Một số kinh nghiệm giúp học sinh nắm vững kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông và vận dụng giải một số dạng bài tâp nhằm nâng cao chất lượng học tập cho học sinh lớp 9c trường THCS xuân phúc

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NHƯ THANH

TRƯỜNG THCS XUÂN PHÚC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH NẮM
VỮNG KIẾN THỨC VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG
TAM GIÁC VUÔNG VÀ VẬN DỤNG GIẢI MỘT SỐ
DẠNG BÀI TẬP NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG
HỌC TẬP CHO HỌC SINH LỚP 9C TRƯỜNG THCS
XUÂN PHÚC

Người thực hiện: Quách Minh Xuyên
Chức vụ: Giáo viên
Biện pháp thuộc mơn (lĩnh vực): Tốn

NHƯ THANH, NĂM 2021


Mục lục
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu .....................................................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu....................................................................................1
1.4. Phương pháp nghiên cứu...............................................................................1
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm .....................................................................2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm .......................................................2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm .......................2
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn
đề.......................................................................................................................... 3

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.........................................................................11
3. Kết luận, kiến nghị .........................................................................................11
3.1. Kết luận .......................................................................................................11
3.2. Kiến nghị .....................................................................................................12


1
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong giai đoạn cơng nghiệp hóa đất nước hiện nay, vai trị của Tốn học
là vơ cùng quan trọng. Khơng chỉ giúp tính toán đơn thuần mà tư duy Toán học
giúp chúng ta làm việc có kế hoạch và khoa học hơn. Tốn học là một mơn học
cơ bản trong chương trình giáo dục phổ thơng. Việc ghi nhớ các cơng thức Tốn
học và vận dụng công thức vào giải các bài tập Tốn học cũng như các mơn học
khác là rất cần thiết. Học tốt Toán học sẽ là cơ sở cho học sinh học tốt nhiều
môn học khác cũng như phục vụ cho việc tính tốn nhiều bài tốn thực tế đời
sống sau này. Tuy nhiên, hiện nay với rất nhiều học sinh tư duy Tốn học nói
chung và tư duy Hình học nói riêng khơng tốt, việc ghi nhớ các cơng thức và
vận dụng vào giải bài tập cịn chưa tốt, trong đó có các kiến thức cơ bản về hệ
thức lượng trong tam giác vuông.
Các kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vng có vai trị rất quan trọng
cho việc giải các bài tập trong chương trình Hình học lớp 9 cũng như phần Lượng
giác trong chương trình THPT. Đặc biệt, hệ thức lượng trong tam giác vng cịn có
vai trị quan trọng trong giải quyết các bài toán thực tế hàng ngày. Mặc dù trong
giảng dạy, các thầy cơ giáo đã có nhiều cố giắng để khắc phục tính khơ khan trong
các cơng thức Hình học.Tuy nhiên, việc ghi nhớ và vận dụng của học sinh lại rất thụ
động, hời hợt, không vận dụng được vào giải quyết các bài tập cũng như vận dụng
vào giải quyết các bài tốn thực tế. Vì vậy, để giúp tạo hứng thú trong học tập và tiếp
thu tốt các kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông ở học sinh, tôi mạnh dạn

đề xuất: “Một số kinh nghiệm giúp học sinh nắm vững kiến thức về hệ thức
lượng trong tam giác vuông và vận dụng giải một số dạng bài tâp nhằm nâng cao
chất lượng học tập cho học sinh lớp 9C trường THCS Xuân Phúc”.
1.2 Mục đích nghiên cứu
Trong khn khổ đề tài này tơi đưa ra một số kinh nghiệm của bản thân
giúp học sinh nắm vững kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông và vận
dụng giải một số dạng bài tâp nhằm nâng cao chất lượng học tập cho học sinh, tiếp
cận tỉ số lượng giác một cách dễ dàng, khoa học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là: đưa ra cách tiếp cận các kiến thức
về hệ thức lượng trong tam giác vuông giúp các em hình thành kiến thức mới
một cách dễ dàng và có hệ thống lơgíc trong Chương I Hình học lớp 9, ghi nhớ
và vận dụng giải một số dạng bài tập.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Một ví dụ có thể sử
dụng cho nhiều đơn vị kiến thức. Sử dụng các ví dụ thực tế, thiết thực trong đời
sống hàng ngày.


2
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: kiểm tra việc
tiếp thu kiến thức của học sinh để đưa ra phương án điều chỉnh hợp lí trong q
trình giảng dạy.
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: thống kê chất lượng bài kiểm tra
và so sánh kết quả của việc áp dụng đề tài.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Các kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông là một trong những
nội dung cơ bản và quan trọng trong chương trình Hình học lớp 9. Phần kiến
thức này lại rất trừu tượng gây khó khăn cho học sinh khi học. Đặc biệt, việc ghi

nhớ các công thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông càng không dễ, học
sinh thường hay nhầm lẫn giữa các hệ thức với nhau.
Việc tiếp thu và ghi nhớ kiến thức đã khó, vận dụng được phần kiến thức
này vào làm một số các bài tập lại càng khó khăn hơn. Học sinh thường lúng
túng khơng biết nên chọn những hệ thức nào mới có thể giải được bài toán. Cho
nên, nhiệm vụ của người giáo viên là rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải toán
và tránh cho học sinh những sai lầm thường hay mắc phải.
Năm học 2019-2020, tơi được tiếp tục giảng dạy tốn lớp 9 trường TH
&THCS Phúc Đường. Trong quá trình giảng dạy, tơi đã có nhiều trăn trở, nghiên
cứu và tìm ra phương pháp dạy học tích cực, nhưng kết quả học tập của học sinh
phần Chương I, Hình học lớp 9 chưa cao. Vì vậy, tơi tiếp tục nghiên cứu, tìm ra
các giải pháp để nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng phần kiến
thức Chương I, Hình học lớp 9 nói riêng.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Thực tế khi dạy Chương I, Hình học lớp 9 học sinh thường tiếp thu kiến
thức chưa tốt, việc vận dụng kiến thức vào giải bài tập đạt hiệu quả chưa cao.
Bên cạnh đó, nội dung hệ thức lượng trong tam giác vuông là nội dung kiến thức
mới, trừu tượng gây khó khăn cho học sinh khi học kiến thức này.
Vì vậy phần lớn học sinh có kết quả học tập chưa cao.
Cụ thể: Qua khảo sát phần nội dung kiến thức Chương I, Hình học lớp 9
năm học 2019 - 2020 đối với học sinh lớp 9 cho kết quả như sau:
Tổng
số
học
sinh

Ghi nhớ được

Không ghi nhớ

Vận dụng được

các công thức
được các công công thức vào
về hệ thức
thức về hệ thức giải được bài tập
lượng trong tam lượng trong tam
giác vuông
giác vuông

Không vận dụng
được công thức
vào giải được bài
tập


24

số

chiếm

số

3
chiếm

lượng
8

tỉ lệ %
33,3

lượng
16

tỉ lệ %
66,7

số

chiếm tỉ

số

chiếm

lượng
5

lệ %
20,8

lượng
19

tỉ lệ %
79,2

2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải

quyết vấn đề
a. Giải pháp 1: Hướng dẫn học sinh ghi nhớ các công thức
Các công thức cần ghi nhớ
* Hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông
- Hệ thức 1: b2 = a.b’; c2 = a.c’
- Hệ thức 2: h2 = b’.c’
- Hệ thức 3: a.h = b.c
- Hệ thức 4: 12  12  12
h

b

c

* Tỉ số lượng giác của góc nhọn
sin  

c�nh ��
i
c�nh huy�
n

cos  

c�nh k�
c�nh huy�
n

tan  

c�nh ��
i
c�nh k�

cot  

c�nh k�
c�nh ��
i

* Nếu  +  = 900 ta có:
sin = cos;

cos = sin

tg = cotg;

cotg = tg

* Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
b = a.sinB = a.cosC
c = a.sinC = a.cosB


4
b = c. tgB = c.cotgC
c = b.tgC = b.cotgB
Hướng dẫn học sinh ghi nhớ kiến thức đã học
Để vận dụng tốt các kiến thức đã học vào giải các bài tập, học sinh cần
ghi nhớ được các công thức đã học. Tuy nhiên, với Tốn học nói chung và Hình

học nói riêng, học thuộc được các cơng thức là khơng dễ. Để các em có hứng thú
trong việc ghi nhớ và nhớ được lâu, giáo viên cần tạo sự mới mẻ, “mềm mại” và
khoa học khi hướng dẫn học sinh ghi nhớ.
* Đối với các hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông,
trước tiên, ta phải cho học sinh nhận biết rõ về cạnh huyền, các cạnh góc vng,
hình chiếu của các cạnh góc vng tương ứng trên cạnh huyền và chỉ ra được các
đoạn thẳng đó trên hình vẽ cũng như nhận biết các kí hiệu tương ứng của chúng
một cách chính xác. Để làm được điều này, tơi vẽ nhiều hình khác nhau và yêu
cầu học sinh nhận biết.
* Đối với các công thức về tỉ số lượng giác của góc nhọn, để học sinh
định nghĩa các tỉ số lượng giác được dễ dàng hơn, tôi cho học sinh ghi nhớ câu
“khẩu quyết”:
" sin đi học
cos khơng hư
tg đồn kết
cotg kết đồn"
Bằng cách sử dụng các chữ cái đầu để ghi nhớ các cạnh đ - cạnh đối, h cạnh huyền, k - cạnh kề. Vì vậy, học sinh nhớ được chính xác các tỉ số lượng
giác của góc nhọn và rất thích thú.
Ngồi ra, tơi ln dặn dị học sinh phải chú ý vẽ hình chính xác để giúp ta
định hướng cách giải tốt.


5
b. Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức về hệ thức
lượng trong tam giác vuông để giải các bài tập ở Chương I, Hình học 9
Để học sinh vận dụng được kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác
vuông tôi chia bài tập thành ba dạng sau:
Dạng 1: Bài tập tìm x,y trên hình vẽ
Dạng 2: Bài tập tổng quát
Dạng 3: Bài tập vận dụng

Tôi lựa chọn bài tập, sắp xếp theo các dạng Toán nêu trên và hướng dẫn
học sinh giải từng dạng bài tập. Cụ thể như sau:
* Dạng 1: Bài tập tìm x,y trên hình vẽ
Đây là dạng bài tập đơn giản nhằm củng cố các cơng thức. Vì vậy, để học
sinh thực hiện được các bài tập này, cần cho học sinh nhận biết: Trên hình vẽ x,y
là độ dài đoạn thẳng ứng với đại lượng nào trong công thức tổng quát đã học?
Từ đó học sinh sàng lọc và nhận biết nên dùng hệ thức nào để tìm được x,y.
Ví dụ 1: Hãy tìm x, y trong hình sau ( hình 4a – bài 1 SGK)
Hướng dẫn học sinh bằng cách trả lời các
câu hỏi: Trên hình vẽ cho ta biết những yếu
tố nào? Yêu cầu tìm những yếu tố nào?
Nhằm mục đích hướng học sinh đến việc

6

8
x

y

nhận ra phải tìm x, y là các hình chiếu của
các cạnh góc vng có độ dài lần lượt là 6
và 8.
Khi biết độ dài hai cạnh góc vng ta có thể tính độ dài cạnh huyền được khơng?
Để tìm x ta làm thế nào?
Giải:
Áp dụng định lí Pitago ta có: (x + y)2 = 62 + 82 =36 + 64 = 100
Suy ra x + y = 10

6
Theo hệ thức (1) ta có: 62 = (x + y). x
hay 36 = 10. x
x = 3,6
Từ x + y = 10 => y = 10 –x => y = 6,4
Ví dụ 2: Hãy tìm x, y trong hình sau ( hình 11– bài 8b SGK)
Hướng dẫn học sinh bằng cách trả lời các
câu hỏi: Trên hình vẽ cho ta biết những yếu

x

tố nào? Yêu cầu tìm những yếu tố nào?

y

Ở bài này có gì đặc biệt?
Để tìm x ta vận dụng hệ thức nào?

2

x
y

Tương tự, để tìm y ta làm thế nào?
Giải:
Theo hệ thức 2 ta có: 22 = x.x
=> x2 = 4
=> x = 2
Theo hệ thức 3 ta có: 2(x + x) = y.y
=> y2 = 8

�y 8

*Dạng 2: Bài tập tổng quát
Ví dụ 3: Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai
đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh của tam giác vng này.
A
Hướng dẫn học sinh chuyển từ bài toán
thành bài cụ thể: Cho tam giác ABC vuông
tại A, đường cao AH. Biết BH =1, CH =2
Tính AB, AC.
? Bài này cho ta biết những yếu tố nào? Yêu
cầu tìm những yếu tố nào?

B

α

C


7
? BC bằng bao nhiêu?
? Vận dụng hệ thức nào?
Giải:
Theo hệ thức 1 ta có:
AB2 = BC.BH
=> AB2 = 3.1 = 3
� AB  3

AC2 = BC.CH

=> AC2 = 3.2 = 6
� AC  6

Ví dụ 4: Sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn để
chứng minh rằng: với mọi góc α tuỳ ý,ta có: sin2 α+ cos2 α = 1 ( bài tập 14b –
A
SGK)
Hướng dẫn học sinh chuyển từ bài toán
thành bài cụ thể: Cho tam giác ABC vng
tại A, có

B

�B  

1

H

2

C

? Hãy viết các tỉ số lượng giác: sinα, cosα ?
? Hãy tính sin2 α+ cos2 α
Giải:
2

2

AC � �AB � AC 2  AB 2 BC 2
Ta có: sin 2   cos 2  �

1
�BC � �BC �
BC 2
BC 2
� � � �

Vậy sin2 α+ cos2 α = 1
Ví dụ 5: Giải tam giác ABC vuông tại A biết rằng : b  10cm, �C  300
(bài tập 27a)


8
Bài tập dạng này cần hướng dẫn học sinh nhận dạng nó thuộc dạng nào
trong ba dạng của tốn giải tam giác vng, để từ đó học sinh biết phải tìm cạnh
nào và góc nào trong tam giác. Tơi dùng cách đặt câu hỏi gợi mở:
? Để tìm số đo góc B ta làm thế nào?
? Tính c ta vận dụng hệ thức nào, tính a ta làm thế nào?
Giải:
A

Ta có :

10cm

�B  900  �C  900  300  600

3

c  b.tan C  10.tan 30  10.
(cm)
3
0

B

C

300

2

� 3 � 400
a  b  c  10  �
10.
�
�
� 3
3
�
�
2

2

2

� a  20.

2

3
(cm)
3

* Dạng 3: Bài tập vận dụng
Ví dụ 6: (Bài 9 – SGK) Cho hình vng ABCD. Gọi I là một điểm nằm
giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vng góc
với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh:
a) Tam giác DIL là một tam giác cân.
b) Tổng

1
1 không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB

2
DI
DK 2

Hướng dẫn học sinh vẽ hình chính xác.
? Để chứng minh tam giác DIL cân ta cần

B

K

C

L

có điều kiện gì?
? Khi I di chuyển trên AB thì 1 2  1 2
DK
DI
khơng đổi vì sao?
Gi¶i:

I
A

1

2

3
D


9
a. Xét ADI và CDL có:
�DAI  �DCL  900 (GT)

AD = DC (cạnh của hình vng)
� )
�D1  �D3 ( cùng phụ với D
2

Vậy ADI = CDL (g.c.g)
Suy ra DI =DL

Nên DLK là tam giác vuông cân tại D.
b, Xét DKL vng tại D có DC là đường cao, theo theo hệ thức 4 ta có:
1
1
1

 2
2
2
DC
DK
DL

Mà DI = DL =>
Suy ra

DI2 = DL2

1
1
1


2
2
DC
DK
DI 2

Vì DC khơng đổi nên

Vậy

1 không đổi suy ra 1
DC 2
DK 2



1 không đổi.
DI 2

1
1 khơng đổi khi I thay đổi trên cạnh AB

2
DI
DK 2

Ví dụ: 7 (bài 30 SGK)
Cho tam giác ABC, trong đó BC = 11cm, �ABC  380 , �ACB  300 , gọi N là
chân đường vng góc kẻ từ A đến cạnh BC. Hãy tính:
K

a) Đoạn thẳng AN.

A

b) Cạnh AC.
Giải

380

Kẻ BK  CA
a) Xét BCK vng tại K có:

Cˆ  300
=>



�KBC  600

�KBA  600  380  220

B

30
N
11c
m

0

C


10
Xét  KBA vng tại K có:

AB 

BK
5,5

�5,93(cm)
cos KBA cos 220

Xét ABNvng tại N có: AN  AB.sin 380 �3,652(cm)
b)Xét ANC vng tại N ta có:

AC 

AN
�7,304(cm)
sin 300

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt
động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Trên đây là các giải pháp nhằm giúp học sinh tiếp thu nhanh, ghi nhớ lâu
các kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vng, từ đó biết vận dụng kiến
thức vào giải các bài tập.
Thực hiện các giải pháp này, tôi chủ yếu hướng dẫn học sinh có thể nắm
vững được hệ thức lượng trong tam giác vuông và cơ bản vận dụng vào giải
được các bài tập sách giáo khoa...
Qua việc vận dụng giải pháp này, cơ bản tôi đã thu được kết quả khả
quan. Cụ thể với lớp 9C năm học 2020- 2021 (có lực học tương đương với lớp 9
năm học 2019- 2020) kết quả như sau:

Tổng
số

học
sinh

21

Ghi nhớ được

Không ghi nhớ

các công thức

được các công

Vận dụng được

dụng được công

về hệ thức

thức về hệ thức

công thức vào

thức vào

giải được bài tập

giải được bài

lượng trong tam lượng trong tam

Không vận

giác vuông

giác vuông

số

chiếm

số

chiếm

số

chiếm tỉ

số

chiếm

lượng

tỉ lệ %

lượng

tỉ lệ %

lượng

lệ %

lượng

tỉ lệ %

17

80,95

4

19,05

15

71.42

6

28,58

3. Kết luận, kiến nghị
3.1 Kết luận

tập

11
Với đề tài "Một số kinh nghiệm giúp học sinh nắm vững kiến thức về hệ
thức lượng trong tam giác vuông và vận dụng giải một số dạng bài tâp nhằm
nâng cao chất lượng học tập cho học sinh lớp 9C trường THCS Xn Phúc” tơi
đã cố gắng tìm ra các giải pháp giúp học sinh ghi nhớ các kiến thức về hệ thức lượng
trong tam giác vng. Từ đó, các em có thể vận dụng các kiến thức này vào giải một
số dạng bài tập.
Để học sinh vận dụng được kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác
vuông, tôi chia bài tập thành ba dạng sau: Bài tập tìm x,y trên hình vẽ, bài tập
tổng quát, bài tập vận dụng. Tôi lựa chon bài tập, sắp xếp theo các dạng toán nêu
trên và hướng dẫn học sinh giải từng dạng bài tập cụ thể, từ đó phát triển khả
năng tư duy cho học sinh.
Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy vẫn cịn số ít học sinh cịn bỡ ngỡ
trong q trình giải tốn, suy diễn chưa hợp logic.
Sáng kiến kinh nghiệm này có thể triển khai như một chuyên đề để giảng
dạy cho các em học sinh ghi nhớ được phần kiến thức Chương I, Hình học lớp 9
và vận dụng giải được một số dạng bài tập, nhằm giúp các em học sinh vượt
qua trở ngại tâm lí từ trước tới nay cho những dạng tốn này.
3.2. Kiến nghị
Nhà trường,Tổ chuyên môn Khoa học tự nhiên trường THCS Xuân Phúc
tiếp tục quan tâm tổ chức chất lượng, hiệu quả các chuyên đề sinh hoạt chuyên
môn theo nghiên cứu bài học để giáo viên được cùng nhau nghiên cứu, trao đổi,
thảo luận, tháo gỡ những khó khăn vướng mắc trong chuyên môn; học hỏi, chia
sẻ kinh nghiệm chuyên môn nghiệp vụ.
4. Cam kết
Tôi xin cam kết đây là sáng kiến kinh nghiệm giúp học sinh nắm vững
kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông và vận dụng giải một số dạng
bài tập nhằm nâng cao chất lượng học tập cho học sinh lớp 9C Trường THCS
Xuân Phúc là do chính bản thân tơi đúc kết từ thực tế dạy học, không sao chép

của người khác. Tôi rất mong được sự đánh giá, góp ý của các đồng nghiệp để
nội dung sáng kiến được hoàn thiện hơn.

XÁC NHẬN CỦA PHÓ HIỆU TRƯỞNG

Ngày 16 tháng 02 năm 2021


12
NGƯỜI VIẾT SÁNG KIẾN
KINH NGHIỆM

Quách Minh Xuyên