Dạy thêm toán 11 D3 4 cấp số NHÂN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (384.5 KB, 29 trang )
TOÁN 11
CẤP SỐ NHÂN
1D3-4
MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI.............................................................................................................................................................1
DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN...........................................................................................................................1
DẠNG 2. TÌM CƠNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN........................................................................................................2
DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN........................................................................................................3
DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN.....................................................................................6
DẠNG 5. KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG...............................................................................................8
DẠNG 6. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC.................................................................................8
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO..................................................................................................................................12
DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN.........................................................................................................................12
DẠNG 2. TÌM CƠNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN......................................................................................................13
DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN......................................................................................................14
DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN...................................................................................18
DẠNG 5. KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG.............................................................................................21
DẠNG 6. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC..............................................................................22
PHẦN A. CÂU HỎI
DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN
Câu 1.
Trong các dãy số
A. un 3n .
Câu 2.
Câu 4.
n
B.
un 2n
.
C.
un
1
n.
D.
un 2n 1
.
un được cho bởi công thức nào dưới đây là số hạng tổng quát của một cấp số nhân?
A.
Câu 3.
u sau đây, dãy số nào là cấp số nhân?
un
1
2n 1 .
B.
un n 2
1
2.
C.
un
1
1
2n
.
D.
un n 2
1
2.
(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?
n
n
un n
un 1 n
un n 2
un 2 n
3 .
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Cho dãy số
( un ) có số hạng tổng quát là un = 3.2n+1 ( " n ��* ) . Chọn kết luận đúng:
A. Dãy số là cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 12 .
B. Dãy số là cấp số cộng có cơng sai d = 2 .
1
C. Dãy số là cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 6 .
D. Dãy số là cấp số nhân có cơng bội q = 3 .
Câu 5.
Câu 6.
Câu 7.
Câu 8.
Câu 9.
Dãy nào sau đây là một cấp số nhân?
1, 2,3, 4,... .
B. 1,3, 5, 7,... .
A.
C. 2, 4,8,16,... .
D. 2, 4, 6,8,...
1
1 1
1
; ;
;
3
9 27
81 . Khẳng định nào sau đây là sai?
Cho dãy số:
A. Dãy số không phải là một cấp số nhân.
1
u1 1; q=
3.
B. Dãy số này là cấp số nhân có
1
n
un 1 . n 1
3
C. Số hạng tổng quát.
D. Là dãy số không tăng, không giảm.
1;
Tập hợp các giá trị x thỏa mãn x, 2 x, x 3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân là
0;1
1
0
A. .
B. �.
C. .
D.
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x để ba số 1; x; x 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số
nhân?
A. 2 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 0 .
(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Tìm tất cả các giá trị của x để ba số
2 x 1, x, 2 x 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
1
x�
3
A.
B.
x�
1
3
C. x � 3
D. x �3
Câu 10.
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Trong các phát biểu sau,
phát biểu nào là sai?
A. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân.
B. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng.
C. Một cấp số cộng có cơng sai dương là một dãy số tăng.
D. Một cấp số cộng có cơng sai dương là một dãy số dương.
Câu 11. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Xác định x dương để 2 x 3 ; x ; 2 x 3 lập thành
cấp số nhân.
A. x 3 .
B. x 3 .
C. x � 3 .
D. khơng có giá trị nào của x .
sin
Câu 12. (THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Giả sử 6 , cos , tan theo thứ tự đó là
một cấp số nhân. Tính cos 2 .
3
3
1
1
2 .
A. 2 .
B.
C. 2 .
D. 2 .
DẠNG 2. TÌM CƠNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN
2
Câu 13.
u
(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm cơng bội 9 của một cấp số nhân n có
u6 16 .
A.
Câu 14.
q
1
2.
B. q 2 .
Cho cấp số nhân
un
A. q 3 .
Câu 15. Cho cấp số nhân
1
q�
2.
A.
Câu 16.
un
C. q 2 .
D.
q
u1
1
2 và
1
2.
có số hạng đầu u1 2 và u6 486 . Công bội q bằng
3
2
q
q
2.
3.
B. q 5 .
C.
D.
1
u1 ; u 7 32
2
với
. Tìm q ?
B. q �2 .
C. q �4 .
D. q �1 .
Cho ba số thực x, y , z trong đó x �0 . Biết rằng x, 2 y,3 z lập thành cấp số cộng và x, y , z lập
thành cấp số nhân; tìm cơng bội q của cấp số nhân đó.
� 1
q
�
q 1
�
3
�
� 1
2
�
�
q
q
�
A. � 3
B. � 3
C. q 2
D. q 1
DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN
Câu 17.
(HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số nhân
q 3 . Số hạng u2 là:
A. u2 6 .
Câu 18.
B. u2 6 .
(THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 3 - 2018) Cho cấp số nhân
.
A. 18 .
Câu 19.
Câu 20.
Câu 21.
B. 54 .
Cho cấp số nhân
6
A. 2.5 .
Cho cấp số nhân
A. 24 .
un có số hạng đầu u1 2
7
B. 2.5 .
un
u1
1
6.
Cho cấp số nhân
u1
1
16 .
có u1 2 và cơng bội
D. u2 18 .
có u5 2 và u9 6 . Tính u21
D. 486 .
u6u8
và công bội q 5 . Giá trị của
bằng
8
5
C. 2.5 .
D. 2.5 .
có u1 3 , cơng bội q 2 . Ta có u5 bằng
B. 11 .
C. 48 .
B.
un
un
C. 162 .
(Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Cho cấp số nhân
Giá trị của u1 là
A.
Câu 22.
C. u2 1 .
un
C.
un
u1
D. 9 .
có cơng bội dương và
1
16 .
D.
u1
u2
1
4 , u4 4 .
1
2.
có số hạng đầu u1 2 và công bội q 3 . Giá trị u2019 bằng
3
2018
A. 2.3 .
2018
B. 3.2 .
2019
C. 2.3 .
2019
D. 3.2 .
u ; u 1, q 2
Câu 23. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số nhân n 1
. Hỏi số
1024 là số hạng thứ mấy?
A. 11 .
B. 9 .
C. 8 .
D. 10 .
Câu 24.
(Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Cho cấp số nhân
u
bội q 2 . Số hạng thứ sáu của n là
A. u6 320 .
Câu 25.
Tìm số hạng đầu
A.
Câu 26.
Câu 27.
Câu 28.
Câu 29.
u1 24
.
B. u6 160 .
u1
un
có số hạng đầu u1 5 và công
C. u6 320 .
D. u6 160 .
u
u u u 168
u u u 21
của cấp số nhân n biết rằng 1 2 3
và 4 5 6
1334
217
u1
u1
u
96
11 .
3 .
B.
C. 1
.
D.
u1 1
�
�
un 1 2un 5
�
u
(Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Cho dãy số n xác định bởi
. Tính số
2018
hạng thứ
của dãy số trên
2017
2018
2017
2018
A. u2018 6.2 5 .
B. u2018 6.2 5 . C. u2018 6.2 1 . D. u2018 6.2 5 .
un
Cho
11
A. 2 .
là cấp số nhân, công bội q 0. Biết u1 1, u3 4. Tìm u4 .
B. 2.
Cho cấp số nhân
cấp số nhân là
A. u7 320 .
C. 16.
un , n �1 với công bội
B. u7 640 .
D. 8.
q 2 và có số hạng thứ hai u2 5. Số hạng thứ 7 của
C. u7 160 .
D. u7 80 .
(THPT THUẬN THÀNH 1) Cho một cấp số nhân có số hạng thứ 4 gấp 4096 lần số hạng đầu
tiên. Tổng hai số hạng đầu tiên là 34. Số hạng thứ 3 của dãy số có giá trị bằng:
A. 1 .
B. 512 .
C. 1024 .
D. 32 .
Câu 30. (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018) Cho cấp số nhân
u3
243
u
12
u
1
biết
, 8
. Tìm u9 .
A.
Câu 31.
u9
2
2187 .
B.
u9
4
6563 .
C. u9 78732 .
D.
u9
un ,
4
2187 .
u
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Cho cấp số nhân n có tổng
n
n số hạng đầu tiên là Sn 5 1 với n 1, 2,... . Tìm số hạng đầu u1 và cơng bội q của cấp số
nhân đó?
A. u1 5 , q 4 .
B. u1 5 , q 6 .
C. u1 4 , q 5 .
D. u1 6 , q 5 .
4
Câu 32. (CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số nhân
đầu u1 và công bội q của cấp số nhân trên.
A. u1 9 ; q 2 .
Câu 33.
B. u1 9 ; q 2 .
un
biết
C. u1 9 ; q 2 .
. Tìm số hạng
D. u1 9 ; q 2 .
(PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Xen giữa số 3 và số 768 là 7 số để được một
cấp số nhân có u1 3 . Khi đó u5 là:
B. 48 .
A. 72 .
C. �48 .
D. 48 .
Câu 34. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cấp số nhân
u1 , biết rằng u1 �100 .
A. u1 16.
Câu 35.
u4 u2 54
�
�
u5 u3 108
�
B. u1 2.
C. u1 16.
un
có
u20 8u17
�
.
�
u1 u5 272
�
Tìm
D. u1 2.
(THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Cho cấp số nhân u1 1 , u6 0, 00001 . Khi đó q và
số hạng tổng quát là?
1
1
1
un n 1
q
q
n 1
10 ,
10 . B.
10 , un 10 .
A.
1
1
1
1
q
un n 1
q
un n 1
10 ,
10 ,
10 .
10 . D.
C.
n
Câu 36.
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Cho cấp số nhân un có
cơng bội q và số hạng đầu u1 .
A.
Câu 37.
Câu 38.
Câu 39.
Câu 40.
q
1
1
u1
2,
2.
B.
q
1
1
u1
2,
2.
C. q 4 ,
u1
u2
1
4 , u5 16 . Tìm
1
1
u1
16 . D. q 4 ,
16 .
(THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN - 2018) Cho cấp số nhân có số hạng đầu u1 2, công
3
81
q
4 . Số 128 là số hạng thứ mấy của cấp số này?
bội
A. 5 .
B. 4 .
C. 6 .
D. 3 .
(THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU - LẦN 3 - 2018) Cho dãy số 4,12,36,108,324,... . Số
hạng thứ 10 của dãy số đó là?
A. 73872 .
B. 77832 .
C. 72873 .
D. 78732 .
Cho tứ giác ABCD có bốn góc tạo tành cấp số nhân có cơng bội q 2 , góc có số đo nhỏ nhất
trong bốn góc đó là:
0
0
0
0
A. 1
B. 30
C. 12
D. 24
Cho cấp số nhân
A. u3 15 .
un
u1 u3 u5 65
�
�
u1 u7 325
�
thỏa mãn
B. u3 25 .
. Tính u3 .
C. u3 10 .
D. u3 20 .
5
Câu 41.
Cho cấp số nhân
nhân đã cho.
A. 120005.
un
n
có tổng n số hạng đầu tiên là S n 6 1 . Tìm số hạng thứ năm của cấp số
B. 6840.
C. 7775.
D. 6480.
u1 1
�
.
�
un 1 2un 5
�
u
(Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho dãy số n xác định bởi
Tìm số
hạng thứ 2020 của dãy.
u 3.22020 5.
u 3.22019 5.
u 3.22019 5.
u 3.22020 5.
A. 2020
B. 2020
C. 2020
D. 2020
Câu 43. (THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Số hạng đầu và công bội q của CSN với
u7 5, u10 135 là:
Câu 42.
A.
Câu 44.
Câu 45.
u1
5
, q 3
729
.
B.
u1
5
,q 3
729
.
C.
u1
5
,q 3
729
.
D.
u1
5
, q 3
729
.
u
Cho dãy số n được xác định bởi u1 2 ; un 2un1 3n 1. Tìm số hạng thứ 2019 của dãy
số.
u 5.22019 6062. B. u2019 5.22019 6062.
A. 2019
u 5.22020 6062. u2019 5.22020 6062.
C. 2019
D.
(u )
3�
n +4 �
�
u1 = 1; un+1 = �
un - 2
, n �1
�
�
�
�
u
�
�
2
n
+
3
n
+
2
xác định bởi
. Giá trị của 50 gần nhất
Cho dãy số n
với số nào dưới đây?
A. - 312540600 .
B. - 312540500 .
C. - 212540500 .
D. - 212540600 .
DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 46.
Cho cấp số nhân
A.
Câu 47.
S10 511
un
.
có
B.
u1 3
và q 2 . Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
S10 1023
.
C.
S10 1025
.
D.
S10 1025
.
(LÊ Q ĐƠN - HẢI PHỊNG - LẦN 1 - 2018) Cho một cấp số nhân có các số hạng đều
khơng âm thỏa mãn u2 6 , u4 24 . Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.
12
12
12
12
A. 3.2 3 .
B. 2 1 .
C. 3.2 1 .
D. 3.2 .
n
Câu 48.
(Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Cho dãy
S2019 u1 u2 u3 ... u2019
, ta được kết quả
A.
Câu 49.
2020
1
2
2019
4039
B. 2 .
.
Cho cấp số nhân
đã cho bằng
A. 129 .
un
C.
un
2019
�1 �
un � � 1
�2 � , n ��* . Tính
với
1
2
2019
.
6057
D. 2 .
có u3 12 , u5 48 , có cơng bội âm. Tổng 7 số hạng đầu của cấn số nhân
B. 129 .
C. 128 .
D. 128 .
6
Câu 50.
Câu 51.
Câu 52.
u
(KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Cho n là cấp số nhân,
S u1 u2 ... un
S 4; S3 13 u2 0
S
đặt n
. Biết 2
và
, giá trị 5 bằng
181
35
A. 2 .
B. 16 .
C. 16 .
D. 121 .
2
2018
Giá trị của tổng S 1 3 3 ... 3
bằng
2019
2018
3 1
3 1
S
S
2 .
2
A.
B.
.
C.
S
32020 1
2 .
32018 1
2 .
3,1555... 3,1 5
Số thập phân vơ hạn tuần hồn
viết dưới dạng số hữu tỉ là:
63
142
1
7
A. 20 .
B. 45 .
C. 18 .
D. 2 .
1 1
n 1 1
S 1 2 ... 1
...
6 6
6n
Câu 53. Tính tổng
7
6
6
S
S
S
6
7
7
A.
B.
C.
Câu 54.
D.
S
D.
S
7
6
Số thập phân vơ hạn tuần hồn 0,121212... được biểu diễn bởi phân số
3
1
3
12
A. 25 .
B. 99 .
C. 11 .
D. 22 .
Câu 55. (PTNK CƠ SỞ 2 - TPHCM - LẦN 1 - 2018) Viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để
được một cấp số nhân. Tổng các số hạng của cấp số nhân đó là
A. 215 .
B. 315 .
C. 415 .
D. 515 .
Câu 56.
u
(LIÊN TRƯỜNG - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Cho cấp số nhân n thỏa mãn
u1 u2 u3 13
�
�
u
u4 u1 26
�
. Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân n là
A. S8 1093 .
B. S8 3820 .
C. S8 9841 .
D. S8 3280 .
1 1
1
S 2 �
�
�
n �
�
�
3 3
3
Câu 57. (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Tổng
có giá trị là:
1
1
1
1
A. 9 .
B. 4 .
C. 3 .
D. 2 .
Câu 58.
(THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số
a1 2 , an 1 2an , n �1 , n ��. Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số.
2050
A. 3 .
Câu 59.
B. 2046 .
C. 682 .
an
xác định bởi
D. 2046 .
(THPT LÊ HỒN - THANH HĨA - LẦN 1 - 2018) Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp
1
số nhân có số hạng đầu là 2 , số hạng thứ tư là 32 và số hạng cuối là 2048 ?
7
1365
A. 2 .
Câu 60.
Câu 61.
5416
B. 2 .
5461
C. 2 .
21845
D. 2 .
u
(THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Một cấp số nhân n có n số hạng, số hạng đầu
u1 7 , công bội q 2 . Số hạng thứ n bằng 1792 . Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
un ?
A. 5377 .
B. 5737 .
C. 3577 .
D. 3775 .
(THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Tính tổng cấ số nhân lùi vô hạn
1
1 1 1
, , ,..., n ,...
2 4 8
2
là.
2
1
B. 2 .
A. 1 .
Câu 62.
C.
1
4.
)
(
)
(SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Giá trị của tổng 4 44 444 ... 44...4 (tổng đó có 2018 số
hạng) bằng
�
4�
102019 10
40 2018
2018 �
�
10 1 2018
9
9
�.
A. 9
.
B. �
�
4�
102019 10
4 2018
2018 �
�
10 1
9
9
�.
C. �
D. 9
.
Câu 64.
1
3.
Giá trị của tổng 7 +77 +777 +... +77...7 (tổng có 2018 số hạng) bằng
�
7�
102018 - 10
70
2018
�
- 2018�
10 - 1 +2018
�
�
9
9
�.
A. 9
.
B. �
�
7�
102019 - 10
7
�
�
2018
102018 - 1
�
�
9� 9
�
C.
.
D. 9
.
(
Câu 63.
D.
(THPT KINH MÔN - HD - LẦN 2 - 2018) Cho dãy số xác định bởi u1 1 ,
1�
n 1 �
un 1 �2un 2
; n ��*
�
3�
n 3n 2 �
. Khi đó u2018 bằng:
A.
22016
1
22018
1
u
2018
2017
2017
3
2019 . B.
3
2019 .
2017
2017
2
1
2
1
2018
u2018 2018
3
2019 . D.
3
2019 .
u2018
u2018
C.
Câu 65.
Un
(THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Cho dãy số
xác định bởi:
U10
n 1
U 2 U3
U n 1
.U n
S U1
...
3n
2
3
10 bằng:
và
. Tổng
3280
29524
25942
1
A. 6561 .
B. 59049 .
C. 59049 .
D. 243 .
U1
1
3
8
Câu 66.
(un )
(THPT THANH CHƯƠNG - NGHỆ AN - 2018) Cho dãy số
u1 1
�
�
un 2un1 1; n �2
S u1 u2 ... u20
�
. Tổng
bằng
20
20
21
21
2
20.
2
22.
A.
B.
C. 2 .
D. 2 20.
thỏa mãn
DẠNG 5. KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG
Câu 67.
Câu 68.
(NGÔ GIA TỰ_VĨNH PHÚC_LẦN 1_1819) Cho ba số a , b , c là ba số liên tiếp của một cấp
số cộng có công sai là 2 . Nếu tăng số thứ nhất thêm 1 , tăng số thứ hai thêm 1 và tăng số thứ ba
a b c .
thêm 3 thì được ba số mới là ba số liên tiếp của một cấp số nhân. Tính
A. 12 .
B. 18 .
C. 3 .
D. 9 .
Cho ba số x ; 5 ; 2 y theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ba số x ; 4 ; 2 y theo thứ tự lập thành
x 2y
cấp số nhân thì
A.
Câu 69.
Câu 70.
x 2 y 10
.
bằng
B.
x 2y 9
.
C.
x 2y 6
.
D.
x 2y 8
.
Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un ) biết u1 1 và u1 , u3 , u4 theo thứ tự là ba số hạng liên
tiếp trong một cấp số cộng.
1
5 1
5 1
A. 2 .
B. 2 .
C. 5 1 .
D. 2 .
(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Ba số phân biệt có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên
tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ 2 , thứ 9 , thứ 44 của một cấp số cộng.
Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 820 ?
A. 20 .
B. 42 .
C. 21 .
D. 17 .
DẠNG 6. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC
Câu 71.
(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Người ta thiết kế một cái tháp 11 tầng. Diện
tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích
2
mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12288 m ). Tính diện tích mặt
trên cùng.
2
2
2
2
A. 8 m .
B. 6 m .
C. 10 m .
D. 12 m .
Câu 72.
(TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Một hình vng ABCD có cạnh AB a , diện tích
S1 . Nối 4 trung điểm A1 , B1 , C1 , D1 theo thứ tự của 4 cạnh AB , BC , CD , DA ta được hình
vng thứ hai là A1B1C1D1 có diện tích S 2 . Tiếp tục như thế ta được hình vng thứ ba A2 B2C2 D2
có diện tích S3 và cứ tiếp tục như thế, ta được diện tích S 4 , S5 ,... Tính S S1 S 2 S3 ... S100 .
a 2100 1
a 2 2100 1
a 2 299 1
2100 1
S 99 2 .
S
.
S
.
S
.
2 a
299
299
299
A.
B.
C.
D.
Câu 73.
Dân số tỉnh Bình Phước theo điều tra vào ngày 1/ 1 / 2011 là 905300 người (làm trịn đến hàng
nghìn). Nếu duy trì tốc độ tăng trưởng dân số không đổi là 10% một năm thì đến 1/ 1 / 2020 dân
số của tỉnh Bình Phước là bao nhiêu? (làm trịn đến hàng đơn vị)
9
A. 22582927 .
Câu 74.
B. 02348115 .
C. 2134650 .
D. 11940591 .
(THPT KINH MÔN - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Bạn A thả quả bóng cao su từ độ cao 10
m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao
3
bằng 4 độ cao trước đó. Tính tổng qng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn.
A. 40 m.
B. 70 m.
C. 50 m.
D. 80 m.
Câu 75. (THPT TRẦN NHÂN TÔNG - QN - LẦN 1 - 2018) Một loại vi khuẩn sau mỗi phút số lượng
tăng gấp đôi biết rằng sau 5 phút người ta đếm được có 64000 con hỏi sau bao nhiêu phút thì có
được 2048000 con.
A. 10 .
B. 11 .
C. 26 .
D. 50 .
Câu 76.
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Trên một bàn cờ vua kích thước
8x8 người ta đặt số hạt thóc theo cách như sau. Ơ thứ nhất đặt một hạt thóc, ô thứ hai đặt hai hạt
thóc, các ô tiếp theo đặt số hạt thóc gấp đơi ơ đứng liền kề trước nó. Hỏi phải tối thiểu từ ơ thứ
bao nhiêu để tổng số hạt thóc từ ơ đầu tiên đến ô đó lớn hơn 20172018 hạt thóc.
A. 26
B. 23
C. 24
D. 25
Câu 77.
(THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , biết độ dài
cạnh đáy BC , đường cao AH và cạnh bên AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q
2
. Giá trị của q bằng
2 2
2 .
A.
Câu 78.
2 2
2 .
B.
C.
2 1
2 .
D.
2 1
2
a
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số n xác định
bởi a1 5, an 1 q.an 3 với mọi n �1 , trong đó q là hằng số, q �0 , q �1 . Biết công thức số
an .q n 1
hạng tổng quát của dãy số viết được dưới dạng
A. 13 .
B. 9 .
C. 11 .
1 q n 1
1 q . Tính 2 ?
D. 16 .
Câu 79.
(THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho bốn số a, b , c, d theo thứ tự đó tạo thành cấp số nhân
148
với cơng bội khác 1 . Biết tổng ba số hạng đầu bằng 9 , đồng thời theo thứ tự đó chúng lần lượt
là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng. Tính giá trị biểu thức T a b c d
.
101
100
100
101
T
T
T
T
27 .
27 .
27 .
27 .
A.
B.
C.
D.
Câu 80.
(Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Từ độ cao 55,8m của tháp nghiêng Pisa nước Italia
người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên
1
độ cao bằng 10 độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả
từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
10
A.
Câu 81.
67m; 69m .
B.
60m;63m .
C.
64m;66m .
D.
69m; 72m .
Để trang trí cho quán trà sữa sắp mở cửa của mình, bạn Việt quyết định tơ màu một mảng tường
hình vng cạnh bằng 1m . Phần tơ màu dự kiến là các hình vng nhỏ được đánh số lần lượt là
1, 2,3...n,.. (các hình vng được tơ màu chấm bi), trong đó cạnh của hình vng kế tiếp bằng
một nửa cạnh hình vng trước đó (hình vẽ). Giả sử q trình tơ màu của Việt có thể diễn ra nhiều
giờ. Hỏi bạn Việt tơ màu đến hình vng thứ mấy thì diện tích của hình vng được tơ bắt đầu
1
m2
nhỏ hơn 1000
?
A. 6 .
Câu 82.
Câu 84.
C. 5 .
D. 4 .
(Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để
phương trình
A. 4 .
Câu 83.
B. 3 .
( x - 1) ( x- 3) ( x - m) = 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân tăng?
B. 3.
C. 2 .
D. 1.
x 3 7 x 2 2 m 2 6m x 8 0
Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số m để phương trình
có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân. Tính tổng lập phương của hai giá trị đó.
A. 342 .
B. 216 .
C. 344 .
D. 216 .
u
Cho dãy số n là một cấp số nhân có số hạng đầu u1 1 , cơng bội q 2 . Tính tổng
1
1
1
1
T
...
u1 u5 u2 u6 u3 u7
u20 u24 .
1 219
1 220
219 1
220 1
19
18
19
15.218 .
B. 15.2 .
C. 15.2 .
D. 15.2
A.
11
Câu 85.
(THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Với hình vng A1B1C1D1 như hình vẽ bên, cách
tơ màu như phần gạch sọc được gọi là cách tô màu “đẹp”. Một nhà thiết kế tiến hành tô màu cho
một hình vng như hình bên, theo quy trình sau:
Bước 1: Tơ màu “đẹp” cho hình vng A1B1C1D1 .
Bước 2: Tơ màu “đẹp” cho hình vng A2 B2C2 D2 là hình vng ở chính giữa khi chia hình vng
A1B1C1D1 thành 9 phần bằng nhau như hình vẽ.
Bước 3: Tơ màu “đẹp” cho hình vng A3 B3C3 D3 là hình vng ở chính giữa khi chia hình vng
A2 B2C2 D2 thành 9 phần bằng nhau. Cứ tiếp tục như vậy. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu bước để tổng
diện tích phần được tô màu chiếm 49,99% .
A. 9 bước.
B. 4 bước.
Câu 86.
C. 8 bước.
D. 7 bước.
C
(SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Cho hình vng 1 có cạnh bằng a . Người ta chia mỗi cạnh
của hình vng thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình
C
vng 2 (Hình vẽ).
C2
lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vng C1 , C2 , C3 ,., Cn .
C i � 1, 2,3,.....
Gọi Si là diện tích của hình vng i
. Đặt T S1 S2 S3 ...Sn ... . Biết
32
T
3 , tính a ?
5
A. 2 .
B. 2 .
C. 2 .
D. 2 2 .
Từ hình vng
12
Câu 87.
Câu 88.
(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 6) Cho năm số a , b , c , d , e tạo thành một cấp số nhân theo
1 1 1 1 1
10
0
a
b c d e
thứ tự đó và các số đều khác , biết
và tổng của chúng bằng 40 . Tính giá
S
trị
với S abcde .
S 42
S 62
S 32
S 52
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
(THPT YÊN KHÁNH A - LẦN 2 - 2018) Cho dãy số
u �2.32018
Giá trị nhỏ nhất của n để n
bằng:
2017
2018
A.
.
B.
.
C. 2019 .
un
thỏa mãn
�
5u1 5u1 u2 u2 6
�
�
un 1 3un n ��*
�
.
D. 2010
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Câu 1.
DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN
Chọn B
Ta thấy, với n �2, n �� dãy số
công bội q 2, u1 2.
u 2
n
n
có tính chất:
un
2n
n 1 2
u n 1 2
nên là cấp số nhân với
Câu 2.
Chọn A
Câu 3.
1
1 �1 �
1
1
un n 1 . � �
q
u1
2
4 �2 � là số hạng tổng quát của một cấp số nhân có
4 và
2.
1
1
7 1
17 7
un n 2
u1 ; u2 .7; u3
� .7
2 có
2
2 2
2 2 nên khơng phải số hạng tổng quát của một cấp
số nhân.
1
1
3
1 3
7
3 3
un n 1 u1 ; u2 . ; u3 � .
2
2
4
2 2
8
4 2 nên khơng phải số hạng tổng qt của
có
một cấp số nhân.
1
3
9 3
19 9
u1 ; u2 .3; u3
� .3
un n 2
2 có
2
2 2
2 2 nên không phải số hạng tổng quát của một cấp
số nhân.
un 1
Lập tỉ số un
n 1
un 1 1 . n 1
n 1
n
un
n � un
1 .n
n 1
A:
không phải cấp số nhân.
un 1 n 1
n 2 � un không phải là cấp số nhân.
B: un
un 1 2n 1
n 2 � un 1 2un
� un
u
2
C: n
là cấp số nhân có cơng bội bằng 2 .
2
13
un 1 n 1
u
3n � un không phải là cấp số nhân.
D: n
Chọn A
un = 3.2n+1 ( " n ��* ) � un+1 = 3.2n+2
un )
(
Dãy số
có số hạng tổng quát là
.
n +2
un+1 3.2
=
= 2 = const
*
(u )
3.2 n+1
Xét thương un
với " n �� nên dãy số n là một cấp số nhân có cơng
Câu 4.
bội q = 2 và có số hạng đầu là
Câu 5.
u1 = 3.21+1 =12
.
Chọn C
Ta có: 2, 4,8,16,... là cấp số nhân có số hạng đầu u1 2 và cơng bội q 2 .
Câu 6.
Hướng dẫn giải:
Chọn
A.
1
1 �1� 1
1 �1�
� 1� 1
1. �
�
; .�
�
;
.�
�
;.......
3
3
9
3
3
27
9
3
�
�
�
�
�
�
Ta có:
Vậy dãy số trên là cấp số nhân với
1
u1 1; q=3.
n 1
Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có
un u1q
n 1
1
n
�1�
1�
� 1 . n 1
3 .
� 3�
Câu 7.
Lờigiải
Chọn C
Gọi q là công bội của cấp số nhân.
Ta có
�2 x x.q
�2 x x.q
�q 2
��
��
�
�x 3 2 x.q
�x 3 2.2 x �x 1
1
Tập hợp các giá trị x thỏa mãn x, 2 x, x 3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân là .
Chọn A
x 1
�
x2 x 2 � �
x2 .
�
Để 1; x; x 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân thì:
Câu 8.
Vậy có đúng 1 số nguyên dương x 2 .
Câu 9.
Chọn B
Để ba số đó lập thành một cấp số nhân thì:
1
1
� x�
3
3
A. Đúng vì dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q 1 .
x 2 2 x 1 2 x 1 � x 2 4 x 2 1 � x 2
Câu 10.
B. Đúng vì dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai d 0 .
C. Đúng vì dãy số đã cho là cấp số cộng có công sai dương nên: un 1 un d 0 � un 1 un .
D. Sai. Ví dụ dãy 5 ; 2 ; 1 ; 3 ; … là dãy số có d 3 0 nhưng không phải là dãy số dương.
� x 2 2 x 3 2 x 3 � x 2 4 x 2 9 � x 2 3
Câu 11. 2 x 3 ; x ; 2 x 3 lập thành cấp số nhân
� x�3.
14
Vì x dương nên x 3 .
Câu 12.
Điều kiện:
cos �۹
0
k
2
k �� .
sin
sin 2
2
cos
.tan � 6 cos
6
cos .
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có:
1
� cos
3
2
3
2
� 6cos sin 0 � 6 cos cos 1 0
2.
2
2
1
�1 �
cos 2 2 cos 1 2. � � 1
2.
�2 �
Ta có:
2
DẠNG 2. TÌM CƠNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN
Câu 13.
Chọn C
u6 u1 �
q 5 � q5
Câu 14.
Ta có
Chọn A
u6 16
32
u1 1
� q 2.
2
u1 2
u1 2
�
�
��
�
5
5
5
u 486
�486 u1.q � q 243 3 � q 3 .
Theo đề ra ta có: �6
Câu 15.
Hướng dẫn giải:
Chọn
B.
Áp
dụng
cơng
thức
số
hạng
tổng
qt
q2
�
un u1q n 1 � u7 u1 .q 6 � q 6 64 � �
q 2
�
Câu 16. Chọn A
x, y , z lập thành cấp số nhân công bội q nên y qx; z q 2 x
x, 2 y ,3z lập thành cấp số cộng nên
2y
cấp
số
nhân
ta
có
x 3z
x 3q 2 x
� 2qx
2
2
q 1
�
x 3q 2 x
2
�
2qx
� 4q 1 3q �
1
�
2
q
� 3
Vì x �0 nên
DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN
Câu 17. Số hạng u2 là: u2 u1.q 6
� 2
u1
4
�
u1q 2 � �
u5 2
�
�
3
�
�� 8
�
4
�
u 6
u1q 6
q 3.
�
�
Câu 18. Ta có �9
5
2
u21 u1q 20 u1 q 4 .35 162
3
Suy ra
.
Câu 19. Chọn A
15
2
u
Vì n là cấp số nhân nên u6u8 u7 , suy ra
Câu 20. Chọn C
u6u8 u7 u1 .q 6 2.56
.
n 1
Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: un u1.q .
4
Do đó u5 3.2 48 .
Câu 21.
Chọn B
2
Theo tính chất của cấp số nhân với k �2 thì uk uk 1.uk 1 ta suy ra
u3 1
�
1
u32 u2 .u4 .4 1 � �
u3 1
4
�
Vì
un là cấp số nhân có cơng bội dương nên u3 1 . Gọi q
q
là công bội ta được
u4 4
4
u3 1
1
u2 4 1
u1
q 4 16 .
Từ đó ta có
Câu 22. Chọn A
n 1
2018
Áp dụng công thức của số hạng tổng quát un u1.q 2.3 .
u u1.q n 1 � 1.2n 1 1024 � 2n 1 210 � n 1 10 � n 11
Câu 23. Ta có n
.
Câu 24.
Chọn B
5
u u1.q 5 5. 2 160
Ta có: 6
.
Câu 25. Chọn C
�
u1 u2 u3 168
u1 u1.q u1.q 2 168
�
�
�� 3
�
u4 u5 u6 21
u1.q u1.q 4 u1.q5 21
�
�
Ta có :
�
u1 1 q q 2 168
�
��
u1q 3 1 q q 2 21
�
�
168
�
u1
�
� 1 q q2
��
�q 3 1
�
� 8
u 96
�
�1
�� 1
q
�
� 2 .
u 96
Vậy 1
,
Câu 26. Chọn A
� vn 1 5 2 vn 5 5 � vn 1 2vn
Ta có un vn 5 , un 1 2un 5
.
v 6.q n 1 v2018 6.22017 � u2018 6.22017 5
Do đó vn là cấp số nhân với v1 6 , q 2 , n
,
.
Câu 27. Chọn D
16
u1 1
�
u1 1
u 1
�
�
� 2
��
u1.q 4 � �1 � u4 u1.q3 8.
�
u3 4 �
q2
�
�
q0
�
Ta có:
Câu 28. Chọn C
u , n �1 là cấp số nhân có cơng bội q 2 nên có số hạng tổng quát un q n1. u1 .
Ta có n
5
5
u2 5 u1.2 � u1 � u7 .26 160.
2
2
Vì
Vậy số hạng thứ 7 của cấp số là 160. Đáp án
C.
Câu 29. Chọn B
u4 4096.u1
�q 3 4096
�
�q 16
�q 16
�
��
��
�
�
17.u1 34
u1 2
u u 34
u1.(1 q) 34 �
�
�
Theo bài ra ta có: �1 2
.
2
2
Vậy u3 u1.q 2.16 512 . Chọn
B.
u
Câu 30. Gọi q là công bội của cấp số nhân n .
u3 1
5 243 � q 1
2
7 �
u3 u1q u8 u1q
u
q
3.
8
Ta có
,
8
�1 �
4
8 12. � �
u9 u1q
3
� � 2187 .
Do đó
u1 S1 5 1 4
u1 4
�
�
u
�
q 2 5
�
�
2
u2 24 u1 20 � u1 4
u1 u2 S 2 5 1 24 �
u1
Câu 31. Ta có: �
,
.
2
�
u q q 1 54
�
u1q 3 u1q 54 � �1
u4 u2 54
u 9
�
�
�
� 2 2
�� 4
� �1
�
2
u1q q 1 108
�
u u 108
q2
u1q u1q 108
�
�
�
Câu 32. Ta có: �5 3
.
Vậy u1 9 ; q 2 .
8
8
Ta có u1 3 và u9 768 nên 768 3.q � q 256 � q �2 .
u u1.q 4 3.24 48
Do đó 5
.
Câu 34. Ta có:
�
u1q16 q 3 8 0 1
�
u20 8u17
u1.q19 8u1q16
�
�
�
��
��
�
u1 u5 272
u1 u1.q 4 272
u1 1 q 4 272 2
�
�
�
�
.
Câu 33.
q0
�
q2.
�
1 � �
2
suy ra u1 �0 do đó:
2 � u1 272
Nếu q 0 thì
khơng thõa điều kiện u1 �100 .
2 � u1 16
Nếu q 2 thì
thõa điều kiện u1 �100 .
Từ
1
1
5
�
q
�
q
5
u u1.q 0, 00001
10
10 .
Câu 35. Ta có: 6
n1
n
�1 � 1
1.
� �
� un u1.q n 1
�10 � 10n1 .
5
17
Vậy đáp án đúng là:
C.
1
�
� 1
u1.q
u2
�
�
4
� 4 ��
4
�
�
u1.q 16
u 16
�
Câu 36. Ta có �5
2
1
2 .
1
� u1
1
16 .
Câu 37.
ta được q 64 � q 4
n 1
4
n 1
81
�3 �
�3 � �3 �
un u1q n 1 �
2. � � � � � � � � n 5
128
�4 �
�4 � �4 �
Áp dụng công thức cấp số nhân
.
Câu 38.
Xét dãy số 4,12, 36,108, 324,... là cấp số nhân có u1 4 , q 3 .
Chia hai vế của
cho
3
9
9
Số hạng thứ 10 của dãy số là u10 u1.q 4.3 78732 .
Câu 39.
Chọn D
Giả sử: Bốn góc A, B, C , D theo thứ tự lập thành cấp số nhân và A nhỏ nhất.
Khi đó B 2 A, C 4 A, D 8 A
0
0
Nên A 2 A 4 A 8 A 360 � A 24
Câu 40. Chọn D
�
u1 1 q 2 q 4 65 (1)
u1 u3 u5 65 �
u1 u1.q 2 u1.q 4 65 �
�
�
��
��
�
u1 u7 325
u1 u1.q 6 325
u1 1 q 6 325 (2)
�
�
�
�
Ta có:
1
2
Chia từng vế của cho ta được phương trình :
1 q2 q4 1
� q 6 5q 4 5q 2 4 0 *
6
1 q
5
2
Đặt t q , t �0 .
t4
�
t 3 5t 2 5t 4 0 � t 4 t 2 t 1 0 � �2
t t 1 0(vn)
�
*
Phương trình trở thành :
2
Với t 4 � q 4 � q �2 .
q �2 thay vào 2 ta được u1 5 .
2
Vậy u3 u1.q 5.4 20.
Câu 41. Chọn D
u
Cấp số nhân n có số hạng đầu u1 và công bội q .
u1 1 q n
Sn
6n 1
S n 6n 1
q
�
1
1 q
Do
nên
. Khi đó
.
Với
S1
u1 1 q
6 1 � u1 5
1 q
.
Ta có:
u1 1 q 2
S2
62 1 � q 6 .
1 q
4
4
Vậy u5 u1. q 5.6 6480.
18
Câu 42.
Chọn A
Đặt un vn 5 � vn1 5 2.(vn 5) 5 � vn1 2vn
Có
u1 1 � v1 6 � un 5 6.2n 1 � un 6.2n 1 5
Vậy
Câu 43.
Câu 44.
u2020 6.2 2019 5 3.2 2020 5
un
u u1.q 6 5 u10 u1.q 9 135
là CSN nên: 7
,
9
u
135
uq
u
5
� 10
� 1 6 27 � q 3 � u1 76
u7
5
u1q
q
729 .
Vì
Chọn C
� un 3n 5 2�
un1 3 n 1 5�
�
�, với n �2 ; n��.
Ta có un 2un1 3n 1
Đặt vn un 3n 5, ta có vn 2vn1 với n �2 ; n��.
n1
n
v
q 2
Như vậy, n là cấp số nhân với cơng bội
và v1 10 , do đó vn 10.2 5.2 .
u 3n 5 5.2n , hay un 5.2n 3n 5 với n �2 ; n��.
Do đó n
u 5.22019 6062.
Nên 2019
Câu 45. Chọn C
Ta có
�
�
3�
n +4 �
3�
3
2 �
3
3�
3 �
�
�
�
un+1 = �
un - 2
�
u
=
u
+
�
u
=
u
( 1)
�
�
�
�
�
�
n
+
1
n
n
+
1
n
�
� n +1 n + 2 �
� n +1�
� n + 3n + 2 �
�
�
2�
2�
n +2 2 �
Đặt
vn = un -
3
3
1
, n �1
v1 = u1 - =n +1
2
2 và từ
, ta có
( 1)
thu được
vn+1 =
3
vn
2 .
n- 1
Suy ra dãy số
( vn )
n- 1
-
Câu 46.
n- 1
��
���
3� �
1�
3�
3
�
�
vn = v1.�
=
.
�
�
�
q=
�
�
�
�
� 2�
�
��
���
2� �
2�
2 , ta có
là một cấp số nhân với công bội
� 1�
��
3�
+
un - �
= �
.�
�
�
�
�
�
�
�
� 2 ���
2�
Từ đó ta được
3
n +1
u50
212540500
DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Chọn B
1 2
1 qn
S10 u1.
3.
1023
1 q
1 2
10
Ta có:
Câu 47.
Gọi cơng bội của CSN bằng q . Suy ra
nên q 2 .
S12 u1.
Ta có
Câu 48. Chọn A
.
u4 u2 .q 2 � q �2
. Do CSN có các số hạng khơng âm
1 q12
1 212
12
3.
1 q
1 2 3 2 1 .
2019
Câu 49.
�1 �
1 � �
1
2
2019
1
1
2
�1 � �1 �
�1 �
S 2019 2019 � � � � ... � � 2019 . � � 2020 2019
1
2
2
�2 � �2 �
�2 �
1
2
.
Chọn A
19
2
Ta có: u4 u3 .u5 576 .
Vì u3 0, u5 0 và công bội âm nên: u4 24 � q 2 .
Lại có:
u3 u1q 2 � u1
u3 12
3
q2 4
.
1 2
1 q7
S7 u1
3.
129
1 q
1 2
7
Câu 50.
Áp dụng cơng thức ta có:
.
Chọn B
u ,q
Gọi 1 lần lượt là số hạng đầu tiên và cơng bội của cấp số nhân cần tìm.
�
u1 1 q 4
�
�
u
1
q
4
�S2 4
�1
�q 3
��
� ��
�
2
u1 1 q q 13 �� 3
�S3 13 �
�
�
q
�
4
�
�
Từ giả thiết ta có
.
u1 16
�
�
u2 0
�
u
�
3
�q 3 0
�
q
�
u S3 S2 9 0
u2
4.
Vì �3
nên cấp số nhân cần tìm có �
�
1 q 5 � 181
S5 u1 �
�
�1 q � 16
Do đó
.
Chọn A
Ta thấy S là tổng của 2019 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là u1 1 , công bội
q 3.
1 32019 32019 1
S 1.
1 3
2 .
Áp dụng cơng thức tính tổng của cấp số nhân ta có
Câu 52. Chọn B
3,1555... 3,1 0, 05 0, 005 0, 0005 ...
Dãy số 0, 05;0, 005; 0,0005; 0, 00005;... là một cấp số nhân lùi vô hạn có u1 0, 05 ; q 0,1 .
Câu 51.
3,1555... 3,1
Câu 53.
Vậy
Chọn B
0, 05 142
1 0,1 45 .
u
1 6
S 1
u2 u3
1
1 q 1 1 7
q ... q 1
u1 u2
6
6
Ta có:
. Do đó:
Câu 54. Chọn B
1
1
�1
�
12 12 12
12
0,121212... 2 4 6 ... 2 n ... 12 � 2 4 ... 2 n ... �
10 10
10
�
�
10 10 10
10
Ta có
� 1 �
�
�
12 � 100 �
1 � 4 12
�
1
� 100 � 33 99 .
20
Câu 55.
Từ giả thiết ta có
u1 160
�
u
1
�q 5 6
�
u6 5
u1 2
�
.
S
Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là:
u1 1 q 6
1 q
6
� �1 �
�
160 �
1 � ��
� �2 ��
�
� 315
1
2
.
�
u1 1 q q 2 13
2
�
�
u
u
.
q
u
.
q
13
u1 u2 u3 13
�1 1
�
1
��
�� 3
�
u1. q 1 1 q q 2 26
�
u
u
26
u
.
q
u
26
�
�
4
1
�
1
1
Câu 56. Ta có
�
u1 1 q q 2 13
�
u 1
�
��
� �1
q3
q3
�
�
.
8
u1 1 q 1 1 38
S8
3280
1 q
1 3
Vậy tổng
.
1 1
1
1
S 2 �
�
�
n �
�
�
un n
u
3 3
3
3 có số hạng
Câu 57. Ta có
là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn n với
1
1
u1
q
3 , cơng sai
3.
đầu
1
u1
1
S
3
1 q 1 1 2
3
Do đó
.
a1 2
�
an 1
2
�
a
q 2
Câu 58. Vì an
suy ra n là một cấp số nhân với �
.
10
a1 1 q
S10
682
1
q
Suy ra
.
1
u1
2 , u4 32 và un 2048 .
Câu 59. Theo bài ra ta có
1 3
u4 u1.q 3 � 32 2 .q � q 4
un 2048 � u1. q n1 2048 � 4n1 46 � n 7
u1 1 q 7
1
1 47
5461
2
1 4
2 .
S7
1 q
Khi đó tổng của cấp số nhân này là
u u1.q n 1
Câu 60. Ta có n
� 7.2n 1 1792 � n 9 � S8 3577
1
1
u1
q
2 công bội
2 nên tổng của cấp số nhân lùi vô hạng là.
Câu 61. Cấp số nhân có
n
u1 1 q
u
1
lim S n lim
1
1 q
1 q
3
21
Câu 62.
Chọn C
Ta có 7 +77 +777 +... +77...7
7
7
= ( 9 +99 +999 +... +99...9) = 10 - 1 +102 - 1 +103 - 1 +... +10 2018 - 1
9
9
(
)
7
= 10 +102 +103 +... +102018 - 2018
9
(
)
2
3
2018
Mặt khác,ta có 10 +10 +10 +... +10
là tổng của một cấp số nhân với u1 =10 và công bội
102018 - 1 102019 - 10
=
10
=
q =10 � 10 +102 +103 +... +102018
9
9
.
�
7�
10 2019 - 10
7
2
3
2018
�
�
=
2018
10 +10 +10 +... +10 - 2018
� 9
�
9
�
�.
Do đó 9
(
Câu 63.
)
Đặt S 4 44 444 ... 44...4 (tổng đó có 2018 số hạng). Ta có:
9
S 9 99 999 ... 99...9 10 1 102 1 103 1 ... 102018 1
4
9
S 10 102 103 ... 102018 2018
A 2018 .
4
Suy ra:
2
3
2018
Với A 10 10 10 ... 10
là tổng 2018 số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu
1 q 2018
1 102018 102019 10
A u1
10
u1 10 , công bội q 10 nên ta có
1 q
9
9
.
�
4�
102019 10
9
102019 10
�
S
2018 �
�
S
2018
9� 9
�
9
Do đó 4
.
Câu 64.
1�
n 1 � 1 �
3
2 � 2
1
2 1
u n 1 �
2u n 2
.
� �2un
� un
3
n
3
n
2
3
n
2
n
1
�
� �
� 3
n 2 3 n 1 .
Ta có:
� un 1
Đặt
1
2�
1 �
�
un
�
n 2 3 � n 1 � 1
vn un
v
Do đó n
1
2
vn 1 vn
1
n 1 , từ
3 .
ta suy ra:
là cấp số nhân với
n 1
Suy ra:
vn v1.q
n 1
v1 u1
1 1
2
q
2 2 , công bội
3.
n 1
n 1
1 �2 �
1
1 �2 �
1 �2 �
1
. � � � un
. � � � un . � �
2 �3 �
n 1 2 �3 �
2 �3 � n 1 .
2017
1 �2 �
1
22016
1
u2018 . � �
2017
2 �3 �
2019 3
2019 .
Vậy
U
n 1
1 Un
1
U1 1
U n 1
.U n � n 1
U1
3n
n 1 3 n mà
3 hay 1 3
Câu 65. Theo đề ta có:
22
2
2
3
10
U10 �1 �
U 2 1 1 �1 � U 3 1 �1 � �1 �
. ��
. � � � �
��
2
3
3
3
3
3
3
3
10
�
�
�
�
�
�
�3 � .
Nên ta có
;
;…;
Un �
�
1
1
U1
q
� �
3 , cơng bội
3.
Hay dãy �n �là một cấp số nhân có số hạng đầu
U
U 2 U3
1
310 1 59048 29524
... 10 .22. 3
2
3
10 3
2.310
59049
2.310
Khi đó
.
un 2un 1 1 � un 1 2 un1 1
S U1
Câu 66.
Đặt
vn un 1,
ta có
vn 2vn1
trong đó
v1 2
(v )
v 2
Vậy n là cấp số nhân có số hạng đầu 1
và công bội bằng 2, nên số hạng tổng quát
vn 2n � un vn 1 2n 1
1
2
20
1
2
20
� S u1 u2 ... u20 2 1 2 1 ... 2 1 2 2 ... 2 20
S 2. 220 1 20 221 22.
Câu 67.
DẠNG 5. KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG
Chọn D
ba2
�
�
c a4.
+) a , b , c là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng có công sai bằng d 2 � �
+) Ba số a 1 , a 3 , a 7 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân
2
� a 3 a 1 . a 7 � a 2 6a 9 a 2 8a 7 � 2a 2 � a 1
.
� T a b c 3a 6 9 .
Câu 68. Chọn C
S x 2 y 10 1
Do ba số x ; 5 ; 2 y theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ta có:
P x.2 y 16 2
Ta lại có ba số x ; 4 ; 2 y theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên:
Từ
1 , 2
2
suy ra hai số x ; 2 y là nghiệm của phương trình X S . X P 0 hay
X 2
�
��
X 8
X 2 10 X 16 0
�
x 2y 2 8 6
Theo yêu cầu bài toán
Chọn B
(un ) là cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội q , suy ra q 1 và u3 u1 .q 2 q 2 , u4 u1.q 3 q 3 .
Mà và u1 , u3 , u4 theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp trong một cấp số cộng nên u1 u4 2.u3 .
3
2
3
2
2
2
Từ đó ta có 1 q 2.q � q 2.q 1 0 � (q 1)(q q 1) 0 � q q 1 0
Câu 69.
� 1 5
q
�
2 � q 1 5
u
1
2
5 1
��
S 1
2
� 1 5
1 q
2
1 5 1 5
q
1
�
q
1
�
2
2
( vì
).Vậy
.
23
Câu 70.
Gọi ba số đó là x , y , z . Do ba số là các số hạng thứ 2 , thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng
nên ta có: x ; y x 7d ; z x 42d (với d là cơng sai của cấp số cộng).
Theo giả thiết, ta có: x y z x x 7 d x 42d 3x 49d 217 .
Mặt khác, do x , y , z là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên:
d 0
�
��
4 x 7 d 0
y xz � x 7 d x x 42d � d 4 x 7d 0
�
2
Với d 0 , ta có:
2
x yz
217
217 2460
n 820 :
�N
3 . Suy ra
3
217
.
4 x 7d 0
�
�x 7
��
�
3x 49d 217
d 4 . Suy ra u1 7 4 3 .
�
Với 4 x 7 d 0 , ta có: �
n 20
�
�
�
2u n 1 d �
41
�n 820 � 2.3 4 n 1 n 820 � �
��1
n
�
2
2
2
Do đó, S n 820
Vậy n 20 .
DẠNG 6. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC
Chọn B
a ,a ,a ,...,a11
Gọi 0 1 2
lần lượt là diện tích mặt trên của đế tháp, tầng 1, tầng 2,., tầng 11.
n
��
1
1�
�
�, n = 1,2,...,11
a0 = 12288;an = an- 1 = a0 �
�
�
2
2�
��
Khi đó ta có:
.
11
11
��
��
1�
1�
�
�
�=6
a11 = a0 �
=
12288
�
�
�
�
�
m2
�
2�
2�
��
��
Diện tích mặt trên tầng trên cùng là:
a2
a2
a2
2
S1 a ; S 2 ; S3 ;...; S100 99 .
2
4
2
Câu 72. Dễ thấy:
1
q
2.
Như vậy S1 , S 2 , S3 ,..., S100 là cấp số nhân với công bội
Câu 71.
( )
S S1 S 2 ... S100
Câu 73.
2
100
1 � a 2 1
� 1 1
a �
1 2 ... 99 �
.
2 �
299
� 2 2
2
Chọn C
9
Sau 9 năm thì số dân của tỉnh Bình Phước là: 905300.1,1 �2134650 người.
3
q
u
10
4.
Câu 74. Các quãng đường khi bóng đi xuống tạo thành một cấp số nhân lùi vơ hạn có 1
và
10
u
3
S 1
1
1 q
4 40 .
Tổng các quãng đường khi bóng đi xuống là
Tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn 2 S 10 70 (m).
Câu 75.
Số lượng vi khuẩn tăng lên là cấp số nhân
un
với công bội q 2 .
24
Ta có:
u6 64000 � u1.q 5 64000 � u1 2000 .
Sau n phút thì số lượng vi khuẩn là un 1 .
un 1 2048000 � u1.q n 2048000 � 2000.2n 2048000 � n 10 .
Vậy sau 10 phút thì có được 2048000 con.
Câu 76.
Số thóc ở ơ sau gấp đơi ở ơ trước, đặt un là số thóc ở ơ thứ n thì số thóc ở mỗi ơ sẽ lập thành
� u1 1 20
.
�
n
u
2
u
2
n
một cấp số nhân: �n1
1
k 1
Khi đó tổng số thóc từ ơ đầu tới ơ thứ k là Sk u1 u2 � uk 1 2 � 2
2k 1 k
Sk
2 1
2 1
Vậy
2k 1 20172018 � 2k 20172019 � k log 2 20172019
Theo đề ta có:
Vậy phải lấy tối thiểu từ ơ thứ 25
Câu 77. Đặt BC a; AB AC b; AH h . Theo giả thiết ta có a, h, b lập cấp số nhân, suy ra
b2 b2 a2
2
2
h
m
a
h 2 ab. Mặt khác tam giác ABC cân tại đỉnh A nên
2
4
b2 b2 a 2
ab � a 2 4ab 4b 2 0 � a 2 2 2 b
2
4
Do đó
(vì a, b 0 )
b
1
2 22
2 1
q2
2
a 2 2 2
4
2 .
Lại có b q a nên suy ra
Câu 78.
a k q an k � k kq 3
Cách 1. Ta có: n1
� vn 1 q.vn q 2 .vn1 ... q n .v1
Đặt vn an k
�k
3
1 q
�
3 �
vn q n 1.v1 q n 1. a1 k q n 1. �
5
�
� 1 q �
Khi đó
3 �
3 � 3
1 q n 1
n 1 �
n 1 �
n 1
an vn k q . �
5
5
5.q 3.
� k q . �
�
1 q .
� 1 q �
� 1 q � 1 q
Vậy
Do đó: 5; 3 � 2 5 2.3 11 .
Cách 2. Theo giả thiết ta có a1 5,
�
1 q11
11
a
.
q
�1
1 q
�
�
1 q 21
�
a2 .q 21
q
�
1 q
�
, suy ra
� 2 5 2.3 11
a2 5q 3 . Áp dụng công thức tổng quát, ta được
5
�
�
5q 3 q , hay
�
5
�
�
� 3
25
