Phương pháp giải một số dạng toán về lũy thừa với số mũ tự nhiên cho học sinh lớp 7

MỤC LỤC
Tran
g
1. MỞ ĐẦU ………………………………………………………….....
2
1.1. Lí do chọn đề tài …………………………………………………....
2
1.2. Mục đích nghiên cứu …………………………………………….....
2
1.3. Đối tượng nghiên cứu ……………………………………………....
2
1.4. Phương pháp nghiên cứu …………………………………………..
3
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM………………………
3
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ………………………….
3
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……
3
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề ………………….....
4
2.3.1. Các kiến thức cơ bản về lũy thừa ……………………………….
4
2.3.2. Các dạng bài toán về lũy thừa ……………………………………
5
2.3.2.1. Dạng 1. Tính giá trị lũy thừa………………………………………..
5
2.3.2.2. Dạng 2. Viết kết quả của phép tính dưới dạng một lũy thừa…..
5
2.3.2.3. Dạng 3. Tính giá trị của biểu thức................................................
6

2.3.2.4.
Dạng
4.
Dạng
tốn
tìm
7
x……………………………………………….
9
2.3.2.5.Dạng 5.Thu gọn biểu thức có dạng tổng các lũy thừa có qui luật.
10
2.3.2.6. Dạng 6. So sánh hai lũy thừa…………………………………….
11
2.3.2.7. Dạng 7. Tìm chữ số tận cùng của một giá trị lũy thừa…………..
13
2.3.3. Một số bài tập tự luyện…………………………………………….
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
15
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường …………………………………..
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ………………………………………….
15
3.1. Kết luận ……………………………………………………………..
15
3.2. Kiến nghị ………………………………………………...………….
16
TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………………… 17

1

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Tốn học là một mơn khoa học tự nhiên lý thú. Nó cuốn hút con người ngay
từ khi cịn rất nhỏ. Chính vì vậy, mong muốn nắm vững kiến thức về toán học để
học khá và học giỏi mơn tốn là nguyện vọng của rất nhiều học sinh. Trong
giảng dạy mơn tốn, việc giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản, biết khai
thác và mở rộng kiến thức, áp dụng vào giải được nhiều dạng bài tập là điều hết
sức quan trọng. Từ đó giáo viên giúp cho học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo,
sự nhanh nhạy khi giải tốn ngay từ khi học mơn đại số lớp 7. Đó là tiền đề để
các em học tốt môn đại số sau này.
Trong toán học, “Toán luỹ thừa” là một mảng kiến thức khá rộng lớn, chứa
đựng rất nhiều các bài tốn hay và khó. Để làm được các bài tốn về luỹ thừa
không phải là việc dễ dàng kể cả đối với học sinh khá và giỏi, nhất là đối với
học sinh lớp 7, các em chưa có cơng cụ phổ biến để thực hiện các phép biến đổi
đại số, ít phương pháp, kĩ năng tính tốn... Qua q trình cơng tác giảng dạy bộ
mơn tốn lớp 7 nhiều năm, tơi nhân thấy các em rất “sợ” dạng tốn lũy thừa.
Đứng trước những khó khăn đó của học sinh tơi không khỏi băn khoăn, trăn trở
làm thế nào để các em có phương pháp giải và thành thạo giải dạng tốn lũy
thừa này. Từ đó tơi mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Phương pháp giải một số
dạng toán về lũy thừa với số mũ tự chiên cho học sinh lớp 7” với mong muốn
giúp các em học sinh giải quyết được các bài toán về lũy thừa cơ bản và nâng
cao. Bên cạnh đó đề tài này cịn nhằm cung cấp những kiến thức cơ bản, cần
thiết và những kinh nghiệm cụ thể về phương pháp giải toán luỹ thừa cho các
đối tượng học sinh, giúp các em học sinh rèn luyện các thao tác tư duy, phương
pháp suy luận logic.... tạo sự say mê cho các em học sinh u tốn nói chung và
tốn luỹ thừa nói riêng.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Đề tài nhằm giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về lũy thừa
- Giúp học sinh vận dụng các phương pháp giải bài toán về lũy thừa vào
từng dạng bài cụ thể, nhằm giúp học sinh phân dạng bài nhanh, sử dụng phương

pháp thuần thục, khoa học, ngắn gọn, xúc tích.
- Phát huy khả năng tư duy có tính logic cho học sinh. Giúp các em có kỹ
năng tính tốn nhanh, chính xác
- Tạo cho học sinh thấy thích thú học mơn tốn, đam mê tốn học.
- Giúp các đồng nghiệp tham khảo để có thể vận dụng tốt hơn trong công
tác giảng dạy về các phương pháp giải bài toán về lũy thừa.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Nghiên cứu về mặt lý luận các kiến thức cơ bản liên quan đến lũy thừa
đối với học sinh lớp 7.
- Tìm hiểu thực trạng về kĩ năng giải các dạng toán về lũy thừa của học
sinh lớp 7. Từ đó rút kinh nghiệm, phân loại các dạng tốn về lũy thừa hợp lí,
khoa học để học sinh dễ vận dụng và phút huy được khả năng tư duy logic của
học sinh.
.
2


- Nghiên cứu trên đối tượng giáo viên giảng dạy và học sinh lớp 7.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Để hoàn thành đề tài tôi đã sử dụng kết hợp nhiều phương pháp cụ thể là:
* Phương pháp nghiên cứu lý luận:
- Nghiên cứu về mặt lý luận các kiến thức cơ bản về lũy thừa.
* Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
- Nghiên cứu qua việc giảng dạy thực tế ở trường THCS, đặc biệt là lớp 7
nơi mình cơng tác.
- Qua việc đánh giá kết quả học tập của học sinh lớp 7.
* Phương pháp thống kê, xử lí số liệu.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận.
Khi dạy mơn tốn 7, phần “Lũy thừa”, sách giáo khoa giới thiệu các bài tập

tương đối đơn giản, hầu hết chỉ vận dụng các công thức một cách đơn thuần.
Nhưng thực tế, các bài toán về lũy thừa rất phong phú, đa dạng và là một loại
tốn khó đối với học sinh lớp 7.
Để giải một bài toán về lũy thừa, học sinh phải biết nhận dạng bài toán và
chọn phương pháp giải phù hợp. Muốn vậy học sinh phải nắm chắc kiến thức về
lũy thừa. Vì vậy để phân dạng các bài tốn về lũy thừa, tơi dựa trên cơ sở:
- Định nghĩa lũy thừa
- Các phép toán về lũy thừa
- Các tính chất về thứ tự khi so sánh hai lũy thừa
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Năm học 2018 - 2019 tôi được nhà trường phân cơng giảng dạy bộ mơn Tốn
lớp 7. Qua thực tế dạy học kết hợp với dự giờ của các giáo viên trong trường,
thông qua các bài kiểm tra, bản thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa thành
thạo khi làm các dạng bài tập về lũy thừa. Các em thường gặp phải các khó
khăn: khơng nắm chắc các kiến thức cơ bản về lũy thừa, chưa nhận dạng được
các bài toán về lũy thừa, hay nhầm lẫn giữa các cơng thức, kĩ năng tính tốn,
biến đổi cịn yếu, chưa biết chọn cách giải phù hợp với từng dạng tốn.
Từ thực trạng trên với mục đích khảo sát cụ thể để đánh giá và từ đó có biện
pháp giảng dạy có hiệu quả tơi đã đã tham khảo rất nhiều tài liệu, tham gia giải
cùng học sinh các bài toán và cho 44 em học sinh khối 7 làm bài kiểm tra khảo
sát trước khi thực hiện chuyên đề này, kết quả cho thấy:
5  dưới 8
8  10
Tổng số
Dưới 5
Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ % Số luọng Tỉ lệ %
44
22
50
18

40,9
4
9,1
Từ bảng trên ta thấy tỉ lệ học sinh làm bài đạt điểm giỏi rất thấp, còn số học
sinh đạt điểm yếu, kém tương đối cao. Nguyên nhân dẫn đến kết quả như thế thì
có nhiều, song theo quan điểm của tơi chỉ tập trung vào các nguyên nhân chủ
yếu sau đây:
+Thời lượng dành cho đơn vị kiến thức này theo phân phối chương trình cịn ít.
3


+ Do các em chưa nắm vững kiến thức cơ bản luỹ thừa, chưa nắm vững các
phương pháp giải các bài tốn về lũy thừa và chưa có kỹ năng giải các bài tập
về phần này.
+ Kĩ năng trình bày của từng học sinh ở từng dạng toán chưa được rèn luyện
nhiều.
+ Giáo viên chưa tìm ra được những giải pháp hữu hiệu khi dạy phần kiến thức
về luỹ thừa.
Để khắc phục những tồn tại trên và giúp cho học sinh có kĩ năng giải các bài
tốn về lũy thừa một cách linh hoạt, sáng tạo đồng thời giúp các em thêm u
thích mơn học, tơi xin trình bày một số dạng toán về lũy thừa cho học sinh lớp 7
mà tơi đã tổng hợp được trong q trình giảng dạy để các bạn đồng nghiệp tham
khảo và góp ý.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1.Các kiến thức cơ bản về lũy thừa
2.3.1.1. Định nghĩa:
Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ a là tích của n thừa số a (n là một số tự
nhiên lớn hơn 1).
a.a.........a
an =    

(a∈ Q, n ∈ N, n >1)

n thừa số
a gọi là cơ số, n gọi là số mũ
- Qui ước: a1 = a
a0 = 1 ( a ≠ 0 )

- Chú ý: 0n = 0 ; 1n = 1
2.3.1.2. Các phép toán về lũy thừa
1. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số
a m .a n = a m + n

2. Chia hai lũy thừa cùng cơ số
a m : a n = a m−n ( m ≥ n ; a ≠ 0 )
3. Lũy thừa của một tích

( a.b )

n

= a n .b n

4. Lũy thừa của một thương

( a : b)

n

= a n : bn

( b ≠ 0)

5. Lũy thừa của lũy thừa

(a )

m n

= a m.n

6. Lũy thừa tầng
n

am = a

(m )
n

2.3.1.3. Tính chất về thứ tự
1.Nếu a n = b n thì: a = b hoặc a = −b nếu n chẵn
Nếu a n = b n thì a = b nếu n lẻ
2. Nếu a = b thì a n = bn
3. Nếu a m = a n thì m = n
4. Nếu a > b thì a m > b m ( m ≠ 0 )
4


5. Nếu m > n ; a > 1 thì a m > a n
6. Nếu a m < b n và b n < c k thì a m < c k

2.3.2. Các dạng bài toán về lũy thừa:
2.3.2.1. Dạng 1: Tính giá trị của lũy thừa:
a. Phương pháp: Đây là một dạng toán rất cơ bản vận dụng định nghĩa lũy thừa
để tính giá trị của lũy thừa. Cơng thức để khai triển và tính lũy thừa :
Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ a là tích của n thừa số a (n là một số tự nhiên
lớn hơn 1)
a.a.........a
an =     (a∈ Q, n ∈ N, n >1)

n thừa số
b. Ví dụ:
22 = 2.2 = 4

32 = 3.3 = 9

52 = 5.5 = 25

23 = 2.2.2 = 8

33 = 3.3.3 = 27

53 = 5.5.5 = 125

24 = 2.2.2.2 = 16

34 = 3.3.3.3 = 81

54 = 5.5.5.5 = 625

* Một số lỗi thường gặp

- Vì bài tốn rất đơn giản nên đơi khi học sinh chủ quan và có khi nhầm lẫn nên
dẫn đến học sinh tính giá trị lũy thừa lại lấy cơ số nhân với số mũ .
Ví dụ: 22=2.2=4 (trường hợp này đặc biết nên đúng)
23=2.3=6=>Kết quả sai
2.3.2.2. Dạng 2: Viết kết quả của phép tính dưới dạng một lũy thừa
Đây là một dạng toán mà ta thường gặp ở ngay những bài tập đầu tiên về lũy
thừa. Học sinh nắm vững dạng tốn này sẽ có nhiều lợi thế cho các bài tập tiếp
theo. Có thể nói dạng bài tập này chính là cơ sở cho các dạng tốn phức tạp hơn
về lũy thừa.
a. Phương pháp.
Để viết kết quả một phép tính dưới dạng một lũy thừa ta thường biến đổi theo
2 cách:
- Cách 1: Viết các lũy thừa về các lũy thừa của cùng một cơ số, rồi áp dụng các
công thức:
a m .a n = a m+ n
a m : a n = a m− n

- Cách 2: Viết các lũy thừa về các lũy thừa có cùng số mũ rồi áp dụng các công
thức:
a n .b n = ( a.b )

n

a n : bn = ( a : b )

n

b. Ví dụ.
Ví dụ 1: Viết các tích sau dưới dạng một lũy thừa
a. A = 42.325

b. B = 813.93.27
Giải:
a. Nhận xét: các cơ số 4 và 32 có thể đưa về cùng cơ số 2 nên ta có:

( ) ( )
2

3
5
A = 82.32 4 = 2 . 2

4

= 26.220 = 226

5


b. Nhận xét: các cơ số 81;27; 9 có thể đưa về cùng cơ số 3 nên ta có:

( ) ( )
3

4

3
2
5
B = 273.94.243 = 3 . 3 .3 = 39.38.35 = 322

Ví dụ 2: Thực hiện các phép tính và viết kết quả dưới dạng một lũy thừa
a. A = 126 : 66
5
3
b. B = 27 : 81
Giải:
n
a. Áp dụng công thức a n : b n = ( a : b ) , ta có:
A = 126 : 66 = ( 12 : 6 ) = 26
6

b. Nhận xét: Các cơ số 27, 81 có thể đưa về cùng cơ số 3 nên ta có:
3
4
B = 275 : 813 = ( 3 ) : ( 3 ) = 315 : 312 = 33
5

3

Ví dụ 3: Viết tích sau dưới dạng một lũy thừa
A = 323.275

Giải:
Nhận xét: Các cơ số 32, 27 không thể đưa về cùng một cơ số, nên ta đưa
chúng về cùng số mũ như sau:

( ) ( )
3

5

3
A = 323.275 = 2 . 3

5

= 215.315 = ( 2.3)

15

= 615

2.3.2.3. Dạng 3. Tính giá trị của biểu thức:
a. Phương pháp: Dạng tốn này có phần phức tạp hơn dạng viết kết quả phép
tính dưới dạng một lũy thừa bởi trong biểu thức không đơn thuần chỉ là các phép
tính nhân chia lũy thừa mà cịn kết hợp các phép tốn cộng, trừ và dấu ngoặc. Vì
vậy ở dạng tốn này học sinh cịn phải nắm vững thứ tự thực hiện các phép tính
và đặc biệt là các tính chất của các phép tốn.
Do đó khi tính giá trị một biểu thức ta có thể giải theo 2 cách:
- Cách 1: Thực hiện theo thứ tự phép tính.
- Cách 2: Áp dụng các phép tốn về lũy thừa và các tính chất để thực hiện.
Đối với các biểu thức tính tốn có chứa lũy thừa, nếu thực hiện theo thứ tự
phép tính thì con số thường q lớn, tính tốn vất vả hoặc thậm chí khơng thể
tính được bằng máy tính bỏ túi thơng thường. Vì vậy, giáo viên nên hướng dẫn
học sinh trình bày theo cách 2, vì ngồi ưu điểm khơng phải tính tốn với những
con số lớn thì nó có thể phát huy tính sáng tạo và phát triển tư duy toán học cho
học sinh.
b. Ví dụ
Ví dụ 1: Tính
a. 183 : 93
b. 1253 : 254

c. 244 : 34 − 3212 :1612
5
5
5
5
d. ( 10 + 15 − 5 ) : 5
Giải:
* Nhận xét: Ở các bài tốn này ta có thể áp dụng các công thức:
a n : bn = ( a : b )

n

a n : a m = a n−m

6


a. 183 : 93 = ( 18 : 9 ) = 23 = 8
3

b. 1253 : 254 = ( 53 ) : ( 52 ) = 59 : 58 = 5
3

4

c. 244 : 34 − 3212 :1612 = ( 24 : 3) − ( 32 :16 ) = 84 − 212 = ( 23 ) − 212 = 212 − 212 = 0
4

12

4

d. ( 10 + 15 − 5 ) : 5 = 105 : 55 + 155 : 55 − 55 : 55 = 25 + 35 − 1 = 32 + 243 − 1 = 274
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:
5

5

A=

5

5

4510.520
7515

Nhận xét: Ở các bài tập này nếu tính tốn theo thứ tự phép tính thì các con số
khá lớn. Vì vậy, giáo viên nên hướng dẫn học sinh nhận xét có những lũy thừa
có cơ số là số ngun tố, cịn những lũy thừa có cơ số khác cũng có thể đưa về
lũy thừa có cơ số là số nguyên tố.
Do đó, ta có thể giải bằng cách: viết tất cả các lũy thừa về lũy thừa với cơ số
là số nguyên tố, rồi rút gọn các lũy thừa có cùng cơ số.
Giải:
2
20
32.5 ) .520 320.510.520 320.530
(
4510.520 ( 3 .5 ) .5
=

A=
=
= 15 30 = 15 30 = 35 = 243
15
2 15
2 15
75
3 .5
3 .5
( 3.5 )
( 3.5 )
10

10

Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức:
B=

11.322.37 − 915

( 2.3 )

14 2

Nhận xét tương tự ví dụ 2 ta có thể giải bằng cách đưa tất cả các lũy thừa về
lũy thừa có cơ số là số nguyên tố. Rồi áp dụng các tính chất của các phép toán
để thực hiện.
Giải:
B=

11.322.37 − 915

( 2.3 )

14 2

Nhận xét: Hầu hết các lũy thừa có cơ số đã là số nguyên tố, còn 915 = ( 32 ) = 330
Nên ta có:
15

B=

11.322.37 − 330 11.329 − 329.3 329 ( 11 − 3)
329.8 329.23
= 3.2 = 6
=
=
=
=
22.328
22.328
22.328 22.328
22.328

2.3.2.4. Dạng 4. Bài tốn tìm x
a. Phương pháp: Để giải các bài tốn tìm x có chứa lũy thừa ta thường đưa về 2
dạng cơ bản sau:
- Dạng 1: Số x phải tìm thuộc cơ số của lũy thừa.
Để tìm x trong trường hợp này ta sẽ biến đổi hai vế thành những lũy thừa có
cùng số mũ. Sau đó áp dụng tính chất: Nếu a m = b m thì a = ±b nếu m chẵn hoặc

a = b nếu m lẻ.
- Dạng 2: Số x phải tìm thuộc số mũ của lũy thừa.
Để tìm x trong trường hợp này ta sẽ biến đổi 2 vế thành những lũy thừa có
cùng cơ số. Sau đó áp dụng tính chất: Nếu a m = a n thì m = n .
7


Ngồi hai dạng cơ bản trên, cịn một số bài tốn tìm x đặc biệt khơng thể đưa
về cùng cơ số hoặc cùng số mũ được. Tùy thuộc vào các bài tốn cụ thể mà có
những cách giải riêng.
b. Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm x biết:
3
a. ( 2 x − 1) = 27
b. ( 2 x − 3) = 25
Nhận xét: số x phải tìm thuộc cơ số của lũy thừa, lũy thừa này đã biết số mũ.
Do đó để tìm x ta sẽ viết vế phải dưới dạng một lũy thừa có cùng số mũ với vế
trái. Sau đó áp dụng tính chất nếu a m = b m thì a = ±b nếu m chẵn và a = b nếu m
lẻ.
Giải
3
a. ( 2 x − 1) = 27
2

( 2 x − 1) = 33 ⇒ 2 x − 1 = 3 hay x = 2
2
b. ( 2 x − 3) = 25
2
( 2 x − 3) = 52 ⇒ 2 x − 3 = 5 hoặc 2 x − 3 = −5
3

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

2x − 3 = 5
2x = 5 + 3
2x = 8
x=4

2 x − 3 = −5
2 x = −5 + 3
2 x = −2
x = −1

Vậy x = 4 hoặc x = −1 .
Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên x, biết:
a. 2 x = 32
b. 2 x.3x = 4.9
Nhận xét: Số x phải tìm thuộc số mũ của lũy thừa. Do đó để tìm x , ta phải
viết vế phải dưới dạng một lũy thừa có cùng cơ số với lũy thừa ở vế trái. Sau đó
áp dụng tính chất: Nếu a m = a n thì m = n .
Giải:
a. 2 x = 32
2 x = 25 ⇒ x = 5
b. 2 x.3x = 4.9

Giải:
2 x.3x = 4.9

( 2.3) = 22.32
x
2
( 2.3) = ( 2.3)
x

6 x = 62 ⇒ x = 2

Ví dụ 3: Tìm x ∈ N biết: 2 x + 3x = 5 x

8


Nhận xét: Bài tốn này khơng thể đưa về một trong hai dạng cơ bản trên. Bằng
phương pháp nhẩm ta thấy x = 1 là giá trị cần tìm. Ta chỉ cần chứng minh nếu
x ≠ 1 thì khơng thỏa mãn đề bài.
Giải:
- Nếu x = 0 thì 20 + 30 ≠ 50 ⇒ x = 0 không thỏa mãn đề bài
- Nếu x = 1 thì 21 + 31 = 51 ⇒ x = 1 thỏa mãn đề bài
- Nếu x > 1 thì ta có:
x

x

 2 3
 ÷ + ÷ =1
 5 5
x

x

2 2
3 3
Vì x > 1 nên  ÷ < và  ÷ <
5 5
5 5
x

x

2 3
 2 3
Suy ra  ÷ +  ÷ < + = 1
5 5
5 5
⇒ x > 1 không thỏa mãn đề bài. Vậy x = 1

2.3.2.5. Dạng 5. Thu gọn biểu thức có dạng tổng các lũy thừa có qui luật
a. Phương pháp:
Với các biểu thức có dạng tổng các lũy thừa có quy luật, ta thường khơng
thể tính tốn theo thứ tự phép tính được. Do đó, để thu gọn chúng, người ta
thường giải bằng cách làm xuất hiện một biểu thức khác cũng chứa các lũy thừa
có cùng cơ số với các lũy thừa của tổng đã cho rồi trừ hai biểu thức cho nhau để
triệt tiêu các số hạng giống nhau. Nhờ cách thu gọn bài tốn này mà ta có thể
giải các bài tốn khác như so sánh, chứng minh…
b. Ví dụ:
Ví dụ 1: Thu gọn các biểu thức sau:
a. S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + L + 263
b. S3 = 1 + 53 + 56 + 59 + L + 599
Giải:

a. S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + L + 263
Nhận xét: Ta thấy đây là một tổng các lũy thừa của 2 với số mũ hơn kém nhau 1
đơn vị, do đó ta sẽ nhân cả hai vế với 21 = 2
Ta có:
2.S1 = 2 + 22 + 23 + 2 4 + L + 264

⇒ 2.S1 − S1 = ( 2 + 22 + 23 + L + 264 ) − ( 1 + 2 + 22 + 23 + L + 263 )
⇒ S1 = 264 − 1

S3 = 1 + 53 + 56 + 59 + L + 599
b.
Nhận xét: Ta thấy đây là một tổng các lũy thừa của 5, với số mũ hơn kém
nhau 3 đơn vị, do đó ta sẽ nhân cả hai vế với 53 . Ta có:
53.S3 = 53 + 56 + 59 + 512 + L + 5102

Ví dụ 2: Chứng minh rằng A là một lũy thừa của 2 với:
A = 4 + 22 + 23 + 24 + L + 2100

Nhận xét: Để chứng minh A là một lũy thừa của 2, trước hết ta cũng phải thu
gọn A. Như vậy bài toán trở về thu gọn biểu thức như ví dụ 1.
9


Giải: Ta có:
A = 4 + 22 + 23 + 24 + L + 2100
⇒ 2 A = 8 + 23 + 2 4 + 25 + L + 2101
⇒ 2 A − A = ( 8 + 23 + 24 + 25 + L + 2101 ) − ( 4 + 22 + 23 + 24 + L + 2100 )
⇒ A = 8 + 2101 − 4 − 22
⇒ A = 2101

Vậy A là một lũy thừa của 2
2.3.2.6. Dạng 6. So sánh hai lũy thừa
a. Phương pháp:
Để so sánh hai lũy thừa, ta thường sử dụng 3 cách sau:
- Cách 1: Đưa về cùng cơ số và áp dụng tính chất:
Nếu m > n thì a m > a n ( a > 1)
- Cách 2: Đưa về cùng số mũ và áp dụng tính chất:
Nếu a > b thì a n > b n ( n > 0 )
- Cách 3: So sánh qua số trung gian bằng cách sử dụng tính chất bắc cầu.
- Cách 4: Sử dụng tính chất đơn điệu của phép nhân.
b. Ví dụ:
Ví dụ 1: So sánh
425 và 815
Giải:
Nhận xét: Ta thấy các cơ số 4 và 8 tuy khác nhau nhưng đều là lũy thừa của 2,
nên ta tìm cách đưa 425 và 815 về lũy thừa của cùng cơ số 2.
25
Ta có: 425 = ( 22 ) = 250
815 = ( 23 ) = 245
15

Vì 250 > 2 45 nên 425 > 815
Ví dụ 2: So sánh:
528 và 2614
Giải:
Nhận xét: Ta thấy 2 lũy thừa này không thể đưa về cùng cơ số, nhưng lại có
UCLN (28; 14)= 14. Nên ta có thể đưa 528 và 2614 về hai lũy thừa cùng số mũ
như sau:
528 = ( 52 ) = 2514
14

Vì 2514 < 2614 nên 528 < 2614
Ví dụ 3: So sánh
a. 637 và 1612
b. 5299 và 3501
Giải:
a. 637 và 1612
Nhận xét: Hai lũy thừa trên không thể đưa về cùng cơ số hoặc số mũ được.
Do đó ta phải tìm số trung gian để so sánh.
Ta nhận thấy 16 = 2 4 ; mà số gần với 63 lại có thể viết dưới dạng lũy thừa của
2 là 64. Nên ta chọn 64 là số trung gian và giải như sau:
10


637 < 647 = ( 26 ) = 2 42
7

1612 = ( 2 4 )

12

= 248

Vì 637 < 242 < 248 = 1612 nên 637 < 1612
b. 5299 và 3501
Nhận xét tương tự câu a. ta thấy 299 < 300 và 501 > 500 ; nên ta có thể giải như
sau:
5299 < 5300 = ( 53 )
3501 > 3500 = ( 35 )

100

= 125100

100

= 243100

Vì 5299 < 125100 < 243100 < 3501 nên 5299 < 3501
Ví dụ 4: So sánh hai số sau:
1031 và 2100.
Nhận xét: Đối với các luỹ thừa không đưa được về cùng cơ số hay số mũ,
khơng tìm ra được số trung gian thì ta áp dụng phương pháp sử dụng tính đơn
điệu của phép nhân.
Giải:
Ta có:
55 > 3.45 (vì 55 = 3125; 3.45 = 3072. Vì 3125 > 3072 nên 55 > 3.45

⇒ 530 > 36.430 ⇒ 531 > 36.431
Lại có 32 > 23 ⇒ 36 > 29
⇒ 531 > 29.431 ⇒ 531.231 > 29.262.231 = 2102
Hay 1031 > 2102 > 2100 . Vậy 1031 > 2100

Chú ý: Bài tốn trong ví dụ 4 là bài tốn nâng cao địi hỏi học sinh phải có tư
duy suy luận lơ gíc. Để giải được các bài tốn này giáo viên cần hướng dẫn học
sinh tìm ra các khẳng định đúng ban đầu từ đó áp dụng các tính chất của bất
đẳng thức và các tính chất khác để giải các bài tốn này.
2.3.2.7. Dạng 7. Tìm chữ số tận cùng của một giá trị lũy thừa
2.3.2.7.1. Tìm một chữ số tận cùng
a. Phương pháp.

- Tất cả các số có chữ số tận cùng là: 0; 1; 5; 6 nâng lên lũy thừa nào (khác
0) cũng có chữ số tận cùng là chính những số đó.
- Để tìm chữ số tận cùng của một số ta thường đưa về dạng các số có chữ số
tận cùng là một trong các chữ số đó.
- Lưu ý: những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có
chữ số tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 4,
những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận
cùng là 1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 9.
- Chú ý: 24 = 16; 74 = 2401; 34 = 81; 84 = 4096
b.Ví dụ.
Ví dụ 1. Tìm chữ số tận cùng của các số:
20002008; 11112008; 987654321; 204681012
Giải:
11


Nhận xét: Dựa vào những nhận xét trên học sinh có thể dễ dàng tìm được
đáp án:
• 20002008 có chữ số tận cùng là chữ số 0
• 11112008 có chữ số tận cùng là chữ số 1
• 987654321 có chữ số tận cùng là chữ số 5
• 204681012 có chữ số tận cùng là chữ số 6.
Ví dụ 2. Tìm chữ số tận cùng của các số:
20072008; 1358 2008; 20072007
Giải.
Nhận xét: Đưa các lũy thừa trên về dạng các lũy thừa của số có chữ số tận cùng
là: 0; 1; 5; 6.
• 20072008 = (20074)502 = ( ......1 )502 = ......1 nên 20072008 chữ số tận cùng là 1.
• 135725 = 135724.1357 = (13574)6.1357 = ......1 . 1357 = ......7
=>13 5725 có chữ số tận cùng là 7.

• 20072007 = 20072004. 20073 = (20074)501. ......3 = ( ......1 )501. ......3
= ......1 . ......3
=> 20072007 có chữ số tận cùng là 3.
Ví dụ 3. Cho A = 172008 – 112008 – 32008. Tìm chữ số hàng đơn vị của A.
Nhận xét: Đây là dạng tốn tìm chữ số tận cùng của một tổng, ta phải tìm chữ số
tận cùng của từng số hạng, rồi cộng các chữ số tận cùng đó lại.
Giải :
Ta có:
A = 172008 – 112008 – 32008 = ......1 - ......1 - ......1 = ......0 - ......1 = ......9
Vậy A có chữ số tận cùng là 9.
2.3.2.7.2. Tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa.
a. Phương pháp.
Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa, ta cần chú ý những số đặc biệt sau:
- Các số có tận cùng là 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận
cùng bằng chính nó.
- Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa ta thường đưa về dạng các số
có hai chữ số tận cùng là: 01; 25 hoặc 76.
- Các số 210 ; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 có tận cùng bằng 76.
- Các số 320; 910; 815; 74; 512; 992 có tận cùng là 01.
- Số 26n (n ∈ N, n >1).
b.Ví dụ :
Ví dụ 1. Tìm hai chữ số tận cùng của: 2100 ; 3100
Giải.
Nhận xét: Dựa vào nhận xét ở trên học sinh có thể dễ dàng làm được bài này :
2100 = (220)5 = ( ......76 )5 = ......76
3100 = (320)5= ( ......01 )5 = ......01
Ví dụ 1. Tìm hai chữ số tận cùng của:
a) 5151
b) 9999
c) 6666

d) 14101.16101
Giải
Nhận xét: Đưa về dạng các số có hai chữ số tận cùng là: 01; 25 hoặc 76.
12


a) 5151 = (512)25.51 = ( ......01 )25.51 = ......01 .51 = ......51
=> 5151 có 2 chữ số tận cùng là 51.
Tương tự:
b) 9999 = (992)49.99 = ( ......01 )49.99 = ......01 .99 = ......99
c) 6666 = (65)133.6 = ( ......76 )133.6 = ......76 .6 = ......56
d) 14101.16101 = (14.16)101 = 224101 = (2242)50.224
= ( ......76 )50.224 = ......76 .224 = ......24
2.3.2.7.3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên.
a. Phương pháp.
Chú ý một số điểm sau:
- Các số có tận cùng 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận
cùng bằng chính số đó.
- Số có tận cùng 0625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng
0625.
b.Ví dụ
Ví dụ 1. Tìm 3 chữ số tận cùng, 4 chữ số tận cùng của 52000.
Giải.
Nhận xét: Học sinh có thể làm phần này khơng mấy khó khăn nhờ kĩ năng đã có
từ các phần trước.
52000 = (54)500 = 625500 = (0625)500
Vậy: 52000 có ba chữ số tận cùng là 625 có bốn chữ số tận cùng là 0625.
Ví dụ 2. Tìm ba chữ số tận cùng của:
a) 23n . 47n (n ∈ N*)
b) 23n+3 . 47n+2 (n ∈ N)

Giải.
Nhận xét: Để tìm được ba chữ số cuối của một lũy thừa đã là khó với học sinh,
bài này lại yêu cầu tìm ba chữ số cuối của một tích các lũy thừa thì quả thật là
rất khó. Đối với học sinh khá, giỏi cũng cần tới sự gợi ý của giáo viên.
a) 23n . 47n = (23)n . 47n = (8 . 47)n = 376n
376n có tận cùng là 376 => 23n . 47n có tận cùng là 376.
b) 23n+3. 47n+2.
Dù đã làm được câu a, đến câu b học sinh cũng không tránh khỏi lúng
túng ở số mũ. Giáo viên có thể hướng dẫn:
23n+3 . 47n+2 = 23(n+1) . 47n+1 . 47
= (23)(n+1) . 47n+1 . 47
= (8.47)n+1 . 47
= 47. 376n+1
Ta có: 376n+1 có các chữ số tận cùng là 376 => 47 . 376 n+1 có chữ số tận
cùng là 672.
2.3.3. Một số bài tập tự luyện
Bài 1. Viết các tích, thương sau dưới dạng một lũy thừa.
a) A = 86.164
b) B = 93.813.273
c) C = 256 :1253
13


Bài 2. Tính giá trị các biểu thức
3
2
6
a. ( 7.12 + 9.8 ) : 2
5
3

8
b. ( 5.9 − 2.27 ) : 3

11
4
7
c. ( 15.3 + 4.27 ) : 9

d. ( 34 ) : 37 + 43 : 24 + 62
2

e. ( 5.213.411 − 169 ) : ( 3.217 )
Bài 3. Tính giá trị biểu thức:
2

( 3 .35) ( 25.7 )
A=
( 3.5.7 )
3

a.

3

2 2

b. B =

95.13 + 39.52
38.258

Bài 4. Tìm x , biết:
4
a. ( 2 x − 1) = 81

b. ( x − 1) = 32
c. 2 x + 2 x+3 = 144
d. 3x −1 + 5.3x −1 = 162
e. 3x + 4 x = 7 x
2
2
f. (x - 5) = (1 – 3x)
3
g. ( x + 1) = −27
Bài 5. Thu gọn các biểu thức sau:
a. A = 1 + 4 + 42 + 43 + L + 499
b. B = 5 + 52 + 53 + L + 5100
5

1 1 1
1
+ 3 + ... + 99
2
3 3 3
3

c. C = +

Bài 6. Cho M = 1725 + 244 – 1321. Chứng tỏ rằng: M  10
Bài 7. Chứng minh rằng: 2 A + 3 là một lũy thừa của 3 với

A = 3 + 32 + 33 + L + 3100

Bài 8. So sánh hai số sau:
a. 810 và 326;
b. 912 và 274 ;
c. 1255 và 257
d. 275 và 2433 ;
e. 530 và 12410
f. 19920 và 200315
Bài 9: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
22222003; 20082004;
20052005;
20062006 ;
9992003;
20042004;
77772005;
1112006;
20002000;
20032005.
Bài 10: Chứng tỏ rằng, với mọi số tự nhiên n
a) 34n + 1 + 2 chia hết cho 5
b) 24n + 1 + 3 chia hết cho 5
c) 92n + 1 + 1 chia hết cho 10
Bài 11: Tìm hai chữ số tận cùng của:
a) 72003
b) 9 9
c) 742003
d) 182004
Bài 12: Tìm hai chữ số tận cùng của:
14

9


a) 492n ; 492n+1 (n∈ N)
b) 24n . 38n (n∈ N)
c) 23n . 3n; 23n+3. 3n+1 (n∈ N)
d) 742n ; 742n+1 (n ∈ N)
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
2.4.1. Với hoạt động giáo dục:
Trong quá trình thực hiện tơi đã thu được kết quả chung:
- Ý thức: đa số các em có ý thức cao trong học tập.
- Khả năng tiếp thu: phần lớn các em tiếp nhận kiến thức tốt.
- Khả năng vận dụng: học sinh đã có khả năng vận dụng những tri thức thu
nhận vào thực tế.
- Kết quả thu được: nhiều học sinh đã vận dụng rất tốt các dạng bài tập mà
tôi đưa ra. Với cách làm này đã nâng cao chất lượng học sinh, nhất là học sinh
giỏi Toán đối với học sinh khối 7 và những học sinh này sẽ làm nguồn cho đội
tuyển học sinh giỏi toán năm học tới.
Qua thời gian nghiên cứu, tìm tịi để có được đề tài, tơi đưa vào thực tế
giảng dạy lớp 7 ở trường mình cơng tác. Năm học 2019- 2020 nghiên cứu và
thực hiện đề tài với đối tượng học sinh lớp 7 với tổng số 30 em. Kết quả thu
được đáng mừng, tôi nhận thấy học sinh đã tự tin hơn khi học toán phần lũy
thừa, các sai lầm và khó khăn thường gặp ở các em giảm hẳn, số bài tập trong
phần lũy thừa các em có thể làm được hầu hết, mà không gặp trở ngại lớn. Điều
này chứng minh được kết quả bước đầu của đề tài có hiệu quả.
Để khẳng định được tính hiệu quả của các giải pháp đã áp dụng tôi đã
khảo sát 30 học sinh lớp 7 trường mình cơng tác năm học 2019- 2020. Kết quả
thu được như sau:
5  dưới 8

8  10
Tổng số
Dưới 5
Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ %
44
4
9,1
24
54,5
16
36,4
So sánh kết quả trước và sau khi áp dụng đề tài:
- Học sinh đạt 8  10 điểm tăng cao từ 9,1% tăng lên 36,4%
- Học sinh dưới 5 điểm giảm rõ rệt từ 50% giảm còn 9,1%.
2.4.2. Với bản thân trong giảng dạy tốn về lũy thừa:
Trong q trình nghiên cứu và áp dụng đề tài này với học sinh đã thu
được nhiều kết quả khả quan, nâng cao ý thức tự giác cho học sinh, giúp các em
tự tin hơn khi làm các bài tập về lũy thừa, từ đó đưa ra cách giải tối ưu nhất.
2.4.3. Với đồng nghiệp và nhà trường:
Đề tài này đã được đồng nghiệp tham khảo, được ứng dụng và lồng ghép
vào việc giảng dạy đối với học sinh trường tôi công tác. Từ đó cùng với đồng
nghiệp góp phần đưa chất lượng học sinh trường ngày càng tốt hơn.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
15


3.1. Kết luận.
Sau khi tìm ra các phương pháp giải cho bài tốn về lũy thừa, học sinh
tích cực học tập hơn, chủ động tìm tịi và linh hoạt hơn trong việc giải một số bài
toán về lũy thừa, từ đó có kĩ năng giải tốt bài tập cùng loại.

Học sinh biết đưa các bài tập từ dạng phức tạp về dạng đơn giản hơn một
cách nhanh chóng và từ đó củng cố lại kiến thức một cách chắc chắn và lơgic.
Biết phân tích các bài tốn về lũy thừa và ứng dụng vào giải tốn tạo cho
học sinh có tư duy linh hoạt, sáng tạo, biết nhìn nhận vấn đề dưới nhiều khía
cạnh, góc độ khác nhau.
Đặc biệt trong việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi: đề tài “Phương pháp
giải một số dạng toán về lũy thừa với số mũ tự chiên cho học sinh lớp 7” đã
góp phần không nhỏ vào thành công giảng dạy của bản thân.
Mặc dù những kết quả trên chưa cao, song nó đã động viên, khích lệ tơi
rất nhiều trong việc nghiên cứu tìm tịi, hệ thống các dạng tốn, phương pháp
giải tốn. Giúp tôi vững tin hơn về kiến thức, phương pháp giảng dạy của mình,
tạo nên động lực, niềm đam mê nghề càng lớn trong tôi, để tôi tiếp tục thành
công hơn trong sự nghiệp "trồng người", để tơi có thể đóng góp một phần sức
lực trí tuệ trong sự nghiệp giáo dục của trường mình cơng tác và sự nghiệp giáo
dục trên cả nước nói chung.
Mặc dù có nhiều ưu điểm nhưng do điều kiện dạy học, đề tài của tơi
khơng tránh khỏi hạn chế đó là: Đối với một số học sinh trung bình, yếu kém,
phương pháp cịn chưa phù hợp với đối tượng nên việc tiếp thu và vận dụng
chưa có kết quả cao.
Thấy được ưu, nhược điểm đó, cho phép tơi một lần nữa khẳng định rằng
đề tài “Phương pháp giải một số dạng toán về lũy thừa với số mũ tự chiên cho
học sinh lớp 7” sẽ phát huy tối đa tác dụng của nó trong việc nâng cao chất
lượng đại trà và việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi.
3.2. Kiến nghị:
Đối với nhà trường: Nên thường xuyên tổ chức các chuyên đề nhóm về luỹ
thừa, để trao đổi kiến thức chuyên môn, để thống nhất về phương pháp giảng
dạy, cách thức tổ chức bồi dưỡng, tìm thêm những bài tốn hay về luỹ thừa.
Đối với phòng giáo dục: Trong các năm học tiếp theo thường xuyên tổ chức
các chuyên đề, hội thảo, mỗi chuyên đề, hội thảo chỉ đi sâu vào một chủ đề kiến
thức trọng tâm của chương trình thì hiệu quả sẽ cao hơn, có thể tổ chức liên

trường để tập trung và phát huy được trí tuệ, kinh nghiệm của nhiều người.
Đối với sở giáo dục: Với những sáng kiến có chất lượng cao có thể đóng
thành tập san gửi về các phòng giáo dục, để triển khai tới các nhà trường.
Trong khi trình bày đề tài của mình khơng tránh khỏi những khiếm
khuyết, mong bạn đọc và đồng nghiệp đóng góp ý kiến bổ sung để đề tài hoàn
chỉnh và đạt hiệu quả cao góp phần nâng cao chất lượng giáo dục, đáp ứng nhu
cầu ngày càng cao của xã hội.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thọ Xuân, ngày 20 tháng 3 năm 2021
16


Xác nhận của thủ trưởng đơn vị
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................

Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến
kinh nghiệm của mình viết, khơng
sao chép nội dung của người khác.
Người viết

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Ôn tập đại số 7 – Tác giả Nguyễn Ngọc Đạm, Vũ Dương Thụy.
2. Nâng cao và phát triển toán 6, 7 – Tác giả Vũ Hữu Bình
3. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 7 – Tác giả Bùi Văn Tuyên
4. Toán nâng cao và các chuyên đề – Tác giả Vũ Dương Thụy, Nguyễn Ngọc
Đạm

5. Toán bồi dưỡng học sinh năng khiếu THCS – Tác giả: Đặng Phương Trang,
Phan Tuấn Kiệt, Phan Văn Đức
6. Toán bồi dưỡng học sinh lớp 6 – Tác giả Vũ Hữu Bình, Tơn Thân, Đỗ Quang
Thiều.
7. Tốn cơ bản và nâng cao THCS – Tác giả Vũ Thế Hựu

17


18