Chuyen de tong quat ve Dao dong dieu hoa

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (309.47 KB, 43 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHUYÊN ĐỀ – DAO ĐỘNG CƠ
CHỦ ĐỀ: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

♦ CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Xác định các đại lượng thường gặp trong dao động điều hịa.
Ví dụ 1: Cho các phương trình dao động điều hòa như sau:

x 5cos 4 t
6


 

    

  (cm). b.

x 5cos 2 t
4


 

    
  (cm)

c. x 5cos t

 

 (cm). d.

x 10sin 5 t
3


 

    

  (cm)

Xác định A, ω, φ, f, T của các dao động điều hịa đó ?
Hướng dẫn giải:

x 5cos 4 t
6


 

    

  (cm)

- Biên độ: A = 5 (cm).
- Tần số góc: ω = 4π (rad/s).

- Pha ban đầu: 6



rad





 

- Tần số:





2 f f 2 Hz

2 2

 

      

  .

- Chu kì:

 

1 1

T 0,5 s

f 2
  

x 5cos 2 t
4


 

    
  (cm)

Vì biên độ A > 0 nên phương trình dao động điều hịa được viết lại:
5

x 5cos 2 t 5cos 2 t

4 4

 

   

          

    (cm)

- Biên độ: A = 5 (cm).
- Tần số góc: ω = 2π (rad/s).

- Pha ban đầu:





rad
4


 

- Tần số:





f 1 Hz

2 2

 

  

  .

- Chu kì:

 

1 1

T 1 s

f 1

  

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

c. x5cos t

 

 5cos t



  



(cm)
- Biên độ: A = 5 (cm).

- Tần số góc: ω = π (rad/s).
- Pha ban đầu:  



rad



- Tần số: f 2 2 0,5 Hz





 

  

  .

- Chu kì:

 

1 1

T 2 s

f 0,5

  

x 10sin 5 t
3


 

    

  (cm)

- Biên độ: A = 10 (cm).
- Tần số góc: ω = 5π (rad/s).

- Pha ban đầu: 3



rad




 

- Tần số:





f 2,5 Hz

2 2

 

  

  .

- Chu kì:

 

1 1

T 0,4 s

f 2,5

  

Ví dụ 2: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình

x 6cos 4 t
6


 

    

 , trong
đó x tính bằng cm, t tính bằng s. Xác định li độ, vận tốc và gia tốc của chất điểm khi

 

t 0,25 s .
Hướng dẫn giải:
Khi t = 0,25 s thì:

- Li độ của chất điểm:





x 6cos 4 .0,25 6cos 6cos 6. 3 3 cm

6 6 6 2

  

   

           

   

- Vận tốc của chất điểm:





v x ' Asin t 24 sin 24 .sin 12 37,68

6 6

 

 

              

 

(cm/s).

- Gia tốc của chất điểm:





2 2 2 3 2

a v' Acos t 16 .6cos 96 . 48 3 820,5

6 2

 



 

                

   

(cm/s2).

Hoặc:





2 2

a   x 16 . 3 3  820,5

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Ví dụ 3: Một vật nhỏ có khối lượng 100 g dao động điều hòa trên quỹ đạo thẳng dài 20
cm, với tần số góc 6 rad/s. Tính tốc độ cực đại và gia tốc cực đại của vật.

Hướng dẫn giải:

- Biên độ dao động của vật:





A 10 cm

2 2
  

- Tốc độ cực đại của vật: vmax A 6.10 60 cm/s 





0,6 m/s





- Gia tốc cực đại của vật: amax 2A 6 .10 360 cm/s 2 





3,6 m/s





Ví dụ 4: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 40 cm. Khi vật ở vị trí có li độ 10
cm vật có vận tốc 20 3 cm/s. Tính tốc độ cực đại và gia tốc cực đại của vật.

Hướng dẫn giải:

- Biên độ dao động của vật:





A 20 cm

2 2
  
Tìm ω = ?

Từ hệ thức độc lập với thời gian:





2 2

2 2 2 2 2

v v 20 3

x A 2 rad/s

A x 20 10



       

  

- Tốc độ cực đại của vật: vmax A 2 .20 40 cm/s   





- Gia tốc cực đại của vật: amax 2A 4 .20 80 2  2



cm/s2



Ví dụ 5: Một chất điểm dao động điều hịa với chu kì 0,314 s và biên độ 8 cm. Tính vận
tốc của chất điểm khi nó qua vị trí cân bằng và khi nó qua vị trí có li độ 4 cm.

Hướng dẫn giải:
- Tìm ω = ?





2 2

20 rad/s
T 0,314

 

   

- Khi vật qua vị trí cân bằng thì vận tốc của vật đạt giá trị cực đại:





max

v A20.8160 cm/s
- Khi vật qua vị trí có li độ x = 4 cm thì:





2 2 2 2 2 2

x  A  v A  x 20. 8  4 139 cm/s


Ví dụ 6: Một chất điểm dao động điều hịa theo phương trình x 2,5cos10t (cm). Vào
thời điểm nào thì pha dao động đạt giá trị 3



. Khi đó, li độ, vận tốc, gia tốc của vật bằng
bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải:
Pha dao động là 3



, ta suy ra: 10t 3 t 30

 

 

  

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

- Li độ của vật là:





x 2,5cos 10. 2,5.cos 1,25 cm

30 3

 

   

     

   

- Vận tốc của vật là:





25 3









v x ' Asin t 10.2,5.sin 10. 25.sin cm/s 22 cm/s

30 3 2

 

   

            

   

- Gia tốc của vật là:









2 2 1 2

a v' Acos t 10 .2,5.cos 250. 125 cm/s

3 2



        

Ví dụ 7: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x 5cos 4 t



  



(cm). Vật đó
qua vị trí cân bằng theo chiều dương vào những thời điểm nào ? Khi đó độ lớn vận tốc
bằng bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải:

Khi vật qua vị trí cân bằng thì x = 0

nên:









5cos 4 t 0 cos 4 t cos 4 t

2 2

 

 

              

 

Vì vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương nên v > 0
3

4 t k2 t 0,5k

2 8



         

với k Z

Khi đó: vmax A 4 .5 20 cm/s   





Ví dụ 8: Một vật nhỏ có khối lượng m = 50 g, dao động điều hịa với phương trình
x 20cos 10 t



 

    

  (cm). Xác định độ lớn và chiều của các vectơ vận tốc, gia tốc và
lực kéo về tại thời điểm t = 0,75T. Lấy  2 10.

Hướng dẫn giải:

Lúc

 

2 2

t 0,75T 0,75. 0,75. 0,15 s
10

 

   

  thì:

Vận tốc của vật là:





v x ' Asin t 10 .20.sin 10 .0,15 120 .sin 2 0
2



 

              

  (cm/s).

Gia tốc của vật là:













2 2 2 2

a v'  Acos    t 100 .20.cos2  20000 cm/s 200 m/s

Lực kéo về:





 

F ma 0,05. 200   10 N

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Ví dụ 9: Một vật dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ 2 cm và chu kì là
0,2 s. Tính độ lớn gia tốc của vật khi nó có vận tốc 10 10 cm/s. Lấy  2 10.

Hướng dẫn giải:

Ta có:





2 2

10 rad/s
T 0,2

 

    

Ta chứng minh công thức:

2 2

2 4

v a
A

 

 

Giả sử vật dao động điều hòa theo phương trình x Acos



  t



thì:

























2 2 2 2

2 2 4 2 2 2 2 2

v A sin t (1)

v Asin t v A sin t

a Acos t a A cos t A cos t (2)

   



        

 

  

 

  

            

  

 



Lấy (1) cộng (2), ta được:





2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

v   A  a   A  v  a  A  v  10 100 .2 1000 










2 2 2

a 10 2000 1000 10 10 10 100 1000 cm/s 10 m/s

         

Ví dụ 10: Một vật dao động điều hịa với phương trình

x 20cos 10 t
2


 

    

  (cm). Xác
định thời điểm đầu tiên vật qua vị trí có li độ x = 5 cm theo chiều ngược với chiều
dương kể từ thời điểm t = 0.

Hướng dẫn giải:

Ta có:





20cos 10 t 5 cos 10 t cos 0,42

2 2 4

 

   

         

   

   

Vì v < 0 nên 10 t 2 0,42 k2


      t 0,008 0,2k

   với k Z .

Vì t > 0 nên vật qua vị trí có li độ x = 5 cm lần đầu tiên ứng nghiệm dương nhỏ nhất
trong họ nghiệm này là k = 1.

Vậy t = 0,192 s.

Ví dụ 11: Một vật dao động điều hịa với phương trình

x 4cos 10 t

3


 

    

  (cm). Xác
định thời điểm gần nhất vận tốc của vật bằng 20 3 cm/s và tăng kể từ lúc t = 0.

Hướng dẫn giải:
Ta có:

v x ' 40 sin 10 t
3


 

      

 

20 3 40 sin 10 t 20 3 40 cos 10 t

3 6

 

   

              

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

3
cos 10 t cos

6 2 6

 

   

       

   

Vì v tăng nên:

10 t k2 t 0,2k

6 6 30

 

       

với k Z

Vì t > 0 nên thời điểm gần nhất là

 

1
t s

6


.
Dạng 2: Viết phương trình dao động điều hịa.
♦ Phương pháp:

- Chọn trục tọa độ Ox.

- Gốc tọa độ O tại vị trí cân bằng.
- Chiều dương …

- Gốc thời gian …

• Phương trình dao động điều hịa của vật có dạng: x Acos



  t



• Phương trình vận tốc của vật: x  Asin



  t



1. Xác định tần số góc ω:
2
2 f

T

   

N


với N là số dao động toàn phần mà vật thực hiện được trong thời
gian t.

- Nếu con lắc lò xo:

k
m
 

với k (N/m); m (kg).

- Nếu con lắc đơn:

g
 



- Khi độ dãn của lị xo ở vị trí cân bằng ∆ℓ:

k g

k. mg

     





- Hệ thức độc lập: 2 2

v
A x
 


2. Xác định biên độ dao động:

+ A2


với ℓ là chiều dài quỹ đạo.

+ Nếu đề bài cho chiều dài lớn ℓmax và chiều dài nhỏ nhất của lò xo ℓmin thì:

max min

2


 

+ Nếu đề cho li độ x ứng với vận tốc v thì:

2
2

v
A x 

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

+ Nếu đề cho vận tốc v và gia tốc a thì:

2 2

2 4

v a
A  

 

+ Nếu đề cho tốc độ cực đại thì:

max

A


+ Nếu đề cho gia tốc cực đại thì:

max
2

a
A 


+ Nếu đề cho lực hồi phục cực đại thì:

max
max

F
F kA A=

 

+ Nếu đề cho năng lượng dao động thì:

1 2W

W kA A

2 k

  

3. Xác định pha ban đầu φ (dựa vào điều kiện ban đầu):
Dựa vào điều kiện ban đầu của bài toán t = 0

x Acos
v Asin

 



 


 


• Chú ý:

• Khi thả nhẹ hay bng nhẹ vật thì v = 0, khi đó A = x.

• Khi vật đi theo chiều dương thì v > 0, theo chiều âm thì v < 0.
• Pha dao động là



  t



•

sin cos
2


 

    

 

• cos



   



cos

Ví dụ 12: Một con lắc lị xo dao động với biên độ A = 5 cm với chu kì T = 0,5 s. Viết
phương trình dao động của con lắc trong các trường hợp sau:

a. Lúc t = 0, vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
b. Lúc t = 0, vật ở vị trí biên.

c. Lúc t = 0, vật có li độ 2,5 cm theo chiều dương.
Hướng dẫn giải:

Phương trình dao động điều hịa của vật có dạng: x Acos



  t



Phương trình vận tốc là: v Asin



  t



a. Lúc t = 0, vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.





2 2

4 rad/s
T 0,5

 

    

Chọn t = 0 lúc x = 0 và v > 0, khi đó:
0 Acos cos 0

Asin 0 sin 0 2

   

  

   

 

     

 

Vậy phương trình dao động điều hòa của vật là:

x 5cos 4 t
2


 

    

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

b. Lúc t = 0, vật qua vị trí có li độ 5 cm theo chiều dương.
• Trường hợp 1: Vật ở vị trí biên dương.

Chọn t = 0 lúc x = A và v = 0, khi đó:
5 5cos cos 1

0
Asin 0 sin 0

   

 

   

 

     

 

Vậy phương trình dao động điều hịa của vật là: x 5cos 4 t







(cm)
• Trường hợp 2: Vật ở vị trí biên âm.

Chọn t = 0 lúc x = A và v = 0, khi đó:

5 5cos cos 1
Asin 0 sin 0

    

 

   

 

     

 

Vậy phương trình dao động điều hòa của vật là: x 5cos 4 t



  



(cm)
c. Lúc t = 0, vật có li độ 2,5 cm theo chiều dương.

Chọn t = 0 lúc x = 2,5 cm và v > 0, khi đó:
1

2,5 5cos cos
2

Asin 0 sin 0 3



   

  

   

 

   

   



Vậy phương trình dao động điều hịa của vật là:

x 5cos 4 t
3


 

    

  (cm)

Ví dụ 13: Một con lắc lị xo dao động điều hịa với chu kì T = 1 s. Lúc t = 2,5 s vật qua
vị trí có li độ x5 2 cm và vận tốc v10 2 cm/s. Viết phương trình dao động
điều hịa của con lắc.

Hướng dẫn giải:

Phương trình dao động điều hịa có dạng: x Acos



  t



Phương trình vận tốc: v Asin



  t



Ta có:





2 rad/s
T


   
Tìm A = ?

















2 2

2 2

2
2

10 2
v

A x 5 2 50 50 100 A 10 cm

2
 

         

 

Chọn t = 2,5 s lúc x5 2 cm và v10 2 cm/s, khi đó:
5 2 10cos (1)

10 2 20 sin (2)

  




    




Lấy (2) chia (1), ta được:

2 tan 2 tan 1

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Vậy phương trình dao động điều hịa:

x 10cos 2 t

4


 

    

  (cm)

Ví dụ 14: Vật dao động điều hòa với tần số f = 0,5 Hz. Tại t = 0, vật có li độ x = 4 cm và
vận tốc v = +12,56 cm/s. Viết phương trình dao động của vật.

Hướng dẫn giải:

Phương trình dao động điều hịa của vật có dạng: x Acos



  t



Phương trình vận tốc: v Asin



  t



Tìm ω = ?

Ta có:     2 f 2 .0,5



rad/s



Chọn t = 0 lúc x = 4 cm và v = +12,56 cm/s, khi đó:

4 Acos Acos 4

Asin 12,56 Asin 4 4

   

  

   

 

     

 

Từ (1), ta suy ra:





4 4

A 4 2 cm

2
cos

4 2

  



 



 

 

Vậy phương trình dao động điều hòa:

x 4 2cos t
4


 

   

  (cm)

Ví dụ 15: Một vật dao động điều hịa thực hiện 10 dao động trong 5 s, khi vật qua vị trí
cân bằng nó có vận tốc 20π cm/s. Chọn chiều dương là chiều lệch của vật, gốc thời gian
lúc vật qua vị trí có li độ x 2,5 3 cm và đang chuyển động về vị trí cân bằng. Viết
phương trình dao động của vật.

Hướng dẫn giải:

Phương trình dao động của vật có dạng: x Acos



  t



Phương trình vận tốc của vật: v Asin



  t



Chu kì dao động của vật:

 

t 5

T 0,5 s

n 10

  

Tần số góc của vật:





2 2

4 rad/s
T 0,5

 

    

Khi vật qua vị trí cân bằng thì vận tốc của vật cực đại nên:





max
max

v 20

v A A 5 cm

4


    

 

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

3
2,5 3 5cos cos

6
Asin 0 sin 0



     

 

   

 

   


   



Vậy phương trình dao động của vật là:

x 5cos 4 t
6


 

    

  (cm)

Ví dụ 16: Con lắc lị xo gồm quả cầu có khối lượng 300 g, lị xo có độ cứng 30 N/m treo
vào một điểm cố định. Chọn gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, chiều dương hướng xuống, gốc
thời gian là lúc vật bắt đầu dao động. Kéo quả cầu xuống khỏi vị trí cân bằng 4 cm rồi
truyền cho nó một vận tốc ban đầu 40 cm/s hướng xuống. Viết phương trình dao động
của vật.

Hướng dẫn giải:

Phương trình dao động của vật có dạng: x Acos



  t



Phương trình vận tốc của vật: v Asin



  t



Ta có:





k 30

10 rad/s
m 0,3

   

Tìm A = ?

Từ hệ thức độc lập:





2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

v v 40

A x A x 4 4 2 cm

       

 

Chọn t = 0 lúc x = 4 cm và v = 40 cm/s, khi đó:
2

cos

4 4 2cos 2

40 40 2 sin 2

sin

2


 


   

 

   

 

 

 

  





Vậy phương trình dao động của vật là:

x 4 2cos 10t
4


 

   

  (cm)

Dạng 3: Xác định li độ, vận tốc, gia tốc và lực hồi phục ở một thời điểm hay ứng với
pha đã cho.

♦ Phương pháp:

Muốn xác định x, v, a và Fhp ở một thời điểm hay ứng với pha đã cho ta chỉ cần
thay t hay pha đã cho vào các biểu thức của x, v, a.

- Biểu thức của li độ: x Acos



  t



- Biểu thức của vận tốc: v x '  Asin



  t



- Biểu thức của gia tốc: a v'  2Acos



  t



- Nếu đã xác định được x ta sẽ xác định được a và Fhp như sau:

a   x và Fhp  kxm x2

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

+ Nếu v > 0; a > 0; Fhp > 0: vận tốc, gia tốc, lực hồi phụ cùng chiều với
chiều dương của trục tọa độ.

+ Nếu v < 0; a < 0; Fhp < 0: vận tốc, gia tốc, lực hồi phụ ngược chiều với
chiều dương của trục tọa độ.

Ví dụ 17: Một một có khối lượng m = 100 g dao động điều hòa theo phương trình
x 5cos 2 t

6


 

    

  (cm). Lấy  2 10. Xác định li độ, vận tốc, gia tốc, lực hồi phục

trong các trường hợp sau:
a. Ở thời điểm t = 5 s.
b. Pha dao động là 1200.
Hướng dẫn giải:

a. Ở thời điểm t = 5 s.

- Li độ:





x 5cos 2 .5 5cos 5. 2,5 3 cm

6 6 2

 

 

      

 

- Vận tốc:





v 10 sin 2 .5 10 sin 5 cm/s

6 6

 

 

         

 

- Gia tốc: a  2x 4 .2,5 32 100 3 cm/s





- Lực hồi phục: Fhp m x2 0,1.40.2,5 3.10 2 0,1 3 N

 



   

b. Khi pha dao động 1200.





120 t

2 6
 

 

      

 

- Li độ:





x 5cos 5sin 2,5 cm

2 6 6

  

 

     

 

- Vận tốc:





v 2 .5sin 10 cos 5 3 cm/s

2 6 6

  

 

       

 

- Gia tốc:









2 2

a   x40. 2,5 100 cm/s

- Lực hồi phục:





 

2 1 2

F m x 10 .4.10. 2,5.10  0,1 N

    

Ví dụ 18: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x 4cos 4 t







(cm). Tính tần
số dao động, li độ và vận tốc của vật sau khi nó bắt đầu dao động được 5 s.

Hướng dẫn giải:

- Tần số dao động của vật:





2 f f 2 Hz

2 2

 

      

 

- Li độ dao động của vật sau khi vật dao động được 5 s:









x 4cos 4 .5  4cos20 4 cm

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

O A x

M
A/2













v x '  Asin     t 4 .4.sin 4 .5 16 .sin 20  0 cm/s
Dạng 4: Xác định thời gian ngắn nhất vật đi qua li độ x1 đến x2:

♦ Phương pháp:

Ta dùng mối liên hệ giữa dao động điều và chuyển động trịn đều để tính.

- Khi vật dao động điều hịa từ x1 đến x2 thì tương ứng với vật chuyển động tròn
đều từ M đến N.

• Chú ý: x1 là hình chiếu của M lên trục Ox.

x2 là hình chiếu của N lên trục Ox.

- Thời gian ngắn nhất vật đi từ x1 đến x2 bằng thời gian vật chuyển động tròn đều từ M
đến N là:



MN 0

MON

t t .T

360

  

hoặc



MON

t t .T

  


Tổng quát: t 2 T


 


- Khi vật đi từ x = 0 đến

A
x

2


thì
T
t

12


- Khi vật đi từ

A
x

2


đến x = A thì
T
t

6


- Khi vật đi từ x = 0 đến

A 2
x

2


hoặc

A 2
x

2


đến x A thì

T
t

8


- Vật 2 lần liên tiếp qua

A 2
x

2


thì
T
t

4


- Vận tốc trung bình của vật dao động lúc này: tb
s
v

t



 (∆s tính như dạng 3)
Ví dụ 19: Một vật dao động điều hịa với phương trình x Acos



  t



. Tính

a. Thời gian vật đi từ vị trí cân bằng đến

A
x

2


b. Thời gian vật đi từ vị trí

A 3
x

2


đến

A
x

2


theo chiều dương.
c. Tính vận tốc trung bình của vật trong câu a.

Hướng dẫn giải:

a. Thời gian vật đi từ vị trí cân bằng x = 0 đến

A
x

2

ứng với vật chuyển động trịn đều từ M đến N.
Khi đó, quỹ đạo của vật quét được một góc là:

 2 T

MON t t t

T 2

 

     

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

O x

A/2

mà:

 

A
1
2

cosNOx cos NOx

A 2 3 3

 

    

2 3 6

  

    

Vậy:

T 6 T

2 2 12




  

 

b. Thời gian vật đi từ vị trí

A 3

2


đến

A
x

2


Khi vật đi từ vị trí

A 3
x

2


đến

A
x

2


tương ứng với vật
chuyển động tròn đều từ M đến N.


MON

3 6 2

  

  

Vậy:

T
2

t T T

2 2 4




  

 

c. Vận tốc trung bình khi vật đi từ x = 0 đến

A
x

2


s 2 6A
v

t T

  

Dạng 5: Xác định thời điểm vật qua vị trí li độ x0 có vận tốc v0.
♦ Phương pháp:

Phương trình li độ của vật có dạng: x Acos



  t



Phương trình vận tốc của vật: v Asin



  t



1. Khi vật qua vị trí có li độ x0 thì:









x Acos t cos t cos

          

t k2

      

2
t    k

  

  (t > 0)
• Với k N khi    0

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

-A A x

A/2
M

O
N

Khi có điều kiện của vật thì ta loại bớt một nghiệm t.
2. Khi vật có vận tốc v0 thì:









v Asin t sin t sin

           







t k2

     


 

        


t k

   


 

  

 

     

  

  


• Với k N khi

0
0
   




     


• Với k N * khi

0
0
   




     


Ví dụ 20: Một vật dao động điều hịa theo phương trình x 8cos2 t  (cm). Kể từ t = 0
vật qua vị trí cân bằng lần thứ nhất tại thời điểm ?

Hướng dẫn giải:
Ta có:

1 1
0 8cos2 t cos2 t 0 2 t k t k

2 4 2



            

với k N
Vì t > 0 nên k = 0, 1, 2, 3, ...

Vật qua vị trí cân bằng lần thứ nhất ứng với k = 0

 

1
t s

 

Ví dụ 21: Một vật dao động điều hịa theo phương trình

x 4cos 4 t
6


 

    

  ( x tính
bằng cm và t tính bằng s). Kể từ t = 0, vật qua vị trí x = 2 cm lần thứ ba theo chiều

dương vào thời điểm nào ?

Hướng dẫn giải:

Vật qua vị trí x = 2 cm theo chiều dương nên v > 0, ta có 2 điều kiện:
1

2 4cos 4 t cos 4 t

x 2 6 6 2

4 t k2

v 0 6 3

24 sin 4 t 0 sin 4 t 0

6 6

 

     

        

 



        

       

  

    

         

   

     

 

1 1

t k

8 2

  

với k = 1, 2, 3, 4, ...

Vật qua vị trí x = 2 cm lần thứ ba ứng với k = 3

 

1 1 1 3 11

t .3 s

8 2 8 2 8

     

Cách 2: Sử dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều với dao động điều hòa.
Lúc t = 0 vật ở vị trí có li độ là





4 3

x A cm

 

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

-A A x

A/2
M

O
N

vật ở vị trí M.

Vật qua vị trí x = 2 cm theo chiều dương tức là qua điểm P
Vật qua điểm P lần thứ ba ứng với góc quét là:







2.2 2 MOP

     

với

MOP

6 3 2

  

  

Vậy,

3 11

4 2 4

2 2 2

  

 

         

 

Thời điểm vật qua vị trí x = 2 cm lần thứ ba là:

 

11
2

t s

4 8




  

 

Ví dụ 22: Một vật dao động điều hịa theo phương trình

x 4cos 4 t
6


 

    

  ( x tính
bằng cm và t tính bằng s). Kể từ t = 0, vật qua vị trí x = 2 cm lần thứ 2009 vào thời điểm
là bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải:
Ta có:

2 4cos 4 t cos 4 t cos 4 t k2

6 6 2 3 6 3

    

     

                

     

1 1

4 t k2 t k

6 3 24 2

1 1

t k

4 t k2

8 2
6 3

 

 

      

 

   

 

        



 



Vật qua vị trí x = 2 cm lần thứ 2009 ứng với k = 1004 ở nghiệm trên.

Vậy

 

1 1 1 12049

t .1004 502 s

24 2 24 24

    

Cách 2: Sử dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều với dao động điều hòa.
Lúc t = 0 vật ở vị trí có li độ





A 3 4 3

x cm

2 2

 

Mỗi chu kì (1 vịng) vật qua vị trí x = 2 cm là 2 lần

Qua vị trí x = 2 cm lần thứ 2009 thì vật phải quay 1004 vòng
rồi tiếp tục đi từ M đến N, tức góc quét là:

12049
1004.2 2008

6 6 6

  

       

Suy ra:

 

12049

12049
6

t s

4 24




  

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Ví dụ 23: Một vật dao động điều hịa theo phương trình

x 10cos 2 t
2


 

    

  (cm). Tìm
thời điểm vật qua vị trí có li độ x = 5 cm lần thứ hai theo chiều dương.

Hướng dẫn giải:
Ta có:

1
5 10cos 2 t cos 2 t cos

2 2 2 3

  

     

             

     

t k

2 t k2

5
2 3

t k

12


 



 

       

  

 với k Z và t > 0  k = 1, 2, 3, ...

Vì qua vị trí x = 5 cm theo chiều dương nên v > 0

Khi đó,

20 sin 2 t 0
2


 

     

  . Để thỏa mãn điều kiện v > 0, ta chọn:
5

t k

 

Vật qua vị trí x = 5 cm lần thứ hai nên k = 2

Vậy:

 

5 19

t 2 s

12 12

  

Ví dụ 24: Vật dao động điều hịa theo phương trình x 5cos t

 

 (cm) sẽ qua vị trí cân
bằng lần thứ ba (kể từ lúc t = 0) vào thời điểm nào ?

Hướng dẫn giải:

Ta có: 0 5cos t

 

cos t

 

0 t 2 k


         

t k

  

với k Z

Vì t > 0 nên k = 0, 1, 2, 3, ...

Vật qua vị trí cân bằng lần thứ ba ứng với k = 2

Vậy

 

t 2 2,5 s
2

  

Ví dụ 25: Một chất điểm dao động điều hịa theo phương trình

2
x 4cos t

3



(x tính
bằng cm và t tính bằng s). Kể từ t = 0, chất điểm qua vị trí có li độ x2 cm lần thứ
2011 tại thời điểm ?

Hướng dẫn giải:
Ta có:

2 2 1 2

2 4cos t cos t cos

3 3 2 3

   

      

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

t 1 3k

2 2

t k2

t 1 3k

3 3

 


 

     

 

 với k Z

Với k = 0 thì vật qua vị trí x = 2 cm lần thứ nhất tại thời điểm t = 1 s

Với k = 1 thì vật qua vị trí x = 2 cm lần thứ hai và ba tại thời điểm 2 s và 4 s

Vậy vật qua vị trí x = 2 cm lần thứ 2011 ứng với k = 1005

Suy ra, t = 1 + 3.1005 = 3016 s.

Ví dụ 26: Một vật dao động điều hịa theo phương trình

x 10cos 10 t
2


 

    

  (cm). Xác
định thời điểm vật qua vị trí x = 5 cm lần thứ 2008.

Hướng dẫn giải:
Ta có:

1
5 10cos 10 t cos 10 t cos

2 2 2 3

  

     

             

     

1 1

10 t k2 t k

2 3 60 5

10 t k2

5 1
2 3

10 t k2 t k

2 3 60 5

 

 

      

 

 

         

 

        

 

  với k Z

Vì t > 0 nên khi vật qua vị trí x = 5 cm lần thứ 2008 ứng với k = 1004

Vậy

 

1 1 1 1004 12047

t k 201 s

60 5 60 5 60

     

Dạng 6: Tính quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian đã cho.
♦ Phương pháp:

- Phương trình dao động của vật có dạng: x Acos



  t



- Phương trình vận tốc của vật: x  Asin



  t



• Tính số chu kì dao động từ thời điểm t1 đến t2:

2 1

t t m

N n

T T



  

với
2
T 


• Xét trong 1 chu kì:

+ Vật đi được quãng đường là: 4A

+ Vật đi qua 1 vị trí (li độ) bất kì là 2 lần.
- Nếu m = 0 thì:

+ Quãng đường mà vật đi được trong số chu kì đó là: ST = 4nA
+ Số lần vật qua vị trí bất kì x0 là: MT = 2n

- Nếu m ≠ 0 thì:

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

O
N

x
M

Sau đó vẽ hình của vật trong phần lẽ
m

T chu kì rồi dựa vào hình vẽ để tính Slẽ và số lần
Mlẽ vật đi qua vị trí x0 tương ứng.

- Khi đó: + Qng đường mà vật đi được là: S = ST + Slẽ
+ Số lần vật qua x0 là: M = MT + Mlẽ

Ví dụ 27: Một vật dao động điều hịa theo phương trình

x 4cos 2 t
3


 

    

  (x tính bằng
cm và t tính bằng s). Tính quãng đường mà vật đi được trong thời gian 3,75 s.

Hướng dẫn giải:

Chu kì dao động của vật:

 

2 2

T 1 s

 

  

 

Khoảng thời gian 3,75 s ứng với



3T 0,75 s

  

- Quãng đường mà vật đi được trong 3 chu kì là: S3T = 4nA = 4.3.4 = 48 (cm)
- Quãng đường mà vật đi được trong thời gian 0,75 s.

0,75s

S MO ON NO OP MO 4 4 OP      

Với:





MO 1

cos MO Acos 4. 2 cm

3 A 3 2

 

    





OP 3

cos OP Acos 4. 2 3 cm

6 A 6 2

 

    





0,75s

S 2 4 4 2 3 10 2 3 cm

      

Vậy tổng quãng đường mà vật đi được trong thời gian 3,75 s là:





3T 0,75s

S S S 48 10 2 3 61,5 cm  

♦ DẠNG BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân 
bằng thì tốc độ của nó là 20 cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc của nó
có độ lớn là 40 3 cm/s2. Biên độ dao động của chất điểm là bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải:

- Khi chất điểm qua VTCB thì tốc độ của nó đạt giá trị cực đại  vmax A 20 cm/s





- Đề bài cho: khi v 10 cm/s





thì a 40 3 cm/s





Từ công thức:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

max

2 4 2 2

v a a a

A    A  v   v v 

   









2 2

2 2 2 2 2

max

40 3

a 3.40

4 rad/s
v v 20 10 3.10

     

 

mà:





max
max

v 20

v A A 5 cm

    

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

O x
A/2

O A

x
-A/2

Bài 2: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ 10 cm, chu kì bằng 2 s.
Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Tốc độ trung bình trong khoảng thời ngắn nhất khi chất

điểm đi từ vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng đến vị trí có động năng bằng
1
3 lần
thế năng là bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải:

- Cơ năng của vật dao động điều hòa: W W đ Wt

- Vị trí vật có động năng bằng 3 lần thế năng:

2 2 2

t t

1 1 A A

W 3W W kA 4. kx x x

2 2 4 2

       

- Vị trí vật có động năng bằng
1

3 lần thế năng:

2 2 2

t t t

1 4 1 4 1 3A A 3

W W W W W kA . kx x x

3 3 2 3 2 4 2

         

Thời ngắn nhất khi chất điểm đi từ vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng đến vị trí có

động năng bằng
1

3 lần thế năng ứng với vật đi từ

A 3

2


đến

A
x

2


. Khi đó:

- Góc quét:

MON

6


  

 

1
6

t T .2 s

2 2 6




   

 

- Quãng đường:



 







A 3 A A

s 3 1 5 3 1 cm

2 2 2

     

Vậy tốc độ trung bình trong khoảng thời gian ngắn nhất khi chất điểm đi từ vị trí có

động năng bằng 3 lần thế năng đến vị trí có động năng bằng
1

3 lần thế năng là:













5 3 1
s

v 30 3 1 21,96 cm/s

1
t

6


    

Bài 3: Một chất điểm dao động điều hịa với chu kì T. Trong khoảng thời gian ngắn nhất
khi đi từ vị trí biên có li độ x = A đến vị trí

A
x

2


, chất điểm có tốc độ trung bình là
bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải:

- Quãng đường vật đi từ vị trí có li độ x = A đến vị

trí có li độ

A
x

2


</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

A 3A
s A

2 2

  

- Thời gian vật đi từ vị trí có li độ x = A đến vị

trí có li độ

A
x

2


là:

2 6 3

t T T T

2 2 2 3

  




   

  

Vậy,

s 2 9A

v T

t 2T

  

Bài 4: Một vật dao động điều hịa có độ lớn vận tốc cực đại là 31,4 cm/s. Lấy π = 3,14.
Tốc độ trung bình của vật trong một chu kì dao động là bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải:

- Quãng đường mà vật đi được trong 1 chu kì dao động là:
s = 4A

- Thời gian vật đi được trong 1 chu kì là T

Ta có: max





v A A 31,4 10 cm/s
T



    

10 T

A 5T



  



Vậy tốc độ trung bình của vật trong 1 chu kì dao động là:





s 4A 4.5T

v 20 cm/s

t T T

   

Bài 5: Một chất điểm dao động điều hịa theo phương trình

x 3cos 5 t
6


 

    

  (x tính
bằng cm và t tính bằng s). Trong một giây đầu tiên kể từ thời điểm t = 0 chất điểm qua vị
trí có li độ x = +1 cm bao nhiêu lần ?

Hướng dẫn giải:

Chu kì dao động của vật là:

 

2 2 2

T 0,4 s

5 5

 

   

 

Trong thời gian t 1 s

 

2,5T 2T 0,5T 
Lúc t = 0, vật ở vị trí có li độ là





3 3 A 3

x cm

2 2

 

Trong 2 chu kì đầu vật qua vị trí có li độ x = +1 cm là 4 lần, trong 0,5 chu kì tiếp theo
chất điểm qua vị trí có li độ x = +1 cm là 1 lần.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

CHỦ ĐỀ: CON LẮC LÒ XO
♦ TĨM TẮT KIẾN THỨC:

1. Định nghĩa: Con lắc lị xo là hệ thống gồm một lị xo có độ cứng k, có khối lượng
khơng đáng kể, một đầu cố định, đầu cịn lại gắn với vật nặng có khối lượng m được đặt
theo phương ngang hoặc phương thẳng đứng.

- Phương trình dao động của con lắc lị xo: x Acos



  t



với

k
m
 

- Chu kì dao động của con lắc lò xo:

m
T 2

k
 

- Lực gây ra dao động điều hòa của con lắc lị xo ln hướng về vị trí cân bằng và được
gọi là lực kéo về hay lực hồi phục. Lực kéo về có độ lớn tỉ lệ với li độ và chính là lực
gây ra gia tốc cho vật dao động điều hòa.

- Lực kéo về: Fkx m x2

2. Năng lượng của con lắc lị xo:
• Động năng:









2 2 2 2 2 2

1 cos 2 t 2

1 1 1

W mv m A sin t m A

2 2 2 2

   

 

         

 

• Thế năng:









2 2 2 2 2 2

1 cos 2 t 2

1 1 1

W kx m A cos t m A

2 2 2 2

   

 

         

 

Nhận xét: Động năng và thế năng của con lắc lò xo (hay vật dao động điều hịa) biến
thiên điều hịa cùng tần số góc là   ' 2 , tần số f ' 2f , chu kì

T
T'

2


• Cơ năng:

2 2 2

đ t

1 1

W W W m A kA

2 2

     

hằng số.
Nhận xét:

- Cơ năng của con lắc lò xo tỉ lệ thuận với bình phương biên độ dao động.
- Cơ năng của con lắc lò xo được bảo tồn nếu bỏ qua mọi ma sát.

3. Đối với lị xo treo:

• Độ biến dạng của lị xo khi vật ở VTCB:
mg

k
 

• Chiều dài của lị xo tại VTCB:

CB  0  

   (với ℓ

0 là chiều dài tự nhiên của lị xo)
• Chiều dài lớn nhất của lị xo (ứng với vật ở vị trí thấp nhất):

max  0   A CBA

   

• Chiều dài nhỏ nhất của lò xo (ứng với vật ở vị trí cao nhất):

min  0   A CB  A

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

max min
CB

2


   

• Khi A  (với Ox hướng xuống) xét trong 1 chu kì dao động:
- Thời gian lị xo nén, tương ứng với vật đi từ M1 đến M2.
- Thời gian lò xo dãn, tương ứng với vật đi từ M2 đến M1.
♦ CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Xác định các đại lượng thường gặp trong dao động của con lắc lị xo:

Ví dụ 1: Con lắc lị xo gồm vật có khối lượng m = 200 g và lị xo có độ cứng là k = 50
N/m. Tính chu kì dao động của con lắc lò xo. Lấy  2 10.

Hướng dẫn giải:

Chu kì dao động của con lắc lị xo:

 

2 4 2

m 0,2

T 2 2 2 4. .10 2 .2. .10 0,4 s

k 50

 

          

Ví dụ 2: Một con lắc lị xo dao động với chu kì là 0,5 s, khối lượng của quả nặng là m =
400 g. Lấy  2 10. Tính độ cứng của lị xo ?

Hướng dẫn giải:

Ta có:





2 2

m m 4 m 4.10.0,4

T 2 T 4 k 64 N/m

k k T 0,25



        

Ví dụ 3: Một con lắc lò xo dao động thẳng đứng. Vật có khối lượng m = 200 g. Trong
20 s con lắc thực hiện được 50 dao động toàn phần. Tính độ cứng của lị xo. Lấy  2 10

Hướng dẫn giải:

Chu kì dao động của con lắc lị xo:

 

t 20

T 0,4 s

n 50

  

Mặt khác:





2 2

m m 4 m 4.10.0,2

T 2 T 4 k 50 N/m

k k T 0,4



        

Ví dụ 4: Một con lắc lị xo treo thẳng đứng, kích thích cho con lắc dao động theo
phương thẳng đứng. Chu kì và biên độ dao động của con lắc lần lượt là 0,4 s và 8 cm,
chọn trục Ox thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ O tại vị trí cân bằng,
gốc thời gian t = 0 lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Lấy





2 2

g 10 m/s  .

Thời gian ngắn nhất kể từ lúc t = 0 đến lực đàn hồi của lị xo có độ lớn cực tiểu là bao
nhiêu ?

Hướng dẫn giải:
Tại vị trí cân bằng:

m
mg k

k g

    

 





2 2

m T .g 0,4 .10

T 2 2 0,04 m 4 cm

k g 4 4.10



          





</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>





x A 8 4 4 cm
2

       

Thời gian ngắn nhất lúc vật đi qua VTCB theo chiều dương đến lực đàn hồi của lị xo có
độ lớn cực tiểu là:

 

T T T 7T 7.0,4 2,8 28 7

t s

4 4 12 12 12 12 120 30

       

Dạng 2: Viết phương trình dao động của con lắc lị xo.
♦ Phương pháp:

- Sử dụng một số phương pháp giải giống như dao động điều hòa của vật ở phần
trên.

- Tìm ω:

k g

  



• Một số kết luận chung để giải nhanh các bài tập trắc nghiệm dạng viết phương
trình dao động điều hịa:

- Nếu kéo vật ra khỏi VTCB một khoảng nào đó rồi thả nhẹ thì khoảng cách đó
chính là biên độ dao động.

- Nếu chọn gốc thời gian là lúc thả vật thì:

+ Nếu kéo vật ra theo chiều dương thì  0.
+ Nếu kéo vật ra theo chiều âm thì  .

- Nếu từ VTCB truyền cho vật một vận tốc nào đó dao động điều hịa thì vận tốc đó

chính là vận tốc cực đại, khi đó

max

v
A 

 .

- Chọn gốc thời gian là lúc truyền cho vật vận tốc thì 2

 

nếu chiều truyền vận

tốc cùng chiều với chiều dương, 2

 

nếu chiều truyền vận tốc ngược chiều dương.
Ví dụ 5: Con lắc lị xo treo thẳng đứng gồm một vật có khối lượng 100 g và lị xo có
khối lượng khơng đáng kể, có độ cứng 40 N/m. Kéo vật nặng thẳng đứng xuống phía
dưới cách vị trí cân bằng 5 cm và thả nhẹ cho vật dao động điều hòa. Chọn trục Ox
thẳng đứng, gốc O trùng với vị trí cân bằng, chiều dương là chiều vật bắt đầu chuyển
động, gốc thời gian là lúc thả vật. Lấy g = 10 m/s2. Viết phương trình dao động của vật.
Hướng dẫn giải:

Phương trình dao động của vật có dạng: x Acos



  t



Ta có:





k 40

400 20 rad/s
m 0,1

    

Chọn t = 0 lúc x A5 cm





, khi đó:

x 5

cos 1

A 5

 

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Vậy phương trình dao động của vật là: x 5cos 20t



 



(cm)

Ví dụ 6: Một con lắc lị xo gồm vật nặng có khối lượng 400 g, lị xo có khối lượng
khơng đáng kể, có độ cứng 40 N/m. Kéo vật nặng ra khỏi vị trí cân bằng 4 cm và thả
nhẹ. Chọn chiều dương cùng chiều với chiều kéo vật, gốc thời gian là lúc thả vật. Viết
phương trình dao động của vật.

Hướng dẫn giải:

Phương trình dao động của vật có dạng: x Acos



  t



Ta có:





k 40

100 10 rad/s
m 0,4

    

Chọn t = 0 lúc x = A = 4 (cm), khi đó:

4 4cos   cos    1 0

Vậy phương trình dao động của vật là: x 4cos10t (cm)

Ví dụ 7: Một con lắc lị xo gồm vật nặng có khối lượng 50 g dao động trên trục Ox với
chu kì 0,2 s và chiều dài quỹ đạo là 40 cm. Viết phương trình dao động của con lắc.
Chọn gốc thời gian là lúc con lắc qua vị trí cân bằng theo chiều âm.

Hướng dẫn giải:

Phương trình dao động của vật có dạng: x Acos



  t



Ta có:





2 2

10 rad/s
T 0,2

 

    

Biên độ dao động:





L 40

A 20 cm

2 2

  

Chọn t = 0 lúc x = 0 và v < 0, khi đó:
0 Acos cos 0

Asin 0 sin 0 2

   

  

   

 

     

 

Vậy phương trình dao động của vật là:

x 20cos 10 t
2


 

    

  (cm)

Ví dụ 8: Một con lắc lị xo treo thẳng đứng gồm một vật nặng có khối lượng m gắn vào
lị xo có khối lượng khơng đáng kể, có độ cứng k = 100 N/m. Chọn trục tọa độ thẳng
đứng, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương từ trên xuống. Kéo vật nặng xuống
phía dưới cách vị trí cân bằng 5 2 cm và truyền cho nó vận tốc 20 2 cm/s theo chiều
từ trên xuống thì vật nặng dao động điều hịa với tần số 2 Hz. Chọn gốc thời gian lúc vật
bắt đầu dao động. Cho g = 10 m/s2 = π2. Viết phương trình dao động của vật.

Hướng dẫn giải:

Phương trình dao động của vật có dạng: x Acos



  t



Ta có:       2 f 2 .2 4 rad/s





</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

















2 2 2

2 2 2

2 2

20 2

v v

A x A x 5 2 50 50 10 cm

4


         

  

Chọn t = 0 lúc x 5 2 cm





và v 20  2 cm/s





, khi đó:
2

cos

5 2 10cos 2

4 .10.sin 20 2 2

sin

2


 


   

 

   

 

    

 

  



Vậy phương trình dao động của vật là:

x 10cos 4 t
4


 

    

  (cm)

Ví dụ 9: Một lị xo có độ cứng 50 N/m đặt nằm ngang, một đầu cố định vào tường, đầu
còn lại gắn vào vật có khối lượng 500 g. Kéo vật ra khỏi vị cân bằng một đoạn





x  3 cm và truyền cho vật một vận tốc v = 10 cm/s theo chiều dương. Viết phương

trình dao động của vật.
Hướng dẫn giải:

Phương trình dao động của vật có dạng: x Acos



  t



Ta có:





k 50

100 10 rad/s
m 0,5

    

Từ hệ thức độc lập:

 





2 2 2 2

2 2 2

v v 10

A x A x 3 3 1 2 cm

         

 

Chọn t = 0 lúc x  3 cm





và v = 10 cm/s, khi đó:
3

cos

3 2cos 2

6
10.2.sin 10 1

sin

2


 


   

 

   

 

  



   




Vậy phương trình dao động của vật là:

x 2cos 10t
6


 

   

  (cm)
hoặc:

5
x 2cos 10t



 

   

  (cm)

Dạng 3: Bài toán liên quan đến động năng, thế năng của con lắc lị xo.
♦ Phương pháp:

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

• Thế năng:





2 2 2

1 1

W kx kA cos t

2 2

    

• Động năng:









2 2 2 2 2

1 1 1

W mv m A sin t kA sin t

2 2 2

         

Nhận xét: Thế năng và động năng của con lắc lò xo biến thiên tuần hồn cùng tần số
góc là   ' 2 hoặc cùng tần số là f ' 2f hoặc cùng chu kì

T
T '

2


• Trong một chu kì dao động có 4 lần động năng và thế năng bằng nhau (hay nói
cách khác là có 2 vị trí trên quỹ đạo) nên khoảng thời gian liên tiếp giữa hai lần động

năng và thế năng bằng nhau là
T
4.

• Cơ năng:

2 2 2 2 2

đ t

1 1 1 1

W W W mv kx m A kA

2 2 2 2

       

hằng số

Ví dụ 10: Một con lắc lị xo có biên độ dao động 5 cm, có tốc độ cực đại là 1 m/s và cơ
năng là 1 J. Tính độ cứng của lò xo, khối lượng của vật nặng và tần số dao động của con
lắc.

Hướng dẫn giải:

Lưu ý: khi áp dụng các cơng thức tính động năng, thế năng và cơ năng thì các đại lượng
đều đổi về hệ SI.

Từ cơng thức tính cơ năng:









2 2 4

1 2W 2.1 2

W kA k 800 N/m

2 A 5.10 25.10

     

Từ công thức:









2
2
2

max 2 2

max

800. 5.10

k kA

v A A m 2 kg

m v 1



     





1 k 1 800

f 3,18 Hz

2 m 2 2

  

 

Ví dụ 11: Một con lắc lị xo có độ cứng 150 N/m và có năng lượng dao động là 0,12 J.
Khi con lắc có li độ 2 cm thì vận tốc của nó là 1 m/s. Tính biên độ và chu kì dao động
của con lắc.

Hướng dẫn giải:

Năng lượng dao động của con lắc chính là cơ năng:

 





1 2W 2.0,12

W kA A 0,04 m 4 cm

2 k 150

     

Từ hệ thức độc lập:









2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

v v 100 100 50

A x rad/s 28,87 rad/s

A x 4 2 2 3 3

        

  

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

 

2 2 3

T s 0,22 s

50 25
3

  

   



Ví dụ 12: Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng 50 g, dao động điều hịa trên
trục Ox với chu kì 0,2 s và chiều dài quỹ đạo là 40 cm. Tính độ cứng của lị xo và cơ
năng của con lắc. Lấy  2 10.

Hướng dẫn giải:

Chiều dài quỹ đạo:





L 40

L 2A A 20 cm

2 2

    

Từ cơng thức tính chu kì:









2
2

m 4 m 4.10.0,05

T 2 k 50 N/m

k T 0,2



     

Cơ năng của con lắc:





 

2
2

1 1

W kA .50. 0,2 1 J

2 2

  

Ví dụ 13: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm một vật nặng có khối lượng m và lị
xo có khối lượng khơng đáng kể, có độ cứng 100 N/m. Kéo vật nặng xuống phía dưới
cách vị trí cân bằng 5 2 cm và truyền cho nó vận tốc 20 2 cm/s thì vật dao động
điều hịa với tần số 2 Hz. Cho g = 10 m/s2 = π2 m/s2. Tính khối lượng của vật nặng và cơ
năng của con lắc.

Hướng dẫn giải:

Từ cơng thức tính tần số: 2 2 2





 

1 k k 100

f m 0,625 kg 62,5 g

2 m 4 f 4.10.2

     

 

mà:       2 f 2 .2 4 rad/s





Từ hệ thức độc lập:

















 

2 2

2 2

2
2

20 2
v

A x 5 2 50 50 100 A 10 cm 0,1 m

4


         

 

Cơ năng của con lắc:





 

1 1

W kA .100. 0,1 0,5 J

2 2

  

Ví dụ 14: Một con lắc lò xo dao động điều hòa. Biết lị xo có độ cứng 36 N/m và vật
nhỏ có khối lượng 100 g. Lấy  2 10. Xác định chu kì và tần số biến thiên tuần hồn

của động năng của con lắc.
Hướng dẫn giải:

Chu kì dao động của con lắc:

 

m 0,1 2 1

T 2 2 .0,1 s

k 36 6 3

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Tần số dao động của con lắc:





1 1

f 3 Hz

1
T

  

Vậy: chu kì dao động của động năng:

 

T 3 1

T ' s

2 2 6

  

tần số dao động của động năng: f ' 2f 2.3 6 Hz





Ví dụ 15: Một con lắc lị xo gồm một vật nhỏ có khối lượng 50 g. Con lắc lị xo dao
động điều hịa theo phương trình x Acos t  . Cứ sau khoảng thời gian 0,05 s thì động
năng và thế năng của vật lại bằng nhau. Lấy  2 10. Tính độ cứng của lị xo.

Hướng dẫn giải:

Trong 1 chu kì có 4 lần động năng và thế năng của vật bằng nhau, do đó khoảng thời

gian giữa hai lần liên tiếp động năng và thế năng của vật lại bằng nhau là
T

4 .

 

t T 4t 4.0,05 0,2 s
4

     

mà:









2
2

m 4 .m 4.10.0,05

T 2 k 50 N/m

k T 0,2



     

Ví dụ 16: Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ và vật nhỏ dao động điều hòa theo phương
ngang với tần số góc 10 rad/s. Biết rắng khi động năng và thế năng của vật bằng nhau thì
vận tốc của vật có độ lớn 0,6 m/s. Xác định biên độ dao động của con lắc.

Hướng dẫn giải:

Cơ năng của vật: W W đ Wt

mà: Wđ Wt nên

2 2 2 2 2

đ 2

1 1 m 1

W 2W kA 2. mv A 2v 2v .

2 2 k

     



 





v 0,6

A 2 2 0,06 2 m 6 2 cm
10

    



Dạng 4: Tìm độ biến dạng cực đại, cực tiểu, chiều dài lò xo cực đại, cực tiểu khi vật
dao động.

♦ Phương pháp:

ℓ0: là chiều dài tự nhiên của lò xo (chiều dài lị xo chưa biến dạng).
• Khi lị xo nằm ngang:

- Chiều dài cực đại của lò xo: ℓmax = ℓ0 + A
- Chiều dài cực tiểu của lò xo: ℓmin = ℓ0 – A
• Khi lị xo treo thẳng đứng:

- Chiều dài khi vật ở vị trí cân bằng: ℓcb = ℓ0 + ∆ℓ

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Ví dụ 17: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hịa với chu kì 0,4 s, biên độ
6 cm, khi chưa treo vật lò xo dài 44 cm. Lấy g = π2 m/s2. Xác định chiều dài cực đại và
cực tiểu của lị xo trong q trình vật dao động.

Hướng dẫn giải:

Ta có:





2 2 2

T 5 rad/s

T 0,4

  

      



Tại vị trí cân bằng:





 





2
2
2

mg g

mg k 0,04 m 4 cm

k 5



        

 

 

- Chiều dài cực đại của lò xo: max 0    A 44 4 6 54 cm   





- Chiều dài cực tiểu của lò xo: min 0    A 44 4 6 42 cm   





Ví dụ 18: Một lị xo có độ cứng 25 N/m. Một đầu của lò xo gắn vào điểm O cố định.
Treo vào đầu còn lại của lò xo hai vật có khối lượng là 100 g và 60 g. Tính độ dãn của lị
xo khi vật ở vị trí cân bằng và tần số góc của dao động. Lấy g = 10 m/s2.

Hướng dẫn giải:
Tại VTCB:









 





1 2

m m g 0,16.10

m m g k 0,064 m 6,4 cm

k 25



         

Ta có:





1 2

k 25 5 12,5 rad/s
m m 0,16 0,4

    



Dạng 5: Xác định lực tác dụng cực đại, cực tiểu tác dụng lên vật và lên điểm treo
của lò xo.

♦ Phương pháp:

1. Lực hồi phục (Lực tác dụng lên vật): Đối với lò xo nằm ngang.
- Lực hồi phục Fkx ma  (ln hướng về vị trí cân bằng).

Độ lớn: F k x  m 2 x

- Lực hồi phục đạt giá trị cực đại: Fmax kA (khi vật qua các vị trí biên

x A).

- Lực hồi phục đạt giá trị cực tiểu: Fmin 0 (khi vật qua VTCB x = 0).

2. Lực tác dụng lên điểm treo lò xo (Đối với lò xo treo thẳng đứng):
- Lực tác dụng lên điểm treo lò xo là hợp lực của lực đàn hồi Fđh



và trọng
lực P .

đh

F F P


Độ lớn: F k   x

- Độ dãn của lò xo khi vật ở VTCB: 2
mg g
mg k

     



 

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

- Lực cực tiểu tác dụng lên điểm treo là:
+ Nếu   A thì: Fmin k



  A



+ Nếu   A thì: Fmin 0

Ví dụ 19: Một con lắc lị xo gồm quả nặng có khối lượng 100 g, lị xo có độ cứng là
100 N/m, khối lượng khơng đáng kể, treo thẳng đứng. Cho con lắc dao động với biên độ
5 cm. Lấy g = 10 m/s2 và  2 10. Xác định tần số và tính lực đàn hồi cực đại và cực tiểu

trong quá trình vật dao động.

Hướng dẫn giải:

Ta có:





k 100

10 rad/s
m 0,1

    





2 f f 5 Hz

2 2

 

      

 

Tại VTCB:





 





2
2

mg g 10 1

0,01 m 1 cm A

k 10 100

       

 



- Lực đàn hồi cực đại: Fmax k



  A



100 0,01 0,05







6 N

 

- Lực đàn hồi cực tiểu: Fmin 0.

Ví dụ 20: Một con lắc lị xo treo thẳng đứng, đầu dưới có một vật m dao động với biên
độ 10 cm và tần số 1 Hz. Tính tỉ số giữa lực đàn hồi cực tiểu và lực đàn hồi cực đại của
lò xo trong quá trình vật dao động. Lấy g = 10 m/s2 và  2 10.

Hướng dẫn giải:

Ta có:       2 f 2 .1 2 rad/s









 





mg g 10

0,25 m 25 cm A

k 2

      

 



- Lực đàn hồi cực đại: Fmax k



  A



- Lực đàn hồi cực tiểu: Fmin k



  A



Vậy tỉ số giữa lực đàn hồi cực tiểu và lực đàn hồi cực đại của lị xo trong q trình vật
dao động là:









min
max

k A

F A 25 10 35 7

F k A A 25 10 15 3

    

    

    

 

Ví dụ 21: Một con lắc lị xo treo thẳng đứng có vật nặng có khối lượng 100 g. Kích
thích cho con lắc dao động theo phương thẳng đứng thì thấy con lắc dao động điều hịa
với tần số 2,5 Hz và trong quá trình vật dao động, chiều dài của lò xo thay đổi từ 20 cm
đến 24 cm. Xác định chiều dài tự nhiên của lò xo và tính lực đàn hồi cực đại, lực đàn hồi
cực tiểu trong quá trình vật dao động. Lấy g = 10 m/s2 và  2 10.

Hướng dẫn giải:

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Tại VTCB:





 





2
2

mg g 10 1

0,04 m 4 cm

k 5 25

      

 



Chiều dài của lò xo thay đổi từ 20 cm đến 24 cm tức min 20 cm





và max 24 cm









max min 24 20

A 2 cm

2 2

 

      

Mặt khác:





max  0   A 0  max    A 24 4 2 18 cm   

     

Hoặc có thể sử dụng công thức min rồi suy ra 0









k m 0,1. 5 25 N/m
m

       

- Lực đàn hồi cực đại: Fmax k



  A



25 0,04 0,02







1,5 N

 

- Lực đàn hồi cực tiểu: Fmin k



  A



25 0,04 0,02







0,5 N

 

Ví dụ 22: Một con lắc lị xo treo thẳng đứng gồm lị xo có chiều dài tự nhiên 20 cm và
độ cứng 100 N/m, vật nặng có khối lượng 400 g. Kéo vật nặng xuống phía dưới cách vị
trí cân bằng 6 cm rồi thả nhẹ cho con lắc dao động điều hòa. Lấy g  2 10 m/s





. Xác
định độ lớn của lực đàn hồi của lò xo khi vật ở vị trí cao nhất và thấp nhất của quỹ đạo.
Hướng dẫn giải:

Ta có:





k 100 100.10 100. 10.

5 rad/s

m 0,4 4 4 2

 

       

Tại VTCB:





 





2
2

mg g 10 1

0,04 m 4 cm A

k 5 25

       

 



- Độ biến dạng của lị xo khi vật ở vị trí cao nhất: A 

Vậy lực đàn hồi của lò xo khi vật ở vị trí cao nhất là:

 

F k A   100. 0,06 0,04 2 N
- Lực đàn hồi của lị xo khi vật ở vị trí thấp nhất:









 

F k   A 100 0,04 0,06 10 N

Dạng 6: Sự thay đổi chu kì T, tần số f của con lắc lò xo khi thay đổi vật nặng.
♦ Phương pháp:

- Cho một lị xo có độ cứng là k.

• Gắn vật m1 vào lị xo k ta được chu kì dao động là:

2 2

1 1

m m

T 2 T 4

k k

    

• Gắn vật m2 vào lị xo k ta được chu kì dao động là:

2 2

m m

T 2 T 4

k k

    

• Gắn vào lị xo k đồng thời hai vật có tổng khối lượng là



m1m2



thì chu kì dao động

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

m m m m m m m m

T 2 T 4 4 4 4

k k k k k k

     

               

   

2 2 2

1 2

T T T

  

• Gắn vào lị xo k đồng thời hai vật có tổng khối lượng là



m1 m2



với



m1m2



thì

chu kì dao động là:

2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

m m m m m m m m

T 2 T 4 4 4 4

k k k k k k

     

               

   

2 2 2

1 2

T T T

  

Ví dụ 23: Một lị xo có độ cứng k gắn với vật nặng m1 có chu kì dao động là T1 = 1,8 s.
Nếu gắn lò xo đó với vật nặng m2 thì chu kì dao động là T2 = 2,4 s. Tìm chu kì dao động
khi gắn đồng thời hai vật đó vào lị xo trên.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức trên:

 

2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2

T T T  T T T  1,8 2,4 3 s

Ví dụ 24: Viên bi có khối lượng m1 gắn vào lị xo k thì hệ dao động với chu kì 0,6 s,
viên bi có khối lượng m2 gắn vào lị xo k thì hệ dao động với chu kì 0,8 s. Nếu gắn cả
hai viên bi m1 và m2 với nhau và gắn vào lị xo k thì hệ có chu kì dao động là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:

Ta có: T T12 T22  0,62 0,82 1 s

 

Ví dụ 25: Cho một con lắc lị xo có độ cứng k và vật nặng có khối lượng m, dao động
điều hịa với chu kì là 1 s. Muốn tần số dao động của con lắc là 0,5 Hz thì khối lượng
của vật phải là bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải:

2
2

1 k
f

f m' f

2 m m' m

f ' m f '

1 k
f '

2 m'





 

   



 

 



Với:





1 1

f 1 Hz

T 1

  

và f ' 0,5 Hz





Vậy:

2
2

m' m 4m

0,5

 

Ví dụ 26: Lần lượt treo vật có khối lượng m1 và m2 vào một lị xo có độ cứng 40 N/m và
kích thích cho chúng dao động. Trong cùng một khoảng thời gian nhất định, vật m1 thực
hiện được 20 dao động và vật m2 thực hiện được 10 dao động. Nếu treo cả hai vật vào lị

xo trên thì chu kì dao động của hệ bằng 2

 

s


</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Hướng dẫn giải:

- Chu kì dao động của vật m1 là:

1 1 1 1

T t n T

n


   

- Chu kì dao động của vật m2 là:

2 2 2 2

T t n T

n


   

Theo đề bài, ta suy ra:

2 1 1 2 1

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2

m
2

T n k n m n

t t n T n T

T n m n m n

2
k


         



2 2

2 1

1 2

m n 20

4 m 4m

m n 10

   

       

 
 

Mặt khác:





2 2

2 2 2 2 2 1 2 2 2 2

1 2 1 2 1

m m 4 4

T T T T 4 4 T m m T 5m

k k k k

 

           





2
2

1 2 2

40.

kT 2

m 0,5 kg

20 20


 
 
 

   

 





2 1

m 4m 4.0,5 2 kg

   

CHỦ ĐỀ: CON LẮC ĐƠN
♦ TÓM TẮT KIẾN THỨC:
1. Định nghĩa:

- Con lắc đơn gồm một vật nặng có khối lượng m được treo vào một sợi dây khơng dãn,
có chiều dài ℓ, có khối lượng không đáng kể.

- Khi dao động nhỏ



sin 



rad



, con lắc đơn dao động điều hòa với phương trình:





s s cos   t hoặc  0cos



  t



Với:

s
 

;

0
0

 


- Chu kì:

T 2
g
  

- Tần số:

1 1 g
f

T 2

 

 
- Tần số góc:

g
 



- Lực kéo về khi biên độ góc nhỏ:

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Lực hồi phục của con lắc phụ thuộc vào khối lượng của vật.

- Xác định gia tốc rơi tự do nhờ con lắc đơn:

2
2

4
g

T


 

- Chu kì dao động của con lắc đơn phụ thuộc vào độ cao, vĩ độ địa lí và nhiệt độ của môi
trường.

2. Năng lượng của con lắc đơn:
• Động năng:

2
đ

W mv

2


• Thế năng:





2
t

1
W mg 1 cos mg

     

(với  100)

• Cơ năng:





đ t 0 0

1
W W W mg 1 cos mg

       

Nhận xét: Cơ năng của con lắc đơn được bảo toàn nếu bỏ qua mọi ma sát.
3. Phương trình dao động:

• Phương trình li độ cung và li độ góc:





s s cos   t hoặc  0cos



  t



với s; s0  0
• Phương trình vận tốc:









0 0

v s'  s sin     t sin   t
• Phương trình gia tốc:





2 2 2

a v'   s cos        t s

Lưu ý: s0 đóng vai trị giống như A; s đóng vai trị giống như x.
4. Hệ thức độc lập:

2 2

a    s

2 2

2 2 2 2

0 2 0

v v

s s

     

 

5. Cơ năng:

2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0

1 1 1 g 1

W m s m m mg

2 2 2 2

          



Nhận xét: Cơ năng của con lắc đơn phụ thuộc vào khối lượng của vật, con cơ năng của
con lắc lị xo thì khơng phụ thuộc vào khối lượng của vật.

- Tại cùng một nơi con lắc đơn có chiều dài ℓ1 dao động với chu kì T1, con lắc đơn có
chiều dài ℓ2 dao động với chu kì T2.

• Nếu con lắc đơn có chiều dài (ℓ1 + ℓ2) có chu kì dao động là T thì

2 2 2

1 2

T T T

• Nếu con lắc đơn có chiều dài (ℓ1 – ℓ2) với ℓ1 > ℓ2 thì chu kì dao động là:

2 2 2

1 2

T T  T

6. Khi con lắc đơn dao động với li độ góc α bất kì thì:
• Cơ năng: W mg 1 cos 



 



• Vận tốc: v 2g cos



 0 cos



</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

7. Khi con lắc đơn dao động với li độ góc nhỏ (α ≤ 100) thì:
• Cơ năng:

2
0

1
W mg

 

• Vận tốc: v2 g



  20 2



• Lực căng dây: T mg 1 1,5



   2 20



• Lực căng dây cực đại: Tmax mg 1



 02



• Lực căng dây cực tiểu:

2
0
min

T mg 1
2



 

   

 

Dạng 1: Tìm các đại lượng trong dao động điều hịa của con lắc đơn.
♦ Phương pháp:

Để tìm một số đại lượng trong dao động của con lắc đơn ta viết biểu thức liên
quan đến đại lượng đã biết và đại lượng cần tìm, từ đó suy ra đại lượng cần tìm.

1. Năng lượng của con lắc đơn:

Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng O.

• Động năng:

2
đ

W mv

2


• Thế năng hấp dẫn khi vật ở li độ góc α: Wt mg 1 cos



 



• Cơ năng: W W đ Wt

Khi li độ góc α0 nhỏ thì

2
0

1
W mg

 

2. Tìm vận tốc của vật khi vật qua li độ góc α bất kì trên quỹ đạo:
Áp dụng định luật bảo tồn cơ năng, ta tính được:





v 2g cos   cos

Ví dụ 1: Tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s2, con lắc đơn dao động điều hịa với chu
kì

 

2
s
7



. Tính chiều dài, tần số và tần số góc của dao động của con lắc đơn.
Hướng dẫn giải:

Ta có:

 





2
2

2 2

.9,8
T g 7

T 2 0,2 m 20 cm

g 4 4


 
 
 

      

 




Tần số:





1 1 7

f 1,12 Hz

T 2

   

 

Tần số góc:





2 2

7 rad/s
2

T
7

 

   

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Ví dụ 2: Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ khối lượng 100 g treo vào đầu sợi dây
dài ℓ = 50 cm, ở một nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Bỏ qua mọi ma sát. Con
lắc dao động điều hịa với biên độ góc  0 100 0,1745 rad





. Chọn gốc thế năng tại vị

trí cân bằng. Tính thế năng, động năng, vận tốc và lực căng của dây tại:
a. Vị trí biên.

b. Vị trí cân bằng.
Hướng dẫn giải:

Vì con lắc đơn dao động với biên độ góc  0 100 nên:

a. Vị trí biên:

- Thế năng:





 

2
2

tmax 0

1 1

W W mg .0,1.10.0,5. 0,1745 0,0076 J

2 2

    

- Động năng: Wđ 0

- Vận tốc: v 0

- Lực căng dây:

 

2 2

0 0,1745

T mg 1 0,1.10. 1 0,985 N

2 2



   

       

   

b. Vị trí cân bằng:
- Thế năng: Wt 0

- Động năng: Wđmax W 0,0076 J

 

- Vận tốc:





2 đmax

đmax

1 2W 2.0,0076

W mv v 0,39 m/s

2 m 0,1

    

- Lực căng dây:









 

2 2

T mg 1   0,1.10 1 0,1745 1,03 N

Dạng 2: Thay đổi chu kì dao động của con lắc đơn khi chiều dài dây treo thay đổi.
Ví dụ 3: Ở cùng một nơi trên Trái Đất, con lắc đơn có chiều dài ℓ1 dao động với chu kì
T1 = 2 s, chiều dài ℓ2 dao động với chu kì T2 = 1,5 s. Tính chu kì dao động của con lắc
đơn có chiều dài (ℓ1 + ℓ2) và con lắc đơn có chiều dài (ℓ1 – ℓ2).

Hướng dẫn giải:

- Chu kì dao động của con lắc đơn khi có chiều dài (ℓ1 + ℓ2) là:

 

2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2

T T T  T T T  2 1,5 2,5 s

- Chu kì dao động của con lắc đơn khi có chiều dài (ℓ1 – ℓ2) là:

 

2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2

T T  T  T T  T  2  1,5 1,32 s

Ví dụ 3: Trong cùng một khoảng thời gian và ở cùng một nơi trên Trái Đất một con lắc
đơn thực hiện được 60 dao động. Tăng chiều dài của nó thêm 44 cm thì trong khoảng
thời gian đó, con lắc thực hiện được 50 dao động. Tính chiều dài và chu kì dao động ban
đầu của con lắc. Lấy g = 10 = π2 (m/s2).

Hướng dẫn giải:
- Chu kì lúc đầu:

1 1 1 1

T t n T

n


</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

- Chu kì sau khi tăng chiều dài:

2 2 2 2

T t n T

n


   

Theo đề bài, ta có:  t1 t2

2 2

1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2

n T n T n 2 n 2 n n

g g

           

mà: 2 1 44

nên:









 

2 2

2 2 2

1 1 2 1 1 2 2 2 2

1 2

44n 44.50

n n 44 100 cm 1 m

n n 60 50

      

 

  

- Chu kì lúc đầu:

 

1 2

1 1

T 2 2 2 2 s

g 10

      




Dạng 2: Viết phương trình dao động điều hịa của con lắc đơn.
♦ Phương pháp:

- Chọn trục Ox trùng với tiếp tuyến quỹ đạo.
- Gốc tọa độ tại vị trí cân bằng.

- Chiều dương là chiều lệch của vật.
- Gốc thời gian ...

• Phương trình li độ cung: s s cos 0



  t



• Phương trình vận tốc: v s'  s sin0



  t



Tìm ω.

2
2 f

T

   

g
 



2 2

v
s s
 


Tìm s0.

2 2

0 2

v
s  s

 với s

Khi chiều dài quỹ đạo là một cung tròn MN thì:


MN
s

2


0 0

s  
Tìm φ.

Dựa vào cách chọn gốc thời gian để xác định φ.

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

bắt đầu thả vật, chiều dương cùng chiều với chiều chuyển động ban đầu của vật. Viết
phương trình dao động theo li độ góc (tính ra rad).

Hướng dẫn giải:

Phương trình dao động của con lắc theo li độ góc có dạng:  0cos



  t



Ta có:





2,5 rad/s
0,16



    







0 9 0,157 rad

20


   

Chọn t = 0 lúc   0, khi đó:
0

0 0

cos cos  1

          


Vậy phương trình dao động của con lắc đơn là:  0,157cos 2,5 t



  



(rad)

Ví dụ 5: Một con lắc đơn dao động điều hịa với chu kì 2 s. Lấy g = 10 m/s2 và  2 10.
Viết phương trình dao động của con lắc đơn theo li độ dài. Biết rằng tại thời điểm ban
đầu vật có li độ góc α = 0,05 rad và vận tốc là 15,7 cm/s.

Hướng dẫn giải:

Phương trình dao động của con lắc đơn theo li độ dài có dạng: s s cos 0



  t







2 2

rad/s
T 2

 

   

Mặt khác:

 

2 2

g g 10

1 m

     

 




Từ hệ thức độc lập:

2 2

0 2

v
s  s

 với s  0,05.1 0,05 m

 

5 cm













2 2

0 2 0

15,7

s 5  25 25 50 s 5 2 cm

       



Chọn t = 0 lúc s = 5 (cm) và v15,7 cm/s





 5 cm/s





, khi đó:
2

cos

5 5 2cos 2

4
.5 2 sin 15,7 2

sin

2


 


   

 

   

 

   

 

  




Vậy phương trình dao động của con lắc đơn là:

s 5 2cos t
4


 

   

  (cm)

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

β0
α0

I
O’

N A

O
1. Chu kì dao động của con lắc:

- Chu kì dao động của con lắc trước khi vướng đinh:

1
1

T 2
g
  
với 1 là chiều dài của con lắc trước khi vướng đinh.

- Chu kì dao động của con lắc sau khi vướng đinh:

2
2

T 2
g
  
với 2 là chiều dài của con lắc trước khi vướng đinh.

2. Biên độ góc sau khi vướng đinh (β0):

Chọn gốc thế năng tại O (VTCB). Áp dụng định luật bảo tồn cơ năng, ta có:









A N 2 0 1 0

W W  mg 1 cos  mg 1 cos 









2 1 cos 0 1 1 cos 0

      

Vì góc lệch nhỏ nên:

1 cos 1
2

   
Do đó:

2 2

0 0

2 1 1 2 1 1 1 2

       

    

     

   

   

 

0 0

   

 (biên độ góc sau khi vướng đinh)

0 0 2 0 1 2

s      (biên độ dài sau khi vướng đinh)

Dạng 4: Xác định chu kì dao động của con lắc ở độ cao h so với mặt đất.
♦ Phương pháp:

- Gia tốc trọng trường ở mặt đất: 2
GM
g

R


(với R là bán kính của Trái Đất).
1. Khi đưa con lắc lên độ cao h so với mặt đất: (chiều dài con lắc không đổi).

Gia tốc trọng trường của con lắc ở độ cao h là:









2 2 2

GM R g

R h R h h

1
R
R

  

   



 

 

- Chu kì dao động của con lắc ở mặt đất: 1
T 2

g
  

(1)

- Chu kì dao động của con lắc ở độ cao h: 2 h

T 2
g
  

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

2 1

1 h

T g g h h

1 T T 1

T g R R

h
1

 

        

 

 



 

  hay 1

T h
T R




Nhận xét: Khi đưa con lắc lên độ cao h thì chu kì dao động của con lắc tăng lên.

Dạng 4: Xác định chu kì dao động của con lắc khi nhiệt độ thay đổi (dây treo làm
bằng kim loại).

♦ Phương pháp: Xét ở cùng một độ cao, tức là cùng một gia tốc trọng trường.

Khi nhiệt độ thay đổi chiều dài của con lắc làm bằng kim loại sẽ thay đổi theo
nhiệt độ:   0



1 t



Với: λ: là hệ số nở dài của kim loại





K

ℓ0 là chiều dài của con lắc ở nhiệt độ 00C

- Chu kì dao động của con lắc ở nhiệt độ t1:

1
1

T 2
g
  

(1)

- Chu kì dao động của con lắc ở nhiệt độ t2:

2
2

T 2
g
  

(2)
Lấy (1) chia (2), ta được:

2 2

1 1

T
T 




Với:









1 0 1

2 0 2

1 t
1 t

  





  




 











 



1 1

0 2

2 2 2

2 1

1 0 1

1 t

1 t 1 t

T 1 t



 

      

 




Vì t , t1  2 1 nên ta áp dụng công thức gần đúng:



 



n m

1 1 '  1 n n '

        

Do đó:





2 2

2 1 2 1

1 1

T 1 1 T 1

1 t t 1 t t

T    2 2  T   2 





2 1 2 1

T T 1 t t

 

      

 

Nhận xét: - Khi nhiệt tăng thì chu kì dao động của con lắc tăng.

- Khi nhiệt độ giảm thì chu kì dao động của con lắc

giảm.

♦ Tổng quát:

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Dạng 5: Xác định thời gian con lắc dao động nhanh hay chậm một ngày đêm là bao
nhiêu.

♦ Phương pháp:
• Nếu 1

T
0
T




thì con lắc dao động không đổi hay đồng hồ chạy đúng giờ.

• Nếu 1

T
0
T




thì con lắc dao động chậm hay đồng hồ chạy chậm.

• Nếu 1

T
0
T




thì con lắc dao động nhanh hay đồng hồ chạy nhanh.
- Thời gian con lắc dao động nhanh hay chậm một ngày đêm là:

.86400
T


 

(1 ngày = 24 h = 86400 s)

Ví dụ 6: Trên mặt đất nơi có gia tốc trọng trường là 10 m/s2. Một con lắc đơn dao động
với chu kì 0,5 s. Tính chiều dài của con lắc. Nếu đem con lắc này lên độ cao 5 km thì nó
dao động với chu kì bằng bao nhiêu (lấy đến 5 chữ số thập phân). Biết bán kính của Trái
Đất là R = 6400 km). Lấy  2 10.

Hướng dẫn giải:

Tại mặt đất:

 





2 2

1 2 2

T g 0,5 .10

T 2 0,0625 m 6,25 cm

g 4 4

      

 




Khi đưa con lắc lên độ cao h = 5 km thì chu kì dao động của con lắc:

 

2 1

T h h 5

1 T T 1 0,5 1 0,50039 s

T R R 6400

   

           

   

Ví dụ 7: Một con lắc đồng hồ có thể coi là con lắc đơn. Đồng hồ chạy đúng ở mực
ngang mặt nước biển. Khi đưa đồng hồ lên đỉnh núi cao 4000 m thì đồng hồ chạy nhanh
hay chậm mỗi ngày đêm là bao nhiêu ? Biết bán kính Trái Đất là R = 6400 km. Coi nhiệt
độ là khơng đổi.

Hướng dẫn giải:

- Chu kì dao động của con lắc ở độ cao h: 2 h

T 2
g
  

(1)

- Chu kì dao động của con lắc ở mực nước biển: 1
T 2

g
  

(2)
Từ (1) và (2), ta suy ra:









2
2

1 h

h R

T g R h R h

1
GM

T g R R R

h R

 

     

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

2 2 1

1 1 1

T h T T h T h 4

1 0

T R T R T R 6400

 

       

nên đồng hồ chạy chậm.
Thời gian chạy chậm mỗi ngày đêm là:

 

T 4

86400 .86400 54 s

T 6400



   

Ví dụ 8: Quả lắc đồng hồ có thể xem là một con lắc đơn dao động tại một nơi có gai tốc
trọng trường là 9,8 m/s2. Ở nhiệt độ 150C đồng hồ chạy đúng giờ và chu kì dao động của
quả lắc là 2 s. Nếu nhiệt độ tăng lên đến 250C thì đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao lâu
trong một ngày đêm. Cho hệ số nở dài của thanh treo con lắc là 4.10 K5 1

  .

Hướng dẫn giải:

- Chu kì dao động của quả lắc ở t2 = 250C là:

2
2

T 2
g
  

(1)

- Chu kì dao động của con lắc ở t1 = 150C là:

T 2
g
  

(2)
Từ (1) và (2), ta suy ra:











 



1 1

0 2

2 2 2 2

2 1

1 1 0 1

1 t
T

1 t . 1 t

T 1 t



 

      

 




 





2 1 2 1

T 1 1 1

1 t t 1 t t

T 2 2 2

         









2 1

T 1 1

t t .4,5.10 . 25 15 22,5.10 0

T 2 2

 



       

nên đổng hồ chạy chậm
Thời gian đồng hồ chạy chậm một ngày đêm là:

 

5
1

.86400 22,5.10 .86400 19,44 s
T





   

Ví dụ 9: Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tại một nơi trên mặt biển có g = 9,81 m/s2
và có nhiệt độ là 200C. Thanh quả lắc làm bằng kim loại có hệ số nở dài

5 1

1,85.10 K 

  . Khi nhiệt độ ở nơi đó tăng lên đến 300C thì đồng hồ chạy nhanh hay
chậm mỗi ngày đêm là bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải:

- Chu kì của đồng hồ ở nhiệt độ t2 = 300C:

2
2

T 2
g
  

(1)

- Chu kì của đồng hồ ở nhiệt độ t1 = 200C:

1
1

T 2
g
  

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>











 







1 1

0 2

2 2 2 2

2 1 2 1

1 1 0 1

1 t

T 1

1 t . 1 t 1 t t

T 1 t 2



 

          

 




 









2 1

T 1 1

t t .1,85.10 30 20 9,25.10 0

T 2 2

 



       

nên đồng hồ chạy
chậm.

Thời gian đồng hồ chạy chậm mỗi ngày đêm là:

 

5
1

.86400 9,25.10 .86400 7,992 s
T





   

</div>