ON THI DH PHUONG TRINH LUONG GIAC

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (451.39 KB, 62 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PH

ẠM HỒNG PHONG



Phân lo

ại chi tiết



H

ệ thống ví dụ phong phú



Bài t

ập có đáp số đầy đủ



Trích d

ẫn tất cả các bài thi trong các năm 2002

- 2012

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bản quền thuộc về ThS. Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng

Tài liệu có thể được download miễn phí tại violet.vn

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

M

ục lục

Ch

ủ đề 1.

M

ột số kiến thức chung về p

h

ươ

ng trình l

ượng giác

... 1

Loại 1. Các phương trình lượng giác cơ bản ...1

Loại 2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos ... 13

Ch

ủ đề 2.

Đặt ẩn phụ để giải phươ

ng trình l

ượng giác

... 23

Loại 1. Một số phép đặt ẩn phụ đơn giản ... 23

Loại 2. Phép đặt ẩn phụ cho phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos
33
Loại 3. Phép đặt ẩn phụ x
2
ttan ... 41

Loại 4. Phép đại số hóa t = tanx ... 47

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4></div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Ch

ủ đề 1.

M

ột số kiến thức chung về phương tr

ình l

ượng

giác

Lo

ại 1.

Các phương tr

ình l

ượng giác cơ bản

A.

Tóm t

ắt lý thuyết

1.Phương trình sin xm

 

1

* Điều kiện có nghiệm:

 

1 có nghiệm  m 



1;1



* Cơng thức nghiệm: Với m 



1;1



, ta có

 

1  x arcsin m 2k

x arcsin m 2k

  




    



(k).

Trong đó, arcsin m là nghiệm thuộc đoạn

2 2;

 

 

  của phương trình sin xm (

Hình 1).

Ta thấy với mỗi m 



1;1



, giá trị arcsin m

luôn tồn tại duy nhất.

y=sinx

-1
1

-π
2

π

2
arcsinm

O
m
y

x

Hình 1

2.Phương trình cos xm

 

2

* Điều kiện có nghiệm:

 

2 có nghiệm  m 



1;1



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Trong đó, arccos m là nghiệm thuộc đoạn



0;



của phương trình sin xm (Hình 2).
Ta thấy với mỗi m 



1;1



, giá trị arccos m

luôn tồn tại duy nhất.

π

y=cosx

-1
1

π

2
arccosm
O

m
y

x

Hình 2

3.Phương trình tan xm

 

3

Với mọi m, ta có

 

3  xarctan m k (k).

Trong đó, arctan m là nghiệm thuộc khoảng





2 2;

 

 của

phương trình tan xm (Hình 3).

Ta thấy với mỗi m, giá trị arctan m luôn tồn tại duy nhất.

y=tanx

arctanm
-π

2

π

2
O

m
y

x

Hình 3

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

3
Với mọi m, ta có

 

4  xarc cot m k (k).

Trong đó, arc cot m là nghiệm thuộc khoảng



0;



của phương

trình cot xm (Hình 4).

Ta thấy với mỗi m, giá trị arc cot m luôn tồn tại duy nhất.

π

2 π

O

y=cotx

arccotm
m

y

x

Hình 4

5.Ngồi các phương trình kể trên, các phương trình sau đây cũng có cách giải gần giống 
phương trình cơ bản:

+) sin f x

 

sin g x

 

 

 

f x g x 2k

   



    



(k);

+) cosf x

 

cosg x

 

  f x

 

 g x

 

2k (k).

+) tan f x

 

tan g x

 

 

 

2

f x g x k
f x  k

   




  




</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

B.

M

ột số

ví d

ụ

Ví dụ 1.GPT: 2cos x sin x2  2

 

1

Giải

 

1  2 1 sin x



 2



sin x2

 2sin x sin x2  0

 sin x 2 sin x 1







0

 1

2
sin x 0
sin x










6
5
6

x k

x 2k





 


   




  



, (k).

Ví dụ 2.GPT: sin 2xcos x0

 

1

Giải

 

1  2sin x cos xcos x0

 cos x 2 sin x 1







0

 1

2
cos x 0
sin x





 




2
6
7

6

x k

x 2k





   



    




  



, (k).

Ví dụ 3.GPT: sin x2 cos 2x2 1.

 

1

Giải

 

1  cos 2x2  1 sin x2

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

 cos 2x cos x

cos 2x cos x


  

.

 

2
3

 

2  2x x 2k

2x x 2k

  


   


 2k
3
x 2k
x 
 




 2k
3

x  (







2k



3

2k k    k ).

 

3  cos 2xcos



 x



 2x x 2k

2x x 2k

    


    


2k
3 3
x
x 2k
 
  

    

.
Vậy nghiệm của

 

1 là: 2k

3

x , 2k

3 3

x  , x  2k (k).

Ví dụ 4.GPT: sin 3x sin5xcosx

2 2

 .

 

1

Giải

 

1  1





2

sin 3x sin 3xsin 2x

 sin 3xsin 2x

 3x 2x 2k

3x 2x 2k

  

     


 2k
5 5
x 2k

x  

 




 



(k).

Ví dụ 5.GPT: sin 3x 1 cos 4x







cos 3x sin 4x.

 

1

Giải

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

 sin 7xsin 3x

 7x 3x 2k

7x 3x 2k

  




    





k
2

k
10 5
x

x



 

 


  



(k).

Ví dụ 6.GPT: sin 4x sin 7xcos 3x cos 6x.

 

1

Giải

 

1  1





1





2 cos11x cos 3x 2 cos 9x cos 3x

   

 cos11x cos 9x
 cos11xcos



 9x



 11x 9x 2k

11x 9x 2k

    



     





k
20 10

2
x

x k

 



  



    


(k).

Ví dụ 7.GPT: 1 tan x

2 3

cos x

1

  .

 

1

Giải

 

1  1 tan x

2 3

cos x

1 0

 

  

 

 

 2 tan x

3

tan x 0

 1

3
tan x tan x  0

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

 1

3

tan x 0
tan x







6
x k

x  k

 



  



(k).

Ví dụ 8.GPT: 2sin x sin x 12

2 cos x 3 0

 

  .

 

1

Giải

Điều kiện để

 

1 có nghĩa: 2cos x 30  3

2

cos x 

6

x 2k (k).

Ta có

 

1  2sin x sin x 12   0  1

2
sin x 1
sin x



 



2
6
7
6
x 2k
x 2k
x 2k



   

    


  


(k).

Kết hợp điều kiện: Những giá trị vi phạm điều kiện được

biểu diễn bằng những điểm trắng, những giá trị thỏa mãn

1
2
sin x 1
sin x




 


được biểu diễn bằng những điểm đen.

 các họ nghiệm của

 

1 là

2 2k

 , 7
6 2k

  (k).

y

x

π

2+2kπ

7π

6+2kπ

-π

6+2kπ

π

6+2kπ
-1

-1
1

1
O

Chú ý: Khi biểu diễn họ 2k

n

x    (k, n*, n là hằng số) trên đường tròn lượng giác
ta được:

+) Một điểm trong trường hợp n1.

+) Hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ trong trường hợp n2. Hai điểm này là các

điểm biểu diễn giá trị 2k

n



</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

8
+) n điểm cách đều nhau trong trường hợp n3. n điểm này là các điểm biểu diễn giá

trị 2k

n



  với k0, 1, …, n 1 .
y

x
-1

-1
1

1
O

n2

y

x
-1

-1
1

1
O

n3

y

x
-1

-1
1

1
O

n4

Ví dụ 9.Giải phương trình



1 5 sin x 2 cos x2



cos x 0.

 

1
Giải

Điều kiện để

 

1 có nghĩa: cos x0.

 

1 

2
1 5 sin x 2cos x 0

cos x 0

   



 



 

2
3

Ta thấy

 

2  1 5 sin x 2 1 sin x



 2



0

 2sin x2 5sin x30







1
2

sin x 3 1
sin x

    



  



vô nghiệm

 6

7
6

x 2k




    



   



 

3  cos x0 

2

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

9
Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của

 

2 và

 

3 trên

đường tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm
điều kiện (điểm được khoanh trắng), ta được các họ nghiệm

của

 

1 là:

2 k

 ,

6 2k



   (k).

-π
2+2kπ

y

x

π

2+2kπ

7π

6+2kπ

-π

6+2kπ
-1

-1
1

1
O

Ví dụ 10.Giải phương trình 1

2
8 cos x

sin x

 .

 

1

Giải

Điều kiện để

 

1 có nghĩa: cos x0 

2

x  k .

 

2

Ta có

 

1  1 2

2
8cos x
sin x 0

sin x





 




 

3
4

 

4 





2 2

8 sin x cos x 1 cos x 0
cos x 0

   








 2sin 2x2 1

 cos 4x0



2

4x  k

 k

8 4

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

10
Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của

 

4 trên đường

tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm một
trong hai điều kiện

 

2 ,

 

3 (điểm được khoanh trắng), ta
được các họ nghiệm của

 

1 là:

8 2k

 , 3
8 2k

 , 5
8 2k

 , 7
8 2k

  (k)

-7π

8 +2kπ
-5π

8 +2kπ

-3π

8 +2kπ
-π

8+2kπ
7π

8+2kπ
5π

8+2kπ

3π

8+2kπ

π

8+2kπ
y

x
-1

-1
1

1
O

Chú ý: Họ nghiệm 2k

n

x    (k) thực ra là tập hợp



2k



n k



   . Ta có



2k











2











2



n k 2k k n 2k k ... n 1 . n 2k k

       

                 

 

   

nói cách khác 2k

n

x    









2
n

x 2k

...

x n 1 2k



   




    






 

     

  



</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

C.

Bài t

ập

Bài 1.Giải các phương trình sau
1) sin x 3 cos x0.

2) 1

4

sin x cos x .

3) sin 3x cos 2xsin 2x cos x.
4) cos x 4 cos x



2 3



cosx 0

2

   .

5) 2sin x 4sin x



3 3 sin x



sin 2x0.
6) sin x sin 2x cos x cos 2x 0.

7) sin x sin 2x cos xcos 2x0.

Bài 2.Giải các phương trình sau
1) cos x cos 7x





cos 6x sin 2 x 4



 

 

 

 .

2) 1 1 2

sin xcos x sin 2x.

3) 1 1 2

sin xcos x  sin 2x.

4) sin 2x 1 tan 2x tan x







1.
5) sin 2xtan x 1 sin 2x tan 2x















2 x
2 3 cos x 2sin

2 4
2cos x 1 1



  

  .





2 cos 2x 1

2 cos x2

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

D.

Đ

áp s

ố

Bài 1 1)

3 k

  (k). 2)

12 k

  , 5
6 k

  (k).

3) k, k

8 4

  (k). 4) 4k

5

 , 4k
7

 (k).

5) k, k

8 2

 ,

4 k

  (k). 6) 2k, 2k
6 3

  (k).

7) 2k, 2k

3 3

  (k).

Bài 2 1) k, k

5

 (k). 2)

12 2k



  , 7

12 2k

  (k).

12 2k

  , 7
12 2k



   (k). 4) k

8 2

 

 (k).

5) x k (k). 6) 4

3 2k

  (k).

4 k



</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Lo

ại 2.

Phương tr

ình b

ậc nhất đối với sin v

à cos

A.

Tóm t

ắt lý thuyết

* Phương trình bậc nhất đối với sin x, cos x là phương trình có dạng:

A sin xB cos xC,

 

1

trong đó, A và B là các hằng số không đồng thời bằng 0 (A2B2 0).

* Cách giải: chia hai vế của

 

1 cho A2B2, ta được phương trình tương đương:

2 2 2 2 2 2

A B C

sin x co

B B A B

s x
A A
 
  
.
Vì
2 2

2 2 2 2

A B

1

A B A B

   

    

   

 

   

nên tồn tại  



0;2



để:

2 2
2 2
A
cos
A B
B
sin
A B

 

 

  



.

Do đó:

 

2 2
C
1 sin x cos cos x sin

A B
    







2 2
C
sin x
A B
  


 

2

Ta thấy

 

2 là phương trình có dạngcơ bản sin f x

 

  m.

* Chú ý:

+) Từ cách giải này suy ra điều kiện có nghiệm của phương trình

 

1 :

 

1 có nghiệm  A2 B2C2 0.

+) Nếu chọn  



0;2



để:

2 2
2 2
cos

A B
sin
A B
B
A

 

 

  




thì

 

1 





</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

14
Nếu chọn  



0;2



để:

2 2

cos

A B

sin

A B

A

B



 


 



   






thì

 

1 





2 2
C
sin x

A B

  



Nếu chọn  



0;2



để:

2 2

cos

A B

sin

A B

B

A



 


 



   






thì

 

1 





2 2
C
cos x

A B

  



Trong từng trường hợp, việc chọn  phù hợp giúp q trình tính tốn bớt phức tạp.

+) Một số công thức hay sử dụng:



4





4



sin xcos x 2 sin x  2 cos x ,







3



4 4

sin x cos x  2 sin x  2 cos x  ,



3





6



sin x 3 cos x2 sin x  2 cos x ,







5



3 6

sin x 3 cos x 2 sin x  2 cos x  ,



6





3



3 sin xcos x2 sin x  2 cos x ,







2



6 3

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

B.

M

ột số

ví d

ụ

Ví dụ 1.GPT: sin x 3 cos x 1 0.

 

1

Giải

Ta có

 

1  1 3 1

2sin x 2 cos x 2



3 3 6

sin x coscos x sin sin







3 6

sin x sin

 3 6

5

3 6

x 2k

 

    



    



 2

7
6

x 2k




   



   



(k).

Ví dụ 2.GPT: 2 2 sin x cos x sin x cos x  0.

 

1

Giải

Ta có

 

1  1





2

sin 2x  sin x cos x

 3 3

4 4

sin 2xsin x cos cos x sin 





3



4
sin 2xsin x 



3
4
4

2x x 2k




    



    





3
4

2k
12 3

x 2k

x



 

   



  



(k).

Nhận xét: Phương trình ở ví dụ trên khơng phải phương trình bậc nhất. Việc giải phương trình

này liên quan đến việc rút gọn biểu thức 1





2 sin x cos x

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Ví dụ 3.GPT: 3 sin x cos 2x 1
2 cos x



 .

 

1

Giải

Điều kiện để

 

1 có nghĩa: cos x0 

2

x  k .

 

2

Ta có

 

1  2 3 sin x cos xcos 2x 1
 3 sin 2x cos 2x  1

 3 1 1

2 sin 2x2cos 2x 2



 

6 6 6

sin 2x coscos 2x sin sin 







 

6 6

sin 2x sin 

 6 6

7

6 6

2x 2k

 

     



    



 2

3
x k

x  k

 



  



(k).
(thỏa mãn

 

2 )

Ví dụ 4.[ĐHD07] GPT



x x



2

2 2

sin cos  3 cos x2.

 

1

Giải

Ta có



x x



2 2 x 2 x x x

2 2 2 2 2 2

sin cos sin cos 2 sin cos  1 sin x. Do đó

 

1  sin x 3 cos x1

 1 3 1

2sin x 2 cos x 2

 1

3 3 2

sin x coscos x sin 







1

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

 3 6

5

3 6

x 2k

 

    



    



 6

2

x 2k




    



   


(k).

Ví dụ 5.[ĐHD09] GPT 3 cos 5x2sin 3x cos 2x sin x 0.

 

1
Giải

Ta có 2sin 3x cos 2xsin 5xsin x. Do đó

 

1  3 cos 5x sin 5x 2 sin x

 3 1

2 cos 5x2sin 5xsin x

 2 2

3 3

sin 5x cos cos 5x sin  sin x





2



3

sin 5x  sin x



2
3
2

3

5x x 2k




    



      





k

6 2

k
18 3

x
x

 

   


  



(k).

Ví dụ 6.[ĐHA09] GPT











1 2 sin x cos x

1 2 sin x 1 sin x 3



   .

 

1

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Đk:

1
2
sin x
sin x 1

  






6
7

6
2
x 2k
x 2k
x 2k



    


  


   

.

Ta có



1 2sin x 1 sin x

 





sin x



1 2 sin x 2



sin xcos 2x. Do đó

 

1  cos x sin 2x  3 sin x cos 2x







 sin 2x 3 cos 2xcos x 3 sin x

 1 3 1 3

2sin 2x 2 cos 2x 2cos x 2 sin x



3 3 6 6

sin 2x coscos 2x sin sin cos x cos sin x  











3 6

sin 2x sin x

 3 6

5

3 6

2x x 2k

 
 
     

     



2k
18 3

2
x
x 2k
 

   

   


(k).

Kết hợp với điều kiện để

 

1 có nghĩa ta có tập nghiệm của

 

1 là 2k

18 3

 

  (k).

Ví dụ 7.Cho phương trình 2 sin x cos x 1

 

sin x 2 cos x 3 a 1

 

   , (a là tham số).

1) Giải phương trình khi 1

3

a .
2) Tìm a để

 

1 có nghiệm.

Giải

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

19
Ta có 12 



2



232   4 0 

 

2 vô nghiệm  sin x2 cos x30 x.

Do đó

 

1  2sin xcos x 1 a sin x



2 cos x3







2 a sin x







2a 1 cos x



3a 1 .

1) 1

3

a :

 

1 trở thành 5 5

3sin x 3cos x0  tan x 1  x 4 k


    (k).

2) Ta có



2 a



2



2a 1



2



3a 1



2  4a26a  4 2 a



23a2



Do đó

 

1 có nghiệm  2 a



23a2



0  a23a 2 0  1 a 2
2

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

C.

Bài t

ập

Giải các phương trình sau

1) 2 2 sin x



cos x cos x



3 cos 2x .
2) sin x sin 2x  3 cos x



cos 2x



.
3) 4 sin x cos x



4  4



 3 sin 4x2.

4) 8 sin x cos x



6  6



3 sin 2x



cos 2x



25.
5) 4sin x 13  3 sin x 3 cos 3x.









4 4

sin 3x sin 2x sin x .





6

3 cos 2xsin 2x2 sin 2x 2 2.

8) [ĐHB09] sin x cos x sin 2x  3 cos 3x2 cos 4x sin x



 3



.
9) [ĐHB12] 2 cos x



 3 sin x cos x



cos x 3 sin x 1 .

10) 2 x 2



3



2 4

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

D.

Đ

áp s

ố

1) Vô nghiệm. 2)  2k, 2 2k

9 3

  (k).

3) k

12 2

 

  , k

4 2

 

(k). 4) k

2



, k

8 2

 

  (k).

5) 2k

18 3

  , 2k
2 3

  (k) . 6) k
4 2

  (k).

7) 5

12 k

 

(k). 8)

6 2k



  , 2k

42 7

   (k).

9) 2k

3



(k). 10) 5

18

 , 17
18

, 5
6

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26></div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Ch

ủ đề 2.

Đặt ẩn phụ để giải phương tr

ình l

ượng giác

Lo

ại 1.

M

ột số phép đặt ẩn phụ đơn giản

A.

N

ội dung phương pháp

Phần này đề cập đến việc giải các phương trình lượng giác bằng cách thực hiện một phép đặt ẩn

phụ đơn giản: tsin x, x

2

tsin , tsin 2x, tcos x, x

2

tcos , tcos 2x, ttan x,

x
2

ttan , ttan 2x, … . Ta sẽ thấy rằng, ở loại toán này, việc phát hiện ẩn phụ tuy đơn giản
nhưng cũng giải quyết được một lượng lớn bài tốn giải phương trình lượng giác trong các đề thi
đại học.

Các cơng thức sau đây rất cho ích cho việc phát hiện ẩn phụ:

* Các công thức “quy về sin”

cos x sin x
2

 
  

 
  ,





2n
2n 2

cos x 1 sin x ,

n
2n

2

1

cot x 1

sin x

 

  

 

, cos 2x 1 2 sin x2 ,

3
sin 3x3 sin x4sin x,

2

x x

sin cos 1 sin x

2 2

 

  

 

  ,

4 x 4 x 1 2

sin cos 1 sin x

2 2 2 ,

6 x 6 x 3 2

sin cos 1 sin x

2 2 4 ,

x x 2

tan cot

2 2 sin x,

sin 2x cos 2x 1
cos x  sin x  sin x.
* Các công thức “quy về cos”

sin x cos x
2

 
 
 
  ,





2n
2n 2

sin x 1 cos x ,

n
2n

2

1

tan x 1

cos x

 

  

 

, cos 2x2 cos x 12  ,

3

cos 3x4 cos x3 cos x, sin2 x 1 cos x

2 2



</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

2 x 1 cos x
cos

2 2



 , sin4 x cos4 x 1 1cos x2

2 2 22 ,
6 x 6 x 1 3 2

sin cos cos x

2 2 4 4 ,

x 1

tan tan x

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

B.

Các ví d

ụ

Ví dụ 1.[ĐHD06] GPT cos 3xcos 2xcos x 1 0.

 

1
Giải

Ta có

 

1 



4 cos x3 3 cos x

 

 2cos x 12 



cos x 1 0

 4cos x3 2cos x2 4 cos x20

 2cos x3 cos x2 2 cos x 1 0.

Đặt tcos x  t 



1;1



, phương trình trên trở thành
2t3t22t 1 0





t 1

 

t1

 

2t 1



0

 1

2

t 1

t
 



 


+) t 1  cos x 1  sin x0  x k (k).

+) 1

2

t   1

2

cos x   x 2 2k
3



    (k).

Vậy

 

1 có các họ nghiệm là k, 2 k2

3



   (k).

Ví dụ 2.[ĐHD02] Tìm nghiệm thuộc đoạn



0;14



của phương trình

cos 3x4 cos 2x3 cos x 4 0.

 

1
Giải

Ta có

 

1 



4 cos x3 3 cos x

 

4 2cos x 12 



3cos x 4 0

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

 cos x3 2cos x2 0

 cos x cos x2



2



0

 cos x0 (do cos x   2 1 0 x)

 x k

2


   (k).

Ta có k



0;14



2



    k



0;1;2;3



Vậy các nghiệm thuộc đoạn



0;14



là

2


, 3

2


, 5

2


, 7

2


Ví dụ 3.GPT 2cos 2x 8 cos x 7 1
cos x

   .

 

1

Giải

ĐK: cos x0 

2

x  k .

Ta có

 

1  cos x 2 cos 2x



8 cos x7



1 ( cos x0)

 cos x 2 2 cos x 1



2 



8 cos x71

 

 

 4cos x3 8 cos x2 5 cos x 1 0





cos x 1

 

2 cos x 1



2 0

 1

2
cos x 1
cos x











x 2k

x k2

3

 



 

    



</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

27
Ta thấy trong các ví dụ trên, việc phát hiện ẩn phụ khá đơn giản. Sau đây là các ví dụ mà ở đó, ta

phải thực hiện một vài phép biến đổi trước khi phát hiện ra ẩn phụ.

Ví dụ 4.GPT 2cos 4x4 3 sin x



cos x



2 54 3.

 

1
Giải

Ta có cos 4x 1 2 sin 2x2 ,



sin xcos x



2 sin x2 cos x2 2 sin x cos x 1 sin 2x.

Do đó

 

1  2 1 2sin 2x



 2



4 3 1 sin 2x







 5 4 3

 4sin 2x2 4 3 sin 2x30





2 sin 2x 3



2 0

 sin 2x 3
2



 3

2
3

2x 2k




   



   



 6

3

x k




   


   


(k).

Ví dụ 5.[ĐHB06] GPT cot x sin x 1 tan x tanx 4
2

 

   

  .

 

1

Giải

ĐK:

x
2
sin x 0
cos x 0

cos 0

 













 sin 2x  x k
2



 .

Ta có

x x x x

2 2 2 2

x x x

2 2 2

sin x sin cos x cos sin x sin cos

x 1

1 tan x tan 1

2 cos x cos cos x cos cos x cos cos x



      .

 cos x sin x cos x sin x2 2 2

sin x cos x sin x cos x sin 2x

x

cot x sin x 1 tan x tan cot x tan x
2



 

        

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Do đó

 

1  2 4
sin 2x 

 sin 2x 1
2
 (TMĐK)

2x 2k
6
5
2x 2k
6



  



   


x k
12
5
x k
12


  



   


(k).

Ví dụ 6.[ĐHA10] GPT



1 sin x cos 2x sin x



1
4

cos x

1 tan x 2



 

    

 



 .

 

1

Giải

ĐK: cos x 0

sin x cos x 0



 


x k
2
x k

4


  




   


.

Ta thấy 1 tan x sin x cos x
cos x



  , sin x sin x cos x

4 2

 

 

 

 

  . Do đó

 

1  1 sin x cos 2x1

 sin xcos 2x0

 sin x



1 2sin x 2



0 2sin x sin x 12   0



</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>















x 2k

2

x 2k

6
7

x 2k

6




  





    





   



loại
TMĐK

TMĐK
.

Vậy

 

1 có hai họ nghiệm là x 2k
6



    và x 7 2k

6


</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

C.

Bài t

ập

Bài 1. Giải các phương trình sau

1) tan x cos x cos x2 sin x 1 tan x. tanx
2

 

     

 .

2) [ĐHA06]





6 6

2 sin x cos x sin x cos x
0
2 2 sin x

 



 .

3) sin 2x cos 2x tan x cot x
cos x  sin x   .

4) 3 tan x tan x



2sin x



6cos x0.
5) [ĐHB04] 5sin x23 1 sin x tan x







2 .
6) 8cos3 x cos 3x

3



 

 

 

  .

7) [ĐHD05] sin x cos x sin 3x4 4 cos x 3 0

4 4 2

 

   

        

    .

4 4

sin x cos x 1 1

cot 2x

5sin 2x 2 8 sin 2x



  .

9) 3cos 4x8 cos x6 2 cos x2 30.
10) [ĐHB03] cot x tanx 4sin 2x 2

sin 2x

   .

11) cos 2x cos x 2 tan x 1



2 



2.
12) [ĐHA05] cos 3x cos 2x cos x2  2 0.

13) sin x cos 2xcos x tan x 12



2 



2 sin x3 0.
14) [ĐHA02] 5 sin x cos 3x sin 3x cos 2x 3

1 2 sin 2x



 

  

 



  , x



0;2



Bài 2. Tính tổng các nghiệm thuộc đoạn



1;70



của phương trình

3 2

2

cos x cos x 1
cos 2x tan x

cos x

 

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Bài 3. Tìm m để phương trình 2 sin x cos x



4  4



cos 4x2 sin 2x m 0 có ít nhất một

nghiệm thuộc đoạn

2
0;

 

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

D.

Đáp số

Bài 1 1) 2k (k). 2) 2k
4


   (k).

3) 2k

3


   (k). 4) k

6


   (k).

5) 2k

6


 , 5 2k

6


  (k). 6) k

6


 , k, k

3


  (k)

7) k

4


  (k). 8) k

6


   (k).

9) k

4 2

 

 , k (k). 10) k

3


   (k).

11) 2k

3


  ,  2k (k). 12) k

2


(k).

13) 2k

6


 , 5 2k

6


  (k). 14)

3


, 5

3


Bài 2 374.

Bài 3 13

4

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Lo

ại 2.

Phép đặt ẩn phụ cho phương tr

ình

đối xứng v

à g

ần đối xứng

đối với sin, cos

A.

N

ội dung phương

pháp

Đối với các phương trình lượng giác chỉ chứa các biểu thức: tổng và tích của sin và cos (phương trình

đối xứng đối với sin và cos) hoặc hiệu và tích của sin và cos (phương trình gần đối xứng đối với sin

và cos) ta có các quy tắc đại số hóa cụ thể như sau:

Dạng 1: Xét phương trình dạng f sin x



cos x;sin x.cos x



0.

 

1

Đặt





2

4 t 1

2

t 2; 2

t sin x cos x 2 sin x

sin x cos x





   

 



     

 



Nhờ phép đặt ẩn phụ nói trên

 

1 trở thành t2 1

2

f t;  0

  .

Dạng 2: Xét phương trình dạng f sin x



cos x;sin x.cos x



0.

 

2

Đặt





2

4 1 t

2

t 2; 2

t sin x cos x 2 sin x

sin x cos x





   

 



     

 



Nhờ phép đặt ẩn phụ nói trên

 

2 trở thành 1 t2

2

f t;  0

  .

Dạng 3: Xét phương trình dạng f sin x cos x ;sin x.cos x







0.

 

3

Đặt





4

t sin xcos x  2 sin x   2

t
2

1
t 0; 2

sin x cos x 

  

 




 



Nhờ phép đặt ẩn phụ nói trên

 

3 trở thành t2 1

2

f t;  0

  .

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Đặt





4

t sin x cos x  2 sin x 

2
1 t

2

t 0; 2
sin x cos x 

  

 




 



Nhờ phép đặt ẩn phụ nói trên

 

4 trở thành 1 t2

2

f t;  0

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

B.

Các ví d

ụ

Ví dụ 1.[ĐHA07] GPT



1 sin x cos x 2







1 cos x sin x 2



 1 sin 2x.

 

1
Giải

Ta có

 

1 



sin xcos x



sin x cos x sin x



cos x

 

 sin xcos x



2.

Đặt





4
tsin xcos x 2 sin x  

 

2
t 1

2

t 2; 2 2

sin x cos x 

   
 


 


Với phép đặt ẩn phụ nói trên, phương trình đã cho trở thành

2
t 1

2

t  .tt  t2 1

2 t

t 1   0

   





2

t t 1 0 



 



 





t 0 2

t 1 2

 

 


thỏa mãn 
thỏa mãn .

+) t0 





4

2 sin x 0 





4

sin x 0  x k
4


    x k

4


   .

+) t1 





4

2 sin x 1 





4
1
sin x
2


  
x 2k
4 4
3
x 2k
4 4
 

   


 
    


x 2k
x 2k
2
 

 
   

.

Vậy các nghiệm của

 

1 là k
4


  , 2k, 2k

2


  (k).

Ví dụ 2.GPT sin x cos x 4sin 2x1.

 

1

Giải

Đặt





4

t sin x cos x  2 sin x 

2

t 0; 2
sin 2x 1 t

  
  

 

,

 

2

3

 

1 trở thành t4 1 t



 2



1  t1 (thỏa mãn

 

2 ).

 

4

Thay

 

4 vào

 

3 ta được sin 2x0  x k
2



</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

36
Vậy các nghiệm của

 

1 là k

2


(k).

Ví dụ 3.GPT 1 tan x 2 2 sin x

 

1 .

Giải
ĐK: cos x0  x k

2


   (k).

Ta có

 

1  cos xsin x2 2 sin x cos x.

 

2

Đặt t sin x cos x 2 sin x

4

 
     
  

 

2

t 2; 2 3

t 1

sin x cos x
2
   
 



 

,

 

2 trở thành:

2

t
t 2 2. 1

2

   t 2 t



21



 2t2  t 2 0 

 





 





thoûa mãn 
thỏa mãn 
1
2

t 2 3

t 3
 

  

.
Do đó

+) t 2 





4

sin x 1 

4 2

x  2k 

4

x 2k.

+) 1

2

t  





4

1
sin x

2



    4 6

7
4 6
x 2k
x 2k
 
 

     

    


5
12
11
12
x 2k
x 2k


    

   

.

Kết hợp ba họ nghiệm ta được tập nghiệm của

 

1 là 2k

4 3

x   (k).

Để kết thúc cho việc trình bày các ví dụ của phần này, ta xét một phương chứa tham số.

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Đặt





4 2

t 2; 2

t sin x cos x 2 sin x

sin 2x 1 t

    

     

  



 

1 trở thành

2

1 t 4tm  t24t 1 m.

 

2

Xét hàm f t

 

 t24t1, t  2; 2. Ta thấy f nghịch biến trên



 2;



 f nghịch

biến trên  2; 2, lại có f



 2



4 21, f

 

2  4 21  TGT của f là

4 2 1;4 2 1

   

 .

Do đó

 

1 có nghiệm 

 

2 có nghiệm t  2; 2

   4 2 1 m4 21.

Ví dụ 5.Tìm m để phương trình





m sin xcos x 1  1 sin 2x

 

1

có nghiệm

2
x0;

 .

Giải

Đặt





4

tsin xcos x 2 sin x 

 

2  t2 1

2

sin x cos x  , phương trình

 

1 trở thành







2



m 1 t  1 t 1  m 1 t







t2 ( t 1)



2

t
m

1 t



 .

 

2

Ta thấy

2
x0;

  

3
4 4 4
x; 

 







4
x 0;

2

max 2 sin x  2


 

 

 

  

 

  , x 0;



4



2

min 2 sin x  1


 

 

 

  

 

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

38
Xét hàm

 

t2

1 t

f t


 , t1; 2

 . Ta có

 





2
t 2t

2
1 t

f ' t  0



   t 1; 2

   f t

 

đồng biến trên

1; 2

 

  

 





t 1; 2

max f t f 2 2 2 1

 

 

   ,

 

1

2
t 1; 2

min f t f 1

 

 

  .

Vậy

 

1 có nghiệm

2
x0;

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

C.

Bài t

ập

Bài 1. Giải các phương trình sau

1) 1 1

sin xcos x 2 2 sin 2x.

2) 1 sin x3 cos x3 3sin 2x
2

   .

3) sin 2x 12 sin x



cos x



120.
4) 1 sin x 1 cos x 1.





4
sin 2x 2 sin x 1.

6) 2 sin x



cos x



tan x cot x .

7) sin xsin x2 sin x3 sin x4 cos xcos x2 cos x3 cos x4 .

Bài 2. Tìm m để phương trình sin x cos x sin 2xm có nghiệm.

Bài 3. Tìm m để phương trình 2 sin x



cos x



sin x cos xm có nghiệm

2
x0;

 .

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

D.

Đáp số

Bài 1 1)

4 2k

 

(k). 2)

2 2k



   (k).

3) 2k
2


 ,  2k, (k). 4) 2k, 2k

2


  (k).

5) k
4


 , 2k

2


 ,  2k (k). 6)

4 2k

  (k).

4 k

 ,  2k,

2 2k



   (k).

Bài 2 5

4

1 2 m

    . Bài 3 1 4 2

2

2m  .

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Lo

ại 3.

Phép đặt ẩn phụ

x

2

t



tan

A.

Tóm t

ắt lý thuyết

* Nguyên tắc chung:Xét phương trình dạng



x x



2 2

f sin x;cos x;tan ;cot 0.

 

1

+) Tìm nghiệm thỏa mãn x

2

cos 0 của phương trình.
+) Tìm nghiệm thỏa mãn x

2

cos 0 của phương trình:

Đặt x

2

ttan  2t

2
1 t

sin x



 , 1 t

1 t
2
2

cos x 


 .

Nhờ phép đặt ẩn phụ trên, phương trình

 

1 trở thành

2t 1 t
2
1 t 1 t

2 1

2 t

f ;  ;t; 0

 

 



 

  .

 

2

Giải phương trình

 

2 để tìm t. Ứng với mỗi giá trị t, giải phương trình x

2

ttan để tìm nghiệm của

 

1 .

* Trường hợp đặc biệt (áp dụng cho phương trình bậc nhất đối với sin, cos):

Phương trình bậc nhất đối với sin x, cos x là phương trình có dạng:

A sin xB cos xC,

 

3

trong đó, A và B là các hằng số khôngđồng thời bằng 0 (A2B2 0).

Với cách đặt ẩn phụ như đã trình bày trong phần nguyên tắc chung, từ

 

3 ta thu được phương trình

2 2

2

2t 1 t

A B C

1 t 1 t



 

 





BC t



22AtBC0.

 

4

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

B.

M

ột số

ví d

ụ

Ví dụ 1.GPT x

2

sin xcos xtan .

 

1

Giải
ĐK: x

2

cos 0  x

2 2 k



    x  2k (k).

Đặt x

2

ttan  2t

2
1 t

sin x


 , 1 t

1 t
2
2

cos x 


 . Phương trình

 

1 trở thành

2

2 2

2t 1 t
t

1 t 1 t



 

 

 2t 1 t  2t 1 t



 2



 t3t2  t 1 0

 t 1.
Vậy

 

1  x

2

tan  1  x

2 4 k



    

2

x 2k (k).

Ví dụ 2.Tìm m để phương trình





2sin x 2m cosxm

 

1

có nghiệm

2
x0;

 .

Giải

Đặt x

2

ttan 

2t
2
1 t
2
1 t
2

1 t
sin x
cos x



 



 



, phương trình

 

1 trở thành





2

2t 1 t

2 2

1 t 1 t

2. 2 m  m

 

    4t



2 m





1 t 2



m 1



t2



</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

 t22t 1 m.

 

2

Ta thấy x

2
x 0;

2

min tan 0


 



 

 

 , x

2
x 0;

2

max tan 1



 



 

 

 . Do đó, nghiệm t của

 

2 cho nghiệm x của

 

1 khi

và chỉ khi t



0;1



Hàm f t

 

t22t nghịch biến trên



;2



nên nghịch biến trên



0;1









 

t 0;1

min f t f 1 1


   ,





 

t 0;1

max f t f 0 0


  .

 

1 có nghiệm

2
x0;

  

 

2 có nghiệm t



0;1



   1 1 m0  1m2.

Nhận xét: Bài tốn trên khơng giải quyết được bằng cách chia hai vế của phương trình cho





2
2

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

C.

Bài t

ập

Bài 1. Giải các phương trình sau
1) 3sin xcos x2.

2) x

2

4sin xcos x3tan .

3) x

2

2sin xcos x 1 cot .

Bài 2. Tìm m để phương trình 2sin xm cos x 1 m có nghiệm thuộc đoạn

2 2;

 

 

 .

Bài 3. Tìm m để phương trình



m2 sin x



2m cos x2 m 1







có nghiệm thuộc đoạn

2
2; 3

 

 

 .

Bài 4. Tìm m để phương trình m sin x



m 1 cos x



32m có nghiệm thuộc đoạn 2

3
0; 

 

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

D.

Đáp số

Bài 1

1) 3 6

2

x2 arctan  2k, 3 6

2

x2 arctan  2k (k).

2

x 2k, 5 33

2

x2 arctan  2k, 5 33

2

x2 arctan  2k (k).

2

x 2k, 1

2

x2 arctan 2k (k).

Bài 2  1 m3.

Bài 3 4

3 m 0

   .

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50></div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Lo

ại 4.

Phép đại số hóa t = tanx

A.

N

ội dung phương pháp

Ý tưởng chung của phương pháp này là: chọn một số n thích hợp (n*) sao cho sau khi chia

hai vế của phương trình cho cos xn ta thu được phương trình mới có dạng f tan x





0. Q
trình này được thực hiện nhờ việc sử dụng các đẳng thức sin x

cos x tan x và

2
1

2
cos x

tan x 1

  .

B.

M

ột số ví dụ

Ví dụ 1.Giải phương trình sin x2 2 sin x cos x3 cos x2 0

 

1 .

Giải

Thay cos x0 vào

 

1 ta có sin x2 0  sin x0  x  (vì sin x, cos x không thể
đồng thời bằng 0). Do đó những giá trị của x mà cos x0 không phải nghiệm của

 

1 . Chia
hai vế của

 

1 cho cos x2 ta được phương trình tương đương

2

tan x2 tan x30  tan x 1

tan x 3

 







 x 4 k

x arctan 3 k



    


   



(k).

Ví dụ 2. sin x tan x 12







3 sin x cos x sin x







3

 

1 .

Giải

Chia hai vế của

 

1 cho cos x2 ta được phương trình tương đương

tan x tan x 12







3 tan x3 tan x2 3 tan x 1



2 



 tan t3 tan x2 3 tan x30

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>



tan x 1
tan x 3
tan x 3

 









 




x k

4

x k

3




   





    


(k).

Ví dụ 3.Tìm m để phương trình sin x2 2 m 1 sin x cos x











m 1 cos x



2 m

 

1 có
nghiệm.

Giải

* Thay cos x0 vào

 

1 ta có sin x2 m. Do đó

+) m1  những giá trị của x làm cho cos x0 không là nghiệm của

 

1 .

+) m1  những giá trị của x làm cho cos x0 là nghiệm của

 

1 

 

1 có nghiệm.

* Khi cos x0, chia hai về của

 

1 cho cos x2 ta được phương trình tương đương











2 1

2
cos x

2
tan x 1

tan x 2 m 1 tan x m 1 m.



    





m 1 tan x



2 2 m 1 tan x







2m 1 0

 

2 .

Đặt ttan x,

 

2 trở thành



m 1 t



22 m 1 t 2m 1







  0

 

3 .

Ta đã biết khi m1 thì

 

1 có nghiệm nên ta chỉ cần xét m1. Khi đó

 

3 là phương trình
bậc hai với   ' m2 m2.

 

1 có nghiệm 

 

3 có nghiệm  m2m20 

2 m 1

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

C.

Bài t

ập

Bài 1. Giải các phương trình sau
1) 6sin x2 sin x cos x cos x 2 2.
2) sin 2x2 sin x2 2cos 2x.

3) 2sin 2x2 3 sin 2x cos 2xcos 2x2 2.
4) 2 2 sin x cos x 1

12



 

 

 

  .

5) 4sin x cos x 4sin



x cos x



2 sin 3 x cos



x



1

2 2

 

   

        

   

    .

6) 2 3 cos x2 2 sin x cos x



3 2



0.
7) sin x tan x 12







3 sin x cos x sin x







3.
8) sin xcos x4 sin x3 0.

9) 2 2 cos3 x 3 cos x sin x 0
4



 

   

 

  .

10) 3 sin3 x 2 sin x
4



 

 

 

  .

11) cos 2x52 2 cos x





 

sin xcos x



Bài 2. Tìm m để phương trình m cos x2 4 sin x cos xm20 có nghiệm thuộc khoảng

 

0;4

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

D.

Đ

áp s

ố

Bài 1 1) 2) k

4


 , k

2


  (k).

3) k

4 2

 

 ,

 

1

3

1 k

arctan

2 2



  (k, ). 4) k

4


 , k

3


  (k).

5) k

4


 , 1

3

arctan  k (k). 6) k
24



  , 5 k

24


  (k).

7) k

3


  , k

3 2

 

 (k). 8) k

4


  (k).

9) k

2


 , k

4


  (k). 11) k, k

6


 , k

3


  (k).

11) 2k

2


 ,  2k (k).

Bài 2 1 m 8
3

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Ch

ủ đề 3.

Ph

ương tr

ình tích

A.

N

ội dung phương pháp

Phần này đề cập đến việc giải phương trình lượng giác bằng cách đưa phương trình cần xét về dạng
phương trình tích. Cũng như đại số hóa, đây là một tư tưởng quan trọng khi giải phương trình nói chung,

phương trình lượng giác nói riêng.

Sau đây là một số đẳng thức hay sử dụng trong phần này

o 1 sin 2x 



sin xcos x



2.

o 1 sin 2x 



sin xcos x



2.

o cos 2x



cos xsin x

 

cos xsin x



o sin x cos x3  3 



sin xcos x 1 sin x cos x







o sin x cos x3  3 



sin x cos x 1 sin x cos x

 





o 1 tan x cos x sin x
cos x



  .

o 1 tan x cos x sin x
cos x



  .

o 1 cot x sin x cos x
sin x



  .

o 1 cot x sin x cos x
sin x



</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

B.

M

ột số ví dụ

Ví dụ 1.[ĐHD04] Giải phương trình



2 cos x 1

 

2 sin xcos x



sin 2xsin x

 

1 .

Giải

Ta có sin 2x sin x sin x 2cos x 1







. Do đó

 

1 



2 cos x 1

 

2 sin xcos x



sin x 2 cos x 1











2 cos x 1

 

sin xcos x



0  2 cos x 1 0

sin x cos x 0
 




 





1
2
cos x
tan x 1

 



  





x 2k

3

tan x k

4




   






    



(k).

Ví dụ 2.[ĐHB05] Giải phương trình 1 sin x cos xsin 2xcos 2x0

 

1 .

Giải

Ta có: 1 sin 2x 



sin xcos x



2, cos 2x



cos xsin x

 

cos xsin x



Do đó

 

1 



sin xcos x

 

 sin xcos x



2 



cos xsin x

 

cos x sin x



0





sin xcos x



1



sin x cos x

 

 cos x sin x



0





sin xcos x



2cos x 1



0  sin x cos x 0

2 cos x 1 0

 




 




tan x 1
1
cos x

2

 




  



 4

2
3

x k

x 2k




    


    



, (k).

Ví dụ 3.[ĐHB11] sin 2x cos xsin x cos xcos 2xsin xcos x

 

1 .

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

53
Ta có

 

1  sin 2x cos xsin x cos xsin x



cos 2xcos x



0

 sin x 2 cos x cos x 1



2  

 

 2 cos x2 cos x 1



0





sin x 1





2 cos x cos x 12  



0





sin x 1

 

cos x 1

 

2cos x 1



0



sin x 1
cos x 1

1
cos x
2

 

 







x 2k
2
x 2k
x 2k
3


  


   

 
   



(k).

Ví dụ 4.Giải phương trình sin 5x cos x 2 cos3x

 

1

2 4 2 4 2

 
   
   
   
    .
Giải

Ta có sin 5x cos x sin 5x sin x 2 cos3xsin x

2 4 2 4 2 4 2 4 2 4

    

         

        

         

         .

Do đó

 

1  2cos3x sin x 2 0

2 4 2

   
  
   
 
 

3x
cos 0
2
2
sin x

4 2





  
 
 

 



3x
k
2 2
x 2k
4 4
3
x 2k
4 4


  


 
    



 
    


2k
x
3 3
x 2k
2
x 2k
 

 



   


   



, (k).

Ví dụ 5.Giải phương trình tan 3 x sin x 2

 

1
2 1 cos x

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

Ta có tan 3 x tan x cot x

2 2
 
   
   
   
    .

Do đó điều kiện để phương trình có nghĩa là: sin x 0



cos x 1



cos x 1

    


 



 sin x0

 

2 .

Ta có

 

1  cot x sin x 2
1 cos x

 

 

















2
1 cos x 1 cos x

cos x 1 cos x sin x 2 sin x 1 cos x

 

   





1 cos x



cos x



1 cos x



2sin x0 



1 cos x



1 2 sin x



0



 

không thỏa mãn 2

thỏa mãn 2

cos x 1 ( )

1

sin x ( )

2
  

 


x 2k
6
5
x 2k
6


  



   


(k).

Ví dụ 6.Giải phương trình





 

2
4

4

2 sin 2x sin 3x

tan x 1 1

cos x


  .

Giải

Đk: cos x0. Ta có

 

1  sin x cos x4  4 



2 sin 2x sin 3x 2



.
Lại có sin x4 cos x4 1 1sin 2x2

2

   . Do đó phương trình nói trên tươngđương với





2 2

1

1 sin 2x 2 sin 2x sin 3x
2

   



2 sin 2x2



sin 3x 1 0

2

 

   

 

 sin 3x 1
2

 (do 2 sin 2x 2 1 x)  sin 3x 1
2



</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

 6

5
6

3x 2k




   



   





2k
18 3
5 2k
18 3

x
x

 

  



  



(k).

Ví dụ 7.Giải phương trình sin x sin x cos x2  sin x cos x 20

 

1 .

Giải

Cách 1:

 

1 



sin x sin x cos x2  2 sin x







sin x cos x 2



0

 sin x sin x



cos xsin x

 

 sin xcos x2



0





sin x 1

 

sin xcos xsin x



0



 

sin x cos x 2 2

sin x 1 3

   





 

2  sin xcos x 2, 1212 



2



2   2 0 

 

2 vô nghiệm.

 

3  x k 2
2


   (k).

Vậy nghiệm của

 

1 là 2k
2


  (k).

Cách 2: Ta có

 

1  sin x2 



cos x 1 sin x cos x



 20.
Coi

 

1 là phương trình bậc hai đối với sin x, ta có



cos x 1



2 4 cos x



2

 

cos x 3



2

       .

Do đó

 

1 



 





 



cos x 1 cos x 3
sin x

2

cos x 1 cos x 3
sin x

2

    





    





 sin x cos x 2

sin x 1

  



 



</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

Nhận xét: Đối với phương trình có dạng

 

2 2

a sin x b cos x c sin x cos x  d sin x e cos x f  0 1 ,

với a, b là các số không đồng thời bằng 0, việc đưa về phương trình tích nói chung là phức tạp.
Để giải phương trình dạng này (phương trình bậc hai đối với sin, cos) ta có một cách làm khác

như sau: Coi

 

1 là phương trình bậc hai đối với cos x, giải cos x theo sin x; hoặc coi

 

1 là

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

C.

Bài t

ập

Giải các phương trình sau

1) [ĐHB02] sin 3x2 cos 4x2 sin 5x cos 6x2  2 .
2) [ĐHA03] cot x 1 cos 2x sin x2 1sin 2x

1 tan x 2

   

 .

3) [ĐHD03] sin2 x tan x cos2 2 x 0

2 4 2



 

  

 

  .

4) [ĐHB07] 2sin 2x2 sin 7x 1 sinx.

5) [ĐHB08] sin x3  3 cos x3 sin x cos x2  3 sin x cos x2 .
6) [ĐHD08] 2sin x 1 cos 2x







sin 2x 1 2 cos x.

7) [ĐHB10]



sin 2xcos 2x cos x



2 cos 2xsin x0.
8) [ĐHA11]

2

1 sin 2x cos 2x

2 sin x sin 2x
1 cot x

 




.
9) [ĐHD11] sin 2x 2 cos x sin x 1 0

tan x 3

  



 .

10)



2 sin x 1 tan 2x2 



2 3 2 cos x 1



2 



0.
11) 4sin x3 4 sin x2 3 sin 2x6 cos x0.
12) 2sin x cos 2xsin 2x cos xsin 4x cos x.
13)



1 tan x



1 sin 2x



 1 tanx.
14) sin 2x sin x 1 1 2 cot 2x

2sin x sin 2x

    .

15) sin 3x



32 cos 3x



1.

16) 3 cos x2 sin x cos x2 sin x2 1



 3 cos x



40.
17) sin 2xcos 2x3 sin x cos x 20.

18) [ĐHD10] sin 2x cos 2x 3 sin xcos x 1 0.
19) [ĐHA12] 3 sin 2xcos 2x2cos x 1 .

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

D.

Hướng dẫn và đáp số

1) k

9

 , k
2

 (k). 2)

4 k

  (k).

3)  2k,

4 k



   (k). 4) k

8 4

 , 2k
18 3

  , 5 2k
18 3

  (k).

5) k

4 2

 ,

3 k



   (k). 6) 2

3 2k



  ,

4 k

  (k).

7) k

4 2

  (k). 8) k

2


 , 2k

4


 , (k).

9) 2k
3


  (k) 10) k

6 2

 

  (k).

11) 2k
2



  , 2 2k

3


   (k). 12) k, k

3


(k).

13) k
4


  , k (k). 14) k

4 2

 

 (k).

15) 2k

6 3

 

 , 2 2k

9 3

 

 (k). 16) 5 2k

6


  (k).

17) 2k
6


 , 5 2k

6


 , 2k

2


 ,  2k (k).

18) 2k
6


 , 5 2k

6


  (k).

19) k
2


 , 2k, 2 2k

3


  (k). 20) k

4 2

 

 , 7 2k

12



 , 2k

12


</div>

ON THI DH PHUONG TRINH LUONG GIAC

PH

ẠM HỒNG PHONG



<b>Phân lo</b>

<b>ại chi tiết</b>



<b>H</b>

<b>ệ thống ví dụ phong phú</b>



<b>Bài t</b>

<b>ập có đáp số đầy đủ</b>



<b>Trích d</b>

<b>ẫn tất cả các bài thi trong các năm 2002 </b>

<b>- 2012</b>

<b>M</b>

<b>ục lục</b>

<b>Ch</b>

<b>ủ đề 1.</b>

<b> M</b>

<b>ột số kiến thức chung về p</b>

<b>h</b>

<b>ươ</b>

<b>ng trình l</b>

<b>ượng giác</b>

... 1

<b>Ch</b>

<b>ủ đề 2.</b>

<b>Đặt ẩn phụ để giải phươ</b>

<b>ng trình l</b>

<b>ượng giác</b>

... 23

<b>Ch</b>

<b>ủ đề 1.</b>

<b>M</b>

<b>ột số kiến thức chung về phương tr</b>

<b>ình l</b>

<b>ượng </b>

<b>giác </b>

<b>Lo</b>

<b>ại 1.</b>

<b>Các phương tr</b>

<b>ình l</b>

<b>ượng giác cơ bản</b>

<b>A.</b>

<b>Tóm t</b>

<b>ắt lý thuyết</b>

<b> </b>

<b> </b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b> </b>

<b></b>

<b></b>

<b> </b>

<b> </b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b> </b>

<b> </b>

<b></b>

<b></b>

<b> </b>

<b></b>

<b></b>

<b> </b>

<b> </b>

<b> </b>

<b> </b>

<b> </b>

<b> </b>

<b> </b>

<b> </b>