BÀI GIẢNG: TÌM THAM SỐ M ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU
MƠN TỐN: LỚP 12
"Các thầy tốn có thể làm video về toán 10 nâng cao phần lượng giác dc ko ạ"
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
học sinh có gửi nguyện vọng đến page
THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ
Dạng 2: Tìm tham số m
A/ Tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên TXĐ
Phương pháp:
Bước 1: TXĐ
y ' 0 DB
Bước 2:
y ' 0 ( NB)
Bước 3: 0 (Với hàm số bậc 3)
Kết luận.
Ví dụ 1: a) Tìm m để y x3 3x2 3mx 1 đồng biến trên R
Hướng dẫn giải
+) TXĐ: D R
+) Hàm số đồng biến y ' 0 x R
3x 2 6 x 3m 0
0
36 36m 0
m 1.
3 0
3 0 (luon dung )
Vậy hàm số đồng biến trên R m 1
b) Tìm m để y
x3
11
x 2 (m 3) x
giảm trên R.
3
3
Hướng dẫn giải
+) TXĐ: D R
+) Hàm số nghịch biến y ' 0 x R
x 2 2 x (m 3) 0
0
4 4(m 3) 0
16m 4m 0 m 4.
1 0
1 0 (dung )
Vậy m 4.
c) Tìm m để y mx3 2mx2 12 x 7 đồng biến trên R.
1
Truy cập trang để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
Hướng dẫn giải
+) TXĐ: D R
+) Hàm số đồng biến y ' 0 x R
3mx 2 4mx 12 0
16m2 144m 0
0
0 m 9
0 m 9.
3m 0
m 0
m 0
Vậy 0 m 9.
B/ Tìm m để hàm số đồng biến/nghịch biến trên 1 khoảng
Cách 1: +) Bước 1: TXĐ
y ' 0 DB
+) Bước 2:
trên (a; b)
y ' 0 NB
+) Bước 3: Cô lập m về một vế
+) Bước 4: Khảo sát và vẽ bảng biến thiên của vế chứa x.
+) Bước 5: Nhìn bảng biến thiên và kết luận.
Ví dụ 1:
a) Tìm m để hàm số y x3 3x 2 mx 4 nghịch biến trên (1; )
Hướng dẫn giải
+) Hàm số liên tục và xác định trên (1; )
+) Hàm số nghịch biến trên (1; )
y ' 0 x (1; )
3x 2 6 x m 0
3x 2 6 x m
g ( x)
) g ( x) 3x 2 6 x
) g '( x) 6 x 6
Cho g '( x) 0 x 1 ( L)
+) Bảng biến thiên:
2
Truy cập trang để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
+) Nhìn bảng biến thiên kết luận; m 9 m 9
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y x3 3x2 3mx 1 nghịch biến trên (0; ). ( A 2013)
Hướng dẫn giải
+) Hàm số liên tục và xác định (0; )
+) Hàm số nghịch biến trên
0; y ' 0
x 0; .
3x 2 6 x 3m 0
3x 2 6 x 3m
g ( x)
+) Xét g ( x) 3x 2 6 x trên (0, )
) g '( x) 6 x 6
)g'(x) 0 x 1
Bảng biến thiên:
+) Nhìn bảng biến thiên ta thấy g x 3m 3m 3 m 1.
Vậy m 1 thỏa mãn điều kiện bài tốn.
1
Ví dụ 3: Tìm m để y x3 2mx 2 4mx 2 nghịch biến trên (; 0).
3
Hướng dẫn giải
3
Truy cập trang để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
+) Hàm số liên tục và xác định (; 0).
+) Hàm số đồng biến trên (; 0).
y ' 0 x (;0)
x 2 4mx 4m 0
x 2 4mx 4m
x 2 4m( x 1)
x2
4m x ; 0 .
x 1
x2
+) Xét hàm số g ( x)
trên (; 0).
x 1
g '( x)
2 x( x 1) x 2 x 2 2 x
.
( x 1)2
( x 1)2
x 0
Cho g '( x) 0 x 2 2 x 0
.
x 2
Bảng biến thiên:
g x 4m x ; 0 4m 0 m 0.
Vậy m 0.
*) Đồng biến/ nghịch biến khi không cô lập được m.
Cách 2: +) y ' 0; y ' 0 khi y ' ax 2 bx c
+) TH1: 0 y’ cùng dấu hệ số a
+) TH2: 0 y’ cùng dấu hệ số a (thêm dấu =)
+) TH1: 0
Tính ra 2 nghiệm x1 , x2
4
Tinh truc tiep
Vi et
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
Bảng biến thiên
1
Ví dụ 4: Tìm m để y x3 mx 2 (m2 2m 5) x 3 đồng biến
3
a) trên [-1;1]
b) Trên khoảng có độ dài bằng 2.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: y ' x2 2mx m2 2m 5.
Hàm số đồng biến trên 1;1 y ' 0 x 1;1.
TH1: y ' 0 m hàm số đồng biến trên R hàm số đồng biến trên 1; 1.
Ta có: y ' 0 ' 0 do a 1 0
m 2 m 2 2m 5 0
2m 5 0
5
m .
2
m
5
thì hàm số đồng biến trên 1; 1.
2
5
TH2: Xét y ' 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 ' 0 2m 5 0 m .
2
x1 x2 2m
.
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
2
x
x
m
2
m
5
1 2
Khi đó ta có bảng xét dấu:
1; 1 ; x1
Ta thấy hàm số đồng biến trên 1; 1 thì
1; 2 x;
5
x1 1
x2 1
hay
.
x 1
2
x1 1
Truy cập trang để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
x 1
a. f 1 0
+) Xét 1
1 x1 x2
x2 1
x1 x2 2.1
1 2m m 2 2m 5 0
m 2 4 0
2m 2
m 1
m 2
m 2 m 2.
m 1
Kết hợp với điều kiện m
5
5
ta được 2 m thỏa mãn. (1)
2
2
x 1
a. f 1 0
+) Xét 2
x1 x2 1
x1 1
x1 x2 2. 1
1 2m m 2 2m 5 0
m 2 4m 4 0
2m 2
m 1
m 2 2 2
m 2 2 2 m 2 2 2.
m 1
Kết hợp với điều kiện m
5
ta được m 2 2 2 thỏa mãn.
2
(2)
m 2 2 2
Từ (1) và (2) ta được
thỏa mãn.
2 m 5
2
2
5
25
5
5
Xét TH m ta được: y ' x 2 5 x
x y' 0 x .
2
4
2
2
Ta có BBT:
Ta thấy với m
6
5
thì hàm số đồng biến trên R hàm số đồng biến trên 1; 1.
2
Truy cập trang để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
m 2 2 2
Kết hợp các TH ta được
thỏa mãn điều kiện bài toán.
2 m 5
2
m 2 2 2
Kết hợp TH1 và TH2 ta được
thỏa mãn bài toán.
m
2
b) y ' 0 x2 2mx (m2 2m 5) 0
+) Xét y ' 0. Tính 4m2 4(m2 2m 5)
Xét 0 8m 20 0 m
5
2
Phương trình y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2
Ta có bảng xét dấu:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 1
| x2 x1 | 1
( x2 x1 ) 2 1
x22 x12 2 x1 x2 1
( x2 x1 ) 2 4 x1 x2 1
(2m) 2 4(m 2 2m 5) 1
8m 20 1
19
m
tm
8
Đáp số: m
7
19
.
8
Truy cập trang để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
( Đồng biến – Nghịch Biến)
PHƯƠNG PHÁP: Viết
(Đồng biến) hoặc
(Nghịch biến)
Nếu đề bài yêu cầu đồng biến hoặc nghịch biến trên R , trên TXĐ thì giải bất phương trình bình thường
. Chú ý nếu bất phương trình có 2 ẩn và thì suy ra ngay
Nếu đề bài yêu cầu đồng biến,nghịch biến trên 1 khoảng nhất định thì phương pháp như sau
+) Chuyển hết về vế phải Khảo sát và vẽ bảng biến thiên vế trái Nhìn vào bảng biến thiên để
kết luận
+) Đơi khi khơng cơ lập được thì phải sử dụng bảng biến thiên
Câu 1:
d) Tìm
mx 2
đồng biến trên TXĐ
x 1
1 x
để hàm số y
nghịch biến trên TXĐ
xm
mx 5m 4
để hàm số y
tăng trên TXĐ
xm
để hàm số y x3 mx2 3x 4 nghịch biến trên R
e) Tìm
để hàm số y mx3 2mx2 12 x 7 tăng trên R
f) Tìm
để hàm số y
x3
x 2 (m 3) x 11 nghịch biến trên TXĐ
3
g) Tìm
để hàm số y
2 x 2 3x m
đồng biến trên TXĐ
x2
a) Tìm
b) Tìm
c) Tìm
để hàm số y
Câu 2:
a) Tìm
để hàm số y x3 3x 2 (m 1) x 4m đồng biến trên khoảng (
b) Tìm
để hàm số y
c) Tìm
x 2 2mx 1
đồng biến trên (
)
x 1
để hàm số y x3 3x2 mx 4 nghịch biến trên (
)
d) Tìm
để hàm số y x 3x 3mx 1 nghịch biến trên (
)
e) Tìm
f) Tìm
3
2
1
để hàm số y x3 2mx 2 4mx 2 đồng biến trên (
3
1
để hàm số y x3 (m 1) x 2 4 x 10 đồng biến trên [
3
)
)
]
x 2 2mx m2 1
đồng biến trên (
)
xm
1
1
h) Tìm để hàm số y x3 (2m 1) x 2 (m2 m) x đồng biến trên khoảng (
) ( Ý khó)
3
2
8 Truy cập trang để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
g) Tìm
để hàm số y
i) Tìm
để hàm số y x3 (m 1) x 2 m 1 đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 3.
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
THỰC HIỆN : BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM
Câu 1:
a) Ta có: TXD : D R \ 1 ; y '
m 2
x 1
2
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định y ' 0 x D m 2 0 m 2 .
b) TXĐ : D R \ m ; y '
m 1
x m
2
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định y ' 0 x D m 1 0 m 1.
c) D R \ m ,
ta có : y '
m2 5m 4
x m
2
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định y ' 0 x D m2 5m 4 0 m 1; 4 .
d) TXĐ : D R .
Ta có: y ' 3x2 2mx 3
3 0
3 m 3 .
Để hàm số nghịch biến trên R y ' 0 x R
2
' m 9 0
e) TXĐ : D R
Ta có : y ' 3mx2 4mx 12
3m 0
m 0
m 0;3 .
Để hàm số đồng biến trên R y ' 0 x R
2
3
m
3
'
4
m
36
0
f) TXĐ : D R
Ta có : y ' x2 2 x m 3
3m 0
m 4.
Để hàm số nghịch biến trên R y ' 0 x R
' 1 m 3 0
g) TXĐ : D R \ 2
9
Truy cập trang để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
y
y'
y'
y'
2 x 2 3x m
x2
4 x 3 x 2 2 x 2 3x m
x 2
2
4 x 2 8 x 3x 6 2 x 2 3x m
x 2
2
2x2 8x 6 m
x 2
2
Để hàm số đồng biến trên TXĐ y ' 0 x 2 2 x 2 8x 6 m 0 x 2
2 x2 8x 6 m x 2
Xét hàm số f x 2 x 2 8x 6 f x m x 2 min f x m
R \2
Ta có f ' x 4 x 8 0 x 2
BBT :
m f x x 2 m 2 .
Câu 2:
a) Tìm
để hàm số y x3 3x 2 (m 1) x 4m đồng biến trên khoảng (
)
TXĐ: D R .
Ta có: y ' 3x 2 6 x m 1
Để hàm số đồng biến trên 1;5 y ' 0 x 1;5
3x 2 6 x m 1 0 x 1;5
3x 2 6 x m 1 x 1;5
f x m 1 x 1;5
min f x m 1
1;5
Xét hàm số f x 3x 2 6 x trên 1;5 ta có: f ' x 6 x 6 0 x 1
BBT :
10
Truy cập trang để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
m 1 3 m 4 .
để hàm số y
b) Tìm
x 2 2mx 1
đồng biến trên (
x 1
)
TXĐ : D R \ 1 . Ta có :
2 x 2m x 1 x 2 2mx 1
y'
2
x 1
y'
y'
2 x 2 2 x 2mx 2m x 2 2mx 1
x 1
2
x 2 2 x 2m 1
x 1
2
2
x 2 x 2m 1 0 x 2;
Để hàm số đồng biến trên 2;
1 2; luon dung
x 2 2 x 1 2m x 2;
f x x 2 2 x 1 2m x 2;
min f x 2m
2;
Xét hàm số f x x 2 2 x 1 trên 2; ta có : f ' x 2 x 2 0 x 1
BBT :
1
2m 1 m .
2
c) Tìm
để hàm số y x3 3x2 mx 4 nghịch biến trên (
)
TXĐ : D R
11
Truy cập trang để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
Ta có : y ' 3x2 6 x m
Hàm số nghịch biến trên 1; y ' 0 x 1; .
3x 2 6 x m 0 x 1; m 3x 2 6 x x 1;
m f x 3x 2 6 x x 1; m min f x
1;
Xét hàm số f x 3x 2 6 x trên 1; ta có : f ' x 6 x 6 0 x 1
BBT:
Vậy m 9 .
d) Tìm
để hàm số y x3 3x 2 3mx 1 nghịch biến trên (
)
TXĐ : D R . Ta có: y ' 3x2 6 x 3m .
Để hàm số nghịch biến trên 0; y ' 0 x 0;
3x 2 6 x 3m 0 x 0; 3m 3x 2 6 x x 0;
3m f x 3x 2 6 x x 0; 3m min f x
.
0;
Xét hàm số f x 3x 2 6 x ta có : f ' x 6 x 6 0 x 1
BBT :
3m 3 m 1 .
e) Tìm
1
để hàm số y x3 2mx 2 4mx 2 đồng biến trên (
3
)
TXĐ : D R . Ta có : y ' x2 4mx 4m .
Để hàm số đồng biến trên ;0 y ' 0 x ;0
f x x 2 4mx 4m 0 x ;0
1 0
0 m 1
TH1 : f x 0 x R
2
' 4m 4m 0
12
Truy cập trang để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
m 0
TH2 : ' 0
Phương trình f x 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 x2
m 1
Bảng xét dấu
x1
x2
S x1 x2 0
f x x 2 4mx 4m 0 x ;0 0 x1 x2
P x1 x2 0
4m 0
m0
4m 0
m 0
Kết hợp điểu kiện
m 1.
m 1
Vậy m 0; .
1
để hàm số y x3 (m 1) x 2 4 x 10 đồng biến trên [
3
TXĐ : D R .
f) Tìm
]
Ta có : y ' x2 2 m 1 x 4
Để hàm số đồng biến trên 1;1 y ' 0 x 1;1
f x x 2 2 m 1 x 4 0 x 1;1
1 0
TH1 : f x 0 x R
2 m 1 2 3 m 1 .
2
'
m
1
4
0
m 1
2
TH2 : ' 0 m 1 4 0
Phương trình f x 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 x2 .
m 3
Bảng xét dấu :
x1
x2
x1 x2 2
x1 x2 1 x1 1 x2 1 0
2
f x x 2 m 1 x 4 0 x 1;1
1 x1 x2
x1 x2 2
x1 1 x2 1 0
m 2
2 m 1 2
7
m 7
2 m 2
4 2 m 1 1 0
2
7
3
m ; 2 0;
2
2
0 m 3
2 m 1 2
m 0
4 2 m 1 1 0
2
3
m
2
7
3
Kết hợp điều kiện ta có: m ; 3 1;
2
2
13
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
7 3
Kết hợp 2 TH ta có : m ;
2 2
để hàm số y
g) Tìm
x 2 2mx m2 1
đồng biến trên (
xm
)
TXĐ: D R \ m
Ta có:
2 x 2m x m x 2 2mx m 2 1
y'
2
x m
y'
y'
2 x 2 2mx 2mx 2m 2 x 2 2mx m 2 1
x m
2
x 2 2mx m 2 1
x m
2
x 2 2mx m2 1 0 x 2; 1
y ' 0 x 2;
Để hàm số đồng biến trên 2;
m 2;
m 2
Giải (1)
Xét phương trình x2 2mx m2 1 0 (*) ta có: ' m2 m2 1 1 0
x1 x2 2m
Do đó phương trình (*) ln có 2 nghiệm phân biệt x1 x2 và
2
x1 x2 m 1
Xét dấu :
x1
x2
Để
x 2 2mx m 2 1 0 x 2; x1 x2 2
x1 x2 4
x1 x2 4
x1 2 x2 2 0
x1 x2 2 x1 x2 4 0
m 2
2m 4
m 2
2
2
m 3 m 1
m 1 2.2m 4 0
m 4m 3 0
m 1
Kết hợp điều kiện ta có : m 1 .
1
1
h) Tìm để hàm số y x3 (2m 1) x 2 (m2 m) x đồng biến trên khoảng (
3
2
TXĐ : D R .
) ( Ý khó)
Ta có : y ' x 2 2m 1 x m2 m
Để hàm số đồng biến trên 1; 2 y ' 0 x 1; 2 x2 2m 1 x m2 m 0 x 1; 2
Xét phương trình y ' x 2 2m 1 x m2 m 0 (*)
14
Truy cập trang để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
x1 x2 2m 1
2
2m 1 4m2 4m 1 0 phương trình (*) ln có 2 nghiệm phân biệt x1 x2 và
2
x1 x2 m m
Xét dấu :
x1
x2
2 x1 x2
Để y ' 0 x 1; 2
x1 x2 1
x1 x2 4
x1 x2 4
x1 2 x2 2 0
x1 x2 2 x1 x2 4 0
x1 x2 2
x1 x2 2
x1 1 x2 1 0
x1 x2 x1 x2 1 0
3
m 2
2m 1 4
m 2
2
m 1
m 2
m m 2 2m 1 4 0
1
m 0
2m 1 2
m
m 2 m 2m 1 1 0
2
m 1
m 0
Vậy m ;0 2; .
i) Tìm
để hàm số y x3 (m 1) x 2 m 1 đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 3.
TXĐ : D R .
x1 0
Ta có : y ' 3x 2 m 1 x 0 x 3x 2 m 1 0
x 2 m 1
2
3
2
Để hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 3 Hàm số có 2 điểm cực trị
2 m 1
0 m 1 .
3
9
7
m 1 2
m 2
2 m 1
x1 x2 3
3
tm .
9
11
3
m 1
m
2
2
15
Truy cập trang để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!