Dạy thêm toán 11 HAI mặt PHẲNG VUÔNG góc

HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1.

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
C. Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 00.
D. Hai đường thẳng trong không gian cắt nhau khi và chỉ khi góc giữa chúng lớn hơn 0 0 và nhỏ
hơn 900.
Lời giải:
Chọn B
A sai vì hai mặt phẳng đó có thể cắt nhau.

C Sai vì hai đường thẳng đó có thể trùng nhau.
D Sai vì hai đường thẳng đó có thể cheo nhau.
Câu 2.

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng tùy ý nằm trong mỗi mặt phẳng.
B. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vng góc với hai mặt
phẳng đó.
C. Góc giữa hai mặt phẳng ln là góc nhọn.
D. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vec tơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt
vng góc với hai mặt phẳng đó.
Lời giải
Chọn B

Câu 3.

Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
A. Hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau.
B. Hình chóp tứ giác đều có các cạnh bên bằng nhau.
C. Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vng.
D. Hình chóp tứ giác đều có hình chiếu vng góc của đỉnh lên đáy trùng với tâm của đáy.
Lời giải
Chọn A
Lý thuyết.

Câu 4.

 , 
Cho các đường thẳng a, b và các mặt phẳng     . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề
sau

1


a  
�
�
�    
�
a �  
�
A.
.

�a  b
� b //   

�
a  
�
B.
.

�
ab
�
a �   �       
�
�
b �  
C. �
.

�
    
�
a �   � a  b
�
�
b �  
D. �
.

Lời giải
Chọn A
Câu 5.

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
A. Cho hai mặt phẳng vng góc với nhau, nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và
vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng thì vng góc với mặt phẳng kia.
B. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vng góc với một mặt phẳng cho trước
C. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song
song với nhau.
D. Đường thẳng d là đường vng góc chung của hai đườngthẳng chéo nhau a, b khi và chỉ
khi d vng góc với cả a và b.
Lời giải
Chọn A

Câu 6.


Cho đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng   . có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và vng
góc với
A. 2 .

 .
B. 0 .

C. Vơ số.
Lời giải

Chọn D
Câu 7.

Mảnh bìa phẳng nào sau đây có thể xếp thành lăng trụ tứ giác đều?

A.

B.

2

D. 1 .


C.

D.
Lời giải

Chọn A
Câu 8.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vng góc với mặt phẳng kia thì hai mặt
phẳng vng góc nhau.
B. Nếu hai mặt phẳng cùng vng góc với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
C. Nếu hai mặt phẳng vng góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều
vng góc với mặt phẳng kia.
D. Nếu hai mặt phẳng cùng vng góc với mặt phẳng thứ ba thì chúng vng góc với nhau.
Lời giải
Chọn A

Câu 9.


Cho đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng   . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a

và vng góc với
A. 2 .

  ?
B. 0 .

C. Vô số.

D. 1 .

Lời giải
Chọn D
Câu 10.

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
i) Hình hộp đứng có đáy là hình vng là hình lập phương
ii) Hình hộp chữ nhật có tất cả các mặt là hình chữ nhật
iii) Hình lăng trụ đứng có các cạnh bên vng góc với đáy
iv) Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau là hình lập phương
A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Lời giải
Chọn B
Có hai mệnh đề đúng là ii) và iii)

Câu 11.

(Nơng Cống - Thanh Hóa - Lần 1 - 1819) Trong không gian cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng

( P) , xét các phát biểu sau:

3


(I). Nếu a / / b mà a  ( P ) thì ln có b  ( P) .
(II). Nếu a  ( P ) và a  b thì ln có b / / ( P ) .
(III). Qua đường thẳng a chỉ có duy nhất một mặt phẳng (Q) vng góc với mặt phẳng ( P) .
(IV). Qua đường thẳng a ln có vơ số mặt phẳng (Q) vng góc với mặt phẳng ( P) .
Số khẳng định đúng trong các phát biểu trên là
A. 1 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn A

Khẳng định (I) đúng (Hình vẽ trên)
Khẳng định (II) sai vì nếu

a  P

b / /  P
b � P 
và a  b thì
hoặc

 P  . Khi đó có
Khẳng định (III) sai trong trường hợp đường thẳng a vng góc với mặt phẳng
 P  . Ví dụ hình hộp chữ
vơ sơ mặt phẳng chứa đường thẳng a và vng góc với mặt phẳng
B C D thì qua đường thẳng AA�ta chỉ ra được ít nhất ba mặt phẳng cùng vng
nhật ABCD. A����
góc với mặt phẳng

 ABCD  .

 P .
Khẳng định (IV) sai trong trường hợp đường thẳng a không vng góc với mặt phẳng
 P  thì qua đường thẳng a có duy nhất
Khi đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng
một mặt phẳng

 Q

vng góc với mặt phẳng
4

 P .


Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định sai?
A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B. Nếu một đường thẳng vng góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vng
góc với đường thẳng cịn lại.
C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

D. Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vng góc với
một đường thẳng thì song song với nhau.
Lời giải
Chọn A

Hình ảnh minh họa hai mặt phẳng
khơng song song với nhau.
Câu 13.

và

 Q

cùng vng góc với mặt phẳng

 Q  song song với nhau và một điểm M khơng thuộc  P 
M có bao nhiêu mặt phẳng vng góc với  P  và  Q  .
Cho hai mặt phẳng

 P

 P

A. 3 .

và

C. 1 .
Lời giải

B. Vô số.

 R
và

nhưng

 Q  . Qua

D. 2 .

Chọn B
P
Q
+ Qua M có duy nhất một đường thẳng d vng góc với   và   .
P
Q
+ Mọi mặt phẳng chứa d đều vng góc với   và   nên có vơ số mặt phẳng qua M

vng góc với

 P

và

 Q

DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VNG GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, MẶT
PHẲNG VỚI ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG THẲNG

Dạng 2.1 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng, đường thẳng vng góc với
đường thẳng
Câu 14.

Cho hình chóp S . ABCD đều. Gọi H là trung điểm của cạnh AC . Tìm mệnh đề sai?

A.

 SAC    SBD  .

B.

SH   ABCD 

Chọn D
5

.
C. 
Lời giải

SBD    ABCD 

. D.

CD   SAD 

.

Câu 15.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và SA  SC , SB  SD .
Mệnh đề nào sau đây sai?
SC   SBD 
SO   ABCD 
A.
.
B.
.
SBD    ABCD 
SAC    ABCD 
C. 
. D. 
.
Lời giải
Chọn A

� SO   ABCD 
SO � SBD  , SO � SAC 
Từ giả thiết suy ra SO  AC ; SO  BD
mà
�  SBD    ABCD  ;  SAC    ABCD 

Câu 16.

. Vậy

SC   SBD 

là mệnh đề sai.

Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng

 ABC  . Mệnh đề nào sau đây sai?

A. SA  BC .

B. AB  BC .

C. AB  SC .
Lời giải

Chọn C

SA  BC đúng vì SA   ABC  .
AB  BC đúng vì ABC vuông tại B .
�AB  BC
� BC   SAB 
�
SB  BC đúng vì �SA  BC
.

6

D. SB  BC .


Câu 17.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , tam giác SAB đều và nằm trong mặt

 SBC  .
phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Tính sin của góc tạo bởi đường MD và mặt phẳng
A.

13
5 .

B.

13
3 .

C.

15
5 .

D.

15
3 .

Lời giải
Chọn C

SBC 
Gọi D1 là hình chiếu vng góc của D trên 

.
SBC 
Gọi  là góc tạo bởi đường MD và mặt phẳng 
. Khi đó:

sin  

Ta có

DD1
MD .

MD  CD 2  CM 2  a 2 

a2 a 5

4
2 .

Gọi H là chân đường cao kẻ từ S của SAB . Khi đó do tam giác SAB đều và

 SAB    ABCD  � SH   ABCD 
Kẻ

và

SH 

a 3
2 .

HH1  SB � HH1   SBC  � d  H ,  SBC    HH1

và ta có

1
1
1
1
1
a 3




� HH1 
2
2
2
2
2
HH1
SH
BH
4
�a 3 � �a �
�
�
� � �2 �
�2 �

.

7


Ta có

Do đó

DD1  d  D,  SBC    d  A,  SBC    2d  H ,  SBC    2 HH 1 
sin  

a 3
2 .

DD1
15

MD
5 .

Câu 18. (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng, hai

 SAB  và  SAD  vng góc với mặt đáy. AH , AK lần lượt là đường cao của tam giác
mặt bên
SAB , SAD . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. BC  AH .

B. SA  AC .

C. HK  SC .
Lời giải

D. AK  BD .

�
 SAB    ABCD 
�
�
 SAD    ABCD  nên SA   ABCD 
Ta có �
Suy ra SA  AC (B đúng); SA  BC ; SA  BD .
BC   SAB 
Mặt khác BC  AB nên
suy ra BC  AH (A đúng).
BD   SAC 
và BD  AC nên
suy ra BD  SC ;

Đồng thời HK // BD nên HK  SC (C đúng).
Vậy mệnh đề sai là AK  BD (vì khơng đủ điều kiện chứng minh).

Dạng 2.2 Hai mặt phẳng vng góc
Câu 19.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi và SB vng góc với mặt phẳng

 ABCD  . Mặt phẳng nào sau đây vng góc với mặt phẳng  SBD  ?
A.

 SBC  .

B.

 SAD  .

C.

 SCD  .

Lời giải
Chọn D
8

D.

 SAC  .


�AC  BD
� AC   SBD  �  SAC    SBD 
�
AC

SB
�
Ta có
.
Câu 20.

B C có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A . Gọi M là trung điểm của
Cho lăng trụ đứng ABC. A���
BC , mệnh đề nào sau đây sai ?

A.

 ABB�
   ACC�
.

B.

M    ABC 
 AC �
.

C.

 AMC �
   BCC �
.

D.

 ABC    ABA�
.
Lời giải

Chọn B

BC   AA�
M  �  ABC    AA��
B B
Ta có BC  AM và BC  AA�nên
.

Nếu

M    ABC 
 AC �

thì suy ra

M  � AA��
B B
 AC �

Do đó B sai.

9

: Vô lý.


Câu 21.

(THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018).Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam
giác cân tại B , cạnh bên SA vuông góc với đáy, I là trung điểm AC , H là hình chiếu của I
lên SC . Khẳng định nào sau đây đúng?
A.

 BIH    SBC  .

B.

 SAC    SAB  .

C. 
Lời giải

SBC    ABC 

.

D.

 SAC    SBC  .

�
�BI  AC  gt 
� BI   SAC  �SC � SC  BI
�
BI  SA  SA   ABC  
 1 .
�
Ta có:

Theo giả thiết: SC  IH
Từ
Câu 22.

 1

và

 2

suy ra:

 2 .

SC   BIH 

. Mà

SC � SBC 

nên

 BIH    SBC  .

SA   ABC 
Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B ,
, gọi M là trung
điểm của AC . Mệnh đề nào sai ?

A.

 SAB    SAC  .

B. BM  AC .

C.

 SBM    SAC  .

Lời giải
10

D.

 SAB   SBC  .


Chọn A
+ Có tam giác ABC là tam giác vng cân tại B , M là trung điểm của AC � BM  AC

BM  AC �
�� BM   SAC  �  SBM    SAC 
BM

SA
�
+ Có
.
BC  SA �
�� BC   SAB  �  SBC    SAB 
BC

AB

�
+ Có
Vậy A sai.
Câu 23.

SA   ABCD 
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , tâm O ,
,

SA  a 6 (như hình vẽ). Mệnh đề nào sau đây là đúng?.
SBC    ABCD 
SBC    SCD 
SBC    SAD 
A. 
. B. 
. C. 

D.

 SBC    SAB  .

Lời giải
Chọn D

BC  SA  do SA   ABCD   �
�
�
BC  AB  gt 
�� BC   SAB 
�

SA �AB  A
BC � SBC 
SBC    SAB 
�
mà
. Vậy 
.
Câu 24.

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. A ' B ' C ' D ' . Mặt phẳng
phẳng nào sau đây?
A.

 D ' BC  .

B.

 B ' BD  .

C.
11

 D ' AB  .

 AB ' C 

D.

vng góc với mặt

 BA ' C ' .


Lời giải
Chọn B
�AC  BD
� AC   BB ' D 
�
AC � AB ' C  �  AB ' C    BB ' D 
AC

BB
'
�
Ta có:
mà
.
Câu 25.

 ABC  .
Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , cạnh bên SA vng góc với
Gọi I là trung điểm cạnh AC , H là hình chiếu của I trên SC . Khẳng định nào sau đây đúng?
A.

 SBC    IHB  .

Chọn

B.

 SAC    SAB  .

 SAC    SBC  .

C.
Lời giải

D.

 SBC    SAB  .

B.

S

H
A

C

I
B

Vì
Câu 26.

AB   SAC 

nên

 SAC    SAB  .

SA   ABCD 
Cho hình chóp S . ABCD có
, đáy ABCD là hình thang vng tại A và D . Biết
SA  AD  DC  a , AB  2a . Khẳng định nào sau đây sai?

A.

 SBD    SAC  .

B.

 SAB    SAD  .

C.

 SAC    SBC  .

D.

 SAD    SCD  .

Lời giải
Chọn A

�AB  AD
� AB   SAD  �  SAB    SAD 
�
AB


SA
�
Ta có
, suy ra phương án B đúng.
2
2
2
2
2
2
Lại có AC  AD  DC  a  a  2a � AC  a 2 .
2
2
2
2
2
2
Gọi M là trung điểm của AB . Khi đó BC  MB  MC  a  a  2a � BC  a 2 . Ta

2
2
2
thấy AB  AC  CB � BC  AC .

12


�BC  AC
� BC   SAC  �  SBC    SAC 

�
BC

SA
�
Như vậy
, suy ra phương án C đúng.
�DC  AD
� DC   SAD  �  SCD    SAD 
�
Ta có �DC  SA
, suy ra phương án D đúng.
Câu 27.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy.Trong số các mặt phẳng chứa mặt đáy và các
mặt bên của hình chóp, có bao nhiêu mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( SAB)?

B. 3 .

A. 4 .

C. 1 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn B
( SAB)  ( ABCD )
�

�
( SAB) �( ABCD)  AB � BC  (SAB )
�
�
BC  AB
�
� ( SBC )  (SAB)

Tương tự suy ra ( SAD)  ( SAB ).
� �900
SCD  ;  SAB   ISJ
�





Vậy có 3 mặt phẳng ( ABCD); ( SAD);( SBC ) vng
góc với (SAB).

BCD ,
Câu 28. (THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình hộp ABCD. A����
khẳng định nào đúng về hai mặt phẳng

BD 
 A�

và

D

 CB��
.

A.

BD    CB��
D
 A�
.

B.

BD  //  CB��
D
 A�
.

C.

BD  � CB��
D
 A�
.

D.

BD  � CB��
D   BD�
 A�
.

Lời giải

13


B � A�
BD 
CD�
//  A�
BD 
// A�
B mà A�
Ta có CD�
nên
.
D � A�
BD 
CB�
//  A�
BD 
CB�
// A�
D mà A�
nên
.
Vậy

D
BD 

 CB��
 A�
chứa hai đường thẳng CD�
, CB�cắt nhau và cùng song song với

ta có

BD  //  CB��
D
 A�
.

từ đó

Câu 29. (SGD&ĐT BRVT - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA  SC . Khẳng định
nào sau đây đúng?

A. Mặt phẳng

 SBD 

vng góc với mặt phẳng

 ABCD  .

B. Mặt phẳng

 SBC 

vng góc với mặt phẳng

 ABCD  .

C. Mặt phẳng

 SAD 

vng góc với mặt phẳng

 ABCD  .

D. Mặt phẳng

 SAB 

vng góc với mặt phẳng
Lời giải

 ABCD  .

Gọi O  AC �BD .
Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC  BD (1).
Mặt khác tam giác SAC cân tại S nên SO  AC (2).
Từ (1) và (2) suy ra

AC   SBD 

nên

 SBD    ABCD  .

14


DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Dạng 3.1 Góc của mặt phẳng bên với mặt phẳng đáy
Câu 30.

BC ��
D . Tính góc giữa mặt phẳng
[KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018] Cho hình lập phương ABCD. A�

 ABCD 

và

A�
 ACC �
.

A. 45�.

Do
Câu 31.

B. 60�.

C. 30�.
Lời giải

AA�
  ABCD  �  ACC �
A�
   ABCD 

D. 90�.

.

BCD 
B C D . Góc giữa  ABCD  và  A����
(Thi thử SGD Hưng Yên) Cho hình lập phương ABCD. A����
bằng
A. 45�
.

B. 60�.

C. 0�
.
Lời giải

D. 90�.

Chọn C
D'

A'

B'

C'

D

A

B
C

Ta thấy hai mặt phẳng
song song với nhau.

 ABCD 
Vậy góc giữa

 ABCD 

và

BCD 
 A����
là hai mặt đáy của hình lập phương nên chúng

B C D    0�
  ABCD  ,  A����
BCD 
 A����
và

bằng
.
�

Câu 32. (THPT QUỲNH LƯU - NGHỆ AN - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a 2 và chiều cao

a 2
bằng 2 . Tang của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng:
1
A. 1 .
B. 3 .
C. 3 .
15

3
D. 4 .


Lời giải

a 2
EO 
�
2
Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng SEO ;
Xét SEO vng tại O , ta có

� 
tan SEO

SO
1
EO
.

Câu 33. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng,
SA vng góc với mặt đáy (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai mặt phẳng

 ABCD 

 SCD 

và

bằng

�
A. Góc SDA .

�
B. Góc SCA .

�
C. Góc SCB .
Lời giải

�
D. Góc ASD .

�

CD   SAD 
�
�
�   ABCD  ,  SCD    SDA
�
 ABCD  � SCD   CD
Ta có �
.
Câu 34. (THPT QUẢNG N - QUẢNG NINH - 2018) Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là
hình chữ nhật cạnh AB  4a , AD  3a . Các cạnh bên đều có độ dài 5a . Tính góc  giữa

 SBC 

 ABCD  .
và
46�
A.  �75�
.

21�
B.  �71�
.

31�
C.  �68�
.
Lời giải

16

21�
D.  �65�
.


Gọi O , H lần lượt là trung điểm của AC và BC .

2
2
Xét tam giác SHC vuông tại H ta có: SH  SC  HC



 5a 

2

2

�3 �
 � a �  91a
�2 �
2 .

SO   ABCD 
Vì SA  SB  SC  SD  5a nên
.

 SBC  � ABCD   BC , SH  BC , OH  BC , suy ra góc giữa  SBC  và  ABCD 
Ta có:

�
bằng SHO   .

Xét tam giác SOH vuông tại O , ta có:

cos  

OH
SH



2a
91a 4 91

91 �
2

65 21�
.

Câu 35. (SỞ GD&ĐT HƯNG N - 2018) Cho hình chóp S . ABCD với đáy ABCD là hình vng có

 SBD  và  ABCD  bằng?
cạnh 2a , SA  a 6 và vng góc với đáy. Góc giữa
0
A. 90 .

0
B. 30 .

0
C. 45 .

0
D. 60 .

Lời giải

Từ A ta kẻ đường vng góc tới BD , thì chân đường vng góc là tâm O của hình vng, từ
đây dễ thấy SO  BD , nên góc giữa hai mặt phẳng là góc SOA .

Xét tam giác SOA có

tan SOA 

SA a 6

 3
0
OA a 2
. Vậy góc cần tìm bằng 60 .

17


Câu 36.

B C có đáy là
(THPT PHÚ LƯƠNG - THÁI NGUYÊN - 2018) Cho hình lăng trụ ABC. A���

 2a . Hình chiếu vng góc của A�lên mặt phẳng
tam giác đều cạnh bằng a , cạnh bên AA�

 ABC 

trùng với trung điểm của đoạn BG (với G là trọng tâm tam giác ABC ). Tính cosin
ABC 
ABB�
A�
.
của góc  giữa hai mặt phẳng 
và 
1
1
1
1
cos  
cos  
cos  
cos  
95 .
165 .
134 .
126 .
A.
B.
C.
D.
Lời giải

A�
H   ABC 
- Gọi H là trung điểm BG , theo giả thiết
.
M
K
AB
BM
- Gọi
,
lần lượt là trung điểm của
và
CM  AB
�
��
HK   AB
�HK / / CM � HK  AB �  A�
A�

��
A�
KH   là góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ABB�
a 3
AB 2  AG 2 BG 2 7a 2
AG  BG 
� AH 2 


3
2

4
12
- Ta có: AB  a ,

� A�
H 2  A�
A2  AH 2 
� cos  

1
a 3
41a 2
165a 2
HK  GM 
� A�
K 2  A�
H 2  HK 2 
2
12
12 ;
48

HK
1

A�
K
165 .

Câu 37. (THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện S . ABC có các cạnh SA , SB ; SC đơi một

vng góc và SA  SB  SC  1 . Tính cos  , trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng

 ABC  ?
18

 SBC 

và


A.

cos  

1
2.

B.

cos  

1
2 3.

cos  

C.
Lời giải

1

3 2.

D.

cos  

1
3.

 Cách 1:

Gọi D là trung điểm cạnh BC .
�SA  SB
� SA   SBC 
�
� SA  BC .
Ta có �SA  SC
BC   SAD 
Mà SD  BC nên
.





� 
� �
SBC  ,  ABC   SDA

.

Khi đó tam giác SAD vng tại S có

SD 

 Cách 2:

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ
19

1
3
SD � cos   1
AD 
cos  
2;
2 và
3.
AD


Ta có

S  0; 0; 0 

,

A  0; 0;1 B  0;1;0  C  1;0;0 
,
,

r
� phương trình mặt phẳng  ABC  : x  y  z  1  0 có VTPT n   1;1;1 .
r
k   0;0;1
SBC  �Oxy : z  0

Mặt phẳng
có VTPT là
.
r r
n. k
1
cos   r r
� cos  
n
.
k
SBC 
ABC 
3.
Khi đó góc giữa hai mặt phẳng 
và 
là

Câu 38. (CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và
AB  a 2 . Biết SA   ABC  và SA  a . Góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  bằng
A. 30�.
B. 45�.
C. 60�.

D. 90�.
Lời giải

�
 SBC  � ABC   BC
�
 SAM   BC
�
�, AM
� �
SBC  ,  ABC   SM
�
 SAM  � SBC   SM
�
�SAM � ABC  AM

 

Kẻ AM  BC tại M . Ta có �
.
�
SBC 
ABC 
Suy ra góc giữa 
và 
bằng góc SMA .
�  SA  a  1 � SMA
�  45�
tan SMA
AM

a
Ta có
.



 



Câu 39. (THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018) Cho hình chóp S . ABC có tam giác ABC vng cân tại B ,
AB  BC  a , SA  a 3 , SA   ABC  . Góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  là
o
A. 45 .

o
B. 60 .

o

C. 90 .
Lời giải

20

o
D. 30 .


Ta có

�
BC   SAB  � BC  SA
SBC 
ABC 
. Góc giữa hai mặt phẳng 
và 
là góc SBA .

� 
tan SBA
Câu 40.

SA a 3

�  60o
AB
a  3 � SBA
.

(THPT HOA LƯ A - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông

 ABC  và  OBC  .
góc và OB  OC  a 6 , OA  a . Tính góc giữa hai mặt phẳng
A. 60�.
B. 30�.
C. 45�.
D. 90�.
Lời giải
A

C

O

I
B
Gọi I là trung điểm của BC � AI  BC . Mà OA  BC nên AI  BC .

Ta có:
Ta có:

�
 OBC  � ABC   BC
�
�
� �
OI , AI   OIA
 OBC  ,  ABC    �
�BC  AI
�BC  OI
�
OI 

1
1
BC 
OB 2  OC 2  a 3
2
2

.

Xét tam giác OAI vng tại A có
�
 OBC  ,  ABC    30�.

Vậy
Câu 41.

.

� 
tan OIA

OA
3
�  30�

� OIA
OI
3
.

(TT DIỆU HIỀN - CẦN THƠ - 2018) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại B ,

SA   ABC 
bằng:
A. 30�.

, SA  3 cm , AB  1 cm , BC  2 cm . Mặt bên

B. 90�.

C. 60�.
21

 SBC 

hợp với đáy một góc

D. 45�.


Lời giải

Theo giả thiết vì

SA   ABC 

nên SA  AB , SA  BC . Mặt khác BC  AB nên BC  SB .

 SBC 

�
và đáy là góc SBA   .
SA
tan  
 3 �   60�
AB
Trong tam giác vng SAB ta có:

.
Vậy góc giữa

Câu 42.

(THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a 3 ,

3a
đường cao bằng 2 . Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng:
A. 30�.
B. 45�.
C. 60�.
Lời giải

D. 75�.

Gọi O là tâm của hình vng ABCD ; M là trung điểm của CD .
�
Góc giữa mặt bên và mặt đáy là SMO .

Ta có

OM 

1
a 3
AD 
2
2 .

3
a
 2  3
3
�  SO
tan SMO
a
�  60�
� SMO
OM
2
Xét tam giác SOM vng tại O , ta có
.
Câu 43.

(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc và

OB  OC  a 6 , OA  a . Khi đó góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và (OBC ) bằng
22


0
A. 90

0
B. 60

0

C. 45

Lời giải

0
D. 30

Chọn D
Gọi M là trung điểm của BC . Suy ra
OM  BC . Nên góc giữa hai mặt phẳng
�
( ABC ) và (OBC ) chính là góc OMA
.
Ta có: Tam giác OBC vng cân tạ O
1
1
BC 
OB 2  OC 2  a 3
2
2
nên
Xét tam giác OAM vng tại O có
�  OA  1
tan OMA
OM
3.
Suy
ra
0
�  30
OMA
OM 

0
Vây, góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và (OBC ) bằng 30

Câu 44.

B C có diện tích đáy
(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A���
bằng
và

BC 
3a 2 (đvdt), diện tích tam giác A�
BC bằng 2a 2 (đvdt). Tính góc giữa hai mặt phẳng  A�

 ABC  ?
o

A. 120 .

o
B. 60 .

o

C. 30 .
Lời giải

o
D. 45 .

Chọn C

BC trên mặt phẳng  ABC 
+) Ta có ABC là hình chiếu vng góc của A�
BC 
 A�
 ABC  .
+) Gọi  là góc giữa
và
cos  

Ta có:

S ABC a 2 3
3


2
SA�BC
2a
2 �   30o .

23


Câu 45.

(Nơng Cống - Thanh Hóa - Lần 1 - 1819) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a 3 ,

3a
đường cao bằng 2 . Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
A. 45�
.

B. 30�.
C. 60�.
D. 75�.
Lời giải
Chọn C

SO   ABCD 
Gọi O  AC �BD thì
.
�
Gọi M là trung điểm của BC thì SMO là góc cần tìm.
Xét SMO vng tại O có:
3a
SO
� 
�  60�
tan SMO
 2  3 � SMO
.
OM a 3
2
Câu 46.

(THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các
cạnh bằng a . Cơsin của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng

1
A. 3 .

1
B. 3 .

1
C. 2 .
Lời giải

Chọn D

24

1
D. 2 .


Hình chóp tứ giác đều ABCD có H là trọng tâm của tam giác đáy BCD và DH cắt BC tại
I
Ta có

AH   BCD 

Tam giác BCD đều và H là trọng tâm của tam giác BCD nên DI  BC .
�AH  BC
� AI  BC
�
�DI  BC

� góc giữa mặt bên  ABC  và mặt đáy  BCD  là �
AID
Tam giác ABC đều có AI là đường trung tuyến nên

AI 

a 3
2

1
a 3
IH  DI 
3
6 .
Tam giác BCD đều có H là trọng tâm nên

AH   BCD 
Câu 47.

nên tam giác AIH vuông tại H . Khi đó

cos �
AIH 

IH 1

AH 3

B C D có cạnh bằng a . Giá trị

(Thi thử Bạc Liêu – Ninh Bình lần 1) Cho hình lập phương ABCD. A����

) và ( ABCD) bằng
sin của góc giữa hai mặt phẳng ( BDA�
3
A. 4 .

6
B. 4 .

6
C. 3 .
Lời giải

3
D. 3 .

Chọn C

�
BD ^ AI
�
� BD ^ ( AIA�
) ; BD = ( BDA�
) �( ABCD) .
�
�
BD ^ AA�
I
=

AC
�
BD
�
Gọi
. Ta có:
Do đó góc giữa hai mặt phẳng

( BDA�
) và ( ABCD)

25

�
là AIA�
.