De thi DH khoi AA1 2012

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (215.58 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

B! GIÁO D"C VÀ #ÀO T$O 
#% CHÍNH TH&C

#% THI TUY'N SINH #$I H(C N)M 2012 
Mơn: TỐN; Kh*i A và kh*i A1

Th!i gian làm bài: 180 phút, không k" th!i gian phát #$
I. PH+N CHUNG CHO T,T C- THÍ SINH (7,0!i"m)

Câu 1 (2,0!i"m). Cho hàm s! y!x4"2(m#1)x2#m2 (1), v"i m là tham s! th#c.

a) Kh$o sát s# bi%n thiên và v& '( th) c*a hàm s! (1) khi

m

!

0.

b)Tìm m '+ '( th) c*a hàm s! (1) có ba 'i+m c#c tr) t,o thành ba '-nh c*a m.t tam giác vuông.

Câu 2 (1,0!i"m). Gi$i ph/0ng trình 3 sin 2x#cos 2x!2 cosx"1.
Câu 3 (1,0!i"m). Gi$i h1 ph/0ng trình

3 2 3 2

2 2

3 9 22 3 9

( , ).

1
2

x x x y y y

x y

x y x y

$ " " # ! # "

% &

# " # !

%( !

Câu 4 (1,0!i"m). Tính tích phân 
3

2
1

1 ln( 1)

d .
x

I x

x

# #

)

Câu 5 (1,0 !i"m). Cho hình chóp có 'áy là tam giác '2u c,nh a. Hình chi%u vng góc c*a

trên m3t ph4ng (ABC) là 'i+m H thu.c c,nh AB sao cho

.

S ABC

S

2 .

HA

!

HB

Góc gi5a '/6ng th4ng SC và m3t

ph4ng (ABC) b7ng Tính th+ tích c*a kh!i chóp S.ABC và tính kho$ng cách gi5a hai '/6ng th4ng SA

và BC theo a.

o
60 .

Câu 6 (1,0!i"m). Cho các s! th#c , ,x y z th8a mãn 'i2u ki1nx# # !y z 0. Tìm giá tr) nh8 nh9t c*a bi+u th:c

| | | | | | 2 2 2

3

x y

3

y z

3

z x

6 P

!

#

"

x

#

y

#

z

.

ND

II. PH+N RIÊNG (3,0 !i"m): Thí sinh ch#!$%c làm m&t trong hai ph'n riêng (ph'n A ho(c ph'n B)
A. Theo ch./ng trình Chu0n

Câu 7.a (1,0 !i"m). Trong m3t ph4ng v"i h1 t;a '. Oxy, cho hình vng ABCD. G;i M là trung 'i+m

c*a c,nh BC, N là 'i+m trên c,nh CD sao cho

CN

!

2

Gi$ s<

* +

11 1;

2 2

M và '/6ng th4ng AN có

ph/0ng trình 2x" " !y 3 0. Tìm t;a '. 'i+m A.

Câu 8.a (1,0 !i"m). Trong không gian v"i h1 t;a '. Oxyz, cho '/6ng th4ng : 1 2

1 2 1

x y z

d # ! ! " và
'i+m Vi%t ph/0ng trình m3t c=u (S) có tâm I và c>t d t,i hai 'i+m A, B sao cho tam giác IAB 
vuông t,i I.

(0; 0;3).
I

Câu 9.a (1,0!i"m). Cho n là s! nguyên d/0ng th8a mãn 5Cnn"1!Cn3. Tìm s! h,ng ch:a x5 trong khai

tri+n nh) th:c Niu-t0n c*a

*

+

1 ,

0.

14

n

nx

x

"

,

B. Theo ch./ng trình Nâng cao

Câu 7.b (1,0 !i"m). Trong m3t ph4ng v"i h1 t;a '. Oxy, cho '/6ng tròn Vi%t ph/0ng
trình chính t>c c*a elip (E), bi%t r7ng (E) có '. dài tr?c l"n b7ng 8 và (E) c>t (C) t,i b!n 'i+m t,o thành
b!n '-nh c*a m.t hình vng.

2 2

( ):C x #y !8.

Câu 8.b (1,0 !i"m). Trong không gian v"i h1 t;a '. Oxyz, cho '/6ng th4ng : 1 2,

2 1 1

x y z

d # ! ! " m3t
ph4ng ( ):P x# "y 2z# !5 0 và 'i+mA(1; 1; 2)." Vi%t ph/0ng trình '/6ng th4ng - c>t d và (P) l=n l/@t
t,i M và N sao cho A là trung 'i+m c*a 'o,n th4ng MN.

Câu 9.b (1,0!i"m). Cho s! ph:c z th8a mãn 5( ) 2
1

z i

i

z .

! "

# Tính mơ'un c*a s! ph:c

1 .

w! # #z z
--- H1T ---

Thí sinh khơng !$%c s) d*ng tài li+u. Cán b& coi thi khơng gi,i thích gì thêm.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

!!!!!!!!
#% CHÍNH TH&C

#% THI TUY'N SINH #$I H(C N)M 2012 
Mơn: TỐN; Kh*i A và kh*i A1 
(!áp án – thang "i#m g$m 04 trang)

Câu !áp án !i"m

a)(1,0 #i"m)

Khi m"0, ta có: y"x4#2 .x2

$ T%p xác "&nh: D"!.

$ S' bi(n thiên:

# Chi)u bi(n thiên: y' 4" x3#4 ;x y' 0" % x"0 ho*c x" &1.

0,25

Các kho+ng ngh&ch bi(n: (#' #; 1) v (0; 1);à các kho+ng "$ng bi(n: (#1; 0) và (1;( ').

# C'c tr&: Hàm s, "-t c'c ti#u t-i x" &1, yCT" #1; "-t c'c "-i t-i x"0, yC! "0.

# Gi.i h-n: lim lim .

x)#'y"x)( 'y" ('

0,25

# B+ng bi(n thiên:

0,25

$ !$ th&:

0,25

b) (1,0 #i"m)

Ta có y'"4x3#4(m(1)x"4 (x x2# #m 1).

!$ th& hàm s, có 3 "i#m c'c tr& khi và ch/ khi m( *1 0 % m* #1 (*). 0,25

Các "i#m c'c tr& c0a "$ th& là A(0;m2), (B # m( #1; 2m#1) và (C m( #1; 2m#1).

Suy ra: AB" #( m(1; (# m(1)2

"""#

) và AC "( m(1; (# m(1)2).

"""#

0,25

Ta cóAB"AC nên tam giác ABC vuông khi và ch/ khi AB AC. "0

"""# """#

0,25

1 
(2,0 #i"m)

% (m(1)4#(m( "1) 0. K(t h1p (*), ta "21c giá tr& m c3n tìm là m"0. 0,25 
( '

y
'

y – 0 + 0 – 0 +

x #' –1 0 1 ( '

–1
0

–1

( '

O

2
1
– 1

–1
–2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Câu !áp án !i"m

Ph24ng trình "ã cho t24ng "24ng v.i ( 3 sinx(cosx#1)cosx"0. 0,25

cos 0 5( )

x x k k

$ " % " ( +$ . 0,25

3 sinx cosx 1 0

$ ( # " cos

, -

5 cos5

3 3

x

% # " 0,25

2

(1,0 #i"m)

%x"k25 ho*c 25 25( )
3

x" (k k+$.

V%y nghi6m c0a ph24ng trình "ã cho là 5 5,

x" (k x"k25 và 25 25 ( ).
3

x" (k k+$

0,25

H6 "ã cho t24ng "24ng v.i:

, ,

-3 3

2 2

( 1) 12( 1) ( 1) 12( 1) (1)

1 1

1. (2)

2 2

x x y y

x y

# # # " ( # (

.
/
0

# ( ( "

/1 0,25

T7 (2), suy ra 1 1 1

2
x

# 2 # 2 và 1 1 1

2
y

# 2 ( 2 % 3 1 1

2 x 2

# 2 # 2 và 1 1 3.

2 y 2

# 2 ( 2

Xét hàm s, f t( )" #t3 12t trên 3 3;

2 2

45 678, ta có f t'( ) 3(" t2#4) 09 , suy ra f(t) ngh&ch bi(n.

0,25

Do "ó (1) % x – 1 " y ( 1 % y " x – 2 (3).

Thay vào (2), ta "21c

, ,

-2 2

1 3

2 2

x# ( x# " % 4x2#8x( "3 0 % 1
2

x" ho*c 3.
2

x" 0,25 
3

(1,0 #i"m)

Thay vào (3), ta "21c nghi6m c0a h6 là ( ; )

,

1; 3

-2 2

x y " # ho*c ( ; )

,

3; 1

-

2 2

x y " # 0,25

!*t u" (1 ln(x(1) và d d2 , suy ra d d
1
x
u

x

( và

1
.
v
x
v
x
"
x

" # 0,25

3
3

1 1

1 ln( 1)

( 1)

x dx

I

x x x

( (

" # (

(

:

0,25

,

-3

2 ln 2 1 1

3 x x 1 dx

(

" ( #

(

:

2 ln 2

ln
3 1
x
x
(
" (

( 0,25

4 
(1,0 #i"m)

2 ln 3 2ln 2.

3 3

" ( # 0,25

Ta có SCH% là góc gi8a SC và (ABC), suy ra %SCH "60 .o

G9i D là trung "i#m c0a c-nh AB. Ta có: ,

6
a

HD" 3,
2
a
CD"

2 2 7,

3
a

HC" HD (CD " .tan60o 21.
3
a
SH"HC "

0,25

2 3

1 1 21 3

. . . . 7

3 3 3 4 12

S ABC ABC

a a a

V " SH S; " " . 0,25

K: Ax//BC. G9i N và K l3n l21t là hình chi(u vng góc

c0a H trên Ax và SN. Ta có BC//(SAN) và 3

BA" HA nên
3

( , ) ( ,( )) ( ,( )).

d SA BC "d B SAN " d H SAN

Ta c;ng có Ax<(SHN) nên Ax<HK. Do "ó

(

HK< SAN). Suy ra d H( ,(SAN))"HK.

0,25

5 
(1,0 #i"m)

2 2

2 3 . 42

, sin 60 , .

3 3

a a SH HN a

AH HN AH HK

SH HN

" " " " "

( V%y

S
B
C
H
x N
K
D
A
42
( , ) .
8
a

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Ta ch<ng minh 3t = ( > =t 1, t 0 (*).

Xét hàm ( ) 3f t " t # #t 1, có '( ) 3 ln 3 1 0,f t " t # * > =t 0 và f(0) 0" , suy ra (*) "úng.

Áp d=ng (*), ta có 3|x y| 3|y z| 3|z x| 3 | | | | | |.

x y y z z x

# ( # ( # = ( # ( # ( #

0,25

Áp d=ng b>t "?ng th<c |a| | | |( b = a(b|, ta có:

2 2 2 2

(|x y# ( # ( #| |y z| |z x|) " #|x y| ( #|y z| ( #|z x| ( #|x y|(|y z# ( #| |z x|) |( #y z|(|z x# ( #| |x y|)

,

2 2 2

-|z x|(|x y| |y z|) 2 |x y| |y z| |z x| .

( # # ( # = # ( # ( #

0,25

Do "ó |x y# ( # ( # =| |y z| |z x| 2 |

,

x y# |2( #|y z|2( #|z x|2

-

" 6x2(6y2(6z2#2

,

x y z( (

-

Mà x y z( ( "0, suy ra |x y# ( # ( # =| |y z| |z x| 6x2(6y2(6z2.

0,25

6 
(1,0 #i"m)

Suy ra P"3|x y# |(3|y z# |(3|z x# |# 6x2(6y2(6z2=3.

Khi x " y " z " 0 thì d>u b@ng x+y ra. V%y giá tr& nhA nh>t c0a P b@ng 3.

0,25

G9i H là giao "i#m c0a AN và BD. K: "2Bng th?ng qua H
và song song v.i AB, cCt AD và BC l3n l21t t-i P và Q.
!*t HP " x. Suy ra PD " x, AP " 3x và HQ " 3x.

Ta có QC " x, nên MQ " x. Do "ó ;AHP = ;HMQ, suy ra

.
AH<HM

0,25

H4n n8a, ta c;ng có AH"HM.

Do "ó AM " 2MH" 2 ( ,(d M AN))"3 10.

0,25

A+AN, suy ra A(t; 2t – 3).

3 10

MA" %

, ,

-2 2

11 7 45

2 2

t# ( t# "
2

0,25

7.a 
(1,0 #i"m)

% t2 5t 4 0

A B

C

D N

M
H

P Q

# ( " % t"1 ho*c t"4.

V%y: (1; 1)A # ho*c (4;5).A 0,25

Véc t4 ch/ ph24ng c0a d là a "(1; 2; 1). G9i H là trung "i#m c0a AB, suy ra IH < AB.

""#

Ta có H d+ nên t9a "DH có d-ng H t( 1; 2 ;# t t( ?2) IH" #( 1; 2 ; 1).t t t#

"""# 0,25

IH < AB % IH a. "0 % %

"""# ""#

1 4 1 0

t# ( ( # "t t 1
3

t"

,

2 2; ; 2

-

3 3 3

IH

?"""#" # # 0,25

Tam giác IAH vng cân t-i H, suy ra bán kính m*t c3u (S) là 2 2 6.

R"IA" IH " 0,25

8.a 
(1,0 #i"m)

Do "ó ph24ng trình m*t c3u c3n tìm là ( ): 2 2 ( 3)2 8.

S x (y ( z# " 0,25

5 n

n n

C # "C3 % 5 ( 1)( 2)
6

n n n

n" # # 0,25

% n"7 (vì n ngun d24ng). 0,25

Khi "ó

,

-7 7 7 7

2 2 2

14 3
7

7 7

0 0

( 1)

1 1 1

14 2 2 2

n k k k k

k k

k

k k

C

nx x x

C x

x x x

#
#

" "

#
@ # A "@ # A " @ A # "

B C B C B C

D E D E

F

D E

F

0,25

9.a 
(1,0 #i"m)

S, h-ng ch<a x5 t24ng <ng v.i 14 3# k"5 % k"3.

Do "ó s, h-ng c3n tìm là

3 3

5 5

7
4

( 1) . 35

. 0,25

16
2

C

x x

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Câu !áp án !i"m

Ph24ng trình chính tCc c0a (E) có d-ng: 2 2

2 2 1,

x y

a b

( "

v.i a b* *0 và 2a"8. Suy ra a"4.

0,25

Do (E) và (C) cùng nh%n Ox và Oy làm tr=c ",i x<ng và
các giao "i#m là các "/nh c0a mDt hình vng nên (E) và

0,25

A+(C) % t2(t2 "8, suy ra t"2. 0,25

7.b 
(1,0 #i"m)

(2;2) ( )

A + E % 4 42 1

16(b " %

2 16.

b
3

Ph24ng trình chính tCc c0a (E) là 2 2 1.

16
16

x y

( " 0,25

M thuDc d, suy ra t9a "D c0a M có d-ng M(2t – 1; t; t ( 2). 0,25

MN nh%n A là trung "i#m, suy ra N(3 – 2t; – 2 – t; 2 – t). 0,25

N+(P) % 3 2# t# # #2 t 2(2# ( "t) 5 0% t"2, suy ra M(3; 2; 4). 0,25

8.b 
(1,0 #i"m)

!2Bng th?ng ; "i qua A và M có ph24ng trình : 1 1

2 3 2

x# y( z#2

; " " . 0,25

!*t z" (a bi a b( , +!),zG #1.

Ta có 5( ) 2 (3 2) ( 7 6)

1
z i

i a b a b i

z

( " # % # # ( # ( "

( 0

0,25

% 3 2 %

7 6

a b

# # "
.

0 # ( "

0
0

1
1.
a
b

"
.
0 "

1 0,25

Do "ó z" (1 .i Suy ra w" ( (1 z z2" ( ( ( (1 1 i (1 )i 2" (2 3 .i 0,25

9.b 
(1,0 #i"m)

V%y w " 2 3( i " 13. 0,25

x
2

2
O
y

A

</div>

De thi DH khoi AA1 2012

<i>m</i>

!

0.

<sub>)</sub>

.

<i>S ABC</i>

<i>S</i>

2

.

<i>HA</i>

!

<i>HB</i>

3

3

3

6

6

6

<i>P</i>

!

#

#

"

<i>x</i>

#

<i>y</i>

#

<i>z</i>

.

.

<i>ND</i>

<i>CN</i>

!

2

* +

*

+

1

,

0.

14

<i>nx</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

"

,

, -

, ,

, ,

,

,

-

:

,

:

,

,

-

,

-

, ,

,

-

,

F

F

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về