Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 - TS. Nguyễn Hải Sơn

�ƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC


Bước 1: Tìm mtr trực giao T làm chéo hóa A. Tìm hệ
tọa độ [G;(f1;f2;…;fn)] tương ứng với T và phép biến
đổi [x]=T[y ] như trong mục 7.1
Khi đó, pt của (S) sẽ là
r

n

2
i

 y
i

i 1

 2 ci yi  c  0 ( i  0, i  1, r )
i 1

Bước 2: Rút gọn
2
r
n
r

ci 
ci2
 i  yi    2  ci yi  c    0


i 
i 1
i  r 1
i 1  i



§7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC


Bước 3: Chọn điểm I U có tọa độ là

 c1 c2

cr
,
,...,
,0,...,0 

r
 1  2

trong hệ tọa độ [G,(f1;f2;…;fn)]. Khi đó, trong hệ tọa
độ [I,(f1;f2;…;fn)], S co pt chính tắc
2
c
2
i


y
'

2
c
y
'

c

0



i
i
i
i
i 1
i  r 1
i 1  i
r

n

r


§7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC


Ví dụ. Trong không gian tọa độ trực chuẩn
[O,(e1;e2;e3)], đường cong S có phương trình
2
1

2
2

2
3

( S ) 2x  2 x  2 x  2 x1 x2  2 x2 x3  2 x3 x1 
 3x1  x2  2 x3  5
Hãy tìm một hệ tọa độ trực chuẩn gốc O để
trong hệ tọa độ đó, S có pt ở dạng chính tắc.



§8: PHÂN LOẠI ĐƯỜNG BẬC HAI
TRONG MẶT PHẲNG




§8: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI

Bằng việc biến đổi hệ trục tọa độ, ta luôn đưa một
đường bậc 2 (C) về dạng chính tắc, bao gồm các
dạng sau đây:

2
2
x
y
Dạng 1. (elip)
 2 1
2
a
b
2
2
x
y
Dạng 2. (hypecbol)
 2 1
2
a
b
Dạng 3. (parabol) x 2  2 py




§8: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI

x2 y 2
Dạng 4. (cặp đường thẳng cắt nhau) 2  2  0
a b
2
2

x
y
Dạng 5. (một điểm) 2  2  0
a
b
2
x
Dạng 6. (cặp đường thẳng song song) 2  1
a
2
x
Dạng 7. (cặp đường thẳng trùng nhau) 2  0
a
2
2
x
y
Dạng 8. (elip ảo) 2  2  1
a
b
2
x
Dạng 9. (cặp đường thẳng ảo song song) 2  1
a



§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI
TRONG KHƠNG GIAN



§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI

Bằng việc biến đổi hệ trục tọa độ, ta luôn đưa một
mặt bậc 2 (S) về dạng chính tắc, bao gồm các
dạng sau đây:
2
2
2
x
y
z
Dạng 1. (elipsoid) 2  2  2  1
a
b
c




§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI
2

2

2

Dạng 2. (hypecboloid- một tầng) x 2  y2  z 2  1

a
b
c




§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI
2

2

2

Dạng 3. (hypecboloid- hai tầng) x 2  y2  z 2  1
a
b
c




§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI

Dạng 4. (Paraboloid- eliptic)

x2 y 2
z 2  2
a
b



§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI
2

Dạng 5. (Paraboloid- hypecbolic)

Mặt yên ngựa

2

x
y
z 2  2
a
b




§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI

Dạng 6. (các mặt trụ)
x2 y 2
- Trụ eliptic 2  2  1
a
b2
x

y2
- Trụ hypecbolic 2  2  1
a b
2
x
- Trụ parabolic 2  py  0
2 a 2
x
y
- Nhị diện 2  2  0
a b




§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI

x2 y 2 z 2
Dạng 7. (Mặt nón) 2  2  2  0
a
b
c




§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI

x2
Dạng 8. (cặp mặt phẳng song song) 2  1

a
2

x
Dạng 9. (cặp mặt phẳng trùng nhau) 2  0
a




§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI

Dạng 10. (Các dạng ảo)

x2 y 2 z 2
a) Elipsoid ảo 2  2  2  1
a
b
c
2
2
x
y
b) Trụ elipsoid ảo 2  2  1
a
b
c) Các mặt phẳng ảo song song

x2
 1

2
a




§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI

Ví dụ 1. Nhận dạng các đường bậc hai sau
a) x12  x22  x1 x2  x1  1
b) 2 x12  3 x1 x2  x2  0
Ví dụ 2. Nhận dạng các mặt bậc hai sau
2
2
2
a) x1  2 x2  3 x3  x1 x2  x2 x3  x3 x1  10
2
2
b) x1  2 x2  x1  3 x2  4 x3  x1 x2  0




§9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI

VD3. Trong  3 xét tích vơ hướng thơng thường,
cho dạng tồn phương
( x1; x2 ; x3 )  x12  4 x1 x2  x22  3 x32
i) Tìm một cơ sở trực chuẩn của  3 để dạng
tồn phương có dạng chính tắc.

ii) Xác định tên của mặt bậc hai sau
( x1; x2 ; x3 )  1
(Đề 3-K52)