Cac phuong phap chung minh bat dang thuc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (12.48 MB, 351 trang )

<i>1.8. Phương pháp cân bằng hệ số</i> 77

<b>Ví dụ 1.8.5.</b> Giả sử các số thực x, y, z, t thỏa mãn xy + yz + zt + tz = 1, tìm giá trị nhỏ nhất

của

LỜI GIẢI. Chọn số dương , áp dụng bất đẳng thức AM - GM

Do đó, sau khi cộng vế cả 4 bất đẳng thức trên lại

Như vậy ta phải chọn sao cho hay . Vậy

Bài toán tổng quát của ví dụ trên là

<b>Ví dụ 1.8.6.</b> Với các số thực tùy ý x, y, z, t thì

Cịn với 2 ví dụ đầu tiên, bài tốn tổng quát đặt ra là

<b>Ví dụ 1.8.7.</b> Giả sử xy + yz + zx = 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau với là

các hằng số tùy ý

Cả 2 bài toán tổng quát vừa nêu, thực chất phương pháp chứng minh không khác là mấy so
với các ví dụ ban đầu. Chỉ riêng đối với ví dụ 1.8.6, kết quả khơng tường minh được vì nó
cịn liên quan tới nghiệm của một phương trình bậc 3. Bài tốn này đã được bàn trên báo
Tốn học và Tuổi trẻ.

<b>Ví dụ 1.8.8.</b> Giả sử các số thực dương x, y, z có tổng bằng 3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của

</div>
<span class='text_page_counter'>(80)</span><div class='page_container' data-page=80></div>
<span class='text_page_counter'>(81)</span><div class='page_container' data-page=81>

<i>1.8. Phương pháp cân bằng hệ số</i> 79

Giả sử m, n, p, q, m1, n1, p1 là các số dương tùy ý và m + n + p = am1 + bn1 + cp1 = 1.

Cần chọn sử m, n, p, q, m1, n1, p1 sao cho am1 + 2m = bn1 + 2n = cp1 + 2p = 1. Ngoài ra theo
điều kiện đẳng thức thì

Đặt , khi đó

Từ đó suy ra

Và do đó số được chọn lại chính là số ở đề bài. Với số như vậy thì

Vì và nên

Bằng tính tốn đơn giản ta thấy giá trị trên đúng bằng

Bài toán trên là bài toán đặc trưng cho kĩ thuật này. Ta chưa biết trước số được xây dựng
như thế nào và nó đã xuất hiện bắt buộc trong quá trình chứng minh.

Kết thúc cho phần này, các bạn hãy thử sức với các bài toán sau đây

</div>
<span class='text_page_counter'>(82)</span><div class='page_container' data-page=82></div>
<span class='text_page_counter'>(83)</span><div class='page_container' data-page=83>

<i>1.8. Phương pháp cân bằng hệ số</i> 81

<b>Ví dụ 1.8.13.</b> Chứng minh rằng với mọi dãy số dương ta ln có

LỜI GIẢI. Theo bất đẳng thức <i>Cauchy – Schwarz</i> ta có

Cố định các số và cho chạy từ rồi lấy tổng

Trong đó

Ta có thể chọn , khi đó

Biểu thức trong dấu ngoặc bằng

Do đó . Bất đẳng thức được chứng kminh xong.

</div>
<span class='text_page_counter'>(84)</span><div class='page_container' data-page=84></div>
<span class='text_page_counter'>(85)</span><div class='page_container' data-page=85>

<i>1.9. Đạo hàm và ứng dụng</i> 83

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh xong.

Để kết thúc cho phần này, các bạn tự chứng minh các bất đẳng thức sau đây

Ví dụ 1.8.15. Chứng minh rằng với mọi dãy số dương ta có

<b>1.9 Đạo hàm và ứng dụng </b>
<b>1.9.1. Kiến thức lí thuyết </b>

Đây là một phần dành riêng cho học sinh THPT. Đạo hàm là một phần kến thức quan
trọng không thể thiếu trong nhiều bài toán đại số cũng như bất đẳng thức. Nó thực sự là một
cơng cụ hiệu quả và có ứng dụng rộn rãi, cũng là một phương pháp chuẩn mực nhât khi ta
gặp phải các bài bất đẳng thức thông thường. Việc lắm chắc lí thuyết là vơ cùng cần thiết
trước khi bạn có thể vận dụng thành thạo nó. Sau đây là một số kiến thức cơ bản.

<b>Định nghĩa 1. (Định nghĩa đạo hàm một biến).</b> Giả sử . Ta nói là đạo

hàm tại điểm nếu tồn tại giới hạn (có thể vơ hạn)

Khi đó được gọi là đạo hàm của hàm số tại . Nếu hữu hạn ta nói khả vi

tại . Nếu khả f vi tại mọi điểm thì ta nói khả vi trên .

<b>Định nghĩa 2 (Định nghĩa cực trị hàm một biến).</b> Hàm đạt cực đại (tiểu) địa phương tại

nếu tồn tại một lần cận N của sao cho . Hàm

đạt cực trị địa phương tại nếu tại đó đạt cực đại hoặc cực tiểu địa phương.

<b>Định lí 1.11. (Định lý Fermat).</b> Giả sử xác định trêm [a,b] và có cực trị địa phương

tại . Khi đó nếu có đạo hàm tại thì

<b>Định lý 1.12 (Định lý Cauchy).</b> Giả sử xác định và khả vi trên [a,b]. Khi đó

sao cho

<b>Định lý 1.13 (Định lý Roll).</b> Giả sử liên tục và khả vi trong (a, b). Nếu

</div>
<span class='text_page_counter'>(86)</span><div class='page_container' data-page=86></div>
<span class='text_page_counter'>(87)</span><div class='page_container' data-page=87>

<i>1.9. Đạo hàm và ứng dụng</i> 85

<b>Ví dụ 1.9.3.</b> Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta ln có

LỜI GIẢI. Ta giải bài tốn tổng qt với mọi thì

Bằng cách đó, ta sẽ chứng minh hàm số sau đây đơn điệu tăng dần theo

Chứng minh điều này không quá phức tạp, ta chỉ cần đạo hàm rồi nhóm các số hạng

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

<b>Ví dụ 1.9.4. (British IMO).</b> Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện

Chứng minh rằng

LỜi GIẢI. Đặt , xét hàm

Vậy . Do có 3 nghiệm nên

Lưu ý rằng

</div>
<span class='text_page_counter'>(88)</span><div class='page_container' data-page=88></div>
<span class='text_page_counter'>(89)</span><div class='page_container' data-page=89></div>
<span class='text_page_counter'>(90)</span><div class='page_container' data-page=90></div>
<span class='text_page_counter'>(91)</span><div class='page_container' data-page=91>

<i>1.10. Bài tập áp dụng</i> 89

Đẳng thức xảy ra tại

Ta chỉ cần tính giá trị của , xét với điều kiện

. Ta vẫn đặt và

. Xét hàm số

Với điều kiện vì nên

Vậy , đẳng thức xảy ra khi

Từ các kết quả trên suy ra

Và do đó chưa phải là đánh giá tốt nhất cho bất đẳng thức ban đầu, giá trị tốt nhất

phải là .

Cùng với bất đẳng thức Am – GM, bất đẳng thức <i>Cauchy – Schwarz</i>, bất đẳng thức

<i>Chebyshev</i>, bất đẳng thức <i>Jensen</i> thì đạo hàm cũng là một thành phần quan trọng không
kém. Tuy nhiên trong cuốn sách tác giả sẽ rất tránh dùng các tính chất của đạo hàm để chứng
minh sáng sủa và dễ đọc hơn, phù hợp hơn với các học sinh chưa học đạo hàm, giới hạn. trừ
khi buộc phải dùng đến đạo hàm, các lời giải sẽ luôn được đưa ra ở mức sơ cấp nhất có thể
được.

<b>1.10 Bài tập áp dụng </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(92)</span><div class='page_container' data-page=92></div>
<span class='text_page_counter'>(93)</span><div class='page_container' data-page=93>

<i>1.10. Bài tập áp dụng</i> 91

HƯỚNG DẪN. Sử dụng bất đẳng thức Holder

<b>Bài toán 1.6 (Crux).</b> Cho các số thực dương a, b, c chứng minh

HƯỚNG DẪN. Đặt . Theo bất đẳng thức AM – GM

<b>Bài tốn 1.7 (Olympiad 30-4).</b> Tìm hằng số dương lớn nhất đê bất đẳng thức sau đúng với

mọi a, b, c khơng âm có tổng bằng 3

HƯỚNG DẪN. Cho suy ra . Với , bất đẳng thức được

chứng minh trực tiếp bằng <i>Schur</i> bậc nhất.

<b>Bài toán 1.8 (Crux).</b> Giả sử và . Chứng minh

HƯỚNG DẪN. Bất đẳng thức trên được suy ra trực tiếp từ 2 bất đẳng thức sau

Chứng minh sử dụng bất đẳng thức AM – GM.

<b>Bài toán 1.9 (APMO 1996).</b> Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, chứng minh bất

đẳng thức

HƯỚNG DẪN. Cộng tương ứng 3 bất đẳng thức dạng sau

<b>Bài toán 1.10 (Math Challeges).</b> Các số thực không âm a, b, c, A, B, C thỏa mãn

</div>
<span class='text_page_counter'>(94)</span><div class='page_container' data-page=94></div>
<span class='text_page_counter'>(95)</span><div class='page_container' data-page=95>

<i>1.10. Bài tập áp dụng</i> 93

<b>Bài toán 1.14 (Russia MO 2004).</b> Cho và các số thực có tích bằng 1.

Chứng minh

HƯỚNG DẪN. Tồn tại các số thực dương thỏa mãn

Thay bởi vào bất đẳng thức dễ dàng suy ra điều phải chứng minh.

<b>Bài toán 1.15 (Canada MO).</b> Giả sử là các số thực trong [0,2]. Chứng minh

rằng

HƯỚNG DẪN. Sử dụng phương pháp hàm lồi, chỉ cần xét khi .

<b>Bài toán 1.16.</b> Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số dương a, b, c

HƯỚNG DẪN. Sử dụng phương pháp phân tích bình phương

<b>Bài tốn 1.17 (Macedonua 1999).</b> Giả sử và . Chứng minh

rằng

HƯỚNG DẪN. Bất đẳng thức được suy ra trực tiếp từ 2 bất đẳng thức sau

<b>Bài toán 1.18.</b> Cho 2 bộ số và thỏa mãn

</div>
<span class='text_page_counter'>(96)</span><div class='page_container' data-page=96></div>
<span class='text_page_counter'>(97)</span><div class='page_container' data-page=97>

<i>1.10. Bài tập áp dụng</i> 95

HƯỚNG DẪN. Sử dụng bất đẳng thức<i> Cauchy – Schwarz</i> ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

<b>Bài toán 1.25 (Olympiad 30-4).</b> Chứng minh rằng với mọi ta có bất đẳng thức

<b>Bài tốn 1.26.</b> Giả sử a, b, c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh

HƯỚNG DẪN. Sử dụng bất đẳng thức <i>Cauchy – Schwarz</i> ta có

<b>Bài tốn 1.27 (Việt Nam MO).</b> Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn

. Chứng minh

<b>Bài tốn 1.28 (Tạp chí Tốn học và Thuổi trẻ).</b> Cho các số thực dương a, b, c thuộc đoạn

. Chứng minh rằng

HƯỚNG DẪN.

</div>
<span class='text_page_counter'>(98)</span><div class='page_container' data-page=98></div>
<span class='text_page_counter'>(99)</span><div class='page_container' data-page=99>

<i>1.10. Bài tập áp dụng</i> 97

Quy đồng mẫu số rồi áp dụng bất đẳng thức AM – GM.

<b>Cách 2.</b> Hãy chứng minh rằng

<b>Bài toán 1.34 (China MO).</b> Giả sử và là các số dương thỏa mãn

Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì là độ dài 3 cạnh của

một tam giác.

HƯỚNG DẪN. Sử dụng bất đẳng thức

Từ đó bà tốn sẽ được chứng minh trong trường hợp . Với thì

Theo bất đẳng thức <i>Cauchy – Schwarz</i> và bất đẳng thức AM – GM

Kết hợp 2 bất đẳng thức trên suy ra

Vậy là độ dài 3 canh tam giác theo chứng minh trên.

<b>Bài toán 1.35 (Math Chelleges).</b> Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta có

<b>Bài tốn 1.36.</b> Cho và . Chứng minh rằng

</div>
<span class='text_page_counter'>(100)</span><div class='page_container' data-page=100></div>
<span class='text_page_counter'>(101)</span><div class='page_container' data-page=101>

<i>1.10. Bài tập áp dụng</i> 99

HƯỚNG DẪN. Xét 2 biểu thức

Theo bất đẳng thức AM – GM ta có

Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi

<b>Bài toán 1.44.</b> Cho dãy số thực dương . Chứng minh rằng

<b>Bài tốn 1.45.</b> Tìm số thực nhỏ nhất để bất đẳng thức sau đây đùng với mọi

<b>Bài toán 1.46.</b> Giả sử a, b, c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức

<b>Bài toán 1.47 (Olympiad 30-4).</b> Cho trước 2 số thực a, b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

sau với x, y, z là các số thực dương tùy ý

HƯỚNG DẪN. Sử dụng bất đẳng thức AM – GM, giá trị nhỏ nhất bằng

<b>Bài toán 1.48.</b> Chứng minh với các số thực dương a, b, c thỏa mãn thì

<b>Bài tốn 1.49 (Poland 1998).</b> Các số thực x, y, z, t thỏa mãn và

. Chứng minh bất đẳng thức

</div>
<span class='text_page_counter'>(102)</span><div class='page_container' data-page=102></div>
<span class='text_page_counter'>(103)</span><div class='page_container' data-page=103></div>
<span class='text_page_counter'>(104)</span><div class='page_container' data-page=104></div>
<span class='text_page_counter'>(105)</span><div class='page_container' data-page=105></div>
<span class='text_page_counter'>(106)</span><div class='page_container' data-page=106></div>
<span class='text_page_counter'>(107)</span><div class='page_container' data-page=107></div>
<span class='text_page_counter'>(108)</span><div class='page_container' data-page=108></div>
<span class='text_page_counter'>(109)</span><div class='page_container' data-page=109></div>
<span class='text_page_counter'>(110)</span><div class='page_container' data-page=110></div>
<span class='text_page_counter'>(111)</span><div class='page_container' data-page=111></div>
<span class='text_page_counter'>(112)</span><div class='page_container' data-page=112></div>
<span class='text_page_counter'>(113)</span><div class='page_container' data-page=113></div>
<span class='text_page_counter'>(114)</span><div class='page_container' data-page=114></div>
<span class='text_page_counter'>(115)</span><div class='page_container' data-page=115></div>
<span class='text_page_counter'>(116)</span><div class='page_container' data-page=116></div>
<span class='text_page_counter'>(117)</span><div class='page_container' data-page=117></div>
<span class='text_page_counter'>(118)</span><div class='page_container' data-page=118></div>
<span class='text_page_counter'>(119)</span><div class='page_container' data-page=119></div>
<span class='text_page_counter'>(120)</span><div class='page_container' data-page=120></div>
<span class='text_page_counter'>(121)</span><div class='page_container' data-page=121></div>
<span class='text_page_counter'>(122)</span><div class='page_container' data-page=122></div>
<span class='text_page_counter'>(123)</span><div class='page_container' data-page=123></div>
<span class='text_page_counter'>(124)</span><div class='page_container' data-page=124></div>
<span class='text_page_counter'>(125)</span><div class='page_container' data-page=125></div>
<span class='text_page_counter'>(126)</span><div class='page_container' data-page=126></div>
<span class='text_page_counter'>(127)</span><div class='page_container' data-page=127>

2.1. Các bài toán chọn lọc 125

Tương tự, áp dụng bất đẳng thức AM – GM

Cộng 3 bất đẳng thức trên lại

Cộng vế (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

Bài tốn 2.28 (RussiaM.o). Chứng minh với mọi số thực dương

LỜI GIẢI. Ta chỉ cần nhóm và sử dụng bất đẳng thức sau đây

Đẳng thức khơng xảy ra.

Bài tốn 2.29. Chứng minh rằng với a, b, c không âm ta có bất đẳng thức

LỜI GIẢI. Ta có 2 cách chứng minh bất đẳng thức trên.
Cách 1. Sử dụng phương pháp tam thức bậc 2.

Chuyển về tam thức bậc 2 của là

(i). Nếu ta có ngay điều phải chứng minh.

(ii). Nếu hay Ta chia ra làm 2 trường hợp.

+, Có đúng 1 trong 2 sơ lớn hơn 2, số còn lại nhỏ hơn hoặc bawngf. Ta thấy ngay
.

</div>
<span class='text_page_counter'>(128)</span><div class='page_container' data-page=128></div>
<span class='text_page_counter'>(129)</span><div class='page_container' data-page=129></div>
<span class='text_page_counter'>(130)</span><div class='page_container' data-page=130></div>
<span class='text_page_counter'>(131)</span><div class='page_container' data-page=131></div>
<span class='text_page_counter'>(132)</span><div class='page_container' data-page=132></div>
<span class='text_page_counter'>(133)</span><div class='page_container' data-page=133></div>
<span class='text_page_counter'>(134)</span><div class='page_container' data-page=134></div>
<span class='text_page_counter'>(135)</span><div class='page_container' data-page=135>

<i>2.1. Các bài toán chọn lọc</i> 133
Nhận xét. Cách chứng minh trên là cách khá đơn giản, tự nhiên về mặt ý tưởng và dễ thực
hiên. Ngoài ra với riêng bài tốn trên cịn có thêm một chứng minh ngắn gọn hơn sau đây:

Chú ý rằng với mọi thì

Từ 2 bất đẳng thức trên dễ dàng suy ra đpcm.

<b>Bài toán 2.39 (Phạm Kim Hùng).</b> Với a, b, c là các số thực dương cho trước, chứng minh

rằng

LỜI GIẢI. Khơng mất tính tổng quát giả sử . Trước hết ta chứng minh vế trái nhỏ

nhất nếu c = 0. Thật vậy

Vì vễ trái là hàm của c nên ta chỉ chứng minh bài toán với c = 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(136)</span><div class='page_container' data-page=136></div>
<span class='text_page_counter'>(137)</span><div class='page_container' data-page=137></div>
<span class='text_page_counter'>(138)</span><div class='page_container' data-page=138></div>
<span class='text_page_counter'>(139)</span><div class='page_container' data-page=139></div>
<span class='text_page_counter'>(140)</span><div class='page_container' data-page=140></div>
<span class='text_page_counter'>(141)</span><div class='page_container' data-page=141></div>
<span class='text_page_counter'>(142)</span><div class='page_container' data-page=142></div>
<span class='text_page_counter'>(143)</span><div class='page_container' data-page=143></div>
<span class='text_page_counter'>(144)</span><div class='page_container' data-page=144></div>
<span class='text_page_counter'>(145)</span><div class='page_container' data-page=145></div>
<span class='text_page_counter'>(146)</span><div class='page_container' data-page=146></div>
<span class='text_page_counter'>(147)</span><div class='page_container' data-page=147></div>
<span class='text_page_counter'>(148)</span><div class='page_container' data-page=148></div>
<span class='text_page_counter'>(149)</span><div class='page_container' data-page=149></div>
<span class='text_page_counter'>(150)</span><div class='page_container' data-page=150></div>
<span class='text_page_counter'>(151)</span><div class='page_container' data-page=151></div>
<span class='text_page_counter'>(152)</span><div class='page_container' data-page=152></div>
<span class='text_page_counter'>(153)</span><div class='page_container' data-page=153></div>
<span class='text_page_counter'>(154)</span><div class='page_container' data-page=154></div>
<span class='text_page_counter'>(155)</span><div class='page_container' data-page=155></div>
<span class='text_page_counter'>(156)</span><div class='page_container' data-page=156></div>
<span class='text_page_counter'>(157)</span><div class='page_container' data-page=157></div>
<span class='text_page_counter'>(158)</span><div class='page_container' data-page=158></div>
<span class='text_page_counter'>(159)</span><div class='page_container' data-page=159></div>
<span class='text_page_counter'>(160)</span><div class='page_container' data-page=160></div>
<span class='text_page_counter'>(161)</span><div class='page_container' data-page=161></div>
<span class='text_page_counter'>(162)</span><div class='page_container' data-page=162></div>
<span class='text_page_counter'>(163)</span><div class='page_container' data-page=163></div>
<span class='text_page_counter'>(164)</span><div class='page_container' data-page=164></div>
<span class='text_page_counter'>(165)</span><div class='page_container' data-page=165></div>
<span class='text_page_counter'>(166)</span><div class='page_container' data-page=166></div>
<span class='text_page_counter'>(167)</span><div class='page_container' data-page=167></div>
<span class='text_page_counter'>(168)</span><div class='page_container' data-page=168></div>
<span class='text_page_counter'>(169)</span><div class='page_container' data-page=169></div>
<span class='text_page_counter'>(170)</span><div class='page_container' data-page=170></div>
<span class='text_page_counter'>(171)</span><div class='page_container' data-page=171></div>
<span class='text_page_counter'>(172)</span><div class='page_container' data-page=172></div>
<span class='text_page_counter'>(173)</span><div class='page_container' data-page=173></div>
<span class='text_page_counter'>(174)</span><div class='page_container' data-page=174></div>
<span class='text_page_counter'>(175)</span><div class='page_container' data-page=175></div>
<span class='text_page_counter'>(176)</span><div class='page_container' data-page=176></div>
<span class='text_page_counter'>(177)</span><div class='page_container' data-page=177></div>
<span class='text_page_counter'>(178)</span><div class='page_container' data-page=178></div>
<span class='text_page_counter'>(179)</span><div class='page_container' data-page=179></div>
<span class='text_page_counter'>(180)</span><div class='page_container' data-page=180></div>
<span class='text_page_counter'>(181)</span><div class='page_container' data-page=181></div>
<span class='text_page_counter'>(182)</span><div class='page_container' data-page=182></div>
<span class='text_page_counter'>(183)</span><div class='page_container' data-page=183></div>
<span class='text_page_counter'>(184)</span><div class='page_container' data-page=184></div>
<span class='text_page_counter'>(185)</span><div class='page_container' data-page=185></div>
<span class='text_page_counter'>(186)</span><div class='page_container' data-page=186></div>
<span class='text_page_counter'>(187)</span><div class='page_container' data-page=187></div>
<span class='text_page_counter'>(188)</span><div class='page_container' data-page=188></div>
<span class='text_page_counter'>(189)</span><div class='page_container' data-page=189></div>
<span class='text_page_counter'>(190)</span><div class='page_container' data-page=190></div>
<span class='text_page_counter'>(191)</span><div class='page_container' data-page=191></div>
<span class='text_page_counter'>(192)</span><div class='page_container' data-page=192></div>
<span class='text_page_counter'>(193)</span><div class='page_container' data-page=193></div>
<span class='text_page_counter'>(194)</span><div class='page_container' data-page=194></div>
<span class='text_page_counter'>(195)</span><div class='page_container' data-page=195></div>
<span class='text_page_counter'>(196)</span><div class='page_container' data-page=196></div>
<span class='text_page_counter'>(197)</span><div class='page_container' data-page=197></div>
<span class='text_page_counter'>(198)</span><div class='page_container' data-page=198></div>
<span class='text_page_counter'>(199)</span><div class='page_container' data-page=199></div>
<span class='text_page_counter'>(200)</span><div class='page_container' data-page=200></div>

Cac phuong phap chung minh bat dang thuc

<b>1.10 Bài tập áp dụng </b>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về