Bài 2 bài 2 QUY tắc TÍNH đạo hàm

CHƯƠNG 5: ĐẠO HÀM
BÀI 2. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm được quy tắc và các công thức tính đạo hàm.
+ Trình bày được cách tìm đạo hàm thích hợp.
+ Trình bày được cách viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm.
 Kĩ năng
+ Tìm được đạo hàm các hàm số thường gặp, đạo hàm hàm số hợp.
+ Viết được phương trình tiếp tuyến và giải quyết các bài toán liên quan.
+ Vận dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình,; chứng minh đẳng thức, bất đẳng
thức, tính giới hạn.

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

 c � 0,c là hằng số;
 x � 1;
� 1
�1 �
�x �  x2 ;
��

 x � 21x ;
 x  � n.x

n1

n

( với n là số tự nhiên).

2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương.
Cho các hàm số u  u x ; v  v x có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:
1.

;
 u v � u� v�

2.

;
 u v � u� v�

3.

� vu
�;
.  � uv
 uv

� uv
� vu
�
u�
4. �
�v � v2  v  v x �0 .
��

Chú ý:
a)  k.v � kv�( k: hằng số);
� v�
1�
b) �
�v � v2  v  v x �0 .
��
Mở rộng:


 u1 �u2 �... �un  � u1��u2��... �un�;



. .w � u�
.v.w  uv
.�
.w  uv
. .w.�
 uv

3. Đạo hàm của hàm số hợp
Cho hàm số y  f  u x   f  u với u  u x .

��
Khi đó: y�
x  yu.ux .
4. Bảng cơng thức đạo hàm của một số hàm số thường gặp
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản

Đạo hàm các hàm hợp u  u x

Trang 2


 c � 0,c là hằng số
 x � 1

� u�
�1 �
�u �  u2
��

 u � 2u�u

� 1
�1 �
�x �  x2
��

.u
 u  �  .u�


 x � 21x

 1

 x  � a.x


 1

5. Đạo hàm các hàm số lượng giác
a) Giới hạn của
Định lý: lim
x�0

sinx
.
x

sin x
 1.
x

u x  0 thì
Chú ý: Nếu hàm số u  u x thỏa mãn điều kiện: u x �0 với mọi x �x0 và xlim
� x0

lim

x� x0

sinu x
u x

 1.

b) Đạo hàm của hàm số y  sin x

Định lý:
Hàm số y  sin x có đạo hàm tại mọi x�� và  sin x � cos x
Chú ý: Nếu y  sinu và u  u x thì  sinu � u�
.cosu .
c) Đạo hàm của hàm số y  cos x
Định lý:
Hàm số y  cos x có đạo hàm tại mọi x�� và  cos x �  sin x
Chú ý: Nếu y  cosu và u  u x thì  cosu � u�
.sinu
d) Đạo hàm của hàm số y  tan x
Định lý:


1
Hàm số y  tan x có đạo hàm tại mọi x �  k , k �� và  tan x �
.
2
cos2 x


Chú ý: Nếu y  tanu và u  u x có đạo hàm trên K ,u x �  k  k �� với mọi x�K .
2
u�
.
cos2 u
e) Đạo hàm của hàm số y  cot x

Khi đó trên K ta có:  tanu �
Định lý:

Trang 3


Hàm số y  cot x có đạo hàm tại mọi x �k , k�� và  cot x � 

1
.
sin2 x

Bảng đạo hàm của hàm số lượng giác

 sin x � cos x

.cosu
 sinu � u�

 cos x �  sin x

.sinu
 cosu � u�

1
cos2 x
1
 cot x �  2
sin x

u�
cos2 u
u�

 cot u �  2
sin u

 tan x �

 tanu �

Chú ý: Nếu y  cot u và u  u x có đạo hàm trên K, u x �k  k �� với mọi x�K . Khi đó trên K ta
u�
.
sin2 u
Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y  f  x tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến

có:  cot u � 

với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M  x0; y0  .

 x0   x  x0   y0
Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M  x0; y0  là: y  y�
Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến là ta phải tìm được hồnh độ tiếp điểm x0
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Các quy tắc và cơng thức tính đạo hàm
Bài tốn 1. Tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số
Phương pháp giải
Áp dụng bảng cơng thức và quy tắc tính đạo
hàm


Cơng thức đạo hàm

 

x � n.xn1 (với n là số tự nhiên).
n



Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Cho các hàm số u  u x ;v  v x có đạo
hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.
Ta có:
a)  u1 �u2 �... �un  � u1�
.
�u2�
�... �u�
n

Ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm số
y  x3  3x2 

2x  1
x

Hướng dẫn giải
�
�2x  1�
Ta có y�
 x3 �
 3x2 �

�
�
� x �

  

 3x2  6x 
 3x2  6x 



2.x   2x  1 .1
x2

.

1
.
x2

b)  uv
.
. .w � u�
.v.w  uv
.�
.w  uv
. .w�
� uv
� vu
�

u�
c) �
�v � v2  v  v x �0 .
��
Trang 4


Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm các hàm số
4
a) y   x 

3 2
x  2020x .
2

x2
x 1

b) y 

Hướng dẫn giải
�
�3 �
a) y�
  x4 �
 � x2 �  2020x �
� y�
 4x3  3x  2020 .
2

� �




b) y�






�
x  2 . x  1 



 x  1





x  2  x  1 �
2



1
. x  1  x  2

2
x

2
 x  1




x  1 2x  4 x
2 x  x  1
1 x  4 x
2 x  x  1

2

2

.

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm các hàm số
a) y  x 2x  1  3x  2 .
b) y  x2  x x  5.
Hướng dẫn giải









2
a) Ta có y  x 2x  1  3x  2  2x  x  3x  2 . Khi đó

�
2
�
y�
�
�2x  x  3x  2 �









 2x2  x �
. 3x  2   3x  2 �
. 2x2  x





  4x  1  3x  2  3 2x2  x

 18x2  2x  2 .
b) Ta có

  



�
y�
 x2 �
 x x  5�
 2x  x�
. x

 x �.x
Trang 5


 2x  x 

 2x 

1
2 x

.x

3 x
.
2

Ví dụ 3: Chứng minh các công thức tổng quát sau
a b
c d

�
a) �ax  b �
(a, b, c, d là hằng số)
;
�cx  d �
2
�
�  cx  d
a b 2
a c
b c
x 2
x
�
a1 c1
b1 c1 (a, b, c, a1, b1,c1 là hằng số)
b) �ax  bx  c � a1 b1
� 2
�
2
�a1x  b1x  c1 �
a1x2  b1x  c1
2





b c
a.a1x2  2a.b1x 
�
a1 b1 (a, b, c, a1, b1 là hằng số)
c) �ax  bx  c �
�
�
2
 a1x  b1 
� a1x  b1 �
2

Hướng dẫn giải
a) Ta có
�  ax  b �
 cx  d   ax  b  cx  d �
�ax  b �

�cx  d �
2
�
�
 cx  d



a cx  d   ax  b c

 cx  d

2

ad  bc

 cx  d

2

a b
c d

�
Vậy �ax  b �
�cx  d �
2
�
�  cx  d
b) Ta có





 





� ax2  bx  c �a x2  b x  c  ax2  bx  c a x2  b x  c �
�ax2  bx  c �
1
1
1
1
1
1
� 2
�
2
2
�a1x  b1x  c1 �
a x  b x c


1

1

1



 2ax  b . a1x2  b1x  c1    ax2  bx  c . 2a1x  b1 

 ax

2

1





 b1x  c1



2

. 1  a1.c x   bc
. 1  b1.c
 a.b1  a1.b x2  2 ac

ax

2

1

 b1x  c1



2

Trang 6


a b 2
a c
b c
x

2
x

�
2
a1 c1
b1 c1 (điều phải chứng minh).
Vậy �ax  bx  c � a1 b1
� 2
�
2
�a1x  b1x  c1 �
a x2  b x  c



1

1

1



�  ax2  bx  c �
. a1x  b1    ax2  bx  c . a1x  b1  �
�ax2  bx  c �
c) Ta có �
�
2
a
x

b
 ax1  b1 
� 1
1
�

 2ax  b . a1x  b1    ax2  bx  c .a1

2
 a1x  b1 


a.a1x2  2a.b1x   bb
. 1  a1.c

 a1x  b1 

2

(điều phải chứng minh).

b c
a.a1x2  2a.b1x 
�
a1 b1
Vậy �ax  bx  c �
�
�
2
 a1x  b1 
� a1x  b1 �
2

Bài tốn 2. Tìm đạo hàm của hàm số hợp
Phương pháp giải
Nếu hàm số u  g x có đạo hàm tại x là

Ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm số



�
u�
x và hàm số y  f  u có đạo hàm tại u là yu
thì hàm hợp y  f  g x  có đạo hàm tại x là

��
y�
x  yu.ux .

Công thức đạo hàm của một số hàm hợp
thường gặp:
.
 u  � nu

.u�
 n��* 

n1

n

 u � 2u�u ;



2

y  x4  2x  2x2  1

Hướng dẫn giải
2 �
Ta có y�
�

�x4  2x �
�

�



2x2  1





2x2  1 �
�
y�
 2 x  2x . x  2x 
2 2x2  1





4



4











� y�
 2 x4  2x . 4x3  2 



� y�
 4x x3  2 . 2x3  1 

� u�
�1 �
�u �  u2 .
��

4x
2 2x2  1
2x
2x2  1

.

trong đó u  u x .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
3

�2x  1�

a) y  �
�;
�x  1 �

b) y  3x2  2x  1 .

Hướng dẫn giải
a) Ta có:
Trang 7


2
2
2
� �2x  1�
9 2x  1
3
�2x  1� �2x  1�
�
y  3.�

�.�
� 3.�
�.
2
4
�x  1 � �x  1 � �x  1 �  x  1
 x  1

 3x

b) Ta có: y�




 2x  1 �
6x  2
3x  1
.


2 3x2  2x  1 2 3x2  2x  1
3x2  2x  1
2

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
2

2

�
1 x �
;
a) y  �
�
�
�
1

x

�
�

1 �
�
b) y  � x 
�.
x�
�

Hướng dẫn giải
�
�
�
1 x �
1 x �
a) Ta có: y�
 2�
�
�
�
�
�
1 x �
1 x �
�
�
�
�
�

1 x � 2
 2�
�
�
1 x �
�
�1 x



2







2

 x �

1 x

x 1 x



3

2 �
�
�
1 ��
1 ��
1 �
�
�
b) Ta có: y�
�
x


2.
x

.
x

�
�
�
�
��
�
x ��
x ��
x�
�
�

�
�
�

1 �
1 �
�
�1
 2.� x 

�
�
�
x�
�
�2 x 2x x �
 2.

1 �
1 �
� 1�
1 �
�
� x
�
2 x�
x�
� x�

� 1�

� 1�
�
1 �
1 �
�
� x�
� x�
 1

1
.
x2

Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số y 

x2  1 2x  1

Hướng dẫn giải
x
Ta có: y�


x 1
2

2

2

x2  1 2x  1



x  2 x2  1





2 x2  1



x2  1  2x  1

Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Cho hàm số f  x  ax  b , với a, b là hai số thực đã cho. Khẳng định nào sau đây đúng?
Trang 8


 x  a.
A. f �

 x  a.
B. f �

 x  b.
C. f �

 x  b.

D. f �

2
Câu 2: Đạo hàm của hàm số f  x  x  5x  1 tại x  4 là

A. – 1.

B. – 5.

Câu 3: Hàm số y 

C. 2.

D. 3.

2x  1
có đạo hàm là
x1


B. y�

 2.
A. y�

1

 x  1

2

.


C. y�

3

 x  1

2


D. y�

.

1

 x  1

2

.

Câu 4: Cho các hàm số u  u x ,v  v x có đạo hàm trên khoảng J và v x �0 với x�J . Khẳng
định nào sau đây sai?
�
A. �
u x  v x �

 x  v�
 x .
�
� u�

� v�x
�1 �
 .
B. � � 2
v x � v  x
�

�
C. �
u x .v x �
 x .v x  v�
 x .u x .
�
� u�

� u�x .v x  v�x .u x
�
u x �
       .
D. �
�
v x �
v2  x
�

Câu 5: Tìm đạo hàm của hàm số y 
 2x3  2x2 
A. y�

x4 2x3 1

 8
2
3 x

1
1
x2

 2x3  2x2  1
C. y�
Câu 6: Cho hàm số y 

 1  4.
A. y�

 2x3  2x2 
B. y�

1
.
x2

 2x3  2x2 
D. y�

1
.
x2

x2  x
. Đạo hàm của hàm số tại x  1 là
x 2

 1  5.
B. y�

Câu 7: Đạo hàm của hàm số y   1 x3 

 1  3.
C. y�
5

 1  2.
D. y�

là

A. y�
 5 1 x3  .

B. y�
 15x2  1 x3  .

C. y�

 3 1 x3  .

D. y�
 5x2  1 x3  .

4

4

4

Câu 8: Hàm số

A. y�

 x  2
y
1 x

 x2  2x

4

2

có đạo hàm là

.



B. y�

 2 x  2 .
C. y�


D. y�

 1 x

2

x2  2x

 1 x

2

x2  2x

 1 x

2

2
Câu 9: Tìm đạo hàm của hàm số y  x  2x  1  5x  3 .

 40x2  3x2  6x.
A. y�

 40x3  3x2  6x.
B. y�

Trang 9


 40x3  3x2  6x.
C. y�

 40x3  3x2  x.
D. y�

Câu 10: Đạo hàm của hàm số y 

1 6 3
x   2 x là
2
x

 3x5 
A. y�

3
1

.
2
x
x

 6x5 
B. y�

3
1

.
2
x 2 x

 3x5 
C. y�

3
1

.
2
x
x

 6x5 
D. y�

3
1

.
2
x 2 x

3

5�
�
Câu 11: Tìm đạo hàm của hàm số y  �4x  2 �.
x �
�
2

2

5�
� 10 �
�
A. y�
 3�
4 3 �
4x  2 �.
�
x �
� x �
�

5�
� 10 �
�
B. y�
 3�
4 3 �

4x  2 �.
�
x �
� x �
�
2

2

5�
�
C. y�
 �4x  2 �.
x �
�

5�
� 10 �
�
D. y�
 3�4 3 �
4x  2 �.
�
x �
� x �
�

Câu 12: Đạo hàm của hàm số f  x  2  3x2 là
A.

3x
2  3x

2

.

B.

1
2 2  3x

Câu 13: Cho hàm số y  f  x 
1
A. y�
 0  .
2

2

.

x
4  x2

C.

2 2  3x2

.

D.

3x
2  3x2

.

 0 bằng
. Giá trị y�

1
B. y�
 0  .
3

1

Câu 14: Đạo hàm của hàm số y 

6x2

x2  1

 0  1.
C. y�

 0  2.
D. y�

ax
có dạng

x

2



1

3

.

Khi đó a nhận giá trị nào sau đây?
A. a  4.

B. a  1.

C. a  2.

D. a  3.

Câu 15: Tìm đạo hàm của hàm số y  x2  x x  1.
 2x  x  1 
A. y�

C. y�

x

 2x  x  1 
B. y�

2 x 1

x

 2x  x  1 
D. y�

2 x1

Câu 16: Tính đạo hàm của hàm số sau y   x  2

3

 x  3

A. y�
 3 x2  5x  6  2 x  3  x  2 .
3



2

x
2 x 1

x
2 x 1

.

B. y�
 2 x2  5x  6  3 x  3  x  2
2

3



D. y�
 3 x2  5x  6  2 x  3  x  2

 3 x2  5x  6  2 x  3  x  2 .
C. y�

2

3

3

Câu 17: Đạo hàm của hàm số y    x2  3x  7 là
7

A. y�
 7 2x  3   x2  3x  7

6

B. y�
 7  x2  3x  7

6

Trang 10


C. y�
  2x  3   x2  3x  7

D. y�
 7 2x  3   x2  3x  7

6

6

 0 bằng
Câu 18: Cho f  x  1 3x  3 1 2x . Giá trị của f �
A.

5
.
6

5

B.  .
6

C. 0.

D. 1.

Câu 19: Đạo hàm của hàm số y  x2 x là
A.

x x
.
2

B.

5 x
.
2

C.

5x x
..
3

D.

5x x
.

2

ax2  bx
x2  x  1
Câu 20: Đạo hàm của hàm số y 
có dạng
2 . Khi đó a.b bằng
x1
 x  1
A. a.b  2.

B. a.b  1.

Câu 21: Đạo hàm của hàm số y 
A.

1

 x  3  x  1
2

2

.

B.

C. a.b  3.
1

 x  1  x  3

1
.
2x  2

D. a.b  4.

bằng
C. 

x

2

2x  2



 2x  3

2

.

D.

x

2

4



 2x  3

2

 1 bằng
Câu 22: Cho hàm số f  x   2018 x  2017 2x  2016 3x ... 1 2018x . Giá trị của f �
A. 2019.20181009

A.

a2

a x 
2

2

3

.

B.

y�


D. 2018.20191009

x

Câu 23: Tìm đạo hàm của hàm số y 
y�


C. 1009.20192018

B. 2018.10092019
a2  x2
a2

a

2

x

2



3

.

C.

y�


2a2

a

2

x

2



3

.

D.

y�


a2

a

2

x

2



3

.

Câu 24: Đạo hàm của hàm số y   x  1 x2  x  1 là
A.

4x2  5x  3
2 x2  x  1

.

B.

4x2  5x  3
2 x2  x  1

.

4x2  5x  3
.
C.
x2  x  1

D.

4x2  5x  3
2 x2  x  1

.

�
a
ax  b
1
�3 2x �
Câu 25: Cho �
,x  . Giá trị của bằng
�
b
4
� 4x  1 �  4x  1 4x  1
A. – 16.

B. – 4.

C. – 1.

D. 4.

 0 .
Câu 26: Cho f  x  x x  1  x  2  x  3 ... x  n với n��* . Tính f �
 0  0.

A. f �

 0  n
B. f �

 0  n!
C. f �

D. f �
 0 

n n  1
2

Câu 27: Cho hai hàm số f  x và g x đều có đạo hàm trên � và thỏa mãn

f 3  2  x  2 f 2  2 3x  x2g x  36x  0,x��. Giá trị của A  3f 2  4 �
 2 bằng
A. 11.

B. 14.

C. 13.

D. 10.

Trang 11


2

Câu 28: Cho hai hàm số f  x và g x xác định và liên tục trên � thoả mãn: f  x  x ,x�� và

g 1  3; g�
 1  5. Tính đạo hàm của hàm số hợp f  g x  tại x  1.
A. 0.

B. 9.

C. 15.

D. 30.

Câu 29: Biết hàm số f  x  f  2x có đạo hàm bằng 5 tại x  1 và đạo hàm bằng 7 tại x  2. Tính đạo
hàm của hàm số f  x  f  4x tại x  1.
A. 8.

B. 12.

C. 16.

D. 19.

Dạng 2: Đạo hàm của hàm số lượng giác
Phương pháp giải
Áp dụng bảng công thức đạo hàm của hàm

Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số
x
y  sin2x  cos  tan2020x
2

số lượng giác

 sin x � cosx

.cosu
 sinu � u�

 cos x �  sin x

.sinu
 cosu � u�

1
 tan x � 2
cos x
1
 cot x �  2
sin x

u�
 tanu � 2
cos u
u�
 cotu �  2
sin u

Hướng dẫn giải
Ta có:
�

� x�
y�
  sin2x �
�
cos �  tan2020x �
� 2�
1
x
2020
 2.cos2x  sin 
2 2 cos2 2020x

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm số
a) y  sin2x  cos5x .
b) y  sin x.cos4x .
c) y  cos6 x  2sin4 x.cos2 x  3sin2 x.cos4 x  sin4 x .
Hướng dẫn giải
a) Ta có: y�
  sin2x �
  cos5x � 2cos2x  5sin5x.
b) Ta có: y�
  sin x �
.cos4x  sin x. cos4x �
 cos x.cos4x  4sin x.sin4x
c) Ta có:

y  sin4 x 1 2cos2 x  cos4 x 3sin2 x  cos2 x









 sin4 x 1 2cos2 x  cos4 x 1 2sin2 x

 sin4 x  cos4 x  2sin4 xcos2 x  2sin2 xcos4 x
  cos2 x  sin2 x  2sin2 xcos2 x  2sin2 xcos2 x cos2 x  sin2 x
2

 1.
Trang 12


 1�
 0.
Vậy y�

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số


� �
�
�
a) y  sin�x  � cos�  2x�tại x  .
3
� 3�

�6
�


�  � �2
�
3x  � sin�  2x�tại x  .
b) y  cos�
3
� 6 � �3
�
Hướng dẫn giải
� �
�
�
� �
� �
 cos�x  � 2sin�  2x�� y�
 cos 0  2sin�
 � 1.
a) Ta có y�
�
�
� 3�
�6
�
�3 �
� 2�
� �
�2

�
 3sin�
3x  � 2cos�  2x�
b) Ta có y�
� 6�
�3
�
5
1
� �
� y�
�3 � 3sin 6  2cos0  2.
��
Chú ý: Không thay giá trị của biến x trước khi tìm đạo hàm.
Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số



a) y  tan 2x  1 ;



2
b) y  cot 3x  5 .

Hướng dẫn giải
  tan2x  1 �
a) Ta có: y�

2

.
cos  2x  1
2

�
2
�
�
cot
3
x

5
b) Ta có: y�
�
� 





6x
.
sin 3x2  5
2





Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số f  x  tan x  cot x tại điểm x 


.
4

Hướng dẫn giải
Ta có: f �
 x 

 tan x  cot x �
2 tan x  cot x

1
1
 2
2
 cos x sin x
2 tan x  cot x



sin2 x  cos2 x
2sin2 xcos2 x tan x  cot x
2cos2x
sin 2x tan x  cot x
2

� �
�4 �

Suy ra f �
��

.


2
 0.
�


2�
sin � � tan  cot
4
4
�2 �
2cos

Trang 13


Ví dụ 5: Tìm đạo hàm của hàm số
1 1 1 1 1 1


 cos x với x� 0;  .
2 2 2 2 2 2

y

Hướng dẫn giải
Ta có y  1  1 1  1 1  1 cos x  1  1 1  1 cos2 x
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2



1 1 1 1
x
1 1
x
1 1
x

 cos 

cos2 
 cos
2 2 2 2
2
2 2
4
2 2
4

 cos2

x
x

 cos .
8
8

� 1 x
� x�
Do đó y�
�
cos �  sin .
� 8� 8 8
Ví dụ 6: Cho hàm số y 

sin x  xcos x
cos x  xsin x

Chứng minh rằng: y�
 sin x  xcos x  x2y2  0.
2

Hướng dẫn giải
Ta có:
y�


 sin x  xcos x � cos x  xsin x   sin x  xcos x  cos x  xsin x �
2
 cos x  xsin x

Ta có:
+)  sin x  xcos x � cos x  x�

cos x  x. cos x � xsin x ;
+)  cos x  xsin x �  sin x  x�
sin x  x. sin x � xcos x

Do đó: y�

xsin x. cos x  xsin x   sin x  xcos x xcos x

 cos x  xsin x

2



x2

 cos x  xsin x

2

Ta có: VT  y�
 sin x  xcos x  x2y2
2



2

2
�sin x  xcos x �

. sin x  xcos x  x2.�
� 0  VP.
2 
�cos x  xsin x �
 cos x  xsin x

x2

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Tìm đạo hàm của hàm số y  5sin x  3cos x .
 5cos x  3sin x.
A. y�

 cos x  3sin x.
B. y�

 cosx  sin x.
C. y�

 5cosx  3sin x.
D. y�

Trang 14


Câu 2: Tìm đạo hàm hàm số y  3x  2tan x .

A. y�


C. y�

5 2tan2 x
2 3x  2tan x


B. y�

.

5 2tan2 x


D. y�

2 3x  2tan x

5 2tan2 x
2 3x  2tan x
5 2tan2 x
2 3x  2tan x

� �
Câu 3: Cho hàm số y  cos3x.sin2x . Giá trị của y�
�3 �bằng
��
A.

1
.

2

1
B.  .
2

C. – 1.

D. 1.

Câu 4: Hàm số y  x2 cos x có đạo hàm là

 2xcos x  x2 sin x.
A. y�

 2xcos x  x2 sin x.
B. y�

 2xsin x  x2 cos x.
C. y�

 2xsin x  x2 cos x.
D. y�

Câu 5: Đạo hàm của hàm số y  sin cos x  cos sin x là
A. cos xcos cos x  sin xsin sin x .

sin xcos cos x  cos xsin x sin x �
B.  �
�

�

cos x cos cos x  sin xsin sin x �
C.  �
�
�.

D. sin xcos cos x  cos xsin x sin x

Câu 6: Đạo hàm của hàm số y  sin4 x  cos4 x là
B. 2  sin4x.

A. sin4x.
C. cos4x  sin4x.

D.  sin4x.
 asin5x  bcos2x . Giá trị của a  b bằng
Câu 7: Biết hàm số y  5sin2x  4cos5x có đạo hàm là y�
A. – 30.

B. 10.

Câu 8: Cho hàm số y  f  x 
A. 2 .

B.

C. – 1.

D. – 9.

2
 3 bằng
. Giá trị của f �
cos  x

8
..
3

C.

4 3
.
3

D. 0.

� 2 �
Câu 9: Cho hàm số y  f  x  sin x  cos x . Giá trị f �
� �bằng
�16 �
A. 0.

B.

2.

C.


.
2

D.

2 2
.


Câu 10: Tìm đạo hàm của hàm số y  sin2 x.cos x .



 sin x cos x  1 .
C. y�

 sin x 3cos2 x  1 .
A. y�
2



 sin x cos x  1 .
D. y�

 sin x 3cos2 x  1 .
B. y�
2

 x  0 có nghiệm
Câu 11: Cho hàm số f  x  acos x  2sin x  3x  2020. Tìm a để phương trình f �
A. a  5.

B. a � 5.

C. a  5.

D. a  5.

Trang 15


� �
 cos x và f � � 1.
Câu 12: Cho hàm số y  f  x được xác định bởi biểu thức y�
�2 �
Hàm số y  f  x là hàm số nào sau đây?
B. y  cos x .

A. y  1 sin x .

C. y  1 cos x .

D. y  sin x .

Câu 13: Hàm số y  2 sin x  2 cos x có đạo hàm là
1



A. y�

sin x
cos x


C. y�

sin x




1
cos x

1


B. y�

.

sin x

sin x
cos x


D. y�

cos x

sin x




1
cos x

.

sin x
cos x

3
  .
Câu 14: Cho f  x  sin ax, a  0 . Tính f �

    3sin2  a  .cos a  .
A. f �

    0.
B. f �

    3asin2  a  .
C. f �

    3a.sin2  a  .cos a  .

D. f �

Câu 15: Tìm đạo hàm của hàm số y 


A. y�

C. y�

1

 sin x  cos x

2

.


B. y�

2

.


D. y�

1

 sin x  cos x

sin x
.
sin x  cos x

Câu 16: Cho hàm số y 
� �
A. y�
�6 � 1.
��

1

 sin x  cosx

2

.

2

.

1

 sin x  cos x

cos2x
� �
. Giá trị của y�

�6 �bằng
1 sin x
��

� �
C. y�
�6 � 3.
��

� �
B. y�
�6 � 1.
��

� �
D. y�
�6 �  3.
��

Câu 17: Đạo hàm của hàm số
�
�
�
�
�2
�
�2
�
f  x  cos2 �  x� cos2 �  x� cos2 �  x� cos2 �  x� 2sin2 x là
�3

�
�3
�
�3
�
�3
�
B. 2sin2x.

A. 6.

D. 2cos2x.

C. 0.

� �
Câu 18: Cho hàm số f  x  sin  sin x . Giá trị của f �
�6 �bằng
��


A.  .
2

B.

 3
.
2

C. 0.

D.


.
2


 
 sin 2cos tan 3x  . sin tan 3x  .4tan 3x.  1 tan 3x .3.
A. y�
 sin 2cos tan 3x  . sin tan 3x  .tan 3x. 1 tan 3x
B. y�
 sin 2cos tan 3x  . sin tan 3x  .4tan 3x. 1 tan 3x
C. y�

2
4
Câu 19: Tính đạo hàm của hàm số y  sin cos tan 3x .
4

4

4

4

4

4

3

3

3

3

3

3

Trang 16




  









  sin 2cos tan4 3x . sin tan4 3x .4tan3 3x. 1 tan3 3x .3

D. y�
Câu 20: Hàm số y  cot2x có đạo hàm là

A. y�

1 cot2 2x
cot2x

  1 cot2 2x

B. y�


.

cot2x


C. y�

.

1 tan2 2x
cot2x

D. y�


.

  1 tan2 2x
cot2x

Câu 21: Hàm số y  tan x  cot x có đạo hàm là

A. y�

1
.
sin2 2x


B. y�

x
2.

A. y�
x
cos2
2

x
2.

B. y�
x
cos2
2

tan

 sin x  cos x

1
.
cos2 2x

x
 tan3 .
D. y�
2

sin x  cos x
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
sin x  cos x

B. y�

2


D. y�

sin

cos x  sin x
.
cos x  sin x

2

4
.
sin2 2x

x
2 .

C. y�
x
2cos3
2

2sin

Câu 23: Cho hàm số y 


C. y�


C. y�

x
có đạo hàm là
2

2
Câu 22: Hàm số y  tan


A. y�

4
.
cos2 2x


D. y�

.

cos x  sin x
.
cos x  sin x

sin x

 sin x  cos x

2

.

Câu 24: Tính đạo hàm y  cos6x .

A. y�

3sin6x

2 cos6x


B. y�

.

3sin6x
cos6x


C. y�

.

3sin6x
cos6x

.


D. y�

3sin6x
cos6x

Câu 25: Đạo hàm của hàm số y  x2 tan x  x là
 2x tan x 
A. y�
 2x tan x 

C. y�

1
2 x

.

B.

x2
1

.
2
cos x 2 x

2
.
3

 2xtan x 
D. y�

x2
1

.
2
cos x
x

�
2�
 1 là
Câu 26: Cho hàm f  x thỏa mãn f  sin x  1  f  cos x  cos �x  �. Giá trị của f �
� 4�
A.

3
.
2

2
.
2

B.

C. 2.



D. 1.



2
Câu 27: Tìm đạo hàm của hàm số y  cos tan x .




x





 2tan x. tan2 x  1 .sin tan2 x .
A. y�



 2tan x.sin tan2
B. y�






x



 2tan x. tan2 x  1 .sin tan2 x
C. y�







 2 tan2 x  1 .sin tan2
D. y�

Trang 17


� 1�
Câu 28: Đạo hàm của hàm số y  2  tan�x  �là
� x�

A.

y�


� 1�
1 tan2 �x  �
� x�

B. y�
� 1�
2 2  tan�x  �
� x�

1
� 1 �.

2 2 tan�x  �
� x�

� 1�
1 tan2 �x  �
1�
� x �.�

1 2 �
C. y�
�
� 1 �� x �
2 2 tan�x  �
� x�

� 1�
1 tan2 �x  �
1�
� x �.�

1 2 �
D. y�
�
� 1 �� x �
2 2 tan�x  �
� x�

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức đạo hàm, tìm giới hạn, giải phương trình và bất phương trình chứa
đạo hàm.
Phương pháp giải

Sử dụng cơng thức và quy tắc tính đạo hàm

Ví dụ 1. Cho hàm số y  3x3  25x  20 .

Áp dụng kiến thức phương trình, bất

 0.
Giải phương trình y�

phương trình để giải quyết bài tốn.


Để tính A  lim
x� x0

g x
x  x0

biết g x0   0 .

Ta viết g x  f  x  f  x0  . Khi đó nếu

f  x có đạo hàm tại x0 thì
A  lim
x� x0



f  x  f  x0 
x  x0

Để tính B  xlim
�x
0

G  x

 9x2  25.
Ta có: y�
5
y�
 0 � 9x2  25  0 � x  � .
3

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x 

 f�
 x0 

F  x

Hướng dẫn giải

, biết

F  x0   G  x0   0.
Ta viết: F  x  f  x  f  x0  và

G  x  g x  g x0  .
Nếu hai hàm số f  x , g x có đạo hàm tại

x  x0 và g�
 x0  �0 thì:

và x  

5
3

5
3

Ví dụ 2. Tính A  lim
x�0

3

1 x  1
.
x

Hướng dẫn giải
3
�
Đặt f  x  1 x � f  x 

1
33  1 x

2

và

f  0  1.
Suy ra A  lim
x�0

f  x  f  0
x 0

1
 f�
 0   .
3

f  x  f  x0 
f�
 x0 
x  x0
B  lim

x� x0 g x  g x 
g�
 x0 
0
x  x0

Trang 18

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho hàm số f  x  x  1 x2 . Chứng minh rằng 2 1 x2 .y�
 y.
Hướng dẫn giải
Ta có



�
�
1
1
2 �
y�
�
x

1

x
. x  1 x2 
�
�
�
� 2 x  1 x2
2 x  1 x2





1
2 x  1 x

2

1 x2  x

.

1 x

2

1 x2  x



2 1 x

2



y
2 1 x

2

�

x �
.�
1
�
2
� 1 x �

� 2 1 x2 .y�
 y.

 x �f  x .
Ví dụ 2: Cho hàm số f  x  x2  2x . Giải bất phương trình f �
Hướng dẫn giải

 x 
Ta có f �

x1
x  2x
2

 x �f  x
. Khi đó f �

x1
x  2x
2

x2 2x  1

Điều kiện xác định: x� �;0 � 2;� .
� 3 5
x�
�
2
2
2
�
 1 � x  1�x  2x � x  3x  1�0 �
� 3 5
x�
�
�
2
3 5
Kết hợp với điều kiện trên suy ra x  0 hoặc x �
.
2
Ví dụ 3: Cho hàm số f  x 

x3
 x �0 với mọi
 mx2   m 2 x  7 . Tìm giá trị của tham số m để f �
3

x��.
Hướng dẫn giải

 x  x2  2mx  m 2
Ta có f �

f�
 x �0, x��� x2  2mx  m 2 �0, x��
a  1 0
�
�
��
� m2  m 2 �0 � 1�m�2
2
�
  m   m 2 �0
�
Vậy 1�m�2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 x  0 trong các trường hợp sau
Ví dụ 4: Giải phương trình f �
a) f  x  sin3x  3sin x  7 ;
b) f  x  cos2x  2sin x  1.
Hướng dẫn giải
Trang 19


 x  3cos3x  3cos x . Khi đó:
a) f  x  sin3x  3sin x  7 � f �
f�
 x  0 � 3cos3x  3cos x  0 � cos3x  cos x
3x  x  k2
�
��
3x   x  k2
�

x  k
�
�
�
k
�
x
� 2
� x

k
 k��
2

 x  2sin2x  2cos x .
b) f  x  cos2x  2sin x  1� f �
f�
 x  0 � 2sin2x  2cosx  0 � cosx 2sin x  1  0
cos x  0
�
�
�
1
�
sin x 
�
2

� 
x   k

�
2
�

��
x   k2
� 6
�

�
x     k2
�
6
� 
x   k
�
2
�

��
x   k2  k ��
� 6
�
5
�
x
 k2
� 6
Ví dụ 5: Tính giới hạn sau: A  lim
x�0

1 2x2  3 1 3x2
1 cos x

Hướng dẫn giải
1 2x2  3 1 3x2
f  x
x2
A

lim

lim
Ta có:
x�0
x�0
x
x
2sin2
2sin2
2
2
2
2
x
x
2

Mà lim
x�0

x
� x�
sin
1
2  lim� 2 � 1 .
�
�
x2
2 x�0 � x � 2
�2 �

2sin2

Trang 20


Đặt t  x2 , sử dụng phương pháp liên hợp ta có
lim f  x  lim
x�0

t�0

1 2t  3 1 3t
 0.
t

Vậy A  0.
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Cho hàm số y  3 1 x . Khẳng định nào sau đây đúng?

�2  1 0 .
A. 3yy

�2  1 0
B. yy

Câu 2: Cho hàm số f  x 
� 2�
0; �.
A. �
�3

�2  1 0
C. 3yy

�2  1 0
D. yy

x3
 x  0 là
. Tập nghiệm của phương trình f �
x1

� 2�
0; �.
B. �
� 3

� 3�

0; �.
C. �
�2

� 3�
0; �
.
D. �
� 2

Câu 3: Cho hàm số y  x  x2  1 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. y 1 x2  y�
 0.

B. y�1 x2  y  0.

C. y 1 x2  y�
 0.

D. y�1 x2  y  0.

3
2
 x  0, x�� là
Câu 4: Cho f  x   m 1 x  2 m 1 x  mx . Tập hợp các giá trị của m để f �

A.  1;4 .

B.  1;4 .

C.  1;4 .

Câu 5: Cho hàm số f  x  k3 x  x  k �� . Giá trị của k để f �
 1 
A. k  1.

B. k  3.

D.  1;4 .
3
là
2

C. k  3.

9
D. k  .
2

 0 có tập nghiệm là
Câu 6: Cho hàm số y  x3  3x2  9x  5. Phương trình y�

A.  1;2 .

B.  1;3 .

C.  0;4 .

D.  1;2

C. 1 x.

D.

Câu 7: Cho hàm số y  2x  x2 . Khi đó y.y�bằng
A.

1
.
2

B. 2  2x.

2x  x2
.
2

3
2
 x  0 thì x có giá trị thuộc tập hợp
Câu 8: Cho hàm số f  x  2x  3x  36x  1. Để f �

A.  3;2 .

B.  3;2 .

C.  6;4 .

D.  4;6 .

3
2
 x �0 thì x có giá trị thuộc tập hợp
Câu 9: Cho hàm số f  x  x  2x  7x  3. Để f �

�7 �
 ;1�.
A. �
�3 �
Câu 10: Cho hàm số y 
A.  1;3 .

� 7�
1; �
B. �
� 3�

�7 �
 ;1�
C. �
�3 �

�7 �
 ;1�
D. �
�3

2x2  x  7
 0 là
. Tập nghiệm của phương trình y�

x2  3

B.  1;3 .

C.  3;1 .

D.  3;1

x2  3x  3
 0 là
Câu 11: Cho hàm số y 
. Tất cả các nghiệm của phương trình y�
x 1

Trang 21


A. x  0.

B. x  2.

D. x  0; x  2.

C. x  2.

x2  1
Câu 12: Cho hàm số f  x  2
. Đạo hàm của hàm số f  x nhận giá trị âm khi x thuộc tập hợp nào
x 1
dưới đây?

A.  �;0 .

C.  �;1 � 1;� .

B.  0;� .

D.  1;1 .

3
2
Câu 13: Cho hàm số f  x  x  x  x  5. Với giá trị nào của x thì âm?

1
A. 1 x  .
3

B.

1
 x  1.
3

1
C.   x  1.
3

2
D.   x  2.
3

2
 x là bao nhiêu?
Câu 14: Cho hàm số f  x  2cos  4x  1  2  2020. Giá trị nhỏ nhất của f �

 x  8.
A. min f �

 x  8
B. min f �

 x  4
C. min f �

 x  4
D. min f �

 0 trên đoạn
Câu 15: Cho hàm số y  3sin x  cos x  2x  2019. Số nghiệm của phương trình y�

 0;2020 

là

A. 2019.

B. 2020.

C. 1011.

D. 1010.

Câu 16: Cho hàm số f  x  sin2x . Hỏi có bao nhiêu điểm phân biệt trên đường tròn lượng giác biểu

 x  5?
diễn các nghiệm của phương trình 3f  x  2 f �
A. 0.

B. 1.

3
Câu 17: Cho f  x  x 

C. 2.

D. 4.

1 2
x  4x . Tìm x sao cho f �
 x  0.
2

4
hoặc x  1.
3

4
B. 1 x  .
3

4
C. x � hoặc x �1.
3

4
D. 1�x � .
3

A. x 

Câu 18: Cho hàm số f  x 
A. 2 2 .

1 3
x  2 2x2  8x  1. Để f �
 x  0 thì x có giá trị bằng
3

B. 2 2 .

Câu 19: Cho hàm số f  x 
12
A. 0 �m� .
5

C. 2.

D. Không tồn tại.

mx3 mx2

 x  0, x��.

  3 m x  2 . Tìm m để f �
3
2

B. 0  m

12
5

C. 0 �m

12
5

12
D. 0  m�
5

3
2
Câu 20: Cho hàm số f  x   x  3mx  12x  3 với m là tham số thực, số giá trị nguyên của m để

f�
 x �0 với x�� là
A. 1.

B. 5.

Câu 21: Giá trị của lim
x�0

A. 2018.2019.

C. 4.

D. 3.

 1 x  1 2x  1 3x ... 1 2018x  1 bằng
x

B. 2019.

C. 2018.

D. 1009.2019.
Trang 22


3
2
2
 x  0 luôn đúng với mọi x và f �
 1  6 . Tìm a
Câu 22: Cho f  x  2x  3 a  2 x  6a x . Biết f �

A. a  1.

B. a  2.

C. a  1.

D. a  3.

 f�
 x liên tục trên � và hàm số y  g x với
Câu 23: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm y�





g x  f 4  x3 . Biết rằng tập các giá trị của x để f �
 x  0 là  4;3 . Tập các giá trị của x để
g�
 x  0 là
A.  1;2 .

B.  8;� .

C.  �;8 .

D.  1;8 .

�
a x khi 0  x  x0
�
Câu 24: Cho hàm số f  x  � 2
. Biết rằng ta ln tìm được một số dương x0 và một số

�x  12 khi x �x0
thực a để hàm số f có đạo hàm liên tục trên khoảng  0; x0  � x0;� . Tính giá trị S  x0  a .







A. S  2 3 2 2 .



B. S  2 1 4 2 .



C. S  2 3 4 2

Câu 25: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm tại điểm x0  2 . Tìm lim



2 f  x  xf  2

x�2

 2 .
B. f �

A. 0.
Câu 26: Giá trị của lim

n

x�0

A.

n
.
3

 2 
C. 2 f�



D. S  2 3 2 2
x 2

 2 .



.

 2
D. f 2  2 �

1 3x  1
bằng
x
B.

3
.
n

C.

1
.
n

D.

n

3.

Dạng 4: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Bài tốn 1. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm
Phương pháp giải
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 C  : y  f  x

 C  : y  x3  2x2 tại điểm

tại điểm M  x0, y0  .

 f�
 x , từ đó suy ra
Bước 1: Tìm đạo hàm y�

 x0  .
hệ số góc của tiếp tuyến là k  y�
Bước 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại
điểm M  x0; y0  có dạng

y  y�
 x0   x  x0   y0 .
Chú ý:

M  1;3 .

Hướng dẫn giải
Tập xác định: D  �

 3x2  4x � k  y�
 1  7 .
Ta có: y�
Phương trình tiếp tuyến tại M  1;3 là

d : y  y0�
 x  x0   y0 � y  7 x  1  3
� y  7x  4 .

+) Nếu đề bài cho hồnh độ tiếp điểm x0 thì
tìm y0 bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức
là: y0  f  x0  .
Trang 23


+) Nếu đề bài cho tung độ tiếp điểm y0 thì tìm

x0 bằng cách giải phương trình f  x0   y0 .
+) Viết phương trình tiếp tuyến tại các giao
điểm của đồ thị  C  : y  f  x và đường thẳng
d : y  ax  b . Khi đó các hồnh độ tiếp điểm

là nghiệm của phương trình hồnh độ giao
điểm giữa d và (C).
Đặc biệt:
Trục hoành Ox : y  0 và trục tung
Oy : x  0

Sử dụng máy tính cầm tay
Phương trình tiếp tuyến cần lập có dạng
d : y  kx  m

 x0  .
+ Đầu tiên tìm hệ số góc tiếp tuyến k  y�
và nhập f  x ; x  x0 , sau đó

Bấm
bấm

ta được k.

+ Tiếp theo: Bấm phím

d
 f  X 
dx

X X0

để sửa lại thành

�  X   f  X  , sau đó bấm phím

với X  x0 và bấm phím

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là:
y  7x  4 .

ta được m.

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho điểm M thuộc đồ thị  C  : y 

2x  1
và có hồnh độ bằng – 1. Viết phương trình tiếp tuyến
x1

của đồ thị (C) tại điểm M.

Hướng dẫn giải
Tập xác định D  �\  1 .
Cách 1. Ta có: x0  1� y0  y 1 
Phương trình tiếp tuyến tại M là y  

3
3
1

� k  y�
 1  .
và y�
2
4
2
 x  1

3
1
3x 1
 x  1  � y    .
4
2
4 4

Trang 24


Cách 2. Sử dụng máy tính cầm tay

Vậy phương trình tiếp tuyến tại M là: y  

3x 1
 .
4 4

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 

2x  1
tại giao điểm với trục hoành
x 5

Hướng dẫn giải
Tập xác định D  �\  5 . .
Tọa độ giao điểm với trục hoành y  0 �

2x  1
1
 0� x   .
x 5
2

Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x  

1
là
2

2
� 1�

� 1� � 1� 4 � 1� 4
y  y�
 �
x �
 y�
 �  �x  �  x  .
�
�
� 2�
� 2 � � 2 � 11� 2 � 11 11
3
2
Ví dụ 3: Gọi M  xM ; yM  là một điểm thuộc  C  : y  x  3x  2 , biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại
2
2
điểm N  xN ; yN  (khác M). Tìm giá trị nhỏ nhất P  5xM  xN .

Hướng dẫn giải
Tập xác định D  �.

 3x2  6x .
Ta có y  x3  3x2  2 � y�
3
2
Gọi M  xM ; yM  là một điểm thuộc  C  : y  x  3x  2 , suy ra tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình



2
là y  3xM  6xM

  x x   x
M

3
M

 3xM2  2 .

Tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm N  xN ; yN  (khác M) nên xM , xN là nghiệm của phương trình:



  x  x   x  3x  2
   3x  6x   x  x   0

x3  3x2  2  3xM2  6xM
�  x3  xM3   3 x2  xM2
�  x  xM 

2

M

2
M

3
M

M

2
M

M

 x  2xM  3  0

x x
�
�� M
x  2xM  3
�

� xN  2xM  3.
2

2�
2
�
Khi đó P  5xM2  xN2  5xM2   2xM  3  9xM2  12xM  9 �9�xM  � 5
3�
�
Trang 25