Bài 1 CHƯƠNG 1 các CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC cơ bản
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (399.44 KB, 36 trang )
CHUYÊN ĐỀ 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
CHƯƠNG 1: CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác
Góc
I
II
III
IV
sin x
cos x
+
+
–
–
+
–
–
+
tan x
+
–
+
–
cot x
+
–
+
–
2. Cơng thức lượng giác cơ bản
tan α .cot α = 1
sin 2 α + cos 2 α = 1
1 + tan 2 α =
3. Cung liên kết
Cung đối nhau
cos ( −a ) = cos a
Cung bù nhau
sin ( π − a ) = sin a
sin ( −a ) = − sin a
cos ( π − a ) = − cos a
tan ( −a ) = − tan a
tan ( π − a ) = − tan a
cot ( −a ) = − cot a
cot ( π − a ) = − cot a
Góc hơn kém π
sin ( π + α ) = − sin α
cos ( π + α ) = − cos α
tan ( π + α ) = tan α
cot ( π + α ) = cot α
Góc hơn kém
1
cos 2 α
1 + cot 2 α =
1
sin 2 α
Cung phụ nhau
π
sin − a ÷ = cos a
2
π
cos − a ÷ = sin a
2
π
tan − a ÷ = cot a
2
π
cot − a ÷ = tan a
2
Cách nhớ:
π
2
cos đối
π
sin + α ÷ = cos α
2
π
cos + α ÷ = − sin α
2
π
tan + α ÷ = − cot α
2
π
cot + α ÷ = − tan α
2
sin bù
phụ chéo
tang và côtang
hơn kém nhau pi
4. Công thức cộng cung
sin ( a ± b ) = sin a.cos b ± cos a.sin b
cos ( a ± b ) = cos a.cos b msin a.sin b
tan a ± tan b
1 mtan a.tan b
5. Công thức nhân đôi, nhân ba và hạ bậc
cot ( a ± b ) =
tan ( a ± b ) =
cot a.cot b m1
cot a ± cot b
Trang 1
Nhân đôi
sin 2α = 2sin α .cos α
Hạ bậc
1 − cos 2α
sin 2 α =
2
1 + cos 2α
cos 2 α =
2
1 − cos 2α
tan 2 α =
1 + cos 2α
1 + cos 2α
cot 2 α =
1 − cos 2α
Hạ bậc
3sin α − sin 3α
sin 3 α =
4
3cos
α
+ cos 3α
cos3 α =
4
2
2
cos 2α = cos α2 − sin α
2
2 cos α − 1 = 1 − 2sin α
2 tan α
tan 2α =
1 − tan 2 α
cot 2 α − 1
cot 2α =
2 cot α
Nhân ba
sin 3α = 3sin α − 4sin 3 α
cos 3α = 4 cos3 α − 3cos α
3 tan α − tan 3 α
tan 3α =
1 − 3 tan 2 α
6. Góc chia đơi
Đặt t = tan
x
2
sin x =
2t
1+ t2
cos x =
1− t2
1+ t2
tan x =
2t
1− t2
7. Cơng thức biến đổi tổng thành tích
a+b
a −b
cos
2
2
a+b
a −b
sin a + sin b = 2sin
cos
2
2
sin ( a + b )
tan a + tan b =
cos a.cos b
sin ( a + b )
cot a + cot b =
sin a.sin b
a+b
a −b
sin
2
2
a+b
a −b
sin a − sin b = 2 cos
sin
2
2
sin ( a − b )
tan a − tan b =
cos a.cos b
sin ( b − a )
cot a − cot b =
sin a.sin b
cos a + cos b = 2 cos
cos a − cos b = −2sin
8. Cơng thức biến đổi tích thành tổng
1
cos ( a − b ) + cos ( a + b )
2
1
sin a.sin b = cos ( a − b ) − cos ( a + b )
2
1
sin a.cos b = sin ( a − b ) + sin ( a + b )
2
cos a.cos b =
MỘT SỐ CƠNG THỨC THƯỜNG DÙNG
•
1 + sin 2 x = ( sin x + cos x ) ;1 − sin 2 x = ( sin x − cos x ) .
2
2
Trang 2
2
2
ã
x
x
x
x
1 + sin x = sin + cos ữ ;1 − sin x = sin − cos ÷ .
2
2
2
2
•
1 − cos 2 x = 2sin 2 x;1 + cos 2 x = 2 cos 2 x .
•
x
x
1 + cos x = 2 cos 2 ;1 − cos x = 2sin 2 .
2
2
•
π
π
sin x + cos x = 2 sin x + ÷ = 2 cos x ữ.
4
4
ã
sin x cos x = 2 sin x ữ = 2 cos x + ữ.
4
4
ã
sin x + 3 cos x = 2 cos x ữ = 2sin x + ữ.
6
3
ã
3 sin x + cos x = 2sin x + ÷ = 2 cos x ữ.
6
3
ã
1
3 + cos 4 x
sin 4 x + cos 4 x = 1 − sin 2 2 x =
.
2
4
•
3
5 + 3cos 4 x
sin 6 x + cos 6 x = 1 − sin 2 2 x =
.
4
8
BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ GÓC ĐẶC BIỆT
α
0°
0
sin α
0
cosα
1
tan α
0
cot α
||
30°
π
6
1
2
3
2
3
3
3
45°
π
4
2
2
2
2
60°
π
3
3
2
1
2
90°
π
2
1
0
120°
2π
3
3
2
1
−
2
135°
3π
4
2
2
2
−
2
1
3
||
− 3
−1
1
3
3
0
−
3
3
−1
150°
5π
6
1
2
180°
360°
π
2π
0
0
3
2
3
−
3
−1
1
0
0
− 3
||
−
||
Một điểm M thuộc đường trịn lượng giác sẽ có tọa độ M ( cos α ;sin α )
Trang 3
BÀI 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Mục tiêu
1. Nêu rõ tính chất 4 hàm lượng giác cơ bản sin x, cos x, tan x, cot x .
2. Phân biệt được tập xác định, tập giá trị, tính tuần hồn và đồ thị của các hàm lượng giác.
Kiến thức
+ Tìm được tập xác định của hàm lượng giác.
+ Xác định được chu kì của các hàm lượng giác.
+ Vẽ được đồ thị của các hàm lượng giác.
+ Biết xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm lượng giác.
Trang 4
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
•
Hàm số y = sinx
Tập xác định D = ¡ .
•
Tập giá trị [ −1,1] , tức là
Đồ thị hàm số y = sin x
−1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ ¡ .
•
Hàm số y = sin x là hàm số lẻ nên đồ
thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm
tâm đối xứng.
•
Hàm số y = sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π .
•
Hàm số y = cosx
Tập xác định D = ¡ .
•
Tập giá trị [ −1,1] , tức là
Đồ thị hàm số y = cos x
−1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ ¡ .
•
Hàm số y = cos x là hàm số
chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.
•
Hàm số y = cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π .
•
Hàm số y = tanx
Tập xác định
Đồ thị hàm số y = tan x
π
D = ¡ \ + kπ , k ∈ ¢ .
2
•
Tập giá trị R.
•
Hàm số y = tan x là hàm số lẻ nên
đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O
làm tâm đối xứng.
•
Hàm số y = tan x là hàm số tuần
hồn với chu kì T = π .
•
Hàm số y = cotx
Tập xác định
Đồ thị hàm số y = cot x
D = ¡ \ { kπ , k Â} .
ã
Tp giỏ tr Ă .
ã
Hm s y = cot x là hàm số lẻ
nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa
độ O làm tâm đối xứng.
Trang 5
•
Hàm số y = cot x là hàm số tuần hồn với chu kì T = π
Chu kì
y = sin ( ax + b ) → T =
2π
a
y = cos ( ax + b ) → T =
2π
a
y = cot ( ax + b ) → T =
π
a
Tập xác
định
HÀM SỐ
LƯỢNG GIÁC
Tính
chẵn lẻ
y = cos x
Hàm chẵn
Đồ thị nhận Oy làm trục đối
cứng. Hàm số chẵn khi
Hàm lẻ
Đồ thị nhận gốc tọa độ làm
tâm đối xứng. Hàm số lẻ khi
y = sin x
y = tan x
y = cot x
Trang 6
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm lượng giác
Phương pháp giải
Tập xác định của các hàm phân thức, căn thức
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số
1. Hàm số phân thức
y = 2 − 3 cos x .
y=
P ( x ) DKXD
→ Q ( x ) ≠ 0 .
Q ( x)
Hướng dẫn giải
Vì −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ ¡ nên
2. Hàm số chứa căn thức
− 3 ≤ cos x ≤ 3, ∀x ∈ ¡
DKXD
y = 2 n P ( x )
→ P ( x) ≥ 0 .
⇒ 2 − 3cos x > 0, ∀x ∈ ¡ .
3. Hàm số chứa căn thức dưới mẫu số
y=
P ( x)
2n
Q ( x)
Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡ .
DKXD
→Q ( x) > 0 .
Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số
Tập xác định của một số hàm lượng giác cơ bản
1
y = sin 2
÷
x −4
1. y = sin u ( x ) xác định ⇔ u ( x ) xác định.
Hướng dẫn giải
2. y = cos u ( x ) xác định ⇔ u ( x ) xác định.
1
Hàm số y = sin 2
÷ xác định
x −4
3. y = tan u ( x ) xác định ⇔ u ( x ) ≠
π
+ kπ , k ∈ ¢ .
2
4. y = cot u ( x ) xác định ⇔ u ( x ) ≠ kπ , k ∈ ¢ .
⇔ x2 − 4 ≠ 0
⇔ x ≠ ±2 .
Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡ \ { ±2} .
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Tìm tập xác định của hàm số y = cot ( 2018 x + 1) .
Hướng dẫn giải
kπ − 1
,k ∈¢ .
Hàm số y = cot ( 2018 x + 1) xác định ⇔ 2018 x + 1 ≠ kπ ⇔ x ≠
2018
kπ − 1
, k ∈ ¢ .
Vậy tập xác định của hàm số D = ¡ \
2018
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Tập xác định của hàm số y = sin
A. D = ¡ \ { kπ } .
1
+ 2 x là
x
B. D = [ −1;1] \ { 0} .
C. D = ¡ .
D. D = ¡ \ { 0} .
Câu 2: Tập xác định của hàm số y = 2 cot x + sin 3x là
π
A. D = ¡ \ + kπ . B. D = ¡ \ { kπ } .
2
C. D = ¡ .
D. D = ¡ \ { k 2π } .
Trang 7
Câu 3: Tập xác định của hàm số y = cos x là
A. D = [ 0; 2π ] .
B. D = [ 0; +∞ ) .
Câu 4: Tập xác định của hàm số y =
D. D = ¡ \ { 0} .
C. D = ¡ .
cos x
là
2sin x − 1
π
A. D = ¡ \ + k 2π .
6
π
B. D = ¡ \ k .
2
π
C. D = ¡ \ + kπ .
6
5π
π
+ k 2π .
D. D = ¡ \ + k 2π ;
6
6
Câu 5: Tập xác định của hàm số y =
cos x
là
2 cos x − 3
π
A. D = ¡ \ ± + k 2π .
3
π
B. D = ¡ \ k .
2
π
C. D = ¡ \ ± + k 2π .
6
5π
π
+ k 2π .
D. D = ¡ \ + k 2π ;
6
6
Câu 6: Tập xác định của hàm số y =
cot x
là
sin x − 1
π
A. D = ¡ \ + k 2π .
2
π
B. D = ¡ \ k .
2
π
C. D = ¡ \ + k 2π ; kπ .
2
π
π
D. D = ¡ \ + k .
2
2
Câu 7: Tập xác định của hàm số y = 2016 tan 2017 2 x là
π
A. D = ¡ \ + kπ .
2
π
B. D = ¡ \ k .
2
C. D = ¡ .
π
π
D. D = ¡ \ + k .
2
4
Câu 8: Tập xác định của hàm số y = 3 tan x + 2 cot x + x là
π
A. D = ¡ \ + kπ .
2
π
B. D = ¡ \ k .
2
Câu 9: Tập xác định của hàm số y =
π
A. D = ¡ \ + kπ
4
π
π
D. D = ¡ \ + k .
2
4
s inx
là
tan x − 1
.
π
π
C. D = ¡ \ + kπ ; + kπ .
2
4
Câu 10: Tập xác định của hàm số y =
π
A. D = ¡ \ + kπ .
2
C. D = ¡ .
π
B. D = ¡ \ k .
4
π
D. D = ¡ \ + k 2π .
4
2017 tan 2 x
là
sin 2 − cos 2 x
π
B. D = ¡ \ k .
2
Trang 8
π
π
D. D = ¡ \ + k .
2
4
C. D = ¡ .
Câu 11: Tập xác định của hàm số y =
tan x
là
sin x − 1
π
A. D = ¡ \ + k 2π .
2
π
B. D = ¡ \ k .
2
π
C. D = ¡ \ + kπ .
2
π
π
D. D = ¡ \ + k .
2
4
Câu 12: Tập xác định của hàm số y =
sin x
là
sin x + cos x
π
B. D = ¡ \ k .
4
π
A. D = ¡ \ − + kπ .
4
π
π
C. D = ¡ \ + kπ ; + kπ .
2
4
π
D. D = ¡ \ + k 2π .
4
Câu 13: Tập xác định của hàm số y = sin 2 x + 1 là
A. D = ¡ \ { kπ } .
B. D = ¡ .
π
π
C. D = ¡ \ + kπ ; + kπ .
2
4
π
D. D = ¡ \ + k 2π .
2
Câu 14: Tập xác định của hàm số y = 1 − cos 2017 x là
A. D = ¡ \ { kπ } .
B. D = ¡ .
π
π
C. D = ¡ \ + kπ ; + kπ .
2
4
π
D. D = ¡ \ + k 2π .
2
Câu 15: Tập xác định của hàm số
y=
A. D = ¡ \ { kπ } .
1
1 − sin 2 x là
B. D = ¡ .
π
π
C. D = ¡ \ + kπ ; + kπ .
2
4
Câu 16: Tập xác định của hàm số y =
π
D. D = ¡ \ + kπ .
4
1
là
2 − cos 6 x
A. D = ¡ \ { kπ } .
B. D = ¡ .
π
π
C. D = ¡ \ + kπ ; + kπ .
2
4
π
D. D = ¡ \ + kπ .
4
Câu 17: Tập xác định của hàm số y =
A. D = ¡ \ { kπ } .
B. D = ¡ .
tan x
là
15 − 14 cos13 x
π
C. D = ¡ \ + kπ .
2
π
D. D = ¡ \ + kπ .
4
Trang 9
Câu 18: Tập xác định của hàm số y =
A. D = ¡ \ { kπ } .
2 + sin x
là
1 − cos x
π
C. D = ¡ \ + kπ .
2
B. D = ¡ \ { k 2π } .
π
D. D = ¡ \ k .
2
Câu 19: Để tìm tập xác định của hàm số y = tan x + cos x , một học sinh giải theo các bước sau
{
sin x ≠ 0
Bước 1. Điều kiện để hàm số có nghĩa là cos x ≠ 0 .
π
x ≠ + kπ k ; m ∈ ¢
(
).
Bước 2. ⇔
2
x ≠ mπ
π
Bước 3. Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = ¡ \ + kπ , mπ ( k ; m ∈ ¢ ) .
2
Bài giải của bạn đó đã đúng chưa? Nếu sai, thì sai bắt đầu từ bước nào?
A. Bài giải đúng.
B. Sai từ bước 1.
C. Sai từ bước 2.
D. Sai từ bước 3.
Câu 20: Hàm số nào sau đây có tập xác định là ¡ ?
B. y = tan 2 x .
A. y = sin x .
C. y = cot 2 x .
D. y = x + s inx .
Dạng 2: Tính chẵn – lẻ của hàm số lượng giác
Phương pháp giải
1. Hàm số y = f ( x ) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn Ví dụ: Xét tính chẵn - lẻ của hàm số
{
∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D
nếu f ( − x ) = f ( x )
.
2. Hàm số y = f ( x ) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu
{ ∀f x( −∈xD) =⇒−−f x( ∈x ) D .
y = sin 2 x .
Hướng dẫn giải
Hàm số y = sin 2 x có tập xác định D = ¡ .
Đặt f ( x ) = y = sin 2 x .
{
∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D
Ta có f ( − x ) = sin ( −2 x ) = − f ( x )
Chú ý:
Suy ra hàm số y = sin 2 x là hàm số lẻ.
+ Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O ( 0;0 )
+ Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O ( 0;0 ) làm tâm đối
làm tâm đối xứng.
xứng.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Xét tính chẵn - lẻ của hàm số y = f ( x ) = tan x + cot x.
Hướng dẫn giải
π
x ≠ + kπ
cos x ≠ 0
Hàm số có nghĩa khi s inx ≠ 0 ⇔
( với k , l ∈ ¢ ).
2
x ≠ lπ
{
Trang 10
π
Tập xác định D = ¡ \ + kπ , lπ | k , l ∈ ¢ là tập đối xứng.
2
Do đó ∀x ∈ D thì − x ∈ D .
Ta có f ( − x ) = tan ( − x ) + cot ( − x ) = − tan x − cot x = − ( tan x + cot x ) = − f ( x ) .
Vậy f ( x ) là hàm số lẻ. Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
Ví dụ 2. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số y = sin x 2 − 4 .
Hướng dẫn giải
2
Hàm số có nghĩa khi x − 4 ≥ 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −2] ∪ [2; +∞ ) .
Tập xác định D = ( −∞; −2] ∪ [2; +∞ ) là tập đối xứng.
Do đó ∀x ∈ D thì − x ∈ D
Ta có f ( − x ) = sin
( −x)
2
− 4 = sin x 2 − 4 = f ( x ) .
Vậy f ( x ) là hàm số chẵn. Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Ví dụ 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số y = sin 2018 2 x + cos 2019 x .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = ¡ là tập đối xứng.
Do đó ∀x ∈ D thì − x ∈ D .
2018
2018
Ta có f = ( − x ) = sin ( −2 x ) + cos ( −2019 x ) = sin 2 x + cos 2019 x = f ( x ) .
Vậy f ( x ) là hàm số chẵn. Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.
2017π
Ví dụ 4. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số y = f ( x ) = sin 5 x +
2
÷.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = ¡ là tập đối xứng.
Do đó ∀x ∈ D thì − x ∈ D.
2017π
Ta có f ( x ) = sin 5 x +
2
π
π
÷ = sin 5 x + + 1008π ÷ = sin 5 x + ÷ = cos 5 x.
2
2
Lại có f ( − x ) = cos ( −5 x ) = cos 5 x = f ( x ) .
Vậy f ( x ) là hàm số chẵn. Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Ví dụ 5. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số
y = f ( x ) = sin 3 ( 4 x + 9π ) + cot ( 11x − 2018π ) .
Hướng dẫn giải
3
3
Ta có y = f ( x ) = sin ( 4 x + 9π ) + cot ( 11x − 2018π ) = − sin 4 x + cot11x .
Trang 11
Hàm số có nghĩa khi sin11x ≠ 0 ⇔ 11x ≠ kπ ⇔ x ≠
kπ
,k ∈¢ .
11
kπ
Tập xác định D = ¡ \ , k ∈ ¢ là tập đối xứng.
11
Do đó ∀x ∈ D thì − x ∈ D .
3
3
Lại có f ( − x ) = − sin ( −4 x ) + cot ( −11x ) = sin 4 x − cot11x
= − ( − sin 3 4 x + cot11x ) = − f ( x ) .
Vậy f ( x ) là hàm số lẻ. Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O ( 0;0 ) làm tâm đối xứng.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Hàm số y = sin x.cos x là
A. hàm số không lẻ.
B. hàm số chẵn.
C. hàm số không chẵn.
D. hàm số lẻ.
Câu 2: Hàm số y = sin x + tan 2 x là
A. hàm số lẻ.
B. hàm số chẵn.
C. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ.
D. hàm số không chẵn, không lẻ.
Câu 3: Hàm số y = sin x + cos x là
A. hàm số lẻ.
B. hàm số chẵn.
C. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ.
D. hàm số không chẵn, không lẻ.
Câu 4: Hàm số y = 2 x − sin 3 x là
A. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ.
B. hàm số không chẵn, không lẻ.
C. hàm số chẵn.
D. hàm số lẻ.
Câu 5: Hàm số y = 1 + 2 x − cos 3 x là
2
A. hàm số lẻ.
B. hàm số chẵn.
C. hàm số không chẵn, không lẻ.
D. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ.
Câu 6: Hàm số nào là hàm số lẻ trong các hàm số sau?
A. y = sin x .
B. y =
cot x
.
cos x
C. y = sin 2 x .
D. y =
tan x
.
sin x
Câu 7: Hàm số y = x cos 2 x là
A. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ.
C. hàm số chẵn.
B. hàm số không chẵn, không lẻ.
D. hàm số lẻ.
Câu 8: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. Hàm số y = sin x.cos 3 x là hàm số lẻ.
B. Hàm số y = cos x − 2 sin x là hàm số chẵn.
2
C. Hàm số y = 3 ( cot x + cos x ) là hàm số lẻ.
Trang 12
D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai.
Câu 9: Hàm số y =
2sin x − 4 tan x
là
5 + cos x
A. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ.
B. hàm số chẵn.
C. hàm số lẻ.
D. hàm số không chẵn, không lẻ.
Câu 10: Xét hai mệnh đề
(I)
Hàm số y = tan x + cos x là hàm số lẻ.
(II)
Hàm số y = tan x + sin x là hàm số lẻ.
Mệnh đề nào sai?
A. Chỉ (I) sai.
B. Chỉ (II) sai.
C. Cả 2 sai.
D. Khơng có mệnh đề sai.
Câu 11: Hàm số y = sin x cos 2 x + tan x là
A. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ.
B. hàm số chẵn.
C. hàm số không chẵn, không lẻ.
D. hàm số lẻ.
Câu 12. Hàm số y = x 2 tan 2 x − cot x là
A. hàm số không chẵn – lẻ.
B. hàm số chẵn.
C. hàm số không lẻ.
D. hàm số lẻ.
5π
− 2 x ÷ là
Câu 13. Hàm số y = 2 − sin x cos
2
A. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ.
B. hàm số không chẵn, không lẻ.
C. hàm số chẵn.
D. hàm số lẻ.
2
Câu 14. Cho hàm số f ( x ) = sin 2 x và g ( x ) = tan x . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. f ( x ) là hàm số chẵn, g ( x ) là hàm số lẻ.
B. f ( x ) là hàm số lẻ, g ( x ) là hàm số chẵn.
C. f ( x ) là hàm số chẵn, g ( x ) là hàm số chẵn.
D. f ( x ) và g ( x ) đều là hàm số lẻ.
Câu 15. Hàm số y =
x sin 2 x
là
cos3 2 x
A. hàm số lẻ.
B. hàm số chẵn.
C. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ.
D. hàm số không chẵn, không lẻ.
Câu 16. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
A. y = 1 − sin 2 x .
2
B. y = cot x .sin x .
C. y = x 2 tan 2 x − cot x .
D. y = 1 + cot x + tan x .
Câu 17. Hàm số y = tan x − 2 cos 3x là
A. hàm số lẻ.
B. hàm số chẵn.
C. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ.
D. hàm số không chẵn, không lẻ.
3π
− 3x ÷là
Câu 18. Hàm số y = 1 + cos x sin
2
Trang 13
A. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ.
B. hàm số chẵn.
C. hàm số không chẵn, không lẻ.
D. hàm số lẻ.
Câu 19. Cho hai hàm số f ( x ) =
cos 2 x
sin 2 x − cos 3 x
và g ( x ) =
.
2
1 + sin 3x
2 + tan 2 x
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. f ( x ) lẻ và g ( x ) chẵn.
B. f ( x ) và g ( x ) chẵn.
C. f ( x ) chẵn và g ( x ) lẻ.
D. f ( x ) và g ( x ) lẻ.
Câu 20. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
π
4
A. y = x + cos x − ÷.
3
π
2017
B. y = x + cos x − ÷ .
2
C. y = 2015 + cos x + sin 2018 x .
D. y = tan 2017 x + sin 2018 x .
Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
Phương pháp giải
Sử dụng một số bất đẳng thức sau
1. Bất đẳng thức lượng giác
−1 ≤ sin x;cos x ≤ 1, ∀x ∈ ¡ .
− A + B ≤ A sin x + B ≤ A + B, ∀x ∈ ¡ .
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
π π
hàm số y = 3cos x + 2 trên đoạn − ; .
2 2
Hướng dẫn giải
− A + B ≤ A cos x + B ≤ A + B, ∀x ∈ ¡ .
π π
Xét hàm số y = 3cos x + 2 trên đoạn − ; .
2. Bất đẳng thức về điều kiện có nghiệm hàm số bậc
2 2
nhất.
− A2 + B 2 ≤ A sin x + B cos x ≤ A2 + B 2 , ∀x ∈ ¡ .
π π
Khi x ∈ − ; thì 0 ≤ cos x ≤ 1 .
2 2
3. Bất đẳng thức Bunhiacopxki.
Suy ra 2 ≤ 3cos x + 2 ≤ 5 ⇔ 2 ≤ y ≤ 5 .
ax + by ≤ a 2 + b 2 . x 2 + y 2 .
Vậy min y = 2 khi x = ±
π
; max y = 5 khi x = 0 .
2
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi ay = bx .
4. Sử dụng phương pháp đồ thị lượng giác.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin 6 x + cos 6 x .
Hướng dẫn giải
3 2
6
6
Ta có y = sin x + cos x = 1 − sin 2 x .
4
3
3 2
3
Do 0 ≤ sin 2 2 x ≤ 1 nên − .0 ≥ − sin 2 x ≥ −
4
4
4
3
3
1
1 ≥ 1 − sin 2 2 x ≥ 1 − ⇔ 1 ≥ y ≥ .
4
4
4
Trang 14
Vậy min y =
1
π kπ
khi sin 2 2 x = 1 ⇔ cos 2 x = 0 ⇔ x = +
,k ∈¢ .
4
4 2
max y = 1 khi sin 2 2 x = 0 ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ x =
kπ
,k ∈¢ .
2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
π π
y = tan 2 x − tan x + 2020 trên đoạn − ; .
4 4
Hướng dẫn giải
2
1 8079
Ta có y = tan 2 x − tan x + 2020 = tan x − ÷ +
.
2
4
Chú ý: Hàm số tan x
π π
Hàm số tan x đồng biến và xác định trên khoảng − ; ÷
2 2
ln đồng biến trên
π π π π
Mà − ; ⊂ − ; ÷ nên hàm số tan x đồng biến và xác định trên
4 4 2 2
π π
− 4 ; 4 .
các khoảng xác định
của nó.
π
π
Do đó tan − ÷ ≤ tan x ≤ tan ⇔ −1 ≤ tan x ≤ 1
4
4
2
1
1
1
3
1 1
1 9
⇒ −1 − ≤ tan x − ≤ 1 − ⇔ − ≤ tan x − ≤ ⇒ 0 ≤ tan x − ÷ ≤
2
2
2
2
2 2
2 4
2
8079
1 8079 9 8079
8079
⇔
≤ tan x − ÷ +
≤ +
⇔
≤ y ≤ 2022 .
4
2
4
4
4
4
Vậy min y =
8079
1
1
khi tan x = ⇔ x = arctan ;
4
2
2
max y = 2022 khi tan x = −1 ⇔ x = −
π
+ kπ , k ∈ ¢
4
Bài tập tự luyện dạng 3
π
Câu 1. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 7 − 2 cos x + ÷ lần lượt là
4
A. -2 và 7.
B. -2 và 2.
C. 5 và 9.
D. 4 và 7.
Câu 2. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 4 sin x + 3 − 1 lần lượt là
A.
2 và 2.
B. 2 và 4.
C. 4 2 và 8.
D. 4 2 − 1 và 7.
Câu 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin 2 x − 4sin x − 5 là
A. -20.
B. -8.
C. 0.
D. 9.
Câu 4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin x + 3 là
A. max y = 5, min y = 1 .
B. max y = 5, min y = 2 5 .
C. max y = 5, min y = 2 .
D. max y = 5, min y = 3 .
Trang 15
Câu 5. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
4
là
1 + 2sin 2 x
4
A. min y = , max y = 4 .
3
4
B. min y = , max y = 3 .
3
4
C. min y = , max y = 2 .
3
1
D. min y = , max y = 4 .
2
Câu 6. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin 2 x + cos 2 2 x là
A. max y = 4, min y =
3
.
4
B. max y = 3, min y = 2 .
C. max y = 4, min y = 2 .
D. max y = 3, min y =
3
.
4
Câu 7. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3sin x + 4 cos x + 1 là
A. max y = 6, min y = −2 .
B. max y = 4, min y = −4 .
C. max y = 6, min y = −4 .
D. max y = 6, min y = −1 .
Câu 8. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4sin 6 x + 3cos 6 x là
A. min y = −5, max y = 5 .
B. min y = −4, max y = 4 .
C. min y = −3, max y = 5 .
D. min y = −6, max y = 6 .
π π
Câu 9. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin 2 x trên − ; lần lượt là
6 3
A.
1
3
và
.
2
2
B.
3
3
và −
.
2
2
C.
1
3
và − .
2
2
D.
1
1
và − .
2
2
π π
Câu 10. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 tan x trên − ; lần lượt là
3 4
A.
3 và −
3
.
3
B.
3
.
3
3 và
C.
3 và -3.
D.
3 và -1.
2π
Câu 11. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4 − 3cos x trên 0; lần lượt là
3
A. 1 và -1.
B. 11 và 5.
C.
3 và -3.
D.
π
Câu 12. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) = sin 2 x + ÷trên
4
A. 1 và - 2 .
B. 1 và
2
.
2
C.
2
và -1.
2
D.
11
và 1.
2
π π
− 4 ; 4 lần lượt là
2
2
và −
.
2
2
Câu 13. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x + 2 − sin 2 x là
A. min y = 0, max y = 3 .
B. min y = 0, max y = 4 .
C. min y = 0, max y = 6 .
D. min y = 0, max y = 2 .
Trang 16
Câu 14. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
A.
C.
−2 + 19
−2 − 19
và
.
3
3
cos x − 2sin x
lần lượt là
2 − sin x
B.
3 và -3.
D.
3 và
3
.
3
− 3 − 19
− 3 + 19
và
.
3
3
Câu 15. Giá trị của m để bất phương trình ( 3sin x − 4 cos x ) − 6sin x + 8cos x ≥ 2m − 1 nghiệm đúng với
2
mọi x ∈ ¡ là
A. m > 0.
B. m ≤ 0 .
C. m < 0 .
D. m ≤ 1 .
2
2
Câu 16. Kết luận đúng về hàm số y = tan x + cot x + 3 ( tan x + cot x ) − 1 là
A. min y = −5 đạt được khi x = −
π
+ kπ , k ∈ ¢ .
4
B. Khơng tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
C. min y = −2 và max y = 5 .
D. Tồn tại giá trị lớn nhất nhưng không tồn tại giá trị nhỏ nhất.
Câu 17. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos 4 x + sin 4 x trên ¡ lần lượt là
A. 2 và 0.
B. 1 và
1
.
2
Câu 18 . Giá trị của m để bất phương trình
A. m ≥
3 5
.
4
B. m ≥
C.
2 và 0.
D.
2 và 1.
3sin 2 x + cos 2 x
≤ m + 1 là
sin 2 x + 4 cos 2 x + 1
3 5 +9
.
4
C. m ≥
3 5 −9
.
2
D. m ≥
3 5 −9
.
4
cos 2 x + sin x.cos x
Câu 19. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y =
lần lượt là
1 + sin 2 x
A. 0 và 3.
B.
2 và 4.
C. −
2
và 6.
3
D.
2− 6
2+ 6
và
.
4
4
Câu 20. Cho cos 2 x + cos 2 y + cos 2 z = 1 . Giá trị lớn nhất của y = 1 + cos 2 x + 1 + cos 2 y + 1 + cos 2 z là
A. 3 3 .
B. 2 3 .
C. 4 3 .
D.
3.
Dạng 4. Tính tuần hồn và chu kỳ hàm lượng giác
Phương pháp giải
Một số vấn đề cần chú ý
1. Tính tuần hồn của hàm số
Định nghĩa: Hàm số y = f ( x ) xác định trên tập D
được gọi là hàm số tuần hồn nếu có số T ≠ 0 sao cho
với mọi x ≠ 0 ta có
Ví dụ: Tìm chu kì của hàm số
2x π
y = sin + ÷ .
3 4
Hướng dẫn giải
Trang 17
x + T ∈ D và f ( x + T ) = f ( x ) .
Tập xác định D = ¡ .
Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì
hàm số đó được gọi là hàm số tuần hồn với chu kỳ T.
Chu kì của hàm số
2π
y = m sin ( ax + b )
2. Các hàm số y = m cos ax + b có chu kỳ T =
;
(
)
a
T=
2π
= 3π
2
.
3
biên độ m ;cực đại m ;cực tiểu - m ,
3. Hàm số f ( x ) = a sin ux + b cos vx + c
(với u , v ∈ ¢ ) là hàm số tuần hồn với chu kì
T=
2π
( u, v ) ((u,v) là ƯCLN (u,v)).
4. Hàm số f ( x ) = a.tan ux + b cos vx + c
(với u , v ∈ ¢ ) hàm số tuần hồn với chu kì
T=
2π
( u, v ) ((u,v) là ƯCLN (u,v)).
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm chu kì cơ sở của hàm số y = 2sin 2 x + 3cos 3x .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = ¡ .
Chu kì hàm số T =
2π
= 2π .
( 2,3)
Ví dụ 2. Xét tính tuần hồn và tìm chu kì của hàm số
f ( x ) = cos x + cos
(
)
3x .
Hướng dẫn giải
Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn. Suy ra tồn tại số thực dương T thỏa mãn
f ( x + T ) = f ( x ) ⇔ cos ( x + T ) + cos 3 ( x + T ) = cos x + cos
Chọn x = 0 ta được cos T + cos
⇒
{
(
(
)
3x .
cos T = 1
3T = 2 ⇔ cos 3T = 1
)
(
)
m
m
T = 2nπ
⇒ 3 = (vơ lí do m, n ∈ ¢ nên là số hữu tỉ).
3T = 2mπ
n
n
Vậy hàm số đã cho khơng tuần hồn.
Bài tập tự luyện dạng 4
x π
Câu 1. Chu kì của hàm số y = sin + ÷ là
3 6
Trang 18
A.
1
.
2
B.
π
.
3
C.
2π
.
3
D. 6π .
Câu 2. Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?
A. y = cos 3 x .
B. y = 3cos 3x .
C. y = −3cos 6 x .
D. y = −3cos 3 x .
x π
Câu 3. Hàm số y = 2sin − ÷ là hàm số tuần hồn với chu kì
2 3
A. T = 6π .
B. T = 4π .
C. T = 6 .
D. T = 2π .
Câu 4. Khẳng định nào sau đây sai về hàm số y = 2 + sin x ?
A. Đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ.
B. Đồ thị hàm số nằm ở phía trên trục hoành.
C. Giá trị cực đại của y là 2.
D. Giá trị cực tiểu của y là 1.
Câu 5. Nếu chu kì tuần hồn của hàm số y = sin
A. a = ±2 .
πx
là 4 thì
a
B. a = ±4 .
C. a = 2 .
D. a = ±1 .
Câu 6. Hàm số y = tan x 2 tuần hồn với chu kì
A. T = π 2 .
B. T = π .
C. T = π .
D. Hàm số khơng có chu kì.
Câu 7. Khẳng định nào sau đây đúng với hàm số y = 2 cos
x
?
2
A. Biên độ là 2, chu kì là π .
B. Biên độ là -2, chu kì là 180° .
C. Biên độ là 2, chu kì là 2π .
D. Biên độ là 2, chu kì là 4π .
Câu 8. Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?
A. y = sin 2 x .
B. y = sin 3x .
C. y = cos 2 x .
D. y = cos 3 x .
C. T0 = π .
D. T0 =
Câu 9. Chu kì của hàm số sau y = sin 3 x + 2 cos 2 x là
A. T0 = 2π .
B. T0 =
π
.
2
π
.
4
Trang 19
Câu 10. Với 0 ≤ x ≤
A. 0.
π
x
thì hàm số f ( x ) = sin có giá trị cực đại là
2
3
B. 1.
C.
1
.
3
D.
1
.
2
π
Câu 11. Hàm số y = 3cos − mx ÷tuần hồn có chu kì T = 3π khi
4
3
A. m = ± .
2
2
C. m = ± .
3
B. m = ±1 .
D. m = ±2 .
Câu 12. Xét đồ thị hàm số y = sin x với x ∈ [ π , 2π ] . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số có một cực đại tại x = π .
B. Đồ thị hàm số có một cực tiểu tại x = 2π .
C. Đồ thị hàm số có một cực tiểu tại x =
3π
.
2
D. Hàm số đồng biến trên [ π , 2π ] .
Câu 13. Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?
A. y = sin 2 x .
B. y = cos 2 x .
x
C. y = cos .
2
D. y = cos 3 x .
C. T0 = π .
D. T0 =
Câu 14. Chu kì của hàm số y = sin 2 x + sin x là
A. T = 2π .
B. T0 =
π
.
2
π
.
4
Câu 15. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
π
A. Hàm số y = cot x đồng biến trên khoảng ; π ÷.
2
π
B. Hàm số y = sin x nghịch biến trên khoảng ; π ÷.
2
π π
π π
C. Hàm số y = tan x đồng biến trên − ; ÷ và y = cot x nghịch biến trên khoảng − ; ÷.
2 2
2 2
π
D. Hàm số y = sin x và y = cos x cùng đồng biến trên khoảng 0; ÷.
2
Câu 16. Chu kì của hàm số y = tan x + tan 3 x là
A. T = 2π .
B. T = π .
C. T =
π
.
4
D. T =
π
.
2
Trang 20
x
Câu 17. Khẳng định nào sau đây đúng về hàm số y = 2sin − 2017π ÷?
2
A. Chu kì 2π , biên độ 2.
B. Chu kì 4π , biên độ 2.
C. Chu kì 2π , biên độ 1.
D. Chu kì 4π , biên độ 1.
Câu 18. Chu kì của hàm số y = sin 3 x + 2017 cos 2 x là
A. T = π .
B. T =
π
.
2
C. T = 2π .
D. T =
π
.
4
Câu 19. Hình vẽ sau là đồ thị của hàm số y = sin ( ax + π b ) . Biết a ≥ 0 và b nhỏ nhất, giá trị của biểu
thức P = a + b là
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 20. Chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số y = sin x là
A. hàm số khơng có chu kì cơ sở.
C. T0 = π .
B. T0 =
D. T0 =
π
.
2
π
.
4
Trang 21
ĐÁP ÁN
Dạng 1: Tìm tập xác định hàm số lượng giác
1–D
11 – C
2–B
12 – A
3–B
13 – B
4–D
14 – B
5–C
15 – D
6–C
16 – B
7–D
17 – C
8–B
18 – B
9–C
19 – A
10 – D
20 – D
Hướng dẫn giải chi tiết
Câu 1.
Hàm số y = sin
1
+ 2 x có nghĩa ⇔ x ≠ 0 ⇔ D = ¡ \ { 0} .
x
Câu 2.
Hàm số y = 2 cot x + sin 3 x có nghĩa ⇔ x ≠ kπ ⇔ D = ¡ \ { kπ } ( k ∈ ¢ ) .
Câu 3:
Hàm số y = cos x có nghĩa ⇔ x ≥ 0 ⇔ D = [ 0; +∞ ) .
Câu 4.
π
x ≠ 6 + k 2π
1
cos x
( k ∈¢) .
Hàm số y =
có nghĩa ⇔ 2sin x − 1 ≠ 0 ⇔ sin x ≠ ⇔
5π
2
2sin x − 1
x ≠
+ k 2π
6
5π
π
⇔ D = ¡ \ + k 2π ;
+ k 2π ( k ∈ ¢ ) .
6
6
Câu 5.
π
cos x
3
x ≠ 6 + k 2π
⇔
( k ∈¢) .
Hàm số y =
có nghĩa ⇔ 2 cos x − 3 ≠ 0 ⇔ cos x ≠
π
2
2 cos x − 3
x ≠ − + k 2π
6
π
⇔ D = ¡ \ ± + k 2π ( k ∈ ¢ ) .
6
Câu 6.
Hàm số y =
{
{
cot x
sin x − 1 ≠ 0 ⇔ sin x ≠ 1
có nghĩa ⇔ x ≠ kπ
x ≠ kπ
sin x − 1
π
π
⇔ x ≠ 2 + k 2π ( k ∈ ¢ ) ⇔ D = ¡ \ + k 2π ; kπ ( k ∈ ¢ ) .
2
x ≠ kπ
Câu 7:
Hàm số y = 2016 tan 2017 2 x có nghĩa ⇔ cos 2 x ≠ 0 ⇔ 2 x ≠
π
π
π
+ kπ ⇔ x ≠ + k ( k ∈ ¢ )
2
4
2
π
π
⇔ D = ¡ \ + k ( k ∈ ¢) .
2
4
Câu 8:
Trang 22
π
cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ
y
=
3
tan
x
+
2
cot
x
+
x
⇔
Hàm số
có nghĩa
2
sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ
⇔x≠k
π
( k ∈¢) ⇔ D = ¡
2
π
\ k ( k ∈ ¢ ) .
2
tan x ≠ 1
sin x
⇔
tan
x
−
1
≠
0
⇔
Câu 9: Hàm số y =
có nghĩa
x ≠ π + kπ
tan x − 1
2
π
π
π
x ≠ 4 + kπ
⇔
( k ∈ ¢ ) ⇔ D = ¡ \ + kπ ; + kπ ( k ∈ ¢ ) .
π
2
4
x ≠ + kπ
2
Câu 10:
sin 2 x − cos 2 x ≠ 0
2017 tan 2 x
− cosπ 2 x ≠π0
π
⇔
⇔
Hàm số y =
có
nghĩa
2 x ≠ + kπ
x ≠ + k ( k ∈ ¢ )
sin 2 x − cos 2 x
4
2
2
⇔x≠
π
π
+k ⇔ D = ¡
4
2
π
π
\ + k ( k ∈ ¢) .
2
4
Câu 11:
π
π
sin x − 1 ≠ 0 ⇔ sin x ≠ 1 ⇔ x ≠ 2 + k 2π
tan x
⇔ x ≠ + kπ ( k ∈ ¢ )
Hàm số y =
có nghĩa ⇔
π
2
sin x − 1
x ≠ + kπ
2
π
⇔ D = ¡ \ + kπ ( k ∈ ¢ ) .
2
Câu 12:
Hàm số y =
⇔x≠
π
sin x
có nghĩa ⇔ sin x + cos x ≠ 0 ⇔ 2 sin x + ÷ ≠ 0
4
sin x + cos x
−π
−π
+ kπ ( k ∈ ¢ ) ⇔ D = ¡ \
+ kπ ( k ∈ ¢ ) .
4
4
Câu 13:
Hàm số y = sin 2 x + 1 có nghĩa ⇔ sin 2 x + 1 ≥ 0 ⇔ sin 2 x ≥ −1 ⇔ ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
Câu 14:
Hàm số y = 1 − cos 2017 x có nghĩa ⇔ 1 − cos 2017 x ≥ 0 ⇔ cos 2017 x ≤ 1 ⇔ ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
Câu 15:
Hàm số y =
⇔ 2x ≠
1
có nghĩa ⇔ 1 − sin 2 x > 0 ⇔ sin 2 x < 1 ⇔ sin 2 x ≠ 1
1 − sin 2 x
π
π
+ k 2π ⇔ x ≠ + kπ ( k ∈ ¢ ) ⇔ D = ¡
2
4
π
\ + kπ ( k ∈ ¢ ) .
4
Câu 16:
Trang 23
Hàm số y =
1
có nghĩa ⇔ 2 − cos 6 x > 0 ⇔ cos 6 x < 2 ⇔ ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡
2 − cos 6 x
Câu 17:
15
15 − 14 cos13 x > 0
tan x
cos13 x < 14
⇔
Hàm số y =
có nghĩa ⇔ x ≠ π + kπ
π
15 − 14 cos13 x
x ≠ + kπ
2
2
⇔x≠
π
π
+ kπ ( k ∈ ¢ ) ⇔ D = ¡ \ + kπ ( k ∈ ¢ )
2
2
Câu 18:
Hàm số y =
2 + sin x
có nghĩa ⇔ 1 − cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ k 2π ( k ∈ ¢ ) ⇔ D = ¡ \ { k 2π } ( k ∈ ¢ ) .
1 − cos x
Câu 19:
π
cos ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ k ∈ ¢ ⇔ D = ¡ \ kπ k ∈ ¢
y
=
tan
x
+
cot
x
⇔
(
)
)
Hàm số
có nghĩa
(
2
sin x ≠ 0
2
x ≠ kπ
{
Vậy bạn học sinh đó giải đúng.
Câu 20:
Hàm số y = sin x có nghĩa ⇔ x ≥ 0 ⇔ D = [ 0; +∞ ) .
Hàm số y = tan 2 x có nghĩa ⇔ cos 2 x ≠ 0 ⇔ 2 x ≠
π
π kπ
+ kπ ⇔ x ≠ +
⇔D=¡
2
4 2
Hàm số y = cot 2 x có nghĩa ⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ 2 x ≠ kπ ⇔ x ≠
π kπ
\ +
.
4 2
kπ
kπ
⇔ D = ¡ \ .
2
2
Hàm số y = x + sin x có D = ¡ .
Dạng 2: Tính chẵn – lẻ của hàm số lượng giác
1–D
11 – D
2 –A
12 – D
3–D
13 – C
4–D
14 – B
5–B
15 – A
6–B
16 – C
7-C
17 – D
8 -A
18 – B
9–C
19 – B
10 – A
20 – B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:
Hàm số y = sin x.cos x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
Ta có f ( − x ) = sin ( − x ) .cos ( − x ) = − sin x.cos x = − f ( x ) .
Vậy hàm số y = sin x.cos x là hàm số lẻ.
Câu 2:
Hàm số y = sin x + tan 2 x có nghĩa ⇔ cos 2 x ≠ 0 ⇔ 2 x ≠
π
π kπ
π kπ
+ kπ ⇔ x ≠ +
⇔ D=¡ \ +
.
2
4 2
4 2
Ta có f ( − x ) = sin ( − x ) + tan ( −2 x ) = − sin x − tan 2 x = − ( sin x + tan 2 x ) = − f ( x ) .
Vậy hàm số y = sin x + tan 2 x là hàm số lẻ.
Trang 24
Câu 3:
Hàm số y = sin x + cos x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
f ( −x) ≠ f ( x)
Ta có f ( − x ) = sin ( − x ) + cos ( − x ) = − sin x + cos x ⇒ f − x ≠ − f x
( )
( )
Vậy hàm số y = sin x + cos x là hàm số không chẵn, không lẻ.
Câu 4:
Hàm số y = 2 x − sin 3 x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡
Ta có f ( − x ) = −2 x − sin ( −3 x ) = −2 x + sin 3 x = − ( 2 x − sin 3 x ) = − f ( x ) .
Vậy hàm số y = 2 x − sin 3 x là hàm số lẻ.
Câu 5:
Hàm số y = 1 + 2 x 2 − cos 3 x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
Ta có f ( − x ) = 1 + 2 ( − x ) − cos ( −3 x ) = 1 + 2 x 2 − cos ( 3x ) = f ( x ) .
2
Vậy hàm số y = 1 + 2 x 2 − cos 3 x là hàm số chẵn.
Câu 6:
π
cot x
cos
x
≠
0
⇔
x
≠
+ kπ ⇔ x ≠ k π ⇔ D = ¡ \ kπ
⇔
Hàm số y =
có nghĩa
.
2
2
cos x
2
sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ
Ta có f ( − x ) =
cot ( − x ) − cot x
=
= − f ( x) .
cos ( − x )
cos x
Vậy hàm số y =
cot x
là hàm số lẻ.
cos x
Câu 7:
Hàm số y = x cos 2 x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
Ta có f ( − x ) = − x cos ( −2 x ) = x cos 2 x = f ( x ) .
Vậy hàm số y = x cos 2 x là hàm số chẵn.
Câu 8:
Hàm số y = sin x.cos 3 x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
Ta có f ( − x ) = sin ( − x ) .cos ( −3 x ) = − sin x.cos 3 x = − f ( x ) .
Vậy hàm số y = sin x.cos 3 x là hàm số lẻ.
Câu 9:
Hàm số y =
π
2sin x − 4 tan x
π
có nghĩa ⇔ cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ ⇔ D = ¡ \ + kπ ( k ∈ ¢ ) .
2
5 + cos x
2
Ta có f ( − x ) =
2sin ( − x ) − 4 tan ( − x ) −2sin x + 4 tan x
=
= − f ( x) .
5 + cos ( − x )
5 + cos x
Vậy hàm số y =
2sin x − 4 tan x
là hàm số lẻ.
5 + cos x
Trang 25
