H3-3] Cho

 

E có hai tiêu điểm F₁



 7;0



, F2



7;0



và điểm

9
7;

4
M_ _

  thuộc

 

E . Gọi N là điểm đối xứng với M qua gốc tọa độ O. Khi đó

A. 1 2

9
2

NF MF  . B. 2 1
9
2

NF MF  . C. 2 1
7
2

NF NF  D. NF1MF2 8.
GỢI Ý ĐÁP ÁN MỘT SỐ CÂU:

Câu 140. Chọn C.

Dễ thấy ABC 4

ABM

S
S



 BC 4

BM

  4

4
BC BM
BC BM
 
 
 

 
 .

TH1: BC4BM thì:

3
2
4
3
1
4
x
y
   


   


5
4
1
4
x
y
 

 
 

5
.
16
x y
  .

TH2: BC 4BM thì:

3
2
4
3
1
4
x
y
  



  

11
4
7
4
x
y
 

 
 

77
.
16
x y
  .

Câu 141. Chọn D.

Ta có:



2.1 6 1 . 2.3 4 1 

 

   



55 0 P_vàQ cùng phía so với .
Phương trình đường thẳng PQ: 5x2y 7 0.

Gọi H   PQ, tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình: 2 1 0
5 2 7 0

x y
x y
  


   

9
19
x
y
 

  _{ }
 .

Hay H



 9; 19



.

Với mọi điểm N  thì: NP NQ  HP HQ  PQ  NP NQ _max PQ.
Dấu bằng xảy ra khi N trùng H.

</div>
<span class='text_page_counter'>(115)</span><div class='page_container' data-page=115>

Gọi M a a



; 1



_{là trung điểm}AB.

Ta có IM 



a2;a



, 1 VTCP của AB là u_AB 

 

1;1 .
Mà IM uAB

 

. _AB 0
IM u

     a 2 a 0  a 1_{. Vậy}M

 

1; 2 .

Nhận xét CG2GM

0
0

7 7

2 1

3 3

4 4

2 2

3 3

x
y

 _ _  _ 

 

  

 

 

   _  _

 _ _



0
0

5
0
x
y



  _

 .

Vậy 2x0y0 10.

Câu 143. Chọn B.

Ta có phương trình đường thẳng d có dạng: x y 1

a b  ( theo giả thiết ta có
0, 0

a b )

Do d đi qua M



4; 1



nên ta có 4 1 1
a b 

Mặt khác diện tích của tam giác vng ABO là 1
2

ABO

S  ab

Áp dụng BĐT Cô si ta có 1 4 1 2 4 1. 4

a b a b ab

    4 1 8

2

ab ab

   

Vậy diện tích của tam giác vng ABO nhỏ nhất bằng 8 khi a, b thỏa mãn hệ
phương trình

4 1

8

4 1 2

1
a

a b

b
a b

 

 _ _

 _

 _{ }


  


4 8 4.2 0

a b

     .

Câu 144. Chọn D.

G

M
I

B
A

</div>
<span class='text_page_counter'>(116)</span><div class='page_container' data-page=116>

Kẻ đường kính AD của đường trịn

 

I khi đó ta có BHCD là hình bình hành

M là trung điểm của cạnh HD.

Xét tam giác AHD có IM là đường trung bình 1
2

IM AH

  1

2

IM AH

 .
Gọi I x y

 

; ta có IM 



4x;3y



; AH   



2; 14



I



5;10



.

Bán kính



 

2



2

5 1 10 2 10

R IA     

Câu 145. Chọn C.

Gọi M , N và P lần lượt là các trung điểm của AB, CD và BI. Ta có
2

3
AK AP

  1

_

_

3 AB AI

   1 1

2AB 6AD

  

2
3
AG AN

  1

_

_

3 AD AC

   2 1

3 AD 3AB

  

KG AG AK 

   1 1

2AD 6AB

  .

Suy ra: _. 1 2 1 2 ₀

12 12
AK KG AD  AB 

 

vì AB AD và  AB AD. 0
Đồng thời

2 5 2

18

AK  AB 2 5 2

18

KG AB

  . Do đó tam giác AKG vuông cân tại K nên:

D
M

H
I
A

B C

A

B C

D

I

M N

P

</div>
<span class='text_page_counter'>(117)</span><div class='page_container' data-page=117>

TỔ TOÁN – THPT NGUYỄN VĂN THOẠI Trang 117 / 126ID: 2019-2020
2 2
. 0
AK KG
AK GK
 





 



 

2



2

2 3 9

3 1 13

a b
a b
 

  _ _{ } _
 2
9 2
3

13 78 0

a
b
a a

 

 

 _ _

9 2
3
0
6
a
b
a
a

 

  

 _


 





0
3
6
1
a
b tm
a
b loai
_ 
 _


 _ _

_ _{ }

2 2 ₉

a b

   .

Câu 146. Chọn C.

Gọi I a b

 

; là điểm thỏa mãn:3   IA2IB4IC0
ta có: 3   IA2IB4IC05IA2 AB4AC

9
5
6
a
b
  

 
  

9
; 6
5

I 

 _  _

 

Khi đó 3MA 2MB4MC  3IA2IB4IC 5IM  0 5 IM 5IM

Do đó: 3MA 2MB4MC nhỏ nhất khi IM ngắn nhất. Suy ra M là hình chiếu
vng góc của 9; 6

5
I_  _

  trên OyM



0; 6



.

Câu 147. Chọn D.

Gọi M



2m5;m



 .



1;2



G  _{là trọng tâm}ABC_.

3 3

MA MB MC  MG  MG

   

.

MA MB MC

  

nhỏ nhất MG_{nhỏ nhất}G_{là hình chiếu vng góc của}G
trên _.



2 6; 2



GM m m ; VTCP của  là u

 

2;1 .
G là hình chiếu vng góc của G trên 









. 0 2 2 6 2 0 5 10 0 2 1; 2

GM u m m m m M

               .
Đường thẳng d qua gốc tọa độ d y ax:  .



1; 2



2
M     d a .

Vậy phương trình đường thẳng d: 2x y 0
Câu 148. Chọn D.

Cách 1: Gọi A a b

 

; . Vì A AC x : 2y 2 0 nên a2b     2 0 a 2b 2
Do a0 nên      2b 2 0 b 1

 

*

Khi đó A



 2b 2;b



_.

Ta có AD



2b3;1b



là véctơ chỉ phương của đường thẳng AD.



2; 1



u  _{là véctơ chỉ phương của đường thẳng}AC.
Trên hình vẽ, tan 1 cos 2

2 5

DC
AD

    

 

1



 

;

</div>
<span class='text_page_counter'>(118)</span><div class='page_container' data-page=118>

Lại có cos . 5₂ 1

. . 5 2 2

AD u _b

AD u b b

  

 

 

   2
Từ

 

1 và

 

2 suy ra 2

2

5 1 2

2 3 0 3

5

5 2 2

b

b b b

b b



       

  (do

 

* )  a 4.

Khi đó A



4; 3



, suy ra a b 1.

Cách 2: Gọi A a b

 

; . Vì A AC x : 2y 2 0_nêna2b     2 0 a 2b 2
Do a0 nên      2b 2 0 b 1

 

* , khi đó A



 2b 2;b



.

Vì C AC x : 2y 2 0 nên C



 2c 2;c



Ta có: AD 



3 2 ; 1b  b



; CD 



3 2 ;1c c



.
Chọn u CD u



c 1;3 2c



u CD
 
 _{ } _ _
 _







Ta có: 2

2 ₂

AD CD AD u

AB CD _AD _u


 

 

 _
 
 _
 _
 _

 Với AD2u

3

3 2 2 2

1

1 6 4

2
b

b c

b c c

 

  
 
_ _
    

 _ (t/m)

 Với AD 2u 3 2 2 2 1 ₃

1 6 4

2
b

b c

b c c



   
 
_ _
     

 _ (không t/m)

Vậy A



4; 3



, suy ra a b 1_.
Câu 149. Chọn D.

Đường thẳng  đi qua A và vng góc với đường thẳng d có phương trình là



x 2

 

2 y 1



0  x 2y0.

H là hình chiếu vng góc của điểm A trên đường thẳng d H   d
Tạo độ H là nghiệm của hệ phương trình 2 7 0

2 0
  

  

x y
x y
14
5
7
5
 

 
 

x
y
14 7
;
5 5
 
 _ _
 
H .

Câu 150. Chọn B.

Gọi G a a



; 3 8



. Do 3 1

2 2

  

ABC GAB

S S .

Đường thẳng AB nhận AB

 

1;1 là véc tơ chỉ phương nên có phương trình
5 0

  

x y .

2



AB ,









 

2
2

3 8 5 3 2

;
2
1 1

   
 
 

a a a

</div>
<span class='text_page_counter'>(119)</span><div class='page_container' data-page=119>

Do 1 1. .



;



1

2 2 2

  

GAB

S AB d G AB 2.3 2 1

2


 a  3 2 1 1

2



  _{  }




a
a

a .
Với a 1 G



1; 5 



C



 2; 10



.

Với a 2 G



2; 2 



C



1; 1



.

Vậy C



 2; 10



hoặc C



1; 1



thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 151. Chọn D.

+ BH có véctơ pháp tuyến nBH



2; 1



. CK có véctơ pháp tuyến

 

3; 2


CK

n .

+ Đường thẳng AB vng góc CK nên nhận nCK

 

3; 2 làm véctơ chỉ phương, vì thế
AB có véctơ pháp tuyến nAB



2; 3



. Mặt khác AB đi qua A



 4; 1



nên có phương
trình:



 



2 x 4 3 y 1 02x3y 5 0.

+ Đường thẳng AC vng góc BH nên nhận nBH



2; 1



làm véctơ chỉ phương, vì
thế AC có véctơ pháp tuyến nAC

 

1; 2 . Mặt khác AC đi qua A



 4; 1



nên có
phương trình:



 



1 x 4 2 y 1 0 x 2y 6 0.

+ B là giao điểm của AB và BH. Xét hệ: 2 3 5 0

2 3 0

  


   


x y
x y

1
1

 

  _



x

y B



1;1



.

+ C là giao điểm của AC và CK. Xét hệ: 2 6 0

3 2 6 0

  


   


x y
x y

6
6



  _{ }



x

y C



6; 6



.

+ Đường thẳng BC có véctơ chỉ phương là BC



7; 7



nên có véctơ pháp tuyến là

 

7;7





n . Vậy BC có phương trình: 7



x 1

 

7 y 1



0  x y 0.

+ ₂

 

2

7 7 7 2

   

BC .

+ Chiều cao kẻ từ A của tam giác ABC là





2 2
4 1 5
,

2
1 1

 

 



d A BC .

+ Diện tích tam giác ABC là: 1.7 2. 5

2 2



S 35

2
 .
Câu 152. Chọn C.

K H

A

</div>
<span class='text_page_counter'>(120)</span><div class='page_container' data-page=120>

M trên trục OyM

 

0;y .



1; 1



;

MA  y



_

_

3; 2

MB y



2 2 _{10 2} ₂ 2 ₂ 2 1 19

4 2

MA MB   y y  _y  y _

 

2
1 19
2

2 2
y

 

 _  _ 

 

19
2



Giá trị nhỏ nhất của



_MA2__MB2



_bằng19
2
Dấu bằng xảy ra khi 1

2
y .

Câu 153. Chọn B.

Vectơ pháp tuyến của d là n



2; 1



.
Vectơ chỉ phương của d là u

 

1; 2 .

Do đường thẳng  vng góc với đường thẳng d nên vectơ pháp tuyến của  là

 

1;2

n _.

Phương trình tổng quát đường thẳng  là1



x 2

 

2 y4



0 x 2y10 0 .

Câu 154. Chọn A.

 

E đi qua B



2 2; 0



nên ta có

 

2

2

2 2

2 2 ₀

1

a b  suy ra a2 2.

 

E đi qua A



2; 2



nên ta có

 

 

2
2

2
2
2

1

8  b  suy ra b2.
Do đó độ dài trục bé 2b4_.

Câu 155. Chọn B.

Đường trịn

 

C có tâm I



1; 3



và bán kính R 10.

Đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn

 

C khi và chỉ khi d I

 

; R hay
3

1 9 1

10 7 10

17
10

m
m

m

m

 

   _ _ _{ } 

  _

 .

Câu 156. Chọn C.

Độ dài trục lớn là 82a  8 a 4
Độ dài trục nhỏ là 62b  6 b 3

Phương trình chính tắc của elip là 22 22 1 ₁₆2 ₉2 1

x y x y

a b     .

Câu 157. Chọn C.

Đường thẳng  và có vectơ pháp tuyến là n



2; 1



.
Điểm A thuộc đường thẳng

 

d A



3 ;2t t



.



;



2 3



 

₂ 2



3 2 5
2 1

t t

</div>
<span class='text_page_counter'>(121)</span><div class='page_container' data-page=121>

1 10
t

    1 10

1 10
t
t
  

 _{   }

9
11
t
t
 

  _
 .

Với t 9 A



12;11



a b. 12.11 132 .
Với t11A



 8; 2



(loại).

Câu 158. Chọn A.

Dễ thấy điểm 4 7;

5 5
A_ _

  không thuộc hai đường phân giác x2y 1 0 và
3 1 0

x y  . Suy gọi CF x: 2y 1 0, BE x: 3y 1 0 lần lượt là phương trình
đường phân giác xuất phát từ đỉnh C, B(như hình vẽ trên).

Gọi d là đường thẳng qua 4 7;
5 5
A_ _

  và vng góc với BE thì d có VTPT là



3; 1



d

n  _{nên có phương trình}3 4 7 0

5 5

x y

 _  _ _ _{ }

   

    3x y  1 0. Tọa độ điểm

M  d BE_{thỏa mãn hệ}

2

3 1 0 ₅

3 1 0 1

5
x
x y
x y
y
 

  
 _ _
 _ _{ } 
 _{ }

2 1
;
5 5
M_ _

 .
Suy ra tọa độ điểm đối xứng với 4 7;

5 5
A_ _

  qua

2 1
;
5 5
M_ _

  là A



0; 1



thì ABC

 

1 .
Gọi d là đường thẳng qua 4 7;

5 5
A_ _

  và vng góc với CF thì d có VTPT là

 

2;1

d

n 



nên có phương trình 2 4 7 0

5 5

x y

 _  _ _ _{ }

   

    2x y  3 0. Tọa độ điểm

N  d CF thỏa mãn hệ

7

2 3 0 ₅

2 1 0 1

5
x
x y
x y
y
 

  
 _ _
 _ _{ } 
 _{ }

7 1
;
5 5
N_ _

 .
Suy ra tọa độ điểm đối xứng với 4 7;

5 5
A_ _

  qua

7 1
;
5 5
N_ _

  là A



2; 1



thì ABC

 

2 .
Từ

 

1 và

 

2 ta có A A  

 

2;0 là một VTCP của BC suy ra VTPT của BC là

 

0;1

n _{. Do đó phương trình cạnh}BC: 0



x 0

 

1 y  1



0 y 1 0.
Câu 159. Chọn A.

2 1 0

x y 

3 1 0

x y 
4 7

;
5 5
A_ _

 

B

C
E

</div>
<span class='text_page_counter'>(122)</span><div class='page_container' data-page=122>

Tâm O



1; 1



, bán kính _R_ ₁2_{ }

   

₁ 2_{  }₇ ₃
Gọi đường thẳng cần tìm là

 

d :x y c  0.
Gọi A B, lần lượt là giao điểm của

 

d và

 

C .

Xét OHB_{vuông tại}H (H là chân đường cao kẻ từ O trong tam giác OAB).
Ta có:



,



1

 

1

2
c

d O AB     OH _ _OB2__BH2 _ ₃2_{ }₁2 _{2 2}.
2 2

2
c

      c 4 c 4.

Vậy đường thẳng cần tìm có dạng x y  4 0 hoặc x y  4 0.

Câu 160. Chọn C.

Phương trình đường thẳng đi qua B



 3; 4



và nhận AC



3; 5



làm VTPT có
dạng:



 



3 x 3 5 y4 0 3x5y 11 0.

Phương trình đường thẳng đi qua A

 

2;6 và nhận BC

 

8;5 làm VTPT có dạng:



 



8 x 2 5 y6 0 8x5y46 0 .

Suy ra tọa độ H thỏa mãn hệ phương trình: 3 5 11
8 5 46

x y
x y

 


  


57
11
10

11
x
y

 

 

 


.
Vậy 57 10;

11 11
H_ _

  là tọa độ cần tìm.
Câu 161. Chọn A.

Ta có phương trình đường thẳng d đi qua điểm M

 

1;2 và vng góc với đường
thẳng d: 2x y  5 0 có phương trình là d  : x 2y 3 0

Gọi I là giao điểm của d và d. Khi đó tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình

d'

3

3

A

O B

</div>
<span class='text_page_counter'>(123)</span><div class='page_container' data-page=123>

2 5 0
2 3 0
x y

x y

  


   


7
5
11

5
x
y

 

 

 



7 11_;
5 5

I 

 _ _

Gọi M là điểm đối xứng của M qua đường thẳng d.
Khi đó I là trung điểm của MM suy ra

9
2

5
12
2

5

M I M

M I M

x x x

y y y





 _ _ _




 _ _ _



9 12_;
5 5

M 

 _ _

 .
Câu 162. Chọn B.

Giả sử đường tròn đi qua ba điểm A



3; 5



, B



2; 3



, C



6; 2



có dạng:

2 2 ₂ ₂ ₀

x y  ax by c  , điều kiện _a2__b2_{ }_c ₀.

Theo bài ra ta có hệ

25
6

6 10 34

19

4 6 13

6

12 4 40 ₆₈

3
a

a b c

a b c b

a b c

c

 


    

 



      





    

 _




Suy ra phương trình đường tròn là

2 2 25 19 68 ₀ ₃ 2 ₃ 2 ₂₅ ₁₉ _{68 0}

3 3 3

x y  x y   x  y  x y  .

Câu 163. Chọn A.

Thế x_M 3 vào phương trình đường trịn, ta được: 2 ₃ 3
3

y
y

y

 
  

 



 

1 3; 3

M

 , M2



3; 3



.

Đường tròn

 

C có tâm I

 

2;0 .

 Với I

 

2;0 , M₁

 

3; 3 ta có IM1

 

1; 3


.

Đường thẳng qua M1

 

3; 3 và nhận IM1

 

1; 3


làm véctơ pháp tuyến có

phương trình là



x 3



3



y 3



0  x 3y 6 0.

 Với I

 

2;0 , M₂



3; 3



ta có IM2 



1; 3





.

Đường thẳng qua M2



3; 3



và nhận IM2 



1; 3





làm véctơ pháp tuyến có
phương trình là



x 3



3



y 3



0  x 3y 6 0.

Vậy đường thẳng tiếp xúc với đường tròn

  

_C _: _x_₂



2__y2_₄_tại_M _{có hồnh độ}
3

M

x  là x 3y 6 0_hoặcx 3y 6 0_.
Câu 164. Chọn A.

</div>
<span class='text_page_counter'>(124)</span><div class='page_container' data-page=124>

Ta có đường trịn

 

C đi qua A

 

2; 4 nên ta có:



₂__a

 

2_{ }₄ _b



2 __R2

 

₁ 
Đường tròn

 

C tiếp xúc với các trục tọa độ, ta phải có a  b R  2
 Trường hợp 1: Nếu a b , thay vào

 

1 ta có



 

2



2 ₂ ₂ 2

2 4 12 20 0

10

a

a a a a a

a




       _{  }




Với a2 ta có phương trình đường trịn



x2

 

2 y2



24
Với a10_{ta có phương trình đường trịn}



 

2



2

10 10 100

x  y 

 Trường hợp 2: Nếu a b, thay vào

 

1 ta có phương trình



₂__a

 

2_{ }₄ _a



2 __a2 __a2_₄_a__{20 0}_ _{: phương trình này vơ nghiệm.}
Vậy các đường trịn có phương trình



 

2



2

2 2 4

x  y  ,



 

2



2

10 10 100

x  y 

thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 165. Chọn A.

Đường trịn

 

C có tâm I



1;3



, bán kính R có phương trình:



_x_₁

 

2_ _y_₃



2 __R2
Đường trịn

 

C tiếp xúc với đường thẳng d x:3 4y 5 0 nên khoảng cách từ tâm

I đến đường thẳng d bằng R

 

 

2
2

3. 1 4.3 5

2

3 4 R R

  

   

 

Vậy đường tròn

 

C có phương trình:



x1

 

2 y3



24.
Câu 166. Chọn A.

 

C có tâm I



3;1



_{, bán kính}R 5.

Đường thẳng qua A



4; 2



có véc tơ pháp tuyến n 

 

a b;



_a2__b2 _₀



có phương
trình dạng d ax by:  4a2b0.

Tam giác IMN cận tại I có A là trung điểm MN nên IAMN.

 





2



2 2



2 2

; a b 2 2

d I d IA a b a b a b

a b



          

 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(125)</span><div class='page_container' data-page=125>

5 4
:

3 3

x t

y t

  


  _{ }

 qua A



5;3



và có vectơ chỉ phương u



4; 3



 _{nên có vectơ pháp}

tuyến là n

 

3; 4 _.

Phương trình tổng quát của  là 3



x 5

 

4 y  3



0 3x4y 3 0.

Đường trịn đã cho tiếp xúc với  nên có bán kính



,



3.1 4.1 3₂ ₂ 2
3 4
R d I     

 .

Phương trình của đường trịn là



 

2



2 ₂ ₂ ₂

1 1 2 2 2 2 0

x  y  x  y  x y  .

Câu 168. Chọn A.

Đường trịn

 

C có tâm I

 

4;3 và bán kính R 5.

Đường thẳng  có vectơ chỉ phương u_  



2;1



và đi qua điểm B

 

5;0 nên có
phương trình tham số là: _{ }x_{y m} 5 2m

 .

Vì M nên M



2m5;m



_{. Khi đó}IM 



1 2 ; 3m  m



.
Ta có đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn

 

C tại M nên



  



2 2 1 1 3 0 5 5 0 1

IM u   m   m    m   m

  _{. Suy ra}_M

_{ }

_3;1 _.

Câu 169. Chọn C.

5 4
:

3 3

x t

y t

  


  _{ }

 qua A



5;3



và có vectơ chỉ phương u



4; 3



 _{nên có vectơ pháp}

tuyến là n

 

3; 4 _.

Phương trình tổng quát của  là 3



x 5

 

4 y  3



0 3x4y 3 0_.

Đường trịn đã cho tiếp xúc với  nên có bán kính



,



3.1 4.1 3₂ ₂ 2
3 4
R d I     

 .

Phương trình của đường trịn là



 

2



2 ₂ ₂ ₂

1 1 2 2 2 2 0

x  y  x  y  x y  .
Câu 170. Chọn A.

Đặt A

 

0;0 , B



4 b;0



, C



0; 4c



I b c



2 ;2



, O b c

 

, .
Đặt M t

 

,0 N 0, ct

b t



 

 _ 
 .

Khi đó: S__ABC 8 sinbc A,

_

2

_

sin

 

sin
2

AMN

ct

S A f t A

t b

  _  với

4

4
3

b

t b

  .
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(126)</span><div class='page_container' data-page=126>

max
8

3
bc

f  khi 4 4

3
b

t  t b



4 3

ABC ABC

AMN

S S

S

  .

Câu 190. Chọn B.

Ta có xM

_{ }

13 y_M 0 M



13;0



M E

 

 _ _{ } _

 

 .

Ta có _a2_₁₆₉_;_b2_₁₄₄ __c2_₂₅_{ }_c ₅_.

Các tiêu điểm của

 

E là F₁



5;0



, F2

 

5;0 , suy ra MF18, MF2 18.
Câu 191. Chọn B.

Ta có F F1 2 8và c4.

1 2 1 2 1 2 18 1 2 10 2 5

MF F

C_ MF MF F F  MF MF   a a .

Tâm sai của elip: 4
5
c
e

a

  .

Câu 192. Chọn B.

N đối xứng với M qua gốc tọa độ O nên 7; 9
4
N_  _

 .

Ta có: 1 2 1 2

9_; 23_; 23_; 9

4 4 4 4

MF  MF  NF  NF  .

Do đó 2 1

9_.
2

</div>

<!--links-->