Dạy thêm toán 11 PHÉP đối XỨNG TRỤC, đối XỨNG tâm

TOÁN 11

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC, ĐỐI XỨNG TÂM

1H1

MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI..............................................................................................................................................................1
Dạng 1. Khai thác dịnh nghĩa, tinh chất va ứng dụng của phép đối xứng trục và đối xứng tâm......................................1
Dạng 2. Tìm ảnh của điểm, đường thẳng qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm bằng phương pháp tọa độ...................3
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO....................................................................................................................................6
Dạng 1. Khai thác dịnh nghĩa, tinh chất va ứng dụng của phép đối xứng trục và đối xứng tâm......................................6
Dạng 2. Tìm ảnh của điểm, đường thẳng qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm bằng phương pháp tọa độ.................12

PHẦN A. CÂU HỎI
Dạng 1. Khai thác dịnh nghĩa, tinh chất va ứng dụng của phép đối xứng trục và đối xứng tâm.

Câu 1.

Cho đường thẳng a . Qua phép đối xứng trục a , đường thẳng nào biến thành chính nó.
A. Các đường thẳng song song với a .
B. Các đường thẳng vng góc với a .
0
C. Các đường thẳng hợp với a một góc 60 .
0
D. Các đường thẳng hợp với a một góc 30 .

Câu 2.

Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d �
. có bao nhiêu phép đối xứng trục biến đường thẳng này

thành đường thẳng kia?
A. Khơng có.

Câu 3.

B. Một.

C. Hai.

D. Vô số.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hình vng có vơ số trục đối xứng.
B. Hình chữ nhật có 4 trục đối xứng.
C. Tam giác đều có vơ số trục đối xứng.
D. Tam giác cân nhưng khơng đều có 1 trục đối xứng.

Câu 4.

(GIỮA KÌ I YÊN HÒA HÀ NỘI 2017-2018) Khẳng định nào sau đây SAI?
A. Đường trịn có trục đối xứng.
C. Đường thẳng có trục đối xứng.

Câu 5.

(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d ' . Có bao
nhiêu phép đối xứng trục biến d thành d '
A. Khơng có phép đối xứng trục nào.
C. Có một phép đối xứng trục.

Câu 6.

B. Hình tam giác đều có trục đối xứng.
D. Hình bình hàng có trục đối xứng.

B. Có vơ số phép đối xứng trục.
D. Có hai phép đối xứng trục.

Hình nào dưới đây có một tâm đối xứng?
1


A.
Câu 7.

B.

.

C.

.

D.

.

(HKI-Chu Văn An-2017) Cho ba điểm M , O1 , O2 . Gọi M 1 , M 2 tương ứng là ảnh của điểm M
qua các phép đối xứng tâm O1 và O2 . Khằng định nào sau đây đúng?
A.

Câu 8.

.

uuuuur uuuuu
r
MM 2  O1O2

.

B.

uuuuuur
uuuuu
r
M 1M 2  2O1O2

.

C.

uuuuuur
uuuuu
r
M 1M 2  2O1O2

.

D.

uuuuur uuuuuu
r
O1M 1  O2 M 2

.

(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Hình nào sau đây có vơ số tâm đối xứng?
A. Hình vng.
B. Hình trịn.
C. Đường thẳng.
D. Đoạn thẳng.

Câu 9.

Giải sử phép đối xứng tâm O biến đường thẳng d thành d1 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề
nào đúng?
A. d1 cắt d .
B. Nếu O �d thì d P d1 .
C. Nếu d qua O thì d cắt d1 .
D. d và d1 cắt nhau tại O .

Câu 10. Mệnh đề nào sau đây là sai:
A. Hình gồm hai đường thẳng cắt nhau có một tâm đối xứng.
B. Hình vng có một tâm đối xứng.
C. Hình gồm hai đường trịn bằng nhau có một tâm đối xứng.
D. Đường elip có vô số tâm đối xứng.
Câu 11.

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Hình nào dưới đây có tâm

đối xứng?
A. Hình thang.

Câu 12.

B. Hình trịn.

C. Tam giác bất kì.

D. Parabol.

(HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Cho hình vng ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của AB , CD . Kí hiệu Ðd là phép đối xứng trục qua đường thẳng d . Khẳng định nào sau
đây sai?
A.

ÐAC  B   A

.

B.

ÐBD  A   C

.

C.

ÐMN  B   A

.

D.

ÐMN  D   C

.

A
B
Câu 13. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng phía với d . Gọi 1 đối xứng với A , 1 đối
xứng với B qua d . M là điểm trên d thỏa mãn MA  MB nhỏ nhất. Chọn mệnh đề sai:
A. Góc giữa AM và d bằng góc giữa BM và d .
AB
B. M là giao điểm của 1 và d .
AB1
C. M là giao điểm của
và d .
2


D. M là giao điểm của AB và d .
Câu 14. Với mọi tứ giác ABCD , kí hiệu S là diện tích tứ giác ABCD . Chọn mệnh đề đúng:

A.

S

1
 AB.CD  BC. AD 

2

1
S �  AB.CD  BC . AD 
2
B.

1
S �  AB.CD  BC. AD 
2
C. S  AB.CD  BC. AD D.
.

S ,S
Câu 15. Cho hai điểm A, B phân biệt. Gọi A B là phép đối xứng qua A, B . Với điểm M bất kì, gọi
M1  S A  M  M 2  SB  M1 
M
,
. Gọi F là phép biến hình biến M thành 2 . Chọn mệnh đề đúng:

A. F khơng là phép dời hình
C. F là phép đối xứng tâm.

B. F là phép đối xứng trục.
D. F là phép tịnh tiến.

Câu 16. Cho ABC và đường tròn tâm O . Trên đoạn AB , lấy điểm E sao cho BE  2 AE , F là trung
O
điểm của AC và I là đỉnh thứ tư của hình bình hành AEIF . Với mỗi điểm P trên   ta dựng
uur

uuu
r uuu
r
uur
Q
PA

2
PB

3
PC

6
IQ . Khi đó tập hợp điểm Q khi P thay đổi là:
điểm
sao cho
O
Đ
A. Đường tròn tâm O�là ảnh của đường tròn   qua I .
O
B. Đường tròn tâm O�là ảnh của đường tròn   qua ĐE
O
C. Đường tròn tâm O�là ảnh của đường tròn   qua phép đối xứng tâm ĐF
O
D. Đường tròn tâm O�là ảnh của đường tròn   qua phép đối xứng tâm ĐB .
Dạng 2. Tìm ảnh của điểm, đường thẳng qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm bằng phương
pháp tọa độ

F : M  x; y  � M �

 y; x  .
Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phép biến hình

Chọn mệnh đề đúng:
A. F là phép đối xứng trục Oy .
B. F là phép đối xứng trục Ox .
C. F là phép đối xứng với trục đối xứng là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
D. F là phép đối xứng trục với trục là đường phân giác của góc phần tư thứ hai.
Câu 18.

(GIỮA KÌ I N HÒA HÀ NỘI 2017-2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A '(4;3)
và điểm I (1;1) ; biết A ' là ảnh của A qua phép đối xứng tâm I . Khi đó tọa độ điểm A là
A. A(5; 2) .

B. A(6;1) .

C. A(5; 2) .

D. A(6; 1) .

Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phép đối xứng trục Đa , với a là đường thẳng có phương trình:

2 x  y  0 . Lấy A  2; 2  ; Đa  A thành điểm có tọa độ bao nhiêu?
3


A.

 2;2 

�1 1 �
�; �
B. �2 2 �.

.

�2 14 �
�; �
C. �5 5 �.

14 2 �
�
� ; �
D. �5 5 �.

A 1;3
Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho 
. Tìm ảnh của A qua phép đối xứng tâm O .

A.
Câu 21.

A '  1; 3 

.

B.

A '  1;3 

.

A '  1; 3

C.

.

D.

A '  1;3

(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Trong mặt phẳng tọa độ

.

 Oxy  , tìm tọa độ

M  2; 4 
I  1; 2 
điểm M �là ảnh của điểm
qua phép đối xứng tâm
A.
Câu 22.

M�
 4; 2 

.

B.

(HKI-Chu

Văn

M�
 0;8 

An-2017)

.
Trong

M�
 0; 8

C.
mặt

phẳng

.

D.

tọa

độ

 4;8 .

Oxy

cho

ba

điểm

A  1; 2  , B  3; 4  , C  4; 3 

I 1; 2
. Phép đối xứng tâm   biến tam giác ABC thành tam giác
A ' B ' C ' . Tìm tọa độ điểm G ' là trọng tâm của tam giác A ' B ' C ' .

A.
Câu 23.

G '  3; 0 

.

B.

G '  0; 4 

.

A. 3x  2 y  1  0 .

B. 3 x  2 y  1  0 .

.

D.

G '  0;3 

.

 d  qua

phép đối xứng tâm O là đường thẳng có

C. 3x  2 y  5  0 .

D. 3x  2 y  0 .

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Phép đối xứng tâm
A 1;3
A�1; 7
biến điểm   thành điểm   . Tính tổng T  a  b .
A. T  8.

Câu 25.

G '  4;5 

(HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng

d :3 x  2 y  5  0 . Ảnh của đường thẳng
phương trình

Câu 24.

C.

B. T  4.

C. T  7.

I  a; b 

D. T  6.

(GIỮA KÌ I N HỊA HÀ NỘI 2017-2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn
(C ) :  x  2    y  5   18
2

2

C
, phép đối xứng tâm I (1; 4) biến đường tròn   thành đường thẳng

 C�
 có phương trình là
A.

(C ') :  x  4    y  13  18

C.

(C ') :  x  4    y  13  18

2

2

Câu 26.

B.

(C ') :  x  4    y  13  18

.

D.

(C ') :  x  4    y  13   18

.

2

2

.

2

2

2

.

2

(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Trong hệ tọa độ Oxy , phép đối xứng tâm là gốc

P  2;1
tọa độ O biến điểm
thành điểm P ' có tọa độ là.
A.

P '  2; 1

.

B.

P '  2;1

.

C.

P '  2; 1

.

D.

P '  1; 2 

.
4


Câu 27.

(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng
d : x  y  3  0. Xác định phương trình đường thẳng d �là ảnh của d qua phép đối xứng tâm

I  1;0 

.

: x  y 1  0 .
A. d �

Câu 28.

: x  y 1  0 .
B. d �

: x  y 1  0 .
C. d �

: x  y 1  0 .

D. d �

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy

: 2 x  y  4  0 . Qua phép đối xứng tâm I  1; 3 ,
, cho hai đường thẳng  : x  2 y  3  0 và �
điểm M trên đường thẳng  biến thành điểm N thuộc đường thẳng �
. Tính độ dài MN .
A. MN  13 .

B. MN  4 5 .

C. MN  2 13 .

D. MN  12 .

M  1;3
M '  1;1
Câu 29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm
và
.Phép đối xứng trục Đa biến
điểm M thành M ' có trục a có phương trình:

A. x  y  2  0 .

B. x  y  2  0 .

C. x  y  2  0 .

D. x  y  2  0 .

Câu 30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y  2  0 . Ảnh của d qua phép đối xứng
trục tung có phương trình:
A. x  y  2  0 .

B. x  y  2  0 .

C. x  y  2  0 .

D. x  2 y  2  0 .

Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng l : y  2  0 , d : x  2 y  2  0 . Gọi d ' là ảnh
của d qua phép đối xứng trục l . Phương trình của d ' là:
A. x  2 y  10  0 .

B. x  2 y  10  0 .

C. x  2 y  10  0 .

D. x  2 y  10  0 .

Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  : x  y  2  0 . Tìm ảnh  ' đối xứng với  qua
đường thẳng d : 3 x  y  4  0 .
A. 7 x  y  6  0 .

B. x  7 y  5  0 .

C. 7 x  y  6  0 .

D. 5 x  2 y  6  0 .

Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ảnh của đường thẳng d : x  2 y  3  0 qua phép đối xứng tâm
I  4;3

là:

A. x  2 y  17  0 .
Câu 34.

B. x  2 y  17  0 .

C. x  2 y  7  0 .

D. x  2 y  15  0 .

(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm ảnh của đường trịn
(C ) : ( x  1) 2  ( y  2) 2  4 qua phép đối xứng trục Ox .
A.

 C�
 : ( x  1)2  ( y  2)2  4 .

C.

 C�
 : ( x  1)2  ( y  2)2  4 .

B.

 C�

 : ( x  1)2  ( y  2)2  4 .

D.

 C�
 : ( x  1)2  ( y  2)2  2 .
5


Câu 35.

(HKI-Chu

 C  :  x  2

2

Văn

An-2017)

  y  3  9

Trong

mặt

phẳng

tọa

2

. Viết phương trình đường trịn

Oxy ,

độ

cho

đường

 C ' là ảnh của đường tròn  C 

tròn
qua

phép đối xứng trục Oy .

Câu 36.

 C ' :  x  2 

2

A.

 C ' :  x  2 

2

C.

  y  3  9

B.

 C ' :  x  2 

2

.

  y  2  9

D.

 C ' :  x  2 

2

.

2

2

  y  3  9

.

  y  3  4

.

2

2

(GIỮA KÌ I N HỊA HÀ NỘI 2017-2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng
 : 3 x  5 y  9  0 , phép đối xứng trục Ox biến đường thẳng  thành đường thẳng �có phương
trình là
A. 3 x  5 y  9  0 .

Câu 37.

B. 3 x  5 y  9  0 .

C. 3x  5 y  9  0 .

D. 3 x  5 y  9  0 .

(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường
tròn

 C  :  x  1

2

  y  2   4.
2

 C  thành đường trịn
Phép đối xứng trục Ox biến đường trịn

 C�
 có phương trình là
 x  1
A.

2

  y  2   4.

 x  1
B.

2

  y  2   4.

 x  1

2

  y  2   4.

 x  1

2

D.

  y  2   4.

C.

2

2

2

2

2
2
C
Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường trịn   có phương trình: x  y  4 x  5 y  1  0 . Tìm
C�
C
ảnh đường trịn   của   qua phép đối xứng trục Oy .
2
2
A. x  y  4 x  5 y  1  0 .
2
2
C. 2 x  2 y  8 x  10 y  2  0 .

2
2
B. x  y  4 x  5 y  1  0 .
2
2
D. x  y  4 x  5 y  1  0 .

2
2
C
Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường trịn   có phương trình: x  y  4 x  2 y  4  0 .
C�
C
I 1;3
Tìm ảnh đường trịn   của   qua phép đối xứng tâm   .
2
2
A. x  y  10 x  16  0 .
2
2
C. x  y  10 y  16  0 .

2
2
B. x  y  10 y  16  0 .
2
2
D. x  y  x  10 y  9  0 .

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

Dạng 1. Khai thác dịnh nghĩa, tinh chất va ứng dụng của phép đối xứng trục và đối xứng tâm.
Câu 1.

Cho đường thẳng a . Qua phép đối xứng trục a , đường thẳng nào biến thành chính nó.
A. Các đường thẳng song song với a .
B. Các đường thẳng vng góc với a .
6


0
C. Các đường thẳng hợp với a một góc 60 .
0
D. Các đường thẳng hợp với a một góc 30 .

Đáp án

B.
Lời giải:

A

l
a

A'

Giả sử l là đường thẳng vng góc với a .
D A �A�
� AA�
 a � A�

�l và ngược lại vẫn thỏa mãn � Da  l   l .
Lấy A �l và a  

Câu 2.

Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d �
. có bao nhiêu phép đối xứng trục biến đường thẳng này
thành đường thẳng kia?
A. Khơng có.

B. Một.

C. Hai.

D. Vơ số.

Lời giải:
Đáp án

C.

Có 2 phép đối xứng trục với các trục là hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt
nhau d và d �
.

Câu 3.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hình vng có vơ số trục đối xứng.
B. Hình chữ nhật có 4 trục đối xứng.

C. Tam giác đều có vơ số trục đối xứng.
D. Tam giác cân nhưng khơng đều có 1 trục đối xứng.
7


Lời giải:
Đáp án

D.

Tam giác cân nhưng khơng đều có một trục đối xứng là đường cao ứng với đỉnh của tam giác cân
đó.
Câu 4.

(GIỮA KÌ I N HỊA HÀ NỘI 2017-2018) Khẳng định nào sau đây SAI?
A. Đường trịn có trục đối xứng.
C. Đường thẳng có trục đối xứng.

B. Hình tam giác đều có trục đối xứng.
D. Hình bình hàng có trục đối xứng.
Lời giải

Chọn D

Vì:
Đường trịn có vơ số trục đối xứng là các đường thẳng đi qua tâm của nó.
Tam giác đều có ba trục đối xứng chính là ba đường cao của nó.
Đường thẳng có vơ số trục đối xứng là các đường thẳng vng góc với nó.
Hình bình hành nói chung khơng có trục đối xứng.
Câu 5.

(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d ' . Có bao
nhiêu phép đối xứng trục biến d thành d '
A. Khơng có phép đối xứng trục nào.
C. Có một phép đối xứng trục.

B. Có vơ số phép đối xứng trục.
D. Có hai phép đối xứng trục.
Lời giải

Chọn D

Hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng d và d ' là các trục đối xứng của phép
đối xứng trục biến d thành d ' , do đó có hai phép đối xứng trục thỏa mãn yêu cầu bài tốn.
Câu 6.

Hình nào dưới đây có một tâm đối xứng?
8


A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải:
Đáp án

C.

Hình C có một tâm đối xứng tại giao điểm của hai đường chéo.
Câu 7.

(HKI-Chu Văn An-2017) Cho ba điểm M , O1 , O2 . Gọi M 1 , M 2 tương ứng là ảnh của điểm M
qua các phép đối xứng tâm O1 và O2 . Khằng định nào sau đây đúng?
A.

uuuuur uuuuu
r
MM 2  O1O2

.

B.

uuuuuur
uuuuu
r
M 1M 2  2O1O2

.

C.

uuuuuur
uuuuu
r
M 1M 2  2O1O2

.

D.

uuuuur uuuuuu
r
O1M 1  O2 M 2

.

Lời giải
Chọn C
uuuuuur
uuuuu
r
O
O
MM
M
M 1M 2  2O1O2

1
2
1
2
Ta có
là đường trung bình của tam giác
nên suy ra
.

Câu 8.

(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Hình nào sau đây có vơ số tâm đối xứng?
A. Hình vng.
B. Hình trịn.
C. Đường thẳng.
D. Đoạn thẳng.
Lời giải
Chọn C
Theo định nghĩa về hình có tâm đối xứng thì chỉ có đường thẳng có vơ số tâm đối xứng. Đó là
một điểm bất kì lấy trên đường thẳng đó.

Câu 9.

Giải sử phép đối xứng tâm O biến đường thẳng d thành d1 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề
nào đúng?
A. d1 cắt d .

B. Nếu O �d thì d P d1 .

C. Nếu d qua O thì d cắt d1 .

D. d và d1 cắt nhau tại O .
Lời giải:

Đáp án B

9


A�
, B�
�d1 AB P A��
B .
Thật vậy, A, B �d . Qua phép đối xứng tâm O �d ta được ảnh là
,
Câu 10. Mệnh đề nào sau đây là sai:
A. Hình gồm hai đường thẳng cắt nhau có một tâm đối xứng.
B. Hình vng có một tâm đối xứng.
C. Hình gồm hai đường trịn bằng nhau có một tâm đối xứng.
D. Đường elip có vơ số tâm đối xứng.
Lời giải:
Đáp án D
Đường elip có một tâm đối xứng.
Câu 11.

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Hình nào dưới đây có tâm
đối xứng?
A. Hình thang.

B. Hình trịn.

C. Tam giác bất kì.
Lời giải

D. Parabol.

Chọn B
Tâm đối xứng của hình trịn là tâm của hình trịn đó.
Câu 12.

(HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Cho hình vng ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung
Ð
điểm của AB , CD . Kí hiệu d là phép đối xứng trục qua đường thẳng d . Khẳng định nào sau
đây sai?
A.

ÐAC  B   A

.

B.

ÐBD  A   C

.

Ð  B  A
C. MN
.
Lời giải

D.

ÐMN  D   C

.

Chọn A

10


Vì AB khơng vng góc với AC .

A
B
Câu 13. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng phía với d . Gọi 1 đối xứng với A , 1 đối
xứng với B qua d . M là điểm trên d thỏa mãn MA  MB nhỏ nhất. Chọn mệnh đề sai:
A. Góc giữa AM và d bằng góc giữa BM và d .

AB
B. M là giao điểm của 1 và d .
AB1
C. M là giao điểm của
và d .
D. M là giao điểm của AB và d .
Lời giải:
Đáp án D

Với

N �d : A1 N  BN �A1 B

do

A1 N  AN , A1M  AM

� AN  BN  A1 N  BN �A1 B  A1M  MB  AM  MB

.

A B �d
Đẳng thức xảy ra khi M �N . Vậy 1
.
Câu 14. Với mọi tứ giác ABCD , kí hiệu S là diện tích tứ giác ABCD . Chọn mệnh đề đúng:

A.

S

1
 AB.CD  BC. AD 
2

1
S �  AB.CD  BC . AD 
2
B.

11

1
S �  AB.CD  BC. AD 
2
C. S  AB.CD  BC. AD D.
.

Lời giải:
Đáp án

B.

Sử dụng phép đối xứng trục qua đường trung trực AC

S ABC

1
AB. AC
2
. Gọi D�đối xứng với

D qua trung trực của AC � S ABCD  S ABCD� S BAD� S BCD�

1
1
S ABD�� AB. AD�S BCD�� BC.CD�
2
2
Do

,


SABCD

1
1
1
AB. AD� BC.CD�  AB.CD  BC. AD 
2
2
2

S ,S
Câu 15. Cho hai điểm A, B phân biệt. Gọi A B là phép đối xứng qua A, B . Với điểm M bất kì, gọi
M1  S A  M  M 2  SB  M1 
M
,
. Gọi F là phép biến hình biến M thành 2 . Chọn mệnh đề đúng:

A. F không là phép dời hình

B. F là phép đối xứng trục.

C. F là phép đối xứng tâm.

D. F là phép tịnh tiến.
Lời giải:

Đáp án D

uuur uuuur uuuur uuuur
Ta có: MA  AM 1 , M 1B  BM 2 .

12


uuuuu
r uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur
uuuur
uuuur
uuu
r
MM 1  MA  AM 1  M 1 B  BM 2  AM 1  AM 1  M 1 B  M 1B  2 AM 1  2 M1 B  2 AB

uuu
r
phép tịnh tiến theo vectơ 2AB .

. Vậy F là

Câu 16. Cho ABC và đường tròn tâm O . Trên đoạn AB , lấy điểm E sao cho BE  2 AE , F là trung
O
điểm của AC và I là đỉnh thứ tư của hình bình hành AEIF . Với mỗi điểm P trên   ta dựng
uur
uuu
r uuu
r
uur
Q

PA

2
PB

3
PC

6
IQ . Khi đó tập hợp điểm Q khi P thay đổi là:
điểm
sao cho
O
Đ
A. Đường tròn tâm O�là ảnh của đường tròn   qua I .
O
B. Đường tròn tâm O�là ảnh của đường tròn   qua ĐE
O
C. Đường tròn tâm O�là ảnh của đường tròn   qua phép đối xứng tâm ĐF
O
D. Đường tròn tâm O�là ảnh của đường tròn   qua phép đối xứng tâm ĐB .

Lời giải:
Đáp án A

uuu
r uuu
r uuur r
KA


2
KB
 3KC  0 .
K
Gọi
là điểm xác định bởi
uuur 1 uuu
r 1 uuur
uuu
r
uuu
r uuu
r
uuu
r uuur r
KA  2 KA  AB  3 KA  AC  0 � AK  AB  AC
3
2
Khi đó
.



 



uur uuu
r uuur 1 uuu
r 1 uuur

AI  AE  AF  AB  AC
3
2
Mặt khác AEIF là hình bình hành nên
nên K �I .
uuur uuu
r uuu
r uuur
uur
uuur uur
uur uur
� 6 PK  KA  2 KB  3KC  6 IQ � PK  IQ
Từ giả thiết
hay PI  IQ





� ĐI  P   Q �
O
O�
O
khi P di động trên   thì Q di động trên đường   là ảnh của   qua
phép đối xứng tâm I .

Dạng 2. Tìm ảnh của điểm, đường thẳng qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm bằng phương
pháp tọa độ
F : M  x; y  � M �
 y; x  .

Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phép biến hình

Chọn mệnh đề đúng:
A. F là phép đối xứng trục Oy .
B. F là phép đối xứng trục Ox .
C. F là phép đối xứng với trục đối xứng là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
D. F là phép đối xứng trục với trục là đường phân giác của góc phần tư thứ hai.
13


Lời giải:
Đáp án C

Câu 18.

(GIỮA KÌ I N HỊA HÀ NỘI 2017-2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A '(4;3)
và điểm I (1;1) ; biết A ' là ảnh của A qua phép đối xứng tâm I . Khi đó tọa độ điểm A là
A. A(5; 2) .

B. A(6;1) .

C. A(5; 2) .
Lời giải

D. A(6; 1) .

Chọn B
Vì A ' là ảnh của A qua phép đối xứng tâm I nên I là trung điểm của AA' .

Vậy

�x A  x A '  2.xI
� A(6;1)
�
y

y

2.
y
�A
A'
I

.

Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phép đối xứng trục Đa , với a là đường thẳng có phương trình:

2 x  y  0 . Lấy A  2; 2  ; Đa  A  thành điểm có tọa độ bao nhiêu?

A.

 2;2  .

�1 1 �
�; �
B. �2 2 �.

�2 14 �
�; �

C. �5 5 �.

14 2 �
�
� ; �
D. �5 5 �.

Lời giải:
Đáp án C

D
Ta có a 
r
n   2; 1

�x  2 y  2 �
AA�
�H�
;
�
A   A�
 x; y  . Gọi H là trung điểm
2 �
�2

r
uuur
là vectơ pháp tuyến của a , AA ' và n cùng phương và H �a
14

� 2
x
�
�
 x  2  .1  2  y  2   0
� 5
�
��
�� x2 y2
�x  2 y  6
�y  14
�

0
�
�2.
2 x  y  2
� 5
� 2
2
�
A 1;3
Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho 
. Tìm ảnh của A qua phép đối xứng tâm O .

A.

A '  1; 3 

.

B.

A '  1;3 

.

C.

A '  1; 3

.

D.

A '  1;3

.

Lời giải:
Đáp án C
�x '  1
ĐO  A  A ' � �
� A '  1; 3
y


3
�

Ta có:
.
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phép đối xứng tâm I biến
tọa độ là:
I 6; 4 
I 4; 2 
I 12;8 
A. 
.
B. 
.
C. 
.

A  1;3 

thành

D.

A '  5;1

I  3; 2 

thì I có

.

Lời giải:
Đáp án D

Câu 21.

(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Trong mặt phẳng tọa độ

 Oxy  , tìm tọa độ

M  2; 4 
I  1; 2 
điểm M �là ảnh của điểm
qua phép đối xứng tâm
A.

M�
 4; 2 

.

B.

M�
 0;8 

.

M�
 0; 8 .
C.
Lời giải

D.

 4;8 .

Chọn C

uuuu
r
uuur
  IM � I là trung điểm của MM �
M �là ảnh của M qua phéo đối xứng tâm I  1; 2  � IM �
�x � 2 xI  xM  0
�� M
�yM � 2 xI  yM  8
Câu 22.

(HKI-Chu

Văn

An-2017)

Trong

mặt

phẳng

tọa

độ

Oxy

cho

ba

điểm

A  1; 2  , B  3; 4  , C  4; 3 

I 1; 2
. Phép đối xứng tâm   biến tam giác ABC thành tam giác
A ' B ' C ' . Tìm tọa độ điểm G ' là trọng tâm của tam giác A ' B ' C ' .

A.

G '  3; 0 

.

B.

G '  0; 4 

.

G ' 4;5 
C. 
.

Lời giải

D.

G '  0;3 

.

Chọn D
15


Câu 23.

Ta có

G '  DI  G 

Ta có

G  2;1 � G '  1.2  2; 2.2  1   0;3

với G là trọng tâm tam giác ABC .
. Hay

G '  0;3

.

(HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng

d :3 x  2 y  5  0 . Ảnh của đường thẳng
phương trình

 d  qua

A. 3x  2 y  1  0 .

C. 3x  2 y  5  0 .
Lời giải

B. 3x  2 y  1  0 .

phép đối xứng tâm O là đường thẳng có
D. 3x  2 y  0 .

Chọn C
Gọi

M  x; y  � d  � 3x  2 y  5  0  1

Gọi

M�
; y�
 x�


Ta có:

.

là ảnh của điểm M qua phép đối xứng tâm O .

ÐO  M   M '

nên theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O :

 x
�x�
�x   x�
��
�
 y
�y�
�y   y�
.
Thay vào

Câu 24.

 1

ta được:

3   x�
  2   y�
  5  0 � 3x� 2 y� 5  0

.

Gọi ảnh của đường thẳng

 d  qua phép đối xứng tâm O

Vậy ảnh của đường thẳng

 d  qua phép đối xứng tâm O là  d �
 :3x  2 y  5  0 .

là

 d�
 thì

M�
; y�
 x�
 � d �


(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Phép đối xứng tâm
A 1;3
A�1; 7
biến điểm   thành điểm   . Tính tổng T  a  b .
A. T  8.

B. T  4.

C. T  7.
Lời giải

I  a; b 

D. T  6.

Chọn D
I a; b 
A 1;3
A�1; 7
Phép đối xứng tâm 
biến điểm   thành   nên ta có I là trung điểm của đoạn
thẳng AA�
.
x  xA '
�
� 11
xI  A
�
�xI  2  1
�
�
2
��
�
y

y
A
A
'

�y 
�y  3  7  5
I
I 1;5 � a  1; b  5 � T  a  b  1  5  6
�I
�
2
2
Do đó:
. Vậy  
.

16


Câu 25.

(GIỮA KÌ I N HỊA HÀ NỘI 2017-2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn
(C ) :  x  2    y  5   18
2

2

C
, phép đối xứng tâm I (1; 4) biến đường trịn   thành đường thẳng

 C�
 có phương trình là
A.

(C ') :  x  4    y  13  18

C.

(C ') :  x  4    y  13  18

2

2

2

(C ') :  x  4    y  13  18
2

.

B.

2

.

(C ') :  x  4    y  13   18
D.
.
Lời giải

2

2

.

2

Chọn C
Gọi M ( x, y ) �(C ), M '( x ', y ') �(C ') sao cho Đ I (M)  M'.
�x ' x  2
�x   x ' 2
��
�
�y ' y  8 �y   y ' 8
Do đó I là trung điểm của MM ' nên
M �(C ) :  x  2    y  5   18 �   x ' 2  2     y ' 8  5   18
2

Mà

2

2

2

�  x ' 4    y ' 13  18.
2

2

(C ') :  x  4    y  13  18
2

Vậy
Câu 26.

2

.

(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Trong hệ tọa độ Oxy , phép đối xứng tâm là gốc

P  2;1
tọa độ O biến điểm
thành điểm P ' có tọa độ là.
A.

P '  2; 1

.

B.

P '  2;1

.

P '  2; 1
C.
.

Lời giải

D.

P '  1; 2 

.

Chọn C

P  2;1
� P '  2; 1
Phép đối xứng tâm O biến điểm
thành điểm P ' � O là trung điểm PP '
Câu 27.

(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng
d : x  y  3  0. Xác định phương trình đường thẳng d �là ảnh của d qua phép đối xứng tâm

I  1;0 

.

: x  y 1  0 .
A. d �

: x  y 1  0 .
B. d �

: x  y 1  0 .

C. d �
Lời giải

: x  y 1  0 .
D. d �

Chọn C
: x  y  m  0.
/ / d nên phương trình d �
Vì I �d � d �
17


Lấy

A  3;0  �d

. Gọi A�là ảnh của A qua phép đối xứng tâm I . Ta có:

�x A� 2 xI  x A
�x A� 1
��
� A�
  1;0 
�
y

2
y


y
y

0
� A�
I
A
� A�

.

�d �nên 1  0  m  0 � m  1� d �
: x  y  1  0.
Vì A�

Câu 28.

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy

: 2 x  y  4  0 . Qua phép đối xứng tâm I  1; 3 ,
, cho hai đường thẳng  : x  2 y  3  0 và �
điểm M trên đường thẳng  biến thành điểm N thuộc đường thẳng �
. Tính độ dài MN .
B. MN  4 5 .

A. MN  13 .

C. MN  2 13 .
Lời giải

D. MN  12 .

Chọn C
M  a; b  �
� M  3  2b; b 
Gọi
. Ta có: a  2b  3  0 � a  3  2b
.
�xM  xN  2 xI
�
I  1; 3
y  y N  2 yI � N  2b  1; b  6 
MN
Vì điểm
là trung điểm của đoạn thẳng
nên � M
.
2  2b  1  6  b  4  0 � b  0 � M  3;0  N  1;6 
Cho N ��ta có:
,
. Vậy MN  2 13 .
M  1;3
M '  1;1
Câu 29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm
và
.Phép đối xứng trục Đa biến
điểm M thành M ' có trục a có phương trình:

B. x  y  2  0 .

A. x  y  2  0 .

C. x  y  2  0 .

D. x  y  2  0 .

Lời giải:
Đáp án D

Ta có: a là trung trực của MM '
Gọi

A  x; y  �a � AM 2  AM '2

�  x  1   y  3   x  1   y  1 � x  y  2  0
2

2

2

2

Câu 30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y  2  0 . Ảnh của d qua phép đối xứng
trục tung có phương trình:
18


A. x  y  2  0 .

B. x  y  2  0 .

C. x  y  2  0 .

D. x  2 y  2  0 .

Lời giải:
Đáp án B
Lấy

M  x; y  � M '   x; y 

đối xứng với M qua Oy .

Vậy ảnh của d qua phép đối xứng trục tung là:

x  y  2  0 � x  y  2  0
Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng l : y  2  0 , d : x  2 y  2  0 . Gọi d ' là ảnh
của d qua phép đối xứng trục l . Phương trình của d ' là:
A. x  2 y  10  0 .

B. x  2 y  10  0 .

C. x  2 y  10  0 .

D. x  2 y  10  0 .

Lời giải:
Đáp án A

Lấy

M  x; y 

M  x1 ; y1 
qua phép đối xứng trục l là
.

Với

�x1  x
�x  x
�� 1
�
�y1  4  y
�y  4  y1

M �d � x  2 y  2  0 � x1  2 y1  10  0
� M ' �d ' có phương trình x  2 y  10  0
Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  : x  y  2  0 . Tìm ảnh  ' đối xứng với  qua
đường thẳng d : 3 x  y  4  0 .
A. 7 x  y  6  0 .

B. x  7 y  5  0 .

C. 7 x  y  6  0 .

D. 5 x  2 y  6  0 .

Lời giải:

Đáp án A

19


�x  y  2  0
�x  1
��
�  �d  M  1;1
�
3
x

y

4

0
y

1
�
�
Xét hệ phương trình:
�4 2 �
N '� ;  �
N 2; 0  �
�5 5 �
Chọn 
. Gọi N ' là ảnh của N qua Đd ta tìm được

uuuuur �1 7 � r
� N ' M  � ; �� n   7; 1
�5 5 �
là vectơ pháp tuyến của  ' .

Vậy phương trình đường thẳng  ' là: 7 x  y  6  0
Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ảnh của đường thẳng d : x  2 y  3  0 qua phép đối xứng tâm
I  4;3

là:

A. x  2 y  17  0 .

B. x  2 y  17  0 .

C. x  2 y  7  0 .

D. x  2 y  15  0 .

Lời giải:
Đáp án

A.

Sử dụng phương pháp quỹ tích, ta có:

 8 x
�x�
�x  8  x�
Ðd : M  x; y  � M �

;y  ��
��
 x��
 6  y �y  6  y�
�y�
8  x�
 2  6  y�
 2 y�
 17  0 � x�
 2 y  17  0.
  3  0 �  x�
Thế vào phương trình d ta có:

Câu 34.

(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm ảnh của đường tròn
(C ) : ( x  1) 2  ( y  2) 2  4 qua phép đối xứng trục Ox .
C�
: ( x  1) 2  ( y  2) 2  4


A.
.

C�
: ( x  1) 2  ( y  2) 2  4


C.
.

 C�
 : ( x  1)2  ( y  2)2  4 .

C �: ( x  1) 2  ( y  2) 2  2
D.  
.
Lời giải.

B.

Chọn C
Đường trịn (C ) có tâm I (1; 2), R  2 .
20


DOx ( I )  I �
(1; 2)

Gọi

.

 C�
 là ảnh của (C )

C�
(1; 2), R �
 R  2.
qua phép đối xứng trục Ox , khi đó   có tâm I �

Vậy phương trình đường trịn
Câu 35.

(HKI-Chu

 C  :  x  2

2

Văn

 C�
 : ( x  1)2  ( y  2)2  4 .

An-2017)

  y  3  9

Trong

mặt

phẳng

2

. Viết phương trình đường tròn

tọa

độ

Oxy ,

cho

đường

 C ' là ảnh của đường tròn  C 

tròn
qua

phép đối xứng trục Oy .

 C ' :  x  2 
A.

2

  y  3  9

 C ' :  x  2 

2

  y  2  9

C.

 C ' :  x  2 
B.

2

.

2

2

  y  3  9
2

.

.

 C ' :  x  2    y  3  4 .
D.
Lời giải
2

2

Chọn A
Đường trịn có tâm
Ảnh của tâm

I  2; 3

I  2; 3

; bán kính R  3 .

I '  2; 3 
qua trục Oy là
.

 C ' :  x  2    y  3  9 .
Do đó ảnh của đường trịn qua trục Oy là
2

Câu 36.

2

(GIỮA KÌ I YÊN HÒA HÀ NỘI 2017-2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng
 : 3 x  5 y  9  0 , phép đối xứng trục Ox biến đường thẳng  thành đường thẳng �có phương
trình là
A. 3 x  5 y  9  0 .

B. 3 x  5 y  9  0 .

C. 3x  5 y  9  0 .
Lời giải

D. 3 x  5 y  9  0 .

Chọn C
Giả sử

M  x; y 

M '  x '; y '   §Ox  M 
là điểm bất kì thuộc  ,
.

�x '  x
�x  x '
��
�
�y   y ' .
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Ox là: �y '   y
Do đó

M  x ';  y '

3x ' 5   y '   9  0 � 3x ' 5 y ' 9  0
, vì M � nên:

 *

M '  x '; y ' 
*
Vì tọa độ điểm
thỏa mãn phương trình   , mà khi M thay đổi thì M ' chạy trên
đường thẳng  ' là ảnh của đưởng thẳng  qua phép đối xứng trục Ox , do đó phương trình
đường thẳng  ' là 3 x  5 y  9  0 .

21


Câu 37.

(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường
tròn

 C  :  x  1

2

 C  thành đường tròn
Phép đối xứng trục Ox biến đường tròn

  y  2   4.
2

 C�
 có phương trình là
 x  1
A.

2

  y  2   4.

 x  1
B.

2

  y  2   4.

 x  1

2

  y  2   4.

 x  1
D.

2

  y  2   4.

C.

2

2

2

2

Lời giải
Chọn C

Đường trịn

 C

có tâm

I  1;  2 

và bán kính R  2.

 C  thành đường trịn  C �
.
Phép đối xứng trục Ox biến đường tròn
Khi đó đường trịn

 C�
 có tâm

Vậy phương trình đường trịn

  1; 2 
, với I '  ĐOx  I  � I �
 R  2.
I �và bán kính R�
và R�

 C�
 là:  x  1 2   y  2  2  4.

2

2
C
Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn   có phương trình: x  y  4 x  5 y  1  0 . Tìm
C�
C
ảnh đường tròn   của   qua phép đối xứng trục Oy .
2
2
A. x  y  4 x  5 y  1  0 .

2
2
B. x  y  4 x  5 y  1  0 .

2
2
C. 2 x  2 y  8 x  10 y  2  0 .

2
2
D. x  y  4 x  5 y  1  0 .

Lời giải:
Đáp án

B.

Phương pháp quỹ tích: từ biểu thức tọa độ

ÐOy : M  x; y  � M �

; y�
 x�
 � C �


�x   x�
2
2
��
�   x�
  y�
 4 x�
 5 y�
1  0


�y  y�
.
Vậy phương trình đường trịn

 C�
 là

x2  y2  4 x  5 y  1  0 .

2
2
C
Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường trịn   có phương trình: x  y  4 x  2 y  4  0 .
C�

C
I 1;3
Tìm ảnh đường trịn   của   qua phép đối xứng tâm   .

22


2
2
A. x  y  10 x  16  0 .

2
2
B. x  y  10 y  16  0 .

2
2
C. x  y  10 y  16  0 .

2
2
D. x  y  x  10 y  9  0 .

Lời giải:
Đáp án
Cách 1:

C.
ÐI   C     C �
:

Với mọi

M  x; y 

qua phép đối xứng tâm I ta được

 2x  x  2  x
�x�
�x  2  x�
M�
; y  � C �
��
 x��
 � �� I
C
�y  6  y�
�y  2 y I  y  6  y
. Thế vào   ta có:

 2  x�
   6  y�
  4  2  x�
  2  6  y�
  4  0 �  x�
   y�
  10 y� 16  0
2

Vậy đường tròn

2

 C�
:

Cách 2: Đường tròn
Vậy đường tròn

2

x 2  y 2  10 y  16  0 .

 C

 C�
:

2

có tâm

M  2;1

Ð M  M�
� M�
 0;5 .
, bán kính R  3 , I  

x 2  y 2  10 y  16  0 .

23