Tai lieu on chuyen va HSG toan THCS

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (244.13 KB, 33 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHAN I: ĐAI SO

Tính giá trị của biểu thức

Phần1 :Biểu thức số
Bài tập 1: Tính A =

√

3−2√2−

√

6+4√2

B =

√

2+√3+

√

2−√3

C =

√

3+

√

13+√48

D =

√

√5+

√

3−

√

29−12√5
Bµi tËp 2: TÝnh A = √2

√2+

√

2+√2+

√2

√2+

√

2−√2

B = 2+√3
√2+

√

2+√3+

2−√3

√2−

√

2−√3

C = (2 √2+3¿( 5

1+√2+
14

−1+2√2−
6
2−√2)

D = 1
√2−√3.

√

3√2−2√3
3√2+2√3

Bµi tËp 3: TÝnh S = 3

√

7+5√2+

√

37−5√2

Bµi tËp 4: TÝnh T = 3

√

70−√4901+

√

370+√4901

Bµi tËp 5: Cho x0=

√

310+6√3−

√

3−10+6√3 . CMR x0 lµ nghiƯm cña PT

x3 + 6x – 20 = 0

Bµi tËp 6: BiÕt x=

√

2+

√

2+√3−

√

6−3

√

2+√3 . Tính giá trị của biểu thức
S = x4-16x

Phn 2 : Biểu thức đợc tính qua biểu thức khác

Bµi tập 1 : Cho các số a,b thoả mÃn các hƯ thøc a2+b2 = 1 vµ a3+b3 = 1 . Tính

T = a2005+b2006

Bài tập 2: Biết a,b dơng thoả mÃn a2002+b2002= a2003+b2003 = a2004+b2004 . TÝnh

S = a2005+ b2005

Bµi tËp 3 : BiÕt a,b,c tho¶ m·n 1

a+
1
b+

c=1 vµ ab +ac +bc = 1 .TÝnh

P = 1

1+a+ab+

1
1+b+bc+

1
1+c+ca

Bài tập 4: Biết x,y thoả mÃn (x+

1+y2(y+

1+x2)=1 . Tính F= x+y

Bài tập 5: Cho x,y,z là các số dơng thoả mÃn x+y+z+ xyz=4

Tính S =

x(4 y)(4 z)+

√

y(4− x)(4− z)+

√

z(4− x)(4− y) - √xyz

Bµi tËp 6: Cho a,b,c,x,y,z là các số dơng thoả mÃn x+y+z = a; x2+y2+z2 = b;

a2 =b +4010 . Tính giá trị của biểu thức

(2005+y

)(2005+z2)

2005+x2 +y

(2005+x2)(2005+z2)

2005+y2 +z

(2005+x2)(2005+y2)

2005+z2
Phần 3 : Một số bài luyện tËp

Bµi 1: TÝnh S =

1+√3

2
1+

√

1+√3

1−√3
2
1−

√

1−√3

T= 3+√5
√10+

√

3+√5+

3−√5

√10+

√

3−√5

F= 4+√7

2√2+

√

4+√7+

4−√7
2√2−

√

4−√7

Bµi 2 : CMR S=

√

2+

√

3

√

4 .. .. ..√2000 .  2
Bµi 3: CMR 1

3−

√

√

6+. . .+√6

3−

√

√

6+. ..√6 <
5

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bµi 4: Cho x= 1

3(
3

√

23+√513

4 +

√

23−√513

4 −1) .TÝnh

A=2x2+2x+1

Bµi 4: Cho a,b dơng và a2-b>0. CMR

a+b=

a+

a

2
 b

2 +

a

a2 b

Bài 5: Tìm x biết ( 3+5+2x=

10+60+24+40

Bài 6: Biết r»ng x+y =a+b vµ x2+y2=a2+b2

TÝnh P= xn+yn

Bµi 6: BiÕt 1

a+
1
b+

c=2005 và a+b+c =2006 .Tính giá trị của biểu thøc

S = a+b

c +

b+c

a +

a+c

b

Bµi 7: TÝnh D = 1

2+2+
1
32+23+

43+34+. . .+

10099+99100

Bài 8:Cho x1,x2,x100 là 100 số tự nhiên khác không .CMR

Nếu 1

x1

+ 1

x2

+.. . 1

x100

=20 thì Ýt nhÊt cã hai sè b»ng nhau

Bµi 8: CMR 1

3√2+
1
4√3+. . .

(n+1)√n<√2

Bµi 9: Cho x = 2

2√32+2+√34 vµy=

2√32+√34−2 . Tính giá trị của biểu thức

M=xy3-y.x3

Bài 10: Cho a+b+c=0 vµ a− b

c +

b −c

a +

c −a

b =2005 . Tính giá trị của biểu thức

T= c

a b+
a
b c+

b
c a

Bài11: Biết x

x2+x+1=

4 Tính A= x
5

4x33x+9

x4

+3x2+11

Bài12: Cho a,b,c thoả mÃn

1
a+

1
b+

1
c=

1
a+b+c

a3+b3+c3=29

{

HÃy tính P=a2005+b2005+c2005

Phơng trình cơ bản cách giải

Phần1: Phơng trình bậc hai một ẩn a.x2+b.x+c=0 (a 0 )

1, C«ng thøc nghiƯm (SGK-Trang … tËp 2 .NXB GD 2005).
2, một số dạng điển hình

Dạng thø nhÊt : Liªn quan tíi Δ =b2-4ac…

Bài tập 1: Tìm tất cả các số aZ để PT 2x2-(4a+5.5)x +4a2+7=0

Bài tập2: Cho a,b là các số tho¶ m·n a2003+b2003=2a1001b1001. CMR

Phơng trình x2+2x+ab=0 có hai nghiệm hữu tỷ.

Dạng thứ hai : Liªn quan tíi hƯ thøc vi –Ðt
NÕu

Δ≥0⇒
x1+x2=−b

a
x1x2=c

a
¿{

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

X12=(x1+x2)x1-x1x2=Sx1-P

X13=x1(Sx1-P)=S(Sx1-p)-X1p =(S2-p)X1-SP
…

Bµi tËp1: Cho PT x2-2(m+2)x+6m+1=0

1, CMR phơng trình có nghiệm với mọi m
2,Tìm m để PT có hai nghiệm đều lớn hơn 2
Bài tập2: Cho PT x2+x-1=0.

1, CMR phơng trình có hai nghiệm trái dÊu

2, Gäi x1 là nghiệm âm của PT . TínhGT của biểu thức P=x1+

√

x18+10x1+13

Bµi tËp 3: Cho PT x2-2x-1 =0 cã hai nghiệm x

1,,x2 (x2<0).

Tính GT của các biẻu thức sau
A=x14+2x23+3x12+8x2—8

B=x15+x24-8x1+9x2-10

√

x15−3x

12+x1+1−1. 5

√

x

24−8x2

Bài tập 4: 1, Cho PT x2-2x+3-m=0. Tìm m để PT có hai nghiệm thoảmãn

2x13+(m+1)x2-16=0

2, Cho PT x2-x-1= 0 cã hai nghiÖm x

1,x2 .H·y tÝnh

A=x1-3x2

B=x18+x26+13x2

3, Cho PT x2-2(m-1)x –2m-5= 0 cã hai nghiƯm x

1,x2 . T×m GTNN cđa biĨu thøc A=

x12+2(m-1)x2-4.

Bài tập 5: Cho x1,x2 là các nghiệm của PT x2+2004x+1= 0 và x3,x4 là các nghiƯm

cđa PT x2+2005x+1= 0. TÝnh GT cđa biĨu thøc

A= (x1+x3)(x2+x3)(x1-x4)(x2-x4).

Bµi tËp 6: Cho PT bËc hai Èn x : x2+2(m-2)x-m2-4m+5= 0.

1, Xác định m để PT có2 nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

2,Xác định các GT của m để PT có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn điều kiện

(x1+

x1
x2+ 1

x2¿
2

+¿

x1¿

+¿

x2+

1
x1x2¿

−(x1+ 1

x1)(x2+
1

x2)(x1x2+
1
x1x2)=4

Bài tập 6: Xác định m để PT 2x2+2mx+m2-2=0 có hai nghiệm.

Gäi x1,x2 lµ hai nghiƯm cđa PT .T×m GTLN cđa A=2x1x2+x1+x2+4

Bài tập 7: Gọi x1,x2 là nghiệm của PT x2-(2m-3)x+1-m = 0 .Tìm m để biểu thức

A=x12+x22+3x1x2(x1+x2) đạt GTLN.

Bµi tËp 8: Cho PT (x2-1)(x+3)(x+5)=m

1, Giải phơng trình víi m=105

2, Xác định m để PT có 4 nghiệm thoả mãn x1

+ 1

x2+
1
x3+

1
x4=−1

Bµi tËp 9: Cho PT x2-5mx-4m =0 cã hai nghiÖm x
1,x2

1, CMR x12+5mx2-4m >0

2,Xác định m để biểu thức m

2
x12+5 mx2+12m

+x22+5 mx1+12m

m2 đạt GTLN.

Bài tập 10: Cho PT mx2+(2m-1)x+m-2=0 .Tìm mđể PT có hai nghiệm x

1,x2 thoả mÃn

x12+x22=2005.

Bài tập 11 : Cho a,b là hai nghiƯm cđa PT x2-x-1=0 . CMR

P= a+b+a3+b3 ; Q=a2+b2+a4+b4 và R=a2001+b2001+a2003+b2003 là những số chia hết cho 5

Mét sè bµi lun tËp

Bài tập 11: Tìm trên đờng thẳng y=x+1 các điểm có toạ độ hoả mãn 
y2-3y

√x+2x=0 .

Bài tập 12: Giả sử PT x2+a.x+b+1=0 có hai nghiệm x

1,x2 . CMR a2+b2 là hợp sè.

Tập Bài 13 : Cho hai PT x2-(2m-3)x+6=0 và 2x2+x+m-5=0 .Xác định m để hai PT có

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài 14: Tìm mđể hai PT x2+x-2+m=0 và x2+(m-2)x+8=0 có nghiệm chung .

Bµi 15: Cho PT mx2+2mx+m2+3m-3=0

1, Xác định m để PT vô nghiệm

2, Xắc định m để PT có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn x1-x2=1.

Bài 16: Tìm m để PT (m+1)x2-3mx+4m=0 có nghiệm dơng .

Bài 17: Tìm k để PT kx2-(12-5m)x-4(1+k) = 0 có tng bỡnh phng cỏc nghim bng

13.

Phơng trình quy về phơng trình bậc hai 
Dạng cơ bản.

Dạng 1: phơng trình trïng ph¬ng : a.x4+bx2+c=0

ơng pháp giả i : đặt x2=t 0 đa đến PT at2+bt+c=0

VÝ dô : giải phơng trình (x-1)4+2(x2-2x) =22

Dạng 2: (x-a)4+(x-b)4=m (m>o) .

ơng pháp giải : đặt x-a=t-k và x-b =t+k hay x=t+ a+b

2 råi đa về dạng 1.

Ví dụ : giải phơng trình x4+(1-x)4=1/8.

Dạng 3: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) =m với a+b=c+d 
Ph

ơng pháp giải : đặt t=(x+a)(x+b) đa về phơng trình bậc hai
Ví dụ : giải PT (x2-1)(x+3)(x+5)=105

Dạng 4: đẳng cấp a.X2+bXY+cY2=0

ơng pháp giải : Xét X=0 và X0 .với X0 chia hai vÕ cho Y2råi ®a vỊ

ph-ơng trình bậc hai .

VÝ dơ : gi¶i PT 2

1+x¿2
¿

1− x¿2
¿
¿
¿

√¿

Dạng5: đối xứng bậc 4 a.x4+bx3+cx2-bx+a=0 (a0) hoặc a.x4+bx2+cx2+bkx+ak2=0

ơng pháp giải :Xét x=0 và x0 .Nếu x0 thì chia hai vế cho x2 đa về PT bậc hai d¹ng

VÝdơ1 : cho PT 3x4-4x3+mx2+4m+3=0

1, Với giá trị nào của m thì PT vô nghiệm
2, Gi¶i PT víi m=-5

Ví dụ 2: giải phơng tr×nh 2x4-21x3+34x2+105x+50=0

Dạng 6: a.X +bY =c trong đó XY=k không đổi 
Phơng pháp giải : đặt x=t0 đa về PT bậc hai ẩn t

VÝ dơ : gi¶i PT 3

√

1− x

2+x+3

√

2+x

1− x=2

D¹ng 7: 1x+ 1

√

A(x)=m víi x

2+A(x)2=k khơng đổi

Phơng pháp giải : đặt A(x) =y đa về hệ x2+y2=k và 1

x+
1
y=m

VÝ dụ : giải các PT sau a, 1x+ 1

√

2− x2=2

b, x+ x

√

2x2−1=2

HD: đặt x=1/y giải nh phần a,

Phơng trình vơ tỷ – các dạng đặc biệt và cách giải
Dạng1: Dạng cơ bản

1, √A=B⇔A=B2 vµ B0

2, A=BA=B 0

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Ví dụ : giải các phơng trình sau đây
1,

√

2x2

−5x+7=3x+7

√

3x2

−2x −4=√3x −1

3, √2x+5+√7−3x=√2x+1

Dạng 2: Biến đổi về dạng A2=B2 hoặc làm xuất hiện thừa số chung để đa v phng trỡnh

tích

Ví dụ : giải cácphơng trình sau :
1, x4+

√

x2+2005=2005

2, -x2+2=

√2− x

3, x2+4x+5=2

√2x+3

4, x3+2

√7x2+7x+√7−1=0

Dạng 3: Biến đổi về dạng tổng các biểu thức không âm bằng khơng
Ví dụ : giải các phơng trình

1, √x −2002−1

x −2002 +

√y −2003−1
y −2003 +

√z −2004−1
z −2004 =

3
4

2, 16
√x −3+

√y −1+
1225

√z −665=82−√x −3−√y −1−√z −665

D¹ng4: Dïng Èn phơ

1, Phơng trình

√

A(x)+

√

B(x)=m có kA(x) +nB(x) =p không đổi

ơng pháp giải : đặt u=

√

A(x)≥0, v=

√

B(x)≥0 đa về hệ gồm một phng trỡnh bc nht

và một phơng trình bậc cao giải bằng phơng pháp thế
Ví dụ : giải các phơng trình sau

√

25− x2−

√

10− x2

2, 3

√2− x+√x −1=1

3, x3+1=2 3❑

√2x −1

4, 4

√

17− x8−❑

√

2x8−1

2, Phơng trình c bit khỏc

Ví dụ :giải các phơng trình sau:
1, Cho PT √x+1+√3− x −

√

(x+1)(3− x)=m

a, giải phơng trình với m=2

b, Tìm m để phơng trình có nghiệm

2, Cho PT (x-3)(x+1)+4(x-3)

√

x+1

x 3=m

a, giải phơng tr×nh khi m=-3

b, Tìm m để phơng trình có nghiệm
3, Giải phơng trình (

x+2

√

x2+7x+10=k

√x+5−√¿ ¿ ¿
khi k=3

4, Giải phơng trình 3+2

x x2= 6x −3

√x −√1− x

5, Gi¶i phơng trình (x-18)(x-7)(x+35)(x+90)=2005x2

Dng 5: Dựng bt ng thc

Ví dụ : Giải các phơng trình sau
1, 4

1 x2

+41+x+41 x=3

2, x2-6x+11=

x 2+4 x

Dạng 6: Chứng minh phơng trình cã nghiƯm duy nhÊt
Ph¬ng pháp giải : Dùng biện pháp nhân liên hợp
Ví dụ : Giải các phơng tr×nh sau

√

3− x+

√

5− x=5

2, x2-3x-7=

√x −1+√6− x

3, x2+3x-1= 3

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

4, x

+2x

x2

+1 =

√

1− x
x

√

3x2−7x

+3−

√

x2−2=

√

3x2−5x −1−

√

x2−3x+4

Mét sè bµi lun tËp

6, √4x+1−√3x −2=x+3

7, √12x+13−√4x+13=√x+1

√

2x2

+16x+18+

√

x2−1=2x+4

√

2x2

−1+

√

x2−3x −2=

√

2x2+2x+3+

√

x2− x+2

10, Gi¶i BPT :

√

x2

−3x+2+

√

x2−4x+3≥2

√

x2−5x+4

11, √2x+1+√2x −3=√x+3+√x −1

12,

√

2x2

+x −1

√

3x2+x −1=

√

x2+4x −3+

√

2x2+4x −3

13, 3

√2− x+√x −1=1

14, 2+ √3−8x ≥6x+√4x −1

Mét sè bµi lun tËp tỉng hợp

Giải các phơng trình sau
1,

√

x(x −2)+

√

x(x −5)=

√

x(x+3)

2, x3-x2-x=1/3

3, x+2 √x −1−m2 +6m-11=0

a, Giải phơng trình khi m=1

b, Tỡm tt c cỏc giá trị của m để phơng trình có nghiệm
4, x3+

x −1¿3
¿
¿

x3

5, x2-x-1000

√1+8000x=1000

6, (x2+1)(y2+2)(z2+8) =32xyz

7, 3

√

1+√x+

√

31−√x=2

8, 3x-16+2

√

2x2

+5x+3=√2x+3+√x+1

9, 3

√x −1+3=√4 82− x

10, x+

√

17− x2

+x

√

17− x2=9

11, √x+4√20− x=4

12, 5x2-10x+1=

√x −2

13, Tìm mđể các phơng trình sau có nghiệm
a, √1+x+√8− x+

√

(1+x)(8− x)=m

√

x −3−2√x −4+

√

x −4√x −4=m

14, Giải các phơng trình sau
a, x2+3x+1=(x+3)

√

x2+1

b, 5

√x −1+√3 x+8=− x3+1

c, x

+√3

x+

√

x2+√3+

x2−

√3
x −

√

x2−

√3=x

d, 2x=

√

7x2

+8x+10−

√

x2−8x+10

15, Cho phơng trình (

1
x+1

=m

1
x

a, giải phơng trình với m=15

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

16, Gi¶i PT (34− x)

√x+1−(x+1)√334− x
3

√34− x 3x+1 =30

17, Giải phơng trình 2x2+2x+1=(4x-1)

x21

18, Giải phơng trình x2-2x+3=

√

2x2− x

√

1+3x −3x2

19, Giải phơng trình

x(3x+1)

x(x 1)=2

x2

20, Gi¶i phơng trình

x

+8x

x+1 x+7=

x+1

21, Giải và biện luận phơng trình

x3-3x2+3(a+1)x-(a+1)2=0

22, Giải phơng trình 5x

210x

x2+6x 11 =x 2

phng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuỵêt đối

phơng pháp giải 
phơng pháp 1: Lập bảng khử dấu giá trị tuệt đối 
Ví dụ : Giải các phơng trình sau

1, 2x-1+2x-5=4
2, x2-x+2x-4=3

phơng pháp 2: Biến đổi tơng ng

1, A=B B0 và A=B hoặc B0 và A=-B
2, A=BA=B hc A=-B

VÝ dơ : Giải các phơng trình sau

1, x2+x-12=x2-x-2

2, x-1=3x-5

3, x2-2x=2x2-1

phơng pháp 3: Đặt ẩn số phụ

Ví dụ :

1, Giải phơng trình x2-5x+5=-2x2+10x-11

2, Cho phơng trình x2-2x-mx-1+m2=0

a , Xác định các gía trị của m để phơng trình có nghiệm
b , Xác định m để phơng trình có đúng hai nghiệm

phơng pháp4: Biện luận bằng đồ thị

Ví dụ : Với giá trị nào của m phơng trình sau có nghiệm duy nhất

x+3-1=2x-m

phng pháp 5: Sử dụng bất đẳng thức 
Ví dụ : Giải các phơng trình sau

1, x-1+x+1+x=2

2, x-20052005+x-20062006=1

3, x-2000)8+(x-2001)10=1

4, Cho ph¬ng tr×nh x-2004+x-2005+x-2006=m
a , giải phơng trình với m=2

b, tỡm cỏc giỏ tr của m để phơng trình vơ nghiệm
một số bài luyện tập

1, Cho phơng trình

x+6x 9+

x 6x 9=x+m

a, giải phơng tr×nh víi m=23

b, tìm các giá trị của m để phơng trình có nghiệm
2, Tìm m để các phơng trình sau có nghiệm

√

x+√2x −1+

√

x −√2x −1=m

x 32x 4+

x 4x 4=m

bài khảo sát số i

(làm bài trong thời gian 90 phút )
Phần trắc nghiệm

Câu 1: Giá trị của biểu thức P= 2+3
2+

2+3+

23

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

(A) 7/5 ; (B) √2

2 ; (C) √2 ; (D) 29/20

Câu 2: Biết rằng a,b,c thoả mãn a2+b4+c6=1 và a3+b5+c7=1, khi đó giá trị của biểu thức

T=2(a2004+b2005+c2006) lµ

(A) 1; (B) 2 ; (C) 3; (D) 4
Câu3: Nếu a,b,c thoả mÃn ab+ac+bc=1 và 1

a+
1
b+

c=1 thì giá trị của biểu thức S=
2

1+a+ab+

2
1+b+bc+

1+c+ca lµ

(A) –1; (B) 1 ; (C) 2 ; (D) 3.
Câu 4: Nếu a,b,c thoả mÃn 1

a+
1
b+

c=0 thì biểu thức H=
ab

c2+
ac

b2+
bc

a2 có giá trị là : (A)

2 ; (B) 3; (C) 4 ; (D) 5.
PhÇn tự luận 
Câu 1: Tính giá trị của biểu thức P= a+1

a4+a+1 a2 , biết a là nghiệm dơng

của phơng trình 4x2+

2x 2 =0
Câu2: Gọi x1,x2 là các nghiệm của phơng trình : x2-x-1=0.

Tính giá trị của biểu thức A=x18+x26+13x2

Câu 3: Cho phơng trình x2-5mx-4m =0.

1, CMR x12+5mx2-4m >0

2, Xác định m để biểu thức m

2
x12+5 mx2+12m

+x22+5 mx1+12m

m2 t GTNN.

Câu4: Giải phơng trình -x2+2=

2 x

Câu 5: Cho phơng trình : x+2+1=2x-m

1, Giải phơng trình khi m= 3

2, Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất.
Câu6: Giải phơng trình 48x(x3-4)(x+1) = (x4+8x+12)4

Hệ phơng trình cơ bản cách giải

Phần thứ nhất: Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn

a.x+by=c

mx+ny=k

{

Một số chú ý khi giải hệ này .HÃy tham kh¶o qua vÝ dơ sau
VÝ dơ : Gi¶i hƯ

x −2y=1

3x+5y=−2

¿{

1, Gi¶i song h·y chó ý trêng hỵp Èn ë mÉu nh sau
¿

1
x−

2
y=1
3

x+

y=
−2

¿{

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

2, Nếu quy đông mẫu số dẫn đến giải hệ
¿

y −2x=xy

3x+5y=−2

3 xy

¿{

3, Nếu nghịch đảo các phơng trình trong hệ dẫn đến một hệ mới
¿

y −2x=1
xy

3x+5y=

−3
2

¿{

4, Nếu thay đổi mẫu của hệ trong phần 1, thì có thể đa ra hệ dới đây
¿

1
2+x−

2
1− y=1
3

2+x+

5
1− y=

−2
3

¿{

5, Nếu đa thêm tham số m vào hệ ta có bài toán cùng d¹ng sau

Cho hƯ PT

1
2+x−

2
1− y=m
3

2+x+

5
1− y=

−2
3

¿{

Hãy tìm m để hệ trên có nghiệm.

6, Dựa vào định nghĩa nghiệm của hệ ta có thể thêm vào hệ ở phần đầu
Các phơng trình mới để dẫn đến một dạng tơng tự sau

Cho hÖ

¿
x −2y=1

3x+5y=−2

3
2x − y=2m −1

¿{ {
¿

Hãy tìm m để hệ trên có nghiệm

Mét sè bµi toán tham khảo

Bài toán 1: Giải và biện luận hƯ

mx+2y=2m

x+y=3

¿{

¿
Bài tốn 2 : Tìm m để hệ

3x 2y=m

x+my=3

{

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài toán 3: Cho hÖ

x+(m+1)y=1

4x − y=−2

¿{

1, Tìm các số ngun m để hệ có nghiêm x,y ngun
2, tìm m sao cho hệ có nghiệm thoả món x2+y2=0.25

Bài toán4: Giải hệ

3
2x y+

5
2x+y=2

1
2x y

1
2x+y=

2
15

{

Bài toán5: Tuỳ theo giá trị của m ,hÃy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thøc
P=(mx+2y-2m)2+(x+y-3)2

Bài tốn 7: Tìm mđể hệ có nghiệm

mx+y=1

x+my=1

x+y=m

¿{ {

¿
Bµi toán 8: Giải hệ

x2+y26x+4 y=0

2x23y212x 12y

=25

{

x+13y 1=1

2x+1+5y 1=9

{

Bài toán 10: Tuỳ theo m tìm giá trị nhỏ nhất của biÓu thøc
1, F=(mx-2y+1)2+(3x+y)2

2, P= x-my+2x+y-1

Phần thứ hai : Phơng trình đối xứng kiểu 1

Phơng pháp giải : đặt s=x+y và xy=p (đk : s2-4p 0 )

tìm s,p sau đó tìm x,y dựa vào Vi-ét đảo

VÝ dơ 1: Gi¶i hƯ

x+y=1−2 xy

x2

+y2=1

¿{

VÝ dơ 2: Gi¶i hƯ

x+y+xy=5

y+1¿3=35

¿
¿{

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

VÝ dơ 3: Gi¶i hÖ

x+y+z=16

x2

+y2+z2=18

√x+√y+√z=14

¿{ {

¿
 Phần thứ ba : Hệ đối xứng kiểu 2

Phơng pháp giải: Lấy hiệu các phơng trình của hệ ln dẫn tới một trờng hợp có x=y
sau đó giải tiếp

VÝ dơ 1: Gi¶i c¸c hƯ sau

x=y2− y

y=x2− x

¿{

¿
2,

2x+√y −1=√2005

2y+√x+1=√2005

¿{

3,
¿

x3

+y=2

y3+x=2

¿{

¿
Phần thứ t : hệ phơng trình đẳng cp

Phơng pháp giải :

cỏch 1: Khử hệ số bậc hai để thế vào phơng trình cịn lại
dẫn đến PT trùng phơng

cách 2: khử hệ số tự do dẫn đến phơng trình đẳng cấp
Ví dụ1: giải hệ

x2−4 xy

+y2=1

y2−3 xy=4

¿{

¿
VÝ dơ 2: Cho hƯ ph¬ng tr×nh

2x2−xy

4x2+4 xy− y2=m

¿{

¿
1, Gi¶i hƯ víi m=7

2, Xác định m để hệ có nghiệm

PhÇn thø năm :Hệ gồm có một phơng trình bậc nhất 
Phơng pháp giải : Dùng phơng pháp thế

Ví dụ : Giải các phơng trình sau
1,

x+y=7

x+1+y=4

{

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

¿
√2x+2y+√2x −3y=3

√

(2x+2y)(2x −3y)
4x − y=5

¿{

¿
Phần thứ sáu: Hệ lặp ba ẩn
phơng pháp giải : a, đánh giá giá trị của các ẩn

b, lấy hiệu các phơng trình để chứng minh x=y=z
Ví dụ : Giải các hệ sau

x3−9y2

+27y −27=0

y3−9z2+27z −27=0

z3−9x2

+27x −27=0

¿{ {

12x2−48x+64=y3

12y2−48y

+64=z3

12z2−48z

+64=x3

¿{ {

một số phơng pháp cơ bản để giải hệ

Phơng pháp thứ nhất: Biến đổi để đa về một trong các hệ quen thuộc
Ví dụ : Giải các hệ sau

6x2−3 xy+x=1− y

x2

+y2=1

¿{

√x+1+√x+3√x+5=√y −1+√y −3+√y −5
x+y+x2+y2=80

¿{

(x2

+xy+y2)

√

x2+y2=185
(x2−xy

+y2)

√

x2+y2=65

¿{

x4+y2=697

x2+y2+xy+3x −4y+4=0

¿{

¿
x3

(2+3y)=1
x(y3−2)=3

¿{

5,
¿

x+1

y=
7
2
y+1

x=
7
3

¿{

x2

(y − z)=−5

3
y2

(z − x)=3

z2(x − y)=1

¿{ {

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

x2+ 1

y2+
x
y=3
x+1

y+
x
y=3

¿{

x+y=1

x5+y5=11

¿{

(x+1) (y+1)=8
x(x+1)+y(y+1)+xy=17

¿{

Phơng pháp thứ hai: Dựng bt ng thc

Ví dụ : Giải các hệ phơng trình sau

x

y+
y

x=xy
xy2005

x2008

+y2008=8
2,

x2xy

+y2=3

z2+yz+1=0

{

√x+√y+√z=3

1+√3xyz¿3
¿
¿
¿{

(1+x)(1+y)(1+z)=¿

x5− x4+2x2y=2

y5− y4+2y2z=2

z5− z4

+2z2x=2

¿{{

3x
x+1+

4y
y+1+

2z
z+1=1

89.x3.y4.z2

¿{

xyz≥1
8

2 xyz+xy+yz+xz≤1

¿{

Phơng pháp thứ ba : Dựa vào điều kiện có nghĩa của hệ để tìm nghiệm
Ví dụ: Giải hệ

z2+1=2√xy

x2−1

=yz√1−4 xy

¿{

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

3− x¿3
¿

(2z − y)(y+2)=9+4y

x2+z2=4x ; z ≥0

y+2=¿

xy¿2−2x+y2=0

2x2−4x+3+y3=0

¿
¿
¿

Mét sè bµi luyện tập

Giải các hệ phơng trình sau đây

x+y+z=3

y+2z2=1

1
x+

1
y+

1
z=

1
3

{ {

x+|y|+m

(

x3+2x2|y|+2 xy2+|y|3

)

=1− m
x|y|=−6

¿{
¿

a, Gi¶i hƯ khi m=o
b, Gi¶i hƯ khi m=1

¿
x+y+z=1

xyz=1

x
y2+

y
z2+

z
x2=

y2

x +
z2

y+
x2

z
¿{ {

x4

+y2=697

81
x2

+y2+xy−3x −4y+4=0

¿{

x3−xy2+200y=0

y3− y.x2−500x

¿{

(x+y)(x2− y2)

=45

(x − y)(x2+y2)=85

¿{

x2

+xy+y2=19(x − y)2

x2−xy

+y2=7(x − y)

¿{

¿
|xy−4|=8− y2

xy=2+x2

¿{

|x −1|+|y+1|=1

2|y+1|+1=x

¿{

10,

x+y=√4z −1
y+z=√4x −1

x+z=√4y −1

¿{ {

11,

x2+y2+z2+2 xy−xz−yz=3

x2

+y2+yz−xz−2 xy=−1

¿{

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

12,

x3+y=3x+4

2y3

+z=6y+6

3z3+x=9z+8

¿{ {

13,

x2

(y+z)2=(3x2+x+1)y2z2

y2(z+x)2=(4y2+y+1)x2z2

z2(x+y)2=(5z2+z+1)x2y2

¿{ {

14,

20 y

x2+11y=2005
20 z

y2+11z=2005
20 x

z2+11x=2005

¿{ {

15,

¿
x3(y2

+3y+3)=3y2
y3(z2+3z+3)=3z2
z3(x2+3x+3)=3x2

¿{{
¿

16,

x+y+z=6

xy+yz−xz=−1

x2+y2+z2=14

¿{ {

17,

x3+y3+x2(y+z)=xyz+14

y3+z3+y2(z+x)=xyz−21
z3

+x3+z2(x+y)=xyz+7

¿{ {

18,

xy+2x+y=0

yz+2z+3y=0

xz+3x+z=0

¿{ {

19,

x2+y2−2(x+y)=0

y2+z2−2(y+z)=0
z2

+x2−2(z+x)=0

¿{ {

20,

x2

+y2+xy=37

x2+z2+xz=28

y2

+z2+yz=19

¿{ {

21,

(x2+y2) (x2− y2)=144

√

x2+y2−

√

x2− y2=y

¿{

22,

1
x+

1
y+

1
z=2
2

xy−
1
z2=4

¿{

23,

x3+y2=2

x2

+xy+y2− y=0

¿{

11, cho hÖ sau

x+4|y|=|x|

|y|+|x −a|=1

¿{

1, Gi¶i hƯ khi a=-2

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

12, Gi¶i hệ PT

x(x y)=2y2

x+y2=y4

{

x4

+y2

(Thi HSG Tỉnh VP năm häc 05-06)

các bất đẳng thức cơ bản -áp dụng

1, Bất ng thc cau chy:

Nếu các ai (i=1,2,,n) không âm thì ta cã

∑

n

a1

n ≥

n

√

a1.a2. ..an

Dấu đẳng thức xảy ra khi a1=a2=…=an

2, Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp –ski

Cho hai dãy số thực a1,a2,…an và b1,b2, …bn .Khi đó ta ln có BĐT đúng

(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2) a1b1+a2b2+. ..+anbn¿

¿
Dấu của đẳng thức xảy ra khi a1

b1

=a2

b2

=.. .=an

bn

3, Bất đẳng thức Svác –sơ

Cho hai dãy số a1,a2,…an và b1,b2,…bn trong đó các bi (i=1,2,…n) dơng

Khi ú ta luụn cú BT ỳng sau

a1+a2+.. .an2

a12

b1+
a22

b2+.. .+
an

bn

Đẳng thức xảy ra khi các a1=a2==an

4, Bt ng thc v dấu giá trị tuyệt đối

|A|+|B|≥|A+B|

Dấu đẳng thức xảy ra khi AB 0

5, Một số BĐT hay sử dụng khác

a, Cho các số a,b dơng ta có BĐT đung sau

a+b

2 ¿

n

an+bn

2 ≥¿

víi n 2, n∈N

Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b
b, Nếu a+b 0 thì ta có BĐT đúng sau :

a3

+b3

2 ≥

a2

+b2

2 .

a+b

D©u = khi a=b
c, NÕu a,b>0 th× 1

a+
1
b≥

4
a+b

DÊu = khi a=b

d, Nếu a+b 0 thì BĐT sau đây đúng a3+b3 (a+b)ab

Dấu = khi a=b

e, Nếu ai(i=1,2,,n) là các số dơng thì

(a1+a2++a2)(

1
a1+

1
a2+.. .+

1
an n

Dấu = khi a1=a2==an

mt s phơng pháp chứng minh bất đẳng thức

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Ví dụ : Chứng minh các BĐT sau
1, Cho a>1 .Chøng minh r»ng a

√a −1≥2

Ap dơng : T×m GTNN cđa biÓu thøc P= (x

+y3)−(x2+y2)
(x −1)(y −1)

2, Cho a,b,c d¬ng .Chøng minh r»ng

√

a
b+c+

√

b
a+c+

√

c
a+b>2

3, Cho a,b,c là các số dơng và abc=1. CMR

a3

(1+b)(1+c)+

b3

(1+c)(1+a)+

c3

(1+a)(1+b)

3
4

4, Cho a,b,c d¬ng .CMR ab+b

c+
c
a≥

a+b+c

√abc

Phơng pháp thứ hai: Sử dụng bất đẳng Bu-nhia-cốp –ski
Ví dụ1: Chứng minh rằng 3(a2+b2+c2) a+b+c¿2

¿
VÝ dô2: Chøng minh r»ng nÕu x2+y2=u2+v2=1 th×

|x(u+v)+y(u − v)|≤√2

VÝ dô 3: Cho ai (i=1,2,…,5) dơng thoả mÃn a1+a2++a5 5

Chứng minh rằng a1+a2++a5+

1
a1+

1
a2+.. .+

1
a5

25
2

Phơng pháp thứ ba : Sử dụng phơng pháp phản chứng 
VÝ dô 1: Cho a,b,c (0,1) .Chng minh cã Ýt nhÊt mét B§T sau sai

a.(1-b)>1/4 ; b(1-c) >1/4 ; c(1-c)>1/4

VÝ dô 2: Cho a,b,c tho¶ m·n

a+b+c>0

ab+ac+bc>0

abc>0

¿{ {

Chøng minh a>0,b>0,c>0

VÝ dơ3: Cho a,b,c tho¶ m·n

ab+ac+bc>0

1
ab+

1
ac+

1
bc>0

¿{

Chøng minh a, b, c cïng dÊu

Phơng pháp thứ t : Phơng pháp đánh giá đại diện 
Ví dụ 1: Cho a,b,c dơng .Chứng minh rằng 1< a

a+b+

b
b+c+

c
c+a<2

VÝ dô 2: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác . CMR

a
3

b3+c3
+3 b

√

c3+a3
+3 c

√

a3+b3
<2√34

VÝ dô 3: Chøng minh 1

2.
3
4.

5
6.. .

2n −1
2n <

√2n+1 víi n nguyên dơng

Ví dô 4: Chøng minh r»ng 1

3√2+
1

4√3+. . .+
1

(n+1)√n<√2

với n là số tự nhiên lớn hơn 1
 Phơng pháp thứ 5: Sử dụng biến đổi tơng đơng

VÝ dơ1: Cho a,b d¬ng .CMR 2√ab

√a+√b≤

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

VÝ dơ 2: Cho ab 0 Ch¬ng minh r»ng 1

1+a2+

1
1+b2

2
1+ab

Phơng pháp thứ sáu: Sử dụng phơng pháp quy nạp
VÝ dô 1 : CMR 1

n+1+

n+2+.. .+

1
2n>

24 víi mäi sè tù nhiªn n>1

VÝ dô2: Cho x R thoả mÃn x+1/x là một số nguyên . CM xn+1/xn cũng là số

nguyên với mọi n nguyên

Phơng pháp thứ 7: Sử dụng bất đẳng thức về dấu giá trị tuyệt đối 
Ví dụ 1: Biết rằng |a+b+c|≤1,|c|≤1,

|

a

4+
b

2+c

|

≤1

CMR : |a|+|b|+|c|≤17

VÝ dô 2: Cho đa thức f(x)=a.x2+bx+c thoả mÃn |f(x)|1 khi x=-1; x=0 ;x=1

CM : |a|+|b|+|c|3

Phơng pháp thứ 8: Sử dụng công thức nghiệm của phơng trình bậc hai
Ví dụ 1: Cho a,b,c dơng thoả mÃn các điều kiÖn a>0, bc=2a2, a+b+c=abc

CMR : a

√

1+2√2

VÝ dơ 2: Cho a,b,c tho¶ m·n (a+c)(a+b+c)<0 . Chøng minh
(b-c)2>4a(a+b+c)

VÝ dơ 3: Cho a,b,c tho¶ m·n

a+b+c=2

ab+ac+bc=1

{

CMR: 0 a , b , c 4
3

Phơng pháp thứ 9: Sử dụng phơng pháp hình học

Ví dụ1: Cho các số a1,a2,a3 và b1,b2,b3 là các số thực .Chứng minh :

b1+b2+b3¿
2
a1+a2+a3¿

+¿
¿

√

a12+b12+

√

a22+b22+

√

a32+b32≥√¿

VÝ dô2: Chøng minh r»ng

√

x2

−6x+34 -

√

x2−6x+10≤4 víi mäi x R

PhÇn lun tËp

Bài tập1: Cho a,b,c là các số dơng .CM bất đẳng thức

√

c
a+b+

√

a
b+c+

√

b
c+a

√

a+b

c +

√

b+c

a +

√

c+a

b ≥2¿

Bµi tập2: Choba số dơng a,b,c thoả mÃn abc=1. Chứng minh

1
a2+2b2+3+

1
b2+2c2+3+

1
c2+2a2+3

1
2

Bµi tËp3: Cho a,b,c (0,1)

Chøng minh r»ng a

b+c+1+

b
c+a+1+

c

a+b+1+(1− a)(1− b)(1− c)≤1

Bài tập4: Cho a,b,c là các số dơng .Hãy chứng minh các
Bất đẳng thức sau

1, a

3
b +

b3
c +

c3

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

2, 1

a3+b3+1+

1
b3+c3+1+

c3+a3+1≤1 víi abc=1

3, a3+b3

2 ab +
b3

+c3

2 bc +
c3

+a3

2 ac ≥ a+b+c

4, ab

a5+b5+ab+

c5+b5+bc+

c5+a5+ca≤1

5, 5a

3− c3
ac+3a2 +

5c3− b3
bc+3c2+

5b3−a3

ab+3b2 ≤ a+b+c

6, ab

c(c+a)+

bc
a(a+b)+

ca
b(b+c)≥

a
c+a+

b
a+b+

c
c+b

7, 25a

b+c+

16b
c+a+

c
a+b>8

(

1+1

a

)

(

1+
1
b

)

(

c

)

≥64 víia+b+c=1

9, a

b+c+

b
a+c+

c
a+b≥

3
2

10, a2

b+c+

b2
c+a+

c2
a+b≥

a+b+c

11, a3

b+c+

b3
a+c+

c3
a+b≥

2 víi a

2+b2+c2 1

12,

(

1− a

b+c

)(

1

b
c+a

)(

1

c
a+b

)

1
8

Bài tập 5: Cho a,b,c ,d là các số dơng thoả mÃn

1
1+a+

1
1+b+

1
1+c+

1+d3 .Chứng minh rằng abcd

1
81

Bài tập6: Các bài toán liên quan tới các cạnh của tam giác
Và BĐT quen thuộc 1

x+
1
y

x+y (Dâu = khi x=y víi ®k x,y>0)

Chứng minh các bất đẳng thức sau
1, 1

a+b − c+

1
a −b+c+

1
b+c −a≥

1
a+
1
b+
1
c

2, c

a+b − c+

b
a −b+c+

a
b+c −a≥3

3, 1

(a+b − c)n+

(a −b+c)n+

(b+c −a)n≥

1
an+

1
bn+

1
cn

4, c

n

a+b − c+

bn
a −b+c+

an
b+c −a≥ a

n −1

+bn −1+cn −1 víi n=2,3,…

√

a

b+c ta+

b

c+atb+

c

a+btc21+t trong ú t (0,1)

Một số bài toán khai thác từ BĐT quen thuộc

xyz (x+y z) (y+z − x)(z+x − y) (x,y,z là 3 cạnh của tam giác) (1)

1, đặt x=b+c;y=c+a ;z=a+b thì BĐT trên trở thành (b+c)(c+a)(a+b) 8 abc (2)
2,Nếu x,y,z là các số dơng không là các cạnh của tam giác vẫn CM đợc

(1) đúng nh sau.

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

x ≥ y+z

y ≥ z+x

z ≥ x+y

¿
⇒

x+y − z ≥ y+z+y − z=2y>0

y+z − x ≤ y+z − y − z=0

¿
¿
¿
¿

V©y xyz >0 > (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)
Với x,y,z là 3 cạnh tam giác thì C/m trên

ý BĐT (2) nếu đặt S=a+b+c thì ta có (S-a)(S-b)(S-c) 8 abc

Với 3 số dơng a+b; a+c;b+c ta lại có

(S+a)(S+b)(S+c)= [(a+b)+(a+c)][(a+b)+(b+c)][(a+c)+ (b+c)]≥64 abc

Nhân 2 BĐT cùng chiều đợc

(S2-a2)(S2-b2)(S2-c2) 83a2b2c2 Hay

(

Sa22−1

)(

S2
b2−1

)(

S2

c2−1

)

≥8
3

(3)
Sử dụng BĐT (3) ta giải đợc 2 bài thi quốc tế sau

Bµi1: Cho a,b,c dơng thoả mÃn abc=1.C/m

(

a+1

b1

)(

b+
1

c1

)(

c+
1

a1

)

1 (IMO năm 2000)

HD: Do abc=1 nên tồn tại 3 số x,y,z dơng sao cho a= x

y;b=
y

z ; c=

z
x

Chẳng hạn x=1,y=1/a,z=c thì BĐT cần chøng minh trë thµnh

(

xy+
z
y−1

)(

y
z+

x
z−1

)(

z
x+

y

x−1

)

≤1⇔(x+z − y)(x+y − z)(y+z − x)≤xyz

Bµi2: Cho a,b,c d¬ng chøng minh r»ng

a

√

a2+8 bc+

b

√

b2+8 ca+

c

√

c2+8 ab≥1 (IMO năm 2001)

HD: Đặt x= a

a2+8 bc; y

= b

b2+8 ca; z

= c

√

c2+8 ab ta cã x,y,z >0 vµ

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x+y+z 1 .Theo đặt có

x2−1=

8 bc

a2 ;

y2−1=

8 ca

b2 ;

z2−1=

8 ab

c2 ⇒

(

x2−1

)(

y2−1

)(

z2−1

)

=8
3

NÕu S=x+y+z <1 th×

(

x12−1

)(

1
y2−1

)(

z2−1

)

(

S2
x2−1

)(

S2
y2−1

)(

S2

z2−1

)

≥8
3

m©u thuÉn
V©y S=x+y+z 1 (đpcm)

áp dụng : Cho a,b,c dơng vµ 1

a+1+

1
b+1+

c+1=2 . C/m abc

1
8

Một số bài toán về cực trị

1, T×m GTNN cđa biĨu thøc S= a

6
b3

+c3+

b6
c3

+a3+

c6
a3

+b3 trong đó a,b,c dơng thoả mãn

a+b+c=1
2, T×m GTNN cđa T= a2

1− a+
b2
1−b+

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

3, T×m GTNN cđa biĨu thøc P= x −t

y+t+

t − y
y+z+

y − z
x+z+

z − x

x+t trong đó x,y,z,t >0.

4, T×m GTNN cđa H= a

1+b − a+

b
1+b− c+

c

1+a − c trong đó a,b,c dơng t/m

a+b+c=1
5, T×m GTNN cđa A= a

(a2

+b2)2+

b8

(b2

+c2)2+

c8

(c2

+a2)2 trong đó a,b,c dơng t/m ab+ac+bc=1

6,T×m GTNN cđa T= a

3
1+b+

b3

1+a với a,b dơng t/m ab=1

7, Tìm GTNN cđa M= a
√b+

b

√c+
c

√a trong đó a,b,c dơng t/m a+b+c 3

8,Gäi x lµ sè lín nhÊt trong ba sè x,y,z .T×m GTNN cđa biĨu thøc
G= x

y+

√

1+
y
z+

√

1+ z

y

9, Tìm GTNN của L=ab+2ac+bc trong đó a,b,c t/m a2+b2+c2 8

10, Cho a,b,c dơng thoả mÃn 2abc+ab+bc+ca 1 .Tìm GTLN của
abc?

11,T×m GTNN cđa biĨu thøc P= 2002x+2003

√

1− x

+2004

√

1− x2

12, Cho bèn sè x1,x2,x3,x4 tho¶ m·n

∑

1
4

xi=1

∑

1
4

xi3>0

¿{

T×m GTNN cđa F=

∑

1
4

xi4

∑

1
4

xi3

13, Cho a,b,c là các số không âm thoả mÃn a+b+c=1. Tìm GTLN cña
S=ab+2bc+3ca

14, Cho a,b,c tho¶ m·n

a+b+c=1

a2+b2+c2≤1

¿{

CMR 0 a , b , c ≤1+√3
2

15, T×m GTNN cđa biĨu thøc sau víi x kh¸c 0
P= (x

+16|x|+48) (x2+12|x|+27)

x2

15, T×m GTLN S= 2004x

+6006x+6

√

x3−2x2+x −2−8003
x2+3x −4

16, T×m GTNN cđa biĨu thøc S= ab

a2+b2+

a2

+b2

ab trong đó a,b dơng

17, Cho a,b,c là các số dơng thoả mÃn a2+b2+c2 1

Tìm GTNN của Y= a3

b+c+

b3
c+a+

c3
a+b

18, Cho x,y dơng thoả mÃn x+y=1.Tìm GTNN cđa A= 1

x3+y3+

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

19, Tìm GTNN của biểu thức T=x4+y4 trong đó x,y là các số thoả mãn

x a , x+y ≥ a+b

20, Tìm GTLN của biểu thức T=x2+xy+y2 trong đó x,y thoả mãn các đk

|2x − y|≤3,|x −3y|≤1

21, Cho a,b,c là các só dơng thoả mÃn a+b+c=1.Tìm GTNN của

A= 1

a2+b2+c2+

1
ab+

1
bc+

1
ac

22, Chứng minh bất đẳng thức sau

1
n+1

(

1
3+

1
5+. ..+

1
2n−1

)

1
n

(

1
2+

4+. ..+

2n

)

víi n lµ sè nguyên ,n>1

23, Cho a,b là các số dơng .Chứng minh BĐT

ab+

b
a+

3(a+b)

a+b >6

24, Cho a,b dơng thoả mÃn ab=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thøc
A= (a+b+1)(a2+b2)+ 4

a+b

25, Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác thoả mÃn a+b+c=2.
CMR: a2+b2+c2+2abc<2

26, Cho x,y tho¶ mÃn x2+y2=1.Tìm GTLN và GTNN của

S=(2-x)(2-y)
27, Cho ba sè d¬ng a,b,c .Chøng minh r»ng

a3

b +

b3
c +

c3

a ≥ a√ac+b√ba+c√cb

28, Cho a,b [1;2] .T×m GTLN vµ GTNN cđa biĨu thøc
P= (a+b)

2
a3+b3

29, Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số dơng thì

1
a+2b+3c+

1
2a+3b+c+

1
3a+b+2c<

3
16

30, Cho các số dơng a,b,c thoả mÃn a+b+c=3.Chứng minh

a
1+b2+

b
1+c2+

c
1+a2

3
2

mt s chú ý khi sử dụng bất đẳng thức cau chy

Bµi toán 1: Cho a,b,c không âm thoả mÃn a+b+c=3. Tìm 
1, Min(a3+b3+c3)

2,Min(a3+64b3+c3)

3, Mac ( 3

√ab+√3ac+√3 bc )
4,Mac( √ab+2√ac+√bc¿

Ap dụng bất đẳng thức cau chy các bạn chú ý cách làm sau

a3+64b3+c3=(a3+m3+m3)+(64b3+n3+n3)+(c3+m3+m3)-4m3-2n3

Theo bất đẳng thức cau chy cho ba số dơng có dấu =xảy ra khi

a=c=m

b=n/4

a+b+c=3

⇔
¿{ {

2m+n/4=3

Mặt khác để biểu diễn vế phải theo a+b+c=3 thì phải có
3m2=3.4n2 và 2m+n/4=3 .Giải ra đợc m=24/17; n=12/17

KÕt qu¶ :Min=123/172

Bài tốn 2: Cho a,b,c là các số không âm.Chứng minh bất đẳng thức
289(a3+64b3+c3) 64

(a+b+c)3

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Tìm Mac(4ab+6ac+8bc)
Bài toán4: Cho các số x,y,z,t không âm thoả mÃn x+y+z+t=4.

Tìm Min(x3+8y3+8z3+t3)

(Các bài toán trên các bạn h·y tù gi¶i chi tiÕt)

Một số chú ý khi chứng minh bất đẳng thức có điều kiện

1, Thay đk vào biểu thức cần chng minh rồi biến đổi
2, Dùng biện pháp đổi biến

Ví dụ 1: Cho x,y thoả mãn 3x+y=4.Chứng minh bất đẳng thức
2x2+xy+5 9

VÝ dơ2: Chøng minh r»ng a+b=4 th× a4+b4 32

HD: đặt a=2+m và b=2-m rồi thay vào biểu thức cần chứng minh
Ví dụ 3: Cho x+y+z=3. Chứng minh x2+y2+z2+xy+xz+yz 6

HD: đặt x=1+a; y=1+b; z=1-a-b

VÝ dô 4: Cho a+b+c+d=1.Chøng minh (a+c) (b+d)+2ac+2 bd≤1

HD: đặt a=1/4+x+z; b=1/4 –x+z; c=1/4 +y-z; d=1/4 –y-z
Ví dụ 5: Cho a+b=c+d.Chứng minh c2+d2+cd 3 ab

HD: đặt c=a+x; d= b-x
Ví dụ6: Cho x<2; x+y>5. Chứng minh 5x2+2y2+8y 62

HD: đặt x=2-t ; y+x=5+k (t,k >0).

Mét sè bài luyện tập

Bài 1: Cho x,y dơng thoả mÃn x+y=1. T×m GTNN cđa biĨu thøc
S= 1

x2

+y2+

3
4 xy

Bài 2: Cho x+y+z=3. Tìm GTNN cđa biĨuthøc T=xy+xz+yz
Bµi 3: Cho x+y=3 vµ x 1 .Chøng minh r»ng

1, x3+y3 9

2, 2x4+y4 18

Bµi 4: Cho a+b+c+d=2.Chøng minh r»ng a2+b2+c2+d2 1

Bµi 5: Cho a+b 2 .Chøng minh r»ng a4+b4

a3+b3

Bµi tËp 6: Cho a+b>8 vµ b>3.Chøng minh r»ng 27a2+10b3>945.

Một số ứng dụng của bất đẳng thức cơ bản
Đã biết BĐT quen thuộc sau đây: a

2k

+b2k

2 ≥

(

a+b

)

2k

với a,b là các số thực
và k là số tự nhiên khác không .Dấu = khi a=b

(Chứng minh bằng quy nạp)
Dới đây là các ví dụ áp dụng:
1,Giải PT: (x+1)6+(x+

56=1885

2, Tìm tất cả các cặp số thực (x;y) thoả m·n 19

√

x2

+y2− x+19

√

y2− x2+x=219

√

y2

HD: t a= 19

x2+y2 x , b=

y2 x2+x

3, Giải các phơng tr×nh sau :

a, x100+(x+6)100=2.3100

b, 17

x3+3x 3+17

53x x3=2

4, Cho x,y dơng thoả m·n x+y 6 .T×m GTNN cđa biĨu thøc
P=3x+2y+ 6

x+
8
y

5, T×m GTNN cđa biĨu thøc S= 1

1+xy+

1
1+yz+

1+xz trong đó x,y,z

dơng thoả mÃn x2+y2+z2 3

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Mt s chỳ ý khi sử dụng bất đẳng thức

Bu-nhia-cèp –ski

1, NÕu ¸p dơng B§T cho hai d·y sè a1

√

b1,
a2

√

b2,. ..,
an

√

bn va

√

b1,

√

b2,. ..,

√

bn

ta cã a12

b1+
a22

b2+.. .+
an2

bn ≥

(a1+a2+. ..+an)

b1+b2+. . .+bn Trong đó bi>0 (i=1,2,..,n)

2, Nếu đặt bi=ai.ci >0 (i=1,2,…,n) thì bất đẳng thc trờn tr thnh

a1
c1

+a2

c2

+.. .+an

cn

(

a1+a2+. . .+a

n

)

a1c1+a2c2+. ..+ancn

Đẳng thức x¶y ra khi c1=c2=…=cn

VÝ dụ1: Chứng minh rằng với các số dơng a,b,c thì

(a+b)2

c +

(b+c)2

a +

(c+a)2

b ≥4(a+b+c)

VÝ dụ2: Chứng minh rằng với các số dơng a,b,c thì

a2
b+c+

b2
c+a+

c2
a+b≥

3(ab+ac+bc)

2(a+b+c)

VÝ dô3: Cho a,b,c d¬ng .Chøng minh r»ng

a2
b2+bc+c2+

b2
c2+ca+a2+

c2
a2+ab+b2≥

a2

+b2+c2

a+b+c

VÝ dô4: Chøng minh r»ng
a

√

a2+8 bc

+ b

√

b2+8 ca

+ c

√

c2+8 ab1 với a,b,c là các số dơng.

VÝ dơ5: T×m GTNN cđa tỉng

S = 1

a2+b2+c2+

1
abc

Trong đó a,b,c dơng thoả mãn a+b+c =1

Dựa vào BĐT Bu nhi-a-cốp ski để tìm

một BĐT tổng quỏt

Xuất phát từ BĐT sau.Với a,b,c dơng ta có

a2
b+c+

b2
a+c+

c2
a+b

a+b+c

2 (a)

1,Nếu nhìn bất đẳng thức (a) trên nh sau

a2
1 .b+1 .c+

b2
1 .c+1 .a+

c2
1 .a+1 .b≥

a+b+c

1+1 ta nghĩ tới BĐT tổng quát hơn

a2

mb+nc+

b2
mc+na +

c2
ma+nb ≥

a+b+c

m+n

Hay a2

mb+nc+pa+

b2
mc+na+pb+

c2
ma+nb+pc≥

a+b+c

m+n+p

2, Nh×n BĐT (a) dới dạng

a2
b+c+

b2
c+a+

c2
a+b

a21

+b21+c21

2 ta nghĩ tới B§T sau

an

b+c+

bn

c+a+

cn

a+b≥

an −1

+bn 1+cn1

2 (nN , n>1)

3, Nhìn BĐT (a) dới dạng

a12

a2+a3+

a22

a3+a1+

a32

a1+a2

a1+a2+a3

2 ta nghÜ tíi sù më réng sau

a12

a2+a3+

a22

a3+a4+. ..+

an2

a1+a2≥

a1+a2+.. .+an

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Hay a12

a2+a3+. ..+an+

a22

a3+a4+. ..+a1+. ..+

an2

a1+a2+.. .+an1

a1+a2+.. .+an

n 1 (d)

Kết hợp các BĐT trên ta nghĩ tới BĐT tổng quát sau đây

a1n

p1a2+p2a3+. ..+pm −1am+pma1+

a2n

p1a3+p2a4+. ..+pm −1a1+pma2+. ..+

amn

p1a1+p2a2+.. .+pmam≥

a1n−1+a2n−1+.. .+amn−1

p1+p2+. ..+pm (ai,pj không âm,không đồng thời =0; m>2,n>1) (e)

Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức (e) cho các BĐT khác.
 Sử dụng BĐT Bu-nhia t gii cỏc bi tp sau

Bài1: Tìm GTNN của biểu thøc a

a2+8 bc+

b
b2+8 ca+

c
c2+8 ab

Trong đó a,b,c dơng thoả mãn a+b+c =1.
Bài 2: Chứng minh rằng với các số dơng a,b,c thì

a3
a2

+ab+b2+

b3
b2

+bc+c2+

c3
c2

+ca+a2

a2+b2+c2

a+b+c

Bài3: Biết a,b,c là ba cạnh của một tam giác.Chứng minh r»ng
1, a

b+c − a+

b
c+a −b+

c
a+b − c≥3

2, a

b+c − a+

b
c+a −b+

c
a+b − c≥

(a+b+c)3

9 abc

Bµi4: Cho ba số dơng a,b c thoả mÃn a2+b2+c2 1

Chứng minh r»ng : 1

a(a+b)+

1
b(b+c)+

1
c(c+a)≥

9
2

Bµi5: T×m GTNN cđa biĨu thøc

x3
y+z+t+

y3
z+t+x+

z3
t+x+y+

t3

x+y+ztrong đó x,y,z,t khơng âm v xy+xt+y.z+zt=1

Bài6: tìm GTNN cđa biĨu thøc
P= x2

x+y+

y2
y+z+

z2

x+ztrongdo√x.y+√yz+√xz=1 vµ x,y,z >0.

Bài 7: Tìm GTNN của S=x4+y4+z4.Biết xy+yz+xz=4.

Bài 8: Tìm GTLN cña f(x)=3-2x+

√

5− x2

+4x

Bài9: Tìm GTNN của biểu thức

F(x,y)= (x+y)2+(x+1)2+(y+3)2

Bài 10, Tìm GTLN của biểu thøc f(x)= x

√

1− x −2x
2

Bài 11, Tìm GTNN của f(x)= 3x

2

3+2x x
2

Một số phơng pháp tìm cực trị của biểu thức

Phơng pháp thứ nhất: Sử dụng BĐT

Ví dụ1: Cho x,y là các số không âm và x+y 4

Tìm GTLN của biểu thøc S=x2y(4-x-y)

VÝ dô2: Cho x 3; y ≥2; z ≥1 .T×m GTLN cđa biĨu thøc
A= xy√z −1+xz√y −2+yz√x −3

xyz

VÝ dô3: Cho x,y, z >0 và x+y+z=9 . Tìm GTNN của biểu thức

P= x

3
x2

+xy+y2+

y3
y2

+yz+z2+

z3
z2

+xz+x2

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức

1,Chú ý đến đk áp dụng

2,Chú ý đến dấu đẳng thức xảy ra
Ví dụ1: Cho a 3 .Tìm Min của S= a+1

a

VÝ dô2: Cho a 2 .T×m Min cđa S=a+ 1

a2

VÝ dô3: Cho
¿

a , b>0

a+b ≤1

¿{

T×m Min cđa S=ab+ 1

VÝ dơ4: Cho a,b,c >0 tho¶ m·n a+b+c 3

2 .T×m Min cđa

S=a+b+c+ 1

a+
1
b+

1
c

VÝ dơ5: Cho a, b, c >0 thoả mÃn a+b+c 3

2 .Tìm Min cđa

√

a2

+ 1
b2+

√

b

+ 1
c2+

√

c

+ 1
a2

VÝ dơ6: Cho a,b,c >0 thoả mÃn a+2b+3c 20 . Tìm Min của
S= a+b+c+ 3

a+
9
2b+

4
c

VÝ dô7: Cho a, b, c ,d >0 .T×m Min cđa T=

(

1+2a

3b

)(

1+
2b
3c

)(

2c
3d

)(

2d
3a

)

VÝ dơ 8: Cho a,b,c >0 thoả mÃn a+b+c 1 .Tìm Min của
S= a

2
b +

b2
c +

c2
a+

1
ab+

1
bc +

1
ca

VÝ dô9: Cho

a , b , c>0

ab≥12;bc≥8

¿{

. Chøng minh r»ng

S=(a+b+c)+2

(

ab+
1
bc +

1
ca

)

abc ≥

121
2

VÝ dô 10: Cho

a , b , c , d>0

a+b+c+d ≤2

¿{

. T×m Min cđa

S =

(

a+1

b

)(

b+
1
c

)(

c+

1
d

)(

d+

1
a

)

(Đối với các BĐT ở các ví dụ trên nếu chú ý đến dấu = thì việc tìm ra kết quả
cũng khơng khó khăn lắm .các bạn tự giải quyết)

Phơng pháp thứ hai: Sử dụng việc đánh giá tham biến

Ví dụ1: Tìm GTNN của S =xyz+2(1+x+y+z+xy+xz+y.z)

Trong đó x2+y2+z2=1.

VÝ dô2: Cho x,y,z [1;2] và x+y+z=0. HÃy tìm GTLN của
S = x2+y2+z2.

VÝ dô3: Cho x 2; x+y ≥3 .T×m GTNN cđa S=x2+y2.

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

VÝ dơ1: T×m Min và Ma.x của T=x2+y2

Với x,y thoả mÃn (x2-y2+1)2+4x2y2-x2-y2=0.

Ví dụ2: Cho x,y,z không âm thoả mÃn x+y+z=1. Tìm GTLN của
A=-z2+z(y+1)+xy.

(Thi HSG Tỉnh VP năm 04-05)
VÝ dơ3: T×m GTNN cđa f(x)= x

−2x+2005

x2 ; x ≠0

VÝ dô4: Cho x,y thoả mÃn x+3y=1.Tìm GTNN của S=3x2+y2.

VÝ dơ 5: Cho x,y >0 tho¶ m·n x+y=1.T×m Min cđa
S= 1

x3

+y3+

1
xy

VÝ dụ6: Cho x,y thoả mÃn 8x2+y2+1/4x2=4.Tìm Min của xy?

VÝ dơ7: T×m GTLN cđa S=2-5x2-y2-4xy+2x.

Ví dụ8: Tìm các cặp sè (x;y) sao cho yMin tho¶ m·n

X2+5y2+2y-4xy-3=0.

VÝ dơ9: T×m GTNN cđa f(x)=(2x-1)2-3 |2x 1|+2005

Phơng pháp thứ t : Phơng pháp miền giá trị

Ví dụ 1: Tìm GTNN và GTLN của biểu thøc y= x+1

x2+x+1

HD: Đa về PT bậc hai ẩn x dựa vào đk có nghiệm để tìm
Ví dụ2: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức y= 4x+1

x2+1

Chó ý: Ta cã thể dùng phơng pháp tham biến nh sau
Đặt f(x) =y-t= g(x)

h(x), h(x)>0∀x∈R

XÐt g(x)=a.x2+bx+c =a

(

x+ b

2a

)

+− Δ

4a .

1, NÕu a=0 thì g(x)=bx+c cùng dấu c khi b=0 và g(x)=0 khi c=0.
2, NÕu a>0 th× g(x) 0;∀x∈RkhiΔ≤0 vµ g(x)=0 khi Δ=0

3, NÕu a<0 th× g(x) 0;∀x∈RkhiΔ≤0 vàg(x)=0 khi =0

Ap dụng: Tìm Min và Mác của c¸c biĨu thøc sau
1, y= x

+8x+7

x2+1

2, y= x

2−

(x −4y)2

x2

+4y2 .x , y∈R vµ x

2+y2>0.

3, z = x+2y+1

x2

+y2+7

4, Cho biĨu thøc y= x

+mx+n

x2+1 . Tìm m,n yMỏc=9 v yMin=-1.

Kết quả : (m;n)=(8;7) và (-8;7).

Các bài tự luyện

Bài1: Tìm GTLN vµ GTNN cđa y= x

+4√2 .x+3

x2+1

Bài2: Tìm Min và Mác của z= x

+y4+42 . xy+4

x4+y4+2

Bi 3: Tìm m,n để biểu thức x

+mx+n

x2+1 đạt GTNN là -1 và GTLN là 5.

Bài4: Tìm u,v để biểu thức P= u.x+v

x2+1 đạt GTNN là -1 và GTLN là 4.

Bài5: Tìm GTLN và GTNN của biÓu thøc B=2x2+4xy+5y2.BiÕt

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Bài6: Tìm GTLN và GTNN của y= 3y

24 xy
x2

+y2 víi x

2+y2 0

Bài7: Tìm GTLN và GTNN của A=2 x+3

21 x+
7
2

Một số chú ý khi giải các bài toán 
có biểu thức bậc hai của hai biến số

Bài1:Tìm GTLN của F=-5x2-2xy-2y2+14x+10y-1

HD: Viết

F=-1

5(5x+y 7)
2

9
5(y 2)

+1616Fmac=16

x=1

y=2

{

Bài 2: Tìm GTNN cđa biĨu thøc D=x2+xy+y2-3x-3y+2008

HD: ViÕt D= 1

4(2x+y −3)
2

4(x −1)
2

+2005≥2005⇒Dmin=2005⇔x=y=1

Bài3: Hãy tìm các GT của x,y để có đảng thức

5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0

HD: ViÕt biĨu thøc trë thµnh (4x+5y+1)2+9(x-1)2=0

Bài4: Giải hệ

x26y2xy2x

+11y=3

x2

+y2=5

{

HD: Bin đổi PT thứ nhất đợc (2x—6y+2)(2x+4y-6)=0
Bài5: Tìm cặp số (x,y) thoả mãn x2+5y2+2y-4xy-3=0

HD: ViÕt thµnh (x-2y)2+(y+1)2=4 => (y+1)2 4⇔−3≤ y ≤1⇒y

min=−3

Thay vµo cã x=6
Bài6: cho x,y liên hệ với nhau bởi biểu thức

x2+2xy+7(x+y)+2y2+10=0

Tìm Min& Mác của S=x+y+1?

HD: Viết biểu thức thành (2x+2y+7)2+4y2=9

(2x+2y+7)29

x+y+50

x+y+20

S 4

S 1

{

Bài7: Tìm các số nguyên x,y thoả mÃn

10x2+20y2+24xy+8x-24y+51 0

HD: Viết lại biểu thức thành (5x+6y+2)2+14(y-3)2

y 325

2. ..
5

214

Bài tập không có hớng dẫn

1, Tìm các cặp (x,y) để biểu thức

S=-x2-y2+xy+2x+2y đạt GTLN

2, Cho x,y,z thoả mÃn x+y+z=6. Tìm GTLN của biểu thøc M=xy+2yz+3zx
3, Chøng tá kh«ng cã sè thùc (x,y) nào thoả mÃn

x2+3y2+20=2x(y+1)+10y

4, Tỡm Min & Mỏc ca S=x+y trong ú x,y tho món
3x2+y2+2xy+4=7x+3y

5, Tìm nghiệm nguyên của PT x2+xy+y2=2x+y

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

10x2+5y2−2 xy−38x −6y+41=0

3x2−2y2+5 xy−17x −6y+20=0

¿{

¿
7, Giải hệ phơng trình

2x215 xy

+4y212x+45y 24=0

x22y2+3y 3x+xy=0

{

Một số chú ý khi tìm cực trị 
của biểu thức có điều kiện

Ví dụ1: Tìm Min &mác của xy ? biết x,y là nghiƯm cđa PT
x4+y4-3=xy(1-2xy)

HD: Viết xy+3=(x2+y2)2 4(xy)23

4 xy1

Ví dụ2: Các số dơng x,y,z thoả m·n xyz x+y+z+2

T×m Min cđa S=x+y+z ?
HD: ViÕt (x+y+z)3

(3√3xyz)3=27 xyz≥27(x+y+z+2)⇔S 6

Ví dụ3: Cho các số thực x,y,z thoả mÃn

x2+2y2+2x2z2+y2z2+3x2y2z2=9. Tìm Min & Mác của A=xyz ?

HD: viết (x2+y2z2)+2(y2+x2z2)+3x2y2z2=9.Theo cau chy có

2 |A|+4|A|+3A29|A|1

Ví dụ4: Cho x,y,z là các số thực thoả mÃn x4+y4+x2-3=2y2(1-x2)

Tìm Min & Mác của S=x2+y2+ 1

HD: Viết lại thành (x2+y2)2+x2+y2-3=3y2.Đặt t=x2+y2 suy ra t 131

2 SMin=

13
2

Và (x2+y2)2-2(x2+y2)-3=-3x2 0t 3S

mac=3
1
2

Các bài làm tơng tự

Bài1: Cho các số dơng x,y,z thoả mÃn 2xyz+xy+xz+yz 1 .Tìm GTLN của xyz? (ĐS:
GTLN xyz=1/8)

Bài2: Cho các số dơng x,y,z thoả mÃn (x+y+z)3+x2+y2+z2+4=29xyz

Tìm GTNN của xyz ? (ĐS : GTNN xyz =8)

Bài3: Tìm GTNN & GTLN của biểu thức S=x2+y2.Biết x,y là nghiệm của PT

5x2+8xy+5y2=36 (ĐS: Min S=4; Mac S=36)

Bài4: Cho x,y là các số thực thoả mÃn

(x2+y2)3+4x2+y2+6x+1=0.Tìm GTLN của S=x2+y2 (ĐS: S
mac=1)

Bài5: Tìm các số nguyên không âm x,y,z,t tho¶ m·n biĨu thøc x2+y2+2z2+t2

đạt GTNN .Biết x2-y2+t2=21 và x2+3y2+4z2=101

(§S: GTNN=61)

Dùng phơng pháp nội suy Niu- tơn để xác định đa thức
Phơng pháp: Tìm f(x) bậc n cho bit GT ca a thc ti n+1 im

Ci(i=1,2,,n) .Đặt f(x)=b0+b1(x-c1)+b2(x-c1)(x-c2)+…+bn(x-c1)…(x-cn)

Sau đó thay lần lợt các ci vào để tính bi.

Ví dụ1: Tìm một đa thức bậc hai biết P(0)=19;P(1)=5; P(2)=1995

HD: Đặt P(x)=c+b(x-0)+a(x-0)(x-1).Với x=0 thì c=19,với x=1 thì b=-14
Với x=2 thì a=1002. Nh vậy P(x)=1002x2-1016x+19

Ví dụ2: Tìm một đa thức bậc 3 biết P(0)=10;P(1)=12;P(2)=4;P(3)=1
HD: Đặt P(x)=d+cx+bx(x-1)+a.x(x-1)(x-2)

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

đều có số d là 6 và P(-1)=-18
HD: Theo Bơ-zu thì P(1)=P(2)=P(3)=6

đặt P(x)=d+c(x-1)+b(x-1)(x-2)+a(x-1)(x-2)(x-3)làm nh trên ta đợc

P(x)=x3-6x2+11x

Ví dụ4: Cho đa thức bậc 4 thoả mãn P(-1)=0; P(x)-P(x-1)=x(x+1)(2x+1)
1, Xác định đa thức P(x)

2, TÝnh tỉng S=1.2.3+2.3.5+…+n(n+1)(2n+1)

HD:1, Cho x=0 tính đợc P(0)=0; cho x=-1 tính đợc P(-2)=0;cho x=1
Tính đợc P(1)=6; cho x=2 tính đợc P(2)=36

Đặt P(x)=e+d(x+2)+c(x+2)(x+1)+b(x+2)(x+1)x+a(x+2)(x+1)x(x-1)
làm nh các ví dụ trên đợc P(x)=0,5x(x+1)2(x+2)

2, Theo trªn cã P(x)-P(x-1)=x(x+1)(2x+1)

Thay x=1,2,…,n vào ta có các đẳng thức sau
P(1)-P(0)=1.2.3

P(2)-P(1)=2.3.5

…

P(n)-P(n-1)=n(n+1)(2n+1)

Cộng theo vế các đẳng thức trên có P(n)-P(0)=1.2.3+2.3.5+…+n(n+1)(2n+1)
Vây S=P(n)=0,5n(n+1)2(n+2)

Chú ý : Bài tập trên cho ta một cách tính tổng bằng đa thức khá hay
Đặt f(x)-f(x-1)=g(x) trong đó g(x) thể hiện các số hạng
của tổng cần tínhcịn f(x) có bậc cao hơn g(x) một bậc.

Các bạn hãy áp dụng để làm các bài tập dới đây

VÝ dơ1: TÝnh tỉng S=1+2+…+n

HD :đặt f(x)-f(x-1)=g(x) thì bài này ta chọn g(x)=x.Vây f(x) là đa thức bậc hai. viết
f(x)=a.x2+bx+c .Lu ý f(0)=c dẫn tới a=1/2=b còn c tuỳ ý

Vây f(x)=1/2x2+1/2x+c thay x=1,2,3,,n suy ra đợc S=f(n)-f(0)=n(n+1)/2

Vớ d2 :Tớnh tổng S=1+3+5+…+(2n-1)
HD: đặt f(x)-f(x-1)=g(x)=2x-1

VÝ dô 3: TÝnh tæng S=1+32+52+…+(2n-1)2

HD : đặt f(x)-f(x-1)=g(x)=(2x-1)2

VÝ dơ 4: TÝnh tỉng S=1+23+33+…+n3

HD : đặt f(x)-f(x-1)=g(x)=x3

VÝ dơ5: TÝnh tỉng S=1+22+32+…+n2

HD: đặt f(x)-f(x-1)=g(x)=x2

VÝ dơ 6: TÝnh tỉng sau:
A= (x −a)(x −b)

(c −a)(c −b)+

(x − b) (x −c)

(a − b) (a −c)+

(x −c) (x − a)
(b −c) (b −a)

B= (x − a) (x − b) (x − c)

(d − a) (d − b) (d −c)+

(x − b) (x − c)(x −d)
(a −b)(a − c)(a− d)+

(x −d) (x − a) (x − b)
(c − d)(c −a)(c −b)

§S: A=B=1

Ví dụ7: Tìm đa thức bậc ba biết P(0)=2;P(1)=9;P(2)=19; P(3)=95.
Phơng pháp đa thức phụ dùng để tính biểu thức có

liên quan tới đa thức và xác định đa thức
Ví dụ: Cho đa thức f(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn

F(1)=10;f(2)=20;f(3)=30 .Tính f(12)+f(8)

10 +15

Giải: Đặt g(x)=f(x)-10x => g(1)=g(2)=g(3)=0.Do f(x) có bËc 4
Nªn g(x) cã bËc 4 tõ g(x) chia hÕt cho (x-1);(x-2);(x-3) .Ta cã

G(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-x0) từ đó f(x) =g(x)+10x ta tính c

f(12)+f(8)

10 +15=1984+15=1999

Chú ý thuật toán tìm đa thức phụ
Bớc1: Đặt g(x)=f(x)+h(x) với h(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn f(x)

Và bậc nhỏ hơn số GT đã biết của f(x).Nh trên g(x)=f(x)+a.x2+bx+c

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Tøc lµ

0=10+a+b+c

0=20+4a+2b+c

0=30+9a+3b+c

⇔
¿a=0

b=−10

c=0

¿{ {

Từ đó h(x)=-10x và f(x) =g(x)+10x
Sau đây là một số bài áp dụng

Bµi1: Cho ®a thøc f(x) bËc ba ,hƯ sè cđa x3 là số nguyên thoả mÃn

f(1999)=2000;f(2000)=2001. Chứng minh rằng
f(2001)-f(1998) là hợp số

HD: t g(x)=f(x)+a.x+b.Tỡm a,b g(1999)=g(2000)=0

Suy ra a,b là nghiệm của hệ

0=2000+1999a+b

0=2001+2000a+b

a=b=1

{

Vây g(x)=f(x)-x-1

Tính GT của f(x) .Theo giả thiết f(x) bậc ba nên g(x) bậc 3
Nh vËy g(x)=k(x-1999)(x-2000)(x-x0) (k thc Z lµ hƯ sè cđa x3 cđa f(x))

Từ đó f(x)=k(x-1999)(x-2000)(x-x0)+x+1.

Từ đó f(2001)-f(1998)=3(2k+1) H
Bài2: Cho đa thức f(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1và thoả mãn

F(1)=3;f(3)=11;f(5)=27.Tính GT của biểu thức f(-2)+7f(6)
HD: đặt g(x)=f(x)+a.x2+bx+c.Tìm a,b,c để có g(1)=g(5)=g(3)=0

Gi¶i hƯ

0=3+a+b+c

0=11+9a+3b+c

0=27+25a+5b+c

⇔
¿a=−1

b=0

c=−2

⇒g(x)=f(x)− x2−2

¿{ {

Do bậc của f(x) là 4 nên bậc của g(x) là 4 và g(x) chia hết cho (x-1);(x-3);
(x-5) .Suy ra f(x)=(x-1)(x-3)(x-5)(x-x0)+x2+2.Tính đợc

f(-2)+7f(6)=1112

Bài3: Tìm đa thức f(x) bậc ba biết f(0)=10;f(1)=12;f(2)=4;f(3)=1

HD: t g(x)=f(x)+a.x2+bx+c.Tìm a,b,c để g(0)=g(1)=g(2)=0

Tìm đợc a=5;b=-7;c=-10 nên g(x)=f(x)+5x2-7x-10. Do f(x) có bậc 3 nên

G(x) cịng cã bËc 3 vµ g(x) chia hÕt cho x,(x-1),(x-2).Gäi m lµ hƯ sè cđa x3

Cđa f(x) thì f(x)=mx(x-1)(x-2)-5x2+7x+10.Theo bài cho f(3)=1 nên m=2,5

Chú ý: Tham khảo phần phơng pháp nội suy Niu-tơn
Tuy nhiên các bạn hÃy giải ba bài toán sau theo phơng pháp trên
Bài4: Tìm đa thức bậc 2 f(x) biết f(0)=19;f(1)=5;f(2)=1995

Bài5: Tìm đa thức f(x) bậc ba biết f(0)=2;f(1)=9;f(2)=19;f(3)=95
Bài6: Tìm đa thức f(x) bËc ba biÕt r»ng chia f(x) cho (x-1);(x-2);(x-3)

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32></div>
(33)<div class='page_container' data-page=33></div>

Tai lieu on chuyen va HSG toan THCS

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

√

√

<sub>√</sub>

√

√

√

√

√

√

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

√

√

√

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

<sub>√</sub>

√

√

√

<sub></sub>

√

<sub>√</sub>

√

√

√

√

√

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

√

√

<sub>√</sub>

√

√

√

√

√

<sub>√</sub>

√

√

√

<sub>√</sub>

√

<sub>√</sub>

√

√

√