Dạy thêm toán 11 1H2 2 HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

TOÁN 11

HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

1H2-2
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1.

(Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Cho ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một theo ba
d1 , d 2 , d 3
d1
d2
d2
d3
giao tuyến
trong đó
song song với . Khi đó vị trí tương đối của
và
là?
A. Chéo nhau.
B. Cắt nhau.
C. Song song.
D. trùng nhau.

Câu 2.

(Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng khơng có điểm chung thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng chéo nhau thì khơng có điểm chung.
C. Hai đường thẳng khơng song song thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.

Câu 3.

Câu 4.

(α)
(β)
(β)
a
a
Cho đường thẳng song song với mặt phẳng
. Nếu
chứa và cắt
theo giao tuyến
b
a
b
là thì và là hai đường thẳng
A. cắt nhau.
B. trùng nhau.
C. chéo nhau.
D. song song với nhau.
ABCD
Cho hình tứ diện
. Khẳng định nào sau đây đúng?
CD
CD
AB
AB
A.

và
cắt nhau.
B.
và
chéo nhau.
CD
CD
AB
AB
C.
và
song song.
D. Tồn tại một mặt phẳng chứa
và
.

Câu 5.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hai đường thẳng khơng có điểm chung thì chéo nhau
B. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song
C. Hai đường thẳng khơng cùng nằm trên một mặt phẳng thì chéo nhau
D. Hai đường thẳng khơng có điểm chung thì song song với nhau

Câu 6.

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Cho hai đường thẳng chéo
a
a
b

C D
b
A B
nhau và . Lấy ,
thuộc và ,
thuộc . Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về hai
BC
AD
đường thẳng
và
?
A. Cắt nhau.
B. Song song nhau.
C. Có thể song song hoặc cắt nhau.
D. Chéo nhau.

Câu 7.

a b c
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt , ,
a
b
trong đó song song với . Khẳng định nào sau đây sai?
a
b
A. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng
và .
b
c
a

c
B. Nếu song song với thì song song với .
b
a
a b
A
B
AB
C. Nếu điểm
thuộc và điểm
thuộc thì ba đường thẳng , và
cùng ở trên một
mặt phẳng.
1


D. Nếu
Câu 8.

Câu 9.

c

cắt

a

thì

c

cắt

b

.

mp ( P )
a
(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho đường thẳng
nằm trên
, đường
( P) O O
b
b
a
a
thẳng cắt
tại
và
khơng thuộc . Vị trí tương đối của và là
A. chéo nhau.
B. cắt nhau.
C. song song với nhau. D. trùng nhau.
Cho hai đường thẳng
đây đúng?
b
c
A. và song song.
b

c
C. và cắt nhau.

a, b

B.
D.

chéo nhau. Một đường thẳng

b

b

và
và

c
c

c

song song với

a

. Khẳng định nào sau

chéo nhau hoặc cắt nhau
chéo nhau.

a b
a
b
M
,
và điểm
không thuộc
cũng khơng thuộc . Có
a
b
M
nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng đi qua
và đồng thời cắt cả và ?
3
4
2
1
A. .
B. .
C. .
D. .
a
Câu 11. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Trong không gian cho đường thẳng
chứa
( P)
( P)
b
trong mặt phẳng
và đường thẳng song song với mặt phẳng

. Mệnh đề nào sau đây là
đúng?
a // b
a b
A.
.
B. , khơng có điểm chung.
a b
a b
C. , cắt nhau.
D. , chéo nhau.
Câu 10.

Câu 12.

Cho hai đường thẳng chéo nhau

(THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Trong khơng gian hai đường thẳng khơng có điểm chung thì chéo nhau.
B. Trong khơng gian hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.
C. Trong khơng gian hai đường thẳng phân biệt khơng song song thì chéo nhau.
D. Trong khơng gian hai đường chéo nhau thì khơng có điểm chung.
DẠNG 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

Câu 13.

Câu 14.

M,N
ABC , ABD

ABCD
Cho tứ diện
và
lần lượt là trọng tâm của tam giác
. Khẳng định nào
sau đây là đúng?
MN / /CD
MN / / AD
MN / / BD
MN / /CA
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
S.ABCD
(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Cho hình chóp
đáy là hình bình
SC
hành tâm O, I là trung điểm của
, xét các mệnh đề:
IO
SA
(I) Đường thẳng
song song với
.
( IBD )

S . ABCD
(II) Mặt phẳng
cắt hình chóp
theo thiết diện là một tứ giác.
2


(III) Giao điểm của đường thẳng

AI

( SBD )

với mặt phẳng
là trọng tâm của tam giác
( IBD ) ( SAC ) IO
(IV) Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là
.
Số mệnh đề đúng trong các mệnh để trên là
A. 2.
B. 4.
C. 3.
D. 1.
Câu 15.

Câu 16.

( SBD )

.

ABCD
J
∆ABC
I
∆ABD
Cho tứ diện
. Gọi và lần lượt là trọng tâm
và
. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
IJ
IJ
CD
AB
A.
song song với
.
B.
song song với
.
IJ
IJ
CD
AB
C.
chéo nhau với
.

D.
cắt
.

S . ABCD
ABCD
(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Cho hình chóp
có đáy
là
′
G
G
SAB
AD
=
2
BC
AD
hình thang với đáy lớn
,
. Gọi
và
lần lượt là trọng tâm tam giác
và
SAD. GG′
song song với đường thẳng
AC
SC
BD
AB

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

ABCD
G
E
Câu 17. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện
. Gọi
và
lần lượt là trọng
ABC
ABD
tâm của tam giác
và
. Mệnh đề nào dưới đây đúng
GE
CD
GE //CD
A.
và
chéo nhau.
B.
.
GE

GE
CD
AD
C.
cắt
.
D.
cắt
.
Câu 18.

ABCD
M
(THPT GANG THÉP - LẦN 3 - 2018) Cho hình tứ diện
, lấy điểm
tùy ý trên cạnh
( P)
( ABC )
AD ( M ≠ A, D )
M
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
song song với mặt phẳng
lần lượt cắt
N P
BD DC
,
tại , . Khẳng định nào sau đây sai?
MP // ( ABC )
MN //AC

MP //AC
NP //BC
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

I, J
ABC , ABD
ABCD
Câu 19. Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trọng tâm của các tam giác
. Đường thẳng
IJ
song song với đường thẳng:
CM
AC
M
BD
A.
trong đó
là trung điểm
.
B.
.

CD
DB
C.
.
D.
.

3


Câu 20.

S . ABCD
ABCD
(HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Cho hình chóp
có đáy
là
M,N
∆SAB; ∆SCD
hình chữ nhật. Gọi
theo thứ tự là trọng tâm
. Gọi I là giao điểm của các
SI
BM ; CN
CD
đường thẳng
. Khi đó tỉ số
bằng
1
2

3
2
3
2
1
A.
B. .
C.
D. .

ABCD P Q
BC
AB CD
R
Câu 21. Cho tứ diện
. ,
lần lượt là trung điểm của
,
. Điểm
nằm trên cạnh
( PQR )
BR = 2RC
S
AD
sao cho
. Gọi là giao điểm của mặt phẳng
và
. Khi đó

A.

Câu 22.

Câu 23.

Câu 24.

Câu 25.

SA = 3SD

.

B.

SA = 2SD

.

C.

SA = SD

.

D.

2 SA = 3SD

.

S . ABCD
N
(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Gọi
là
SC
G
M
B
A
trung điểm của cạnh
. Lấy điểm
đối xứng với
qua . Gọi giao điểm
của đường
GM
( SAD )
MN
GN
thẳng
với mặt phẳng
. Tính tỉ số
.
1
1
3
2
3
2
A. .

B. .
C. .
D. .
ABCD

P, Q

(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Cho tứ diện
. Các điểm
lần
CD
BC
BR = 2 RC
S
AB
R
lượt là trung điểm của
và
; điểm
nằm trên cạnh
sao cho
. Gọi
là
SA
mp ( PQR )
SD
AD
giao điểm của
và cạnh
. Tính tỉ số

.
7
5
3
3
3
2
2
A. .
B. .
C. .
D. .
P , Q, R

ABCD

AB CD BC
Cho tứ diện
. Lấy ba điểm
lần lượt trên ba cạnh
,
,
sao cho
( PQR ) S
CQ = 2QD
PR //AC
AD
và
. Gọi giao điểm của đường thẳng
và mặt phẳng

là . Khẳng
định nào dưới đây là đúng?
AS = 3DS
AD = 3DS
AD = 2 DS
AS = DS
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

ABCD

K, L

BC N
.
là điểm thuộc đoạn
PA
(
KLN
)
CD
CN = 2 ND
PD
P

AD
sao cho
. Gọi
là giao điểm của
với mặt phẳng
. Tính tỉ số
Cho tứ diện

. Gọi

lần lượt là trung điểm của

AB

và

4


A.
Câu 26.

Câu 27.

Câu 28.

PA 1
=
PD 2

.

B.

PA 2
=
PD 3

.

C.

PA 3
=
PD 2

.

D.

PA
=2
PD

.

ABCD M
BC
(THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện
,

là điểm thuộc
sao
Q
MC = 2MB
N P
BD
AD
cho
. Gọi
,
lần lượt là trung điểm của
và
. Điểm
là giao điểm của
QC
( MNP )
QA
AC
với
. Tính
.
QC 3
QC 5
QC
QC 1
=
=
=2
=
QA 2

QA 2
QA
QA 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
S . ABCD
(CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Gọi
G
SBD
M N
AB AD
,
lần lượt là trung điểm của
,
và
là trọng tâm tam giác
. Mặt phẳng
SH
( MNG )
SC
SC
H
cắt

tại điểm . Tính
2
1
1
2
5
4
3
3
A. .
B. .
C. .
D. .

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Cho hình chóp S . ABC . Bên
trong tam giác ABC ta lấy một điểm O bất kỳ. Từ O ta dựng các đường thẳng lần lượt song

SBC ) , ( SCA ) , ( SAB )
song với SA, SB, SC và cắt các mặt phẳng (
theo thứ tự tại A′, B′, C ′ . Khi đó
tổng tỉ số
A. T = 3 .

T=

OA ' OB ' OC '
+
+
SA
SB

SC bằng bao nhiêu?

B.

T=

3
4.

C. T = 1 .

D.

T=

1
3.

DẠNG 3. SỬ DỤNG YẾU TỐ SONG SONG ĐỂ TÌM GIAO TUYẾN

Câu 29.

Câu 30.

S . ABCD
(THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành.
( SAB ) ( SCD )
Giao tuyến của
và

là
S
S
CD
AD
A. Đường thẳng qua và song song với
. B. Đường thẳng qua và song song với
.
SO
O
S
AB
C. Đường
với
là tâm hình bình hành.
D. Đường thẳng qua và cắt
.
(HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Cho
Mệnh đề nào sau đây sai?

S . ABCD

có đáy là hình bình hành.

5


A.

( SAD ) I ( SBC )

là đường thẳng qua
( SAB ) I ( SAD ) = SA
B.
.
( SBC ) P AD
C.
.
SA
CD
D.
và
chéo nhau.
Câu 31.

Câu 32.

Câu 33.

S

và song song với

AC

.

S . ABCD
(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho hình chóp
có đáy là hình bình

J
CB
I
AB
hành. Gọi ,
lần lượt là trung điểm của
và
. Khi đó giao tuyến của 2 mặt phẳng
( SAB ) ( SCD )
và
là đường thẳng song song với
IJ
BJ
AD
BI
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

( ABCD )
d
có mặt đáy
là hình bình hành. Gọi đường thẳng
là giao
( SAD ) ( SBC )

tuyến của hai mặt phẳng
và
. Khẳng định nào sau đây đúng?
d
S
AB
A. Đường thẳng đi qua và song song với
.
d
S
DC
B. Đường thẳng đi qua và song song với
.
d
S
BC
C. Đường thẳng đi qua và song song với
.
d
S
BD
D. Đường thẳng đi qua và song song với
.
Cho hình chóp

S . ABCD

S . ABCD
(HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Cho chóp
đáy là hình thang ( đáy

AB,
I, K
AD, BC . G
CD
lớn
đáy nhỏ
). Gọi
lần lượt là trung điểm của
là trọng tâm tam giác
( IKG ) ( SAB )
SAB
2
. Khi đó giao tuyến của mặt phẳng
và
là?
( IKG ) ( SAB )
AB, IK
S
A. Giao tuyến của 2 mặt phẳng
và
là đường thẳng đi qua và song song
( IKG ) ( SAB )
S
AD
B. Giao tuyến của 2 mặt phẳng
và
là đường thẳng đi qua và song song
.
( IKG ) ( SAB )
G

CB
C. Giao tuyến của 2 mặt phẳng
và
là đường thẳng đi qua
và song song
.
( IKG ) ( SAB )
AB, IK
G
D. Giao tuyến của 2 mặt phẳng
và
là đường thẳng đi qua
và song song
.

6


Câu 34.

Câu 35.

Câu 36.

Câu 37.

S . ABCD

ABCD

( AB //CD )

(HKI-Chu Văn An-2017) Cho hình chóp
có đáy là hình thang
.
( SAB )
E, F
BC
AD
Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
( SCD )
là
S
SC
AB
A. Đường thẳng đi qua và qua giao điểm của cặp đường thẳng
và
.
S
AD
B. Đường thẳng đi qua và song song với
.
S
AF
C. Đường thẳng đi qua và song song với
.

S
EF
D. Đường thẳng đi qua và song song với
.

Cho hình chóp

có đáy

S . ABCD

ABCD

( AB //CD )

M N
P
. Gọi
,
và
lần lượt là
( SAB ) ( MNP )
BC AD
SA
trung điểm của
,
và
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là

SC
M
A. đường thẳng qua
và song song với
.
P
AB
B. đường thẳng qua
và song song với
.
PM
C. đường thẳng
.
S
AB
D. đường thẳng qua và song song với
.

Cho tứ diện

S .ABCD

ABCD

Cho hình chóp
( SBC )
là

A. Đường thẳng đi qua
B. Đường thẳng đi qua

C. Đường thẳng đi qua
D. Đường thẳng đi qua

S
S

S
S

có đáy

là hình thang

( AB // CD )

ABCD

và song song với
và song song với
và song song với
và song song với

là hình thang,

AB

CD

AC

. Gọi

I

AD // BC.

,

J

lần lượt là trung
( SAB ) ( IJG )
BC G
∆SAB
AD
điểm của
và
,
là trọng tâm
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là
S
G
DC
AB
A. đường thẳng qua và song song với
. B. đường thẳng qua
và song song với
.

SC
G
BC
C.
.
D. đường thẳng qua
và cắt
.

S . ABCD

có đáy

là hình thang

Giao tuyến của

( SAD )

và

.
.
.

AD

7

S . ABCD

ABCD

Câu 38. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Cho hình chóp
, đáy
là hình bình
( SAD )
( SBC )
hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là đường thẳng song song với đường
thẳng nào sau đây?
AC
DC
AD
BD
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
DẠNG 4. SỬ DỤNG YẾU TỐ SONG SONG TÌM THIẾT DIỆN

S . ABCD
ABCD
Câu 39. Cho hình chóp

, đáy
là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA. Thiết diện
( MCD )
S . ABCD
của mặt phẳng
với hình chóp
là hình gì?
A. Tam giác.
B. Hình bình hành.
C. Hình thang.
D. Hình thoi.
Câu 40.

AD //BC AD = 2 BC M

hình thang,
,
.
chóp theo thiết diện là
A. Hình bình hành.
B. Tam giác.
Câu 41.

S . ABCD

(THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
là trung điểm của

SA

. Mặt phẳng

C. Hình chữ nhật.

có đáy

ABCD

( MBC )

là

cắt hình

D. Hình thang.

(SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AD lần lượt lấy các
AM AN 1
=
=
AB AD 3
điểm M, N sao cho
.Gọi P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh CD, CB. Khẳng định
nào sau đây là đúng
A. Tứ giác MNPQ là hình bình hành.
B. Tứ giác MNPQ là một hình thang nhưng khơng phải hình bình hành.
C. Bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.
D. Tứ giác MNPQ khơng có cặp cạnh đối nào song song.

ABCD. A′B′C ′D′

Câu 42. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho hình lập phương
,
′
′
′
′
′
AC ∩ BD = O A C ∩ B D = O
M N P
AB BC
,
. Gọi
,
,
lần lượt là trung điểm các cạnh
,
,
( MNP )
CC ′
. Khi đó thiết diện do mặt phẳng
cắt hình lập phương là hình:
A. Tam giác.
B. Tứ giác.
C. Ngũ giác.
D. Lục giác.
S . ABCD
ABCD
Câu 43. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho hình chóp
có đáy
là một hình bình

SD
N
SB
SN = 2 NB
O
M
hành. Gọi
là trung điểm của
, điểm
nằm trên cạnh
sao cho
và
là giao
AC
BD.
điểm của
và
Khẳng định nào sau đây sai?
( AMN )
S . ABCD
A. Thiết diện của hình chóp
với mặt phẳng
là một hình thang.
( ABCD ) .
MN
B. Đường thẳng
cắt mặt phẳng
MN
SC
C. Hai đường thẳng

và
chéo nhau.
8


D. Hai đường thẳng
Câu 44.

Câu 45.

Câu 46.

Câu 47.

Câu 48.

MN

và

SO

cắt nhau.

ABCD
AB.
M
(THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho tứ diện
. Gọi
là trung điểm của

Cắt tứ
ABCD
BC
M
AD
diện
bới mặt phẳng đi qua
và song song với
và
, thiết diện thu được là hình
gì?
A. Tam giác đều.
B. Tam giác vng.
C. Hình bình hành.
D. Ngũ giác.
S . ABCD
ABCD
M
(HKI-Chu Văn An-2017) Cho hình chóp
, có đáy
là hình bình hành. Gọi
SD N
SB
SN = 2 SB O
AC
là trung điểm của
,
là điểm trên cạnh
sao cho
,

là giao điểm của
và
BD
. Khẳng định nào sau đây sai?
( ABCD )
MN
A. Đường thẳng
cắt mặt phẳng
.
( AMN )
S . ABCD
B. Thiết diện của hình chóp
với mặt phẳng
là một hình thang.
MN
SO
C. Hai đường thẳng
và
cắt nhau.
MN
SC
D. Hai đường thẳng
và
chéo nhau.
S . ABCD,

ABCD
(Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình

M , N, P
SA, SB
BC.
bình hành. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
Thiết diện tạo bởi
( MNP )
S . ABCD
mặt phẳng
và hình chóp
là
MNPK
AD.
K
A. Tứ giác
với
là điểm tuỳ ý trên cạnh
MNP.
B. Tam giác
PK // AB.
MNPK
K
AD
C. Hình bình hành
với
là điểm trên cạnh
mà
PK // AB.
MNPK

K
AD
D. Hình thang
với
là điểm trên cạnh
mà
S . ABCD
ABCD
O
M
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm . Gọi
là trung điểm của
OB ( α )
AC
SB
M
,
là mặt phẳng đi qua
, song song với
và song song với
. Thiết diện của hình
(α)
S . ABCD
chóp
khi cắt bởi mặt phẳng
là hình gì?
A. Lục giác.
B. Ngũ giác.

C. Tam giác.
D. Tứ giác.

ABCD
M N
(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Cho tứ diện
. Gọi
,
lần lượt là trung điêm của
( MNE )
CD
ED = 3EC
AB AC E
,
.
là điểm trên cạnh
với
. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng
và tứ
ABCD
diện
là
MNE
A. Tam giác
.
9


MNEF

E
BD
với
là điểm bất kì trên cạnh
.
EF // BC
MNEF
E
BD
C. Hình bình hành
với
là điểm trên cạnh
mà
.
EF
//
BC
MNEF
E
BD
D. Hình thang
với
là điểm trên cạnh
mà
.

B. Tứ giác

Câu 49.

S . ABCD
AB CD
I J
Cho hình chóp
với các cạnh đáy là
,
. Gọi , lần lượt là trung điểm của các
G
SAB
k
AB = kCD
AD BC
cạnh
,
và
là trọng tâm tam giác
. Tìm
với
để thiết diện của mặt
( GI J )
S . ABCD
phẳng
với hình chóp
là hình bình hành.

A.

k =4

.

B.

k =2

.

C.

k =1

.

D.

k =3

.

ABCD
N
M
Câu 50. (LIÊN TRƯỜNG - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Cho tứ diện
. Gọi
và
lần lượt là
CD
AC E
ED = 3EC
AB

trung điểm của
và
.
là điển trên cạnh
với
. Thiết diện tạo bởi mặt
( MNE )
ABCD
phẳng
và tứ diện
là:
MNE
A. Tam giác
.
BD
MNEF
F
B. Tứ giác
với
là điểm bất kì trên cạnh
.
BD
BC
MNEF
F
EF
C. Hình bình hành
với
là điểm bất kì trên cạnh
mà

song song với
.
BD
BC
MNEF
F
EF
D. Hình thang
với
là điểm trên cạnh
mà
song song với
.

Câu 51.

Câu 1.

Câu 2.

S . ABCD
(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Cho hình chóp
có đáy là hình
SA SB BC
G
S
M N I
I
bình hành. Gọi
, , lần lượt là trung điểm của

,
,
điểm
nằm giữa
và
SG 3
=
( MNG )
S . ABCD
SI 5
sao cho
.Thiết diện của hình chóp
với mặt phẳng
là
A. hình thang.
B. hình tam giác.
C. hình bình hành.
D. hình ngũ giác.

DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Chọn C
Ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đơi một song song
hoặc đồng quy.
Chọn B
Đáp án A sai do hai đường thẳng khơng có điểm chung có thể song song với nhau.
10


Câu 3.
Câu 4.

Câu 5.
Câu 6.

Đáp án C sai do hai đường thẳng khơng song song thì có thể trùng nhau hoặc cắt nhau.
Đáp án D sai do hai đường thẳng khơng cắt nhau và khơng song song với nhau thì có thể trùng
nhau.
Đáp án B đúng.
Chọn D
Chọn B
A, B , C , D
ABCD
Do
là hình tứ diện nên bốn điểm
khơng đồng phẳng (loại đáp án A, C, D).
Chọn C
Chọn D

a
b
là hai đường thẳng chéo nhau nên và không đồng phẳng.
BC
Giả sử
và
đồng phẳng.
AD ∩ BC = M ⇒ M ∈ ( ABCD ) ⇒ M ∈ ( a; b )
+ Nếu
a
b
M

Mà và khơng đồng phẳng, do đó khơng tồn tại điểm
.
AD // BC ⇒ a
b
+ Nếu
và đồng phẳng (mâu thuẫn giả thiết).
BC
AD
Vậy điều giả sử là sai. Do đó
và
chéo nhau.
c
a
c
b
c
b
Mệnh đề “nếu cắt thì cắt ” là mệnh đề sai, vì và có thể chéo nhau.
Chọn A
Ta có:

Câu 7.
Câu 8.

a

và
AD

a

b

mp ( P )

b

( P)

O
O
a
Do đường thẳng nằm trên
, đường thẳng cắt
tại
và
không thuộc nên
a
b
a
b
đường thẳng và đường thảng không đồng phẳng nên vị trí tương đối của và là chéo
nhau.
Câu 9.
Chọn B
11


b
b

c
c
Khi và cùng nằm trong một mặt phẳng thì chúng cắt nhau. Cịn và khơng cùng nằm
trong một mặt phẳng thì chúng chéo nhau.
b
b
c
a
c
Do song song với nên nếu và song song với nhau thì cũng song song hoặc trùng với
b
a
a
, điều này trái với giả thiết là và chéo nhau.
Câu 10. Chọn
D.
P
( )
a ( Q)
b
M
M
Gọi
là mặt phẳng qua
và chứa ;
là mặt phẳng qua
và chứa .
c
a
b

M
Giả sử tồn tại đường thẳng đi qua
và đồng thời cắt cả và suy ra
c ∈ ( P )
⇒ c = ( P) ∩ ( Q)

c ∈ ( Q )
.
c′
a
b
a
b
M
Mặt khác nếu có một đường thẳng
đi qua
và đồng thời cắt cả và thì và đồng
phẳng (vơ lí).
a
b
M
Do đó có duy nhất một đường thẳng đi qua
và đồng thời cắt cả và .
Câu 11.



b // ( P )

thì

b

có thể song song với

a

(hình 1) mà

b

cũng có thể chéo

a

P
Hình 1

(hình 2).

b

b

Q

a

a

P
Hình 2

b // ( P ) ⇒ b ∩ ( P ) = ∅ ⇒ b ∩ a = ∅
a b

. Vậy , khơng có điểm chung.
Câu 12. Áp dụng định nghĩa hai đường thẳng được gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng.
Câu 13.

DẠNG 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Chọn A

12


Dễ thấy
Dễ thấy

MN , AD
MN , BD

MN , CA

Dễ thấy
Suy ra chọnA.
Câu 14. Chọn C

là hai đường thẳng chéo nhau nên loại B.
là hai đường thẳng chéo nhau nên loại C.

là hai đường thẳng chéo nhau nên loại D.

Mệnh đề (I) đúng vì

IO

là đường trung bình của tam giác

Mệnh đề (II) sai vì tam giác
( IBD )
.

IBD

.

chính là thiết diện của hình chóp

Mệnh đề (III) đúng vì giao điểm của đường thẳng
SO
với
.
I,O

SAC

AI

S . ABCD

với mặt phẳng

Mệnh đề (IV) đúng vì
là hai điểm chung của 2 mặt phẳng
Vậy số mệnh đề đúng trong các mệnh để trên là: 3.
Câu 15. Chọn A

( IBD )

( SBD )

và

cắt bởi mặt phẳng

là giao điểm của

( SAC )

AI

.

13


Gọi
Vì

I

E

là trung điểm

và

AB

.

J

lần lượt là trọng tâm tam giác
IJ / /CD
Suy ra:
.
Câu 16. Chọn C

ABC

và

ABD

nên:

EI
EJ 1
=

=
EC ED 3

AB; AD
G
G′
lần lượt là trung điểm cạnh
. Với
và
lần lượt là trọng tâm tam giác
SG SG ′ 2
=
= ⇒ GG ′ // HK
SAB
SAD
SH SK 3
và
ta có:
(1).
HK // BD HK
ABD
Mà
(
là đường trung bình tam giác
(2).
GG ′
BD.
Từ (1) và (2) suy ra
song song với

Gọi

H

và

K

Câu 17.
Gọi

M

là trung điểm của

AB

. Trong tam giác

MCD

có

MG ME 1
=
=
MD MC 3

suy ra

GE //CD
14


Do

Câu 18.
( P ) // ( ABC ) ⇒ AB // ( P )
 MN = ( P ) ∩ ( ABD )
⇒ MN //AB

 AB ⊂ ( ABD ) , AB // ( P )

MN //AC
AC
AB
Có
, mà
cắt
nên
là sai.
Câu 19. Đáp án D.
Cách 1: ( Đưa về cùng mặt phẳng và vận dụng kiến thức hình học phẳng)
 I ∈ CE

IJ
CD
 J ∈ DE
E
AB

Gọi là trung điểm của
. Ta có
nên suy ra
và
đồng phẳng.
EI
EJ 1
=
=
I, J
ABC , ABD
EC ED 3
Do
lần lượt là trọng tâm của các tam giác
nên ta có:
. Suy ra
IJ PCD
.
Cách 2: ( Sử dụng tính chất bắc cầu)
M,N
MN PCD
BC
BD
Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Suy ra
(1).
AI
AJ

2
=
=
I, J
ABC , ABD
AN AM 3
Do
lần lượt là trọng tâm của các tam giác
nên ta có:
. Suy ra
IJ PMN
(2).
IJ PCD
Từ (1) và (2) suy ra
.
Cách 3: (Sử dụng định lí giao tuyến của 3 mặt phẳng).
Có lẽ trong ví dụ này cách này hơi dài, song chúng tơi vẫn sẽ trình bày ở đây, để các bạn có thể
hiểu và vận dụng cách 3 hợp lí trong các ví dụ khác.
D C I J
Dễ thấy, bốn điểm , , , đồng phẳng.
( DCIJ ) ∩ ( AMN ) = IJ

( DCIJ ) ∩ ( BCD ) = CD
⇒ IJ PCD PMN

( AMN ) ∩ ( BCD ) = MN
 MN PCD

Ta có:
.

15


Câu 20.

Chọn A

Gọi E và F lần lượt là trung điểm AB và CD.
 I ∈ BM ⊂ ( SAB )
⇒
⇒ I ∈ ( SAB ) ∩ ( SCD ) .
I
∈
CN
⊂
SCD
(
)


I = BM ∩ CN
Ta có
S ∈ ( SAB ) ∩ ( SCD )
( SAB ) ∩ ( SCD ) = SI .
Mà
. Do đó
AB / / CD


AB ⊂ ( SAB )


 ⇒ SI / / AB/ / CD
CD ⊂ ( SCD )

( SAB ) ∩ ( SCD ) = SI 
SI / / CD
SI / / CF
Ta có:
.Vì
nên
.
SI
SN
SI
=
= 2 ⇒ SI = 2CF = CD ⇒
=1
CF NF
CD
Theo định lý Ta – let ta có:
.

Câu 21.
Chọn B
F = BD ∩ RQ.
S.
P
F
AD
Gọi

Nối
với
cắt
tại
DF BR CQ
DF RC 1
.
.
=1⇒
=
= .
FB RC QD
FB BR 2
Ta có
DF BP AS
SA FB
.
.
=1⇒
=
= 2 ⇒ SA = 2SD.
FB PA SD
SD DF
Tương tự ta có
16


Câu 22.

Chọn C

AC
O
OM
O
AC
BD
AD
K
Gọi giao điểm của
và
là
và kẻ
cắt
tại . Vì là trung điểm
,
ON // SA
( MON )
N
SC
là trung điểm
nên
(tính chất đường trung bình). Vậy hai mặt phẳng
( SAD)
GK
NO
và
cắt nhau tại giao tuyến
song song với
. Áp dụng định lí Talet cho

GK // ON
, ta có:
GM KM
=
GN
KO
(1)
O
I
AB
BD
Gọi là trung điểm của
, vì là trung điểm của
nên theo tính chất đường trung
OI // AD
bình,
, vậy theo định lí Talet:
KM AM AB
=
=
=2
KO
AI
AI
. (2)
GM
=2
GN
Từ (1) và (2), ta có
.

Câu 23. Chọn B

( BCD )

I = RQ ∩ BD
Trong mặt phẳng
, gọi
.
( ABD )
S = PI ∩ AD ⇒ S = AD ∩ ( PQR )
Trong
, gọi
.
( BCD )
DE / / BC ⇒ DE
IBR
Trong mặt phẳng
, dựng
là đường trung bình của tam giác
.
17


⇒D

là trung điểm của

BI

.

( ABD )
DF / / AB
Trong
, dựng
Câu 24. Chọn B

⇒

DF 1
DF 1
SA
= ⇒
= ⇒
=2
BP 2
PA 2
SD

Q ∈ ( PQR ) ∩ ( ACD )

 PR ⊂ ( PRQ ) ; AC ⊂ ( ACD )

⇒ ( PQR ) ∩ ( ACD ) = Qx
 PR //AC

Ta có:
S = Qx ∩ AD ⇒ S = ( PQR ) ∩ AD
Gọi
QS //AC

ACD
Xét tam giác
có
SD QD 1
=
=
AD CD 3 ⇒ AD = 3SD
Ta có:
.
Câu 25. Chọn D

Giả sử

LN ∩ BD = I

. Nối

K

với

I

cắt

AD

tại

P

Suy ra

.

với

Qx //PR //AC

( KLN ) ∩ AD = P

18


Ta có:

KL / / AC ⇒ PN / / AC

Suy ra:

PA NC
=
=2
PD ND

Câu 26.
Ta có

NP // AB ⇒ AB // ( MNP )
AB ⊂ ( ABC )

( ABC )

.

( MNP )

Mặt khác
,
và
có điểm
( MNP )
MQ // AB ( Q ∈ AC )
là đường thẳng
.

Ta có:

QC MC
=
=2
QA MB

Câu 27.
Trong mặt phẳng

M

chung nên giao tuyến của

( ABC )

và

. Vậy

( ABCD )
( SAC )

, gọi

E = MN ∩ AC

.

H = EG ∩ SC
Trong mặt phẳng
, gọi
.
 H ∈ EG; EG ⊂ ( MNG )

⇒ H = SC ∩ ( MNG )
 H ∈ SC
Ta có:
.
SG
SH
I J
Gọi , lần lượt là trung điểm của
và

.
 IJ // HG

 IA // GE ⇒ A I J
Ta có
, , thẳng hàng
19


⇒

CH CE
=
=3
⇒ CH = 3HJ
HJ EA

EH // AJ
có
SH = 2 HJ
SC = 5 HJ
Lại có
nên
.
SH 2
=
SC 5
Vậy
.
Xét

∆ACJ

.

Câu 28.
Gọi

M , N, P

AO
BC BO
AC CO
AB
lần lượt là giao điểm của
và
,
và
,
và
.
OA′ MO SCMO S BMO SCMO + S BMO SOBC
=
=
=
=
=
SA MA SCMA S BMA SCMA + S BMA S ABC

Ta có

OB′ NO S ANO SCNO S ANO + SCNO SOAC
=
=
=
=
=
SB NB S ANB SCNB S ANB + SCNB S ABC
OC ′ PO S APO S BPO S APO + S BPO SOAB
=
=
=
=
=
SC PC S APC S BPC S APC + S BPC S ABC
T=

Từ đó

.

OA ' OB ' OC ' SOBC SOAC SOAB S ABC
+
+
=
+
+
=
=1
SA SB
SC S ABC S ABC S ABC S ABC

.

DẠNG 3. SỬ DỤNG YẾU TỐ SONG SONG ĐỂ TÌM GIAO TUYẾN

Câu 29.


S

là điểm chung của hai mặt phẳng

( SAB )

và

( SCD )

.
20


 Mặt khác

 AB ⊂ ( SAB )

CD ⊂ ( SCD )
 AB // CD


.

 Nên giao tuyến của hai mặt phẳng
CD
song với
.
Câu 30. Chọn A

( SAD ) I ( SBC )
Câu 31.

( SAB )

là đường thẳng qua

S

và

( SCD )

là đường thẳng

và song song với

BC

St

đi qua điểm

S

và song

.

Chọn D

S
AB ⇒ d // BI
là đường thẳng qua và song song với
 AB // CD

 AB ⊂ ( SAB ) ⇒ ( SAB ) ∩ ( SCD ) = d

CD ⊂ ( SCD )
Ta có:
.
BI
Vậy giao tuyến cần tìm song song với
.
Câu 32. Chọn C
Gọi

d

21

Ta có
( SBC )
Câu 33.

 S ⊂ ( SAD ) ∩ ( SBC )

 AD ⊂ ( SAD )

 BC ⊂ ( SBC )
 AD //BC


là đường thẳng
Chọn D

d

do đó giao tuyến của giao tuyến của hai mặt phẳng

đi qua

S

và song song với

( SAD )

và

BC AD

,
.

( IKG ) , ( SAB )
Xét hai mặt phẳng
G ∈ ( GIK ) ; G ∈ ( SAB )
G
Ta có
suy ra
là điểm chung thứ nhất.
IK / / AB, IK ⊂ ( GIK ) , AB ⊂ ( SAB ) .

( IKG ) ∩ ( SAB ) = Gx / / IK / / AB
Suy ra
Câu 34. Chọn D

22


Ta có:
 AB //CD

 AB ⊂ ( SAB ) ⇒
CD ⊂ ( SCD )


( SAB )

( SCD )

S
là đường thẳng đi qua và
( SAB ) ( SCD )
AB //EF
AB
song song với
. Lại có
, nên giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là
S
EF
đường thẳng đi qua và song song với
.
Câu 35. Chọn B
giao tuyến của hai mặt phẳng

và

P ∈ SA ⊂ ( SAB ) P ∈ ( MNP )
( SAB )
P
Ta có
;
nên là điểm chung thứ nhất của mặt phẳng
và
( MNP )
.
MN //AB
MN

ABCD
Mặt khác:
( do
là đường trung bình của hình thang
).
( SAB ) ( MNP )
P
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là đường thẳng qua
và song song
23


AB SC
với
,
.
Câu 36. Chọn
B.

IJ // AB ( 1)

Ta có
(đường trung bình hình thang ).
G ∈ ( GIJ ) ∩ ( SAB ) ( 2 )
.
IJ ⊂ ( GIJ ) AB ⊂ ( SAB ) ( 3)
,
( 1) ( 2 ) ( 3) ⇒ Gx = ( GIJ ) ∩ ( SAB ) Gx // AB Gx // CD

Từ
,
,
,
,
.
Câu 37. Chọn D

Ta có: hai mặt phẳng

( SAD )

( SBC )

Câu 38.
AD // BC ⇒ ( SAD ) ∩ ( SBC ) = d

có 1 điểm chung là

S

và lần lượt chứa hai đường thẳng
( SAD ) ( SBC )
BC
S
AD
và
song song nhau nên giao tuyến d của hai mặt phẳng
và
đi qua và

AD, BC
song song
.

Ta có

và

, với

d

là đường thẳng đi qua

S

và song song với

AD
24


DẠNG 4. SỬ DỤNG YẾU TỐ SONG SONG TÌM THIẾT DIỆN
Câu 39. Đáp án C.
N
SB
MN / / AB AB / / CD ⇒ MN / / CD
Gọi
là trung điểm của
. Do

,
.
( MCD )
N
Như vậy suy ra
thuộc mặt phẳng
.
( MCD ) ∩ ( SAD ) = MD

( MCD ) ∩ ( SAB ) = MN

( MCD ) ∩ ( SBC ) = NC
 MCD ∩ ABCD = CD
) (
)
(
Ta có:
( MCD )
MNCD
Vậy tứ giác
là thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng
.
MN / / CD
MNCD
Kết hợp với
, suy ra
là hình thang.

Câu 40.
Ta có

( BMC ) ∩ ( ABCD ) = BC ( BMC ) ∩ ( SAB ) = BM
,

( BMC ) ∩ ( SAD ) = M x , M x //AD //BC , M x ∩ SD = N ( BMC ) ∩ ( SCD ) = NC

Suy ra thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng

Ta có
Câu 41.

1

 MN = AD
2

 MN //AD

suy ra

 MN = BC

 MN //BC

( MBC )

nên thiết diện
AM AN 1
MN 1
=

= ⇒ MN / / BD
=
AB AD 3
BD 3
Ta có
và
(1)

,

là tứ giác

BMNC

BMNC

.

là hình bình hành.

1
BD PQ / / BD 2
( )
PQ
BCD
2
Mặt khác vì
là đường trung bình của tam giác
,
Từ (1) (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình thang, nhưng khơng là hình bình hành.

⇒ PQ =

25