BT NANG CAO TOAN 6

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (153.82 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề 1: dãy các số nguyên

– phân số viết theo quy luật

(1).

Dãy 1

:

Sử dụng công thức tổng quát

n
a.(a+n)=

a−

a+n
 Chøng minh

-n
a.(a+n)=

(a+n)− a

a.(a+n)=

a+n

a.(a+n)−

a
a.(a+n)=

a−

a+n
Bµi 1.1: TÝnh

a) A= 3

5 . 8+
3
8 . 11+

11. 14+.. .+
3

2006 .2009 b)

B= 1

6 .10+
1
10 .14+

14 . 18+. ..+
1

402. 406

c) C=10

7 . 12+
10
12 . 17+

17 . 22+.. .+
10

502. 507 d)

D= 4

8 .13+
4
13 .18 +

18 .23+.. .+
4
253 .258

Bµi 1.2: TÝnh:a) A= 1

2 . 9+

1
9 .7+

7 .19+. ..+
1

252 .509 b) B=
1
10 . 9+

1
18 .13+

26 .17 +.. .+
1
802 . 405

c) C= 2

4 . 7−
3
5 . 9+

2
7 . 10−

9 .13+. ..+
2
301 . 304

3
401. 405

Bài 1.3: Tìm số tự nhiên x, thoả mÃn:a) x

2008−
1
10 −

1
15 −

21−.. .−
1
120=

5
8

b) 7

x+

4
5 . 9+

4
9 . 13+

13. 17+. . .+
4
41 . 45=

45 c)
1
3 . 5+

1
5 . 7+

7 . 9+.. .+

(2x+1)(2x+3)=

15
93

Bài 1.4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có:
a) 1

2 . 5+
1
5 . 8+

8 .11+. ..+

(3n−1)(3n+2)=

n

6n+4 b)

5
3 . 7+

5
7 . 11+

11.15+.. .+

(4n−1)(4n+3)=

5n

4n+3
Bµi 1.5: Chøng minh r»ng víi mäi n∈N ;n ≥2 ta cã:

3
9. 14+

3
14 . 19+

19 .24+. ..+

(5n −1)(5n+4)<

1
15

Bµi 1.6: Cho A= 4

15 . 19+
4

19 .23+.. .+
4

399 . 403 chøng minh:
16
81<A<

16
80

Bµi 1.7: Cho d·y sè : 2

4 . 11;
2
11. 18;

2
18. 25 ;. ..

a) Tìm số hạng tổng quát của dÃy b) Gäi S lµ tỉng của 100 số hạng đầu tiên của dÃy. Tính S.

Bài 1.8: Cho A= 1

22+
1
32+

1
42+.. .+

92 . Chøng minh
2
5<A<

8
9

Bµi 1.9: Cho A= 2

32+
2
52+

2
72+. ..+

20072 . Chøng minh: A<
1003
2008

Bµi 1.10: Cho B= 1

42+

1
62+

1
82+.. .+

20062 . Chøng minh: B<

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bµi 1.11: Cho S=1

52+

1
92+.. .+

4092 . Chøng minh: S<

1
12

Bµi 1.12: Cho A= 9

52+

112 +

9
172+. ..+

3052 . Chøng minh: A<

3
4

Bµi 1.13: Cho B=8

9+
24
25+

48
49+. ..+

200 . 202

2012 . Chøng minh: B>99,75
Bµi 1.14: Cho A=11

9 +
18
16+

27
25 +. ..+

1766

1764 . Chøng minh: 40
20

43<A<40
20
21

Bµi 1.15: Cho B= 2
2

1. 3+
32

2 . 4+
42

3. 5+
52

4 . 6+.. .+
992

98 .100 . Tìm phần nguyên của B.

Bài 1.16: Cho C=3

4+
8
9+

15
16+. ..+

2499

2500 . Chøng minh C > 48

Bµi 1.17: Cho M=

1
1+2+3+

1+2+3+4+.. .+

1+2+3+..+59 . Chøng minh 3



M

Bµi1.18: Cho N=1. 4

2 . 3+
2. 5
3 . 4+

3 . 6
4 .5+.. .+

98 . 101

99 . 100 . Chøng minh 97 < N < 98.

 Më réng víi tÝch nhiỊu thõa sè:

2n

a(a+n)(a+2n)=

a(a+n)−

(a+n)(a+2n)
Chøng minh:

2n

a(a+n)(a+2n)=

(a+2n)− a

a(a+n)(a+2n)=

a+2n

a(a+n)(a+2n)−

a

a(a+n)(a+2n)=

a(a+n)−

(a+n)(a+2n)

3n

a(a+n)(a+2n)(a+3n)=

a(a+n)(a+2n)−

(a+n)(a+2n)(a+3n)
Bµi 1.19: TÝnh S= 2

1. 2 .3+
2

2. 3 . 4+. ..+
2
37 . 38. 39

Bµi 1.20: Cho A= 1

1 .2 .3+
1

2. 3 . 4+. ..+
1

18 . 19. 20 . Chøng minh A<
1
4

Bµi 1.21: Cho B=36

1. 3 .5+
36

3. 5 .7+. ..+
36

25 . 27 .29 . Chøng minh B < 3

Bµi 1.22: Cho C= 5

5 . 8 .11+
5

8 .11. 14+. ..+

302 .305 . 308 . Chøng minh C<
1
48

Bµi 1.23: Chøng minh víi mäi n N; n > 1 ta cã: A= 1

23+

1
33+

1
43+. ..+

n3<

1
4

Bµi 1.24: TÝnh M= 1

1. 2. 3 . 4+
1

2. 3 . 4 . 5+. ..+

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bµi 1.25: TÝnh P=

1
51+

1
52+.. .+

1
100
1

1 . 2+
1
3 . 4+

5 . 6+.. .+
1
99 .100

Bµi 1.26: TÝnh: Q=1. 3

3 .5+
2. 4
5 .7+

3 . 5
7 . 9+.. .+

(n−1)(n+1)

(2n−1)(2n+1)+. . .+

1002. 1004
2005. 2007
Bµi 1. 27: TÝnh: R= 2

1. 3+
32

2. 4+
42

3 .5+. ..+

20062

2005 . 2007

Bài 1.28: Cho S= 2

2005+1+

20052+1+

200522+1+.. .+

2n+1

20052n+1+. ..+

22006

200522005+1

So sánh S víi 1

1002

 Hướng dẫn: k −m1−km

+1=

mk+m−mk+m
(k −1)(k+1) =

2m
k2−1⇒

m
k+1=

m
k −1−

2m
k2−1
Áp dụng vào bài toán với m  {2; 2 , …., 2 } và k  { 2005, 2005 , … 200522006 }
ta có: 2

2005+1=

2
2005−1−

22
20052−1
22

20052+1=

20052−1−
23

200522

−1

………..

(2)

.

D·y 2

:

D·y luü thừa

{

an

}

với n tự nhiên.

Bài 2.1: Tính : A=1

2+
1
22+

1
23+.. .+

1
2100

Bµi 2.2: TÝnh: B=1

2−

1
22+

1
23−

1
24+. ..+

1
299−

1
2100

Bµi 2.3: TÝnh: C=1

2+
1
23+

1
25+. ..+

1
299

Bµi 2.4: TÝnh: D=1

2−

1
24+

1
27−

210+. ..−
1
258

Bµi 2.5: Cho A=2

3+
8
9+

26
27+. ..+

3n−1

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bµi 2.6: Cho B=4

3+
10

9 +
28

27+. ..+

398+1

398 . Chøng minh B < 100.

Bµi 2.7: Cho C=5

4+
5
42+

5
43+. ..+

499 . Chøng minh: C<
5
3

Bµi 2.8: Cho D= 3

12. 22+
5
22. 32+

32. 42+.. .+

92. 102 . Chøng minh: D < 1.

Bµi 2.9: Cho E=1

3+
2
32+

3
33+. . .+

100

3100 . Chøng minh: E<
3
4

Bµi 2.10: Cho F=4

3+
7
32+

10
33+. . .+

3n+1

3n víi n N

*. Chøng minh: F<11

Bµi 2.11: Cho G=5

3+
8
32+

11
33+. ..+

302

3100 . Chøng minh: 2
5
9<G<3

1
2

Bµi 2.12: Cho H=7

3+
13

32+

33 +. ..+
601

3100 . Chøng minh: 3
7

9<H<5

Bµi 2.13: Cho I=11

3 +
17

32+
23

33 +. ..+
605

3100 . Chøng minh: I < 7

Bµi 2.14: Cho K=4

3+
13

32+
22

33 +. ..+
904

3101 . Chøng minh: K<
17

Bµi 2.15: Cho L=7

3+
11

32+
15

33+. . .+
403

3100 . Chøng minh: L < 4,5.

.

D·y 3

:

DÃy dạng tích các phân số viết theo quy luật:

Bài 3.1: TÝnh: A=8

9.
15
16.

25 . .. . .

2499

2500 . Bµi 3.2: Cho d·y sè: 1
1
3,1

1
8,1

1
15 ,1

1
24 ,1

1
35 ,. . .

a) Tìm số hạng tổng quát của dÃy. b) TÝnh tÝch cña 98 số hạng đầu tiên của dÃy.

Bài 3.3: Tính: B=

(

1−1

)(

1−
1
6

)(

1−

1
10

)(

1−

)

.. . ..

(

1−
1
780

)

Bµi 3.4: Cho C=1

2.
3
4.

5
6.. . ..

199

200 . Chøng minh: C

2
< 1

201

Bµi 3.5: Cho D=1

2.
3
4.

5
6. .. . .

100 . Chøng minh:
1
15<D<

1
10

Bµi 3.6: TÝnh: E=

(

2+1

)(

1
3+1

)(

4+1

)

.. ..

(

99+1

)

Bµi 3.7: TÝnh:

F=

(

2−1

)(

3−1

)(

4−1

)

. .. .

(

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bµi 3.8: TÝnh: G= 3

22.

8
32.

15
42.. . ..

899

302 . Bµi 3.9: TÝnh: H=

1
4.

2
6.

3
8.

4
10. .. .

30
62.

31
64 .

Bµi 3.10: TÝnh: I=101. 10001. 100000001. . .. .1 00 . .. 000

⏟

2n

−1c/s

1
1

)

với
1
21

Bài 3.13: So sánh M=

(

11

)(

1
1
9

)(

1

)

.. .. .

(

1
1

100

)

với

11
19

Bài 3.14: TÝnh: N= 2
2

1. 3.
32

2. 4.
42

1
2−

1
5

)(

1
2−

1
7

)

. .. . .

(

1
2

1
99

)

Bài 3.18: So sánh: U= 1 . 3. 5 .7 . .. . .39

21 . 22. 23 .. .. . 40 vµ V=
1
220−1
Bµi 3.19: Cho V=

(

1+ 1

1 . 3

)(

1+
1
2. 4

)(

3 .5

)

. . .. .

(

1+
1

99 . 101

)

. Chøng minh V < 2.

Bµi 3.20: Cho S=2

1.
4
3.

6
5. . .. .

200

199 . Chøng minh: 201<S2<400

Bµi 3.21: Cho A=1

3.
4
6.

7
9.

10
12 . .. .

208

210 . Chøng minh: A<
1
25

Bµi 3.22: TÝnh: B= 1
2

1. 2.
22

2 .3.

32
3 . 4.. .. .

1002
100. 101

Bµi 3.23: TÝnh: C=

(

1+1999

)(

1+
1999

)(

1+
1999

)

.. .. .

(

1+
1999
1000

)

(

1+1000

)(

1+
1000

)(

1+
1000

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bµi 3.24: TÝnh:

2n −1¿2
(¿¿)

1−1¿
D=

(

1−4

)(

1−
4
9

)(

1−

)

. . .. .¿

, víi n N, n ≥1

Bµi 3.25: Cho E=

(

1− 1

1+2

)(

1−

1+2+3

)

.. .. .

(

1−

1+2+3+.. .+n

)

vµ F=n+2

n víi n N*. TÝnh
E
F

1+
1

21024

)

vµ H=

1
22047

TÝnh: G + H.

Bµi 3.27: Cho I=1 . 3+2

4 .

3 . 5+2

16 .

15. 17+2

256 .

255. 257+2

65536 . .. . .

(22

n

−1)(22

n

+1)+2

22n víi n N.

Chøng minh: I<4

Bµi 3.28: Cho dÃy số: 11

3;1
1
32;1

1
34;1

1
38;1

1
316;.. ..

a) Tìm số hạng tổng quát của dÃy.

b) Gọi A là tích của 11 số hạng đầu tiên của dÃy. Chứng minh 1

32A là số tự nhiên.

c) Tìm chữ số tận cùng của B= 3

3−2A

Bµi 3.29: Cho A=5

6.
13

62.

64 . .. ..

32n+22n

62n vµ B=
1
62n+1

−1 víi n N

a) Chøng minh : M=A

B là số tự nhiên

b) Tỡm n để M là số nguyên tố.

Bµi 3.30: Cho A=7

3.
37

32.

1297
34 . .. ..

62n

32n

B=

(

1+1

)

(

1+
1
32

)(

1
34

)

(

)

.. ..

(

1+
1

32n

)

víi n N

a) Chøng minh : 5A 2B là số tự nhiên.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bµi 3.31: Cho A=5

3.
13

32 .
97

34 . .. .
32n+22

n

32n .( víi n N ) Chøng minh: A < 3.

(4). Tính hợp lí các biểu thức có nội dung phức tạp:

Bài 4.1: Tính: A=1+(1+2)+(1+2+3)+. ..+(1+2+3+. ..+98)

1. 2+2. 3+3 . 4+.. .+98 . 99
Bµi 4.2: TÝnh: B=1. 98+2 . 97+3 . 96+. ..+98 . 1

1. 2+2. 3+3 . 4+.. .+98 . 99

Bµi 4.3: TÝnh: C=

1
1 . 300+

1
2. 301+

3 . 302+. ..+
1
101 . 400
1

1. 102+
1
2 .103+

3. 104+. ..+
1
299 . 400

Bµi 4.4: TÝnh: D=

100−

(

1+1

2+
1
3+. . .+

1
100

)

2+
2
3+

3
4+. ..+

99
100

Bµi 4.5: TÝnh: E=

1
51+

1
52+

1
53+. ..+

1
100
1

1. 2+
1
3 . 4+

5. 6+. ..+
1
99 . 100

Bµi 4.6: TÝnh F=

5−5

3+
5
9−

5
27
8−8

3+
8
9−

8
27

15−15

11+
15
121
16−16

11+
16
121

Bµi 4.7: TÝnh G=

(

3 2
15+

1
5

)

1
2

(

53
7−2

1
4

)

43
56

−

1,2 :

(

11
5. 1

1
4

)

0,32+ 2

Bµi 4.8: TÝnh H=

1
99+

2
98+

3
97+.. .+

98
2 +

99
1
1

2+
1
3+

1
4+. ..+

1
100

92−1

9−
2
10 −

11−.. .−
92
100
1

45+
1
50+

1
55+.. .+

1
500

Bµi 4.9: TÝnh I=

2− 2

19+
2
43 −

2
1943
3− 3

19+
3
43 −

3
1943

:
4− 4

29+
4
41−

4
2941
5− 5

29+
5
41 −

5
2941

Bµi 4.10: TÝnh K=

12−12

7 −
12
289 −

12
85
4−4

7−
4
289−

4
85

:
3+ 3

13+
3
169+

3
91
7+ 7

13+
7
169+

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bµi 4.11: TÝnh L= 1 . 2+2. 4+3 .6+4 . 8+5 . 10

3 . 4+6 . 8+9 . 12+12. 16+15 .20

Bµi 4.12: TÝnh M=

5 . 95+.. .+
1
97 . 3+

1
99 .1

Bµi 4.16: TÝnh R=

1
2+

1
3+

1
4+. . .+

1
200
1

199+
2
198+

197 +. ..+
198

2 +
199

Thực hiện các phép tính

:

Bài 1. a)

2,56.0, 44.2, 25

3, 2.0,12.0,6

; b)

2 3 1
1 .2 .2

7 5 4
2 6 1
5 .1 .

5 7 4

; Đáp số: 1a) 11; 1b)3.

Bài 2. a)

4 3 4 1

12 .3 4 .4

5 4 11 8

2 7
11 :

3 18



; b)

5 2

28,8 :13 6,6 :

7 3

11
1 : 2, 25



; Đáp số: 2a) 1; 2b)16.

Bài 3. a)



5
2,3 5,8 .3

7
7
4,9 2,3 :




; b)

1 5

: 2, 25.0,8 3

8 16 3

1 55 1 5

2 1 : 3

48 72 12

; Đáp số: 3a) 9; 3b)30.

Bµi 4. a)

1 1 1

1 2

8 12 3

7,3 0, 4.8,5

 



; b)

12.0,8 1,8

1 1 1

2 2

12 15 4



 

; Đáp số: 4a) 1,25; 4b)2.

Bài 5. a)

10 :12 1

11 .6

21 2

; b)

2 1 5

8 : 2 2 :
5 : 7 7

1 8

5 : 7 4 :

4 9

; Đáp số: 5a) 2; 5b)

2
6

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bài 6. a)









3 4,9 1

2 . 1 : 2

7 5,1 3

9 1,5 : 25

 



; b)





3 8,1 4

9 : 3 . 1

4 5, 2 9

8,5 4,7 : 3,8

 

  



. Đáp số: 6a) 10; 6b)10 .

Bài 7. a)

3 5

18,6 : 14, 4.

4 12

47,52 :1,8 17



; b)

9 1

24,3: 4,5 : 3

13 3

56,81: 2,3 18



. Đáp số: 7a) 2; 7b)3.

Bài 8.

a)

3 5 15 5

. :

5 21 28 84
5 : 0,5 9,36





; b)

1
5, 25 1

3
2
25 :8



; Đáp số : 8a)

2
14

; 8b)

.

Bài 9. a)

1 2

15 9 :

3 3

8, 45

2 7 9

19 11 .

3 9 71

 



 

  

 



 

 

; b)

11,81 8,19 .0.02

3,35
9 :11,25

. Đáp số. 9a)0,05, 9b)3,85

Bài 10. a)

15.17 15.6
15.17 15.6





; b)

81.17 15.81
81.17 81.15





; Đáp số 11a) 11/23; 111b) 2/21

Bài 11. a)

1 3 16 3 2 16 2 1

.4 . 4 1 . .4

4 4 57 4 3 21 27 2

 

   

 

; b)

4 1 2 5 45 1

. 23 15 .

5 6 3 9 58 2

 

Đáp số: 12a)

5
5

; 12b)

7
5

Bài 12. Tìm giá trị của sè x.

8.5 18.4 12.3 .2
3,8
8 18 12

x
x

  



</div>

BT NANG CAO TOAN 6

Chuyên đề 1: dãy các số nguyên

<b> (1).</b>

Dãy 1

<b>: </b>

<i><b>Sử dụng công thức tổng quát</b></i>

<b>(2)</b>

<b>. </b>

D·y 2

<b>: </b>

<i><b>D·y luü thừa </b></i>

{

}

<i><b> với n tự nhiên.</b></i>

<b>. </b>

D·y 3

<b>: </b>

<i><b>DÃy dạng tích các phân số viết theo quy luật:</b></i>

(

)(

)(

)(

)

(

)

(

)(

)(

)

(

)

(

)(

)(

)

(

⏟

(

)(

)(

)

(

)

(

)(

)(

)

(

)

(

)(

)(

)

(

)

(

)(

)(

)

(

)

(

)(

)(

)

(

)

(

)(

)(

)

(

)

(

)(

)(

)

(

)

(