Dạy thêm toán 11 D3 3 cấp số CỘNG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (364.14 KB, 24 trang )
TOÁN 11
CẤP SỐ CỘNG
1D3-3
MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI............................................................................................................................................................1
DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG............................................................................................................................1
DẠNG 2. TÌM CƠNG THỨC CẤP SỐ CỘNG..................................................................................................................2
DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ CỘNG........................................................................................................3
DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN.....................................................................................5
DẠNG 5. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC.................................................................................8
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO..............................................................................................................................10
DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG..........................................................................................................................10
DẠNG 2. TÌM CƠNG THỨC CẤP SỐ CỘNG................................................................................................................12
DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ CỘNG......................................................................................................13
DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN...................................................................................15
DẠNG 5. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC..............................................................................19
PHẦN A. CÂU HỎI
DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG
Câu 1.
(Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?
A. 1; 2; 4; 6; 8 .
B. 1; 3; 6; 9; 12. C. 1; 3; 7; 11; 15. D. 1; 3; 5; 7; 9 .
Câu 2.
(ĐỀ KT NĂNG LỰC GV THUẬN THÀNH 1 BẮC NINH 2018-2019) Trong các dãy số sau,
dãy số nào không phải cấp số cộng?
1 3 5 7 9
; ; ; ;
A. 2 2 2 2 2 .
B. 1;1;1;1;1 .
C. 8; 6; 4; 2; 0 .
D. 3;1; 1; 2; 4 .
Câu 3.
2
Xác định a để 3 số 1 2a; 2a 1; 2a theo thứ tự thành lập một cấp số cộng?
3
a�
4 .
A. Không có giá trị nào của a .
B.
C. a �3 .
Câu 4.
3
2 .
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
2
A. un 3n 2017 .
Câu 5.
D.
a�
B.
un 3n 2018
Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?
1
u n : un
n.
A.
.
n
C. un 3 .
B.
D.
un 3
n 1
.
un : un un 1 2, n �2 .
1
C.
Câu 6.
Câu 7.
u n : un 2 n 1 .
un : un 2un 1 , n �2 .
D.
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là một cấp số cộng?
2
n
u n 1, n �1
A. un n 1, n �1
B. un 2 , n �1
C. n
.
.
.
Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng:
2
un
2
n 1
u
3
n 1 .
A. n
.
B.
C. un n 1 .
D.
D.
un 2n 3, n �1
un
5n 2
3 .
Câu 8.
Các dãy số có số hạng tổng quát un . Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là cấp số
cộng?
2
un n 3 n 2
un 1 3n
u
2
n
5
31
n
49
43
37
25
A.
.
B.
,
, , ,
.C.
.
D.
.
Câu 9.
Dãy số nào dưới đây là cấp số cộng?
u n 2n , n ��* .
A. n
C.
Câu 10.
un 3n 1, n ��* .
B.
un 3n , n ��* .
un
D.
3n 1
, n ��* .
n2
(THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Tam giác ABC có ba cạnh a , b ,
c thỏa mãn a 2 , b 2 , c 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Chọn khẳng định đúng trong
các khẳng định sau
2
2
2
A. tan A , tan B , tan C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
2
2
2
B. cot A , cot B , cot C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
C. cos A , cos B , cos C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
2
2
2
D. sin A , sin B , sin C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
DẠNG 2. TÌM CƠNG THỨC CẤP SỐ CỘNG
Câu 11.
Câu 12.
Câu 13.
Câu 14.
(Mã 103 - BGD - 2019) Cho cấp số cộng
đã cho bằng
A. 4 .
B. 4 .
un
với u1 2 và u2 6 . Công sai của cấp số cộng
D. 3 .
C. 8 .
(Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho cấp số cộng
đã cho bằng
A. 4 .
B. 3 .
un
với u1 1 và u2 4 . Công sai của cấp số cộng
C. 3 .
D. 5 .
(Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho cấp số cộng (un) với u1 3 và u2 9 . Công sai của cấp số cộng
đã cho bằng
A. 6 .
B. 3 .
C. 12 .
D. 6 .
(Mã 102 - BGD - 2019) Cho cấp số cộng
đã cho bằng
A. 10 .
B. 6 .
un
với
u1 2
u2 8
. Công sai của cấp số cộng
D. 6 .
C. 4 .
Câu 15. (THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Cho cấp số cộng
và
un
có u1 3 , u6 27 . Tính cơng sai d .
2
A. d 7 .
B. d 5 .
C. d 8 .
D. d 6 .
Câu 16. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng
là un 3n 2 . Tìm cơng sai d của cấp số cộng.
A. d 3 .
Câu 17.
B. d 2 .
Cho cấp số cộng
A. 1 .
un
C. d 2 .
với u17 33 và u33 65 thì cơng sai bằng
B. 3 .
C. 2 .
un
có số hạng tổng quát
D. d 3 .
D. 2 .
Câu 18.
Một cấp số cộng gồm 5 số hạng. Hiệu số hạng đầu và số hạng cuối bằng 20 . Tìm cơng sai d của
cấp số cộng đã cho
A. d 5 .
B. d 4 .
C. d 4 .
D. d 5 .
Câu 19.
(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho cấp số cộng un có các số hạng đầu lần
lượt là 5;9;13;17;... . Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng?
A.
un 4 n 1
.
B.
u n 5n 1
.
C.
un 5n 1
.
D.
un 4n 1
.
Câu 20. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Xác định số hàng đầu u1 và công sai d của cấp số
u
cộng n có u9 5u2 và u13 2u6 5 .
A. u1 3 và d 4 .
B. u1 3 và d 5 .
C. u1 4 và d 5 .
D. u1 4 và d 3 .
Câu 21.
u u 8
u
(Chuyên Tự Nhiên Lần 1 - 2018-2019) Cho n là một cấp số cộng thỏa mãn 1 3
và
u4 10
. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A. 3 .
B. 6 .
C. 2 .
D. 4 .
�
u2 u3 u5 7
�
u u 12
u
Câu 22. Tìm cơng thức số hạng tổng quát của cấp số cộng n thỏa mãn: �1 6
A. un 2n 3 .
B. un 2n 1 .
C. un 2n 1 .
D. un 2n 3 .
DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ CỘNG
Câu 23.
Câu 24.
Câu 25.
u
(THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Cấp số cộng n có số hạng đầu u1 3 , cơng sai d 2
thì số hạng thứ 5 là
A. u5 8 .
B. u5 1 .
C. u5 5 .
D. u5 7 .
(THPT CAN LỘC - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng có u1 3 , d 4 . Chọn
khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. u5 15 .
B. u4 8 .
C. u3 5 .
D. u2 2 .
u
(THPT LÊ HỒN - THANH HĨA - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng n có u1 11 và cơng
sai d 4 . Hãy tính u99 .
A. 401 .
B. 403 .
C. 402 .
D. 404 .
3
Câu 26.
u2 1 . Chọn đáp án đúng.
A.
Câu 27.
Câu 28.
Câu 29.
un , biết: u1 3
(THPT LÊ HỒN - THANH HĨA - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng
u3 4 .
B. u3 7 .
C. u3 2 .
D. u3 5 .
(THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI - HÀ TĨNH - 2018) Một cấp số cộng
d 3 . Tìm số hạng thứ ba của cấp số cộng un .
A. 50 .
B. 28 .
C. 38 .
D. 44
(Kim Liên - Hà Nội - L1 - 2018-2019) Cho cấp số cộng
d 2 . Giá trị của u7 bằng:
A. 15 .
B. 17 .
C. 19 .
un
B. 4074 .
un
có u13 8 và
có số hạng đầu u1 3 và công sai
D. 13 .
(Đề minh họa thi THPT Quốc gia năm 2019 – Đề số 6) Cho cấp số cộng
u1 2 và công sai d 4 . Giá trị u2019 bằng
A. 8074 .
,
C. 8078 .
un
có số hạng đầu
D. 4078 .
Câu 30.
(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm số hạng thứ 11 của cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3
và công sai d 2 .
A. 21 .
B. 23 .
C. 19 .
D. 17 .
Câu 31.
(Phát triển đề minh họa 2019_Số 1) Cho cấp số cộng
d 7. Giá trị u6 bằng
A. 37 .
B. 37 .
C. 33 .
un
un
u1 2
Cho cấp số cộng
A. 22.
Câu 33.
(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Cho cấp số cộng
u1 2 và cơng sai d 2 . Tìm u2018 ?
Câu 34.
u2018 22018
.
B.
u2018 22017
.
u1 2
và công sai
D. 33 .
u
và công sai d 5 . Giá trị 4 bằng
C. 12.
D. 250.
Câu 32.
A.
có số hạng đầu
B. 17.
có số hạng đầu
C. u2018 4036 .
un
với số hạng đầu tiên
D. u2018 4038 .
u
(THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho cấp số cộng n có u1 3 và cơng sai d 7 .
u
Hỏi kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các số hạng của n đều lớn hơn 2018 ?
A. 287 .
B. 289 .
C. 288 .
D. 286 .
Câu 35.
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Viết ba số xen giữa 2 và 22 để ta được một
cấp số cộng có 5 số hạng?
A. 6 , 12 , 18 .
B. 8 , 13 , 18 .
C. 7 , 12 , 17 .
D. 6 , 10 , 14 .
Câu 36.
Cho cấp số cộng có
u 8
A. 4
.
Câu 37.
Cho cấp số cộng
u1 2
un
và d 4 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?
u 15
u 3
u 6
B. 5
.
C. 2
.
D. 3
.
với u1 2 ; d 9 . Khi đó số 2018 là số hạng thứ mấy trong dãy?
4
A. 226 .
Câu 38.
Câu 39.
Câu 40.
B. 225 .
C. 223 .
Cho cấp số cộng 1, 4, 7,... . Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là
A. 297 .
B. 301 .
C. 295 .
Cho cấp số cộng
A. 30 .
un
D. 298 .
biết u1 3 , u8 24 thì u11 bằng
B. 33 .
C. 32 .
D. 28 .
Cho cấp số cộng có số hạng thứ 3 và số hạng thứ 7 lần lượt là 6 và 2. Tìm số hạng thứ 5.
u5 2.
u 2.
u 0.
u 4.
B. 5
C. 5
D. 5
A.
Câu 41. (CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng
bằng
A. 27 .
B. 31 .
C. 35 .
Câu 42. (SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN - 2018) Cho cấp số cộng
u1001 bằng
A. 4005 .
Câu 43.
D. 224 .
un
un
, biết u2 3 và u4 7 . Giá trị của u15
D. 29 .
có u2 2001 và u5 1995 . Khi đó
C. 3 .
B. 1 .
D. 4003 .
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Một cấp số cộng có số hạng đầu
u1 = 2018 công sai d =- 5 . Hỏi bắt đầu từ số hạng nào của cấp số cộng đó thì nó nhận giá trị
âm.
A. u406 .
Câu 44.
Câu 45.
B. u403 .
Cho cấp số cộng
A. u1 5 .
Cho dãy số
A. 57 .
Un
un
có
u1 2u5 u6 15
�
�
u3 u7 46
�
B. u1 5 .
xác định bởi
B. 62 .
C. u405 .
D.
. Số hạng đầu u1 là
C. u1 3 .
u404 .
D. u1 3 .
u1 2
�
�
un 1 un 5, n �N *
�
Tính u10 ?
C. 47 .
D. 52 .
u
Câu 46. (THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Cho cấp số cộng n thỏa mãn
u5 3u3 u2 21
�
�
3u7 2u4 34
�
. Tính số hạng thứ 100 của cấp số.
A. u100 243 .
B. u100 295 .
C. u100 231 .
D. u100 294 .
Câu 47.
2
2
2
Cho cấp số cộng un có cơng sai d 2 và biểu thức u2 u3 u4 đạt giá trị nhỏ nhất. Số 2018 là
số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng un ?
A. 1011 .
B. 1014 .
C. 1013 .
Câu 48. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng
là số hạng thứ bao nhiêu?
A. 100 .
B. 50 .
C. 75 .
D. 1012 .
un , biết u1 5 ,
d 2 . Số 81
D. 44 .
5
Câu 49.
(THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Một cấp số cộng
u9 47 , công sai d 5 . Số 10092 là số hạng thứ mấy trong cấp số cộng đó?
A. 2018 .
Câu 50.
B. 2017 .
C. 2016 .
un có
D. 2019 .
x :4
(THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho hai cấp số cộng n , 7 , 10 ,…
y
và n : 1 , 6 , 11 ,…. Hỏi trong 2018 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số có bao nhiêu số hạng
chung?
A. 404 .
B. 673 .
C. 403 .
D. 672 .
DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 51.
Câu 52.
Câu 53.
Câu 54.
(THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng
d 2 . Tổng S10 u1 u2 u3 ..... u10 bằng:
A. S10 110 .
B. S10 100 .
C. S10 21 .
un
có u1 1 và cơng sai
D. S10 19 .
u
[KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018] Cho dãy số n là một cấp số cộng có u1 3 và cơng
u
sai d 4 . Biết tổng n số hạng đầu của dãy số n là S n 253 . Tìm n .
A. 9 .
B. 11 .
C. 12 .
D. 10 .
*
u
(THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI - 2018) Cho cấp số cộng n , n �� có số hạng tổng quát
un 1 3n
. Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng.
A. 59049 .
B. 59048 .
C. 155 .
D. 310 .
(THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Cho dãy số vô hạn
công sai d , số hạng đầu u1 . Hãy chọn khẳng định sai?
un
là cấp số cộng có
u1 u9
2 .
A.
B. un un 1 d , n �2 .
n
S12 2u1 11d
*
2
C.
. D. un u1 ( n 1).d , n �� .
u5
Câu 55.
Câu 56.
Câu 57.
u
(PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA THI THPT QUỐC GIA 2019Cho cấp số cộng n có số
hạng đầu u1 3 và cơng sai d 2 . Tổng của 2019 số hạng đầu bằng
A. 4 080 399 .
B. 4 800 399 .
C. 4 399 080 .
D. 8 154 741 .
(SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Cho
của cấp số cộng đó bằng
A. 800 .
B. 600 .
un
là cấp số cộng biết u3 u13 80 . Tổng 15 số hạng đầu
C. 570 .
D. 630
u 6
u
Cho cấp số cộng n với số hạng đầu 1
và cơng sai d 4. Tính tổng S của 14 số hạng
đầu tiên của cấp số cộng đó.
A. S 46 .
B. S 308 .
C. S 644 .
D. S 280 .
6
Câu 58.
Câu 59.
Câu 60.
Câu 61.
u
(Chuyên Thái Bình lần 2 - 2018-2019) Cho cấp số cộng n có u5 15 ; u20 60 . Tổng 20
số hạng đầu tiên của cấp số cộng là
A. S 20 250 .
B. S20 200 .
C. S20 200 .
D. S20 25 .
u
(HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Cho cấp số cộng n biết u3 6, u8 16.
Tính cơng sai d và tổng của 10 số hạng đầu tiên.
A. d 2; S10 100 .
B. d 1; S10 80 .
C. d 2; S10 120 .
D. d 2; S10 110 .
Cho cấp số cộng có cơng sai d 6 và S3 9 . Khi đó tổng 20 số hạng đầu tiên S20 là
S 1080
A. S20 1200 .
B. S 20 1080 .
C. S20 250 .
D. 20
.
Cho cấp số cộng
A. 6960 .
un
với un 3 2n thì S60 bằng
B. 117 .
C. Đáp án khác.
D. 116 .
u
Dãy số n n 1 là cấp số cộng, công sai d . Tổng S100 u1 u2 ... u100 , u1 �0 là
S 50 u1 u100
S 100 u1 u100
A. S100 2u1 99d .
B. S100 50u100 .
C. 100
. D. 100
.
�
Câu 62.
Câu 63. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 2 - 2018) Cho cấp số cộng
u2013 u6 1000 . Tổng 2018 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là:
A. 1009000 .
B. 100800 .
C. 1008000 .
un
có
D. 100900 .
Câu 64.
(THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Cho cấp số cộng (u n ) thỏa mãn
Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng trên.
A. 100 .
B. 110 .
C. 10 .
D. 90 .
Câu 65.
(LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Cho cấp số cộng
Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:
A. S 24 .
B. S 25 .
C. S 24 .
Câu 66.
un
(THPT NGUYỄN TRÃI - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho cấp số cộng
Tính S u1 u4 u7 ... u2011
A. S 2023736 .
B. S 2023563 .
u1 u4 8
�
�
u3 u2 2
�
.
có u4 12 ; u14 18 .
D. S 26 .
un
C. S 6730444 .
thỏa
u2 u3 u5 10
�
�
u4 u6 26
�
.
D. S 6734134 .
u
Câu 67. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 5 - 2018) Cho một cấp số cộng n có u1 5 và tổng
của 50 số hạng đầu bằng 5150 . Tìm cơng thức của số hạng tổng quát un .
A. un 1 4n .
B. un 5n .
C. un 3 2n .
D. un 2 3n .
Câu 68.
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Một cấp số cộng có tổng của n
Sn = 5n 2 + 3n,( n ��* )
S
n
số hạng đầu
tính theo cơng thức
. Tìm số hạng đầu u1 và cơng sai d
của cấp số cộng đó.
A. u1 =- 8; d = 10 .
B. u1 =- 8; d =- 10 . C. u1 = 8; d = 10 .
D. u1 = 8; d =- 10 .
7
Câu 69. (THPT LÊ HỒN - THANH HĨA - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng
4 Sn S 2n . Giá trị u1 và d là
A. u1 2 , d 3 .
Câu 70.
Câu 71.
C. u1 2 , d 2 .
an .
Gọi S n là tổng n số hạng đầu tiên trong cấp số cộng
9
5
5
A. 5 .
B. 9 .
C. 3 .
biết u5 18 và
D. u1 2 , d 4 .
a3
Biết S6 S9 , tỉ số a5 bằng:
3
D. 5 .
u
(TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Cho cấp số cộng n và gọi Sn là tổng n số hạng
đầu tiên của nó. Biết S7 77 và S12 192 . Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng đó
A. un 5 4n .
Câu 72.
B. u1 3 , d 2 .
un
B. un 3 2n .
C. un 2 3n .
D. un 4 5n .
(CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Tổng của n số hạng đầu tiên của một dãy số
Sn 2n2 3n
. Khi đó
a
A. n là một cấp số cộng với công sai bằng 4 .
a
B. n là một cấp số nhân với công bội bằng 4 .
a
C. n là một cấp số cộng với công sai bằng 1 .
a
D. n là một cấp số nhân với công bội bằng 1 .
an ,
n �1 là
Câu 73. (TRẦN PHÚ - HÀ TĨNH - LẦN 2 - 2018) Giải phương trình 1 8 15 22 � x 7944
A. x 330 .
B. x 220 .
C. x 351 .
D. x 407 .
u
Câu 74. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN - 2018) Cho cấp số cộng n có số hạng đầu bằng 1 và
1
1
1
...
u49u50 bằng.
tổng 100 số hạng đầu bằng 14950 . Giá trị của tổng u1u2 u2u3
49
A. 74 .
Câu 75.
D. 74 .
Cho một cấp số cộng un có u1 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 10000 . Tính tổng
S
A.
Câu 76.
B. 148 .
49
C. 148 .
1
1
1
...
u1u2 u2u3
u99u100 .
S
100
201 .
B.
S
200
201 .
C.
S
198
199 .
D.
S
99
199 .
Cho tam giác đều A1 B1C1 có độ dài cạnh bằng 4 . Trung điểm của các cạnh tam giác A1 B1C1 tạo
thành tam giác A2 B2C2 , trung điểm của các cạnh tam giác A2 B2C2 tạo thành tam giác A3 B3C3 …
Gọi P1 , P2 , P3 ,... lần lượt là chu vi của tam giác A1 B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,…Tính tổng chu vi
P P1 P2 P3 ...
A. P 8 .
B. P 24 .
C. P 6 .
D. P 18 .
8
DẠNG 5. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC
Câu 77. (THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU - LẦN 3 - 2018) Hùng đang tiết kiệm để mua một cây
guitar. Trong tuần đầu tiên, anh ta để dành 42 đô la, và trong mỗi tuần tiếp theo, anh ta đã thêm 8
đô la vào tài khoản tiết kiệm của mình. Cây guitar Hùng cần mua có giá 400 đơ la. Hỏi vào tuần
thứ bao nhiêu thì anh ấy có đủ tiền để mua cây guitar đó?
A. 47 .
B. 45 .
C. 44 .
D. 46 .
Câu 78.
(THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Trong hội chợ tết Mậu Tuất 2018 , một công ty sữa
muốn xếp 900 hộp sữa theo số lượng 1,3,5,... từ trên xuống dưới (số hộp sữa trên mỗi hàng xếp
từ trên xuống là các số lẻ liên tiếp - mơ hình như hình bên). Hàng dưới cùng có bao nhiêu hộp
sữa?
A. 59.
Câu 79.
B. 30.
C. 61.
D. 57.
(ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Một công ti trách nhiệm hữu hạn thực hiện
việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công
ti là 4,5 triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 0,3 triệu
đồng mỗi quý. Hãy tính tổng số tiền lương một kĩ sư nhận được sau 3 năm làm việc cho công ti.
A. 83,7 (triệu đồng). B. 78,3 (triệu đồng). C. 73,8 (triệu đồng). D. 87,3 (triệu đồng).
Câu 80.
(PTNK CƠ SỞ 2 - TPHCM - LẦN 1 - 2018) Người ta trồng 465 cây trong một khu vườn hình
tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây….Số
hàng cây trong khu vườn là
A. 31 .
B. 30 .
C. 29 .
D. 28 .
Câu 81.
(CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Trong sân vận động có tất cả 30 dãy ghế, dãy đầu
tiên có 15 ghế, các dãy liền sau nhiều hơn dãy trước 4 ghế, hỏi sân vận động đó có tất cả bao
nhiêu ghế?
A. 2250 .
B. 1740 .
C. 4380 .
D. 2190 .
Câu 82.
(CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho 4 số thực a, b, c, d là 4 số hạng liên tiếp của một
cấp số cộng. Biết tổng của chúng bằng 4 và tổng các bình phương của chúng bằng 24 . Tính
P a 3 b3 c 3 d 3 .
A. P 64 .
B. P 80 .
C. P 16 .
D. P 79 .
Câu 83.
(THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng
nhỏ nhất của u1u2 u2 u3 u3u1 ?
un
có u1 4 . Tìm giá trị
9
A. - 20 .
B. - 6 .
C. - 8 .
D. - 24 .
Câu 84.
(THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Một tam giác vng có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh
lập thành một cấp số cộng. Độ dài các cạnh của tam giác đó là:
1 5
1 7
3 5
1 3
;1;
;1;
;1;
;1;
A. 3 3 .
B. 4 4 .
C. 4 4 .
D. 2 2 .
Câu 85.
Trong hội chợ, một công ty sơn muốn xếp 1089 hộp sơn theo số lượng 1,3,5,... từ trên xuống
dưới (số hộp sơn trên mỗi hàng xếp từ trên xuống dưới là các số lẻ liên tiếp – mơ hình như hình
bên dưới). Hàng cuối cùng có bao nhiêu hộp sơn?
A. 63 .
B. 65 .
C. 67 .
D. 69 .
Câu 86.
(HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Người ta trồng 1275 cây theo hình tam
giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ 2 có 2 cây, hàng thứ 3 có 3 cây,.hàng thứ k có
k cây k �1 . Hỏi có bao nhiêu hàng ?
A. 51 .
B. 52 .
C. 53 .
D. 50 .
Câu 87.
(THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Người ta trồng 3003 cây theo hình tam giác như
sau: Hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây,….Hỏi có bao
nhiêu hàng cây.
A. 78 .
B. 243 .
C. 77 .
D. 244 .
Câu 88.
(TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Bà chủ quán trà sữa X muốn trang trí quán cho đẹp nên quyết
định thuê nhân công xây một bức tường bằng gạch với xi măng (như hình vẽ bên dưới), biết hàng
dưới cùng có 500 viên, mỗi hàng tiếp theo đều có ít hơn hàng trước 1 viên và hàng trên cùng có 1
viên. Hỏi số gạch cần dùng để hoàn thành bức tường trên là bao nhiêu viên?
25250.
B. 250500.
C. 12550.
D. 125250.
A.
Câu 89.
Người ta trồng 3240 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng
thứ hai trở đi số cây trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó. Hỏi có tất cả bao
nhiêu hàng cây?
A. 81 .
B. 82 .
C. 80 .
D. 79 .
Câu 90.
Cho hai cấp số cộng hữu hạn, mỗi cấp số cộng có 100 số hạng là 4, 7, 10, 13, 16,... và
1, 6, 11, 16, 21,... . Hỏi có tất cả bao nhiêu số có mặt trong cả hai cấp số cộng trên?
A. 20 .
B. 18 .
C. 21.
D. 19.
10
Câu 91. (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Sinh nhật bạn của An vào ngày
01 tháng năm. An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn nên quyết định bỏ ống heo 100
đồng vào ngày 01 tháng 01 năm 2016 , sau đó cứ liên tục ngày sau hơn ngày trước 100 đồng.
Hỏi đến ngày sinh nhật của bạn, An đã tích lũy được bao nhiêu tiền? (thời gian bỏ ống heo tính từ
ngày 01 tháng 01 năm 2016 đến ngày 30 tháng 4 năm 2016 ).
A. 738.100 đồng.
B. 726.000 đồng.
C. 714.000 đồng.
D. 750.300 đồng.
Câu 92.
(LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên k sao cho
C14k C14k 1 C14k 2
,
,
theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Tính tổng tất cả các phần tử của S .
A. 12 .
C. 10 .
B. 8 .
D. 6 .
1
x2 ; ; y2
2
Câu 93. (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Cho
theo thứ tự lập thành một cấp số
2
cộng. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 3 xy y . Tính
S M m
A. 1 .
Câu 94.
C. 3 .
B. 2 .
u
Cho dãy số n thỏa mãn u1 2018 và
1
un
2018 bằng
để
A. 4072325
B. 4072324
3 1
2
2.
D.
un1
un
1 un2
với mọi n �1. Giá trị nhỏ nhất của n
C. 4072326
D. 4072327
u
Câu 95. (THCS&THPT NGUYỄN KHUYẾN - BÌNH DƯƠNG - 2018) Cho cấp số cộng n có u1 3
v
3 . Gọi X , Y là tập hợp chứa
và công sai d 2 , và cấp số cộng n có v1 2 và cơng sai d �
1000 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng. Chọn ngẫu nhiên 2 phần tử bất kỳ trong tập hợp
X �Y . Xác suất để chọn được 2 phần tử bằng nhau gần với số nào nhất trong các số dưới đây?
4
4
4
4
A. 0,83.10 .
B. 1,52.10 .
C. 1, 66.10 .
D. 0, 75.10 .
Câu 1.
Câu 2.
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG
Chọn C
u
Dãy số n có tính chất un 1 un d thì được gọi là một cấp số cộng.
Ta thấy dãy số: 1; 3; 7; 11; 15 là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và cơng sai bằng 4.
Chọn D
Định nghĩa:
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vơ hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng
đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi.
1
u1 ; d 1
2
Đáp án A: Là cấp số cộng với
.
u
1;
d
0
Đáp án B: Là cấp số cộng với 1
.
Đáp án C: Là cấp số cộng với u1 8; d 2 .
11
Câu 3.
Đáp án D: Khơng là cấp số cộng vì
Chọn D
Theo cơng thức cấp số cộng ta có:
Câu 4.
u2 u1 2 ; u4 u3 1
.
2(2a 2 1) (1 2a ) ( 2a) � a 2
3
3
�a�
4
2 .
Chọn B
Ta có un 1 un 3( n 1) 2018 (3n 2018) 3 � un 1 un 3 .
Vậy dãy số trên là cấp số cộng có cơng sai d 3 .
Câu 5.
Câu 6.
Câu 7.
Câu 8.
Câu 9.
Chọn B
u : un un1 2, n �2
Xét dãy số n
Ta có un un1 2, n �2
Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai d 2
Chọn D
u un d � un1 un d , n �1, d const
Theo định nghĩa cấp số cộng ta có: n1
u 2n 3, n �1
Thử các đáp án ta thấy với dãy số: n
thì:
u
2
n
3
�n
� un1 un 2 const
�
un1 2 n 1 3 2n 1
�
Chọn D
*
u
Ta có dãy n là cấp số cộng khi un 1 un d , n �� với d là hằng số.
Bằng cách tính 3 số hạng đầu của các dãy số ta dự đoán đáp án D.
5 n 1 2 5n 2 5
un 1 un
,n ��*
3
3
3
Xét hiệu
.
5n 2
un
3 là cấp số cộng.
Vậy dãy
Chọn
C.
n
u 1 3n
u 1 3n 1
u u 2.3n , n ��*
Xét dãy số n
, suy ra n 1
. Ta có n 1 n
. Do đó un 1 3
khơng phải là cấp số cộng.
Chọn B
un n 2n , n ��*
un 1 un n 1 2n 1 n 2n 2n 1, n ��*
Với dãy số
, xét hiệu:
thay đổi
n
*
u n 2 , n ��
theo n nên n
không là cấp số cộng. (A loại)26
*
u 3n 1, n ��
u u 3 n 1 1 3n 1 3, n ��*
Với dãy số n
, xét hiệu: n 1 n
là hằng số
*
u 3n 1, n ��
nên n
là cấp số cộng. (B đúng)
n
un 3 , n ��*
un 1 un 3n 1 3n 2.3n , n ��*
Với dãy số
, xét hiệu:
thay đổi theo n nên
n
*
un 3 , n ��
không là cấp số cộng. (C loại)
12
3n 1
, n ��*
n2
Với dãy số
, xét hiệu:
3 n 1 1 3n 1
5
un 1 un
, n ��*
n 1 2
n 2 n 2 n 3
un
thay đổi theo n nên
un
3n 1
, n ��*
n2
không là cấp số cộng. (D loại)
Câu 10.
Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có
a 2 R sin A , b 2 R sin B , c 2 R sin C
2
2
2
2
2
2
Theo giả thiết a , b , c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên a c 2b
� 4 R 2 .sin 2 A 4 R 2 .sin 2 C 2.4 R 2 .sin 2 B � sin 2 A sin 2 C 2.sin 2 B .
2
2
2
Vậy sin A , sin B , sin C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
DẠNG 2. TÌM CƠNG THỨC CẤP SỐ CỘNG
Câu 11. Chọn A
Ta có u2 6 � 6 u1 d � d 4 .
Câu 12. Chọn C
u
u u1 d � d u2 u1 4 1 3
Vì n là cấp số cộng nên 2
.
Câu 13. Chọn D
d u u 6
2
1
Ta có:
.
Câu 14. Chọn B
u
u u1 d � d u2 u1 8 2 6
Vì n là cấp số cộng nên ta có 2
.
u
u
5
d
27
�
d
6
1
Câu 15. Ta có 6
.
u u 3 n 1 2 3n 2 3
Câu 16. Ta có n 1 n
Suy ra d 3 là công sai của cấp số cộng.
Câu 17. Chọn D
u
Gọi u1 , d lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng n .
Khi đó, ta có: u17 u1 16d , u33 u1 32d
Suy ra: u33 u17 65 33 � 16d 32 � d 2
Vậy công sai bằng: 2 .
Câu 18. Chọn C
Gọi năm số hạng của cấp số cộng đã cho là: u1 ; u2 ; u3 ; u4 ; u5 .
u1 u5 20 � u1 (u1 4d ) 20 � d 5
Theo đề bài ta có:
Câu 19. Chọn A
u u1 n 1 d
n
u u1 3 1 d 13 � 5 2d 13 � d 4
▪ 3
u 5 n 1 .4 4n 1
▪ n
u1 8d 5 u1 d
�
�
�
u 12d 2 u1 5d 5
u u1 n 1 d
Câu 20. Ta có: n
. Theo đầu bài ta có hpt: �1
13
4u1 3d 0
u 3
�
�
��
� �1
u1 2d 5
d 4
�
�
.
Câu 21. Chọn A
u1 u3 8 �
u u 2d 8 �
2u 2d 8 �
u 1
�
� �1 1
�� 1
� �1
�
u1 3d 10
u1 3d 10
u 10
�d 3 .
�
�
Ta có �4
Vậy cơng sai của cấp số cộng là d 3 .
Câu 22. Chọn B
�
u2 u3 u5 7
�
u u 12
u
Giả sử dãy cấp số cộng n có cơng sai là d . Khi đó, �1 6
trở thành:
�
u1 d u1 2d u1 4d 7 �u1 3d 7
u 1
�
�
��
� �1
�
d 2
u1 u1 5d 12
�
�2u1 5d 12
�
Số hạng tổng quát của cấp số cộng
Vậy un 2n 1 .
un : un u1 n 1 d 1 n 1 .2 2n 1
DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ CỘNG
u u1 4d 3 4. 2 5
Câu 23. Ta có: 5
.
Câu 24. Ta có u3 u1 2d 3 2.4 5 .
Câu 25. Ta có : u99 u1 98d 11 98.4 403 .
u
Câu 26. Ta có n là cấp số cộng nên 2u2 u1 u3 suy ra u3 2u2 u1 5 .
Câu 27.
Câu 28.
� 8 u1 12. 3 � u1 44 � u3 u1 2d 44 6 38
Ta có: u13 u1 12d
.
Chọn A
Ta có u7 u1 6.d 3 6.2 15 .
Câu 29.
Chọn A
Áp dụng công thức của số hạng tổng quát
Câu 30. Chọn D
un u1 n 1 d 2 2018.4 8074
.
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ta có
Câu 31. Chọn B
u u1 5d 2 35 37
Ta có 6
.
Câu 32. Chọn B
u u 3d 2 15 17
Ta có: 4 1
.
Câu 33. Chọn C
u u1 n 1 d � u2018 2 2018 1 .2 4036
Ta có: n
.
Câu 34.
Câu 35.
u11 u1 10d 3 10. 2 17
u u1 n 1 d 3 7 n 1 7 n 4 un 2018 � 7n 4 2018
Ta có: n
;
Vậy n 289 .
Xem cấp số cộng cần tìm là
un
có:
u1 2
�
�
u5 22
�
. Suy ra:
u1 2
�
�
d 5
�
�n
.
2022
7 .
.
14
Câu 36.
Câu 37.
Câu 38.
Câu 39.
Câu 40.
u
Vậy cấp số cộng cần tìm là n : 2 , 7 , 12 , 17 , 22 .
Chọn D
u1 2
u u1 d 2 4 2
và d 4 suy ra 2
Ta có:
u3 u1 2d 2 2.4 6 u4 u1 3d 2 3.4 10 u5 u1 4d 2 4.4 14
;
;
Nên đáp án D đúng.
Chọn B
un u1 n 1 d � 2018 2 n 1 .9 � n 225
.
Chọn D
u 1
Cấp số cộng 1, 4, 7,... . có số hạng đầu 1
và cơng sai d 3 .
u u1 99.d 1 99.3 298
Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là: 100
.
Chọn
B.
Ta có:
u u 24 3
u8 u1 7d � d 8 1
3
7
7
.
u11 u1 10d 33 .
Chọn A
Theo giả thiết ta có
Vậy u5 = 2 .
�
�
�d =- 2
u3 = 6
u1 + 2d = 6
�
��
��
�
�
�
�
u1 = 10
u7 =- 2 �
u1 + 6d =- 2 �
�
�
�
u1 d 3
u 1
�
�
� �1
�
u 3d 7
d 2
�
Câu 41. Từ giả thiết u2 3 và u4 7 suy ra ta có hệ phương trình: �1
.
Vậy u15 u1 14d 29 .
Câu 42. Gọi u1 và d lần lượt là số hạng đầu tiên và công sai của cấp số công.
u2 2001
u1 d 2001
u 2003
�
�
�
��
� �1
�
u 1995
u1 4d 1995
d 2
�
�
Ta có: �5
.
Vậy u1001 u1 1000d 3 .
Câu 43.
Ta có
Có
un u1 n 1 d 2018 5 n 1
un 0 � 2018 5 n 1 0 � 5n 2023 � n
2023
�
5 , n �
n
405 .
Vậy từ u405 thì số hạng của cấp số cộng đó nhận giá trị âm.
Câu 44. Chọn
C.
u u1 n 1 d
Gọi d là cơng sai của CSC. Ta có n
.
u1 2 u1 4d u1 5d 15
�
u1 2u5 u6 15
d 5
�
�
�
��
��
� u1 3
�
2u1 8d 46
u3 u7 46
u1 2d u1 6d 46
�
�
�
.
Câu 45.
Chọn C
Cách 1 : Dùng casio 570VN
15
B1 : Nhập vào máy tính “2”=>SHIFT=>STO=>A
B2: Nhập B A 5 : A B
B3: Ấn CALC rồi bấm liên tiếp dấu “=” cho kết quả u10 47 .
u1 2
�
�
u un 5, n �N *
Cách 2 : Từ �n 1
.
U n là một cấp số cộng với cơng sai
Ta có un 1 un 5 nên dãy
u10 u1 9d 2 45 47 .
Câu 46.
d 5
�
u1 4d 3 u1 2d u1 d 21
�
u5 3u3 u2 21
u 3d 7
u 2
�
�
�
�
�
� �1
� �1
�
3 u1 6d 2 u1 3d 34
3u7 2u4 34
u1 12d 34
d 3
�
�
�
�
nên
.
u 2 99 3 295
Số hạng thứ 100 là 100
.
Câu 47. Chọn D
Ta có:
u2 u1 2
�
2
2
2
2
�
u3 u1 4 � u22 u32 u42 u1 2 u1 4 u1 6 3u12 24u1 56 3 u1 4 8 �8
�
�
u4 u1 6
�
2
2
2
Vậy u2 u3 u4 đạt giá trị nhỏ nhất khi u1 4 .
2018 u1 n 1 d � 2018 4 n 1 2 � n 1012.
Từ đó suy ra
u u1 n 1 d � 81 5 n 1 2 � n 44
Câu 48. Ta có n
.
81
44
Vậy
là số hạng thứ
.
Câu 49. Ta có u9 u1 8d � u1 7 .
10092 là số hạng thứ n trong khai triển, ta có:
Gọi
10092 7
10092 u1 n 1 d � n
1 2018
5
.
Câu 50.
xn là: xn 4 n 1 .3 3n 1 .
y
y 1 m 1 .5 5m 4
Số hạng tổng quát của cấp số cộng n là: m
.
Số hạng tổng quát của cấp số cộng
Giả sử k là 1 số hạng chung của hai cấp số cộng trong 2018 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số.
*
x
Vì k là 1 số hạng của cấp số cộng n nên k 3i 1 với 1 �i �2018 và i �� .
*
y
Vì k là 1 số hạng của cấp số cộng n nên k 5 j 4 với 1 �j �2018 và j �� .
� i � 5;10;15;...; 2015 �
Do đó 3i 1 5 j 4 � 3i 5 j 5 � i M5
có 403 số hạng chung.
DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN
2u1 n 1 d �
n un u1 n �
�
Sn
�
2
2
Câu 51. * Áp dụng công thức
ta được:
10 �
2 10 1 2 �
� 100
S10 �
2
.
16
Câu 52.
Sn
Ta có
n 2u1 n 1 d
2
�
n 2.3 n 1 .4
2
253
n 11
�
�
� 4n 2n 506 0 �
23
�
n L
�
2
.
2
Câu 53.
u 2 u10 29 S10
Ta có: 1
;
;
u1 u10 10 155
2
.
S n nu1
Ta có cơng thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:
12.11.d
n
S12 12u1
� 2u1 11d
6
2
u
11
d
1
2
2
Suy ra
.
Câu 55. Chọn
A.
Áp dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng ta có:
n u1 un
n n 1
Sn
nu1
d
2019.3 2019.2018 4 080 399 .
2
2
Câu 54.
Câu 56.
n n 1 d
2
S15 u1 u2 u3 ... u15 u1 u15 u2 u14 u3 u13 ... u7 u9 u8
Vì u1 u15 u2 u14 u3 u13 ... u7 u9 2u8 và u3 u13 80 � S 7.80 40 600 .
Câu 57. Chọn D
�
2u1 n 1 d �
�n
Sn �
2
Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là
.
�
2 6 14 1 4 �
14
�
S�
280
2
Vậy
.
Câu 58. Chọn A
u5 15 �
u 4d 15 �
u 35
�
u u 20 250
� �1
� �1
� S 20 1 20
�
u 60
u1 19d 60
2
�d 5
�
Ta có �20
.
Câu 59. Chọn D
u3 6
u 2d 6
u 2
�
�
�
� �1
� �1
�
u8 16
u1 7 d 16
d 2
�
�
�
.
10 10 1
10 10 1
S10 10.u1
.d 10.2
.2 110
2
2
.
Câu 60. Chọn
B.
3
S3 2u1 2d 3u1 3d 3u1 18
2
Ta có:
.
� 3u1 18 9 � u1 3 .
� S20 2u1 19d
Câu 61.
20
2. 3 19.6 .10 1080
2
.
Chọn
C.
u
u u 2, n ��*
Ta có un 1 1 2n , Ta có n 1 n
, suy ra n là cấp số cộng có u1 1 và công sai
60
S60 2u1 59d 3840
d 2 . Vậy
2
.
17
Câu 62.
Chọn C
un n 1 là cấp số cộng có u1 �0
�
Nếu
Sn u1 u2 ... un
và cơng sai d thì
n
u1 un
2
.
Áp dụng với n 100 , ta chọn C .
Câu 63. Gọi d là công sai của cấp số cộng. Khi đó:
u2013 u6 1000 � u1 2012d u1 5d 1000 � 2u1 2017d 1000 .
Ta có:
S 2018 2018u1
Câu 64.
Chọn A
Câu 66.
u2 u3 u5 10
�
�
�
u4 u6 26
�
2017.2018
d 1009. 2u 2017 d
1
1009000 .
2
Gọi cấp cố cộng có cơng sai là d ta có u2 u1 d ; u3 u1 2d ; u4 u1 3d
u1 u4 8
2u 3d 8
u 1
�
�
�
�� 1
� �1
�
u u 2
d 2
d 2
�
�
Khi đó �3 2
n(n 1)
S nu1
d
2
Áp dụng công thức
10.9
S10 10.1
.2 100
2
Vậy tổng của 10 số hạng đầu của cấp số cộng là
Câu 65. Chọn A
u4 12 �
u 3d 12
u 21
�
�
� �1
� �1
�
u 18
u1 13d 18
�d 3 .
�
Ta có: �14
16.15
S16 16. 21
.3 24
2
Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:
.
u1 d u1 2d u1 4d 10
u1 3d 10
u 1
�
�
�
��
� �1
�
u1 3d u1 5d 26
2u1 8d 26
d 3
�
�
�
.
u4 10 , u7 19 , u10 28 …
Ta có u1 , u4 , u7 , u10 , …, u2011 là cấp số cộng có
S
Câu 67.
u1 1
�
�
d 9
�
�
n 671
�
671
2.1 670.9 2023736
2
.
Ta có:
S50
50
2u1 49d 5150
�d 4.
2
u u1 n 1 d 1 4n
Số hạng tổng quát của cấp số cộng bằng n
.
Câu 68. Ta có: u1 S1 8 .
u2 S2 S1 18 � d u2 u1 18 8 10
.
Câu 69. Ta có u5 18 � u1 4d 18 .
18
5.4 �
10.9
�
4�
5u1
d � 10u1
d
2 �
2
� 2u1 d 0 .
Lại có 4S5 S10 � �
u1 4d 18
u1 2
�
�
�
�
2u d 0 � �
d 4
Khi đó ta có hệ phương trình � 1
.
Câu 70. Chọn C
6 2a1 5d 9 2a1 8d
S 6 S9 �
� a1 7d .
2
2
Ta có
a3 a1 2d 7d 2d 5
.
a5 a1 4d 7 d 4d 3
Câu 71. Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là u1 và công sai d .
7.6.d
�
7u1
77
�
S
77
7u 21d 77
u 5
�7
�
�
�
2
��
�� 1
� �1
�
12.11.d
12u1 66d 192
d 2
�
�
�S12 192
�
12u1
192
�
2
Ta có:
.
Khi đó:
un u1 n 1 d 5 2 n 1 3 2n
.
S 2n 3n � u1 S1 5 u1 u2 S2 14 � u2 9 u1 u2 u3 S3 27 � u3 13
Câu 72. Ta có n
,
,
K
2
a
Dựa vào nội dung các đáp án ta chọn được đáp án n là một cấp số cộng với công sai bằng 4 .
Câu 73. Ta có cấp số cộng với u1 1 , d 7 , un x , S n 7944 .
Áp dụng công thức
�
2u1 n 1 d �
2.1 n 1 7 �
�n � 7944 �
�
�n � 7 n 2 5n 15888 0
Sn �
2
2
�
n 48 t / m
�
�
331
�
n
loai
�
7
.
x
u
1
47.7
330 .
48
Vậy
Câu 74.
S 50 2u1 99d 14950
Gọi d là công sai của cấp số cộng. Ta có 100
với u1 1 � d 3
1
1
1
S
...
u1u2 u2u3
u49u50 .
Đặt
S .d
Ta
u u
d
d
d
u u u u
1
1
...
2 1 3 2 ... 50 49
u1u2 u2u3
u49u50
u1u2
u2u3
u49u50
u1 u50
có
1
147
1
1 49.3 148 .
49
S
148 .
Với d 3 nên
Câu 75. Chọn D
Gọi d là công sai của cấp số cộng đã cho.
Ta có:
S100 50 2u1 99d 10000 � d
200 2u1
2
99
.
19
2
2
2
...
u1u2 u2u3
u99u100
u u
u u u u
2 1 3 2 ... 99 100
u1u2
u 2 u3
u99u100
1 1 1 1
1
1
1
1
...
u1 u2 u2 u3
u98 u99 u99 u100
1
1
1
1
198
u1 u100 u1 u1 99d 199
99
�S
199 .
� 2S
Câu 76.
Chọn B
Ta có:
1
1
1
1
1
1
P2 P1 P3 P2 P1 P4 P3 P1
Pn n 1 P1
2 ;
2
4 ;
2
8 …;
2
…
P P1 P2 P3 ... P1
Vậy
P
1
1
1
P1 P1 P1 ... 1 2 P1 24.
1
2
4
8
1
2
DẠNG 5. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC
Câu 77. Sau tuần đầu, Hùng cần thêm 358 đô la. Như vậy Hùng cần thêm 358 : 8 44, 75 tuần.
Vậy đến tuần thứ 46 Hùng đủ tiền.
Câu 78.
Áp dụng cơng thức tính tổng n số hạng liên tiếp của CSC:
n
Sn �
2u1 n 1 d �
�
2�
n
� 900 �
2.1 n 1 .2 �
�
2�
� n 2 900
� n 30.
Vậy u30 1 29* 2 59.
Cách 2:
20
2
Áp dụng công thức 1 3 5 ..... (2n 1) n .
Suy ra n 30.
Vậy 2n 1 59.
Câu 79. Ta có 3 năm bằng 12 quý.
Gọi u1 , u2 , …, u12 là tiền lương kĩ sư đó trong các quý (từ quý 1 đến quý 12 ).
u
Suy ra n là cấp số cộng với công sai 4,5 .
Vậy số tiền lương kĩ sư nhận được là
2u n 1 d
2 �4,5 11�0,3
12
73,8
S12 n 1
2
2
(triệu đồng).
Câu 80.
u
Cách trồng 465 cây trong một khu vườn hình tam giác như trên lập thành một cấp số cộng n
với số un là số cây ở hàng thứ n và u1 1 và công sai d 1 .
n 30
�
n n 1
�
�
�
465
n 31 l
�
� n2 n 930 0
2
Tổng số cây trồng được là: S n 465
.
30
Như vậy số hàng cây trong khu vườn là
.
u
,
u
,...
u
30 lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai,… và dãy ghế số ba
Câu 81. Gọi 1 2
u un 1 4 n 2,3,...,30
mươi. Ta có cơng thức truy hồi ta có n
.
S
u
u
...
u
1
2
30 , theo cơng thức tổng các số hạng của một cấp số cộng, ta được:
Ký hiệu: 30
30
2u1 30 1 4 15 2.15 29.4 2190
2
.
ad bc
�
�ad bc 2
�
a
b
c
d
4
�
Theo giả thiết ta có:
.
2
2
2
2
2
2
a b c d a d b c 2 ad bc
S30
Câu 82.
� ad bc a 2 b 2 c 2 d 2 a d b c 8
2
2
.
2
2
P a3 b3 c3 d 3 a d a ad d b c b bc c
2
2
2 a 2 b2 c 2 d 2 ad bc 64
.
d
Câu 83. Ta gọi là công sai của cấp số cộng.
u1u2 u2u3 u3u1 4 4 d 4 d 4 2d 4 4 2 d
2d 2 24d 48 2 d 6 24 �24
Dấu " " xảy ra khi d 6 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của u1u2 u2u3 u3u1 là 24 .
2
Câu 84.
Gọi d là công sai của cấp số cộng và các cạnh có độ dài lần lượt là a d , a , a d
Vì tam giác có chu vi bằng 3 nên 3a 3 � a 1 .
1 d
Vì tam giác vng nên theo định lý Pytago ta có
2
0 d a .
1
2
1 d 12 � 4d 1 � d 4
.
3 5
;1;
Suy ra ba cạnh của tam giác có độ dài là 4 4 .
Câu 85. Chọn B
21
Giả sử 1089 được xếp thành n hàng. Từ giả thiết ta có số hộp sơn trên mỗi hàng là số hạng của
(u )
u =1
một cấp số cộng n với số hạng đầu 1
công sai d = 2 . Do đó
S n = 1089 � n + n ( n - 1) =1089 � n = 33
.
u =1 + 32.2 = 65
Vậy số hộp sơn ở hàng cuối cùng là: 33
(hộp sơn).
Câu 86. Chọn D
Đặt uk là hàng thứ k
k k 1
S u1 u2 ... uk 1 2 3 ... k
2
Ta có :
k 50
k k 1
�
1275 � �
k 51 0
2
�
Theo giả thiết ta có :
Vậy k 50 nên có 50 hàng.
Câu 87.
Chọn C
Giả sử có n hàng cây.
Theo đề bài ta có:
1 2 3 .... n 3003 �
n 77 (TM )
�
n.(n 1)
3003 � n 2 n 6006 0 � �
n 78 ( L) .
2
�
Câu 88.
Chọn D
Ta có số gạch ở mỗi hàng là các số hạng của 1 cấp số cộng: 500 , 499 , 498 ,., 2 , 1 .
⇒ Tổng số gạch cần dùng là tổng của cấp số cộng trên, bằng
500(500 1)
S500
250.501 125250
2
(viên)
Câu 89. Chọn C
n �1, n �� .
Giả sử trồng được n hàng cây
Số cây ở mỗi hàng lập thành cấp số cộng có u1 1 và cơng sai d 1 .
Theo giả thiết:
n 80
�
n
�
� �
2
u
n
1
d
3240
�
�
�
1
� n n 1 6480 � n 2 n 6480 0
Sn 3240
n 81
�
2�
So với điều kiện, suy ra: n 80 .
Vậy có tất cả 80 hàng cây.
Câu 90. Chọn A
un 4 n 1 .3 3n 1 n ��* .
Cấp số cộng đầu tiên có số hạng tổng quát là
um 1 m 1 .5 5m 4
m �� .
*
Cấp số cộng thứ hai có số hạng tổng quát là
3n 1 5m 4 � 3n 5 m 1 .
Ta cần có
Ta thấy để thỏa mãn u cầu bài tốn thì 3n M5 � n M5. Vì cấp số cộng có 100 số hạng nên từ
đó suy ra có 20 số hạng chung.
22
Câu 91.
Số ngày bạn An để dành tiền (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày 01 tháng 01 năm 2016 đến
ngày 30 tháng 4 năm 2016 ) là 31 29 31 30 121 ngày.
Số tiền bỏ ống heo ngày đầu tiên là: u1 100 .
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ hai là: u2 100 1.100 .
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ ba là: u3 100 2.100 .
…
u u1 n 1 d 100 n 1 100 100n
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ n là: n
.
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ 121 là: u121 100.121 12100 .
Sau 121 ngày thì số tiền An tích lũy được là tổng của 121 số hạng đầu của cấp số cộng có số
hạng đầu u1 100 , cơng sai d 100 .
Vậy số tiền An tích lũy được là
Câu 92.
Chọn A
Điều kiện: k Σ �, k
S121
121
121
u1 u121 100 12100
738100 đồng.
2
2
12
C14k C14k 1 C14k 2
,
,
theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ta có
k 2
14
C C
k
14
�
k 1
14
2C
1
�
14!
14!
14!
2
k ! 14 k ! k 2 ! 12 k !
k 1 ! 13 k !
1
14 k 13 k k 1 k 2
2
k 1 13 k
� 14 k 13 k k 1 k 2 2 14 k k 2
k 4 (tm)
�
� k 2 12k 32 0 � �
k 8 (tm) .
�
Có 4 8 12.
Câu 93.
Chọn A
1
x2 ; ; y2
2
2
2
Ta có:
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng x y 1 .
Đặt x sin , y cos .
P 3xy y 2 3 sin .cos cos 2
3
1 cos 2
sin2
� 2 P 1 3 sin2 cos 2 .
2
2
Giả sử P là giá trị của biểu thức � 2 P 1 3 sin2 cos 2 có nghiệm.
2
1
3
2
� 2 P 1 � 3 12 � �P �
2
2.
3
1
M ;m � S 1
2
2
Vậy
.
Câu 94.
Chọn A
23
Từ giả thiết suy ra un 0,n �1
un
un2
1
1
2
un1
u
1 2
2
n1
2
2
1 un n �1 �
1 un � un1
un
Ta có
,
1
1
vn 2
v1
un
20182 và vn1 1 vn nên vn là cấp số cộng có cơng sai là 1.
Đặt
, khi đó
1
1
1
n 1
vn v1 n 1
n
1
2
un 20182
20182
suy ra
.
1
1
1
20182
un
(
n
1)
20182
2
2
u
�
�
2018
n
2018
Để
1
1
n 1
20182
n 4072325
2
�
�
2018
20182
Vậy giá trị nhỏ nhất của n thỏa mãn điều kiện là 4072325 .
C2
Câu 95. Chọn ngẫu nhiên 2 phần tử bất kỳ trong tập hợp X �Y ta có 2000 cách chọn.
Gọi 2 phần tử bằng nhau trong X , Y là uk và vl .
3l
k 1
3
2
k
1
2
3
l
1
u
v
�
l �
2
Do k
1
�x �333,5
� có 333 số
Do 1 �k �1000 � 1 �l �667 . Mặt khác l 2 x � 2
333
�1, 665832916.104
2
Vậy xác suất để chọn được 2 phần tử bằng nhau là: C2000
.
24
