Dạy thêm toán 11 D3 2 dãy số

TOÁN 11

DÃY SỐ

1D3-2

MỤC LỤC

PHẦN A. CÂU HỎI
DẠNG 1. BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CƠNG THỨC TỔNG QT
Câu 1.

(THPT CHUN NGUYỄN ĐÌNH TRIỂU - ĐỒNG THÁP - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số
1 3 2 5
, , , ,...
2 5 3 7

A.
Câu 2.

u10 = 97

B.

un = 5(n − 1)

.

B.

un = 7 n + 7

un = 7.n + 1

.
.

B.
D.

A.

.

B.

u n = 5n

un = 1

.

B.

C.

n +1
∀n ∈ ¥ *
n+3

un =

. D.

2n
∀n ∈ ¥ *
2n + 1

.

. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số

C.

.

C.

u10 = 1414

D.

u10 = 971

Số hạng tổng quát của dãy số này là:

un = 5 + n

8,15, 22, 29,36,...

un = 7.n

.

D.

un = 5.n + 1

.

.Số hạng tổng quát của dãy số này là:

.

un

: Không viết được dưới dạng công thức.
1 2 3 4
0; ; ; ; ;...
2 3 4 5

n
un =
n +1

Cho dãy số có các số hạng đầu là:
A.

.

5;10;15; 20; 25;...

Cho dãy số có các số hạng đầu là:
n +1
un =
n

un =

u10 = 71

Cho dãy số có các số hạng đầu là:

C.

Câu 6.

B.

Cho dãy số có các số hạng đầu là:

A.

Câu 5.

.

nào là của dãy số đã cho?

n
un = n ∀n ∈ ¥ *

2
−1,3,19, 53

A.
Câu 4.

. Cơng thức tổng qt

n
un =
∀n ∈ ¥ *
n +1

Cho dãy số có 4 số hạng đầu là:
hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.
A.

Câu 3.

un

.

−1;1; −1;1; −1;...

u n = −1

.

.Số hạng tổng quát của dãy số này là:

C.

n −1
un =
n

un =
.

D.

n2 − n
n +1

.

.Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng
n +1
un = ( −1)
u n = (−1) n
C.
.
D.
.
1


Câu 7.

Cho dãy số có các số hạng đầu là:
A.

Câu 8.

1 1
un =
3 3 n +1

Cho dãy số
A.
C.

Cho dãy số
đây?
A.

Câu 11.

C.

.

( un )

A.

un = 1 +

với

với

B.

với

.Số hạng tổng quát

(n − 1)n
un = 5 +
2

.

D.

un

n ( n − 1) ( 2n − 1)
6

1
3n

un

.

D.

1
3 n −1

.

.

. Số hạng tổng quát

.

C.

un

un = 1 + ( −1)

. Số hạng tổng quát

un = − n

của dãy số là số hạng nào dưới
2n

un

.

D.

un = n

.

của dãy số là số hạng nào dưới

n

với mọi .

. Số hạng tổng quát

un

B.

un = 1 +
.

un =

của dãy số là số hạng nào dưới đây?

un = 1 +
.

.

không xác định.

u1 = 1

2
un +1 = un + n

n ( n + 1) ( 2n + 1)
6

D.

.

(n + 1)( n + 2)
2

un = 1 − n

.

un = ( −2 ) + 2 ( n − 1)

….Số hạng tổng quát của dãy số này là?

C.

u1 = 1

2 n +1
un +1 = un + ( −1)

B.

với

.

u1 = 1

2n
un +1 = un + ( −1)

.

( un )

3

u n = ( − 2) (n + 1)

un =

n +1

D.

B.

C.

1

un = 5 +

.

.

.Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?

1 1 1 1 1
; ; ; ; ;
3 3 2 33 3 4 35

u1 = 5

u n +1 = u n + n

.

.

( un )

un = 1 − n

un = 1 +

B.

(n + 1)n
2

un = 2 − n

Cho dãy số

C.

un =

( un )

un = 1 + n

Cho dãy số
đây?
A.

Câu 12.

B.

(n − 1)n
un =
2
un = 5 +

Câu 10.

.

u n = ( − 2) + n

Cho dãy số có các số hạng đầu là:
A.

Câu 9.

u n = −2n

−2; 0; 2; 4;6;...

D.

của dãy số là số hạng nào dưới đây?

n ( n − 1) ( 2n + 2 )
6

n ( n + 1) ( 2n − 2 )
6

.

.

2

Câu 13.

Câu 14.

Câu 15.

Câu 16.

u1 = 2

un +1 − un = 2n − 1

( un )

Cho dãy số
với
đây?
2
un = 2 + ( n − 1)
A.
.

( un )
Cho dãy số
với
n −1
un = −
n
A.
.

( un )

Câu 17.

Câu 18.

1
un = ( −1) .  ÷
2

Cho dãy số
un = n n −1
A.
.

Cho dãy số
A.

( un )

( un )

un = −2n −1

.

.

với

với

C.

un = 2 + ( n + 1)

2

.

D.

un = 2 − ( n − 1)

2

.

. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
n +1
n +1
n
un =
un = −
un = −
n
n
n +1
B.

.
C.
.
D.
.

u1 = −1


un
un+1 = 2

với

.

của dãy số là số hạng nào dưới

u1 = −2

1

un +1 = −2 − u
n


( un )

n

A.

B.

un = 2 + n 2

1

u1 =
2

un +1 = un − 2

Cho dãy số
với
1
un = + 2 ( n − 1)
2
A.
.

Cho dãy số

. Số hạng tổng quát

un

. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
1
1

1
un = − 2 ( n − 1)
un = − 2 n
un = + 2 n
2
2
2
B.
. C.
.
D.
.

. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
n +1
n −1
n −1
1
1
1
un = ( −1) .  ÷
un =  ÷
un = ( −1) .  ÷
2
2
 2
B.
. C.
.
D.

.

u1 = 2

un +1 = 2un

. Cơng thức số hạng tổng quát của dãy số này:
un = 2 n
un = 2n +1
un = 2
B.
.
C.
.
D.
.

1

u1 =
2

un +1 = 2un

. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:
−1
−1
un = n −1
un = n
un = 2 n − 2

2
2
B.
.
C.
.
D.
.

3


(un )
Câu 19. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKII - 2018) Cho dãy số
xác định bởi
u1 = 1

3
*
un − 1 ≥ 2039190
un +1 = un + n , ∀n ∈ ¥
n
. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho
.
n = 2017
n = 2019
n = 2020
n = 2018
A.
.

B.
.
C.
.
D.
.

( un )

Câu 20. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Cho dãy số
−un + 2017 n + 2018 = 0
n
. Giá trị của để
là
n
2018
1009
A. Khơng có .
B.
.
C.
.
Câu 21.

Câu 22.

D.

2017

.

{ un }
(THPT QUẢNG N - QUẢNG NINH - 2018) Cho dãy số
xác định bởi
1
un =
4 3
4 3
2
4 3
S = u1 + u2 + ... + u20184 −1
n + n + n + n + 2n 2 + n + 4 n3 + 3n 2 + 3n + 1 n ≥ 1
,
. Tính tổng
.
2016
2017
2018
2019
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
u1 =

(un)

2
3

(SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Cho dãy số
được xác định bởi
và
un
un +1 =
*
2 ( 2n + 1) un + 1 n ∈ ¥
2018
,
. Tính tổng
số hạng đầu tiên của dãy số đó?
4036
4035
4038
4036
4035
4034
4037
4037
A.
.
B.
.
C.
.

D.
.

(

Câu 23.

xác định bởi

u1 = 1

un +1 = un + 2n + 1, n ≥ 1

)

( un ) :1; 6;11;...

Cho hai cấp số cộng
và
số có mặt trong cả hai dãy số trên.
403
401
A.
.
B.
.

( vn ) : 4;7;10;...

C.

Mỗi cấp số có 2018 số. Hỏi có bao nhiêu

402

.

D.

504

.

DẠNG 2. TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ

Câu 24.

Cho dãy số
1 2 3
; ;
2 3 4
A.
.

( un )

un =
, biết

n

2 −1
n

. Ba số hạng đầu tiên của dãy số là
1 1
1 1
1; ;
1; ;
2 16
4 8
B.
C.

D.

2 3
1; ;
3 7

.

4


Câu 25.

Câu 26.

Câu 27.

Câu 28.

(THPT THUẬN THÀNH 1) Cho dãy số
Số hạng đầu tiên của dãy là:
3
5
2
A. .
B. .
Cho dãy số
5
A. .

( un )

có

B.

Câu 31.

Câu 32.

7

. Số

có số hạng tổng quát

C.

−19

.

0

.

(Chuyên Phan Bội Châu-lần 1-2018-2019) Cho dãy số
u99
Giá trị
bằng
99
- 1
1
A.
.
B.
.
C. .
an 2
n +1

B.

(a: hằng số).
2
a. ( n + 1)
un +1 =

n +1

un +1

C.

( un )

Cho dãy số
22018
A.
.

Cho dãy số
1
u3 = .
10
A.

( un )

với

un = 1 + 2n.

un = 3n

( un )

với

B.

xác định bởi

un = ( - 1) cos ( nπ )

- 99

.

.

an 2
n+2

un +1 =
.

un = 2 n + 1

8
.
31

Tìm khẳng định sai.
19
u21 = .
64
C.
un =

Câu 33.

bằng

D.

số hạng thứ
D.

4093

.

2019

của dãy

.

u2018

n−2
, n ≥ 1.
3n + 1

u10 =

u2 n −1

n

a.n 2 + 1
n +1

Khi đó số hạng
bằng
2017
2017 + 2
1 + 2 2018
B.
.
C.
.

un =

).

.

. Khi đó số hạng
32.3n − 1
D.
.

D.

(Phát triển đề minh hoạ 2019-Đề 8) Cho dãy số
với

là
4039
4390
4930
A.
.
B.
.
C.
.

( un )

(với

n∈¥*

là số hạng nào sau đây?
un +1 =

.

n
n +1
2

là số hạng thứ mấy của dãy?
6
4
C. .

D. .

(Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Cho dãy số
với
3n.3n−1
32 n−1 − 1
32 n − 1
A.
.
B.
.
C.
.

un =

1
2

D.

( un )

( un )
Câu 29. Cho dãy số
với
2
a. ( n + 1)
un +1 =
n+2

A.
.
Câu 30.

un = − n 2 + n + 1

( un )

un = 1 −

(LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Cho dãy số

D.

2018 + 22018

u50 =

D.
n 2 + 2n − 1
n +1

. Tính

.

47
.
150

u11

.

5


u11 =

A.
Câu 34.

Câu 35.

Câu 36.

182
12

u11 =

.

B.

1142
12

.

C.

1422
12

.

D.

71
6

.

(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho dãy số
xác định bởi
 nπ 
 nπ 
un = 2017 sin 
÷+ 2018cos 
÷
 2 
 3 
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
un +9 = un , ∀n ∈ ¥ *
un +15 = un , ∀n ∈ ¥ *
A.
. B.
.
*

*
un +12 = un , ∀n ∈ ¥
un + 6 = un , ∀n ∈ ¥
C.
. D.
.

Cho dãy số
số?
20
A.
.
Cho dãy số
5
A. .

( un )

un =
có số hạng tổng quát là
B.

( un )

có

19

.

u1 = u2 = 1
B.

3

Cho dãy số
5
A. .

C.
và

6

.

. Khi đó

22

C.

. Số

20

2

39
362

là số hạng thứ mấy của dãy

.

D.

un + 2 = un +1 + un , ∀n ∈ ¥ *

.

u1 = 5
un+1 = un + n
B.

2n + 1
n2 + 1

. Tính

.

u4

21

.

.
D.

4

.

là số hạng thứ mấy trong dãy?
9
10
C. .
D. .

Câu 38. (LÊ Q ĐƠN - HẢI PHỊNG - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số
10
số hạng thứ
của dãy số đã cho.
51,3
51,1
51, 2
A.
.
B.
.
C.
.

Câu 39.

u11 =

( un )

( un ) : 
Câu 37.

u11 =

( un )

un =
thỏa mãn

D.

102,3

( un )

. Tìm

.

u1 = 4

un +1 = un + n

(THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số
5
hạng thứ của dãy số.
16
15

12
14
A. .
B. .
C. .
D. .

Câu 40. (THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số
 u1 = 0

un +1 = un + n; n ≥ 1 u218
;
nhận giá trị nào sau đây?

2n −1 + 1
n

. Tìm số

bởi cơng thức truy hồi sau

6


A.

23653

.

B.

46872

.

C.

23871

.

D.

23436

.

DẠNG 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM

( un )

un = a.3n a
Câu 41. Cho dãy số
với
( : hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai?
n +1
un +1 = a.3
un +1 − un = 3.a
A. Dãy số có

.
B. Hiệu số
.
a>0
a<0
C. Với
thì dãy số tăng
D. Với
thì dãy số giảm.

a −1
n2 a
( : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?

un =

( un )

Câu 42. Cho dãy số
với
a −1
un +1 =
( n + 1) 2
A.
.

un +1 − un = ( 1 − a ) .

un +1 − un = ( a − 1) .

C. Hiệu

( un )

B. Hiệu

2n − 1

( n + 1)

un =

k
3n

un =

a −1
n2

2

n2

.

D. Dãy số tăng khi

a <1

2n − 1

( n + 1)

2

n2

.

.

k
( : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?
k
k
5
5
n
3
3 n +1
A. Số hạng thứ của dãy số là .
B. Số hạng thứ của dãy số là
.
k >0
k >0
C. Là dãy số giảm khi
.
D. Là dãy số tăng khi
.

Câu 43. Cho dãy số

Câu 44. Cho dãy số

( un )

với

với

un +1 =

A. Dãy số có
C. Là dãy số tăng.

a −1
n2 + 1

. Khẳng định nào sau đây là đúng?
un +1 =

.

B. Dãy số có :
D. Là dãy số giảm.

a −1

( n + 1)

2

.

an 2
( un )
n +1 a
Câu 45. Cho dãy số
với
( : hằng số). Kết quả nào sau đây là sai?
2
a. ( n 2 + 3n + 1)
a. ( n + 1)
un +1 − un =
un +1 =
(n + 2)( n + 1)
n+2
A.
.
B.
.
a
a>0
C. Là dãy số luôn tăng với mọi .
D. Là dãy số tăng với
.
un =

Câu 46.

(U n )
Dãy số
có số hạng tổng quát nào sau đây là dãy giảm?
Un = n + 2 − n +1
U n = 1 + 2n
A.
.
B.
.
7


C.
Câu 47.

Un = 1

.

D.

Cho dãy số

( un )

có

U n = 6n

.

un = − n 2 + n + 1

. Khẳng định nào sau đây là đúng?
−1;1;5; −5; −11; −19
A. 5 số hạng đầu của dãy là:
.
2
u n +1 = − n + n + 2
B.
.
u n −1 − u n = 1
C.
.
D. Là một dãy số giảm.

( un )

Câu 48. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Trong các dãy số
cho bởi số hạng tổng
un
quát
sau, dãy số nào là dãy số giảm?
1
3n − 1
un = n
un =
un = n 2
un = n + 2

2
n +1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 49.

(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm

A.
Câu 50.

n −3
un =
n +1

.

B.

n
un =
2

.

C.

2
un = 2
n

un
.

( −1)
=

D.

n

3n

.

(THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Dãy số nào sau đây là dãy số giảm?
5 − 3n
n−5
un =
, ( n ∈ ¥ *)
un =
, ( n ∈ ¥ *)
2n + 3
4n + 1

A.
.
B.
.
3
un = 2n + 3, ( n ∈ ¥ *)
un = cos ( 2n + 1) , ( n ∈ ¥ *)
C.
.
D.
.

Câu 51. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?
2n + 1
un =
un = n 3 − 1
un = n 2
un = 2 n
n −1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
DẠNG 4. DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI

Câu 52.

Cho dãy số

( un )

un
với

( −1)
=

n +1

A. Số hạng thứ 9 của dãy số là
C. Dãy số

( un )

n −1

1
10

. Khẳng định nào sau đây là sai?
.

là một dãy số giảm.

B. Dãy số

( un )

bị chặn.

D. Số hạng thứ 10 của dãy số là

−1
11

.

8


Câu 53. Cho dãy số
un +1 =

( un )
−1

( n + 1)

2

−1
n +1

un =

2

với

. Khẳng định nào sau đây là sai?

+1

un > un +1
B.
.
D. Bị chặn dưới.

A.
.
C. Đây là một dãy số tăng.

Câu 54.

Cho dãy số

( un )

un = sin
với

n +1
A. Số hạng thứ
của dãy:
C. Đây là một dãy số tăng.

Câu 55. Cho dãy số

( un )

un =
với

π
n +1

un +1 = sin

(−1) n −1
n +1

A. Số hạng thứ 9 của dãy số là

. Khẳng định nào sau đây là sai?

1
10

π
n+2

B. Dãy số bị chặn.
D. Dãy số không tăng không giảm.

. Khẳng định nào sau đây là sai?
.

B. Số hạng thứ 10 của dãy số là
M =1
D. Bị chặn trên bởi số
.

C. Đây là một dãy số giảm.

( un )

un =

n
n +1

Câu 56.

(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Dãy số
có
A. tăng.
B. khơng tăng, không giảm.
C. giảm.
D. không bị chặn.

Câu 57.

Xét các câu sau
( 1)
1, 2,3,..., n,...
Dãy

là dãy bị chặn.
1 1 1
1
1, , , ,...,
,...
( 2)
3 5 7
2n − 1
Dãy
là dãy bị chặn trên nhưng khơng bị chặn dưới.
( 2)
( 1)
A. Chỉ có
đúng.
B. Chỉ có
đúng.
C. Cả hai câu đều đúng. D. Cả hai câu đều sai.

Câu 58. Cho dãy số

( un )

un =

với

−1
11

.

là dãy số

1
n +n
2

.Khẳng định nào sau đây là sai?
1 1 1 1 1
; ; ; ;
2 6 12 20 30
A. Năm số hạng đầu của dãy là:
;
B. Là dãy số tăng.
1
M=
2
C. Bị chặn trên bởi số
.
D. Không bị chặn.
9


( un )

Câu 59. (SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Cho dãy số
A. Là dãy số không bị chặn.
−1 −2 −3
2 3 4
B. Năm số hạng đầu của dãy là:

;
;
;
C. Là dãy số tăng.
−1 −2 −3
2 3 4
D. Năm số hạng đầu của dãy là:
;
;
;

Câu 60.

Câu 61.

Cho dãy số

Cho dãy

B. Dãy
C. Dãy
D. Dãy

( un )

( un )

( un )
( un )

( un )

với

với

−n
n +1

. Khẳng định nào sau đây đúng?

−5 −5
5
6
;
.
−4 −5
5 6
;
.

−1
n

.Khẳng định nào sau đây là sai?
−1 −1 −1 −1
− 1; ; ; ;
2 3 4 5
A. Năm số hạng đầu của dãy là:
.

M = −1
B. Bị chặn trên bởi số
.
M =0
C. Bị chặn trên bởi số
.
M = −1
D. Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m
.

A. Dãy

Câu 62.

( un )

un =

un =

un =

với

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên
bị chặn.
không bị chặn trên, không bị chặn dưới.
bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới

Trong các dãy số
A.

n + 2018
.
2018n + 1

un = n 2 + 2

.

( un )

( un )

có số hạng tổng quát
n
un =
2n + 1
B.
.

un

dưới đây, dãy số nào là dãy bị chặn?
2
un = n +
n
un = 3 − 1

n
C.
.
D.
.

un = 2 + 51−n

Câu 63.

Cho dãy số
với
. Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Dãy số không đơn điệu.
B. Dãy số giảm và không bị chặn.
C. Dãy số tăng.
D. Dãy số giảm và bị chặn.

Câu 64.

(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Trong các dãy số sau, dãy nào là dãy số bị chặn?
2n + 1
un =
un = 2n + sin ( n )
un = n 2
un = n 3 − 1
n +1
A.
.
B.

. C.
.
D.
.
10


Câu 65. (THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LN 1 - 2018) Chn kt lun sai:
ổ1 ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
( 2n - 1)
èn +1ø
A. Dãy số
tăng và bị chặn trên.
B. Dãy s
gim v b chn di.
ổ 1ử
ổ
ử
1 ữ
ỗ
ỗ
- ữ
ữ
ữ

ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ỗ
ố nứ
ố3.2n ữ
ứ
C. Dãy số
tăng và bị chặn trên.
D. Dãy số
giảm và bị chặn dưới.
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

Câu 1.

DẠNG 1. BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CƠNG THỨC TỔNG QT
2 3 4 5
, , , ,...
4 5 6 7
Viết lại dãy số:
n +1
⇒ un =
∀n ∈ ¥ ∗
n+3
.

Câu 2.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

un = an3 + bn 2 + cn + d
(un )
Xét dãy
có dạng:
 a + b + c + d = −1
8a + 4b + 2c + d = 3


 27 a + 9b + 3c + d = 19
64a + 16b + 4c + d = 53
Ta có hệ:
a = 1, b = 0, c = −3, d = 1
Giải hệ trên ta tìm được:
⇒ un = n3 − 3n + 1
là một quy luật.
u10 = 971
Số hạng thứ 10:
.
Câu 3.
Hướng dẫn giải
Chọn
Ta có:
5 = 5.1

B.

10 = 5.2
15 = 5.3

20 = 5.4

25 = 5.5
Suy ra số hạng tổng quát

un = 5n

.

Câu 4.
11


Hướng dẫn giải
Chọn
C.
Ta có:
8 = 7.1 + 1

15 = 7.2 + 1
22 = 7.3 + 1

29 = 7.4 + 1
36 = 7.5 + 1
Suy ra số hạng tổng quát

un = 7 n + 1

.

Câu 5.
Hướng dẫn giải

Chọn
Ta có:
0
0=
0 +1

B.

1
1
=
2 1+1

2
2
=
3 2 +1
3
3
=
4 3 +1

4
4
=
5 4 +1
un =

Suy ra

n
n +1

.

Câu 6.
Hướng dẫn giải
Chọn
Ta có:

C.

( −1) ; ( −1) ; ( −1) ; ( −1) ; ( −1)
1

Các số hạng đầu của dãy là

2

3

4

5

;... ⇒ un = ( −1)

n

.

Câu 7.
Hướng dẫn giải
Chọn

D.

Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là
un = ( −2 ) + 2. ( n − 1)
.

2

và số hạng đầu tiên là

( −2 )

nên

Câu 8.
Hướng dẫn giải
Chọn

C.
12


5 số hạng đầu là

1 1 1 1 1

; ; ; ; ;...
31 32 33 34 35

un =

nên

1
3n

.

Câu 9.
Hướng dẫn giải
Chọn

B.
un = 5 + 1 + 2 + 3 + ... + n − 1 = 5 +

Ta có
Câu 10. Chọn
Ta có:

Câu 11.
Câu 12.

Câu 13.

Câu 14.

n ( n − 1)
2

.

D.
2n
un +1 = un + ( −1) = un + 1 ⇒ u2 = 2; u3 = 3; u4 = 4;...
u n = n ( *)

Dễ dàng dự đoán được

un = n

.

Thật vậy, ta chứng minh được
bằng phương pháp quy nạp như sau:
( *)
n = 1 ⇒ u1 = 1
n =1
+ Với
. Vậy
đúng với
n = k ( k ∈¥* )
( *)
( *)
uk = k
+ Giả sử
đúng với mọi

, ta có:
. Ta đi chứng minh
cũng đúng với
uk +1 = k + 1
n = k +1
, tức là:
2k
uk +1 = uk + ( −1) = k + 1
( un )
( *)
+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số
ta có:
. Vậy
đúng với
*
n∈¥
mọi
.
Chọn
A.
u2 = 0; u3 = −1; u4 = −2
un = 2 − n
Ta có:
,. Dễ dàng dự đốn được
.
Chọn
C.
u1 = 1

2

u2 = u1 + 1

2
u3 = u2 + 2
...

u = u + ( n − 1) 2
n −1
 n
Ta có:
.
n ( n − 1) ( 2n − 1)
2
un = 1 + 12 + 22 + ... + ( n − 1) = 1 +
6
Cộng hai vế ta được
Chọn
A.
u1 = 2
u = u + 1
1
 2
u3 = u2 + 3
...

2
un = 2 + 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 3) = 2 + ( n − 1)
un = un −1 + 2n − 3
Ta có:
. Cộng hai vế ta được

Chọn
C.
13


Câu 15.

Câu 16.

Ta có:
Chọn

Ta có:
Chọn

Ta có:

3
4
5
u1 = − ; u2 = − ; u3 = − ;...
2
3
4
B.
1

u1 = 2

u2 = u1 − 2


u3 = u2 − 2
...

un = un −1 − 2

D.
u1 = −1

u2 = u1
2


u2
u3 =
2

...

un = un −1

2

un = −
Dễ dàng dự đoán được

un =
. Cộng hai vế ta được

n +1

n

.

1
1
− 2 − 2... − 2 = − 2 ( n − 1)
2
2

.

.
n −1

u .u .u ...u
1
1
u1.u2 .u3 ...un = ( −1) . 1 2 3 n −1 ⇔ un = ( −1) . n −1 = ( −1) .  ÷
2.2.2...2
2
2
14 2 43
n −1 lan

Nhân hai vế ta được
Câu 17. Chọn
B.
u1 = 2
u = 2u

1
 2
u3 = 2u2
...

un = 2un−1
u1.u2 .u3 ...un = 2.2n −1.u1.u2 ...un −1 ⇔ un = 2 n
Ta có:
. Nhân hai vế ta được
Câu 18. Chọn
D.
1

u1 = 2

u2 = 2u1

u3 = 2u2
...

un = 2un −1
1
u1.u2 .u3 ...un = .2n −1.u1.u2 ...un −1 ⇔ un = 2 n − 2

2
Ta có:
. Nhân hai vế ta được
Câu 19.

Theo hệ thức đã cho ta có:

14


un = un−1 + (n − 1)3 = un− 2 + (n − 2)3 + (n − 1)3 = ... = u1 + 13 + 23 + ... + (n − 1)3
13 + 23 + ... + ( n − 1)3 = (1 + 2 + ... + ( n − 1)) 2 =
Lại có
un = 1 +
Suy ra:

Suy ra

=

=

n

(
4

(
=

(

7

4

, ta được kết quả

4

n3 + n . 4 n + 1 + 4 n . n + 1 + 4 ( n + 1)

)

1

n + n + 1 + n + 1.
4

(

1

4

.
2020

n = 2020

.

.

1

Ta có:
=

.

2

 n = −1( L )
⇔
−un + 2017 n + 2018 = 0 ⇔ − n 2 + 2017 n + 2018 = 0
 n = 2018 ( N )
un =

Câu 21.

.

2

n (n − 1)
n(n − 1)
⇒ un − 1 =
4
2
2

n
2017
cho chạy từ
đến

2
u2 = u1 + 3 = 4 = 2
n =1
Câu 20. Với
ta có:
.
u3 = u2 + 2.2 + 1 = 9 = 32
n=2
Với
ta có:
.
2
u4 = u3 + 2.3 + 1 = 16 = 4
n=3
Với
ta có:
.
2
un = n
Từ đó ta có:
.

Sử dụng mode

(n − 1) n
4
2

n + n +1
4

)(

n + n +1

4

n + 4 n +1

3

)

)

n +1 − n
n + 4 n +1

)(

n +1 − n .

4

n +1 − 4 n

)

n +1 − n

= 4 n +1 − 4 n

.

S = 2 − 4 1 + 4 3 − 4 2 + ... + 4 20184 − 1 + 1 − 4 20184 − 1
4

Do đó

= −1 + 4 20184 = −1 + 2018 = 2017

Câu 22.

.

 1

2 ( 2n + 1) un + 1 1
1
+ 4 ( n − 1) + 2 ÷+ 4n + 2
= + 4n + 2 = 
=
un
un +1
un
 un −1


- Ta có:
Tương tự ta đươc:

15


2
1
1
= + ( 4.1 + 2 ) + ( 4.2 + 2 ) + ... + ( 4n + 2 ) = 3 + 2n + 2n ( n + 1) = 4n + 8n + 3
un +1 u1
2
2

⇒ un +1 =
⇒ un =

2
2
=
4n 2 + 8n + 3 ( 2n + 1) ( 2n + 3)
2

( 2n − 1) ( 2n + 1)

=

1
1
−
2n − 1 2 n + 1

n

2018
1
4036
2
n
⇒ ∑ uk = 1 −
⇒ ∑ uk =
=
2n + 1 2 n + 1
4037
k =1
k =1

Câu 23.

.

Đáp án. A.
un =1 + 5( n - 1) = 5n - 4, ( 1 £ n £ 2018)
( un )
Dãy
có số hạng tổng quát là
.
vm = 4 + 3( m - 1) = 3m +1, ( 1 £ m £ 2018)
( vm )
Dãy
có số hạng tổng quát là
.

ïìï 1 £ m, n £ 2018
ớ
ùùợ um = un (*)

m, n ẻ Ơ
Mt s cú mặt trong cả hai dãy số trên nếu tồn ại
thỏa mãn điều kiện:
.
( *) Û 5n - 4 = 3m +1 Û 5( n - 1) = 3m ( **)
Ta có
( **)
{ 5;10;...; 2015}
1 £ m £ 2018
m
mM5
Từ
suy ra
, mặt khác
nên ta được tập các giá trị của
là
.
3.2015
n=
+1 = 1210 < 2018
1 £ n £ 2018
m = 2015
5
Xét với
thì

, thỏa điều kiện
.
{ 5;10;...; 2015}
403
403
Do tập
có
số nên có tất cả
số có mặt trong cả hai dãy đã cho.

DẠNG 2. TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ
Chọn
D.
2
3
u1 = 1, u2 = , u3 =
3
7
.
Câu 25. Chọn D
1
1
u1 = 1 − 2
=
1 +1 2
Ta có
.
Câu 24.

Câu 26.

Chọn A
Giả sử

un = −19

( n∈¥ )

,
−n + n + 1 = −19

*

.

2

Suy ra
⇔ −n 2 + n + 20 = 0

16


n = 5
⇔
 n = −4 ( l )
−19

.

5
Vậy số
là số hạng thứ của dãy.
Câu 27. Chọn A
un = 3n ⇒ u2 n −1 = 32 n −1 = 3n.3n −1

Câu 28.

Chọn C
99
u99 = ( - 1) cos ( 99π ) =- cos ( 98π +π ) =- cos ( π ) = 1.
Ta có:

Câu 29.
Hướng dẫn giải
Chọn

A.
a. ( n + 1)
a ( n + 1)
un +1 =
=
( n + 1) + 1 ( n + 2 ) 2
2

Câu 30.
Câu 31.
Câu 32.

Câu 33.

Câu 34.

Ta có
Chọn

2

.

A.
= 2.2019 + 1 = 4039

u2019
Ta có:
.
Chọn C
u2018 = 1 + 22018.
Ta có
Chọn D
50 − 2
48
u50 =
=
.
3.50 + 1 151
Ta có:
Chọn D
112 + 2.11 − 1 71
u11 =

=
11 + 1
6
Ta có:
.
Chọn C
 ( n + 12 ) π 
 ( n + 12 ) π 
un +12 = 2017 sin 
÷+ 2018cos 
÷
2
3




Ta có:
 nπ

 nπ

= 2017 sin 
+ 6π ÷+ 2018cos 
+ 4π ÷
 2

 3

 nπ

= 2017 sin 
 2


 nπ 
*
÷+ 2018cos 
÷

 3  = un , ∀n ∈ ¥

.

Câu 35.
Lời giải
Chọn B

Ta có

 n = 19
⇔
2n + 1 39
 n = − 17
=
2
2
39

n + 1 362 ⇔ 39n − 724n − 323 = 0

, do

n∈¥*

nên

n = 19

.
17


Câu 36.
Chọn B
u3 = u2 + u1 = 2
Ta có
.
u4 = u3 + u2 = 3
.
Câu 37. Chọn B
Cách 1:

u1 = 5, u2 = 6, u3 = 8, u4 = 11, u5 = 15, u6 = 20

20
6
Vậy số
là số hạng thứ .
Cách 2:
Dựa vào cơng thức truy hồi ta có

u1 = 5

u2 = 5 + 1
u3 = 5 + 1 + 2
u4 = 5 + 1 + 2 + 3
.....
⇒ un = 5 + 1 + 2 + ... + n − 1 = 5 +

n ( n − 1)
2

n = 6
2
n ( n − 1)
⇔
n
−
n
−
30
=
0
⇔
 n = −5(lo¹i)
⇒ 20 = 5 +
( n ∈ ¥ *)

2
20
6

Vậy
là số hạng thứ .
Cách 3: Sử dụng máy tính CASIO fx – 570VN PLUS
1 SHIFT STO A
5 SHIFT STO B
Ghi vào màn hình C = B + A: A = A + 1: B = C
Ấn CALC và lặp lại phím =
Ta tìm được số 20 là số hạng thứ 6
210−1 + 1
u10 =
10 = 51,3
Câu 38. Ta có:
.
u2 = u1 + 1 = 5 u3 = u2 + 2 = 7 u4 = u3 + 3 = 10
5
Câu 39. Ta có
;
;
. Do đó số hạng thứ của dãy số là
u5 = u4 + 4 = 14
.
vn = un +1 − un = n
( vn )
v1 = u2 − u1 = 1
Câu 40. Đặt
, suy ra
là một câp số cộng với số hạng đầu
và công sai
d =1
.

S 217 = v1 + v2 + ... + v217
Xét tổng
.

18


S 217 = v1 + v2 + ... + v217 =

217. ( v1 + v217 )
2

=

217. ( 1 + 217 )
2

= 23653

Ta có
.
S 217 = v1 + v2 + ... + v217 = ( u2 − u1 ) + ( u3 − u2 ) + ... + ( u218 − u 217 ) = u218 − u1
vn = un +1 − un
Mà
suy ra
⇒ u218 = S 217 + u1 = 23653
.
DẠNG 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM
Câu 41.
Hướng dẫn giải

Chọn
Ta có

B.
un +1 − un = a.3n +1 − a.3n = a.3n ( 3 − 1) = 2a.3n

.

Câu 42.
Hướng dẫn giải
Chọn

Ta có

B.
 1
1 
−2n − 1
2n + 1
un +1 − un = ( a − 1) . 
− 2 ÷ = ( a − 1) . 2
= ( 1− a) . 2
2
2
2
 ( n + 1)
÷
n 
n ( n + 1)
n ( n + 1)



.

Câu 43.
Hướng dẫn giải
Chọn

B.

Số hạng thứ

n

un =

của dãy là

k
3n

.

Câu 44.
Hướng dẫn giải
Chọn
un +1 =

Ta có

B.
a −1

( n + 1)

2

.

Câu 45.
Hướng dẫn giải
Chọn

C.

a=0

un = 0

( un )

Chọn
thì
,dãy
khơng tăng, khơng giảm.
Câu 46. Chọn B
Ta có
U n = 1 + 2n ⇒ U n+1 = 1 + 2( n + 1) ⇒ U n+1 − U n = 2 > 0
suy ra là dãy tăng.
Un = 1

là dãy số không đổi.
U
6.6n
U n = 6n ⇒ U n +1 = 6n +1 ⇒ n +1 = n = 6 > 1
Un
6
suy ra là dãy tăng.
19


U n = n + 2 − n + 1 ⇒ U n +1 = n + 3 − n + 2 ⇒

(

)

U n +1 − n + 2 + n + 1
=
<0
Un
n+2 + n+3

(

)

suy ra là dãy giảm.
Câu 47.
Hướng dẫn giải
Chọn

Ta có :

D.

2
un +1 − un =  − ( n + 1) + n + 1 + 1 − − n 2 + n + 1 = −n 2 − 2n − 1 + n + 2 + n2 − n − 1 = −2n < 0 ∀n ≥ 1



( un )

o đó
Câu 48.
Câu 49.

là một dãy giảm.
1
1
un = n < n +1 = un +1
∀n ∈ ¥ *
2
2

Ta có
Xét A:

un =
Ta có

( un )

Vậy
Xét B:
Ta có

n −3
n−2
; un +1 =
n +1
n+2

D

.
un +1 − un =

. Khi đó:

n−2 n−3
4
−
=
>0
n + 2 n + 1 ( n + 1) ( n + 2 )
∀n ∈ ¥

là dãy số tăng.

n
n +1

un = ; un +1 =
2
2

( un )
Vậy
là dãy số tăng.
Xét C:

un +1 − un =
. Khi đó:

n +1 n 1
− = >0
∀n ∈ ¥
2
2 2

2 un +1 = 2 2
un = 2
( n + 1)
n
Ta có
,
un +1
n2
n2
=
<
= 1, ∀n ∈ ¥ ∗

2
2
un
( n + 1) n

Ta có

Xét D:
−1
1
−1
u1 = ; u2 = ; u3 =
3
9
27

un =
Câu 50.

. Vậy

. Vậy

( un )

là dãy giảm.

( un )

là dãy số không tăng không giảm.

5 − 3 ( n + 1) 5 − 3n
2 − 3n 5 − 3n
un +1 − un =
−
2 ( n + 1) + 3 2n + 3 = 2n + 5 − 2n + 3

5 − 3n
, ( n ∈ ¥ *)
2n + 3

Xét
, ta có
2 − 3n ) ( 2n + 3) − ( 2n + 5 ) ( 5 − 3n )
(
4n − 6n 2 + 6 − 9n − 10n + 6n 2 − 25 + 15n
=
=
( 2n + 5 ) ( 2n + 3 )
( 2n + 5 ) ( 2 n + 3 )
=

−19
< 0, ∀n ∈ ¥ *
( 2n + 5 ) ( 2n + 3 )

.
20


un =

Vậy
Câu 51.

5 − 3n
, ( n ∈ ¥ *)
2n + 3

là dãy giảm.
n∈¥ n >1
Với mọi
,
. Ta có

un +1 − un =
=

2 ( n + 1) + 1 2n + 1 2n + 3 2n + 1
−
=
−
n
n −1
( n + 1) − 1 n − 1

( 2n + 3) ( n − 1) − n ( 2n + 1) = ( 2n + 3) ( n − 1) − n ( 2n + 1)
n ( n − 1)
n ( n − 1)

=

−3
<0
n ( n − 1)

, với mọi

n∈¥ n >1
,
.

Suy ra dãy số giảm.
DẠNG 4. DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI
Câu 52. Chọn C

un =

( −1)

n −1

n +1

=

1
< 1, ∀n ∈ ¥ *
n +1

Dễ thấy
1

−1
1
−1
u9 = ; u10 = ; u11 = ; u12 = ;...
10
11
12
13

Lại có
khơng phải là dãy số giảm.
Do đó đáp án C sai.
Câu 53.
Câu 54.

nên

( un )

suy ra dãy

là dãy số bị chặn.

( un )

không phải là dãy số tăng cũng

Chọn
B.
Chọn

D.
Dãy số không tăng không giảm.

Câu 55.
Hướng dẫn giải
Chọn
C.
un
Dãy
là một dãy đan dấu.
Câu 56.

Chọn A

un +1 − un =

n +1
n
(n + 1) 2 − n( n + 2)
1
−
=
=
> 0, ∀n ∈ ¥
n + 2 n +1
(n + 2)( n + 1)
( n + 2)( n + 1)

Ta có
.

Suy ra dãy số đã cho là dãy tăng.
Câu 57. Chọn
D.
1, 2,3,..., n,...
Dãy
là dãy bị chặn dưới, không bị chặn trên nên không phải dãy số bị chặn.
1 1 1
1
1, , , ,...,
,...
0
3 5 7
2n − 1
1
Dãy
là dãy bị chặn trên tại và bị chặn dưới tại .
Do đó cả hai câu trên đều sai.
Câu 58.
Hướng dẫn giải
Chọn
B.
21


un +1 − un =

Ta có
n ≥1
.
Do đó

Câu 59.
Câu 60.

( un )

1

( n + 1)

2

+ ( n + 1)

−

1
1
1
−2
=
−
=
<0
n + n ( n + 1) ( n + 2 ) n ( n + 1) n ( n + 1) ( n + 2 )
2

với

là dãy giảm.

−1 −2 −3 −4 −5
2 3 4
5
6
Năm số hạng đầu của dãy là:
;
;
;
;
.
Hướng dẫn giải
Chọn

B.
un =

−1 −1
≥
= −1
n
1

Nhận xét :
.
( un )
M = −1
Dãy số
bị chặn dưới bởi
.

Câu 61. Chọn B
n + 2018
1
2017.2019
un =
=
+
2018n + 1 2018 2018 ( 2018n + 1)
Ta có:
.
u1 = 1
( un )
∀n ∈ ¥ * , un > 0 ⇒ 0 < un ≤ 1.
Do đó
là dãy giảm, mà
, dễ thấy
( un )
Suy ra: Dãy
bị chặn.
Câu 62. Chọn B
lim n 2 + 2 = +∞

un = n 2 + 2

⇒

dãy số
n
1
1

1
1
un =
= −
<
un <
2n + 1 2 2 n + 1 2 ⇒
2

Mặt khác ta thấy ngay
Câu 63. Chọn
D.

không bị chặn.

.
n
1
un =
> 0 ∀n ∈ ¥ * ⇒ 0 < un <
2n + 1
2 ⇒

un =

dãy số

n
2n + 1

bị chặn.

1
1
1 5
4
*
un +1 − un = ( 2 + 5− n ) − ( 2 + 51−n ) = 5− n − 51− n = 5n − 5n−1 = 5n − 5n = − 5n < 0, ∀n ∈ ¥

Xét
⇒ ( un )

là dãy số giảm.
1− n

Ta có:
⇒ ( un )

.

un = 2 + 5

> 2, ∀n ∈ ¥

un = 2 +

*

;

5
≤ 3, ∀n ∈ ¥ *
n
5

.

là dãy số bị chặn.

22


un =
Câu 64.

2n + 1
n +1

Xét dãy số
ta có:
2n + 1
un =
> 0; ∀n ∈ ¥ * ⇒
( un )
0
n +1
*
dãy
bị chặn dưới bởi giá trị .
2n + 1

1
un =
= 2−
< 2; ∀n ∈ ¥ * ⇒
( un )
n +1
n +1
2
*
dãy
bị chặn trên bởi giá trị .
( un )
⇒
dãy
là dãy b chn.
ổ1 ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốn +1ứ
Cõu 65. ỏp ỏn B ỳng vỡ dóy s
gim v b chn di bi 0.
ổ 1ử
ỗ
- ữ
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ố nø
Đáp án C đúng vì dãy số
tăng và bị chặn trờn bi 0.
ổ1 ữ
ử
ỗ
ữ
ỗ
ỗ
ố3.2n ữ
ứ
ỏp ỏn D ỳng vỡ dóy số
giảm và bị chặn dưới bởi 0.
( 2n - 1)
Đáp án A sai vì dãy số
tăng nhưng khơng bị chặn trên.

23