Bài 2 cấp số CỘNG toán 11

CHUYÊN ĐỀ
BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Hiểu được khái niệm cấp số cộng.
+ Nắm được công thức tổng quát, tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
+ Biết được số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.
 Kĩ năng
+ Tìm được các yếu tố còn lại khi biết 3 trong 5 yếu tố: số hạng đầu, số hạng thứ k, công sai, số
số hạng, tổng n số hạng đầu của cấp số cộng.
+ Liên hệ được kiến thức về cấp số cộng để giải những bài toán thực tế.

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định nghĩa
Cấp số cộng là một dãy số (vơ hạn hay hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều
bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi, nghĩa là

 un 

là cấp số cộng

� n �2, un  un 1  d .

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Định lí 1
Nếu

 un 

là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng

hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là

uk 

uk 1  uk 1
.
2

Hệ quả: Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi a + c = 2b.
Định lí 2
Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu
cơng thức sau:

un  u1   n  1 d

u1 và cơng sai d thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi

.
Định lí 3

Giả sử

 un 

là một cấp số cộng có công sai d.

n

Gọi
(

S n  �uk  u1  u2  ...  un
k 1

Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng).

Ta có

Sn 

2u1   n  1 d �
n  u1  un  n �
�.
 �
2
2
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
Nhận diện cấp số cộng
là hằng số

Số hạng tổng quát

CẤP SỐ CỘNG

un  un 1  d

Số hạng thứ k

Hệ quả

Ba số a, b, c theo thứ
tự lập thành cấp số
cộng khi và chỉ khi

 n �2 

Tổng n số hạng đầu tiên
Trang 2


II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Nhận dạng một dãy số là cấp số cộng
Phương pháp giải
Sử dụng định nghĩa

 un  là một cấp số cộng khi và chỉ khi un 1  un  d ,

Để chứng minh dãy số

 un  là một cấp số cộng, ta xét

với d là một hằng số.

d  un 1  un

 un  là một cấp số cộng với công sai d.



Nếu d là hằng số thì



Nếu d phụ thuộc vào n thì

 un  khơng là cấp số cộng.

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Chứng minh các dãy số sau là cấp số cộng.
a) Dãy số

 un  với un  2020n  2021.

b) Dãy số

 un  với un  2n  5.

Hướng dẫn giải
a) Dãy số
Ta có
Vậy

un 1  un  2020  n  1  2021   2020n  2021  2020.

 un  là một cấp số cộng với cơng sai

b) Dãy số

Ta có
Vậy

 un  với un  2020n  2021.

d  2020.

 un  với un  2n  5.

un 1  un  2  n  1  5   2n  5   2.

 un  là một cấp số cộng với cơng sai

d  2.

Ví dụ 2. Chứng minh các dãy số sau không phải là cấp số cộng.
a) Dãy số

 un  với un  n2  n  1.

u
u  1
b) Dãy số  n  với n  

n

 3n.

Hướng dẫn giải
a) Dãy số

 un  với un  n2  n  1.

un 1  un   n  1   n  1  1   n 2  n  1  2n  2
2

Ta có

phụ thuộc vào n.
Trang 3


Vậy

 un  không là cấp số cộng.

u
u  1
b) Dãy số  n  với n  

Ta có
Vậy

un 1  un   1

n 1

n

 3n.

 3  n  1  �
  1  3   1  3  2  1
 1  3n�
�
�  
phụ thuộc vào n.
n

n

n

n

 un  không là cấp số cộng.
Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?
A. 1; 3; 6; 9; 12.

B. 1; 4; 7; 10; 14.

C. 1; 2; 4; 8; 16.

D. 0; 4; 8; 12; 16.

Câu 2: Trong các dãy sau đây, dãy nào là cấp số cộng?
n
A. un  3 .

B.

un   3

n 1

.

C.

1

un  3n  1.

2
D. un  5n  n.

1

u1   , d 
u 
2
2 có dạng khai triển nào sau đây?
Câu 3: Một cấp số cộng n với

1
1
 ; 0; 1; ; 1;...
2

A. 2

1
1
1
 ; 0; ; 0;  ;...
2
2
B. 2

1
3
5
; 1; ; 2; ;...
2
2
C. 2

1
1
3
 ; 0; ; 1; ;...
2
2
D. 2

Câu 4: Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng
A. 1; -2; -4; -6; -8.

B. 1; -3; -6; -9; -12.

C. 1; -3; -7; -11; -15.

D. 1; -3; -5; -7; -9.

Câu 5: Trong các dãy số sau đây dãy số nào là cấp số cộng?
A. un  n  1, n �1.

B.

un  2n  3, n �1.

2
C. un  n  1, n �1.

un   2 

n 1

D.

un   3

n 1

D.

D.

u1  3

�
�
un1  un  1, n �1.
�

, n �1.

Câu 6: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
2
A. un  3n  2020.

Câu 7: Trong các dãy số

A.

un  3n  1.

B.

un  3n  2020.

.

 un  sau đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?
un   n  1  n .
2

B. un  2  1.
n

Câu 8: Các dãy số sau có số dạng tổng quát
A. 1; 3; 5; 7; 9.

n
C. un  3 .

C.

2

un , dãy số nào không phải là cấp số cộng?

B. 13; 17; 21; 25; 29.

C.

un  1  3n.

D.

un   n  3   n 2 .

D.

un   n  1 .

2

Câu 9: Trong các dãy số sau đây dãy số nào là cấp số cộng?

A.

u1  1
�
.
�
un 1  2un  1
�

B.

u1  1
�
.
�
un 1  un  1
�

C.

un  n 2 .

C.

un  3n ,  n ��*  .

3

Câu 10: Dãy số nào dưới đây là cấp số cộng?
A.

un  n  2n ,  n ��*  .

B.

un  3n  1,  n ��*  .

D.

un 

3n  1
,  n ��*  .
n2
Trang 4


Câu 11: Khẳng định nào sau đây sai?
A. Dãy số 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001;… không phải là một cấp số cộng.
1
�
u1  
�
�
2.
1�
1
1 1 3
�
d

 ;0; ;1; ;...
B. Dãy số 2 2 2 là một cấp số cộng với � 2
� 1
u 
�
�1 2
.
�
1
1 1 1
�
d
; 2 ; 3 ;...
�
2
2
2
2
C. Dãy số
là một cấp số cộng có ba số hạng và

D. Dãy số -2; -2; -2; -2;… là một cấp số cộng

u1  2
�
.
�
�d  0

Câu 12: Cho dãy số có các số hạng đầu là 8; 15; 22; 29; 36;… Viết công thức số hạng tổng quát?

A.

un  7 n  7.

C. Không viết được dưới dạng công thức.

B.

un  7 n.

D.

un  7n  1.

Câu 13: Cho 2 cấp số cộng hữu hạn 4; 7; 10; 13; 16;… và 1; 6; 11; 16; 21;…; mỗi cấp số cộng có 100 số
hạng. Hỏi có tất cả bao nhiêu số có mặt trong cả hai cấp số trên?
A. 21.

B. 20.

C. 18.

D. 19.

Câu 14: Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?
A. Dãy số

 an  , với

an   2n  5   4n 2 , n ��* .

2

B. Dãy số

 bn  , với b1  1, bn1  3bn  4, n ��*.
d1  1, d n 1 

2020
, n ��* .
dn  1

c ,
d ,
C. Dãy số  n  với cn  2019 , n �� .
D. Dãy số  n  với
Dạng 2: Tìm số hạng đầu tiên, cơng sai của cấp số cộng, tìm số hạng thứ k của cấp số cộng, tính
tổng k số hạng đầu tiên.
n

*

Phương pháp giải
Ta lập hệ phương trình gồm hai ẩn

u1 và d . Sau đó giải hệ phương trình này tìm được u1 và d . Muốn tìm

u  u1   k  1 d .
u
số hạng thứ k , trước tiên ta phải tìm 1 và d . Sau đó áp dụng cơng thức k
Muốn tính tổng

của k số hạng đầu tiên, ta phải tìm

u1 và d . Sau đó áp dụng cơng thức
Sk 

k  u1  uk 
2

k�
2u1   k  1 d �
�.
 �
2

Ví dụ mẫu
u1  u2  u3  9
�
.
�2
u1  u22  u32  35
�
Ví dụ 1. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng

Hướng dẫn giải

Trang 5


Cách 1. Ta có

u1  u1  d  u1  2d  9
�
u1  u2  u3  9
�
�
�
�2
�2
2
2
u1  u22  u32  35 �
u1   u1  d    u1  2d   35
�

u1  3  d
�
u1  3  d
u  3d
�
�
�
��
� �2
� �1
.
2
2
2
d  �2

 3  d   3   3  d   35 �d  4
�
�
Với

d  2 � u1  1.

Với

d  2 � u1  5.

Cách 2. Đặt

Áp

dụng

công

thức

un  u1   n  1 d

lập

hệ phương trình gồm hai
ẩn

u1 và d .

u1  x  d ; x2  x; u3  x  d .

�x  d  x  x  d  9
u1  u2  u3  9
�
�
�
�2
�
2
2
u1  u22  u32  35
x  d   x 2   x  d   35

�
�
Ta có
�x  3
�x  3
�x  3
�
��
� �2
��
.
2
2
2
 3  d   3   3  d   35 �d  4 �d  �2
�

Với

d  2 � u1  1.

Với

d  2 � u1  5.

Ví dụ 2. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng

- Nếu số số hạng của cấp số

bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120.

cộng là lẻ thì gọi cơng sai

Hướng dẫn giải

d  x, là chẵn thì gọi cơng

Giả sử bốn số hạng a  3x; a  x; a  x; a  3 x lập thành cấp số cộng với công

sai d  2 x rồi viết các số

sai là d  2 x.

hạng dưới dạng đối xứng.

�
 a  3x    a  x    a  x    a  3x   20

�
�
2
2
2
2
a  3 x    a  x    a  x    a  3x   120

�
Khi đó ta có

- Nếu cấp số cộng

�4a  20
�a  5
�� 2
�
.
�
2
x

�
1
4
a

20
x


120
�
�

thỏa

mãn

a1  a2  ...  an  p
�
�2
a1  a22  ...  an2  s 2
�
thì
a1 

Vậy bốn số cần tìm là 2; 4; 6; 8.

 an 

1 � n  n  1 �
.d �
�p 
n�
2
�
v

d �
à

12  ns 2  p 2 
n 2  n 2  1

.

Ví dụ 3. Tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ 50 và tổng của 20 số
Áp dụng công thức

hạng đầu tiên của cấp số cộng

un , biết rằng

u5  19
�
.
�
u9  35
�

un  u1   n  1 d
Lập được hệ phương trình

Hướng dẫn giải
Trang 6


Áp dụng cơng thức

ta có

un  u1   n  1 d ,

gồm hai ẩn

Để tính tổng k số hạng đầu

u5  19
u  4d  19
u 3
�
�
�
� �1
� �1
.
�
u9  35 �
u1  8d  35 �d  4
�

Vậy số hạng đầu tiên
Số hạng thứ 50 là

u1  3,

u1 và d .

tiên, ta áp dụng công thức

k�
2u1   k  1 d �
�.
Sk  �
2

công sai d  4.

u50  u1  49d  3  49.4  199.

Tổng của 20 số hạng đầu tiên là
50  2u1  49d 

 25.  2.3  49.4   5050.
2
Ví dụ 4. Tìm số hạng đầu và cơng sai của các cấp số cộng

S50 

a)

�S12  34
.
�
�S18  45

b)

�S 4  20
�

�1 1 1 1 25 .
�u  u  u  u  24
2
3
4
�1

Hướng dẫn giải
�S12
�
�S18
a) Ta có

b)

12  2u1  11d 
�
� 31
u1 
 34
�
�
 34
6u1  33d  17
�
�
�
9
2
��

��
��
.
 45
1
18  2u1  17 d 
�2u1  17 d  5
�
�
d 
 45
�
�
9
�
2

�
2  2u1  3d   20
�S 4  20
�
�
�1 1 1 1 25 � �1 1 1 1 25
�u  u  u  u  24
�u  u  u  u  24
2
3
4
�1
2

3
4
�1

Áp dụng công thức

k�
2u1   k  1 d �
�
Sk  �
2
S4

Biểu diễn được

3
�
u1  5  d
�
2
�
1
1
1
25
� 1



� 3 

3
3
3
24
�5  d 5  d  d 5  d  2d 5  d  3d
� 2
2
2
2

 
*

�
��
� 1
1 �� 1
1
��

�

�
3
3
d
d
�5  d 5  d � �5 
5
� 2

2 �� 2
2

theo hai

u

 
*

.

ẩn 1 và d .
Áp dụng công thức

un  u1   n  1 d

Lập được hệ phương trình
gồm hai ẩn

u1 và d .

�
� 25
10
10
25
�

 .

�
2
2
9d
d
24
� 24
25 
25 
�
4
4

d2
 t ; t �0,
Đặt 4
ta được

2  25  t   2  25  9t 
10
10
25
5


�

25  9t 25  t 24
24
 25  9t   25  t 

Trang 7


�

100  20t
5

� 24  20  4t    25  9t   25  t 
 25  9t   25  t  24

� 145
t
� 9t  154t  145  0 � � 9 .
�
t 1
�
2

Nếu

t

145
145
145
� d2 
�d �
.

9
9
3

Với



Với



d

145
145
� u1  5 
.
3
2

d 

145
145
� u1  5 
.
3
2

2
Nếu t  1 � d  1 � d  �1.

3 7
 .
2 2
Với
3 13
d  1 � u1  5   .
2 2
Với
d  1 � u1  5 




Ví dụ 5. Biết

u4  u8  u12  u16  224. Tính S19 .

Hướng dẫn giải
Ta có

u4  u8  u12  u16  224

� u1  3d  u1  7d  u1  11d  u1  15d  224 � 4u1  36d  224 � u1  9d  56.
Ta có

S19 

19
 2u1  18d   19  u1  9d   19.56  1064.
2

Ví dụ 6. Cho cấp số cộng

 un 

biết

un  9  5n. Tìm S100 .

Hướng dẫn giải
un 1  un  �
9  5  n  1 �
  9  5n   5, n ��* .
d  5, u1  4.
�
�
Ta có
Suy ra

Vậy

S100 

n  2u1   n  1 d 
2



100  2.4  99.  5  
2

 24350.

Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Số hạng đầu
A.

u1 và công sai d của cấp số cộng  un  có u2  7; u3  4 là

u1  1; d  3.

Câu 2: Cho cấp số cộng
cộng là
A.

u8  1.

B.

u1  10; d  3.

 un  với số hạng đầu là
B.

u8  1.

C.

u1  4; d  3.

D.

u1  4; d  3.

u1  15 và công sai d  2. Số hạng thứ 8 của cấp số
C.

u8  103.

D.

u8  64.
Trang 8


Câu 3: Cho cấp số cộng

 un  có u1  1; d  2; Sn  483.

A. n  20.

B. n  21.

Câu 4: Cho cấp số cộng
cộng?
A. 15.

 un 

tổng quát

xác định bởi

u1  2
�
.
�
un 1  un  3
�

D. n  23.

Số 70 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số

C. 25.

D. 205.

 un  có u1  5 và tổng của 50 số hạng đầu bằng 5150. Công thức của số hạng

un là

un  1  4n.

B.

Câu 6: Cho cấp số cộng

 un 

A.

C. n  22.

B. 23.

Câu 5: Cho một cấp số cộng

Giá trị của n là

un  5n.
có

C.

un  3  2n.

B. n  15.

C. n  20.

D. n  16.

 un 

biết

un  2  3n.

un  2n  3. Biết Sn  320, giá trị của n là

A. n  16 hoặc n  20.

Câu 7: Cho dãy số

D.

un  2n  5. Chọn khẳng định đúng.

A.

 un 

là một cấp số cộng với công sai d  2.

B.

 un 

là một cấp số cộng với công sai d  2.

C.

 un 

là một cấp số cộng với công sai d  5.

D.

 un 

là một cấp số cộng với công sai d  5.

Câu 8: Cho cấp số cộng
A.

 un  biết u1  7 và

u15  u3  46.

Câu 9: Cho dãy số
định sau

B.

d  4. Lựa chọn kết quả đúng trong các kết quả sau

u29  u22  28.

C.

u17  u13  18.

 un  là một cấp số cộng có cơng sai

D.

u1000  u100  350.

d  3. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng

A. Dãy số

u10 ; u20 ; u30 ;...; u10 n , n �1 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai là 10.

B. Dãy số

u10 ; u20 ; u30 ;...; u10 n , n �1 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai là 20.

C. Dãy số

u10 ; u20 ; u30 ;...; u10 n , n �1 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai là 30.

D. Dãy số

u10 ; u20 ; u30 ;...; u10 n , n �1 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai là 15.

Câu 10: Cho cấp số cộng
trong các hệ thức sau.
A.

u3  u8  u5  u6 .

Câu 11: Cho cấp số cộng
A.

u1  8; d  3.

Câu 12: Số hạng đầu

 un  có cơng sai d. Gọi
B.

u5  u9  2u7 .

 un  , biết
B.

u1  2u5  0
�
�
�S 4  14

u1  8; d  2.

Sn là tổng của n số hạng đầu tiên. Hãy chỉ ra hệ thức sai
2
C. u4 .u9  u6 .

. Số hạng đầu
C.

u1 và công sai d là

u1  8; d  3.

u1 và công sai d của cấp số cộng  un  có

S3  S5  2S 4  d .

D.

D.

u1  u5  u3  10
�
�
u1  u6  7
�

u1  8; d  2.

là
Trang 9


u1  33; d  12.

B.

Câu 13: Cấp số cộng

 un  có

A.

A. 620.

Câu 14: Cho cấp số cộng
A. 79.

u1  36; d  13.

C.

u1  35; d  13.

D.

u1  34; d  13.

S6  18, S10  110 thì tổng 20 số hạng đầu tiên là

B. 280.

C. 360.

D. 153.

un  5n  2. Biết S n  16040, số số hạng của cấp số cộng là
B. 3024.

C. 80.

D. 100.

Câu 15: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. Nếu 3 số a, b, c khác 0 lập thành cấp số cộng
thì

A. nghịch đảo của chúng cũng lập thành một cấp số cộng.
B. bình phương của chúng cũng lập thành cấp số cộng.
C. c, b, a theo thứ tự đó cũng lập thành cấp số cộng.
D. Tất cả các khẳng định trên đều sai.
Câu 16: Cho cấp số cộng có
A. -325.

S10  85, S15  240, khi đó S20 bằng

B. -170.

C. -395.

D. -470.

Câu 17: Tổng tất cả các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 555 là
A. 77145.

B. 77284.

C. 76450.

D. 77006.

1
1
u1  , d   .
4
4 Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
Câu 18: Cho cấp số cộng có

5
S5  .
4
A.
Câu 19: Cho cấp số cộng
A.

u3  1.

4
S5  .
5
B.

 un  , với u1  2, d  3.
B.

Câu 20: Cho cấp số cộng có
A. 690.

5
S5   .
4
C.

u3  7.

Kết quả nào sau đây đúng?
C.

u4  7.

B. 680.

C. 600.

B. d  2.

S10  175.

B.

Câu 23: Cho cấp số cộng có
A. n  20.

u6  0.

S10  350.

D. 500.

u1  10 và số hạng cuối u21  50 là

C. d  2.

Câu 22: Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng có
A.

D.

u2  u22  60. Tổng của 23 số hạng đầu là

Câu 21: Công sai d của một cấp số cộng hữu hạn có số hạng đầu
A. d  4.

4
S5   .
5
D.

D. d  2.

u1  8, u10  62 là
C.

S10  700.

D.

S10  1400.

u1  1, d  2, Sn  483. Số các số hạng của cấp số cộng đó là

B. n  21.

C. n  22.

D. n  23.

Câu 24: Cho cấp số cộng có tổng 4 số hạng bằng 22, tổng bình phương của chúng bằng 166. Bốn số hạng

của cấp số cộng này là
A. 1; 4; 7; 10.

Câu 25: Cho cấp số cộng

B. 1; 4; 5; 10.

 un 

thỏa mãn

C. 2; 3; 5; 10.
u2  u5  42
�
.
�
u3  u10  66
�

D. 2; 3; 4; 5.

Tổng của 346 số hạng đầu là
Trang 10


A. 242546.

B. 242000.

Câu 26: Cho cấp số cộng

là

C. 241000.

 un  có u5  18 và

D. 240000.

4 Sn  S 2 n . Số hạng đầu tiên u1 và công sai d của cấp số cộng

A.

u1  2; d  4.

B.

u1  2; d  3.

C.

u1  2; d  2.

D.

u1  3; d  2.

Câu 27: Cho cấp số cộng gồm 4 số hạng 1, a, 7, b. Giá trị của a, b là
A. a  3, b  11.

B. a  2, b  9.

C. a  4, b  12.

D. a  7, b  1.

Câu 28: Cho dãy số

 an 

2
có tổng n số hạng đầu tiên là Sn  2n  3n. Khi đó

A.

 an 

là một cấp số cộng với công sai bằng 4. B.

 an 

là một cấp số cộng với công sai bằng 2.

C.

 an 

là một cấp số cộng với công sai bằng 1. D.

 an 

là một cấp số cộng với công sai bằng 8.

Câu 29: Cho cấp số cộng
của cấp số cộng đó bằng
A. 280.

 un 

với số hạng đầu là

B. 308.

u1  6 và công sai d  4. Tổng 14 số hạng đầu tiên
C. 644.

Câu 30: Cho cấp số cộng

 un  gồm 4 số hạng

A. 12.

B. 32.

D. 46.

2, a, 6, b. Tích a.b bằng
C. 40.

D. 22.

2
*
Câu 31: Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu là Sn  3n  4n, n �� . Giá trị số hạng thứ 10 của cấp
số cộng là

A.

u10  55.

B.

u10  67.

C.

u10  61.

D.

u10  59.

Câu 32: Thêm 6 số xen giữa hai số 3 và 24 ta được một cấp số cộng có 8 số hạng. Khi đó tổng các số
hạng là
A. 110.

B. 107.

C. 106.

D. 108.

Câu 33: Thêm 5 số xen giữa hai số 25 và 1 ta được một cấp số cộng có 7 số hạng. Số hạng thứ 50 là
A. -169.

B. 169.

Câu 34: Cho một cấp số cộng
S

A.

C. -171.

 un 

có

D. 171.

u1  1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850. Giá trị biểu thức

1
1
1

 ... 
u1u2 u2u3
u49u50 là

S

9
.
246

B.

S

4
.
23

Câu 35: Cho cấp số cộng

 un  thỏa mãn

A. -1242.

B. -1222.

C. S  123.
u5  3u3  u2  21
�
.
�
3u7  2u4  34
�

D.

Giá trị của biểu thức

C. -1276.

S

49
.
246

S  u4  u5  ...  u30 là

D. -1286.

Trang 11


Dạng 3: Dựa vào tính chất của cấp số cộng: chứng minh đẳng thức, giải phương trình và các bài
tốn thực tế
Phương pháp giải
Nếu

 un 

là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối cùng đối với cấp số

cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là

uk 

uk 1  uk 1
.
2

Hệ quả: Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi a  c  2b.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, chứng minh rằng
a 2  8bc   2b  c  .
2

2
2
a) a  2bc  c  2ab.

b)

Hướng dẫn giải
Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên a  c  2b � a  2b  c.
a 2  2ab   2b  c   2  2b  c  .b  4b 2  4bc  c 2  4b 2  2bc
2

a) Ta có

= c 2  2bc.
2
2
2
2
Vậy a  2ab  c  2bc � a  2bc  c  2ab.

a 2  8bc   2b  c   8bc  4b 2  4bc  c 2  8bc
2

b) Ta có

= 4b 2  4bc  c 2   2b  c  .
2

Ví dụ 2. Một tam giác vng có chu vi bằng 3a và ba cạnh lập thành một cấp số cộng. Tính độ dài ba
cạnh của tam giác theo a.
Hướng dẫn giải

 x  y  z .
Gọi x, y , z theo thứ tự là độ dài ba cạnh của tam giác
Chu vi của tam giác là

x  y  z  3a.  1

Theo tính chất của cấp số cộng, ta có
Tam giác đã cho vng nên

x  z  2 y.

x2  y 2  z 2.

 2

 3

Thay (2) và (1), ta được 3 y  3a � y  a.
Thay y  a vào (2), ta được x  z  2a � x  2 a  z.
Thay x  2a  z và y  a vào (3), ta được

 2a  z 

2

 a 2  z 2 � 5a 2  4az  0 � z 

5a
3a
�x .
4
4

Trang 12


3a
5a
, a, .
4
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác là 4
2
2
2
Ví dụ 3. Cho a , b , c lập thành một cấp số cộng có cơng sai khác 0.

1

1
1
;
;
Chứng minh rằng b  c c  a a  b cũng lập thành một cấp số cộng.
Hướng dẫn giải

Ta sẽ chứng minh

1
1
2


.
ab bc ca

2
2
2
Theo giả thiết, ta có a  c  2b .

1
1
2


.
Ta phải chứng minh b  c a  b c  a
2

2
2
2
2
2
2
2
Ta có a  c  b  b � a  b  b  c �0

�  a  b  a  b   b  c  b  c �

a b bc

bc ab

�

 a  c   b  c   a  b   c  a 
a b
bc

�
 b  c  c  a  a  b  c  a 
 b  c  c  a
 a  b  c  a

�

ac
bc

ab
ca



 a  c  c  a  b  c  c  a  a  b  c  a   a  b  c  a 

�

1
1
1
1
1
1
2



�


bc ca ca ab
a  b b  c c  a (điều phải chứng minh).

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có

tan

A

B
C
, tan , tan ,
2
2
2 theo thứ tự đó lập thành Ta sẽ chứng minh

cấp số cộng. Chứng minh cosA, cosB, cosC theo thứ tự cũng lập thành cấp số

cosA + cosC = 2cosB

cộng.
Hướng dẫn giải

A
C
B
sin
sin
A
C
B
2 
2  2.
2
tan  tan  2 tan �
A
C
B
2

2
2
cos
cos
cos
2
2
2
Ta có
sin

�

sin

A
C
C
A
B
.cos  sin .cos
sin
2
2
2
2  2.
2
A
C
B

cos .cos
cos
2
2
2

�A C �
B
B
sin �  � sin B
cos
sin
�2 2 � 2
2 �
2
2
�
 2.
A
C
B
A
C
B
cos .cos
cos
cos .cos
cos
2
2

2
2
2
2

� cos 2

B
A
C
B
 2.cos .cos .sin
2
2
2
2

Trang 13


�

1  cos B � �A  C �
� B
�A  C �
�
cos �
.sin .
� cos �
�

�
2
� 2 �
� � 2 �
� 2

�

1  cos B
A C
B
B
B
 cos
.sin  sin .sin
2
2
2
2
2

�

1  cos B
AC
AC
B
 cos
.cos
 sin 2

2
2
2
2

�

1  cos B 1
1  cos B
 �
cos  C   cosA �

�
�
2
2
2

� 1  cos B  cos C  cos A  1  cos B
� cos A  cos C  2 cos B

� cos A, cos B, cos C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
Ví dụ 5. Cho các số dương a; b; c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng Ta sẽ chứng minh
1
1
minh rằng

b c
a b
1

1
1
;
;
2
b  c c  a a  b theo thứ tự đó cũng lập thành cấp số cộng.

c a
Hướng dẫn giải
Vì a, b, c lập thành cấp số cộng nên a  c  2b.
Ta cần chứng minh
Ta có

1
1
2


.
b c
a b
c a

a  c  2b � a  b  b  c �



a b



 

a b 





a b
b c

�
b c
a b

�

1
1
1
1
1
1
2



�



b c
c a
c a
a b
b c
a b
c a

�

1
1
1
;
;
b  c c  a a  b theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng.

 
 a  c  b  c   b  a  c  a
�
 b  c  c  a  a  b  c  a
b c





c a

Ví dụ 6. Tìm giá trị của m để phương trình

x

2

b c

b c

�



a b

b c

a b



c a

 2 x  3  x  2m   0



có 3 nghiệm phân biệt lập thành

một cấp số cộng có cơng sai lớn hơn 2.
Hướng dẫn giải
x 1
�
�
 x  2 x  3  x  2m   0 � �x  3 .
�
x  2m
�
2

Ta có

Trang 14


Ba nghiệm này lập thành một cấp số cộng có cơng sai lớn hơn 2 nên có 3 trường hợp.
Trường hợp 1: Ba nghiệm thứ tự là -3;1; 2m.
Suy ra

d  4; m 

5
2 (thỏa mãn).

Trường hợp 2: Ba nghiệm thứ tự 3; 2m;1. Suy ra

d  2; m  

1

2 (loại).

Trường hợp 3: Ba nghiệm thứ tự 2m; 3;1.
Suy ra

d  4; m  

7
2 (thỏa mãn).

� 7 5�
m ��
 ; �.
�2 2
Vậy các giá trị m cần tìm là
x 4  20 x 2   m  1  0
2

Ví dụ 7. Tìm m để phương trình

có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Hướng dẫn giải
2
t 2  20t   m  1  0  1 .
Đặt t  x , t �0. Phương trình trở thành
2

Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm dương
phân biệt

t1 , t2

 0  t1  t2 

�
�
'  0
m 2  2m  99  0
�
9  m  11
�
�
�
� �S  0 � �
20  0
��
.
m
�
1
�
�P  0
�
2
 m  1  0
�
�

 *

Bốn nghiệm của phương trình lập thành cấp số cộng là

 t2 ,  t1 , t1 , t2 .

�
 t2  t1  2 t1
�
� 3 t1  t2 � t2  9t1.
�

t

t

2
t
2
1
Ta có � 1
�
�
t  9t1
t 2
�2
�1
�
�
t1  t2  20
��

t2  18
.
�
�
�
2
2
t .t   m  1
 m  1  36
�
Theo Định lí Vi-ét, ta có �1 2

Suy ra m  7 hoặc m  5 (thỏa mãn (*)).
Vậy các giá trị m cần tìm là

m � 5; 7 .

3
2
Ví dụ 8. Chứng minh rằng: Nếu phương trình x - ax  bx - c  0 có ba nghiệm lập thành cấp số cộng thì

9ab  2a 3  27c.
Hướng dẫn giải

Trang 15


Giả sử phương trình có ba nghiệm
Suy ra

x1  x3  2 x2 .

Mặt khác

x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng.

 1

x3 - ax 2  bx  c   x  x1   x  x2   x  x3 

 x3   x1  x2  x3  x 2   x1 x2  x2 x3  x3 x1  x  x1 x2 x3

Suy ra

x1  x2  x3  a. 2 

a
x2  .
3x

a
3
Từ (1) và (2), suy ra 2
hay
3

2

�a � �a � �a �
a

x2  ,
� � a � � b � � c  0
3 tức là �3 � �3 � �3 �
Phương trình đã cho có nghiệm
2a 3 ba
�

 c  0 � 9ab  2a 3  27c
27
3
(điều phải chứng minh).

1
x2 ; ; y 2
2
Ví dụ 9. Cho
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  3xy  y .

Hướng dẫn giải
1
x2 ; ; y 2
2
2
2
Ta có
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên x  y  1.
Đặt x  sin  , y  cos  . Ta có
P  3xy  y 2  3 sin  .cos   cos 2  

3
1  cos 2
sin 2 
2
2

� 2 P  1  3 sin 2  cos 2 .
Phương trình 2 P  1  3 sin 2  cos 2 theo biến  có nghiệm

 

�  2 P  1 � 3
2

2

1
3
 12 �  �P � .
2
2

3
max P  .
2 Đẳng thức khi và chỉ khi
Vậy

3 sin 2  cos 2  2

�

�
� sin �
2  � 1 �    k  k �� .
6�
6
�
1
MinP   .
2 Đẳng thức khi và chỉ khi

3 sin 2  cos 2  2

�

�
� sin �
2  � 1 �     k  k �� .
6�
3
�
Bài tập tự luyện dạng 3
Trang 16


Câu 1: Cho tổng 1  6  11  16  ...  x  970. Giá trị của x là
A. 96.
Câu 2: Biết

B. 69.

C. 97.

D. 7.

 x  1   x  4    x  7   ...   x  28   155. Giá trị của x là

A. x  1.

B. x  1.

C. x  2.

D. x  3.

2
Câu 3: Với giá trị nào của x thì 1  3 x; x  5;1  x lập thành cấp số cộng?

A. x  0.

B. x  �1.

C. x  � 2.

D. x ��.

Câu 4: Chu vi của một đa giác là 158 cm, số đo các cạnh lập thành một cấp số cộng với công sai d  3
cm. Biết cạnh lớn nhất là 44 cm. Số cạnh của đa giác đó là
A. 6.

B. 3.

C. 5.

D. 4.

Câu 5: Phương trình x  10 x  m  0 có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Khi đó m thuộc
khoảng nào sau đây?
4

A.

m � 0;5  .

2

B.

m � 5;15  .

C.

m � 25;0  .

D.

m � 15; 25  .

Câu 6: Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và . Số đo các góc

A, B, C lần lượt là

,120�
,50�
.
A. 10�

,105�
, 60�
.
B. 15�

, 60�
, 25�
.
C. 5�

, 60�
,100�
.
D. 20�

Câu 7: Một công ty thực hiện việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức như sau: Mức lương của quý
làm việc đầu tiên cho công ty là 15 triệu đồng/quý và kể từ quý làm việc thứ hai mức lương sẽ được tăng
thêm 1,5 triệu đồng mỗi quý. Tổng số tiền lương một kĩ sư được nhận sau 3 năm làm việc cho công ty là
A. 495 triệu đồng.

B. 279 triệu đồng.

C. 384 triệu đồng.

D. 558 triệu đồng.

Câu 8: Cho tam giác vng có độ dài ba cạnh lập thành một cấp số cộng với cơng sai d  2. Bán kính
đường trịn ngoại tiếp R của tam giác đó là
A. R  3.

B. R  4.

C. R  1.

D. R  5.

Câu 9: Độ dài ba cạnh của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Nếu cạnh trung bình bằng 6
thì công sai của cấp số cộng này là
A. 7,5.

B. 4,5.

C. 0,5.

D. 1,5.

3
Câu 10: Giá trị a, b để phương trình x  ax  b  0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng là

A. b  0, a  0.

B. b  0, a  0.

C. b  0, a  0.

D. b  0, a  1.

Câu 11: Một em học sinh dùng các que diêm để xếp thành hình tháp có quy luật được thể hiện như trong
hình dưới.

Trang 17


Số que diêm để xếp thành hình tháp 10 tầng là
A. 69 que.

B. 39 que.

C. 420 que.

D. 210 que.

2
2
2
Câu 12: Tam giác ABC có ba cạnh a, b, c thỏa mãn a , b , c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
2
2
2
A. tan A, tan B, tan C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
2
2

2
B. cot A, cot B, cot C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.

C. cos A, cos B, cos C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
2
2
2
D. sin A,sin B,sin C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.

Câu 13: Số đo các góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất gấp 5 lần góc nhỏ
nhất. Số đo góc nhỏ nhất bằng
.
A. 25�

.
B. 30�

.
C. 45�

.
D. 35�

Câu 14: Người ta trồng 3420 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng
thứ 2 trở đi số cây trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó. Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng
cây?
A. 81.

B. 82.

C. 80.

D. 79.

Câu 15: Chu vi một đa giác là 158 cm, các cạnh của đa giác này lập thành một cấp số cộng với công sai
d  3cm. Biết cạnh lớn nhất có độ dài là 44 cm, độ dài cạnh nhỏ nhất của đa giác là
A. 32 cm.

B. 33 cm.

C. 38 cm.

D. 35 cm.

1
2
3
Câu 16: Giá trị của n để Cn , Cn , Cn theo thứ tự lập thành một cấp số cộng là

A. n  9.

B. n  6.

C. n  2.

D. n  7.

Câu 17: Giá trị của x để 2; 2 x  1;5 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng là
1
x .

4
A.

1
x .
3
B.

1
x .
4
C.

D. x  1.

D 2  A2
2
2
Câu 18: Cho A, B, C , D là bốn số thực dương lập thành một cấp số cộng. Giá trị biểu thức C  B bằng

A. 1.
Câu 19: Cho

B. 0.

C. 3.

D. -1.

x1 , x2 là nghiệm của phương trình x 2  3 x  a  0 và y1 , y2 là nghiệm của phương trình

x 2  11x  b  0. Nếu x1 , x2 , y1 , y2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì tích ab có giá trị là

Trang 18


A. ab  1.

B.

ab  

Câu 20: Tìm m để phương trình
cộng, ta được

m

x3   2m  1 x 2  9 x  0

B. P  20.

Câu 21: Cho tam giác đều

P1 , P2 , P3 ,...

C.

ab 

585

.
8

D. ab  54.

có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số

a
a
,
b với a, b ��, phân số b tối giản. Giá trị biểu thức P  a 2  b 2 là

A. P  13.

thành tam giác

585
.
8

A2 B2C2 ,

C. P  5.

D. P  10.

A1B1C1 có độ dài cạnh bằng 4. Trung điểm các cạnh của tam giác A1B1C1 tạo

trung điểm các cạnh của tam giác

lần lượt là chu vi của tam giác

A2 B2C2

A1 B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,...

tạo thành tam giác
Giá trị biểu thức

A3 B3C3 ,...

Gọi

P  P1  P2  P3  ...

là
A. P  8.

B. P  24.

C. P  6.

D. P  18.

Câu 22: Cửa hàng xếp 1089 hộp sơn theo số lượng 1; 3; 5; … (hộp) từ trên xuống dưới (số hộp sơn trên
mỗi hàng xếp từ trên xuống dưới là các số lẻ liên tiếp như hình bên dưới). Hàng cuối cùng có bao nhiêu
hộp sơn?

A. 63.

B. 65.

C. 67.

D. 69.

Câu 23: Một đội công nhân trồng cây xanh từ kilômet số 6 đến kilômet số 8. Cứ 20m trồng một cây. Hỏi
có bao nhiêu cây được trồng?
A. 100.

B. 200.

C. 250.

D. 101.

Câu 24: An từ thành phố về quê thăm ông bà trên quãng đường 54 km. Biết giờ đầu tiên An đi được
15km và mỗi giờ sau An đi kém hơn giờ trước 1km. Thời gian An đi từ nhà về quê là
A. 27 giờ.

B. 4 giờ.

C. 3 giờ.

D. 15 giờ

Câu 25: Ngày thứ nhất cửa hàng bán được 10 cốc nước mía, ngày sau bán nhiều hơn ngày hơm trước đó
1 cốc nước mía. Hỏi ngày thứ 10 cửa hàng sẽ bán được bao nhiêu cốc nước mía?
A. 15 cốc.

B. 17 cốc.

C. 19 cốc.

D. 21 cốc.

Câu 26: Một nhóm gồm 3003 người xếp thành hình tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 người, hàng thứ
hai có 2 người, hàng thứ ba có 3 người,… Hỏi có bao nhiêu hàng?
A. 75.

B. 76.

Câu 27: Tổng tất cả các giá trị m để phương trình
lập thành một cấp số cộng là

C. 77.

D. 78.

x 4  2  m  1 x 2  2m  1  0

có bốn nghiệm phân biệt

Trang 19


A.

40
.

9



40
.
B. 9

C.



32
.
9

32
.
D. 9

ĐÁP ÁN
Dạng 1. Nhận dạng một dãy số là cấp số cộng
1-D
11 - C

2-C
12 - D

3-D
13 - B

4-C
14 - A

5-B

6-B

7-B

8-C

9-B

10 - B

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Dãy số 0; 4; 8; 12; 16 là cấp số cộng có số hạng đầu là

u1  0

và công sai d  4.

Câu 2.
Ta có

3  n  1  1�
un  3n  1 là một cấp số cộng vì un 1  un  �
�

�  3n  1  3.

Câu 3.

1
1
3
u1   , u2  0, u3  , u4  1, u5  ,...
2
2
2
Ta có
Câu 4.
Dãy số

 un 

có tính chất

un 1  un  d thì được gọi là một cấp số cộng.

Ta thấy dãy số 1; -3; -7; -11; -15 là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và cơng sai bằng -4.
Câu 5.
Ta có

un 1  un  2  n  1  3  2n  3  2, n �1.

Do đó dãy số trong đáp án B là cấp số cộng theo định nghĩa.
Câu 6.
Ta có

un 1  un  3  n  1  2020   3n  2020   3 � un 1  un  3.

Vậy dãy số trên là cấp số cộng có cơng sai d  3.
Câu 7.
n
n 1
n
Ta có un  2  1 không là cấp số cộng vì un 1  un  2  2 .

Câu 8.
n
n 1
n
*
Xét dãy số un  1  3 , suy ra un 1  1  3 . Ta có un 1  un  2.3 , n ��.
n
Do đó un  1  3 . khơng phải là cấp số cộng.

Câu 9.

Ta có

u1  1
�
�
un 1  un  1
�

là cấp số cộng vì

u1  1
�
� un 1  un  1.
�
un 1  un  1
�

Câu 10.
Trang 20


Ta có

un  3n  1 n ��* 

là cấp số cộng vì

un 1  un  3  n  1  1  3n  1  3

là hằng số.

Câu 11.
Xét đáp án C.

2.

1 1 5 1 1
1 1 1
 �   3

; ; ;...
2
2
2 8 2 2 nên dãy số 2 22 23
không là cấp số cộng.

Câu 12.

Dãy số 8; 15; 22; 29; 36; … là một cấp số cộng với

u1  8
�
�
�
�d  7

công thức tổng quát là

un  7n  1.

Câu 13.
Gọi cấp số cộng thứ nhất là
Ta có

 un 

và cấp số cộng thứ hai là

 vn  .

un  u1   n  1 d  4  3  n  1 � un  3n  1;
vk  v1   k  1 d  1  5  k  1 � vk  5k  4.

�,1 n 100,1 k 100.
Với k , n Σ���
Ta có

un  vk � 3n  1  5k  4 � 3n  5  k  1 .

Mà 3 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau nên n chia hết cho 5.
Đặt n  5t , t ��� k  3t  1.
Do 1 �n �100,1 �k �100 nên

t � 1; 2;3;...; 20 .

Câu 14.
an   2n  5   4n 2 , n ��* � an  20n  25, n ��* .
2

Ta có

*
a
Do đó an 1  an  20, n �� nên  n  là cấp số cộng với công sai d  20.

Dạng 2. Tìm số hạng đầu tiên, cơng sai của cấp số cộng, tìm số hạng thứ k của cấp số cộng, tính tổng
k số hạng đầu tiên
1–B
11 – A
21 – C

31 – C

2 –A
12 – B
22 – B
32 – D

3–D
13 – A
23 – D
33 – C

4–C
14 – C
24 – A
34 – D

5–A
15 – C
25 – A
35 – A

6–D
16 – C
26 – A

7–A
17 – D
27 – A

8–B
18 – C
28 – A

9–C
19 – C
29 – A

10 – C
20 – A
30 – B

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Ta có

u2  7; u3  4 suy ra d  3. từ đó u1  7  (3)  10.

Câu 2.
Ta có

un  u1   n  1 d � u8  u1  7 d  15  7.( 2)  1.

Câu 3.

Trang 21


n�
2u1   n  1 d �

n  23
�� 2.483  n. 2.  1  n  1 .2 � n 2  2 n  483  0 � �
Sn  �
.

 

�
n


21
2
�
Ta có
*
Do n �� nên n  23.

Câu 4.

Ta có

u1  2
�
� u1  2; d  3.
�
un 1  un  3
�

un  2  3  n  1  3n  5.

Suy ra

Từ đó 70  3n  5 � n  25.
Câu 5.
Ta có

S50 

50
 2u1  49d   5150 � d  4.
2

Số hạng tổng quát của cấp số cộng bằng

un  u1   n  1 d  1  4n.

Câu 6.
Ta có

u1  5 suy ra

Sn 

n  5  2n  3 
 n 2  4n.
2

Câu 7.

u  3
�
un  2n  5 � �1
� d  u2  u1  2.
u


1
�2
Câu 8.
u15  u3  u1  14d   u1  2d   12d  48 �6
u29  u22  u1  28d   u1  21d   7d  28

loại A;

chọn B;

u17  u13  u1  16d   u1  12d   4d  16 �18

loại C;

u1000  u100  900d �350 loại D.
Câu 9.
Gọi

 an  là cấp số cộng theo thứ tự u10 ; u20 ; u30 ;...; u10 n , n �1,

lúc đó ta có

a1  u10  u1  9d

�
� d '  a2  a1  10d  30.
�
a2  u20  u1  19d
�
Câu 10.
Ta có

u4 .u9   u1  3d   u1  8d   u12  24d 2  11u1d .
u62   u1  5d   u12  25d 2  10u1d .
2

2
Suy ra u4 .u9 �u6 .

Câu 11.

Trang 22


�
u1  2  u1  4d   0
u1  2u5  0
3u  8d  0
u 8
�
�
�
�
��

�� 1
� �1
.
�
2u1  3d  7
S 4  14
d  3
2  2u1  3d   14
�
�
�
�
Ta có
Câu 12.

Ta có

�
u1   u1  4d    u1  2d   10
u1  u5  u3  10
u  2d  10
u  36
�
�
�
�
��
� �1
� �1
.

�
u1  u6  7
2u1  5d  7
d  13
u1   u1  5d   7
�
�
�
�

Câu 13.

Ta có

�
3  2u1  5d   18
2u  5d  6
u  7
�S6  18
�
�
�
��
�� 1
� �1
.
�
2u1  9d  22
d 4
5  2u1  9d   110

�
�S10  110
�
�

Từ đó mà

S 20  10  2u1  19d   10  2.  7   19.4   620.

Câu 14.
Ta có cấp số cộng:

un  5n  2 nên u1  3, u2  8,... � d  5.

n
n
2u1   n  1 d �
 16040 � �
2.3   n  1 .5 �
�
�
�
� 16040
2
2�
n  80
�
2
�
� 5n  n  32080  0 �

� n  80.
401
�
n
(loai)
5
�

Sn  16040 �

Câu 15.
Không mất tổng quát giả sử a  b  c � c  b  b  a  d với d là công sai.

Khi đó

b

2

1 1 1
1
d
1 1
d
  

�  
a b a a  d a  a  d  b c  a  d   a  2d 

 a 2  2ad  d 2  � c 2  b 2  2ad  3d 2 

nên loại A.

nên loại B.

Nếu a, b, c lập thành cấp số cộng với cơng sai d thì c, b, a cũng lập thành cấp số cộng với công sai –d.
Câu 16.
�S10  S1  9d  85
�S  194
� �1
� S 20  S1  19d  395.
�
d  31
�S15  S1  14d  240 �
Câu 17.
Theo giả thiết

2  4  ...  552  554 

278.554
 77006.
2

Câu 18.
1
� 1� 5
S5  5u1  10d  5.  10. �
 �  .
4
� 4� 4

Theo giả thiết
Câu 19.
Ta có

u4  u1  3d  2  3.  3  7, u6  u1  5d  2  5.  3   13.

Trang 23


Câu 20.

u2  u22  60 � 2u1  22d  60 � S 23 

23
23.60
 690.
 2u1  22d  
2
2

Câu 21.

Ta có

u1  10
u  10
u  10
�
�
�

� �1
� �1
�
u21  50 �
u1  20d  50
d  2.
�
�

Câu 22.

Ta có

u1  8
u 8
u 8
�
�
�
� �1
� �1
�
u10  62
u1  9d  62
d  6.
�
�
�

Suy ra

S10  5  2u1  9d   5  2.8  9.6   350.

Câu 23.
n
n
2u1   n  1 d   483 � �
2.  1   n  1 .2 �

� 483
2
2�
n  23
�
� n 2  2n  483  0 � �
� n  23.
n  21(loai )
�

Sn  483 �

Câu 24.
u1  u2  u3  u4  22
4u1  6d  22
u 1
�
�
�
�� 2
� �1

�2
2
2
2
2
d 3
u1  u2  u3  u4  166
4u1  12u1d  14d  166
�
�
�

hoặc

u1  10
�
.
�
d  3
�

Câu 25.

u2  u5  42
2u  5d  42
u  11
�
�
�
346

�� 1
� �1
� S346 
 2.11  345.4   242546.
�
u3  u10  66
2u1  11d  66
d 4
2
�
�
�
Câu 26.
Ta có

u5  18 � u1  4d  18  1 .

�
n  n  1 d � �
2n  2n  1 d �
4Sn  S2n � 4 �
nu1 
2nu1 
� �
�
2
2
�
� �
�

� 4u1  2nd  2d  2u1  2nd  d � 2u1  d  0
Từ (1) và (2) suy ra

 2 .

u1  2; d  4.

Câu 27.
Ta có a  1  7  a � a  3;7  a  b  7 � b  14  3  11.
Câu 28.
an  S n  Sn 1  2n 2  3n  2  n  1  3  n  1  4n  1.
2

Ta có số hạng thứ n của dãy là
Suy ra

an 1  4n  5.

Khi đó

an 1  an  4 ��
�  an 

là một cấp số cộng với công sai là 4.
Trang 24


Câu 29.
Ta có

S14 

n
2u1   n  1 d �
�
� 280.
2�

Câu 30.
Ta có a  2  6  a � a  4;6  a  b  6 � b  8 � a.b  32.
Câu 31.
2
Từ giả thiết ta có S1  u1  3.1  4.1  7.

Ta có

S n  3n 2  4n 

Cách khác

n  8  6n 
2



n  7  6n  1
2

� u n  6n  1 � u10  61.

un  S n  Sn 1 � u10  S10  S9  3.102  4.10   3.92  4.9   61.

Câu 32.
Xen giữa hai số 3 và 24 thêm 6 số để được cấp số cộng có 8 số hạng thì

S8 

 u1  u8  8   3  24  8  108.
2

2

Câu 33.
Ta có

d

1  25
 4.
u  u1  49d  25  49.4  171.
6
Do đó 50

Câu 34.
Gọi d là cơng sai của cấp số đã cho.
Ta có

S100  50  2u1  99d   24850 � d 

� 5S 

497  2u1
5
99

5
5
5

 ... 
u1u2 u2 u3
u49 u50



u u
u2  u1 u3  u2

 ...  50 49
u1u2
u 2u3
u 49u50



1 1 1 1
1
1
1
1

    ... 



u1 u2 u2 u3
u48 u49 u49 u50



1 1
1
1
245
49

 

�S 
.
u1 u50 u1 u1  49d 246
246

Câu 35.

Ta có

u1  4d  3  u1  2d    u1  d   21 �
u5  3u3  u2  21 �
3u  9d  21 �
u 2

�
�
��
�� 1
� �1
.
�
3u7  2u4  34
u1  12d  34
d  3
3  u1  6d   2  u1  3d   34
�
�
�
�

S  u4  u5  ...  u30  S30  S3 

30
3
2.2  29.  3    2.2  2.3   1242.

2
2

Dạng 3. Dựa vào tính chất của cấp số cộng: chứng minh đẳng thức, giải phương trình và các bài
tốn thực tế
Trang 25