Bài giảng Sức bền vật liệu 2 - Trường Đại học Hàng Hải

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀNG HẢI
KHOA CƠ SỞ - CƠ BẢN
BỘ MÔN : SỨC BỀN VẬT LIỆU

BÀI GIẢNG
SỨC BỀN VẬT LIỆU

TÊN HỌC PHẦN

: SỨC BỀN VẬT LIỆU 2

MÃ HỌC PHẦN

: 18503

TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO : ĐẠI HỌC CHÍNH QUY
(Tài liệu lưu hành nội bộ)

HẢI PHÒNG - 2015


MỤC LỤC
STT
1
2
3
4
5
6
7
8

9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
29
20
21
22
23
24
25
26

NỘI DUNG
Chương 6: Thanh chịu lực phức tạp
6.1. Khái niệm, nguyên lý cộng tác dụng
6.2. Uốn xiên
6.3. Uốn và kéo (nén) đồng thời
6.4. Uốn và xoắn đồng thời thanh tròn
6.5. Thanh tròn chịu lực tổng quát
Chương 7: Ổn định của thanh chịu nén dọc trục
7.1. Khỏi niệm
7.2. Công thức Ơ le xác định lực tới hạn
7.3. Công thức Ơle xác định ứng suất tới hạn. Phạm vi sử dụng công thức Ơle.

7.4. Công thức xác định ứng suất tới hạn khi vật liệu làm việc ngoài miền đàn hồi
7.5. Tính tốn ổn định của thanh chịu nén dọc theo hệ số an tồn về ổn định
6.6. Tính tốn ổn định của thanh chịu nén dọc theo quy phạm
7.7. Hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang và cách chọn vật liệu
Chương 8: Tải trọng động
8.1. Khái niệm, phương hướng nghiên cứu
8.2. Bài toán chuyển động thẳng với gia tốc khơng đổi
8.3. Bài tốn chuyển động quay với vận tốc góc khơng đổi
8.4. Bài tốn dao động
8.5. Bài tốn va chạm
8.6. Tốc độ tới hạn của trục quay
Chương 9: Thanh cong phẳng
9.1. Khái niệm – Biểu đồ nội lực
9.2. Tính thanh cong chịu uốn thuần túy
9.3. Xác định bán kính cong của thớ trung hịa
9.4. Tính thanh cong chịu lực phức tạp

1

TRANG
6
6
6
15
21
24
31
31
31
33

34
36
39
44
50
50
50
52
54
61
66
72
72
76
79
81


Yêu cầu và nội dung chi tiết
Tên học phần: Sức bền vật liệu 2
a. Số tín chỉ: 2 TC

Mã HP: 18503
ĐAMH

BTL

b. Đơn vị giảng dạy: Bộ môn Sức bền vật liệu
c. Phân bổ thời gian:
- Tổng số (TS): 30 tiết.

- Lý thuyết (LT): 18tiết.

- Thực hành (TH): 0 tiết.

- Bài tập (BT):

- Hướng dẫn BTL/ĐAMH (HD): 0 tiết.

- Kiểm tra (KT): 2 tiết.

10 tiết.

d. Điều kiện đăng ký học phần: học sau học phần Sức bền vật liệu 1.
e. Mục đích, yêu cầu của học phần:
Kiến thức:
Trên cơ sở các kiến thức cơ bản đã được trang bị ở Sức bền vật liệu 1, học phần Sức bền vật liệu 2
cung cấp cho sinh viên những kiến thức cần thiết và phương pháp tính để giải quyết các trường hợp chịu
lực phức tạp , các trường hợp chịu tải trọng động phổ biến nhất thường gặp trong kỹ thuật, cách tính ổn
định cho thanh chịu nén dọc, và tính thanh cong phẳng.
Kỹ năng:
.-Có khả năng tư duy, phân tích, đánh giá đúng trạng thái chịu lực của bộ phận công trình, chi tiết
máy.
- Có khả năng ứng dụng kiến thức của môn học để giải quyết vấn đề trong thực tiễn.
- Có kỹ năng giải các bài tốn cơ bản của môn học một cách thành thạo.
Thái độ nghề nghiệp:
- Hiểu rõ vai trị quan trọng của mơn học đối với các ngành kỹ thuật, từ đó có thái độ nghiêm túc,
tích cực, cố gắng trong học tập .
f. Mơ tả nội dung học phần:
Học phần Sức bền vật liệu 2 bao gồm các nội dung sau:

-Chương 7: Thanh chịu lực phức tạp.
-Chương 8: Ổn định của thanh chịu nén dọc trục.
-Chương 9: Tải trọng động.
Chương 10: Thanh cong phẳng.
g. Người biên soạn: Th.S Nguyễn Hồng Mai - Bộ môn Sức bền vật liệu – Khoa Cơ sở cơ bản.
h. Nội dung chi tiết học phần:

2


PHÂN PHỐI SỐ TIẾT

TÊN CHƯƠNG MỤC
Chương 7: Thanh chịu lực phức tạp

TS

LT

BT

9

6

3

7.1. Khái niệm

0.5

7.2. Uốn xiên

1,5

7.3. Uốn và kéo (nén) đồng thời

1.5

7.4. Uốn và xoắn đồng thời thanh tròn

1.5

7.5. Thanh tròn chịu lực tổng quát

1

TH

KT

3

Bài tập
Nội dung tự học (18t):
-Đọc trước nội dung tiết học( trong bài giảng chi tiết ) trước khi lên lớp
-Tự đọc mục 8.5.. trong tài liệu tham khảo [1]ở mục l
-Làm đầy đủ bài tập cuối chương( trong bài giảng chi tiết.)
7

Chương 8: Ổn định của thanh chịu nén dọc trục

4

8.1. Khái niệm

0,5

8.2. Công thức Ơ le xác định lực tới hạn

0.5

8.3. Công thức Ơle xác định ứng suất tới hạn. Phạm vi sử dụng công
thức Ơle.

0.5

8.4. Công thức xác định ứng suất tới hạn khi vật liệu làm việc ngồi
miền đàn hồi

0.5

8.5. Tính tốn ổn định của thanh chịu nén dọc theo hệ số an tồn về ổn
định

0.5

8.6. Tính tốn ổn định của thanh chịu nén dọc theo quy phạm

1

8.7. Hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang và cách chọn vật liệu

0,5

Bài tập

2

1

2

Kiểm tra

1

Nội dung tự học (14t):
-Đọc trước nội dung tiết học( trong bài giảng chi tiết ) trước khi lên lớp
-Tự đọc mục 13.6. ,13.7. ,13.8. trong tài liệu tham khảo [1]ở mục l
-Làm đầy đủ bài tập cuối chương( trong bài giảng chi tiết )
9

Chương 9: Tải trọng động

6

9.1. Khái niệm

0.5

9.2. Bài tốn chuyển động thẳng với gia tốc khơng đổi

1

9.3. Bài tốn chuyển động quay với vận tốc góc không đổi

1

3

3


9.4. Bài toán va chạm

2

9.5. Bài toán dao động

1

9.6. Tốc độ tới hạn của trục quay

0.5

Bài tập

3

Nội dung tự học (18t):
-Đọc trước nội dung tiết học( trong bài giảng chi tiết ) trước khi lên lớp
-Tự đọc mục 10.6. ,10.7. trong giáo trình [1]ở mục k
-Làm đầy đủ bài tập cuối chương( trong bài giảng chi tiết)
Chương 10: Thanh cong phẳng.

5

2

10.1.Khái niêm chung –Biểu đồ nội lực.

0.5

10.2. .Tính thanh cong chịu uốn thuần túy

0.5

10.3. Xác định bán kính cong của thớ trung hịa.

0.5

10.4. Tính thanh cong chịu lực phức tạp.

0.5

Bài tập.

2

1

2

Kiểm tra

1

Nội dung tự học (10t):
-Đọc trước nội dung tiết học( trong bài giảng chi tiết ) trước khi lên lớp
-Tự đọc mục 8.3. trong giáo trình [1]ở mục k
-Làm đầy đủ bài tập cuối chương( trong bài giảng chi tiết)

i. Mô tả cách đánh giá học phần:
-Để được dự thi kết thúc học phần, sinh viên phải đảm bảo đồng thời 2 điều kiện:
+ Tham gia học tập trên lớp ³ 75% tổng số tiết của học phần.
+ Điểm X ³ 4
- Cách tính điểm X :
•

X = X2

X 2 là điểm trung bình hai bài kiểm tra giữa học kỳ (điểm của mỗi bài kiểm tra có tính đến

điểm khuyến khích thái độ học tập trên lớp, tinh thần tự học của sinh viên.)
-Hình thức thi kết thúc học phần (tính điểm Y):
Thi viết, rọc phách, thời gian làm bài 90 phút.
- Điểm đánh giá học phần : Z = 0,5X + 0,5Y
Trường hợp sinh viên không đủ điều kiện dự thi thì ghi X = 0 và Z = 0.
Trường hợp điểm Y < 2 thì Z = 0.

Điểm X,Y,Z được lấy theo thang điểm 10, làm tròn đến 1 chữ số sau dấu phẩy.

4


Điểm Z sau khi tính theo thang điểm 10,được qui đổi sang thang điểm 4 và thang điểm chữ
B+, B, C+, C, D+, D, F.

A+, A,

k. Giáo trình:
[1]. Nguyễn Bá Đường, Sức bền vật liệu, NXB Xây Dựng, 2002.
l. Tài liệu tham khảo:
[1]. Lê Ngọc Hồng Sức bền vật liệu, NXB Khoa học và kỹ thuật 1998.
[2]. Phạm Ngọc Khánh ,Sức bền vật liệu, NXB Xây Dựng, 2002.
[3]. Bùi Trọng Lựu, Nguyễn Văn Vượng, Bài tập Sức bền vật liệu, NXB Giáo dục, 1999.
[4].I.N.Mirôliubôp,X.A.Engalưtrep, N.Đ.Xerghiepxki, Bài tập sức bền vật liệu, NXB Xây Dựng,2002.
m. Ngày phê duyệt: 30/5/2015
n. Cấp phê duyệt:
Trưởng khoa

Trưởng bộ mơn

Người biên soạn

TS Hồng Văn Hùng

ThS Nguyễn Hồng Mai

ThS Nguyễn Hồng Mai

5


Chương 6: THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP
6.1. KHÁI NIỆM - NGUYÊN LÝ CỘNG TÁC DỤNG
6.1.1 Khái niệm
Trong các chương trước chúng ta đã nghiên cứu các dạng chịu lực đơn giản của thanh như kéo
hoặc nén đúng tâm, xoắn thuần tuý, uốn ngang phẳng. Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu các
trường hợp chịu lực phức tạp, nghĩa là những hình thức kết hợp các dạng chịu lực đơn giản ở trên. Trong
trường hợp thanh chịu lực phức tạp trên mặt cắt ngang của nó sẽ xuất hiện nhiều thành phần nội lực. Mức
độ phức tạp thể hiện qua số lượng các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang. Sau đây ta sẽ nghiên cứu từ
trường hợp phức tạp ít đến trường hợp tổng quát.
6.1.2. Nguyên lý cộng tác dụng
Để thuận tiện cho việc nghiên cứu các trường hợp chịu lực phức tạp ta phải sử dụng nguyên lý
độc lập tác dụng hay nguyên lý cộng tác dụng như sau:
Nếu nghiên cứu một thanh đồng thời chịu tác dụng của nhiều hệ lực, gây nên nhiều thành phần nội lực
trên mặt cắt ngang của thanh, thì ứng suất và biến dạng của thanh sẽ bằng tổng ứng suất và biến dạng do
từng hệ lực riêng rẽ gây ra.
Muốn sử dụng được ngun lý này thì bài tốn phải thoả mãn các điều kiện sau đây:
Vật liệu còn làm việc trong miền đàn hồi, sự tương quan giữa ứng suất và biến dạng là tương
quan bậc nhất.
Biến dạng của thanh là nhỏ, sự chuyển dịch của các điểm đặt lực là khơng đáng kể.
Khi xét các bài tốn chịu lực phức tạp, vì ảnh hưởng của lực cắt đến độ bền của thanh là khơng
đáng kể, do đó ta có thể bỏ qua.
6.2. UỐN XIÊN
6.2.1. Định nghĩa
Một thanh được gọi là uốn xiên là thanh mà trên mọi mặt cắt ngang của nó tồn tại hai thành phần
nội lực là mômen Mx và My nằm trong hai mặt phẳng qn tính chính trung tâm của thanh.
!

!
!
Ta có thể hợp hai vectơ M x và M y về một véctơ tổng M u :

!
!
!
Mu =M x +M y

Mx

o

z

x
My

y

Hình 6.1

6


Từ đó ta có định nghĩa khác: Một thanh chịu uốn xiên là thanh mà trên mọi mặt cắt ngang của nó
có một mơmen uốn Mu khơng nằm trong các mặt phẳng qn tính chính trung tâm. Mặt phẳng chứa
mơmen uốn Mu được gọi là mặt phẳng tải trọng. ở hình 6.2 mặt phẳng tải trọng là mặt phẳng p. Giao
tuyến của mặt phẳng tải trọng và mặt cắt ngang là đường tải trọng. Ta thấy rằng đường tải trọng đi qua
trọng tâm mặt cắt ngang nhưng không trùng với các trục qn tính chính trung tâm.

Gọi a là góc tạo bởi đường tải trọng với trục quán tính chính trung tâm Ox, a được coi là dương
khi chiều quay từ trục x trùng với đường tải trọng thuận chiều kim đồng hồ (hình 6.2).
Từ hình vẽ ta có:
Mx = Musina

(a)

My = Mucosa

tga =

Mx
My

Mx

z

a

x

My
M

y

Hình 6.2
6.2.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang
Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, ứng suất tại một điểm xác định có toạ độ (x,y) sẽ bằng tổng

ứng suất pháp do từng thành phần mômen uốn gây nên:
My

(b)

Mx
y
Jx

(c)

x
sz = sM
+ sz
z

mà

x
sM
=
z

y
Tương tự s M
=
z

Vậy s z =

My
Jy

(d)

x

My
Mx
y+
x
Jx
Jy

(6-1)

dấu của mỗi số hạng trong (6-1) phụ thuộc vào dấu của Mx, My, x và y
Để tránh sự nhầm lẫn về dấu người ta thường dùng công thức sau đây:

7


sz = ±

Mx
Jx

y±

My

Jy

(6-2)

x

Trong công thức này Mx, My, x, y đều lấy giá trị tuyệt đối, còn dấu sẽ chọn dương hay âm trước
mỗi số hạng tuỳ thuộc vào tác dụng của Mx và My gây nên kéo hay nén tại điểm đang xét.
6.2.3. Đường trung hòa
Đường trung hòa là tập hợp tất cả những điểm trên mặt cắt ngang có ứng suất pháp bằng khơng.
Vậy phương trình đường trung hồ được rút ra từ phương trình sz = 0 như sau:

y=-

My Jx
. .x
Mx Jy

(6-3)

Như vậy đường trung hoà là một đường thẳng đi qua trọng tâm mặt cắt
Nếu gọi b là góc tạo bởi đường trung hồ và trục x thì: tgb = -

My Jx
1 Jx
. =.
Mx Jy
tga J y

(6-4)

Từ đây ta có một số nhận xét về đường trung hồ
- Đường tải trọng và đường trung hồ khơng nằm cùng trong một góc phần tư của mặt cắt
- Đường trung hồ và đường tải trọng khơng vng góc với nhau

x

z

y
Duong trung hoa

b
a x
Duong tai trong

y
Hình 6.3
6.2.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
Để vẽ biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang ta có một số nhận xét sau đây:
-Tất cả những điểm cùng nằm trên một đường thẳng song song với đường trung hoà thì có trị số ứng
suất pháp như nhau.

8


Ta có thể chứng minh nhận xét trên như sau:
Giả sử ta có hai điểm (1) và (2) cùng nằm trên một đường song song với đường trung hồ có toạ độ: 1(x1,
y1), 2(x2,y2)
Vì đường thẳng 1-2 song song với đường trung hồ nên nó có phương trình

Hình 6.4

My
Mx
y+
x+C=0
Jx
Jy

(e)

Ở đây C là một hằng số xác định
Thay toạ độ điểm (1) và (2) vào phương trình (e) và chuyển số hạng C sang bên phải dấu (=) ta được:
My
ì (1) M x
y1 +
x 1 = -C
ïs z =
Jx
Jy
ï
í
ïs (2 ) = M x y + M y x = -C
2
2
ï z
Jx
Jy
ỵ

(f)

Vậy ứng suất tại hai điểm (1) và (2) bằng nhau
- Quy luật thay đổi của ứng suất pháp theo khoảng cách đến đường trung hoà là quy luật bậc nhất.
Với hai nhận xét trên, ta có thể vẽ biểu đồ ứng suất theo trình tự như sau:
- Xác định vị trí đường trung hịa và kéo dài ra khỏi mặt cắt
- Kẻ một đường thẳng vng góc với đường trung hòa làm đường chuẩn và lấy giới hạn mặt cắt
- Xác định hai điểm:
+ Điểm 1 là giao điểm của đường chuẩn với đường trung hòa
+ Điểm 2 là điểm biểu thị ứng suất ở 1 vị trí bất kì có s z(2) =
- Nối 2 điểm, đánh dấu, gạch biểu đồ.

9

M x (2) M y (2)
y +
x
Jx
Jy


K

smin

O

x

sK

dg

ng
tru

a
hị

smax

sz

y

Hình 6.5
Biểu đồ có dạng như hình 6.4. Từ biểu đồ ta có các điểm có ứng suất pháp lớn nhất là các điểm xa đường
trung hoà nhất về hai phía chịu kéo và chịu nén
My
ì k
Mx
s
=
y
+
xA
max
A
ï

Jx
Jy
ï
í
ïs n = M x y + M y x
ï max J x B J y B
ỵ

(6-5)

Với những thanh có mặt cắt ngang là hình chữ nhật, chữ I, chữ [ các điểm xa đường trung hồ nhất ln
ln nằm ở góc mặt cắt, với toạ độ lớn nhất (xmax, ymax) nên ứng suất pháp lớn nhất sẽ là:
ì
My
M
k
ïs max
=+ x +
Wx
Wy
ï
í
My
Mx
ï n
ïs max = Wx
Wy
ỵ

(6-6)

Biểu đồ ứng suất như ở hình 6.5
6.2.5. Điều kiện bền và ba bài toán cơ bản
a. Điều kiện bền
Với thanh chịu uốn xiên điểm nguy hiểm là điểm xa đường trung hoà nhất của các mặt cắt nguy
hiểm. Trạng thái ứng suất của các điểm nguy hiểm là trạng thái ứng suất đơn nên điều kiện bền sẽ là:
- Vật liệu dịn:
k
ì
ï s zmax £ [s ]k
í n
ï
ỵ s zmax £ [s ]n

(6-7)

- Vật liệu dẻo:
k
n
max s z £ [s ] trong đó max s z = max(s zm
ax , s zmax )
k
n
Cịn s zm
sẽ lấy theo cơng thức (6.5) hoặc (6.6) tùy theo dạng mặt cắt.
ax , s zmax

10

(6-8)

b, Ba bài toán cơ bản:
Từ điều kiện bền ( 6–7) và (6-8) ta có
Lưu ý rằng, riêng điều kiện bài tốn xác định kích thước mặt cắt ngang ta phải sử dụng phương
pháp đúng dần. Chẳng hạn trong bài toán dầm làm bằng vật liệu dẻo và mặt cắt đối xứng thì điều kiện
bền sẽ là.

Mx

-

Wx

+

My

£ [s ]

Wy

Rõ ràng bất đẳng thức này chứa 2 ẩn là Wx và Wy. Để thuận tiện ta có thể viết dưới dạng.
-

1
Wx

é
ù

Wx
M y ú £ [s ]
ê Mx +
Wy
êë
úû

Ta có thể giải bài tốn xác định kích thước mặt cắt ngang như sau:
Chọn tỉ số Wx , thay vào điều kiện bền ta rút ra được Wx
Wy
Từ Wx ta có thể chọn được kích thước hoặc số hiệu mặt cắt.
Với mặt cắt vừa chọn, kiểm tra lại điều kiện biền và thử dầm để chọn mặt cắt nhỏ nhất thỏa mãn
điều kiện bền.
Để chọn trước tỉ số Wx , với từng dạng mặt cắt ta có thể chọn trong khoảng sau:
Wy
- Với mặt cắt hình chữ nhật:
Wx h
=
Wy b

- Với mặt cắt hình chữ I:

Wx
= 8 ÷ 10
Wy
- Với mặt cắt hình [

Wx
= 5÷ 7
Wy

b. Ba bài tốn cơ bản
Từ điều kiện bền (6-7) và (6-8) ta cũng có ba bài tốn cơ bản, đó là bài tốn kiểm tra bền, bài tốn
tìm tải trọng cho phép và bài tốn tìm kích thước hay số liệu mặt cắt ngang của thanh mà nội dung và
cách giải cũng tương tự như các bài tốn cơ bản ở các chương trước.
Thí dụ 1: Kiểm tra bền một dầm chịu uốn xiên có sơ đồ chịu lực như hình 6.6. Biết q = 6kN/m; l
= 4m; góc j = 300' [s] = 160MN/m2; E = 2.105 MN/m2. Mặt cắt thanh chữ I, N020
Giải:

!
!
- Phân tích q thành 2 thành phần q x và q y trong đó qx = q.sin j qy = q.cosj

11


- Vẽ biểu đồ Mx và My như hình vẽ .
- Từ biểu đồ ta tháy mặt cắt ngang nguy hiểm là mặt cắt nằm ở chính giữa dầm có

Mx

max

=

q y .l 2

; My

8

max

q x .l 2
=
8

Điều kiện bền của vật liệu dẻo :
max s zmax =

Mx

max

Wx

+

My

max

Wy

£ [s ]

Tra bảng [ No20 có Wx =152 cm3 ; Wy = 20,5 cm3
Max |sz | =

q y .l 2
8Wx

+

q x .l 2
£ [s ]
8Wy

Thay số có Max |sz | = 36,45 KN/cm2
So sánh ta thấy Max |sz | =36,45 KN/cm2 > [ s ] =16 KN/cm2
Vậy dầm không đảm bảo điều kiện bền .

qx

q

j

q
qy
x

z
l/2

x

qy

y

l

qyl2
8

Mx

qx

qxl2
8

My
y

Hình 6.6
Thí dụ 2: Với dầm sơ đồ chịu lực như hình 6.6. Giả sử ta chưa biết trị số của tải trọng q. Xác định
giá trị cho phép của tải trọng [q] từ điều kiện bền. Các thông số cho như ở thí dụ 1.
Giải:

!
!
- Phân tích q thành 2 thành phần q x và q y trong đó qx = q.sin j, qy = q.cosj
- Vẽ biểu đồ Mx và My như hình vẽ .

12


- Từ biểu đồ ta thấy mặt cắt ngang nguy hiểm là mặt cắt nằm ở chính giữa dầm có

Mx

max

=

q y .l 2
8

; My

max

=

q x .l 2
8

Điều kiện bền của vật liệu dẻo :
max s z =

Mx

max

Wx

+

My

max

Wy

£ [s ]

Tra bảng [ No20 có Wx =152 cm3 ; Wy = 20,5 cm3
Max |sz | =

q y .l 2
8Wx

+

æ 3.l 2
q x .l 2
l2 ử
ữ
= qỗ
+
ỗ 16 Wx 16 Wy ữ
8Wy
ố
ứ

T iu kiện bền max s z £ [s ] ta rút ra
[q] =

[s ]

ổ 3.l 2
l2 ử
ỗ
ữ
+
ỗ 16 Wx 16 Wy ÷
è
ø

Thay số tính được :

[q ] =

16

(400)
3.(400)
+
16.152
20,5.16
2

2

= 265,8.10 -4 kN / cm

Thí dụ 3: Cho một dầm chữ I chịu uốn xiên như hình 6.7. Hãy xác định số hiệu mặt cắt từ điều
kiện bền biết: P = 10kN; l = 4m; j = 300; [s] = 16kN/cm2
P
Py

P
z
l/2

x

l/2

Py
Py l
4

Mx

Px

My
P yl
y

4

Hình 6.7

13

Px

x

y


Giải:
- Phân tích P thành 2 thành phần Pxvà Py trong đó Px = P.sin j ; Py = P.cosj
- Vẽ biểu đồ Mx và My như hình vẽ .
- Từ biểu đồ ta thấy mặt cắt ngang nguy hiểm là mặt cắt nằm ở chính giữa dầm có

Mx

max

=

Py .l
4

; My

=

max

Px .l
4

Điều kiện bền của vật liệu dẻo :

s zmax =

1 é
êMx
Wx ëê

max

Wx
My
Wy

+

Với mặt cắt chữ I ta chọn

Wx ³

é
êMx
ëê

max

+

Wx
= 9 khi đó ta có
Wy
ù
ú
max

ûú

Wx
My
Wy

[s ]

ù
ú £ [s ]
max
ûú

= 335,4cm 3

Tra bẳng chon thép chữ INo27 có Wx = 371 cm3, Wy = 41,5 cm3 .
Kiểm tra lại điều kiện bèn của thép chữ INo27 ta có
max s z =

Mx

max

Wx

+

My

max

Wy

= 14,4 KN / cm 2 £ [s ] = 16 KN / cm 2

Ta thấy maxsz nhỏ hơn nhiều so với [s] .
Ta chọ thép số hiệu nhỏ hơn INo24a có Wx = 317 cm3, Wy = 41,6 cm3 . nghiệm lại điều kiện bền
ta thấy max | sz | =14,7 KN/cm2 < [ s ]
Chọn tiếp số hiệu nhỏ hơn INo24 có Wx = 289 cm3, Wy = 34,5 cm3
ta thấy max | sz | =17,5 KN/cm2 > [ s ] =16 KN/cm2 là 8,6 % không thoả mãn điều kiện bền
Vậy số hiệu mặt cắt ngang cần tìm là IN024a
6.2.6 Độ võng trong uốn xiên
Ta gọi độ võng ở một mặt ngang của dầm là f thì theo nguyên lý cộng tác dụng, ta có:
!" !!" !!"
f = fx + f y
Về trị số:
f = f x2 + f y2

Trong đó: fx là độ võng theo phương x do My gây nên; fy là độ võng theo phương y do Mx gây nên mà ta
có thể xác định chúng riêng ra theo các phương pháp đã biết ở chương trước.
Điều kiện cứng: f max £ [f ]
Hoặc:

f max é f ù
£ê ú
l
ël û

14

6.3. UỐN VÀ KÉO NÉN ĐỒNG THỜI
6.3.1. Định nghĩa
Một thanh chịu uốn và kéo (nén) đồng thời là thanh mà trên mọi mặt cắt ngang của nó có mơmen
uốn Mu và lực dọc Nz

!
!
!
Trường hợp tổng quát : M u = M x + M y
thì nội lực trên mặt cắt ngang tồn tại 3 thành phần: Mx, My, Nz.
Trường hợp riêng chỉ tồn tại: Nz, Mx hoặc Nz, My
z
Nz
My

Mx

O

x
A (x,y)

y
Hình 6.8
6.3.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang
Theo nguyên lý cộng tác dụng, ứng suất tại một điểm trên mặt cắt ngang bằng tổng ứng suất do
ba thành phần nội lực Nz, Mx, My gây nên và bằng:

sz =

My
Nz Mx
+
y+
x
F
Jx
Jy

(6-11)

Để tránh nhầm dấu, ta cũng có thể sử dụng cơng thức kỹ thuật sau

sz = ±

Nz
F

±

Mx
Jx

y±

My
Jy

(6-11')

x

6.3.3. Đường trung hoà và biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
Từ định nghĩa về đường trung hồ ta có phương trình của nó là:

My
Nz Mx
+
y+
x=0
F
Jx
Jy
hay y = -

My Jx
N J
. x- z x
Mx Jy
MxF

(6-12)

Từ phương trình (6-12) ta thấy đường trung hồ là đường thẳng không đi qua trọng tâm mặt cắt.
Để vẽ biểu đồ ứng suất trên mặt cắt ngang ta cũng có hai nhận xét như các phần trước, cụ thể:
- Ứng suất pháp của những điểm có cùng khoảng cách đến đường trung hồ thì bằng nhau.
- Quy luật biến thiên của ứng suất pháp theo khoảng cách đến đường trung hoà là quy luật bậc nhất
Biểu đồ ứng suất được vẽ như hình (6.9).

15


Vì số hạng tự do

Nz
xó thể có trị số bất kỳ nên có thể xảy ra các trường hợp đường trung hịa
F

vượt ra khỏi diện tích mặt cắt, khi đó biểu đồ ứng suất chỉ có 1 miền, hoặc là kéo hoặc là nén như hình
(6.10).

x

z

t
Ma

t
ua
gs
n
u

y
Hình 6.9

O

snmax

x

ịa

dg

h
ng
u
tr

sz

y

skmax
Hình 6.10

dg

a
hị
g
n
tru

O

x

skmax

sz

Hình 6.11

16

y


Ứng suất pháp lớn nhất cũng phát sinh ở những điểm xa đường trung hoà nhất. Các trị số ứng suất lớn
nhất này có thể tính theo các cơng thức sau
My
ì k
Nz M x
+
yA +
xA
ïs max =
F
J
J
x
y
ï
í
ïs n =ài.

Hình 9.5
Để giảm ứng suất ở phía trong người ta thường tăng kích thước ngang của mặt cắt về phía tâm
cong, như các mặt cắt sau:

H×nh 9.6
9.3. XÁC ĐỊNH BÁN KÍNH CONG CỦA THỚ TRUNG HOÀ

79


Đối với mặt cắt ngang có hình dạng bất kỳ, ta dùng
cơng thức rth =

F
để tính bán kính cong của thớ trung
dF
ịF r

hồ.
9.3.1. Mặt cắt hình chữ nhật
Giả sử có mặt cắt hình chữ nhật có các cạnh h, b có
bán kính cong rmax = r1, rmin = r2
Tại bán kính r ta lấy dải diện tích dF theo phương
ngang với dF = b.dr
Diện tích mặt cắt F = b.h
Do đó từ (8-1) ta có:
rth =

b.h

r1

dr
r
r2

b.ị
rth =

hay

rth =

b.h
r
b. ln 1
r2

h
r
ln 1
r2

(8.3)

9.3.2. Mặt cắt hình trịn
Giả sử hình trịn đường kính d
Diện tích hình trịn F =

pd 2

, lấy một dải diện tích dF
4

theo phương ngang.
dF = b1.dr
Trong đó:

b r = d. cos j
d
r = r0 + sin j
2
d
d r = cos j.dj
2
d2
dF = cos 2 j.dj
2
Thay giá trị dF, F và r vào (8-1) ta được:

rth =

(

d2

4 2r0 - 4r02 - d 2

)

(8-4)

80


3.3. Mặt cắt hình thang
Giả sử hình thang có chiều cao h, đáy lớn và đáy nhỏ là b2, b1

F=

b1 + b 2
h
2

b r = b1 + (b 2 - b1 )

r1 - r
r1 - r2

dF = b r .dr
áp dụng cơng thức (8-1) ta tính được rth

b1 + b 2
.h
2
rth =
b 2 - b1 ù r1
é
b
+
r

ln - (b 2 - b1 )
1
1
ê
h úû r2
ë

(8-5)

Từ công thức (8-5) ta thấy:
- Khi b1 = b2 là mặt cắt hình chữ nhật. Công thức này trở về công thức (8-3)
- Khi b1 = 0; b = b2 tức là mặt cắt hình tam giác có đáy quay về phía tâm cong, lúc đó rth sẽ là:
rth =

b.h
b r
2r1 ln 1 - 2b
h r2

(8-6)

9.4. TÍNH THANH CONG CHỊU LỰC PHỨC TẠP
Trong thanh cong chịu lực phức tạp, nội lực gồm ba thành phần là lực dọc N, lực cắt Q và mômen
uốn M.
- Mômen uốn M sinh ra ứng suất pháp và ứng suất đó được tính theo cơng thức (8-2)
Gọi ứng suất phỏp do M gõy l s(M)
s(M) =

M ổ rth ử
ỗ1 - ÷

a.F è
r ø

- Lực dọc N cùng gây ra ứng suất pháp và có thể coi là phân bố đều trên mặt cắt
Gọi ứng suất pháp do N gây ra là s(N)

N
F
s = s (M ) + s ( N )
s( N) =

s=

(8-7)

N M ổ rth ử
+
ỗ1 - ữ
F a.F è
r ø

- Lực cắt Q chỉ gây ra ứng suất tiếp và không ảnh hưởng đến sự phân bố của ứng suất pháp.
Giá trị của ứng suất tiếp có thể được tính gần đúng theo cơng thức Durapski của thanh thẳng, với:

t=

Q.Scx
J x .b c

(8-8)

Trong đó Jx là mơmen quán tính của mặt cắt đối với trục x, trục y trùng với trục đối xứng của mặt cắt đi
qua tâm cong và x, y là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt.

81


Thí dụ 3: Xây dựng biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang của thanh có độ cong lớn. Mặt cắt
hình thang cân. Mơmen uốn M = 40kNm (căng các thớ phía ngồi), lực dọc N = 0
Giải: Gọi C là khoảng cách từ trọng tâm mặt cắt tới đáy lớn:
C=

h 2b1 + b 2 20 2.10 + 20
.
= .
= 8,89cm
3 b1 + b 2
3 10 + 20

Bán kính cong của trục thanh
r0 = r2 + C = 20 + 8,89 = 28,89cm

Từ công thức (8-5)

1
(10 + 20)20
2
rth =
= 27,79cm
20 - 10 ù 20

é
êë10 + 40. 20 úû ln 10 - (20 - 10)
a = ro - rth = 28,89 - 27,79 = 1,10cm

F=

10 + 20
.20 = 300cm 2
2

M ổ rth ử 4000 ổ 27,79 ử
ỗ1 - ữ =
ỗ1 ÷
a.F è
r ø 1,1.300 è
r ø
337
s = 12,12 r
s=

Với r = 40cm thì

s = 12,12 -

337
= 3,7 kN / cm 2
40

r = 35cm

s = 2,49kN/cm2

r = 30cm

s = 0,89kN/cm2

r = 25cm

s = -1,36kN/cm2

r = 20cm

s = -4,73kN/cm2

82


Sau khi có giá trị ứng suất ứng với mỗi bán kính r ta vẽ được biểu đồ ứng suất như hình 8.10b
Thí dụ 4: Tính ứng suất lớn nhất và bé nhất của móc cẩu như hình 8.11
Biết trọng lượng P = 150kN
Kích thước mặt cắt cho trên hình 8.11
Giải: Mặt cắt nguy hiểm nhất là mặt cắt AB. Vì tại
đó M và N đều có giá trị lớn nhất:
M = P.r0; N = P
Diện tích mặt cắt ngang F:

F = (8 + 3)
c=

12

= 66cm 2 = 66.10 -4 m 2
2

h 2b1 + b 2 12 6 + 8
.
= .
= 5,091cm
3 b1 + b 2
3 3+8

Bán kính cong rth

8+3
12
66
2
rth =
=
= 12,265cm
5 ử 20
(
3 + 8,333)(2,9957 - 2,0794) - 5
ổ
ỗ 3 + 20 ÷ ln - 5
12 ø 8
è
Do đó:
ro = r2 + c = 8 + 5,091 = 13,091cm
a = ro - rth \ 13,091 - 12,265 = 0,826cm
M = -P.ro = -150.103.0,1309 = -19,63.103Nm

N = P = 150.103N
Ứng suất pháp nén lớn nhất tại điểm B ở mép ngoài với
rmax = r1 = 20cm

s min = s (B ) =

(- 19,63).103 ổ1 - 12,265 ử
150.10 3
+
ỗ
ữ
20 ứ
66.10 -4 66.10 -4.82,6.10 -4 è

smin = -115,8MN/m2
Ứng suất pháp kéo lớn nhất tại điểm A với

83


rmin = r2 = 8cm

s max = s ( A) =

( -19,63) .103 ổ 1- 12,265 ử
150.103
+
66.10-4 66.10-4.82,6.10-4 ỗố
8 ữứ

smax = 213,6MN/m2
Chú ý: Về trị số a là rất nhỏ so với trị số của r0 và rth. Vậy cần tính chính xác trị số r0 và rth thì mới đảm
bảo kết quả chính xác của a.

Câu hỏi ơn tập
1.

Khi sử dụng phương pháp mặt cắt để vẽ biểu đồ nội lực cho thanh cong, có đặc điểm gì
khác khi vẽ biểu đồ nội lực cho thanh thẳng?

2.

Nêu rõ sự phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang thanh cong chịu uốn trạng thái phẳng.
Viết cơng thức và giải thích cơng thức tính ứng suất pháp trên mặt cắt ngang. Biểu đồ
phân bố ứng suất pháp và dạng mặt cắt hợp lý.

3.

Viết cơng thức và giải thích cơng thức xác định bán kính cong cảu thớ trung hịa cho
mặt cắt chữ nhật, mặt cắt trịn và mặt cắt hình thang.

4.

Trên mặt cắt ngang thanh cong chịu lực phức tạp tồn tại ứng suất gì? Cơng thức tính?
Trình bày điều kiện bền của thanh cong chịu lực phức tạp và cách giải ba bài toán cơ
bản.

BÀI TẬP
Bài 1.
Vẽ biểu đồ momen uốn, lực dọc và lực cắt của các thanh cong dưới đây.

P

M

=

Pr

P

a
45°
r

(b)

(a)
P

q = 200 N/m

a=
12
cm

(c)

84

P

Bài 2.
Xác định ứng suất lớn nhất về kéo và nén tại mặt cắt ngang nguy hiểm và ứng suất pháp tại điểm A
đã cho tại mặt cắt ngang nguy hiểm.
a

P

a
P
A-B

20

a
A

5

80

B
120

A

40

60

3

P= 2.10 N

P

r1 = 60 mm

Bài 3.
Một khuyên bằng gang mặt cắt trịn chịu lực như hình vẽ.
Xác định tải trọng cho phép biết: [s]k = 6 KN/cm2; [s]n = 10 KN/cm2; cho R = 16 cm; d = 8 cm.

P

d

A

B

R

Bài 4.
Một thanh cong mặt

q

P

cắt ngang chữ nhật chịu lực như hình vẽ.
Cho P = 6 KN; q = 12 KN/m; a = 16 cm

a

h 4
= ; [s] = 200 MN/m2.
b 3

a

b

Xác định kích thước mặt cắt ngang.
h

85


PHỤ LỤC
1. BẢNG TRA HỆ SỐ j
Độ mảnh l
Thép CT
2,3,4
0,99
0,96
0,94
0,92
0,89
0,86

0,81
0,75
0,69
0,6
0,52
0,45
0,4
0,36
0,32
0,29
0,26
0,23
0,21
0,19

10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150

160
170
180
190
200

Thép CT5
0,98
0,95
0,92
0,89
0,86
0,82
0,76
0,7
0,62
0,51
0,43
0,36
0,33
0,29
0,26
0,24
0,21
0,19
0,17
0,16

2. BẢNG TRA THEO VẬT LIỆU (
Vật liệu

Thép CT2, CT3, CT4
Thép CT5
Gỗ
Gang

lo

l

100
100
70
80

70
72
40
30

Trị số j đối với
Thép hợp
kim
1
0,95
0,91
0,87
0,83
0,79
0,72
0,65

0,55
0,43
0,35
0,3
0,26
0,23
0,21
0,19
0,17
0,15
0,14
0,13

lo, l1, E, a, b )
E
( KN/cm2)
2.104
2.104
103
1,5.104

3. TRA HỆ SỐ µ

86

Gang

Gỗ

1

0,91
0,81
0,69
0,54
0,44
0,34
0,26
0,2
0,16

1
0,97
0,93
0,87
0,80
0,71
0,6
0,48
0,38
0,31
0,25
0,22
0,18
0,16
0,14
0,12
0,11
0,10
0,09
0,08

a
( KN/cm2)
31
46,4
3,68
77,6

b
( KN/cm2)
0,114
0,326
0,0265
0,415